Download - makalah-kalkulus
Y
X
Z
6
32
0R
II.2 Aplikasi Integral Lipat
II.2.1 Aplikasi Integral Lipat Dua
Volume Benda Pejal
Integral Lipat rangkap dua diturunkan untuk menghitung volume benda ruang
yang dibatasi oleh dua permukaan. Misal z = f(x,y) dan R merupakan daerah yang
terletak pada bidang XOY yang diberikan atau bisa merupakan proyeksi dari
permukaan z = f(x,y) dan dibatasi di bawah oleh R dituliskan:
V = ∬ f ( x , y )dA
Contoh:
Hitung volume bagian ruang yang terletak di oktan pertama yang dibatasi oleh
bidang 2x + 3y + z - 6 = 0
Jawab:
Dari 2x + 3y + z - 6 = 0 didapatkan f(x,y) = -2x - 3y + 6. Misal R daerah di oktan
pertama (x ≥ 0, y ≥ 0) dan z ≥ 0) merupakan proyeksi f(x,y) dibidang XOY.
Maka
R = {(x , y)∨0≤ x≤3 ,0≤ y ≤ 6−3 x3 } atau
R = {(x , y)∨0≤ x≤ 6−3 x3
,0≤ y≤2}Jadi volume bangun ruang:
V = ∬ f ( x , y )dA = ∬ f (−2 x−3 y )dA
Pusat Massa
Momen adalah hasil kali massa m dan jarak berarah dari suatu titik tertentu,
dengan konsep yang sama jika suatu sistem yang terdiri dari n massa, yaitu m1,
m2, ...,mn yang masing-masing ditempatkan di (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn) pada
bidang, maka momen total terhadap sumbu Y dan sumbu X berturut-turut
diberikan oleh:
My = ∑k=1
n
xkmk Mx = ∑k=1
n
ykmk
Lebih lanjut pusat massa (titik keseimbangan) sistem adalah titik (x,y) dengan
x = M ym = ∑k=1
n
xkmk
∑k=1
n
mk y = M xm =
∑k=1
n
ykmk
∑k=1
n
mk
Sekarang perhatikan suatu lamina, yaitu suatu pelat yang sangat tipis sehingga
dapat dipandang sebagai berdimensi dua. Misalkan lamina itu mencakup daerah S
dibidang XY dengan kerapatan (massa per satuan kelas) dinyatakan oleh δ(x,y),
maka massa lamina adalah
m = ∬δ (x , y )dA
dan pusat massa dari lamina adalah titik (x,y) dengan
x = M ym = ∬xδ (x , y )dA
∬δ (x , y )dA y = M xm = ∬
yδ (x , y )dA
∬δ (x , y)dA
Momen Inersia
Momen inersia ditandai oleh I, adalah perkalian massa dengan kuadrat jarak,
yaitu: I = r2m.
Jika suatu sistem yang terdiri dari n partikel pada suatu bidang dengan massa m1,
m2, ..., mn dan berjarak r1, r2, ..., rn dari garis L maka momen inersia sistem itu
terhadap L didefinisikan sebagai
I = ∑k=1
n
mk r2k
Untuk lamina dengan kerapatan δ(x,y) yang mencakup daerah S dari bidang XY,
maka momen inersia lamina terhadap sumbu-sumbu X, Y dan Z berturut-turut
diberikan oleh:
Ix = ∬ y2δ (x , y )dA
Iy = ∬ x2δ (x , y )dA
Iz = ∬( y¿¿2+x2)δ (x , y )dA ¿ = Ix + Iy
Contoh:
x
y
8
y = x2/34
0
Sebuah lamina dengan kerapatan δ(x,y) = xy dibatasi sumbu x, garis x = 8 dan
kurva y = x2/3 . Tentukan massa totalnya! Tentukan momen inersia terhadap
sumbu x, y dan z!
Penyelesaian:
m = ∬ x , y dA
= ∫0
8
∫0
x32
xy dy dx
= ∫0
8 [ x y2
2 ]0
x23
dx
= ∫0
8 12x
73 dx
= 12 [ 3
10x
103 ]
0
8
= 7685 = 153,6
Ix = ∬ x y3dA = ∫0
8
∫0
x32
x y3dy dx = 14∫0
8
x113 dx = 6144
7 = 877,71
Ix = ∬ x3 y dA = ∫0
8
∫0
x31
x3 ydy dx = 14∫0
8
x133 dx = 6144
Iz = Ix +Iy = 877, 71 + 6144 = 7021,21
Contoh:
Tentukan massa dan pusat dari lamina yang dinyatakan oleh f(x,y) = 2x-y+4
dengan massa jenis δ(x,y) = x - y.
Jawab:
Proyeksi f(x,y) = 2x - y + 4 pada bidang XOY. R ={(x,y)|-2≤x≤0, 0≤y≤2x+4}
Massa, m = ∬δ (x , y )dA= ∫−2
0
( ∫0
2x+4
( x− y )dy)dx = -8
Momen terhadap sumbu Y, My = ∬δ (x , y )dA= ∫−2
0
( ∫0
2x+4
x ( x− y )dy )dx = 163
G
S
X
Y
Z
Momen terhadap sumbu X, Mx = ∬δ (x , y )dA= ∫−2
0
( ∫0
2x+4
y (x− y )dy)dx = 3289
Pusat massa, (M ym , M xm ) = (−2
3, 41
9 )
Luas Permukaan
Misalkan G suatu permukaan dengan persamaan z = f(x,y) yang proyeksinya
suatu daerah tertutup terbatas S dibidang XY, sebagai gambar berikut:
Maka luas permukaan G ditulis A(G) diberikan sebagai
A(G) = ∬√ f x2+ f y2 +1dA
Dengan fx : turunan parsial f(x,y) terhadap x
fy : turunan parsial f(x,y) terhadap y
dA : dxdy atau dy/dx bersesuaian dengan batas S
Contoh:
Jika S daerah persegi panjang bidang XY yang dibatsi oleh garis x = 0, x = 1 dan
y= 0 dan y = 2, tentukan luas sebagian dari permukaan setengah tabung z =
√4−x2 yang terproyeksikan pada S.
Jawab:
Dalam Koordinat Cartesius S = {(x,y) : 0≤x≤1, 0≤y≤2}
Andaikan f(x,y) = √4−x2 , maka fx = -x/√4−x2, fy = 0,
A(G) = ∬√ f x2+ f y2 +1dA = ∬√ x2
4− x2 +1 dA = ∬ 2√4+x2 dA = ∫
0
1
∫0
2 2√4+ x2
dy
dx = 4∫0
1 2√4+x2
dx = 4[sin−1 x2 ]0
1
= 2π3
Contoh:
Tentukan luas permukaan z = x2 + y2 dibawah bidang z = 9
Jawab:
Permukaan G diproyeksikan ke bidang XY menjadi lingkaran Sdengan persamaan
x2 + y2 = 9
f(x,y) = x2 + y2
fx = 2x, fy = 2y, maka A(G) = ∬√4 x2+4 y2+1 dA.
Dalam koordinat kutub S={(x,y)|0≤θ≤2π, 0≤r≤3}
A(G) = ∫0
2π
∫0
3
√4 r2+1 r dr dθ
= ∫0
2π 18 [ 2
3( 4 r2−1 )
23]
0
3
dθ
= ∫0
2π1
12(37
32−1) dθ = π
6(37
32−1) ≈ 117,32
II.2.2 aplikasi integral lipat tiga
Volume Benda Pejal
Misalkan S benda pejal maka
∭dV=Volume S
Massa dan Pusat Massa
Misalkan S benda pejal non homogen dengan kerapatan dirumuskan sebagai
maka:
1.Massatotal m=∭ δ (x , y , z )dV
2. Pusat massa S adalah
Contoh:
Tentukan massa dan pusat massa suatu tabung pejal S, dengan menganggap
kerapatan sebanding terhadap jarak dari alas.
Penyelesaian:
Dengan S ditinjau seperti yang diperlihatkan pada gambar 4, kita dapat
menuliskan fungsi kerapatan sebagai δ (x , y , z )=kz, dengan k suatu konstanta.
Maka ,
Mxy = ∭s
❑
zδ (x , y , z )dV=k∫0
2 π
∫0
θ
∫0
h
z2 r dzdr dθ
¿k∫0
2π
∫0
θ 13h3 rdθ=1
3kh3∫
0
2π
∫0
θ
r dr dθ
= 13kh3πa2
z = M xy
m=
13k h3πa2
12k h2πa2
=23h
dari simetri x = y = 0.
Contoh 2 :
Tentukan volume daerah pejal S yang dibatasi di atas oleh paraboloid z = 4 – x 2 –
y2 , di bawah oleh z = 0, dan secara menyamping oleh y = 0 dan tabung x2 + y2 =
2x, seperti diperlihatkan pada gambar 5.
Penyelesaian :
Dalam koordinat tabung, paraboloid adalah z = 4 – r2 dan tabung adalah r = 2
cosϑ. Jadi :
V=∭S
❑
1dV=¿∫0
π2
∫0
2cosθ
∫0
4−r2
r dz dr dθ ¿
¿∫0
π2
∫0
2cosθ
∫0
4−r 2
r ( 4−r2 )dr dθ=¿∫0
π2
❑[2 r2−14r4]
0
2cosθ
dθ¿
¿∫0
π /2
(8cos2θ−4cos4θ )dθ
¿8 . 12. π
2−4 . 3
8. π
2=5 π
4
Gambar 5