Kisi – Kisi Soal Olimpiade

1. Nilai dari (0,25)0,5 + (0,04)-0,5 = ……..

a. 0,30

b. 5,50

c. 0,70

d. 4,50

e. 0,52

Jawab :

(0,25)0,5 + (0,04)-0,5 = (0,25)1/2 +

1

(0 ,04 )1 2

= (0,52)1/2 +

1

(0,22)1 2

= 0,5 +

10,2

= 0,5 + 5

= 5,5 (jawaban b)

2. Bentuk sederhana dari

y−1+xy−2

1−x2 y−2 adalah…..

a.

1y + x b.

1y − x

c. x + y

d. x – y

e. –y – x

Jawab :

y−1+xy−2

1−x2 y−2 =

y−1+xy−2

1−x2 y−2 x

xy2

xy2

=

xy+x2

xy2−x3

=

x ( y+ x )x( y+x )( y−x )

=

1y−x (jawaban b)

3. Akar – akar persamaan kuadrat 3x2 + 5x + m = 0 adalah x1dan x2. Jika x12 +

x22 = 5, maka nilai m adalah…..

a. 6

23

b. - 6

23

c. 3

13

d. -3

13

e. 4 ½

Jawab :

a = 3, b = 5, c = m → x1 + x2 =

−ba

= −53

→ x1 . x2 =

ca

= m3

→ x12+ x2

2 = 5

x12+ x2

2 = (x1 + x2)2 – 2(x1 + x2) = 5

(−5

3 )2

- 2 ⋅ m

3 = 5

259

− 2m3 = 5

− 2m

3 = 5 -

259

− 2m

3 =

209

-18m = 60

m = -3

13 (jawaban D)

4. Akar – akar persamaan kuadrat x2-4kx + (3k+9) = 0 adalah α dan β dengan α

= β + 2, maka nilai k adalah…..

a. -2 atau − 5

4

b. 2 atau 5

c. -2 atau − 5

4

d. 2 atau -5

e. -8 atau 5

Jawab :

Dari persamaan tersebut diperoleh a = 1, b = -4k, c = 3k + 9

α + β = −ba =

4 k1 = 4k

α . β =

ca = 3k + 9

α = β + 2, maka

α – β = 2

(α – β)2 = 22

α2 + β2 - 2αβ = 4

(α + β)2 - 2αβ - 2αβ = 4

(α + β)2 - 4αβ = 4

(4k)2 – 3(k+9) = 4

16k2 – 12k – 36 = 4

4k2 – 3k – 9 = 1

4k2 – 3k – 10 = 0

(4k + 5) (k - 2) = 0

k = − 5

4 atau k = 2 (Jawaban c)

5. Akar-akar persamaan 32+x + 31-x = 12 adalah x1 dan x2. Nilai dari 2x1+2x2=…..

a. -4

b. -2

c. -1

d.4

9

e.2

3

Jawab :

Misal 3x = p

32 . 3x + 3 . 3-x = 12

9 . p + 3 . 1p = 12

9p +

3p = 12

9p2 + 3 = 12p

9p2 – 12p + 3 = 0

3p2 – 4p + 1 = 0

(3p - 1) (p - 1) = 0

3p = 1 √ p = 1

p =

13 3x = 1

x p

3x =

13 x = 0

x = -1

jadi 2x1+2x2 = 2 (-1) + 2 (0) = -2 (jawaban B)

6. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 22x+4 + 31 . 2x+1 – 8 > 0 adalah

a. {x 4 - ׀ < x < -2}

b. {x 5 - ׀ < x < -3} c. {x < x׀

13 }

d. {x {x > -3 ׀

e. {x {x > -2 ׀

Jawab :

22x+4 + 31 . 2x+1 – 8 > 0

22x+2 . 22 + 31 . 2x+1 – 8 > 0

4 (22x+1)2 + 31 . 2x+1 – 8 > 0

Misal 22x+1 = p

4 p2 + 31p– 8 > 0

(4p - 1) (p + 8) > 0

p < -8 atau p >

14

↓

Tidak memenuhi

p >

14 → 22x+1 >

14

22x+1 > 4-1

22x+1 > 2-2

x + 1 > -2

x > -3

jadi HP {x x > -3} → (jawaban D) ׀

7. Penyelesaian dari pertidaksamaan x2−5 x+4x−3 <

x2+x−2x−2 adalah……

a. x < 1 atau 2 < x <

145 atau x > 3

b. x < 1 atau 2 < x <

145 atau x > 3

c. 1 < x < 2 atau

145 < x < 3

d. 1 < x < 2 atau

145 < x < 3

e. x < 1 atau x >

145

Jawab :

x2−5 x+4x−3 <

x2+x−2x−2

x2−5 x+4x−3 -

x2+x−2x−2 < 0

( x−1)( x−4 )x−3 -

( x−1)( x+2 )x−2 < 0

( x−1)( x−4 )( x−2) − (x−1)( x+2)( x−3 )( x−3 )( x−2) < 0

( x−1){( x−2 )(x−4 )− ( x−3 )( x+2)}( x−3)( x−2 ) < 0

( x−1){( x2−6x+8 )− ( x2−x−6 )}(x−2)( x−3 ) < 0

( x−1)(14−5 x )( x−2 )(x−3) < 0

Diperoleh :

X = 1, x = 2, x = 3, x =

145

x < 1 atau 2 < x <

145 atau x > 3 (jawaban A)

8. Sebuah segitiga memunyai alas yang panjangnya 3 cm lebih pendek dari

tingginya dan luasnya kurang dari 27 cm2, jika tinggi segitiga itu t cm

maka…..

a. 6 < t < 9

b. 3 < t < 9

c. 3 < t < 6

d. 0 < t < 9

e. 0 < t < 6

Jawab :

a = (t-3)

L < 27 → ½ a.t < 27

½ (t-3) t < 27

½ t2 - 3

2 t – 27 < 0

t2 – 3t – 54 < 0

(t + 6) (t-9) < 0

-6 < t < 9

Karena panjang selalu positif dank arena alas selalu kurang dari 3 cm dari

tingginya, maka nilai t yang memenuhi adalah 3 < t < 9 (jawaban B)

9. Pada dasar sebuah tong terdapat 3 buah keran. Dalam kedaan penuh, dengan

membuka keran pertama dan kedua saja, tong tersebut dapat dikosongkan

pada waktu 70 menit, jika yang dibuka keran pertama dan ketiga saja, tong

tersebut kosong dalam waktu 84 menit; jika yang dibuka keran kedua dan

ketiga saja, tong itu dapat dikosongkan dalam waktu 140 menit. Jika keran itu

dibuka bersama-sama, tong dapat dikosongkan dalam waktu….. menit.

a. 65

b. 60

c. 55

d. 50

e. 45

Jawab :

Misal kecepatan air pada keran 1 : V1 → V1 + V2 =

x70

kecepatan air pada keran 2 : V2 → V1 + V3 =

x84

kecepatan air pada keran 3 : V1 → V2 + V3 =

x140

Jadi jika 3 keran sekaligus persamaannya menjadi :

V1 + V2 + V1 + V3 + V2 + V3 =

x70 +

x84 +

x140

2 (V1 + V2 + V3) =

14 x420

V1 + V2 + V3 =

7x420

V1 + V2 + V3 =

x60

Jadi , waktu yang dierlukan adalah 60 menit (Jawaban B)

10. Suatu lapangan berbentuk persegi panjang dengan panjang 3 kali lebarnya.

Pada tepi sebelah luar sisi lapangan tersebut dibuat jalur jalan yang lebarnya 4

m. jika seluruh jalan (daerah yang diarsir pada gambar) luasnya 232 m2 luas

lapangan tersebut adalah ……… m2

a. 100

b. 300

c. 350

d. 522,78

e. 546,75

Jawab :

Lebar = x

Panjang = 3x

Luas jalan = 232 m2

Luas jalan = (x + 4) (3x + 8) – 3x . x

232 = 3x2 + 20x + 32 – 3x2

200 = 20x

X = 10 m

Luas lapangan = 3x . x

= 3. 100

= 300 (Jawaban B)

11. Diketahui nilai tan x = −2

3 , maka nilai

5 sin x + 6 cos x2 cos x − 3 sin x adalah….

a. −7

6

b.−1

3

c.

13

d.

23

e.

76

Jawab :

5 sin x + 6 cos x2 cos x − 3 sin x =

5 sin x + 6 cos x2 cos x − 3 sin x

x

1cos x

1cos x

=

5 sin xcos x

+ 6 cos xcos x

2 cos xcos x

− 3 sin xcos x

x

1cos x

1cos x

=

5 tan x + 62 − 3 tan x

=

5 ( 23) + 6

2 − 3 (−23)

=

−103

+ 183

2 + 2

=

834 =

23 (Jawaban D)

12. Bentuk yang identik dengan

sin 4 x + cos2 xsin2 x

+ cos2 x adalah…..

a. sin2x

b. cos2x

c. cosec2x

d. sec2x

e. tan2x

Jawab :

sin 4 x + cos2 xsin2 x

+ cos2 x =

sin4 x + cos2 x+cos2 x −sin2 xsin2 x

=

sin4 x + cos2 x+(1−sin2 x ) . sin2 xsin2 x

=

sin4 x + cos2 x+sin2 x −sin4 xsin2 x

=

cos2x+sin2 xsin2 x

=

1sin2 x

= cosec2x (Jawaban C)

13. Diketahui tan 15o = p. nilai dari

tan 165o − tan 105o

1 + tan 165o tan 105o adalah…..

a.

p2−1p b.

p2−12 p c.

1−p2

p

d.1−p2

2 e.

1−p2

2 p

Jawab :

Diket : tan 15o = p

tan 165o − tan 105o

1 + tan 165o tan 105o =

tan (180o−150o )− tan (90o+15o )1 + tan (180o−150o ) − tan (90o+15o )

=

−tan 15o −(−cot 15o)1 + (−tan 15o ) (−cot 15o )

=

−tan 15o +cot 15o

1 + tan 15ocot 15o

=

− tan 15o + 1tan 15o

1 +tan 15o . 1tan 15o

=

−p + 1p

1 + 1

=

1−p2

2 p (Jawaban E)

14. Nilai dari

sin 3744o . sin 1854o

cos 774o . cos2396o = ……

a. -1

b. 1

c. Cot236o

d. Sec236o

e. Sec 36o

Jawab :

sin 3744o . sin 1854o

cos 774o . cos2396o =

sin (10 x 360o+144o ). sin(5 x 360o+54o )cos (2 x 360o+54o ). cos2 ( 360o+36o )

=

sin 144osin 54o

cos 54o . cos 36o cos 36o

=

sin (180o−36o ) sin( 90o−36o )cos (90o−36o ). cos 36o cos 36o

=

sin 36o cos 36o

sin 36o . cos 36o cos 36o

=

1cosec 36o

= sec 36o (Jawaban E)

15. Nilai dari tan 75o + tan 15o = …….

a. 0

b. 1

c. √3

d. 2√3e. 4

Jawab :

tan 75o + tan 15o =

sin 75o

cos 75o+ sin 15o

cos 15o

=

sin 75ocos 15o+sin 15ocos 75o

cos 75o . cos 15o

=

sin (75o+15o )1

2 (cos 90o+cos 60o )

=

2sin 90o

cos 90o+cos 60o

=

2 . 1

0 + 12 = 4 (Jawaban e)

16. Nilai dari log 30 -

148 Log 10

+ 116 Log 10 = ……..

a. 10

b. Log 60

c. Log 18

d. 1

e. 0

Jawab :

148 Log 10

+ 116 Log 10 = log 30 – log 48 + log 16

= log

30 x1648

= log 10 = 1 (Jawaban D)

17. Diketahui log 2 = a dan log 3 = b. Nilai Log 3√152

= ……

a.

2(a+b )3

b.

2(a−b)3

c.

2(1−a+b)3

d.

2(1+a−b)3

e.

3(1−a+b )3

Jawab :

Log 3√152

= log 15⅔ = ⅔ log 15

= ⅔ . (log

302 )

= ⅔ (log 30 – log 2)

= ⅔ (log (3.10) – log 2)

= ⅔ (log 3 + log 10 – log 2)

=

2(1−a+b)3 (Jawaban C)

18. Nilai dari Limx→0

4 x√1−2x−√1+2 x

=……

a. -2

b. 0

c. 1

d. 2

e. 4

Jawab :

Limx→0

4 x√1−2x−√1+2 x

= Limx→0

4 x√1−2x−√1+2 x

x

√1−2x+√1+2 x√1−2x+√1+2 x

= Limx→0

4 x (√1−2x+√1+2x )(1−2x )(1+2 x )

= Limx→0

4 x (√1−2x+√1+2x )−4 x

= Limx→0

−(√1−2 x+√1+2 x )

= - (−( √1−0+√1+0) )

= - (1+1)

= -2 (Jawaban A)

19. Nilai dari Limx→0

sin 3 x −sin 3 xcos 2x2 x3

=……

a. ½

b. ⅔

c. 3/2

d. 2

e. 3

Jawab :

Limx→0

sin 3 x −sin 3 xcos 2x2 x3

= Limx→0

sin 3 x (1−cos 2 x )2 x3

= Limx→0

sin 3 x (2 sin2 x )2 x3

= Limx→0

sin 3 x sin2 xx3

=

sin 3 x3 x

. sin xx

. sin xx

. 31

= 1. 1.1.3

= 3 (Jawaban E)

20. Nilai

Limx→ π

4

cos 2 xcos x − sin x

= ……

a. 0

b. ½ √2

c. 1

d. √2

e. ∞

Jawab :

Limx→ π

4

cos 2 xcos x − sin x

=

Limx→ π

4

cos 2 xcos x − sin x x

(cos x + sin x )(cos x + sin x )

=

Limx→ π

4

cos 2 x (cos x + sin x )cos2 x − sin 2 x

=

Limx→ π

4

cos 2 x (cos x + sin x )cos 2 x

=

Limx→ π

4 cos x + sin x

= cos π4 + sin

π4

= ½ √2 + ½ √2

= √2 (Jawaban D)

21. Suku ke-5 dari barisan geometri : k, 3k, 8k+4, ……….adalah……

a. 1296

b. 648

c. 324

d. 162

e. 81

Jawab :

Rasio =

U3

U2=U 2

U 1

8 k + 43k

= 3kk

8k2 + 4k = 9k2

-k2 + 4k = 0

K = 0 √ k = 4 → berarti deret yang dimaksud adalah 4, 12, 36,…

dengan a=4, r = 3

Tidak Memenuhi

Maka U5 = arn-1

= ar4

= 4 . 34

= 324 (Jawaban C)

22. Jumlah n suku pertama dari deret log 2 + log 8 + log 32 +……. Adalah….

a. (2+n2) log 2

b. n2log 2

c. (n + n2) log 2

d. ½n (n+1) log 2

e. ½n (n+2) log 2

Jawab :

Diketahui deret log 2 + log 8 + log 32 +…….

= log 2 + log 23 + log 25 +…….

= log 2 + 3 log 2 + 5 log 2 +…….

Maka a = log 2, b = 2 log 2

Sn =

n2 (2a + (n-1) b)

=

n2 (2 . log 2 + (n-1) 2 log 2)

=

n2 (2 . log 2 + 2n log 2 - 2 log 2)

=

n2 (2n log 2)

= n2 log 2 (Jawaban B)

23. Jika suku ke-p dari suatu deret geometri adalah 2p. sedangkan suku ke – 2p

adalah p. jumlah p suku pertama deret itu adalah…..

a. 1 - p√2

b. 1 + p√2

c.

2 p1−√2

d.

2 pp√2−1

e.

2 p√ p−1

Jawab :

Up = arp-1

= 2p

U2p = ar2p-1

= p

U2p

U p= ar 2 p−1

ar p−1 =

p2 p

rp = ½

r =

1p√2

suku pertama deret geometri yang dimaksud adalah….

Up = arp-1 = 2p

arp-1 = 2p

a =

2 pr p−1

=

2 pr p

. r

=

2 p12

. 1p√2

=

4 pp√2

Jumlah p suku pertama deret geometri yang dimaksud adalah….

Sp =

a (1−r p )1−r

=

4 pp√2

(1−12)

1 −1p√2

=

2 pp√2−1 (Jawaban D)

24. Trapesium ABCD, DC // AB. T titik potong perpanjangan A dan BC. Panjang

TA = ……..

a. 24

b. 20

c. 18

d. 16

e. 12

Jawab :

TDDC =

TAAB

TD9 =

TD + 815

15 TD = 9TD + 72

6 TD = 72

TD = 12

Jadi TA = TD + DA = 12 + 8 = 20 (Jawaban B)

25. Dalam segitiga pada gambar AP = 5, dan BP = 5√2 . Panjang PQ = …..

a. 5√3

b.

103 √3 c. 6

d. 10

e. 15

Jawab :

AB = √AP2 + PB2

= √52 + (5√2)2

= √25 + 50

= √75

= 5√3

Pada ∆ tersebut, terlihat bahwa < PBQ = < PAB maka:

PBAB =

PQPB

5√25√3 =

PQ5√2

PQ =

5√2 x5√25√3

=

10√3 =

103 √3

(Jawaban B)

26. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 2x – 6y – 7 = 0 di titik

yang beraksis 5 adalah…..

a. 4x + y – 4 = 0

b. 4x + y – 15 = 0

c. 4x - y – 18 = 0

d. 4x - y + 4 = 0

e. 4x - y + 10 = 0

Jawab :

x2 + y2 – 2x – 6y – 7 = 0

52 + y2 – 2.5 – 6y – 7 = 0

25 + y2 – 10 – 6y – 7 = 0

y2– 6y – 8 = 0

(y - 2) (y - 4)

Y = 2 √ y = 4

Diperoleh (5, 2) dan (5, 4)

(5, 2)

Persamaan garis singgung

x1x + y1y + ½ A (x + x1) + ½ B (y + y1) + c = 0

5x + 2y + ½ (-2) (x + 5) + ½ (-6) (y + 2) + (-7) = 0

5x + 2y - x - 5 - 3y – 12 - 7 = 0

4x – y – 18 = 0

(5, 4)

Persamaan garis singgung

x1x + y1y + ½ A (x + x1) + ½ B (y + y1) + c = 0

5x + 4y + ½ (-2) (x + 5) + ½ (-6) (y + 4) + (-7) = 0

5x + 4y - x - 5 - 3y – 12 - 7 = 0

4x + y – 24 = 0

Jadi jawabannya adalah 4x – y – 18 = 0 (Jawaban C)

27. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 yang tegak

lurus garis 5x + 12y + 15 = 0 adalah…….

a. 12x + 5y – 41 = 0 dan 12x + 5y + 37 = 0

b. 12x + 5y + 41 = 0 dan 12x + 5y - 37 = 0

c. 5x + 12y + 41 = 0 dan 5x + 12y + 37 = 0

d. 5x + 12y - 41 = 0 dan 5x + 12y -37 = 0

e. 12x - 5y - 41 = 0 dan 12x - 5y + 37 = 0

Jawab :

x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0

5x + 12y + 15 = 0

-12y = -15 – 5x

y =

512x + 15

12

┴, m1 = − 1m2

m1 = −12

5

persamaan garis singgung

y + 2 = −12

5 (x - 1) + √(1+(−125

)2) ((−1)2+22+4

y + 2 = −12

5 x +

125 + √169

25. 9

y + 2 = −12

5 x +

125 +

395

g1 = y + 2 = −12

5 x +

125 +

395

125 x + y + 2 -

515 = 0

12x + 5y + 10 – 51 = 0

12x + 5y – 41 = 0

g2 y + 2 = −12

5 x +

125 -

395

125 x + y + 2 +

275 = 0

12x + 5y + 10 + 27 = 0

12x + 5y + 37 = 0

(Jawaban A)

28. Nilai dari ∫0

π6

4 sin 7 x cos 3 x dx = ……

a.− 3

20

b.−13

10

c.−5

7

d.

1310

e.

1720

Jawab :

∫0

π6

4 sin 7 x cos 3x dx

2∫0

π6

2 sin 7 x cos 3 x dx = 2

∫0

π6

2 sin (7 x+3 x ) + sin (7 x − 3 x )

= 2∫0

π6

sin 10 x + sin 4 x dx

= 2 [-1

10cos 10 x − 1

4cos 4 x ]0

π6

= 2 [(−1

10. 12

. 14(−1

2))−(− 1

10− 1

4)]

= 2 [−1

20+ 1

8+ 1

10+ 1

4 ]= 2 [

120

+ 38 ]

= 2 [1740 ] =

1720 (Jawaban E)

29. Nilai dari 16 ∫ (x + 3) cos (2x − π ) dx =

a. 8 (2x + 6) sin (2x - π) + 4 cos (2x - π) + c

b. 8 (2x + 6) sin (2x - π) - 4 cos (2x - π) + c

c. 8 (x + 3) sin (2x - π) + 4 cos (3x - π) + c

d. 8 (x + 3) sin (2x - π) - 4 cos (2x - π) + c

e. 8 (x + 3) cos (2x - π) + 4 sin (2x - π) + c

Jawab :

16 ∫ (x + 3) cos (2 x − π ) dx

U dv

Misal :

U = x + 3 → du = dx

dv = cos (2x - π) dx

v = ∫cos (2 x − π ) dx

= ½ sin (2x - π)

∫u dv = u . v - ∫ v du= 16 (x + 3) . ½ sin (2x - π) - ∫ ½ sin (2x - π) dx

= 16 ( ½ (x + 3) sin (2x - π) + ¼ cos (2x - π) ) + c

= 8 (x + 3) sin (2x - π) + 4 cos (2x - π) ) + c (Jawaban C)

30. Diketahui ∫a

3

(3x2+2x+1) dx = 25. Nilai ½ a = …….

a. -4

b. -2

c. -1

d. 1

e. 2

Jawab :

∫a

3

(3x2+2x+1) dx = 25

[ x3 + x2 + x ]a3= 25

33 + 32 + 3 - (a3 + a2 + a) = 25

27 + 9 + 3 - (a3 + a2 + a) = 25

- (a3 + a2 + a) = - 14

a3 + a2 + a = 14

a3 + a2 + a – 14 = 0

(a - 2) (a2 + 3a + 7) = 0

a = 2 √ a2 + 3a + 7 = 0 → D < 0, maka nilai a yang diperoleh tidak real.

Maka nilai ½ a = ½ . 2 = 1 (Jawaban D)