ANALISIS VEKTORMMS-2105 2 sks

Hal 1 dari 24

ReviewQ

Definisi : Besaran Vektor dan Skalar

1. Vector adalah suatu kuantitas yang mempunyai nilai magnitude/besaran dan arah, biasa dinyatakan denganPQ , P disebut pangkal vector dan Q

P

ujung vector, atau dengan

A,

atau A

Magnitude atau panjang vector disimbolisir dengan PQ atau A , atau |A|

2. Ska a a a ah suatu kuantitas yang hanya empunyai nilai magnitu e/besa an sa a (tidak mempunyai a ah)

Hal 2 dari 24

Vector dipergunakan untuk menyatakan antara lain kuantitas gaya, kecepetan, percepatan. Scalar dipergunakan untuk menyatakan antara lain masa, panjang, waktu, temperature. Definisi : Alajabar Vektor 1. Dua buah vector A dan B dikatakan sama apabila maginitud A sama dengan magnitude B dan arah A sama dengan arah B

A

B

A

-A

2 Suatu e t r mempun ai magnitude sama dengan e t r A tetapi dengan arah berla anan disimb lisir dengan A

Hal 3 dari 24

3. Jumlah dua buah vector A dan B adalah suatu vector C dengan pangkal vektor berimpit dengan pangkal vector A dan ujung vector berimpit dengan ujung vector B, dimana pangkal vector B diimpitkan dengan ujung vector A, disajikan dengan C =A+B

A C

B

C

A -B B

4. Selisih dua buah vector A dan B adalah suatu vector C yang merupakan jumlahan vector A dengan vector B, dan disajikan dengan C = A B

Hal 4 dari 24

5. Pergandaan suatu vector A dengan scalar m, adalah vector mA dengan magnitude |m| |A| dan arah sama dengan arah vector A bila m scalar positif atau berlawanan arah vector A bila m scalar negative.

mA A |A| |m||A| = m |A|

Hal 5 dari 24

Hukum aljabar vector :Apabila A, B dan C vector dan m, n scalar, maka berlaku : 1. A + B = B + A 2. A + (B + C) = (A + B) + C Komutatif terhadap jumlahan Asosiatif terhadap jumlahan

3. m (n A) = (mn) A = n (m A) Asosiatif terhadap multiplikasi 4. (m + n) A = m A + n A 5. m (A + B) = m A + m B Disrtributif terhadap multiplikasi Disrtributif terhadap multiplikasi

Catatan : mengingat pada analisa vector dikenal pengertian ganda scalar dua vector, dan ganda vector dua vector, maka pergandaan scalar dengan vector digunakan istilah multiplikasi.

Hal 6 dari 24

Definisi : Vektor Satuan Vector satuan adalah suatu vector dengan magnitude 1 (satu).pabila A suatu vector dengan |A| > 1 maka a ! A vector merupakan vector satuan dan A = |A| a

A

Definisi : Vektor Satuan pada Ruang Dimensi Tiga Pada ruang dimensi tiga, ditentukan sumbu koordinat-x, -y dan z, dengan titik pangkal (0,0,0). Vector satuan pada ruang dimensi tiga adalah vector-vektor satuan pada ketiga sumbu koordiant arah positif dengan masing-masing titik pangkal (0,0,0), berturut-turut disimbolisir dengan i, j dan k. z

k

(0,0,0)i j

x

y

Hal 7 dari 24

Komponen vector Suatu vector A pada ruang tiga dimensi dengan pangkal vektor di titik pangkal system koordinat tegak, O(0,0,0), dan ujung vector (A1,A2,A3) dapat disajikan sebagai A = A1 i + A2 j + A3 k dengan vector-vektor A x = A1 i A y = A2 j A z = A3 k y z (A1,A2,A3) Az A O Ay Ax x

disebut vector komponen dari vector A, dan diperoleh hubunganA =A12 A22 A32

Hal 8 dari 24

Soal untuk latihan 1. Diberikan vektor A, B, C dan D. Konstruksikan vektor V = 3 A + 2 B (C 3 D) A B C P 2. Pada obyek P bekerja tiga buah gaya sebagaimana disajikan pada gambar. Tentukan resultan gaya tersebut. D

150 lb

50o 200 lb 250 lb

3. Apabila pada soal no 2, diambil P adalah pangkal sumbu koordinat, arah gaya sebesar 250 lb sejajar dengan sumbu-z, maka tentukan komponen vektor resoltan gaya yang bekerja pada obyek P.Hal 9 dari 24

Medan Skalar Apabila setiap titik (x,y,z) pada suatu region di ruang dimensi tiga terkorespondensi dinyatakan dengan fungsi (x,y,z) maka bidang luasan (x,y,z)

disebut medan-skalar terdefinisi pada region Contoh : Distribusi temperature pada suatu region disajikan dengan fungsi (x,y,z) = 3 x2 y + z3, dalam hal ini (x,y,z) disebut medan scalar. Medan Vektor Apabila tiap titi , , pada i atakan j ng v ct dengan pangkal vect di titik pangkal koordinat O 0,0,0 , dan , , terkorespodensi dinyatakan dengan V(x,y, , aka V(x,y, disebut edan vektor Contoh : V(x,y, = x2 y i + 5 x y2 z j + x z3 k disebut edan vektorHal 10 dari 24

GANDA SKALAR DUA VEKTORGanda skalar vektor A dengan vektor B disimbolisir dengan A . B didefinisikan sebagai hasil kali panjang vektor A dengan panjang vektor B dikalikan dengan cos (sudut antara vektor A dan vektor B) A . B = |A| |B| cos

A |A| B |B|

7

A . B = |A| |B| cos = 7 x 8 x cos 65 65o B 8 = 56 x 0.4226 = 23.6666

Hal 11 dari 24

ALJABAR VEKTOR PADA GANDA SKALAR1. A . B = B . A 2. A . (B + C) = A . B + A . C 3. m (A , B) = (m A) . B = A . (m B) = (A . B) m 4. i . i = j . j = k . k = 1 i.j = j.k = k.i =0 5. A = A1 i+ A2 j + A3 k B = B1 i+ B2 j + B3 k Hukum Komutatif Hukum Distributif m skalar cos 0o = 1 cos 90o = 0

A . B = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 A . A = A1 A1 + A2 A2 + A3 A3 = A12 + A22 + A32 B . B = B1 B1 + B2 B2 + B3 B3 = B12 + B22 + B32

6. A 0 B 0 dan A

B maka A . B = 0Hal 12 dari 24

GANDA VEKTOR DUA VEKTORGanda vektor antara vektor A dengan vektor B ditulis C = A X B Panjang vektor C = A X B adalah panjang vektor A dikalikan panjang vektor B dikalikan sin dan vektor B) |C| = |A| |B| sin Arah vektor C tegak lurus bidang yang dibentuk vektor A dan vektor B (sudut antara vektor A |C| C

|A| A

B |B|

Apabila A = B atau vektor A sejajar dengan vektor B maka A X B = 0 Mengapa demikian ?

Hal 13 dari 24

ALJABAR VEKTOR PADA GANDA VEKTOR1. A X B = -B X A 2. A X (B + C) = A X B + A X C 3. m (A X B) = (m A) X B = A X (m B) = (A X B) m 4. i X i = j X j = k X k = 0 iXj =k jXk =i k.i =j Hukum Komutatif Hukum Distributif m skalar sin 0o = 0 sin 90o = 1

5. A = A1 i+ A2 j + A3 k B = B1 i+ B2 j + B3 k

i A X B ! A1 B1

j A2 B2

k A3 B3

6. A 0 B 0 dan A // B maka

AXB = 0

Hal 14 dari 24

GANDA TIGA VEKTORGanda skalar dan ganda vektor tiga buah vektor A, B dan C yang disajikan dalam bentuk (A . B) C; A . (B X C) dan A X (B X C) memenuhi sifat-sifat : 1. (A . B) C A (B . C) A |A| B |B| |B||C| cos |A| A |C| B |B|Hal 15 dari 24

|A||B| cos (A . B) C C |C|

|C|

|A|

A (B . C) C

2. A . (B X C) = B . (C X A) = C . (A X B) B A

AXB |A X B| A B

A

CXA

BHal 16 dari 24

Bukti A . (B X C) = B . (C X A) A = A1 i + A2 j + A3 k B = B1 i + B2 j + B3 k C = C1 i + C2 j + C3 k

i j B x C ! B1 B 2 C1 C 2A . (B X C) =

k B 3 = (B2 C3 B3 C2) i + (B3 C1 B1 C3) j + (B1 C2 B2 C1) k C3

(A1 i + A2 j + A3 k) . ((B2 C3 B3 C2) i + (B3 C1 B1 C3) j + (B1 C2 B2 C1) k) = A1 B2 C3 A1 B3 C2 + A2 B3 C1 A2 B1 C3 + A3 B1 C2 A3 B2 C1

Hal 17 dari 24

i Cx ! C1 A1

j C2 A2

k C3 = (C2 A3 C3 A2) i + (C3 A1 C1 A3) j + (C1 A2 C2 A1) k A3

B . (C x A) = (B1 i + B2 j + B3 k) . ((C2 A3 C3 A2) i + (C3 A1 C1 A3) j + (C1 A2 C2 A1) k) = B1 C2 A3 B1 C3 A2 + B2 C3 A1 B2 C1 A3 + B3 C1 A2 B3 C2 A1 = A1 B2 C3 A1 B3 C2 + A2 B3 C1 A2 B1 C3 + A3 B1 C2 A3 B2 C1 = (A1 i + A2 j + A3 k) . ((B2 C3 B3 C2) i + (B3 C1 B1 C3) j + (B1 C2 B2 C1) k) = A . (B X C)

Hal 18 dari 24

A . (B X C) menyatakan volume (atau minus volume) paralel epipedum dengan rusuk-rusuk vektor A , vektor B dan vektor C A

Apabila A = A1 i + A2 j + A3 k B = B1 i + B2 j + B3 k C = C1 i + C2 j + C3 k makaA1 A2 A3 B3 C3

B

.( B v C ) ! B1 B 2 C1 C 2

Pergandaan A . (B x C) disebut tripel ganda skalar atau box product A . (B x C) biasa pula ditulis sebagai A . B x CHal 19 dari 24

3. A X (B X C) (A X B) X C

A

C

C A

A

C

Hal 20 dari 24

A 4. A x (B x C) = (A . C) B - (A . B) C

B

C

B C A x (B x C)

(A . C) B

-(A . B) C

(A . B) C

(A . C) B - (A . B) C

(A . C) BHal 21 dari 24

(A X B) X C = (A . C) B - (B . C) A

A = A1 i + A2 j + A3 k B = B1 i + B2 j + B3 k C = C1 i + C2 j + C3 k

i A x B ! A1 B1

j A2 B2

k A 3 = (A2 B3 A3 B2) i + (A3 B1 A1 B3) j + (A1 B2 A2 B1) k B3 i j A 3B1 A 1B 3 C2 k A 1B 2 A 2B1 C3

( A x B ) x C ! A 2B 3 A 3B 2 C1

= (A3 B1 A1 B3) C3 i + (A1 B2 A2 B1) C1 j + (A2 B3 A3 B2) C2 k

(A1 B2 A2 B1) C2 i - (A2 B3 A3 B2) C3 j - (A3 B1 A1 B3) C1 k

Hal 22 dari 24

= (A3 B1 C3 A1 B3 C3 - A1 B2 C2 + A2 B1 C2) i + (A1 B2 C1 A2 B1 C1 - A2 B3 C3 + A3 B2 C3) j + (A2 B3 C2 A3 B2 C2 - A3 B1 C1 A1 B3 C1) k

(A . C) B = (A1 C1 + A2 C2 + A3 C3) (B1 i + B2 j + B3 k) = (A1 C1 B1 + A2 C2 B1 + A3 C3 B1) i + (A1 C1 B2 + A2 C2 B2 + A3 C3 B2) j + (A1 C1 B3 + A2 C2 B3 + A3 C3 B3) k (B . C) A = (B1 C1 + B2 C2 + B3 C3) (A1 i + A2 j + A3 k) = (B1 C1 A1 + B2 C2 A1 + B3 C3 A1) i + (B1 C1 A2 + B2 C2 A2 + B3 C3 A2) j + (B1 C1 A3 + B2 C2 A3 + B3 C3 A3) k

Hal 23 dari 24

(A . C) B - (B . C) A = (A1 C1 B1 + A2 C2 B1 + A3 C3 B1) i - (B1 C1 A1 + B2 C2 A1 + B3 C3 A1) i + (A1 C1 B2 + A2 C2 B2 + A3 C3 B2) j - (B1 C1 A2 + B2 C2 A2 + B3 C3 A2) j + (A1 C1 B3 + A2 C2 B3 + A3 C3 B3) k - (B1 C1 A3 + B2 C2 A3 + B3 C3 A3) k = (A3 B1 C3 A1 B3 C3 - A1 B2 C2 + A2 B1 C2) i + (A1 B2 C1 A2 B1 C1 - A2 B3 C3 + A3 B2 C3) j + (A2 B3 C2 A3 B2 C2 - A3 B1 C1 A1 B3 C1) k = AxBxC

A x (B x C) biasa disebut vector triple product

Hal 24 dari 24