Download - Matriks dan Transformasi Linier
Matriks dan Transformasi Linier
Dra. Dwi Achadiani, M.Kom
Vektor
• Definisi:Vektor adalah besaran yang mempunyai arah dan besar, contoh: kecepatan, gaya, percepatan.
● ●
• Lambang : a : vektor a
besar arah
Titik awalTitik ujung
Operasi vektor dalam bidang Operasi penjumlahan dua vektor • Definisi:
Jika a dan b dua vektor dengan titik awal yang sama, maka jumlah a dan b ( a + b ) adalah vektor yang merupakan diagonal jajaran genjang .
a
b
a + b
Sifat penjumlahan vektor
komutatif)(hukum.abba5.adariinversadalahbmaka0,baa4.
a0a3.)assosiatif).(Hukumcb(ac)ba(2.
2R)ba(,2Rb,2Ra1.
Operasi perkalian vektor dengan bil riel
Sifat perkalian vektor dengan bil riel
bab1)(a9.0αmaka,0aα8.
aa1)(7.00α;0a06.
bβaαaβ)(α5.bβaα)baα(4.
aa1.3.
aαβ)aα(β2.
2Raα,2RaR,α1
Kombinasi Linier
Definisi:
Jika na,........3
a,2
a,1
a adalah vektor-vektor
di R²(atau di ), maka:
dinamakan kombinasi linier dari
3R nanα.............2
a2
α1
a1
α
na,,........3
a,2
a,1
a
Panjang Vektor (Norm)
Definisi:
Panjang vektor di didefinisikan :nR2nx.........2
2x2
1xx
Sudut antara dua vektor
Sudut θ antara dua vektor di R², jika memenuhi persamaan berikut:
, dengan
ydanx
yxyx
cosθ
n
1i iyi
xyx
Perkalian Silang
Definisi:
Jika 2 vektor di , maka:
bdana 3R
k1
b2
a2
b1
aj3
b1
a1
b3
ai2
b3
a3
b2
abxa
:maka
k3
bj2
bi1
bxk3
aj2
ai1
abxa
absinθbxa
i panjangnya 1 unit dan searah sumbu x
j
kj
panjangnya 1 unit dan searah sumbu y
panjangnya 1 unit dan searah sumbu z
x
y
z
k
i
Maka vektor dapat ditulis menjadi kajaiaazyx
• Jarak dua titik yang berada pada dua ujung vektor
Maka jarak antara titik A ke titik B adalah d, dengan: 2
3a
3b
2
2a
2b
2
1a
1bd
)a,a,a(A321
)b,b,b(B321
x
y
z
d
Bergantung Linier dan Bebas Linier
Vektor- vektor : , apabila
dengan tidak semua berharga nol, maka
vektor disebut bergantung linier, sedangkan apabila
semua berharga nol maka vektor disebut bebas
linier.
na.........,,.........3
a,2
a,1
a
0n
1i ia
iα
iα
iα
Vektor pembentuk ruang vektor
Definisi:
suatu himpunan vektor-vektor
disebut sistem pembentuk ruang vektor V, ditulis V= bila setiap
dapat ditulis sbg kombinasi linier dari }u,...,u,u{m21
}u,...,u,u{Lm21
}u,...,u,u{m21
Vv
• Dimensi dan Basis
Dimensi
Definisi:
suatu vektor V dikatakan berdimensi n bila dapat diketemukan suatu himpunan n vektor-vektor V yang bebas linier
Atau : maksimum banyaknya vektor-vektor V yang bebas linier .
Basis
Definisi:
Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut basis ruang vektor tersebut.
MATRIKS
Definisi:
Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom.
mna......m2
am1
a........................... 2na......
22a
21a
1na......
12a
11a
Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n
Operasi Matriks
1. Operasi Kesamaan
Dua matriks A dan B disebut sama, jika:
a) A dan B sejenis
b) Setiap unsur yang seletak sama.
1321C,
1321B,
1321A
A = B, A ≠ C, B ≠ C
2.Penjumlahan dua matriks
Definisi:
Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalah sebuah matriks C yang sejenis pula dengan unsur-unsur , dimana terdapat hubungan:
. ij
c
ijb
ija
ijc
ij
cC,ij
bB,ij
aA
9152C,
5142B,
4210A
13362-
9152
4210C A
9152-
5142
4210BA
Sifat-sifat penjumlahan:
Komutatif : A + B = B + A
Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C
3.Perkalian dengan skalar ( )Perkalian sebuah matriks dengan skalar ( )
maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan dengan skalar ( ).
, maka A = .
ij
aA
ija
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar
1. (A + B) = A + B
2. ( + β ) A = A + β A
3. (β A) = β A
4. Perkalian dua matriks
Definisi:
Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikan hasil kalinya, jika n = p , maka hasilkali adalah matriks C (m x q) dengan unsur-unsur:
n
1k kjb
ika
ijc
njb
ina.......
j3b
3ia
j2b
2ia
j1b
1ia
ijc
Catatan:• Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika
banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris matriks B.
• Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya baris matriks Adan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B.
• Pada umumnya AB ≠ BAContoh:
20C,432
B,321A
BxA
1 x 3 3 x 1 1 x 1
iterdefinis tdkBxAC
954100532
10532
954100532
B,10532A
2 x 2 3 x 3
Macam-macam matriks
1. Matriks bujursangkar
Definisi: matriks bujursangkar adalah matriks dimana banyaknya baris = banyaknya kolom
2. Matrik satuan/ matriks identitas• Matriks bujur sangkar• Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1
954
100
532
B,105
32A
Contoh :
100
010
001
3I,
10
01
2I
A.I = I.A
I.I = I
3. Matriks segitiga
• Matriks bujursangkar
• Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol
Contoh :
87
01B,
900
740
321
A
4.Matriks Tranpose
• Tidak perlu bujursangkar
• Setiap baris ditukar tempat dengan kolom
Contoh :
172
054B~,
10
75
24
B
321A~
,
3
2
1
A
Sifat-sifat matriks transfose
TTT
TT
TT
TTT
AB4.(AB)
A)(A3.
A)2.(A
BAB)1.(A
λλ
Contoh
TTT
TT
TT
T
AB(AB)
34
12
01
32
021AB
021B,
12
01
32
A
34(AB)3
4AB
0
2
1
B,1 0 3
2 1 2A
5. Matriks simetris
Matriks A disebut simetris apabila
• Matriks Bujur sangkar
Contoh
A~
A
870
732
021
32
21,
6. Matriks skew simetris
Matriks A disebut matriks skew simetri jika
• Bujur sangkar
Contoh
A~A
070
702
020
,02
20
Matriks Skew simetris , maka
Untuk I = j maka
Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0
A~
A ji
aij
a
iia
iia 0
ii2a
7. Matriks Diagonal• Matriks bujursangkar• Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama
500
030
001
9. Matriks Nol• Tidak perlu matriks bujur sangkar • Semua unsurnya nol
000
000
A.0 = 0
A + 0 = A
A.B = 0, apakah A = 0 ?atau B = 0? atau kedua-duanya nol
Dalil:
Sembarang matriks bujur sangkar dapat ditulis sebagai jumlahan dua matriks yang satu simetris yang lain skew simetris
00
0
40
20
0
40
20
0
02
000
3-42AxB
2
B,000
3-42A
simetrisskewQQ~Q
AA~21
A~~A~
21
Q~,A~A21
Q
simetrisP,P~P
AA~21
A~~A~
21
P~,A~A21
2A~
2A
P
2A~
2A
Q,2A~
2A
P
2A~
2A~
2A
2A
A
Bukti:
0121
101
2110
0210
23231
21021
02321
21230
0121
0221
231
2111
0210
23231
21021
02321
21230
0121
22
010
332
101
031
130
021
/
/
/
//
//
//
//
/
/
/
/
//
//
//
//
/
Q
AAP
AA
Matriks Simetris
Matriks Skew Simetris
Cek
A
QP
031
100
021
0121
101
2110
0221
231
2111
/
/
/
/
Transformasi (operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Matriks
Transformasi Elamenter pada matriks adalah: Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan
baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis H (A) Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i
dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis K (A) Memperkalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis
H (A) Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K (A) Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis
H (A)
ij
ij
i)(
i)(
ij)(
Menambah kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis
K (A)
Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam satu langkah : Menambah kali baris ke i dengan
kali baris ke j, ditulis H (A)
Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4)
Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE)
)(
ij
1
2
i)(
1
j)(
2
Contoh:
2- 4- 2 2-
4 4 1 3
12 0 2 8
0 2- 2 2-
1 2 1 3
4 0 2 8
0 2- 2 2-
4 0 2 8
1 2 1 3
1 0 3 1
2 0 1 4
1 2 1 3
tersebut. B Carilah .
elementer sitransforma sederetan
dihasilkan yangB matrik carilah
1 0 3 1
2 0 1 4
1 2 1 3
A
(1)41
K
(2)3
K
HH
H
(2)3
K ,(1)
41K
,12
H ,(2)
2H ,
(-1)31
H
121
31
22
)(
)(
,
Invers Suatu Transformasi Linier
Jika suatu transformasi elementer adalah:• A = H (B) = H (B)
• A = K (B) = K (B)
• A = H (B) = H (B)
• A = K (B) = K (B)
• A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B)
)(
ij ij
ij
-1
ij
i
-1
i1/-1
i)( -1
i1/
ij)( -1
ij
)( ij
)( -1
ij)(
A
1102
2211
2604
1102
2604
2211
1113
2604
2211
1311
2406
2112
1321
2406
2122
A..CarilahK,K,H,H :turut-berturut elementer sitransforma
sederetan dengan A dari diperoleh,
1321
2406
2122
B
12H1)(
31H
13K(1/2)
2K
(2)
213
(1)
3112
Contoh
Penggunaan OBE
• Mencari Rank Matriks
Adalah jumlah maksimum baris/kolom yang bebas linier ( tidak semua unsur dalam suatu baris/kolom nol)
• Mecari invers matriks
( A:I ) ( I:A )-1
OBE
Contoh
344
212
132
A dari matriks rank 1.Cari2)(
31
1)(21
H
H
310
22-0
132 )1(2
)2(3H
400
22-0
132)2(
2)1(
3H
000
22-0
132
Maka rank matriks A = 2
2. Carilah invers dari matriks
2)(21
4)(32
H
H
1-
100:814
010:31-2
001:201
)A:(I I):(A bentuk
814
31-2
201
11 6
1 04
2211
A,
11 6 :1 00
1 04:01 0
2211:001
11 6-:1-00
1-04:01-0
2211:001
11 6-: 1-00
012-:11-0
001:201
H
104-:010
012-:11-0
001:201
100:814
010:31-2
001:201
1H
H
H
H
(1)32
H
H
1)(3
(-1)2
1)(23
(2)13
2)(21
4)(32