MENGENALKAN OPERASI PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN BULAT
MENGGUNAKAN KEPING MUATAN
Materi operasi perkalian dan pembagian bilangan bulat diberikan pada jenjang sekolah dasar. Dalam
menanamkan konsep perkalian dan pembagian bilangan bulat tersebut tentunya setiap guru
mempunyai cara/strategi sendiri-sendiri sesuai dengan kondisi siswanya. Namun pembelajaran di SD
seyogyanya mengacu tahapan pada kegiatan pembelajaran Bruner, yaitu: 1) enactive (konkret), 2) iconic
(semikonkret), dan 3) symbolic/abstrak. Terinspirasi oleh video youtube tentang perkalian bilangan
bulat[1]
dan pembagian bilangan bulat[2]
yang disampaikan oleh Prof. Dr. Iwan Pranoto, Guru Besar
Matematika ITB, penulis mencoba mengemas kembali dalam sebuah tulisan yang memberikan salah
satu alternatif cara dalam mengenalkan operasi perkalian dan pembagian bilangan bulat menggunakan
alat peraga, yaitu keping muatan.
Keping muatan yang dimaksud di sini adalah keping berbentuk persegi dengan tanda “+” untuk mewakili
keping positif, dan bertanda “–“ untuk mewakili keping negatif.
mewakili –1
mewakili +1
mewakili –2
mewakili +3
dan seterusnya.
Adapun nol diwakili oleh pasangan keping positif dan keping negatif.
Untuk memulai, sebelumnya kita perlu menyediakan sebuah persegi atau lingkaran sebagai media bantu
dalam menanamkan konsep perkalian dan pembagian bilangan bulat. Ide dasar dari kegiatan yang akan
kita lakukan adalah memasukkan atau mengeluarkan keping ke atau dari persegi/lingkaran[1],[2]
.
A. Perkalian
Kesepakatan:
• Pengali , mewakili banyaknya kegiatan memasukkan atau mengeluarkan keping
Pengali positif, artinya memasukkan/menambahkan keping ke dalam persegi
Pengali negatif, artinya mengeluarkan/mengambil keping dari persegi
• Bilangan yang dikali , mewakili keping yang dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan)
• Hasil kali , menunjukkan keping akhir yang terdapat dalam persegi
+
– = 0
–
+
– –
+ + +
+
– = 0
+
–
+
– = 0
+
–
+
–
1. Positif dengan positif
(+2) × (+3) = ….
Terlihat bahwa dalam persegi terdapat 6 keping positif yang mewakili 6. Dengan demikian,
(+2) × (+3) = +6, atau ditulis 2 × 3 = 6.
2. Positif dengan negatif
(+2) × (–3) = …
Terlihat bahwa dalam persegi terdapat 6 keping negatif yang mewakili –6. Dengan demikian,
(+2) × (–3) = –6, atau ditulis 2 × (–3) = –6.
Dengan memasukkan 3 keping positif sebanyak 2
kali maka,
keping apa yang terdapat dalam persegi?
berapa banyak keping tersebut?
Perkalian ini dapat dimaknai memasukkan 3
keping negatif sebanyak 2 kali.
Keping apa yang terdapat dalam persegi?
Berapa banyak keping tersebut?
Berdasarkan kesepakatan, perkalian ini dapat
dimaknai memasukkan 3 keping positif
sebanyak 2 kali.
+
+
+
+
+
+
memasukkan
yang pertama
memasukkan
yang kedua
–
–
–
–
–
–
memasukkan
yang pertama
memasukkan
yang kedua
3. Negatif dengan positif
(–2) × (+3) = …
Perkalian ini dapat dimaknai mengeluarkan 3 keping
positif sebanyak 2 kali.
Karena belum ada yang bisa dikeluarkan dari persegi
maka persegi kita isi dulu dengan nol (pasangan
keping positif dan negatif). Perhatikan, karena yang
akan dikeluarkan sebanyak 3 keping maka nol yang
kita isikan berupa 3 pasang keping positif dan
negatif.
Kemudian kita keluarkan lagi 3 keping positif.
Ingat bahwa kita akan mengeluarkan 3 keping positif
sebanyak 2 kali. Dengan demikian kita harus
mengeluarkan satu kali lagi. Untuk itu kita perlu
mengisi persegi lagi dengan 3 pasang keping positif
dan negatif yang mewakili bilangan nol.
Lalu 3 keping positif kita keluarkan dari persegi.
+
+
+
Isi nol yang pertama
–
–
–
+
+
+
–
–
–
Keluarkan yang pertama
–
–
–
+
+
+
–
–
–
Isi nol yang ke-2
–
–
–
+
+
+
–
–
–
Keluarkan yang ke-2
Terlihat bahwa dalam persegi terdapat 6 keping negatif yang mewakili –6. Dengan demikian,
(–2) × (+3) = –6, atau ditulis –2 × 3 = –6.
4. Negatif dengan negatif
(–2) × (–2) = …
Nha, sekarang keping apa yang tertinggal di dalam
persegi? Berapa banyaknya?
Perkalian ini dapat dimaknai, mengeluarkan 2
keping negatif sebanyak 2 kali.
Karena belum ada yang bisa dikeluarkan dari persegi
maka persegi kita isi dulu dengan nol (pasangan
keping positif dan negatif). Perhatikan, karena yang
akan dikeluarkan sebanyak 2 keping maka nol yang
kita isikan berupa 2 pasang keping positif dan
negatif.
Lalu 2 keping negatif kita keluarkan dari persegi.
Ingat bahwa kita akan mengeluarkan 2 keping
negatif sebanyak 2 kali. Karena kita baru
mengeluarkan sekali maka kita perlu mengisi persegi
lagi dengan 2 pasang keping positif dan negatif yang
mewakili bilangan nol.
–
–
–
–
–
–
+
+
Isi nol yang pertama
–
–
+
+
–
–
Keluarkan yang pertama
+
+
+
+
–
–
Isi nol yang ke-2
Terlihat bahwa dalam persegi terdapat 4 keping positif yang mewakili 4. Dengan demikian,
(–2) × (–2) = +4, atau ditulis –2 × (–2) = 4.
Dengan mencoba berbagai contoh yang lain, kemudian disimpulkan:
Dari keempat contoh di atas diperoleh,
2 × 3 = 6 (perkalian bilangan positif dengan bilangan positif menghasilkan bilangan positif)
2 × (–3) = –6 (perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif)
–2 × 3 = –6 (perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif menghasilkan bilangan negatif)
–2 × (–2) = 4 (perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan positif)
B. Pembagian
Kesepakatan:
• Yang dibagi adalah keping akhir yang diinginkan
• Pembagi , adalah keping yang dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan)
Kemudian kita keluarkan lagi 2 keping negatif.
Coba lihat, sekarang keping apa yang tertinggal di
dalam persegi? Berapa banyaknya?
+
+
+
+
–
–
Keluarkan yang ke-2
+
+
+
+
• Hasil bagi , menunjukkan banyaknya kegiatan memindah (memasukkan atau mengeluarkan)
keping ke/dari persegi sehingga dalam persegi terdapat keping seperti yang diinginkan.
Hasil bagi positif menunjukkan kita memasukkan keping ke dalam persegi
Hasil bagi negatif menunjukkan kita mengeluarkan keping dari persegi
1. Positif dengan positif
(+4) : (+2) = …
2. Positif dengan negatif
(+4) : (–2) = …
Berdasarkan kesepakatan pembagian ini dapat
dimaknai berapa kali harus memasukkan atau
mengeluarkan 2 keping positif sehingga di dalam
persegi terdapat 4 keping positif?
Karena yang harus dipindahkan (dimasukkan atau
dikeluarkan) adalah keping positif dan yang
diinginkan di dalam persegi nantinya adalah keping
positif juga maka yang harus kita lakukan adalah
memasukkan keping positif.
Pertama kita masukkan 2 keping positif, ternyata
belum mencukupi yang diinginkan, sehingga kita
perlu memasukkan 2 keping positif lagi. Sekarang di
dalam persegi sudah terdapat 4 keping positif,
sesuai yang diinginkan, berarti kita memasukkan 2
keping positif sebanyak 2 kali. Dengan demikian
(+4) : (+2) = (+2) atau ditulis 4 : 2 = 2.
Operasi pembagian ini dapat dimaknai berapa kali
harus memasukkan atau mengeluarkan 2 keping
negatif sehingga di dalam persegi terdapat 4 keping
positif.
Perhatikan bahwa keping yang diinginkan di dalam
persegi nantinya adalah keping positif, sedangkan
yang harus dipindahkan (dimasukkan atau
dikeluarkan) adalah keping negatif. Jika yang akan
kita lakukan adalah memasukkan keping negatif
jelas hasilnya nanti tidak sesuai dengan yang
diinginkan. Jika yang akan kita lakukan adalah
mengeluarkan keping negatif, tentu saja tidak bisa
karena persegi masih kosong.
Memasukkan yang
pertama
Memasukkan yang
kedua
+
+
+
+
Memasukkan yang
pertama
+
+
–
–
Kemudian keluarkan 2 keping negatif dari persegi.
Perhatikan apakah banyaknya keping positif yang
tertinggal dalam persegi sudah sesuai yang
dikehendaki?
Karena yang diinginkan adalah 4 keping positif, maka
kita harus mengulangi lagi mengisi persegi dengan
nol (2 pasang keping positif dan negatif).
Kemudian 2 keping negatif kita keluarkan untuk
yang kedua kalinya.
Perhatikan keping di dalam persegi, sudah sesuai
dengan yang diinginkan bukan?
Untuk itu sebelumnya kita perlu mengisi persegi
dulu dengan nol yang berupa 2 pasang keping positif
dan negatif. Mengapa 2 pasang? Banyaknya
pasangan nol ini disesuaikan dengan banyaknya
keping yang akan kita pindahkan.
mengeluarkan yang
pertama
+
+
–
–
Memasukkankan yang
kedua
+
+
+
+
–
–
+
+
+
+
–
–
mengeluarkan yang kedua
+
+
+
+
Jadi untuk mendapatkan 4 keping positif di dalam persegi kita perlu mengeluarkan 2 keping negatif
sebanyak 2 kali. Mengeluarkan atau mengambil sebanyak 2 kali ini diwakili oleh bilangan –2 yang
tidak lain adalah hasil bagi dari 4 dibagi –2. Dengan demikian diperoleh,
(+4) : (–2) =(–2), atau ditulis 4 : (–2) = –2.
3. Negatif dengan positif
(–4 ): (+2) = …
Operasi pembagian ini dapat dimaknai berapa kali
harus memasukkan atau mengeluarkan 2 keping
positif sehingga di dalam persegi terdapat 4 keping
negatif.
Pembagian ini sejenis dengan pembagian bilangan
positif dengan bilangan negatif. Perhatikan bahwa
keping yang diinginkan di dalam persegi nantinya
adalah keping negatif, sedangkan yang harus
dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan) adalah
keping positif. Jika yang akan kita lakukan adalah
memasukkan keping positif jelas hasilnya nanti tidak
sesuai dengan yang diinginkan. Kita juga tidak bisa
mengeluarkan keping positif, karena persegi masih
kosong.
Kemudian keluarkan 2 keping positif dari persegi.
Perhatikan apakah banyaknya keping negatif yang
tertinggal dalam persegi sudah sesuai yang
dikehendaki?
Untuk itu sebelumnya kita perlu mengisi persegi
dulu dengan nol yang berupa 2 pasang keping positif
dan negatif. Mengapa 2 pasang? Banyaknya
pasangan nol ini disesuaikan dengan banyaknya
keping yang akan kita pindahkan.
Memasukkan yang
pertama
+
+
–
–
Keluarkan yang pertama
+
+
–
–
Jadi untuk mendapatkan 4 keping negatif di dalam persegi kita perlu mengeluarkan atau
mengambil 2 keping positif sebanyak 2 kali. Mengeluarkan atau mengambil sebanyak 2 kali ini
diwakili oleh bilangan –2 yang tidak lain adalah hasil bagi dari –4 dibagi +2. Dengan demikian
diperoleh,
(–4) : (+2) =(–2), atau ditulis –4 : 2 = –2.
4. Negatif dengan negatif
(–4) : (–2) = …
Karena yang diinginkan adalah 4 keping negatif,
maka kita harus mengulangi lagi mengisi persegi
dengan nol (2 pasang keping positif dan negatif).
Kemudian 2 keping positif kita keluarkan untuk
yang kedua kali.
Nah, sekarang keping yang ada di dalam persegi
sudah sesuai dengan yang diinginkan, yaitu 4 keping
negatif.
Berdasarkan kesepakatan, pembagian ini dapat
dimaknai berapa kali harus memasukkan atau
mengeluarkan 2 keping negatif sehingga di dalam
persegi terdapat 4 keping negatif.
Memasukkan yang kedua
–
–
+
+
–
–
–
–
+
+
–
–
Mengeluarkan yang kedua
–
–
–
–
Dari keempat contoh pembagian di atas diperoleh,
4 : 2 = 2 (pembagian bilangan positif dengan bialngan positif menghasilkan bilangan positif)
4 : (–2) = –2 (pembagian bilangan positif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif)
(–4) : 2 = –2 (pembagian bilangan negatif dengan bilangan positif menghasilkan bilangan negatif)
(–4) : (–2) = 2 (pembagian bilangan negatif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan positif)
Silakan pembaca mencoba untuk bilangan bulat yang lain, kemudian silakan cara ini dicobakan ketika
pembelajaran di kelas.
Sumber:
[1] http://www.youtube.com/watch?v=gDtfzVr-Raw, diakses anggal 28 Januari 2013
[2] http://www.youtube.com/watch?v=_ei6xHqWYjs, diakses anggal 28 Januari 2013
Karena yang harus dipindahkan (dimasukkan atau
dikeluarkan) adalah keping negatif dan yang
diinginkan di dalam persegi nantinya adalah keping
negatif juga maka yang harus kita lakukan adalah
memasukkan keping negatif.
Pertama kita masukkan 2 keping negatif, ternyata
belum mencukupi yang diinginkan, sehingga kita
perlu memasukkan 2 keping negatif lagi. Sekarang di
dalam persegi sudah terdapat 4 keping negatif,
sesuai yang diinginkan, berarti kita memasukkan 2
keping negatif sebanyak 2 kali. Dengan demikian,
(–4) : (–2) = (+2) atau ditulis –4 : (–2) = 2.
Memasukkan yang
pertama
Memasukkan yang
kedua
–
–
–
–
