Modul ke:
Fakultas
Program Studi
MATEMATIKA DASARBilangan bentuk pangkat, akar dan logaritma
Inna Sabily Karima, S.Kom, M.KomFASILKOM
Sistem Informasi
Peta Konsep Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
membahasmeliputi
Pangkat Negatif
Pangkat Nol
Pangkat Bulat
Rasionalisasi Penyebut
Operasi Bentuk Akar
Bentuk Pangkat Bentuk Akar Logaritma
mempelajari
A. Bentuk Pangkat Bulat1. Pangkat Bulat Positif
Definisi:Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, a pangkat
n (ditulis an) didefinisikan sebagai perkalian berulang
bilangan a sebanyak n faktor.
Dalam notasi matematika, ditulis:
dengan a bilangan pokok (basis), a ≠ 0, dan n adalah pangkat (eksponen), a ≠ 0.
2. Sifat-Sifat Pangkat Bulat
Sifat-sifat umum:
0≠auntuk=aa nm × nm+a
=aa
n
mnma −
=b)(a m× mm ba ×
=)ba( m
m
m
ba
=)(a nm nma ×
1)
2)
3)
Jika a dan b bilangan real tidak nol, serta m dan n bilangan bulat, berlaku sifat-sifat berikut.
Jawab:
Tentukan nilai dari bentuk perpangkatan berikut.
Contoh:
4
32
2
23
158
524
zyx:
zyx
32
4
2
23
85z3
538
yxzyx
⋅⋅⋅×
⋅⋅⋅⋅
yzx=
233 ⋅⋅⋅
yxz=
29
=zyyx
4
32
2
23
158x:
5z24
3. Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif
Ketentuan umum:
Berbeda dengan an, bilangan pangkat negatif a-n tidak
dapat didefinisikan sebagai perkalian berulang dari
bilangan yang dipangkatkan. Oleh karena itu, pangkat
ini seringkali dinamakan pangkat tak sebenarnya.
a. Jika a sembarang bilangan real bukan nol maka
a0 = 1.
b. Untuk a ≠ 0 dan n bilangan bulat positif maka
atau .
Contoh : Sederhanakan bentuk-bentuk pangkat .
(-1)3-
)2(2)2(32
)(2
×
−×−−×−
3bccb=
3
4622)(bccb= 3
−−
333
4622×
−−
cbcb=
9346221
c)bcb(= −
94364b1
++ c= − 594b
1c
=
Jawab:
4. Persamaan Pangkat Sederhana
Secara umum, persamaan pangkat dapat diselesaikan
sebagai berikut.
Bagaimana jika bilangan pokok di kedua ruas tidak
sama? Jika demikian maka nilai yang memenuhi
adalah kedua ruas harus sama dengan satu. Untuk
itu, pangkat kedua ruas harus sama dengan nol.
Jika af(x) = ag(x) maka f(x) = g(x).
Jika af(x) = bg(x) maka f(x) = 0 dan g(x) = 0.
Contoh 1 :
Tentukan penyelesaian dari 273x = 318.
183x3 33 =)(⇔189x 33 =⇔
189x =⇔2=x⇔
183273x =
Jawab :
Tentukan nilai m dan n yang memenuhi 322
132
2327
83 ×−
=m
nm
m
nm
)()(= 23
1332
323 −
m
nm
= 6
392
323 −
3962 23 −− ⋅ nmm= 394 23 −− ⋅ nm=32 23 ×=
21 −=m24 =m− ⇔
339 =n − 69 =n 32
=n⇔
Jawab : Cara 1:
m
nm
2
132
2783 −
diperoleh 394 23 −− ⋅ nm
sehingga:
⇔
Contoh 2:
Cara 2:Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi bentuk berikut.
322
132
2327
83 ×−
=m
nm
39
3
26
2
22
333
−× nm
m
=⇔
)m+(m 2623 − )n(= 3932 −−⇔
243 −− m n= 962 −⇔
Berdasarkan sifat persamaan pangkat maka–4m – 2 = 0 dan 6 – 9n = 0.Dengan menyelesaikan persamaan-persamaan di atas, diperoleh m = dan n = .
32
5. Notasi Baku
Bentuk baku bilangan besar adalah
1 ≤ a < 10 dan n bilangan asli.
Bilangan besar diartikan sebagai bilangan yang lebih dari 10.
Bentuk baku bilangan kecil adalah
Bilangan kecil diartikan sebagai bilangan antara 0 dan 1.
1 ≤ a < 10 dan n bilangan asli.
a x 10n
a x 10–n
Contoh:
6. Akar Pangkat Bilangan
Misalnya,
Operasi untuk menentukan bilangan pokok yang dipangkatkan jika diketahui perpangkatannya disebut dengan akar pangkat, ditulis dengan notasi
2 4
3 27
3 64
= 3, dibaca akar pangkat tiga dari dua puluh tujuh adalah 3;
= 4, dibaca akar pangkat tiga dari enam puluh empat adalah 4.
= 2, dibaca akar pangkat dua dari empat adalah 2;
B. Bentuk Akar1. Bilangan Rasional dan Bilangan IrasionalBilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Bilangan rasional dapat dibedakan menjadi dua macama. bilangan bulat, seperti –3, –1, 0, 6;b. bilangan pecahan, seperti , , .Ciri-ciri bilangan rasional: a. Bilangan desimalnya terputus/terbatas, misalnya = 0,25 dan = 1,5.b. Bilangan desimalnya tidak terputus/terbatas, tetapi berulang, misalnya = 0,16666 ... dan = 0,1111....
ba
23−
411−
212
41
23
61
91
Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , a dan b
bilangan bulat dan b ≠ 0, disebut bilangan irasional. ba
Tunjukkan bahwa 0,44444….. dapat diubah ke bentuk pecahan biasa.Contoh :
..0,44444...=x
.4,4444.... 10 =x (kedua ruas dikalikan dengan 10)
Dengan mengurangkan 10x dengan x, diperoleh
.4,4444.... 10 =x
..0,44444...=x
49x=
94=x
Jadi, 0,4444... sama dengan .94
Jawab:
2. Pengertian Bentuk Akar
3. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
Buktikan!!
a. Penjumlahan dan Pengurangan
Bentuk akar pada bilangan yang dioperasikan harus sama.Jika a, c ∈ R dan b ≥ 0, berlaku
b c) - (a bc ba
b c) (a bc ba
=−
+=+
b. Perkalian dan PembagianPerhatikan kembali pengertian akar pangkat dua sebuah bilangan, yaitu
Berdasarkan definisi di atas, berlaku sifat-sifat berikut.. 0 , untuk 2 ≥=↔= ba a, b b a
ba
ba
ba b a
a a
=
×=×
=
)3
2)
)1 2
Berdasarkan sifat-sifat di atas, dapat diturunkan sifat-sifat berikut:
Secara lebih luas, sifat-sifat bentuk akar dapat ditampilkan sebagai berikut.
01 ≥= a, a a. n n
02 , a, b b a ab. nnn ≥×=
mnm n a a. =3
04 , b b
a ba.
n
nn ≠=
nnn bc) (a b c b. a ±=±5
bd ac d c b a nnn =×.6
nn
n
db
ca
dcba 7. =
)+)(( 522253 − 522222553253 ×−×−×× +=
1022253103 −×−×+=
10 11 +=
)+)(( 522253 −
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar .
Jawab :
c. Mengubah Bentuk Akar ke Bentuk Penjumlahan Akar
Rumus:
Contoh :
Tentukan bentuk penjumlahan dari bentuk akar .
Jawab :
1227 + 43243 ×+)+(=
43 +=
23 +=
1227+
Penyebut-penyebut pecahan dapat dirasionalkan dengan pedoman berikut.
a. Pecahan berpenyebut dikalikan dengan
b. Pecahan berpenyebut dikalikan dengan
Pecahan berpenyebut dikalikan dengan
c. Pecahan berpenyebut dikalikan dengan
Pecahan berpenyebut dikalikan dengan
bbb
baba
−−ba+
ba−baba
++
baba
−−ba+
ba−baba
++
4. Merasionalkan Penyebut
223 +=89223
−+=
223223
2231
++= ×
−
2231
−=
223223223
−− ))(+(
=
223
223
223
223
−
−×−
+=
223
223
−
+
223
223
−
+
Sederhanakan pecahan dengan merasionalkan penyebutnya.Contoh :
Jawab :
C. Pangkat Pecahan
Secara umum, pangkat pecahan dapat didefinisikan sebagai berikut.
Untuk a ≥ 0 dan m, n bilangan bulat bukan nol, berlaku
=an m nm
a
Operasi-operasi yang berlaku pada pangkat bulat
juga berlaku pada pangkat pecahan.
Contoh 1:Sederhanakan bentuk pangkat pecahan
32
6
664⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−yx
Jawab :
( )32
6664 yx=
( )32
6662 yx=
326
326
326
2×××
yx=4442 yx=
4416 yx=
32
6
664⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−yx
722=⇔ x
2248 +=+ xx4
262 +=+ xx
42
32 2)2(+
+ =x
x⇔
42
62 22+
+ =⇔x
x
4 23 24 ++ = xx
⇔
⇔
Contoh 2:Tunjukkan nilai x yang memenuhi persamaan 4 23 24 ++ = xx
Jawab:
D. Logaritma1. Pengertian Logaritma
Untuk a > 0, b > 0, dan a ≠ 1, logaritma b dengan
basis a, ditulis alog b adalah
alog b = c sama artinya dengan ac = b
Operasi logaritma merupakan kebalikan (invers) dari
perpangkatan dan didefinisikan sebagai berikut.
• Bilangan a disebut bilangan pokok (basis).
• Bilangan b disebut bilangan yang dicari
logaritmanya (numerus).
• Bilangan c disebut bilangan hasil logaritma.
Perhatikan !!!5log 5 = 15log 25 = 5log 52 = 25log 125 = 5log 53 = 3
Diagram Cartesiusx y
525
125
123
(5, 1)
(25, 2)
(125, 3)
X
Y
Diagram Cartesius xlog5
Buktikan!!!
b=ba
=n=a
a
a
na
log01 log
log
xlog5
2. Sifat-Sifat Logaritmaa. Sifat 1:
Bukti :
Misal
x = alog b ⇔ b = ax
y = alog c ⇔ c = ay
...................................... (terbukti)
alog (b x c) = alog b + alog c
alog (b x c) = alog (ax x ay)= alog (ax + y)= x + y = alog b + alog c
b. Sifat 2:
cb)=cb( aaa logloglog −..
Buktikan !!!
Buktikan!!!!
c. Sifat 3:
.. bn=b ana log log
d. Sifat 4:
e. Sifat 5:
ab=b c
ca
logloglog .. , c > 0, c ≠1
c=cb aba log log log × ..
f. Sifat 6:
a=b b
a
log1log
g. Sifat 7:
bmn=b anma loglog ..
Contoh :
Jika diketahui log 2 = a, log 3 = b, dan log 5 = c, tentukan
150log2 21
2 log150 =
)(= 235log21 22 ××
)++(= log2log3log521 2222
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ 1log2log3
log2log52
21 ++=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 12c
21 +
ab+
a=
2a2c+b+a=
150log2
Jawab :
3. Menentukan Nilai Logaritma dengan Alat Bantu
a. Dengan Tabel
Tabel LogaritmaN 0 1 2 ...... 9
1.0 0.0000 0.0043 0.0086 .... 0.0374
1.1 0.4140 0.0453 0.0492 .... 0.0756
.... .... .... .... .... ....
2.4 0.3802 0.3820 0.3838 .... 0.3962
.... .... .... .... .... ....
9.9 0.9956 0.9961 0.9965 .... 0.9996
Pada tabel ini, bilangan pokok (basis) yang digunakan adalah 10.
Misalkan kalian ingin menentukan nilai log 2,49.Dapat ditentukan bahwa log 2,49 = 0.3962
Untuk menentukan nilai x yang memenuhi persamaan log x = b
jika b diketahui, gunakan tabel antilogaritma b, ditulis antilog b.
Langkah-langkah menentukan antilogaritma suatu bilangan:
a. Ubahlah bilangan b (nilai logaritma) sehingga dapat ditentu-
kan bagian bulat (karakteristik) dan bagian desimal (mantis).
b. Pada kolom paling kiri, carilah dua angka desimal pertama.
c. Pada baris angka tersebut, carilah bilangan yang berada
tepat di bawah kolom angka desimal ke-3.
d. Tentukan letak koma desimal dengan aturan sebagai
berikut.
1) Jika bagian bulat n = 0, letak koma desimal di belakang
angka pertama desimal.
2) Jika bagian bulat n > 0, letak koma desimal bergeser n
angka ke kanan dari bentuk baku (ilmiah).
3) Jika bagian bulat n < 0, letak koma desimal bergeser n
angka ke kiri dari bentuk baku (ilmiah).
16 April 2015
Perhatikan tabel antilogaritma berikut:
X 0 1 2 3 ......
.... .... .... .... .... ....
.74 550 551 552 553 ....
.75 562 564 565 566 ....
.... .... .... .... .... ....
Karena bagian bulat 0 maka antilog 0,743 = 5,53.
Bilangan 0,743 memiliki bagian bulat 0 dan bagian desimal 743.Cari angka”.74” di kolom pertama (paling kiri). Kemudian, caribilangan yang berada di bawah angka 3 pada baris tersebut maka akan kalian peroleh bilangan 553.
log x = 0,743
x = 5,53
b. Dengan Kalkulator
• Menentukan nilai logaritma dengan menggunakan
kalkulator hasilnya agak lebih baik dibandingkan dengan
menggunakan tabel.
• Pada kalkulator, bilangan pokok yang digunakan adalah
10 dan e. Bilangan e memiliki nilai 2,7182818....
• Bentuk logaritma dengan bilangan pokok e, yaitu e log x,
ditulis ln x. Perhatikan dengan saksama petunjuk cara
menentukan nilai logaritma ataupun menentukan bilangan
yang dicari nilai logaritmanya.
4. Memecahkan Masalah-Masalah Logaritma
Contoh:
Pertambahan penduduk di suatu wilayah dirumuskan dengan Pt = P0 (1 + r)t untuk Pt = jumlah penduduk pada tahun ke-t, r = persentase pertumbuhan penduduk, dan P0= jumlah penduduk semula. Jika pada tahun 2007 wilayah itu mempunyai penduduk 10.000 jiwa dan pertumbuhan penduduknya 2% per tahun, tentukan jumlah penduduk wilayah itu pada tahun 2011.
Jawab:
Diketahui P0 = 10.000 = 104 jiwa
Dengan demikian, diperoleh
r = 2 % = 0,02
t = 4 tahun
Pt = P0 (1 + r) t P4 = 104 (1 + 0,02) 4 P4 = 104 (1,02)4⇔ ⇔
Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh
P4 dapat ditentukan dengan menggunakan antilog 4,0344 = 10.824,3.Oleh karena itu, jumlah penduduk di wilayah itu pada tahun 2011 adalah 10.824 jiwa.
log P4 = log (104 (1,02) 4)
= log 104 + log (1,02)4
= 4 + 4 log 1,02
= 4 + 4(0,0086)
= 4,0344