Pembuktian Teorema Pythagoras

yos3prens.wordpress.com

Diberikan : ∆𝐴𝐵𝐶.

Buktikan : 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2.

Kontruksi : Perpanjang sisi 𝐵𝐶���� sampai titik 𝐷

sedemikian sehingga 𝐵𝐷���� ≅ 𝐶𝐴����. Kontruksi

ruas garis 𝐷𝐸���� sehingga 𝐷𝐸���� ⊥ 𝐶𝐷���� dan

𝐷𝐸���� ≅ 𝐵𝐶����. Lukis ruas garis 𝐵𝐸���� dan 𝐴𝐵����.

Bukti : Segiempat 𝐴𝐶𝐷𝐸 adalah trapesium.

Mengapa? Luas trapesium 𝐴𝐶𝐷𝐸 adalah,

𝐿 =12ℎ(𝑝 + 𝑝′) =

12

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) =12

(𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2)

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷 𝐸

𝑎

𝑏

𝑐

𝑏

𝑎

1

2

Pembuktian Teorema Pythagoras

yos3prens.wordpress.com

Luas trapesium dapat juga dicari dengan menjumlahkan

luas segitiga 𝐴𝐶𝐵, 𝐵𝐷𝐸, dan 𝐸𝐵𝐴. Setelah membuktikan

∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐵𝐷𝐸 dan ∠1 ≅ ∠2, dapat ditunjukkan bahwa

∠𝐴𝐵𝐸 adalah siku-siku. Mengapa? Karena ketiga segitiga

tersebut memiliki sudut siku-siku, maka luasnya adalah,

𝐿(∆𝐴𝐶𝐵) =12𝑎𝑏

𝐿(∆𝐵𝐷𝐸) =12𝑎𝑏

𝐿(∆𝐵𝐸𝐴) =12𝑐2

Sehingga diperoleh luas dari trapesium adalah,

𝐿 =12𝑎𝑏 +

12𝑎𝑏 +

12𝑐2 = 𝑎𝑏 +

12𝑐2

Dengan mensubstitusikan persamaan luas trapesium

pertama dengan yang terakhir diperoleh,

12

(𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎𝑏 +12𝑐2

atau

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 2𝑎𝑏 + 𝑐2

atau

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

(terbukti)