-
7/26/2019 Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx
1/14
MODUL I
SISTEM KOORDINAT
KERTESIUS, VEKTOR,GRAFIK PERSAMAAN
Materi Kuliah
Modul 1 : Sistem Koordinat kartesius, vektor,grafik persamaan
Modul 2 : Fungsi n variabel dan TurunanParsial
Modul 3 : Penerapan Turunan Parsial Modul 4 : Integral Lipat Dua
Modul 5 : Integral Lipat Tiga
Modul 6 : Kalkulus Medan vektor
Modul 7 : Deret Tak Hingga
Modul 8 : Deret Fourier
-
7/26/2019 Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx
2/14
Ruang Dimensi TigaRuang dimensi tiga adalah himpunan semua bilangan tripel real, dan
dinyatakan dengan R3. Setiap titik dalam ruang dimensi tiga dinyatakan
dengan tiga pasangan bilangan berurut. Untuk menyatakan ruang
dimensi tiga, biasanya digunakan sistem koordinat kartesius.
Grafik PersamaanGrafik suatu persamaan didalam ruang dimensi tiga adalah himpunan
semua titik-titik (x,y,z) yang koordinatnya berupa bialangan yang memenuhi
persamaan tersebut. Grafik persamaan di dalam ruang dimensi tiga disebut
dengan permukaan.
Contoh
Gambarkanlah sketsa grafik
suatu bidang,
2x + 4y + 3z = 12.
-
7/26/2019 Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx
3/14
Grafik Permukaan Benda Pejal
Grafik permukaan suatu bendadimana permukaannya dibatasi
oleh beberapa permukaan.
Contoh
Buatlah sketsa grafik
permukaan benda pejal di oktan
pertama yang dibatasi oleh
permukaan bidang-bidang:
(1)y+z=4,
(2)x+y= 2,
(3) y=x,(4) z= 0, xoy
(5)x= 0, yoz
Sketsa Benda Pejal dimaksud
Contoh :Buatlah sketsa benda pejal di
oktan pertama, dimana
sisi-sisinya dibatasi oleh
permukaan silinder
paraboloida, x = y2, dan
x = 2 y2,
permukaan bidang
y + z = 4, dibatasi pulaoleh bidang xy (z = 0)
dan yz (x = 0)
-
7/26/2019 Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx
4/14
Contoh :Buatlah sketsa benda pejal yang dibatasi oleh permukaan paraboloida, z = x2
+ y2, silinder lingkaran tegak, x2+ y2= 4, dan z=0 (bidang xy).
Contoh :Buatlah sketsa benda pejal yang dibatasi oleh permukaan bola, x2+ y2
+ z2= 8, dan diatas kerucut : x2+ y2= z2yang terletak diatas bidang xy.
x2+ y2+ z2= 8,
Bola
Kerucut
-
7/26/2019 Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx
5/14
SOAL-SOAL LATIHAN1. Dibawah permukaan bola, x2+ y2+ z2= 4z, dan diatas, z=x2 + y2.
2. Dibawah permukaan bola, x2+ y2+ z2= 16, dan di dalam silinderlingkaran tegak,x2 + y2= 4y, dan diatas bidangxy.
3. Dibawah kerucut,x2+ y2= z2, di dalam siliner lingkaran tegak,x2 + y2
= 4x, dan diatas bidangxy.
4. Benda pejal Sdibawah bidang, y + z = 4, dan dibatasi, z= 4x2, z= 5
x2,x= 0, y= 0.
5. Benda pejal Sdibawah permukaan silinder, y2+ z2= 16, dan dibatasi
oleh bidang-bidang,x+ y= 4,x= 0, y= 0, dan z= 0.
6. Benda pejal Sdibawah bidang,x + z = 4, dan dibatasi oleh,x= y2, y=
0, dan z= 0.
7. Benda pejal Sdibatasi silinder parabolik, 2z = y2, dan bidang-bidang, y
+ z= 4,x+ y = 4,x= 0, dan z= 0.8. Benda pejal Sdibatasi oleh silinder parabolik, y =x2, dan bidang-
bidang,x= z,x+ z = 4, y= 0 dan z= 0.
9. Benda pejal Sdibatasi oleh bidang-bidang, y + z = 4,x= z, y= z,x= 0,
dan z= 0.
10. Benda pejal Sdibawah bidang,x + y + z = 6, dan dibatasi oleh, y=x2,
y= 0, dan z= 0.
VEKTOR di R2 dan R3
Definisi. Vektor adalah segmen garis yang mempunyai arah. Titik awal disebut
pangkal vektor (titik A), titik akhir disebut dengan titik ujung vektor (titik B), garis
lurus yang melalui AB disebut dengan garis pembawa vektor.
A B
Pangkal vektorUjung vektor
v
|v| = panjang vektor
Vektor di Bidang
y0
x0 x1
y1 Q
P
v
vvektor pada bidang yang menghubungkan titik
P(x0,y0) dan Q(x1,y1), ditulis :
v=
2
121 ],[
v
vvv
01
010101 ],[
yy
xxyyxx
221
201
22
21 )()( yyxxvv |v|=
y
-
7/26/2019 Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx
6/14
Vektor dalam ruang
x0
x1
y0y1
z1
z0
Q
P v
v =[v1,v2,v3], vektor dalam ruang yang
menghubungkan titik P(x0,y0,z0) dan Q(x1,y1,z1), ditulis :
3
2
1
321 ],,[
v
v
v
vvvv
01
01
01
010101 ],,[
zz
yy
xx
zzyyxx
Panjang vektornya diberikan oleh :
201
221
201
33
22
21 )()()( zzyyxxvvv |v|=
Contoh :
P(1,2,3)
Q(4,6,1)
R(3,5,8)
u= PQ= [4-1,6-2,1-3] = [3,4,-2]
v= PR= [3-1,5-2,8-3] = [2,3,5]
w= QR= [3-4,5-6,8-1] = [-1,-1,7]
Operasi pada vektor
Jika, , dan adalah vektor-vektor di ruang-3, dan k
adalah konstanta tak nol maka :
332211 ,, vuvuvu vu
],,[ 321 uuuu ],,[ 321 vvvv
],,[ 332211 vuvuvu vu
],,[],,[ 321321 kukukuuuukk u
(1).
(2).
(3).
Bentuk geometri
Kesamaan
u v u
v
v
u + v
Panjang dan arah sama
Elemen seletak dijumlahkan
Setiap elemen dikalikan dengan k
Penjumlahan Perkalian dengan skalar
u
ku
-
7/26/2019 Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx
7/14
Vektor Normal
Andaikan u adalah vektor di R2 atau R3, vektor normal u ditulis nudidefinisikan sebagai sebuah vektor searah u dimana panjangnya 1.
|u|
unu
Contoh :
u= [1,-2,3], maka,
14
3,
14
2,
14
1
941
]3,2,1[un
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu dan searah dengan sumbu
koordinat.
i= [1,0,0], searah sumbux
j= [0,1,0], searah sumbu y
k= [0,0,1], searah sumbu z
j= [0,1,0]
k= [0,0,1]
i= [1,0,0]
Hasil Kali Titik, Proyeksi
Misalkan udan v adalah vektor-vektor di R2 (R3), dan misalkan pula sudutantara udan v, maka hasil kali titik (dot product) ditulis u vdidefinisikan oleh :
0
|v||u|vu
cos jika u 0 dan v 0
jika u =0 atau v = 0
v
u
Misalkan, u= [u1,u2,u3], dan v= [v1,v2,v3] hasil kali titik udan vdiberikan pulaoleh,
332211321321 ],,[],,[ vuvuvuvvvuuu vu
|v||u|
vu
cos
Misalkan, udan vadalah vektor-vektor tak nol, maka sudut antara udan v
diberikan pula oleh,
2/
2/
2/0
jika hanya jika u v > 0
jika hanya jika u v < 0
jika hanya jika u v = 0
-
7/26/2019 Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx
8/14
Contoh :
P(2,6,4)
Q(4,8,5)
R(7,7,3)
u= PQ = [4-2,8-6,5-4] = [2,2,1]
v= PR = [7-2,7-6,3-4] = [5,1,-1]
w= RQ = [4-7,8-7,5-3] = -3,1,2]
u
v
w
|u| = 3122 222
1421)3( 222
33)1(15 222 |v| =
|w| =
u v= [2,2,1][5,1,-1] = 10 + 2 1 = 11
u w= [2,2,1][-3,1,2] = -6 + 2 + 2 = -2
-v w= [-5,-1,1][-3,1,2] = 15 -1 + 2 = 16
= 0,7056
= cos-1(0,7056)
= 45,1o
|v||u|
vu
cos
)33)(3(
11
|w||u|
wu
cos
)14)(3(
2
= -0,1782
= cos-1(-0,1782)
= 100,3o
|w||-v|
wv-
cos
)14)(33(
16
= cos-1(0,8229)
= 34,6o
Proyeksi
Andaikan udan avektor tak nol di R2 (R3), maka :
a|a|
auua 2
v= proy vkomponen vektor u
sepanjang a
w= u v
= u- proy a|a|
au-uua 2
w
u
v
awkomponen vektor u
ortogonal dengan v
Penerapan proyeksi, jarak titik P(x0,y0) ke garis ax+ by+ c = 0
ax + by + c = 0
n = [a,b]
P(x0,y0)
D
D = |proynQP|
Q(x,y)
|n|
|n
QP|
22
00 ||
ba
cbyax
-
7/26/2019 Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx
9/14
Rumus-rumus hasil kali titik
u v= | u | | v| cos u v=
i i =j j = k k = 1
i j =j i = i k =k i =j k = k j = 0
v v= | v|2, dan | v | = (v v)1/2
u v= v u
u (v +w) = u v+ u w
k(u v) = (ku) v= u (kv)
v v> 0, jika v 0, dan v v= 0 jika v = 0.
332211 vuvuvu
Hasil Kali Silang
Jika, u= [u1,u2,u3], dan v = [v1,v2,v3], vektor-vektor di R3 (R2), hasil kali silang
vektor (cross product) u dan vditulis uv didefinisikan oleh,
u
v= [u2v3-u3v1,-(u1v3-u3v1),u1v2-u2v1]
kji21
21
31
31
32
32
vv
uu
vv
uu
vv
uu
321
321
vvv
uuu
kji
Dalam bentuk geometri
u v
|u
v|=|u||v| sin
Dari gambar diperoleh hasil :
u (uv)
v (uv)
|uv|2= |u|2|v|2 (uv)2
-
7/26/2019 Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx
10/14
Contoh :
u=[3,-1,2], dan v=[-2,4,3]
342
213
kji
u
v =(-3-8)i (9+4)j+ (12-2)k= [-11,-13,10]
u(u
v) = [3,-1,2][-11,-13,10] = -33+13 +20 = 0
v(uv) = [-2,4,3][-11,-13,10] = 22-52+30 = 0
Contoh :
u
v
|uv|2= |u|2|v|2 (uv)2
= |u|2|v|2 (|u||v| cos )2
= |u|2|v|2(1 cos2)
= |u|2|v|2sin2
|uv| = |u||v| sin , A = |uv|
A = |u||v| sin
Rumus-rumus hasil kali silang
u(uv) = 0 (uv) ortogonal ke u
v(uv) = 0 (uv) ortogonal ke v
|uv|2= |u|2|v|2 (uv)2dan |uv|= |u||v| sin
uv= (vu)
u(v +w) = (uv) + (uw)
(u + v)w= (uw) + (vw)
k(uv) = (ku)v = u (kv)
i j =k;j i = -k ;j k = i ; k j = -i; ki =j ; i k = -j
i i =0 ;j j = 0; k k = 0
u(vw) =
321
321
321
www
vvv
uuu
-
7/26/2019 Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx
11/14
Bidang Datar
Q
P
n
Bidang yang melalui titik tetap P(x0,y0,z0) dengan
normal bidang n=[A,B,C]adalah himpunan titik-titikQ(x,y,z) sedemikian rupa sehingga,
nPQ = 0
[A,B,C][x-x0,y-y0,z-z0] = 0
A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0
Ax + By + Cx = D
Pendekatan vektor
PQ
R X
v
u
u = PQ = [u1,u2,u3] ; v= PR = [v1,v2,v3]
PX =[x-x0,y-y0,z-z0]Dalam bentuk vektor :
PX =
u + v
[x,y,z] = [x0,y0,z0] + [u1,u2,u3] + [u1,u2,u3]
Contoh :
Persamaan bidang yang melalui P(1,2,4), Q(4,6,5), dan R(2,5,7).
n
P(1,2,4) Q(4,6,5)
R(2,5,7)
u
v
>u = PQ = [3,4,1]
v = PR = [1,3,3]
Cara pertama
Titik tetap P(x0,y0,z0) = P(1,2,4)
n=uv
n=uv
331
143kji
= [12-3,-(9-1),9-4] = [9,-8,5]
Persamaan bidangnya adalah :
9(x 1) 8(y 2) + 5(z 4) = 0 atau 9(x 4) 8(y 6) + 5(x 5) = 0
9x 8y + 5z = 13
X(x,y,z)
-
7/26/2019 Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx
12/14
Cara kedua :
PX =
u + v
[x,y,z] = [1,2,4] + [3,4,1] + [1,3,3]
Persamaan parameternya adalah :
x = 1 + 3+ (1)
y = 2 + 4+ 3 (2)
z = 4 + + 3 (3)
5
13
yx
5
234
yx
Jika dan disubstitusikan pada persamaan (3) diperoleh hasil :
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hasil :
5z = 20 + (3x y 1) 3(4x 3y + 2)
9x 8y + 5z = 13
52343
5134
yxyxz
Garis lurus dalam ruang
v
Q(x,y,z)Garis lurus yang melalui titik tetap P(x0,y0,z0)
dengan vektor arah v=[a,b,c] adalah
himpunan titik-titik Q(x,y,z) sedemikian rupa
sehingga,
PQ = tv
[x x0,y y0,z z0] = t[a,b,c]
[x,y,z] = [x0,y0,z0] + t[a,b,c]
P(x0,y0,z0)
Bentuk persamaan parameter
garis lurus adalah :
x = x0+ at
y = y0+ bt
z = z0+ ct
Bentuk simetris persamaan garis
lurus adalah :
c
zz
b
yy
a
xx 000
-
7/26/2019 Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx
13/14
Contoh :
Persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang-bidang,
3x + 2y z = 14, dan 4x + 5y + 2z = 21
Jawab
n1=[3,2,-1]
n2=[4,5,2]
v=[a,b,c]
Vektor arah garis :
n1= [3,2,-1]
n2 = [4,5,2]
v = n1n2
254
123
kji
v
= [4+5,-(6+4),15-8]
= [9,-10,7]
Titik tetap
Dari kedua pesamaan linier, ambil
z = 0 dperoleh hasil :
3x + 2y = 14
4x + 5y = 21
x = 4
y = 1
Persamaan garis vektor :
[x,y,z] = [4,1,0] + t[9,10,7]
Parameter
x = 4 + 9t; y = 1 10t; z = 7t
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Bilamana u = , dan v = , nyatakanlah u sebagai jumlahan
vektor m yang sejajar v dan suatu vektor n yang tegak lurus dengan v.
2. Carilah vektor u dan v, sedemikian rupa sehingga u tegak lurus v dan masing-
masing tegak lurus dengan w =
3. Carilah vektor u dan v, sedemikian rupa sehingga u tegak lurus v dan masing-
masing tegak lurus dengan w =
4. Dengan menggunakan vektor, carilah besarnya sudut antara bidang 2x + y 2z
= 10, dan bidang 6x 2y + 3z = 4
5. 22. Carilah persamaan bidang yang melalui tiga buah titik (2,4,2) ; (3,6,1) dan(4,1,7)
6. Carilah persamaan bidang yang memuat titik (2,4,3) dan (5,3,6) dan tegak lurus
dengan bidang 2x + y + 4z = 12
7. 24. Carilah persamaan bidang yang melalui (4,6,5), tegak lurus dengan bidang x
+ 2y 2z = 10,dan 2x 3y + 3z = 8
8. Carilah jarak antara bidang 2x + 2y z = 10 ke titik (3,2,5)
-
7/26/2019 Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx
14/14
9. Carilah persamaan bidang yang memuat garis, x = 3 + 4t, y = 2 + 3t, z = 1 + 2t
dan tegak lurus dengan bidang 2x y + 3z = 10.
10. Carilah persamaan bidang yang memuat garis, x = 2 + 3t, y = 3 2t, z = 1 + 4t
dan sejajar dengan garis, x = 3 + 5t, y = 3 + 3t, z = 2 t.
11. Carilah persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang, x 3y + 2z =
10, dan bidang 3x + 2y 3z = 10.
12. Carilah persamaan garis yang melalui titik (3,2,6) dan sejajar dengan garis
yang merupakan perpotongan bidang, 2x + 3y z = 9, dan x + 2y 3z = 10.
13. Carilah persamaan bidang yang memuat kedua garis sejajar,
x = 3 5t, y = 3 + 2t, z = 4 + t dan x = 2 + 5t, y = 1 2t , z = 2 t.
14. Carilah titik potong kedua garis berikut ini, dan tentukan pula persamaan
bidangnya.x = 2t, y = 2 + 3t, z = 1 + t dan x = t, y = 2 t , z = 1 + t.
15. Carilah jarak antara kedua garis yang bersilangan berikut ini, yaitu : x = 3 + 2t, y = 2 2t, z = 4 + 3t dan x = 2 t, y = 1 + 3t , z = 3 2t.
SOAL-SOAL LATIHAN