Download - Mekanika Fluida After Mid
PERSAMAAN GERAKPERSAMAAN GERAK
Integrasi persamaan Euler untuk aliran non rotasi Integrasi persamaan Euler untuk aliran non rotasi yang tidak dapat mampat yang tidak dapat mampat menghasilkan persamaan menghasilkan persamaan Bernoulli.Bernoulli.
Persamaan ini menghubungkan kecepatan, tekanan Persamaan ini menghubungkan kecepatan, tekanan dan perubahan ketinggian dalam fluida yang tidak dan perubahan ketinggian dalam fluida yang tidak viscous.viscous.
Persamaan Bernoulli sering digunakan untuk aliran Persamaan Bernoulli sering digunakan untuk aliran berdimensi satu yang pengaruh viscositasnya dapat berdimensi satu yang pengaruh viscositasnya dapat diabaikan.diabaikan.
t
V
s
zg
t
p
s
VV
1
Dalam pembahasan ini akan dikembangkan Dalam pembahasan ini akan dikembangkan persamaan-persamaan untuk fluida tidak persamaan-persamaan untuk fluida tidak viscous, baik untuk koordinat natural viscous, baik untuk koordinat natural ((streamlinestreamline) maupun dalam koordinat ) maupun dalam koordinat Cartesius.Cartesius.
Persamaan Bernoulli untuk aliran tidak dapat Persamaan Bernoulli untuk aliran tidak dapat
mampat sering disebut persamaan energi mampat sering disebut persamaan energi mechanic karena kemiripannya dengan mechanic karena kemiripannya dengan persamaan energi aliran persamaan energi aliran steadysteady yang yang diperoleh dari hukum pertama termodinamika diperoleh dari hukum pertama termodinamika untuk fluida tidak viscous tanpa perpindahan untuk fluida tidak viscous tanpa perpindahan panas dan tanpa usaha dari luar.panas dan tanpa usaha dari luar.
Gaya-gaya yang bekerja pada suatu elemen fluida Gaya-gaya yang bekerja pada suatu elemen fluida secara umum ada dua macam, yaitu secara umum ada dua macam, yaitu body forcebody force dan dan gaya-gaya permukaan (gaya-gaya permukaan (surface forcesurface force).).
Body force Body force adalah gaya-gaya yang bekerja pada adalah gaya-gaya yang bekerja pada
volume atau massa elemen fluida; yang meliputi: volume atau massa elemen fluida; yang meliputi: gaya gravitasi dan gaya pada fluida penghantar gaya gravitasi dan gaya pada fluida penghantar dalam sebuah medan magnit. dalam sebuah medan magnit.
Gaya-gaya permukaan meliputi baik gaya-gaya Gaya-gaya permukaan meliputi baik gaya-gaya
normal maupun tangensial.normal maupun tangensial.
Gaya tangensial umumnya disebabkan oleh Gaya tangensial umumnya disebabkan oleh gerakan viscous, namun mancakup pula gerakan viscous, namun mancakup pula tegangan permukaan bila elemen fluida tegangan permukaan bila elemen fluida mempunyai sebuah permukaan bebas. mempunyai sebuah permukaan bebas.
Untuk fluida tidak viscous, gaya-gaya voscous Untuk fluida tidak viscous, gaya-gaya voscous tidak ada dan gaya-gaya tegangan permukaan tidak ada dan gaya-gaya tegangan permukaan tidak diperhitungkan karena pembicaraan ini tidak diperhitungkan karena pembicaraan ini tidak mencakup permukaan bebas.tidak mencakup permukaan bebas.
Gaya-gaya permukaan pada fluida tidak viscous Gaya-gaya permukaan pada fluida tidak viscous yang terdapat dalam suatu fluida adalah gaya- yang terdapat dalam suatu fluida adalah gaya-gaya normal yang disebabkan oleh tekanan.gaya normal yang disebabkan oleh tekanan.
Tekanan adalah besaran skalar sehingga tidak Tekanan adalah besaran skalar sehingga tidak tergantung pada arah; Oleh sebab itu px = py = tergantung pada arah; Oleh sebab itu px = py = pz.pz.
Pembahasan tentang gerakan fluida tidak Pembahasan tentang gerakan fluida tidak
viscous rasanya janggal karena semua fluida viscous rasanya janggal karena semua fluida mempunyai viscositas. mempunyai viscositas.
Namun demikian perlu dipahami bahwa pada Namun demikian perlu dipahami bahwa pada kebanyakan aliran memang pengaruh viscositas kebanyakan aliran memang pengaruh viscositas dapat diabaikandapat diabaikan
Jika kecepatan (V) sebuah partikel fluida Jika kecepatan (V) sebuah partikel fluida merupakan fungsi terhadap letak dan waktu, merupakan fungsi terhadap letak dan waktu, dapat dituliskan V = V(s,t) karena kecepatan dapat dituliskan V = V(s,t) karena kecepatan mempunyai komponen dalam arah (s) yang mempunyai komponen dalam arah (s) yang bersinggungan dengan garis arus.bersinggungan dengan garis arus.
t
V
dt
ds
s
V
dt
Vdt
t
Vds
s
VdV
atau
Karena kecepatan di sepanjang garis arus adalah Karena kecepatan di sepanjang garis arus adalah
V = (ds/dt), percepatan dalam arak itu adalah :V = (ds/dt), percepatan dalam arak itu adalah :
V(dV/ds) : percepatan konveksi atau variasi V(dV/ds) : percepatan konveksi atau variasi kecepatan disepanjang garis aruskecepatan disepanjang garis arus
dV/dt:adalah percepatan lokal atau variasi dV/dt:adalah percepatan lokal atau variasi kecepatan pada sebuah titik terhadap waktu.kecepatan pada sebuah titik terhadap waktu.
t
V
s
VV
dt
dVas
Dari hukum kedua Newton (Dari hukum kedua Newton ( F = ma F = mass) di sepanjang ) di sepanjang garis arus menghasilkan :garis arus menghasilkan :
Karena sin Karena sin = = z/z/s, jika persamaan diatas s, jika persamaan diatas disederhanakan didapat:disederhanakan didapat:
t
V
s
VVsAsAgAs
s
ppAp
sin
t
V
s
zg
t
p
s
VV
1
Untuk fluida steady (Untuk fluida steady (V/V/t) = 0), jika persamaan t) = 0), jika persamaan diatas diintegrasikan sepanjang garis arus untuk diatas diintegrasikan sepanjang garis arus untuk kerapatan konstan akan didapatkan:kerapatan konstan akan didapatkan:
Suku-suku dalam persamaan diatas diekspresikan Suku-suku dalam persamaan diatas diekspresikan dalam energi per satuan massa yang besarnya dalam energi per satuan massa yang besarnya konstan di sepanjang garis arus aliran tidak viscous konstan di sepanjang garis arus aliran tidak viscous yang tidak dapat mampat dan yang tidak dapat mampat dan steadysteady. .
) ( 2
2arusgarissepanjangditetapangz
pV
Persamaan tersebut jika dikalikan dengan Persamaan tersebut jika dikalikan dengan didapat: didapat:
I II III I II III I II IIII II III
II : tekanan dinamik: tekanan dinamik
IIII : tekanan statik: tekanan statik
IIIIII : tekanan potensial: tekanan potensial
Dalam persamaan ini energi per satuan volume fluida Dalam persamaan ini energi per satuan volume fluida tetap di sepanjang garis arus aliran. tetap di sepanjang garis arus aliran.
tan 22 22
22
11
21 konstotaltekanangzp
Vgzp
V
Jika persamaan tersebut dibagi dengan g akan Jika persamaan tersebut dibagi dengan g akan didapatkan :didapatkan :
I II III I II IIII II III I II III
II : head kecepatan: head kecepatan
IIII : head tekanan: head tekanan
IIIIII : head potensial: head potensial Persamaan-persamaan inilah yang disebut persamaan Persamaan-persamaan inilah yang disebut persamaan
bernoullibernoulli
tan 2
2
2
2 2
2
11
21 konstotalheadz
g
p
g
Vz
g
p
g
V
ContohContoh
Sebuah alat pengukur kecepatan sederhana (tabung Sebuah alat pengukur kecepatan sederhana (tabung pitot) digunakan untuk mengukur kecepatan lokal dalam pitot) digunakan untuk mengukur kecepatan lokal dalam suatu aliran. Jika tinggi air dalam tabung pitot 0.5 inci di suatu aliran. Jika tinggi air dalam tabung pitot 0.5 inci di atas tinggi permukaan air bebas, berapakah kecepatan atas tinggi permukaan air bebas, berapakah kecepatan air disitu?air disitu?
PenyelesaianPenyelesaian
Untuk menyelesaiakan persoalan ini digunakan Untuk menyelesaiakan persoalan ini digunakan Persamaan Bernoulli. Persamaan Bernoulli.
Fluida dalam tabung pitot tidak bergerag sehingga Fluida dalam tabung pitot tidak bergerag sehingga kecepatan pada titik 2 = 0. kecepatan pada titik 2 = 0.
Harga tekanan lokal diperoleh menggunakan prinsip Harga tekanan lokal diperoleh menggunakan prinsip hidrolika dalam arus bebas untuk titik 1 dan dalam hidrolika dalam arus bebas untuk titik 1 dan dalam tabung pitot untuk titik 2. Dengan ztabung pitot untuk titik 2. Dengan z11 = z = z22..
012
5.0
222
22
2
21
21
1
Lg
Vp
VgL
Vp
sftV / 64.112
5.0)2.32(2
1
Soal 1Soal 1
Suatu pipa saluran air mengalami penyempitan secara Suatu pipa saluran air mengalami penyempitan secara bertahap dari diameter 4 in hingga 2 in. Perbedaan bertahap dari diameter 4 in hingga 2 in. Perbedaan tekanan dalam pipa itu adalah 53 psi. Berapakah laju tekanan dalam pipa itu adalah 53 psi. Berapakah laju aliran yang melewati pipa tersebut jika diandaikan aliran aliran yang melewati pipa tersebut jika diandaikan aliran itu tanpa gesekan?itu tanpa gesekan?
4” 2”
1
2
V1 V2
PenyelesaianPenyelesaian
Gunakan pers kontinuitas dan pers BernoulliGunakan pers kontinuitas dan pers Bernoulli
VV11 A A11 = V = V22 A A22
2
22
1
21
22p
Vp
V
sftxx
AA
pV /6,91
42194,1
144532
/1
242
12
12
scuftxxAVQ /212
2
4
14,36,9122
2
Soal 2Soal 2
Sebuah pipa saluran air dengan luas penampang 240 Sebuah pipa saluran air dengan luas penampang 240 cmcm22, 480 cm, 480 cm22 dan 960 cm dan 960 cm22 disambung secara seri disambung secara seri dengan posisi horizontal (lihat Gambar). Perbedaan dengan posisi horizontal (lihat Gambar). Perbedaan tekanan yang terukur pada pipa pertama dan pipa tekanan yang terukur pada pipa pertama dan pipa ketiga sebesar 25 ketiga sebesar 25 kkPa. Berapakah laju aliran air dalam Pa. Berapakah laju aliran air dalam pipa tersebut jika diandaikan aliran itu tanpa gesekan?pipa tersebut jika diandaikan aliran itu tanpa gesekan?
PERSAMAAN ENERGIPERSAMAAN ENERGI
Bentuk umum pesamaan energiBentuk umum pesamaan energi
Kandungan energi terdiri dari energi kinetik, energi Kandungan energi terdiri dari energi kinetik, energi perpindahan dan energi dalam (∑ keduanya disebut perpindahan dan energi dalam (∑ keduanya disebut entalpi) serta energi potensial per satuan massa.entalpi) serta energi potensial per satuan massa.
...vdsepepdvt
WQcontrol volume kontrolperubahan
Untuk aliran Steady suku pertama ruas kanan = 0, Untuk aliran Steady suku pertama ruas kanan = 0, jadi persamaan energi aliran steady boleh dituliskan jadi persamaan energi aliran steady boleh dituliskan untuk volume kontrol sebagai berikut :untuk volume kontrol sebagai berikut :
Panas dipindahkan = ∆ (energi kinetik) + ∆ (energi Panas dipindahkan = ∆ (energi kinetik) + ∆ (energi perpindahan) + ∆ (Energi perpindahan) + ∆ (Energi potensial) + ∆ (energi dalam) + potensial) + ∆ (energi dalam) + usaha yang dilakukan oleh fluidausaha yang dilakukan oleh fluida.. Suku usaha persamaan I terdiri dari :Suku usaha persamaan I terdiri dari :1.1. Energi aliran/energi perpindahanEnergi aliran/energi perpindahan2.2. Panas yang dipindahkan dan energi dalam dianggap Panas yang dipindahkan dan energi dalam dianggap
sebagai energi thermal.sebagai energi thermal.3.3. Suku-suku yang lain dianggap sebagai perwujudan Suku-suku yang lain dianggap sebagai perwujudan
energi mekanik.energi mekanik.
Energi KinetikEnergi Kinetik
Energi kinetik suatu massa (m) yang bergerak Energi kinetik suatu massa (m) yang bergerak dengan kecepatan (v) = mvdengan kecepatan (v) = mv22/2./2.
Bisa dinyatakan dalam energi kinetik/satuan massa = Bisa dinyatakan dalam energi kinetik/satuan massa = VV22/2. /2.
Untuk fluida yang melalui suatu potongan dengan Untuk fluida yang melalui suatu potongan dengan kecepatan tidak seragam (dimensi 2 atau 3) energi kecepatan tidak seragam (dimensi 2 atau 3) energi kinetik selalu lebih besar dibandingkan dengan yang kinetik selalu lebih besar dibandingkan dengan yang dihitung dengan kecepatan rata-rata.dihitung dengan kecepatan rata-rata.
Faktor koreksi energi kinetik Faktor koreksi energi kinetik (α)(α)
Persamaan :Persamaan :
n = Banyak pertambahan luas yang sama untuk n = Banyak pertambahan luas yang sama untuk membentuk total luas Amembentuk total luas A
Untuk aliran 1 dimensi Untuk aliran 1 dimensi α = 1 α = 1 Untuk aliran lainnya dalam pipa bundar Untuk aliran lainnya dalam pipa bundar α = 2 α = 2 Untuk aliran turbulen Untuk aliran turbulen α α 1,06 1,06
ni
1
3l3
unV
1α
Contoh :Contoh :
Kecepatan yang diukur pada setiap pertambahan luas Kecepatan yang diukur pada setiap pertambahan luas yang sama (r/R (2 di ujung sebuah kelir ruangan yang yang sama (r/R (2 di ujung sebuah kelir ruangan yang mengalir dalam terowongan air untuk uji peronggaan mengalir dalam terowongan air untuk uji peronggaan adalah sebagai berikut : 18.2, l6,8, 14.9, 12.75, 10.9, adalah sebagai berikut : 18.2, l6,8, 14.9, 12.75, 10.9, 9.4, 7.9, 6.5, 5.6, 4.5 m/s.9.4, 7.9, 6.5, 5.6, 4.5 m/s.Berapakah kecepatan rata-ratanya?Berapakah kecepatan rata-ratanya?Berapakah faktor koreksi energi kinetik?Berapakah faktor koreksi energi kinetik?
Penyelesaian :Penyelesaian :
V = 10.75 m/sV = 10.75 m/s
555.1
124210
19311
75.1010
5.4...8.62.183
333
l
Energi aliran/enenrgi Energi aliran/enenrgi perpindahanperpindahan
Adalah energi atau usaha yang dibutuhkan dalam Adalah energi atau usaha yang dibutuhkan dalam mendorong suatu massa fluida yang melintasi suatu mendorong suatu massa fluida yang melintasi suatu batas sistem.batas sistem.
Gambar Energi PerpindahanGambar Energi Perpindahan Usaha untuk memindahkan volume dari daerah Usaha untuk memindahkan volume dari daerah
diarsir ke daerah putus-putus adalah gaya kali jarak diarsir ke daerah putus-putus adalah gaya kali jarak perpindahan.perpindahan.
= = PVU/APA
Energi potensialEnergi potensial
Sebuah satuan massa fluida mempunyai Sebuah satuan massa fluida mempunyai Energi potensial yang bergantung pada Energi potensial yang bergantung pada ketinggian diatas suatu datum sembarang ketinggian diatas suatu datum sembarang dimana Z = 0. dimana Z = 0.
Usaha yang dibutuhkan untuk membawanya Usaha yang dibutuhkan untuk membawanya dari datum ke ketinggian tertentu adalah dari datum ke ketinggian tertentu adalah gz/satuan massa.gz/satuan massa.
Energi dalamEnergi dalam
Energi dalam (U/satuan massa) adalah bentuk energi Energi dalam (U/satuan massa) adalah bentuk energi yang tersimpan dalam suatu zat, yang pada yang tersimpan dalam suatu zat, yang pada umumnya fungsi P dan T. Untuk gas ideal fungsi T.umumnya fungsi P dan T. Untuk gas ideal fungsi T.
Gambar Keseimbangan EnergiGambar Keseimbangan Energi
Persamaan energi bila dibagi laju aliran massa Persamaan energi bila dibagi laju aliran massa menghasilkan :menghasilkan :
Untuk kebanyakan penerapan ditetapkan α1 = α2 Untuk kebanyakan penerapan ditetapkan α1 = α2 walaupun kecepatan di perpotongan bagian masuk walaupun kecepatan di perpotongan bagian masuk dan keluar bervariasi.dan keluar bervariasi.
2222
22
21111
21
1UgzVP
2
VαwqUgZVP
2
Vα
A ............ UgzVP2
VwqUgZVP
2
V2222
22
1111
21
Bila dinyatakan dalam entalpi (h = u+pv)Bila dinyatakan dalam entalpi (h = u+pv)
Persamaan A dan B diatas merupakan bentuk Persamaan A dan B diatas merupakan bentuk alternatif persamaan energi yang diharapkan pada alternatif persamaan energi yang diharapkan pada aliran fluida 1 dimensi yang umum.aliran fluida 1 dimensi yang umum.
B...........gzh2
V wqgZh
2
V22
22
11
21
Gas dapat mampatGas dapat mampat
Ingat persamaan gas ideal :Ingat persamaan gas ideal :
Substitusi persamaan diatas dalam persamaan A dan Substitusi persamaan diatas dalam persamaan A dan B menghasilkan suku-suku energi dalam dan entalpi.B menghasilkan suku-suku energi dalam dan entalpi.
Dalam berbagai penerapan suku usaha (w) belum Dalam berbagai penerapan suku usaha (w) belum tentu ada. tentu ada.
Untuk aliran dengan perpindahan panas :Untuk aliran dengan perpindahan panas :
121212V12 TT cphhdan TTCUU
22 22
22
11
21 gzh
Vqgzh
V
Untuk aliran adiabatikUntuk aliran adiabatik
Untuk aliran isotermal, h1 = h2 bila gas Untuk aliran isotermal, h1 = h2 bila gas ideal :ideal :
22
211
21 gzh
z
Vgzh
z
V z
2
21
21 gz
z
Vqgz
z
V z
Contoh :Contoh :
Metana mengalir lewat saluran pipa horizontal Metana mengalir lewat saluran pipa horizontal berisolasi. Efek friksi mengurangi tekanan dan berisolasi. Efek friksi mengurangi tekanan dan kerapatan dalam arah aliran, sehingga kecepatan kerapatan dalam arah aliran, sehingga kecepatan meningkat dari 40 menjadi 400 ft/s.meningkat dari 40 menjadi 400 ft/s.Berapakah perubahan temperaturnya?Berapakah perubahan temperaturnya?
Penyelesaian :Penyelesaian :Dari tabel A2 (Appendik II) CP = 13095 ft lbf/slug Dari tabel A2 (Appendik II) CP = 13095 ft lbf/slug ooRR
terjadi penurunan temperatur sebesar 6,05terjadi penurunan temperatur sebesar 6,05ooRR
RxCP
VVTThh
VV
TTCPhgzhV
gzhV
ozz
z
05,6130952
40040
222
hdan 22
222
21
12122
21
1212222
11
21
Zat cair dan gas kerapatan Zat cair dan gas kerapatan konstankonstan
Penerapan persamaan enegi pada zat cair dan gas Penerapan persamaan enegi pada zat cair dan gas kerapatan konstan biasanya untuk menggantikan kerapatan konstan biasanya untuk menggantikan suku-suku thermal pada persamaan A dan B dengan suku-suku thermal pada persamaan A dan B dengan suku-suku rugi energi mekanik.suku-suku rugi energi mekanik.
hhll = U = U22 – U – U11 – q yang menyatakan besar energi – q yang menyatakan besar energi mekanik yang diubah menjadi energi termal.mekanik yang diubah menjadi energi termal.
Dengan demikian persamaan energi menjadi :Dengan demikian persamaan energi menjadi :
C ...... 22
22
21
12
1l
z
hp
gzV
wgzPV
Perubahan entropi (ds) untuk proses dapat balikPerubahan entropi (ds) untuk proses dapat balik
Untuk proses sembarang, perubahan entropi harus Untuk proses sembarang, perubahan entropi harus lebih besar sama dengan dibandingkan untuk proses lebih besar sama dengan dibandingkan untuk proses dapat balikdapat balik
T
dqdS
0 dqTds
Bentuk differensiasi persamaam Bentuk differensiasi persamaam AA dapat dapat diekspresikandiekspresikan
D .......... 01
2
2
dqdugdzpd
dpVddw
02
Vd dw
Dpersamaan masuk 1
pddupdvduTds
2
dqTdsgdzdp
Sebagai alternatif persamaan energi zat cair sering Sebagai alternatif persamaan energi zat cair sering ditulis dalam bentuk seperti persamaan C dengan ditulis dalam bentuk seperti persamaan C dengan membagi setiap suku dengan percepatan gravitasi membagi setiap suku dengan percepatan gravitasi (g).(g).
Persamaan A yang dinyatakan dalam energi per Persamaan A yang dinyatakan dalam energi per satuan Massa digunakan untuk aliran gas yang dapat satuan Massa digunakan untuk aliran gas yang dapat mampat, sedangkan persamaan E yang dinyatakan mampat, sedangkan persamaan E yang dinyatakan dalam energi per satuan berat digunakan untuk dalam energi per satuan berat digunakan untuk aliran zat cair dan aliran gas kerapatan konstan.aliran zat cair dan aliran gas kerapatan konstan.
E ......... 22 2
22
21
12
1lhZ
P
g
V
g
wZ
P
g
V
Contoh :Contoh :
Minyak mengalir dalam sebuah pipa berdiameter 2 ft Minyak mengalir dalam sebuah pipa berdiameter 2 ft dengan kecepatan rata-rata 5ft/s. Penurunan tekanan dengan kecepatan rata-rata 5ft/s. Penurunan tekanan piezometrik dalam jarak 1.000 ft pipa adalah 1,49 psi, piezometrik dalam jarak 1.000 ft pipa adalah 1,49 psi,
S = 0,86. Berapakah head loss aliran?S = 0,86. Berapakah head loss aliran?
Penyelesaian Penyelesaian ::
Persamaan E dapat diterapkan karena aliran Persamaan E dapat diterapkan karena aliran punya efek Viscous. punya efek Viscous.
Karena dari kondisi kontinuitas kecepatan tidak Karena dari kondisi kontinuitas kecepatan tidak berubah (V1 = V2) dan ∆ (P + berubah (V1 = V2) dan ∆ (P + γγZ) = 1,49 x 144 Z) = 1,49 x 144 = 214 psf.= 214 psf.
hlZP
ZP
2
21
1
ft 486.04.62
214
Z
Phl
Contoh :Contoh :
Untuk sistem seperti dalam gambar, pompa B-C harus Untuk sistem seperti dalam gambar, pompa B-C harus mengalirkan 152 liter/dt minyak (mengalirkan 152 liter/dt minyak (ρρ = 762 kg/m = 762 kg/m33). ). Penurunan energi dari A ke B 2,5 m, sedang dari C ke D Penurunan energi dari A ke B 2,5 m, sedang dari C ke D 7,5 m. Berapa tekanan yang diberikan oleh pompa? 7,5 m. Berapa tekanan yang diberikan oleh pompa?
A+15m
POMPA
D+60m
CB
Ф=30 cm Ф=30 cm
PenyelesaiaPenyelesaian :n :
Gerakan dari A ke D
PA = PD dan VAB = VCD sebab diameternya sama.
head pompa = ZD – ZA + hl
= (60-15) + (2,5 + 7,5) = 55 m = 55 m x 762 kg/m3 x 9,81 m/s2 = 411,1171 KPa
2g
VPZhpompaZ
P
2g
V 2DD
DAA
2A
lhead
Contoh :Contoh :
Dua bak air terbuka dihubungkan dengan pipa 1200 Dua bak air terbuka dihubungkan dengan pipa 1200 m m berdiameter 250 mm. Tinggi permukaan air bak atas berdiameter 250 mm. Tinggi permukaan air bak atas 35 m lebih tinggi dari bak bawah. Laju aliran Steady 0,130 35 m lebih tinggi dari bak bawah. Laju aliran Steady 0,130 mm33/s./s.
Berapakah :Berapakah :Total head loss?Total head loss?Tekanan di titik tengah pipa bila diandaikan separo head Tekanan di titik tengah pipa bila diandaikan separo head
loss terjadi di bagian hulu dan separo terjadi di hilir. loss terjadi di bagian hulu dan separo terjadi di hilir.
Andaikan pula ketinggian Z3 sama dengan permukaan Andaikan pula ketinggian Z3 sama dengan permukaan
air di bak bawah.air di bak bawah.
Penyelesaian :Penyelesaian :
Persamaan EPersamaan E
0 + 0 + 35 = 0 + 0 + 0 + hl0 + 0 + 35 = 0 + 0 + 0 + hl
hl = 35 mhl = 35 m
0 + 0 + 35 =0 + 0 + 35 = 5.1702
32
3
P
g
V
m 0,362g
Vm/s 2,65A
QV23
KPaP 16881,9100036,05.17353
PERSAMAAN GERAK FLUIDA VISCOUSPERSAMAAN GERAK FLUIDA VISCOUS
Untuk fluida dengan viscositas konstan dan aliran dapat Untuk fluida dengan viscositas konstan dan aliran dapat mampat dinyatakan dalam Pers Navier Stokes sebagai mampat dinyatakan dalam Pers Navier Stokes sebagai berikut :berikut :
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
uV
x
p
ρ
1X
z
uW
y
uV
x
uU
t
U
2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
vV
y
p
ρ
1Y
z
VW
y
VV
x
VU
t
V
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
wV
Z
p
ρ
1Z
z
WW
y
WV
x
WU
t
U
Dalam sistem koordinat silinder (r,Dalam sistem koordinat silinder (r,θθ ,z) persamaan ,z) persamaan Novier Stokers menjadiNovier Stokers menjadi
Dimana : Fr, FDimana : Fr, Fθθ, Fz merupakan komponen body , Fz merupakan komponen body force persatuan massa dalam arah yang force persatuan massa dalam arah yang dimaksudkan.dimaksudkan.
z
vθvz
r
θ
θ
vθ
r
vθ
r
vθvr
t
vθ vvr
z
vzvz
θ
vz
r
vθ
r
vzVr
t
vz
z
vrVz
r
vθ
θ
vr
r
vθ
y
VrVr
t
Vr 2 ρFr
z
vr
θ
vθ
r
2
θ
vr
r
1
r
vr
r
vr
r
1
r
vru
r
p2
2
22
2
222
2
ρFθz
vθ
θ
vr
r
2
θ
vθ
r
1
r
vθ
r
vθ
r
1
r
vθ
θ
p2
2
22
2
222
2
ρFzz
vθ
θ
vz
r
1
r
vz
r
1
r
vz
z
p2
2
2
2
22
2
ALIRANALIRAN DALAMDALAM PIPAPIPA BUNDARBUNDAR
PengandaianPengandaian--pengandaianpengandaian yangyang berlakuberlaku Aliran Steady Aliran Steady
Aliran simetrik terhadap sumbuAliran simetrik terhadap sumbu
Aliran sejajar dengan dinding pipa, Vr = 0Aliran sejajar dengan dinding pipa, Vr = 0 Aliran Seragam Aliran Seragam
Gradien tekanan diketahuiGradien tekanan diketahui
0
Rr
0t
0
*Ptetapan z
p
0z
vz
Pipa diandaikan berorientasi terhadap medan Pipa diandaikan berorientasi terhadap medan gravitasi sehingga body force (Z) dinyatakan sebagai gravitasi sehingga body force (Z) dinyatakan sebagai komponen gravitasi g sin θ. Kedua suku dalam komponen gravitasi g sin θ. Kedua suku dalam persamaan Navier-Stokes dalam koordinat silinder persamaan Navier-Stokes dalam koordinat silinder dapat dituliskan sebagai berikut :dapat dituliskan sebagai berikut :
Dengan demikian persamaan menjadi :Dengan demikian persamaan menjadi :
r
vzr
rr
1
r
vz
r
1
r
vz2
2
0r
vzdan 0
r
vzr
rr
ugsinθ*P
Rr vzl
0r
Persamaan tersebut bisa diintegrasikan menjadi :Persamaan tersebut bisa diintegrasikan menjadi :
Kondisi demikian akan membentuk profil kecepatan Kondisi demikian akan membentuk profil kecepatan
parabola dengan kecepatan maksimal pada sumbu parabola dengan kecepatan maksimal pada sumbu utama (persamaan Hagem – Poiseuille).utama (persamaan Hagem – Poiseuille).
Untuk laju aliran dalam pipa dinyatakan dengan Untuk laju aliran dalam pipa dinyatakan dengan
Laju aliran dapat dihitung jika gradien tekanan serta Laju aliran dapat dihitung jika gradien tekanan serta
konisi- konisi- kondisi aliran lain diketahui, begitupula sebaliknya.kondisi aliran lain diketahui, begitupula sebaliknya.
ρgsinθ*P-4
rRVz
22
R0
4ρgsinθ*P-
8
πR πrdr 2Q
V
0
Rr
Contoh :Contoh :
Minyak dengan gravitasi jenis 0,85 dan Minyak dengan gravitasi jenis 0,85 dan viskositas mutlak 0,005 Ns/mviskositas mutlak 0,005 Ns/m22 mengalir turun mengalir turun dengan laju 60 cmdengan laju 60 cm33/s melalui sebuah pipa /s melalui sebuah pipa vertikal berdiameter 2 cm. Berapakah gradien vertikal berdiameter 2 cm. Berapakah gradien tekanan dalam aliran dan bagaimana jika tekanan dalam aliran dan bagaimana jika pipanya horizontal?pipanya horizontal?
Penyelesaian:Penyelesaian:
Pipa vertikal Pipa vertikal Sin Sin θθ = 1 = 1
I III II I : Variasi tekanan hidrostatik I : Variasi tekanan hidrostatik II : Variasi tekanan untuk mengatasi hambatanII : Variasi tekanan untuk mengatasi hambatan
4
4
R
Q8 gsinP* ρgsinθ*P-
8
πRQ
mPa /826376 -83390,01π
6x100,0058-9,81850P*
4
5
Dalam praktek di bidang rekayasa orang Dalam praktek di bidang rekayasa orang biasa mengekspresikan gradien tekanan biasa mengekspresikan gradien tekanan (penurunan tekanan per satuan panjang (penurunan tekanan per satuan panjang pipa) dalam bentuk persamaan Darcy – pipa) dalam bentuk persamaan Darcy – Weisbach :Weisbach :
(I) ..............2
2V
D
f
L
P
Bentuk lain persamaan tersebut bila dinyatakan Bentuk lain persamaan tersebut bila dinyatakan dalam head loss akibat gesekan (hf) adalah :dalam head loss akibat gesekan (hf) adalah :
Dimana :Dimana :
((ρρVV22)/2 )/2 = tekanan dinamik= tekanan dinamik
DD = diameter pipa = diameter pipa
ff = faktor gesekan = faktor gesekan
(II) .............. 2
/ 2
g
V
D
f
L
p
L
ht
f = fungsi kekasaran relatif pipa (K/D) dan angka f = fungsi kekasaran relatif pipa (K/D) dan angka Reynold Reynold
Untuk aliran laminer :Untuk aliran laminer :
III).........(....................Re
64
/
64
dVDf
Untuk aliran turbulen, terdapat beberapa persamaan Untuk aliran turbulen, terdapat beberapa persamaan sebagai hasil penelitian beberapa ahli :sebagai hasil penelitian beberapa ahli :
1.1.Hukum Prandte (untuk pipa halus)Hukum Prandte (untuk pipa halus)
Persamaan ini berlaku hingga ReD = 3.4 x 10Persamaan ini berlaku hingga ReD = 3.4 x 1066
....(IV).............................. 8,0ln869,01
fRf
eD
2.2. Persamaan Blasius (untuk pipa halus)Persamaan Blasius (untuk pipa halus)
Untuk : 4000 ≤ ReD ≤ 100.000Untuk : 4000 ≤ ReD ≤ 100.000
3.3. Persamaan J. Nikuradse (untuk pipa kasar)Persamaan J. Nikuradse (untuk pipa kasar)
......(V)..............................
316,08
412
0
eDRV
f
(VI) .............................
74.12kDln 869.0
12
f
4.4. Persamaan empirik Colebrook dan WhitePersamaan empirik Colebrook dan White
Persamaan ini sama dengan persamaan VI jika RPersamaan ini sama dengan persamaan VI jika ReDeD besar dan menjadi persamaan IV untuk pipa halus.besar dan menjadi persamaan IV untuk pipa halus.
5.5. Persamaan HaalandPersamaan Haaland
(VII)..............................7.182
ln869.074.11
fRD
k
f eD
III)........(V....................7.3
9.6ln782.0
111.1
D
k
Rf eD
Persamaan-pesamaan lain yang belaku Persamaan-pesamaan lain yang belaku untuk aliran turbulen adalah :untuk aliran turbulen adalah :
Persamaan eksplisit dari Colebrook – WhitePersamaan eksplisit dari Colebrook – White
Persamaan Swamee dan JainPersamaan Swamee dan Jain
UntukUntuk
/
784.1
7.3ln965.0 2
LgDhfD
V
D
K
L
gDhfDQ
..
66,0
04.02.5275.4225.1
ghf
QL
Q
V
ghf
QLKD
26-83 10210dan 103103 xD
KxRx eD
Contoh Contoh
Berapakah penurunan tekanan pada jarak 500 ft pada Berapakah penurunan tekanan pada jarak 500 ft pada pipa halus horizontal 4 inchi bila dialiri minyak (pipa halus horizontal 4 inchi bila dialiri minyak (γγ = 58 = 58 lbt/ltlbt/lt33, µ = 0,001 slug/fts) pada kecepatan = 2 ft/s., µ = 0,001 slug/fts) pada kecepatan = 2 ft/s.
Jawab :Jawab :
laminer1200/0.00158/32.223
12/VDR
eD
psi 2psf 288
2
VD
LfΔP0.053364/Rf2
eD
Berapakah laju aliran untuk air pada 15Berapakah laju aliran untuk air pada 15ooC dalam sebuah C dalam sebuah pipa baja komersiil berdiameter 250 mm, bila head loss pipa baja komersiil berdiameter 250 mm, bila head loss dalam jarak 300 m pipa adalah 5 m.dalam jarak 300 m pipa adalah 5 m.
Penyelesaian :Penyelesaian :
Metoda 1 Metoda 1 dari diagram Moody didapatkan dari diagram Moody didapatkan
K = 0.000045 K = 0.000045 kekasaran relatif (K/D) = kekasaran relatif (K/D) = 0,000045/0,250,000045/0,25
k/D = 0,00018 dan f = 0,0133k/D = 0,00018 dan f = 0,0133
Contoh Contoh
Cara lain adalah dengan persamaan Haaland utnuk Cara lain adalah dengan persamaan Haaland utnuk ReD ReD
yang besar (mendekati tak terhingga).yang besar (mendekati tak terhingga).
Maka :Maka :
0135.07.3
00018.0ln782,0
111.1
f
f
m/s 2.483132x9.807x0.V
m 0,3130.0133x300
5x0,25
fL
Dh
2g
V f2
Untuk kecepatan ini, Re=VD/Untuk kecepatan ini, Re=VD/VV = 2.48 x 0.25/1.14 x = 2.48 x 0.25/1.14 x 1010-6-6
ReD = 5.4 x 10ReD = 5.4 x 1055, untuk Re ini , untuk Re ini f = 0.0152 f = 0.0152
atau jika menggunakan persamaan Haaland :atau jika menggunakan persamaan Haaland :
Maka :Maka :
0150.07.3
00018.0
104.5
9.6ln782.0
11.1
5
f
xf
m/s 2.32V0.274f.L
hf.D
2g
V 2
Untuk kecepatan ini Re = 5,1 x 10Untuk kecepatan ini Re = 5,1 x 1055 dan f sekali lagi dan f sekali lagi adalah 0.0152.adalah 0.0152.
Laju aliran = Q = VA = (2.32) (Laju aliran = Q = VA = (2.32) (ππ/64) = 0.114 m/64) = 0.114 m33/s/s
Metoda 2 Metoda 2 persamaan eksplisit persamaan eksplisit
202.0
300
525.081.9
L
gDhl
s
mxQ
362 114.0
202.025.0
1014.1784.1
7.3
00018.0ln202.025.0965.0
Contoh :Contoh :
Air harus mengalir dengan laju 91 l/s Air harus mengalir dengan laju 91 l/s menempuh jarak 500 m dalam sebuah pipa menempuh jarak 500 m dalam sebuah pipa baja komersial horizontal dengan baja komersial horizontal dengan penurunan tekanan tidak melebihi 825 KPa. penurunan tekanan tidak melebihi 825 KPa. Berapakah ukuran minimal pipa yang akan Berapakah ukuran minimal pipa yang akan digunakan?digunakan?
Uk = 10Uk = 10-6-6 m m22/s/s
PenyelesaianPenyelesaian
Metoda 1. Metoda 1.
Misalkan f1 = 0.020Misalkan f1 = 0.020
Dari persamaan I Dari persamaan I 222 2//2// AQDfLVxDfLp
m 0.152825000π
0.09110005000.0208D
Δpπ
Q8fLD4/πD
1/5
2
2
51
2
22
A
selanjutnya, V = Q/A = (0.091)/(selanjutnya, V = Q/A = (0.091)/(ππ/4) (0.152)2 = 5.01 m/s/4) (0.152)2 = 5.01 m/s
Dari gambar Moody Dari gambar Moody f = 0.0158, kemudian dari f = 0.0158, kemudian dari ekspresi di atas D = 0.145 m: ekspresi di atas D = 0.145 m: ReD = 7.6 x 10 ReD = 7.6 x 1055,tapi K/D ,tapi K/D = 0.000045/0.145 = 0.00031 dan f = 0.0158= 0.000045/0.145 = 0.00031 dan f = 0.0158
D = 145 mmD = 145 mm
5
6106.7
10
152.001.5x
x
V
VDReD
00030.0152.0
000045.0
D
K
Metoda 2.Metoda 2.
Bila menggunakan rumus eksplisit untuk diameterBila menggunakan rumus eksplisit untuk diameter
D = 0.146 m = 146 mmD = 0.146 m = 146 mm
00502.0
9810/1025.881.9
091.0500
/81.9
091.05005
222
xpghf
LQ
091.0
00502.01000502.0000045.066.0
2.5675.425.1D
SAMBUNGAN PIPASAMBUNGAN PIPA
Pipa-pipa dipasang seriPipa-pipa dipasang seri
Jika dua buah pipa atau lebih dipasang seri, semua pipa Jika dua buah pipa atau lebih dipasang seri, semua pipa akan dilewati oleh aliran yang sama. Jika setiap pipa akan dilewati oleh aliran yang sama. Jika setiap pipa diberi nama dengan subscrip bilangan bulat (1,2,3 dan diberi nama dengan subscrip bilangan bulat (1,2,3 dan seterusnya), total rugi head pada seluruh sistem adalah seterusnya), total rugi head pada seluruh sistem adalah jumlah rugi-rugi pada setiap pipa dan perlengkapan jumlah rugi-rugi pada setiap pipa dan perlengkapan pipa :pipa :
QQ00 = Q = Q11 = Q = Q22 = Q = Q33 = …. = …. (XIa)(XIa)
AtauAtau
QQ00 = A = A11VV11 = A = A22VV22 = A = A33VV33 = …. = …. (XIb)(XIb)
Jika hf adalah rugi head untuk perlengkapan pipa dan Jika hf adalah rugi head untuk perlengkapan pipa dan katup :katup :
Kontraksi/PenyempitanKontraksi/Penyempitan
KKll =Koefisien loss (didapat dari percobaan) =Koefisien loss (didapat dari percobaan)
(XII) ...321 hfhfhfhL
g
VKhll 2
22
Pipa-pipa dipasang pararelPipa-pipa dipasang pararelJika dua buah pipa atau lebih dipasang pararel, total Jika dua buah pipa atau lebih dipasang pararel, total laju aliran merupakan jumlah laju aliran yang melalui laju aliran merupakan jumlah laju aliran yang melalui setiap cabang dan rugi head pada sebuah cabang sama setiap cabang dan rugi head pada sebuah cabang sama dengan pada yang lain :dengan pada yang lain :
QQ00 = Q = Q11 + Q + Q22 + Q + Q33 + Q + Qnn …. …. (XIIIa)(XIIIa)
AtauAtau
QQ00 = A = A11VV11 + A + A22VV22 + A + A33VV33 + Q + Qnn …. …. (XIIIb)(XIIIb)
Dan Dan
hhl1l1 = h = hl2l2 = h = hl3l3 = …………….. (XIV) = …………….. (XIV)
Rugi head pada setiap cabang dianggap sepenuhnya Rugi head pada setiap cabang dianggap sepenuhnya terjadi akibat gesekan dan rugi akibat katup serta terjadi akibat gesekan dan rugi akibat katup serta perlengkapan pipa; sehingga persamaan XIV dapat perlengkapan pipa; sehingga persamaan XIV dapat diekspresikan sebagai berikut :diekspresikan sebagai berikut :
g
VK
D
Lf
g
VK
D
Lf
g
VK
D
Lf
LLL 222
23
33
33
22
22
22
21
11
11
22/
11/
2
1
2
1
1
2
KLDL
KLDL
f
f
V
V
Sehingga persamaan XIII dapat ditulis :Sehingga persamaan XIII dapat ditulis :
QQ00 = V = V11AA11 + (V + (V22/V/V11) V) V11AA22 + (V + (V33/V/V11)V)V11AA33 + ........ + ........
Contoh :Contoh :
Sebuah pipa baja komersial baru berdiameter 200 Sebuah pipa baja komersial baru berdiameter 200 mm dan panjang 1000 m dipasang paralel mm dan panjang 1000 m dipasang paralel dengan pipa serupa berdiameter 300 mm dengan dengan pipa serupa berdiameter 300 mm dengan panjang 3000 m. Total laju aliran dalam kedua panjang 3000 m. Total laju aliran dalam kedua pipa itu adalah 0.20 mpipa itu adalah 0.20 m33/s. Berapa rugi head /s. Berapa rugi head melalui sistem tersebut diandaikan air yang melalui sistem tersebut diandaikan air yang mengalir bersuhu 20mengalir bersuhu 20ooC (μk = 10C (μk = 10-6-6 m m22/s)/s)
PenyelesaianPenyelesaian
Kekasaran relatif pipa berturut turut adalah 0.000225 Kekasaran relatif pipa berturut turut adalah 0.000225 dan 0.00015. Pada angka Reynold yang besar faktor dan 0.00015. Pada angka Reynold yang besar faktor gesekan : 0.014 dan 0.013 (harga pendekatan), gesekan : 0.014 dan 0.013 (harga pendekatan), kemudian perhitungan selanjutnya dilakukan secara kemudian perhitungan selanjutnya dilakukan secara iterasi :iterasi :
Luas pipa adalah : 0.0314 dan 0.0707Luas pipa adalah : 0.0314 dan 0.0707
Dari persamaan kontinuitas : Q = ADari persamaan kontinuitas : Q = A11VV11+A+A22VV22 atau atau
0.2 = 0.0314 V0.2 = 0.0314 V11 + (0.734 V + (0.734 V11) (0.0707) ) (0.0707) V V11 = 2.40 m/s = 2.40 m/s
Dan VDan V22 = 1.76 m/s = 1.76 m/s
734.02.0
3.0
3000
1000
013.0
014.0
22/
11/
2
1
2
1
1
2
KLDL
KLDL
f
f
V
V
Minyak dengan S = 0,85 mengalir melalui jaringan Minyak dengan S = 0,85 mengalir melalui jaringan pipa seperti pada gambar. Besarnya tekanan di B pipa seperti pada gambar. Besarnya tekanan di B sebesar 51 psi dan di F sebesar 31 psi. Faktor sebesar 51 psi dan di F sebesar 31 psi. Faktor gesekan untuk semua pipa adalah 0,03 dan loss gesekan untuk semua pipa adalah 0,03 dan loss hanya terjadi akibat gesekan antara fluida dengan hanya terjadi akibat gesekan antara fluida dengan dinding pipa Berapa laju alir dalam pipa utama jika dinding pipa Berapa laju alir dalam pipa utama jika semua pipa terletak dalam satu bidangsemua pipa terletak dalam satu bidang
A B
C
D
E
F G
11,8 x 103 ft, d=11,81 in
3,9 x 103 ft, d=7,87 in
7,9 x 103 ft, d=9,85 in
ANGKA-ANGKA TANPA DIMENSIANGKA-ANGKA TANPA DIMENSI
Dalam mekanika fluida, kita perlu menyajikan Dalam mekanika fluida, kita perlu menyajikan hasil-hasil penelitian secara eksperimen. Bila hasil-hasil penelitian secara eksperimen. Bila kita menyajikan informasi ini dalam bentuk kita menyajikan informasi ini dalam bentuk tanpa dimensi, maka hasil tersebut dapat tanpa dimensi, maka hasil tersebut dapat digunakan dalam penerapan lain dengan fluida digunakan dalam penerapan lain dengan fluida berbeda, ukuran berbeda dan sebagainya.berbeda, ukuran berbeda dan sebagainya.
Analisa dimensi terhadap sistem Analisa dimensi terhadap sistem fluidafluida
Dalam system fisika, variable yang menerangkan Dalam system fisika, variable yang menerangkan
fenoma aliran dasar seperti tekanan, percepatan dan fenoma aliran dasar seperti tekanan, percepatan dan
kecepatan dianggap sebagai kombinasi dimensi-kecepatan dianggap sebagai kombinasi dimensi-dimensi dimensi
dasar seperti massa, panjang dan waktu. dasar seperti massa, panjang dan waktu.
Kita sering mengukur dimensi dasar dengan berbagai Kita sering mengukur dimensi dasar dengan berbagai
system satuan seperti kg, m, dt dan sebagainya. system satuan seperti kg, m, dt dan sebagainya.
Contoh dimensi-dimensi dasar yang lain adalah Contoh dimensi-dimensi dasar yang lain adalah
temperature, muatan listrik, intensitas cahaya, kuat temperature, muatan listrik, intensitas cahaya, kuat
muatan magnit dan sebagainya.muatan magnit dan sebagainya.
Kesepakatan yang sudah diambil dalam mendefinisikan Kesepakatan yang sudah diambil dalam mendefinisikan
dimensi-dimensi dasar telah menetapkan gaya atau dimensi-dimensi dasar telah menetapkan gaya atau
massa sebagai dimensi dasar. massa sebagai dimensi dasar.
Dengan demikian kita mempunyai dua system dimensi Dengan demikian kita mempunyai dua system dimensi
yaitu massa-panjang-waktu (MLT) dan gaya-panjang-yaitu massa-panjang-waktu (MLT) dan gaya-panjang-
waktu (FLT) yang saling berhubungan.waktu (FLT) yang saling berhubungan.
F = Ma = ML/TF = Ma = ML/T22 dan M = FT dan M = FT22/L/L
Contoh dimensi-dimensi sejumlah variable yang Contoh dimensi-dimensi sejumlah variable yang lazim digunakan dalam mekanika fluida antara lain:lazim digunakan dalam mekanika fluida antara lain:
Sistem dimensi FLT MLT
Panjang, diameter, tinggi L L
Luas L2 L2
Massa FT2/L M
Kerapatan FT2/L4 M/L3
Berat jenis F/L3 M/L2T2
Sebagai contoh penggunaan analisa dimensi adalah Sebagai contoh penggunaan analisa dimensi adalah
theorema (pi) atau theorema Buckingham theorema (pi) atau theorema Buckingham
Misalnya kita ingin menganalisa aliran fluida tak dapat Misalnya kita ingin menganalisa aliran fluida tak dapat
mampat dalam suatu pipa bundar.mampat dalam suatu pipa bundar.
Penurunan tekanan per satuan panjang pipa (∆P/L) Penurunan tekanan per satuan panjang pipa (∆P/L)
tergantung pada diameter pipa (D), kekasaran tergantung pada diameter pipa (D), kekasaran
pipa/tinggi afektif unsur kekasaran pipa (K), kecepatan pipa/tinggi afektif unsur kekasaran pipa (K), kecepatan
aliran rata-rata (V), kerapatan fluida (ρ) dan viscositas aliran rata-rata (V), kerapatan fluida (ρ) dan viscositas
fluida (µ). fluida (µ).
Hubungan ini dapat dituliskan sebagai berikut :Hubungan ini dapat dituliskan sebagai berikut :
Menurut system FLT, penulisan dimensi-dimensi Menurut system FLT, penulisan dimensi-dimensi
tersebut adalahtersebut adalah
),,,,( VkDfL
P
24
2
3,
.,,,
L
FT
L
TF
T
LLLf
L
F
Dalam contoh tersebut terdapat n = 6 buah besaran Dalam contoh tersebut terdapat n = 6 buah besaran
dan m = 3 dimensi dasar (F,L,T).dan m = 3 dimensi dasar (F,L,T). Theorema π menyatakan adanya n – m (dalam hal ini Theorema π menyatakan adanya n – m (dalam hal ini
ada 3) buah gugs himpunan tanpa dimensi yang bebas ada 3) buah gugs himpunan tanpa dimensi yang bebas
dalam analisa dimensi. dalam analisa dimensi. Gugus-gugus bebas ini akan ditulis sebagai, Gugus-gugus bebas ini akan ditulis sebagai, ππ11, , ππ22, , , ,
ππn-mn-m. . Masing-masing dari ketiga gugus (n – m = 3) paling Masing-masing dari ketiga gugus (n – m = 3) paling
banyak akan terdiri dari m (dalam hal ini 3) besaran banyak akan terdiri dari m (dalam hal ini 3) besaran
yang sama dan ini disebut variable berulang.yang sama dan ini disebut variable berulang.
Tiga buah atauran umum untuk memilih Tiga buah atauran umum untuk memilih variable berulangvariable berulang
1.1. Dalam analisa dimensi terhadap suatu system Dalam analisa dimensi terhadap suatu system fluida, variable berulang harus meliputi fluida, variable berulang harus meliputi keseluruhan dari m dimensi dasarnya. Walaupun keseluruhan dari m dimensi dasarnya. Walaupun bukan persyaratan mutlak, kerapatan massa, bukan persyaratan mutlak, kerapatan massa, sebuah kecepatak karakteristik dan sebuah sebuah kecepatak karakteristik dan sebuah panjang karakteristik harus dipilih sebagai panjang karakteristik harus dipilih sebagai variable berulang agar dapat menghasilkan variable berulang agar dapat menghasilkan gugus-gugus tanpa dimensi yang sama.gugus-gugus tanpa dimensi yang sama.
2.2. Untuk system fluida, gugus-gugus paling Untuk system fluida, gugus-gugus paling bermakna akan terjadi bila variable-variabel bermakna akan terjadi bila variable-variabel berulang dipilih sedemikian rupa sehingga berulang dipilih sedemikian rupa sehingga salah satunya mewakili karakteristik geometri salah satunya mewakili karakteristik geometri sebuah menyatakan sifat fluida, dan sebuah sebuah menyatakan sifat fluida, dan sebuah lagi menyatakan karakteristik aliran.lagi menyatakan karakteristik aliran.
3.3. Variable tidak bebas tidak boleh digunakan Variable tidak bebas tidak boleh digunakan sebagai variable berulang.sebagai variable berulang.
Apabila variable berulang sudah dipilih, masing-masing Apabila variable berulang sudah dipilih, masing-masing dari setiap besaran asli yang masih ada dikombinasikan dari setiap besaran asli yang masih ada dikombinasikan dengan variable-variabel tersebut menjadi sebuah dengan variable-variabel tersebut menjadi sebuah gugus (pi).gugus (pi).
Misalkan kita memilih variable berulang : D,Misalkan kita memilih variable berulang : D,ρρ,V,V
ΠΠ1 akan mengandung D, 1 akan mengandung D, ρρ,V dan ∆ P/L,V dan ∆ P/L
ΠΠ2 akan mengandung D, 2 akan mengandung D, ρρ,V dan K,V dan K
ΠΠ3 akan mengandung D, 3 akan mengandung D, ρρ,V dan μ,V dan μ
Setiap besaran dalam masing-masing gugus Setiap besaran dalam masing-masing gugus akan akan
mencul sampai pangkat satu, dan yang lain mencul sampai pangkat satu, dan yang lain akan akan
muncul sampai pangkat tidak diketahui, yang muncul sampai pangkat tidak diketahui, yang dapat dapat
ditentukan sebagai berikut :ditentukan sebagai berikut :
OOOZy
x
zyx
TFLL
F
T
L
L
FT
L
PVD
34
2
1
L
Agar menjadi tanpa dimensi, harga-harga X, Y, Z Agar menjadi tanpa dimensi, harga-harga X, Y, Z didapatkan dengan mempersamakan eksponen- didapatkan dengan mempersamakan eksponen- eksponen F,L,T dengan nol. eksponen F,L,T dengan nol.
Untuk contoh ini pesamaan-persamaan itu adalah :Untuk contoh ini pesamaan-persamaan itu adalah : Untuk F (gaya) Untuk F (gaya) 0x0x + 1y + + 1y + 0z 0z + 1 + 1 = 0 I= 0 I Untuk L (panjang) 1x - 4y + 1z – 3 Untuk L (panjang) 1x - 4y + 1z – 3 = 0 II= 0 II Untuk T (waktu) Untuk T (waktu) 0x0x+ 2y – 1z + 0+ 2y – 1z + 0 = 0 III= 0 III Dari sini kita mendapatkan X = 1, y = -1, Z = -2Dari sini kita mendapatkan X = 1, y = -1, Z = -2
Minyak dengan gravitasi jenis (S= 0.86) Minyak dengan gravitasi jenis (S= 0.86) dipompa melalui pipa horizontal dipompa melalui pipa horizontal berdiameter 5 cm sepanjang 300 m berdiameter 5 cm sepanjang 300 m dengan laju 1.18 liter/detik. Bila perbedaan dengan laju 1.18 liter/detik. Bila perbedaan tekanannya sebesar 212 K Pascal, berapa tekanannya sebesar 212 K Pascal, berapa viscositas dari minyak tersebut. viscositas dari minyak tersebut.
Penyelesaian:Penyelesaian:
Pipa horizontal Pipa horizontal Sin Sin θθ = 0 = 0
4
4
R
Q8 gsinP* ρgsinθ*P-
8
πRQ
2^/ 0918.03008X0.00118x
4^025.021200014.3mNdt
xx
4R
Q8 P*
QL8
R*P
4