Download - Kelas xii bab 3
![Page 1: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/1.jpg)
Matriks adalah suatu susunan angka atau bilangan, variabel, atau parameter yang berbentuk empat persegi dan biasanya ditutup dengan tanda kurung. (JOSEP BINTANG KALANGI, MATEMATIKA EKONOMI & BISNIS buku 2, hal 113)
![Page 2: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/2.jpg)
KONSEP MATRIKSSetiap bilangan pada matriks disebut elemen (unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukan oleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.Contoh :
a b
c d
Kolom ke 1
Kolom ke 2
baris ke 1 baris ke 2
A =
![Page 3: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/3.jpg)
Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo 2 X 2 ditulis A2X2 atau (a22).
βOrdo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.β
a b
c d
Kolom ke 1
Kolom ke 2
baris ke 1 baris ke 2
A =
![Page 4: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/4.jpg)
KESAMAAN MATRIKSMatriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B.
Contoh :
Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 2 x 3Definisi:Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika :a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama.b. Unsur-unsur yang seletak pada matriks A dan matriks B sama.
a b c
d e fA =a b c
d e fB =dan
![Page 5: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/5.jpg)
MACAM-MACAM MATRIKS
![Page 6: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/6.jpg)
MATRIKS BARISMatriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris.
Contoh : A = ( 4 3 2 4 )
![Page 7: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/7.jpg)
MATRIKS KOLOMMatriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom
Contoh : A = 4
5
-1
![Page 8: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/8.jpg)
MATRIKS PERSEGI ATAU MATRIKS BUJUR SANGKAR
Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah kolom
Contoh :Contoh : A = ,
4 5 -1
5 2 4
3 2 1
jumlah baris = jumlah kolom
![Page 9: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/9.jpg)
MATRIKS NOLMatriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo m x n ,ditulis dengan huruf O
Contoh : O2X3 = 0 0 0
0 0 0
0 0 0
![Page 10: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/10.jpg)
MATRIKS SEGI TIGAMatriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 (nol).
Contoh : C = , D = 2 0 0 0
3 7 0 0
-9 0 8 0
4 1 -3 5
8 2 1 -3
0 6 5 4
0 0 3 7
0 0 0 9
![Page 11: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/11.jpg)
MATRIKS DIAGONALMatriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.
Contoh : E = 5 0 0 0
0 7 0 0
0 0 -2 0
0 0 0 8
![Page 12: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/12.jpg)
MATRIKS SKALARMatriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.
Contoh : F = 7 0 0 0
0 7 0 0
0 0 7 0
0 0 0 7
![Page 13: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/13.jpg)
MATRIKS IDENTITAS ATAU MATRIKS SATUAN Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks
diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya 1 (satu) ditulis dengan huruf I.
Contoh : I3 = , I4 =
I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
![Page 14: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/14.jpg)
MATRIKS SIMETRISMatriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji.
Contoh : G =
Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga
1 3 2 5
3 4 6 9
2 6 7 8
5 9 10 2
![Page 15: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/15.jpg)
MATRIKS MENDATARMatriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.
Contoh : H2X3 = 3 2 1
4 5 1
![Page 16: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/16.jpg)
MATRIKS TEGAK Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.
Contoh : K3x2 = 1 -8
4 1
9 1
![Page 17: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/17.jpg)
MATRIKS TRANSPOS ( notasi At ) Transpos A adalah matriks baru dimana elemen
kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga = elemen baris ketiga matriks A.Misal Matriks A =
Maka Transpos A adalah At =
Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3
1 -2 5 8
9 1 4 2
0 3 -2 -3
1 9 0
-2 1 3
5 4 -2
8 2 -3
![Page 18: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/18.jpg)
SIFAT-SIFAT MATRIKS TRANSPOS
1) ( A + B )t = At + Bt
2) ( At )t = A 3) ( AB )t = Bt At
![Page 19: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/19.jpg)
OPERASI MATRIKS
![Page 20: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/20.jpg)
PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN 2 MATRIKS
Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama.
Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
![Page 21: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/21.jpg)
CONTOH
Jika A = , dan B =
Maka A + B = =
A - B = =
3 2 1
5 4 6
7 5 -3
-2 1 0
3+7 2+5 1+(-3)
5+(-2) 4+1 6+0
10 7 -2
3 5 6
3-7 2-5 1-(-3)
5-(-2) 4-1 6-0
-4 -3 4
7 3 6
![Page 22: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/22.jpg)
BEBERAPA SIFAT YANG BERLAKU PADA PENJUMLAHAN MATRIKS
1) A + B = B = A ( Sifat Komutatif)2) (A + B) + C = A + ( B + C) (Sifat Asosiatif)3) A + 0 = 0 + A = A (Sifat Identitas tambah)
![Page 23: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/23.jpg)
PERKALIAN BILANGAN REAL DENGAN MATRIKS
Jika k adalah suatu bilangan Real (skalar) dan Matriks A = (aij), maka Matriks kA = (kaij) adalah suatu matriks yang di peroleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
Jadi, jika A = , maka : kA =
Contoh : Misal A = ,
maka 3A = 3 = =
7 5 -3
-2 1 0
a11 a12
a21 a22
ka11 ka12
ka21 ka22
7 5 -3
-2 1 0
3.7 3.5 3.(-3)
3.(-2)
3.1 3.0
21 15 -9
-6 3 0
![Page 24: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/24.jpg)
SIFAT-SIFAT PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REALJika a dan b bilangan real, maka :( a + b )A = aA + bAa ( A + B ) = aA + aBa( bA ) = (ab)A
![Page 25: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/25.jpg)
PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS (PERKALIAN 2 MATRIKS)
Matriks A yang berordo mxp dengan suatu matriks B yang berordo pxn adalah matriks C yang berordo mxn.A mxp.Bpxn = C mxn
Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah : Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.
![Page 26: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/26.jpg)
Secara umum jika A = >> ordo matriks 2x3
B = >> ordo matriks 3x2
C = A . B = >> ordo matriks 2x2
Dimana
a11 a12 a13
a21 a22 a23
b11 b12
b21 b22
b31 b32
c11 c12
c21 c22
c11 = a11b11+a12b21+a13b31
c12 = a11b12+a12b22+a13b32
c21 = a21b11+a22b21+a23b31
c22 = a21b12+a22b22+a23b32
![Page 27: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/27.jpg)
DETERMINAN MATRIKS
Determinan matriks π΄ di definisikan sebagai selisih antara perkalian elemen - elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen - elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks dinotasikan dengan det π΄ atau |π΄|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.
![Page 28: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/28.jpg)
DETERMINAN MATRIKS ORDO 2x2
Jika Matriks A = maka det (A) = |A| = | |= ad β bc
Contoh :P = maka,
det (P) = |P| = | | = (2.3) β (1.(-6)) = 6+6 = 12
a b
c da b
c d
2 1
-6 3
2 1
-6 3
![Page 29: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/29.jpg)
DETERMINAN MATRIKS ORDO 3x3
Untuk mencari determinanmatriks berordod apatdigunakan dua metode, sebagaiberikut:
MetodeSarrusMetodeEkspansiKofaktor
![Page 30: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/30.jpg)
METODE SARRUSCara ini paling tepat digunakan untuk menentukan determinan matriks ordo 3Γ3. Cara sarrus : i. Tuliskan kolom pertama dan kedua dari determinan awal di sebelah kanan setelah kolom ketiga.
ii. Kalikan unsur β unsur pada keenam diagonal, yaitu tiga kolom diagonal utama (dari kiri ke kanan) dan tiga kolom diagonal pendamping (dari kanan ke kiri). Hasil kali diagonal utama dijumlahkan dan hasil kali pada diagonal pendamping dikurangkan.
![Page 31: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/31.jpg)
Jika Matriks B =
maka det (B) = |B| =
= ptx + quv + rsw β vtr βwup β xsq
Perlu diperhatikan bahwa Metode Sarrus tidak berlaku bila matriks berordo 4x4 dan yang lebih tinggi lagi.
p q r
s t u
v w x
p q r
s t u
v w x
p q
s t
v w
![Page 32: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/32.jpg)
METODE EKSPANSI KOFAKTORa. Pengertian Minor . Minor suatu matriks π΄ dilambangkan
dengan π΄π΄j adalah matriks bagian dari π΄ yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen - elemennya pada baris ke-π΄ dan elemen elemen pada kolom ke-π΄.
Contoh : Q = maka,
M11 = , M12 = , M13 =
M11, M12 , M13 merupakan sub,matriks hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks Q
3 2 4
1 7 5
7 2 3
3 2
1 7
3 2
1 7
3 2
1 7
![Page 33: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/33.jpg)
b. Pengertian Kofaktor Kofaktor suatu elemen baris ke-π΄ dan kolom ke-π΄dari matriks A dilambangkan dengan
π΄π΄j =(β1)π΄+π΄. |π΄π΄j| = (β1)π΄+π΄.det (π΄π΄.j)
Penentuan tanda dr determinan matriks persegi berodo 3x3 :
Untuk mencari det (A) dg metode ekspansi kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi bari ke -1
+ - +
- + -
+ - +
![Page 34: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/34.jpg)
CONTOHπ΄ =
Untuk mendapatkan det(π΄) dengan metode kofaktor adalah mencari terlebih dahulu determinan β determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi baris ke-1 diatas, yaitu :
M11= , det(π΄11) = 11 ; M12= , det(π΄12) = -32 ;
M13= , det(π΄13)=β 47
det(π΄)= π΄11.π΄11+π΄12.π΄12+π΄13.π΄13
= (β1)1+1.|π΄11|.π΄11+ (β1)1+2.|π΄12|.π΄12 + (β1)1+3.|π΄13|.π΄13
=11.3 β (β32).2 + (β47).4 =33+64β188 = β91
3 2 4
1 7 5
7 2 3
7 5
2 3
1 5
7 3
1 7
7 2
![Page 35: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/35.jpg)
ADJOIN MATRIKSAdjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A = (k ij )T
CONTOH :
k11= (-1)1+1 | =11 ; k12= (-1)1+2 =32 ;
k13= (-1)1+3 =β47 ; k21= (-1)2+1 =2 ;
k22= (-1)2+2 | |=β19 ; k23 = (-1)2+3 =8 ;
k31= (-1)3+1 =β18 ; k32= (-1)3+2 =β11
k33= (-1)3+3 =18
3 2 4
1 7 5
7 2 3
3 2
1 71 5
7 31 7
7 2
2 4
2 3
3 4
7 3
3 2
7 2
2 4
7 5
3 4
1 5
3 2
1 7
![Page 36: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/36.jpg)
Adj Q = =
Jika A= maka kofaktor-kofaktornya adalah k11= d, k12 = β c, k 21= β b dan k 22 = a.
Kemudian Adj A = =
Hal ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen pada diagonal utamanya dan mengubah tanda pada elemen-elemen pada diagonal lainnya.
k11 k12 k13
k21 k22 k23
k31 k32 k33
11 2 -18
32 -19 -11
-47 8 18
a b
c d
k11 k12
k21 k22d -b
-c a
![Page 37: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/37.jpg)
INVERS MATRIKSInvers matriks adalah lawan atau kebalikan suatu matriks dalam perkalian yang dilambangkan dengan A-1. Definisi:Jika matriks A dan B sedemikian sehingga A x B = B x A = I , dimana I matriks identitas maka B disebut invers dari A dan A invers dari B. Karena invers matriks A dilambangkan dengan A-1 maka berlaku: A x A-1 = A-1 x A= I Dimana I adalah matrik identitas.
![Page 38: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/38.jpg)
INVERS MATRIKS ORDO 2Γ2Rumus Invers Matriks Berordo 2 Γ 2Misalkan A = invers dari A adalah A-1, yaitu
A -1 = , dengan det A β 0
2 1
-3 -2
β
βac
bd
Adet
1
![Page 39: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/39.jpg)
Contoh :Tentukan invers dari matriks D = Jawab :det D = = 3(11) β (β7)(β6) = 33 β 42 = β9
D -1= =
= =
β
β117
63
β
β117
63
37
611
det
1
A
β 37
611
9
1
ββ
ββ
9
3
9
79
6
9
11
ββ
ββ
3
1
9
73
2
9
11
![Page 40: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/40.jpg)
INVERS MATRIKS ORDO 3Γ3Contoh: B = , tentukan B-1!
Untuk mencari determinan matriks B, cara paling praktis adalah dengan metode kofaktor dengan mengekspansi baris yang memuat nol terbanyak yaitu baris ke-3, maka :
Det(B) = |B| = k31 . b31 + k32 . b32 + k33 . B33= (-1)3+1 .0+(-1)3+2 .0+(-1)3+3 .6 = 0 + 0 + 24 = 24
1 2 3
0 4 5
0 0 6
54
32
50
31
40
21
![Page 41: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/41.jpg)
![Page 42: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/42.jpg)
![Page 43: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/43.jpg)
MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
= x
y
1
ad - bc
d -b
-c -a
p
q
![Page 44: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/44.jpg)
CONTOHTENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIANSISTEM PERSAMAAN LINIER BERIKUT
2x + y = 43x + 2y = 9
=2 1
-3 -2
x
y
4
9
![Page 45: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/45.jpg)
Persamaan Matriks diatas dapat ditulis menjadiAX =B, A = , X = , B =
det A = | | = 1 dan A-1 = 1/1 =
Oleh karena itu, X =A-1B = =
Jadi, HP adalah {(-1, 6)}
2 1
-3 -2
x
y
4
9
2 1
-3 -2
2 1
-3 -2
2 1
-3 -2
x
y
2 1
-3 -2
4
9
-1
6
![Page 46: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/46.jpg)
METODE CRAMERmetode cramer didasarkan atas perhitungan
determinan matriks. Suatu sistem persamaan linier Ax = b dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat di kerjakan dengan metode cramer, jika hasil perhitungan menunjukkan bahwa det(A)β 0.
![Page 47: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/47.jpg)
![Page 48: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/48.jpg)
![Page 49: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/49.jpg)
![Page 50: Kelas xii bab 3](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052212/55ab75531a28ab9c588b46e1/html5/thumbnails/50.jpg)