BAB IIILIMIT DAN FUNGSI KONTINU
3.1 Pengertian Limit
3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit
3.3 Limit Satu Sisi
3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga
3.5 Limit Fungsi Trigonometri
3.6 Bilangan Alam
3.7 Fungsi Kontinu
Konsep limit mempunyai peranan yang sangat penting di dalam kalkulus dan berbagai bidang
matematika. Oleh karena itu, konsep ini sangat perlu untuk dipahami. Meskipun pada awalnya konsep
limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan sedikit bantuan cara numeris kemudian konsep ini bisa
dimengerti. Dan kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitung limit relative mudah. Mengingat hal
itu, maka pada bagian pertama Bab ini limit diterangkan secara intuitive (numeris). Kemudian pada bagian
selanjutnya, dikembangkan teknik penghitungan limit.
3.1 Pengertian Limit
Terlebih dahulu diperhatikan fungsi . Grafik diberikan pada Gambar 3.1.1 di
bawah ini.
58
Apa yang terjadi dengan apabila x cukup dekat dengan 2? Perhatikan table 3.1.1 berikut.
Tabel 3.1.1x x
3 12 1,5 5,25
2,05 7,2025 1,95 6,8025
2,001 7,004001 1,999 6,996001
2,0001 7,00040001 1,9999 6,99960001
Dari table terlihat bahwa apabila x cukup dekat dengan 2, maka mendekati 7. Hal ini tidak
mengherankan, karena apabila dihitung . Dalam hal ini dikatakan bahwa limit f(x) x
mendekati 2 sama dengan 7, ditulis:
Selanjutnya, perhatikan fungsi f yang ditentukan oleh rumus:
59
Gambar 3.1.1
●
2
7
Fungsi f tersebut tidak terdefinisikan di x = 1 karena di titik ini f(x) berbentuk . Tetapi masih dapat
dipertanyakan apa yang terjadi pada f(x) bilamana x mendekati 1 tetapi . Untuk ,
Dari table 3.1.2 di bawah terlibat bahwa apabila x cukup dekat dengan 1, maka nilai mendekati 2.
Jadi,
Tabel 3.1.2
x x
60
○
(a). (b).
1
Gambar 3.1.2
2 3 0,5 1,5
1,05 2,05 0,99 1,99
1,001 2,001 0,999975 1,999975
1,00000017 2,00000017 0,9999999 1,9999999
Dari beberapa uraian di atas, berikut diberikan definisi limit.
Secara matematis definisi di atas dapat ditulis sebagai berikut.
Catatan: Pada definisi limit di atas, fungsi f tidak perlu terdefinisikan di c. Limit f(x) untuk x mendekati c
mungkin ada walaupun f tidak terdefinisikan di c.
Contoh 3.1.2 Buktikan bahwa (2x –5) = 3.
Penyelesaian:
|(2x –5) – 3| = |2x – 8| = |2(x – 4)| = |2| |x – 4| = 2|x – 4|
61
Definisi 3.1.1 Limit f(x) x mendekati c sama dengan L, ditulis:
jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi , maka f(x) mendekati L.
jika untuk setiap bilangan > 0 yang diberikan (berapapun kecilnya) terdapat bilangan
> 0 sehingga untuk setiap dengan berlaku .
Diberikan bilangan > 0 sebarang. Apabila diambil = /2, maka untuk setiap x di dalam domain f yang
memenuhi 0 <|x – 4| < berlaku:
|(2x – 5) – 3| = 2 |x – 4| < 2 = 2./2 = .█
Contoh 3.1.3 Buktikan bahwa untuk c > 0, .
Penyelesaian:
(3.1.1)
Ditinjau x >0 dengan sifat . Menurut ketidaksamaan segitiga:
Hal ini berakibat:
(3.1.2)
Selanjutnya, dari (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh:
,
untuk setiap x>0. Diberikan bilangan > 0 sebarang. Apabila diambil maka untuk
setiap x>0 dengan berlaku:
Jadi, untuk setiap > 0 terdapat δ>0 sehingga untuk setiap x>0 dengan berlaku:
.█
Agar bisa lebih mendalami hitung limit, berikut diberikan sifat-sifat dasar limit.
62
Teorema 3.1.4 Jika ada maka nilainya tunggal.
Bukti: Misalkan dan . Akan ditunjukkan bahwa .
Diberikan sebarang, maka terdapat sehingga:
i. , untuk setiap dengan .
ii. , untuk setiap dengan .
Apabila diambil maka untuk setiap dengan berlaku:
Hal ini berarti .█
Contoh 3.1.5 Tunjukkan bahwa tidak ada.
Penyelesaian: Untuk ,
Sementara, untuk ,
Karena nilai limit tidak tunggal maka tidak ada.█
3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit
Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat diperlukan dalam
hitung limit. (Dengan berbagai pertimbangan bukti teorema tidak disertakan dalam buku ini).
63
Teorema 3.2.1 (i). , .
(ii). .
Contoh 3.2.3
(a).
(b).
64
Teorema 3.2.2 Jika dan keduanya ada dan maka berlaku pernyataan-
pernyataan berikut:
i.
ii.
iii.
iv. , asalkan
v. Untuk : (a).
(b). , asalkan
(c). , asalkan untuk n genap
(c). .█
Contoh 3.2.4 Hitung .
Penyelesaian: Karena limit penyebut sama dengan 0, maka Teorema 3.2.2 (iv) tidak dapat digunakan.
Akan tetapi, hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada soal di atas, yang akan dihitung adalah nilai
limit untuk x mendekati 2, bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan
teknik-teknik aljabar, untuk diperoleh:
Sehingga:
.█
Contoh 3.2.5 Tentukan .
Penyelesaian:
.█
Contoh 3.2.6 Tentukan .
Penyelesaian:
65
.█
Pada contoh-contoh di atas telah digambarkan bagaimana teknik-teknik aljabar dapat digunakan
untuk menyelesaikan soal hitung limit. Namun demikian tidak semua soal limit dapat diselesaikan dengan
cara demikian. Sebagai contoh, misalnya .
Dalam berbagai hal, teorema di bawah ini sangat membantu dalam penyelesaian soal hitung limit.
Contoh 3.2.8 Tentukan .
Penyelesaian: Untuk , . Oleh karena itu, untuk berlaku:
Hal ini berakibat:
Selanjutnya, karena maka .█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 6, tunjukkan pernyataan berikut dengan definisi limit.
66
Teorema 3.2.7 (Teorema Apit) Misalkan f, g, dan h fungsi-fungsi sehingga
untuk semua x di dalam interval terbuka yang memuat c, kecuali mungkin di c. Jika
maka .
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. Jika , tunjukkan bahwa tidak ada.
Untuk soal 8 – 20, hitunglah masing-masing limit jika ada.
8. 9. 10.
11. 12. 13.
14. 15. 16.
17. 18. 19.
20. 21. 22.
3.3 Limit Satu Sisi
Kiranya mudah dipahami bahwa tidak ada, karena tidak terdefinisikan untuk .
Namun demikian, apabila maka ada dan nilainya sama dengan 0. Hal ini membawa kita
kepada definisi berikut ini.
67
Secara matematis, definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
(i). jika dan hanya jika untuk setiap ada sehingga untuk setiap
berlaku .
(ii). jika dan hanya jika untuk setiap ada sehingga untuk setiap
berlaku .
68
Definisi 3.3.1 (i). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval . Apabila untuk x di
dalam yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka dikatakan bahwa L
merupakan limit kanan f(x) untuk x mendekati c, ditulis:
(ii). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval . Apabila untuk x di dalam
yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka dikatakan bahwa L merupakan limit kiri f(x)
untuk x mendekati c, ditulis:
Contoh 3.3.2 (a). dan tidak ada.
(b). Untuk bilangan bulat n,
dan
Contoh 3.3.3 Tentukan jika diketahui:
Penyelesaian:
(a). Untuk x cukup dekat dengan 0 (baik x < 0 maupun x > 0), . Oleh karena itu,
(b). Untuk x cukup dekat dengan 1 dan x < 1, . Sehingga:
69
L
L
L
c c+δ
LL
L
c-δ c
Gambar 3.3.1
(a) (b)
Tetapi, untuk x cukup dekat dengan 1 dan x > 1, . Sehingga:
.█
Dari beberapa contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Limit kiri suatu fungsi ada tetapi limit
kanannya tidak ada (atau sebaliknya), limit kiri dan kanan suatu fungsi ada tetapi nilainya tidak sama, dan
limit kiri dan kanan suatu fungsi ada dan nilainya sama. Selanjutnya, karena ketunggalan limit maka
diperoleh pernyataan berikut.
Sebagai akibat langsung dari Teorema di atas, diperoleh:
Pada Contoh 3.3.3 di atas, karena maka tidak ada.
Contoh 3.3.6 Diberikan:
Karena untuk , , maka:
.
Secara sama,
.
Selanjutnya, karena maka: .█
70
Teorema 3.3.4 jika dan hanya jika .
Akibat 3.3.5 Jika maka tidak ada.
Contoh 3.3.7 Tentukan jika diketahui:
Penyelesaian:
Jadi, .█
3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga
Terlebih dahulu diperhatikan masalah hitung limit berikut: . Untuk nilai-nilai x yang cukup
dekat dengan 0, maka nilai-nilai diberikan pada table berikut ini.
Tabel 3.4.1
x x
1 1 −1 1
0,5 4 −0,5 4
0,01 10.000 −0,01 10.000
0,0001 100.000.000 −0,0001 100.000.000
0,000005 40.000.000.000 −0,000005 40.000.000.000
71
Dari Tabel 3.4.1 di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai
menjadi semakin besar. Bahkan nilai akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0, baik
dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi dapat dilihat pada Gambar 3.4.1.
Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis:
Secara sama mudah diperlihatkan:
Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:
72
21
)(x
xf
Gambar 3.4.1
Secara matematis, Definisi di atas dapat ditulis sebagai:
Contoh 3.4.2
(a). (b). .
Di atas telah diterangkan pengertian limit untuk , dengan c suatu bilangan berhingga. Akan
tetapi, dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai apabila nilai x cukup besar.
Sebagai contoh, bagaimana nilai apabila nilai x cukup besar? Tabel 3.4.2 di bawah
memperlihatkan nilai f untuk berbagai nilai x. Ternyata semakin besar nilai x (arah positif), nilai
semakin kecil mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan:
Tabel 3.4.2 (a) (b)
x x
73
Definisi 3.4.1 (i). jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi , maka f(x) menjadi besar tak
terbatas arah positif.
(ii). jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi , maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah
negatif.
(atau −∞) jika untuk setiap bilangan real terdapat bilangan real sehingga untuk setiap dengan
sifat berlaku (atau )
10 0,1 −1 −1
1.000.000 0,000001 −1.000.000 −0,000001
5.000.000 0,0000002 −5.000.000 −0,0000002
100.000.000 0,00000001 −100.000.000 −0,00000001
Secara sama, apabila x besar tak terbatas arah negative ternyata berakibat mendekati nol, yaitu:
Kemudian dapat diturunkan pengertian limit menuju tak hingga. Hal itu dituliskan dalam definisi
berikut.
Secara matematis, Definisi 3.4.3 dapat ditulis sebagai:
Mudah ditunjukkan bahwa:
74
Definisi 3.4.3 (i). jika terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah positif)
dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah positif) maka mendekati L.
(ii). jika terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah negatif) dan jika x
menjadi besar tak terbatas (arah negatif) maka mendekati L.
(i). jika untuk setiap bilangan real terdapat bilangan sehingga untuk
setiap berlaku .
(ii). jika untuk setiap bilangan real terdapat bilangan sehingga untuk
setiap berlaku .
dan
Contoh 3.4.4 Tentukan .
Penyelesaian: Untuk , . Sehingga . Selanjutnya, karena maka dengan
Teorema Apit diperoleh:
.█
Contoh 3.4.5 Hitung .
Penyelesaian: Karena:
maka sifat limit perbagian tidak dapat digunakan. Namun demikian apabila pembilang dan penyebut sama-
sama dibagi dengan maka:
.█
Contoh 3.4.6 Tentukan .
Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan , diperoleh:
75
.█
Contoh 3.4.7 Hitung .
Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan , diperoleh:
.█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 20, tentukan nilai limitnya jika ada. Jika tidak ada limitnya, terangkan alasannya!
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
76
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20.
21. Tentukan , , dan jika diberikan:
22. Fungsi f yang terdefinisikan pada dikatakan genap (atau ganjil) jika (atau
) untuk setiap . Jika maka tentukan jika: (a). f
genap, (b). f ganjil.
3.5 Limit Fungsi Trigonometri
Dengan memanfaatkan Teorema Apit, dapat ditunjukkan teorema di bawah ini.
Contoh 3.5.2 Hitung .
77
Teorema 3.5.1 (i). .
(ii). .
Penyelesaian:
Tetapi untuk berakibat dan , sehingga:
.█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 12, hitunglah nilai limitnya.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
3.6 Bilangan Alam
Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada rumus binomium Newton. Untuk sebarang
dan :
(3.6.1)
Apabila diambil , maka dari (3.6.1) diperoleh:
78
Karena maka menurut Teorema Apit nilai ada. Berdasarkan perhitungan, untuk
diperoleh:
Selanjutnya, e disebut bilangan alam. Secara sama dapat ditunjukkan:
(3.6.2)
Mudah ditunjukkan bahwa untuk berlaku:
Selanjutnya, apabila diberikan sebarang bilangan real positif x maka dapat dicari bilangan asli m dan n
sehingga . Hal ini berakibat:
dan karena maka sekali lagi dengan Teorema Apit diperoleh:
(3.6.3)
Berdasarkan (3.6.2), tentunya mudah dipahami bahwa:
(3.6.4)
Selanjutnya, apabila diambil substitusi , maka untuk berakibat . Sehingga, dari (3.6.3)
dan (3.6.4) diperoleh:
(3.6.5)
Contoh 3.6.1 Hitung .
79
Penyelesaian: Apabila diambil substitusi maka berturut-turut diperoleh:
(i). , sehingga .
(ii). Karena maka untuk berakibat .
Selanjutnya, berdasarkan (3.6.4):
.█
Contoh 3.6.2 Tentukan .
Penyelesaian: Soal dapat ditulis:
Diambil substitusi . Jika maka . Selanjutnya, menurut (3.6.5) diperoleh:
.█
Teorema berikut ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan soal-soal hitung limit yang berkaitan
dengan bilangan alam. Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Contoh 3.6.4 Tentukan .
80
Teorema 3.6.3 Apabila dan maka:
Penyelesaian: Soal dapat ditulis:
Apabila berturut-turut diambil dan maka:
Selanjutnya, menurut Teorema 3.6.3:
.█
Contoh 3.6.5 Hitung .
Penyelesaian:
Selanjutnya, jika diambil dan maka:
Sehingga menurut Teorema 3.6.3:
.█
Contoh 3.6.6 Selesaikan .
Penyelesaian: Tulis:
81
Berturut-turut diambil substitusi:
maka:
(i).
(ii).
Selanjutnya, dari (i) dan (ii) diperoleh:
.█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 10, hitunglah nilai limitnya.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
3.7 Fungsi Kontinu
82
Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, kadang-kadang nilai sama dengan ,
kadang pula tidak sama. Pada kenyataannya, meskipun tidak terdefinisikan akan tetapi
mungkin ada. Apabila = maka dikatakan fungsi f kontinu di c.
Definisi 3.7.1 di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi f kontinu di a, yaitu:
(i). f(a) ada atau terdefinisikan,
(ii). ada, dan
(iii).
Secara grafik, fungsi f kontinu di jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat a tidak
terpotong di titik . Jika fungsi f tidak kontinu di a maka dikatakan f diskontinu di a. Pada
Gambar, f kontinu di x1 dan di setiap titik di dalam kecuali di titik-titik x2, x3, dan x4. Fungsi f
diskontinu di x2 karena tidak ada, diskontinu di x3 karena nilai tidak sama dengan nilai
fungsi di x3 (meskipun keduanya ada), dan diskontinu di x4 karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.
83
a x1 x2 x3 x4 b
Gambar 3.7.1
Definisi 3.7.1 Fungsi f dikatakan kontinu di jika
Fungsi f dikatakan kontinu pada interval I jika f kontinu di setiap titik anggota I.
Contoh 3.7.2
(a). Fungsi f dengan rumus diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak terdefinisi.
(b). Fungsi Heavyside H yang didefinisikan oleh
diskontinu di x = 0 sebab tidak ada.
(c). Fungsi g dengan definisi:
diskontinu di x = 2 sebab g(2) = 3 sedangkan . Namun
demikian fungsi g kontinu di x = 1 sebab .█
Berikut sifat-sifat dasar fungsi kontinu.
Seperti halnya pada hitung limit, dalam kekontinuan juga dikenal istilah kontinu satu sisi. Hal itu
diberikan pada definisi berikut ini.
84
Teorema 3.7.3 Jika fungsi f dan g kontinu di a, dan k sebarang konstanta real, maka f+g,
f – g, kf, dan fg kontinu di a. Demikian pula, kontinu di a asalkan .
Definisi 3.7.4 (i). Fungsi f dikatakan kontinu dari kiri di a jika .
(ii). Fungsi f dikatakan kontinu dari kanan di c jika
Contoh 3.7.5 Diberikan Selidikilah kekontinuan fungsi f.
Penyelesaian:
Jelas f tidak kontinu pada dan pada sebab f tidak terdefinisi pada interval tersebut.
Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh:
Jadi, f kontinu pada (1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan:
dan
sehingga f kontinu dari kanan di x = 1 dan kontinu dari kiri di x = 1. Jadi, f kontinu pada .█
Contoh 3.7.7
(a). kontinu pada R .
(b). kontinu pada R ; .
(c). kontinu pada .█
Hubungan antara fungsi kontinu dan hitung limit dinyatakan dalam teorema berikut.
85
Teorema 3.7.6 Fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi akar, fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan
fungsi trigonometri kontinu pada domainnya masing-masing.
Teorema 3.7.8 Jika f kontinu di b dan maka Dengan kata lain
Contoh 3.7.9 Hitung .
Penyelesaian: Namakan dan . Karena dan f kontinu di x = 2 maka
.█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 8, tentukan titik-titik di mana fungsi berikut diskontinu.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8.
9. Selidiki kontinuitas pada
10.Jika maka tunjukkan bahwa f kontinu pada .
Untuk soal 11 – 13, tentukan nilai a dan b agar fungsi-fungsi berikut kontinu untuk pada R.
11. 12.
86