![Page 1: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/1.jpg)
Derivatif
ALZ DANNY WOWOR
KALKULUS (IT 131)
Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana
Bagian 4
Monday, July 1, 2013
![Page 2: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/2.jpg)
Cakupan Materi
A. Defenisi Derivatif
B. Rumus-rumus Derivatif
C. Aplikasi Derivatif
Monday, July 1, 2013
![Page 3: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/3.jpg)
A. Defenisi Derivatif
Monday, July 1, 2013
![Page 4: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/4.jpg)
Pendahuluan
Derivatif yang sering disebut sebagai diferensial atau turunan, merupakan salah satu bagian terbesar dari Kalkulus selain integral
Defenisi dari derivatif dapat ditemukan dengan menggunakan konsep limit.
Monday, July 1, 2013
![Page 5: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/5.jpg)
1. Defenisi derivatif dari konsep limit
Diberikan grafik berikut
Turunan fungsi f pada bilangan a dinyatakan dengan f’(a) adalah
f '(x) = limh→0
f (a + h) − f (a)h
jika limitnya ada
Monday, July 1, 2013
![Page 6: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/6.jpg)
Carlah turunan dari f(x) = x2 − 8x + 9 pada bilangan a.
Contoh 1
Penyelesaian:
Monday, July 1, 2013
![Page 7: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/7.jpg)
2. Dervatif sebagai kemiringan garis singgung
Garis singgung pada y = f(x) di titik (a, f(a)) adalah garis yang melalui (a, f(a)) yang kemiringannya sama dengan fʼ(a), yakni turunan f di a.
Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (a, f(a)):
y − f (a) = ′f (a)(x − a)
Monday, July 1, 2013
![Page 8: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/8.jpg)
Carlah persamaan garis singgung pada parabola y = x2 − 8x + 9 di titik (3, −6).
Contoh 2
Monday, July 1, 2013
![Page 9: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/9.jpg)
Penyelesaian Contoh 2
Jadi persamaan garis singgung, diperlihatkan pada gambar adalah
y − (−6) = (−2)(x − 3)
atau y = −2x
Dari Contoh 1, kita mengatahui bahwa turunan f(x) di a adalah f’(a) = 2a − 8.
Karena itu kemiringan garis singgung di (3, 6) adalah fʼ(3) = 2(3) − 8 = −2
Monday, July 1, 2013
![Page 10: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/10.jpg)
3. Derivatif dari fungsi
Bagian sebelum dibahas derivatif suatu fungsi f pada suatu titik tetap a dengan
Apabila dipandang a berubah-ubah. Jika a denganti dengan sebuah variabel x, diperoleh
Monday, July 1, 2013
![Page 11: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/11.jpg)
Jika f(x) = x3 − x, carilah rumus untuk fʼ(x)
Contoh 3
Penyelesaian
Monday, July 1, 2013
![Page 12: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh 4
Jika f(x) = x1/2, carilah derivatif dari f dan nyatakan domain dari fʻ.
Diperoleh fʼ(x) ada jika x > 0, sehingga domain fʼ adalah (0, ∞), yang lebih kecil dari domain f yaitu [0, ∞).
Penyelesaian
Monday, July 1, 2013
![Page 13: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/13.jpg)
B. Rumus-rumus Derivatif
Monday, July 1, 2013
![Page 14: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/14.jpg)
1. Derivatif Fungsi Konstanta
Diambil fungsi konstanta f(x) = c,
Grafiknya berupa garis mendatar y = c, yang kemiringannya 0.
Monday, July 1, 2013
![Page 15: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/15.jpg)
Bila dibuktikan dengan defenisi turunan
Sehingga Turunan Fungsi Konstanta dengan notasi Leibniz
ddx(c) = 0
Monday, July 1, 2013
![Page 16: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/16.jpg)
2. Turunan Fungsi Pangkat
Jika f(x) = xn, dengan n bilangan bulat positif, maka derivatif dari f(x) adalah
Monday, July 1, 2013
![Page 17: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/17.jpg)
Jika diambil n = 1, maka f(x) = x berupa garis y = x, yang memiliki kemiringan 1.
Sehinggaddx(x) = 1
Monday, July 1, 2013
![Page 18: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/18.jpg)
Hal yang sama juga terjadi untuk n = 2 dan n = 3. Diperoleh
ddx(x2 ) = 2x d
dx(x3) = 3x2
Sehingga secara umum jika n bilangan bulat positif, maka
ddx(xn ) = nxn−1
Monday, July 1, 2013
![Page 19: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh 5
a) Jika f(x) = x6, maka fʼ(x) = 6x5
b) Jika y = x1000, maka yʼ = 1000x999
c) Jika y = t4, maka dy/dt = 4t3
d) d/dt (r3) = 3r2
e) Du(um) = mum-1
Berikut diberikan soal dan penyelesaian, dengan berbagai notasi
Monday, July 1, 2013
![Page 20: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/20.jpg)
3. Derivatif Perkalian Konstanta
Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
ddx[cf (x)] = c d
dxf (x)
Turunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi tersebut.
Monday, July 1, 2013
![Page 21: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/21.jpg)
Bukti:
Misalkan g(x) = c·f(x), maka
Monday, July 1, 2013
![Page 22: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/22.jpg)
Contoh 6
Carilah derivatif dari: a) 3x4 dan b) −x
Pembahasan
a) ddx(3x4 ) = 3 d
dx(x4 ) = 3(4x3) =12x3
b) ddx(-x) = d
dx[(-1)(x) = (-1) d
dx(x) = -1(1) = -1
Monday, July 1, 2013
![Page 23: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/23.jpg)
4. Derivatif dari Aturan Jumlah
Derivatif dari jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan fungsi
Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan maka
ddx
f(x)+ g(x)[ ]= ddxf(x)+ d
dxg(x)
Monday, July 1, 2013
![Page 24: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/24.jpg)
Bukti
Misalkan F(x) = f(x) + g(x). Maka
Monday, July 1, 2013
![Page 25: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/25.jpg)
Lanjutan aturan jumlah
Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan teorema ini dua kali, diperoleh:
Untuk hubungan f - g sebagai f + (-1)g dan dengan aturan jumlah diperoleh
ddx
f(x) - g(x)[ ]= ddxf(x) - d
dxg(x)
Monday, July 1, 2013
![Page 26: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/26.jpg)
Contoh 7
Carilah turunan dari x8 + 12x5 − 4x4 + 10x3 − 6x + 5
Penyelesaian
Monday, July 1, 2013
![Page 27: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/27.jpg)
5. Derivatif Hasil Kali
Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan, maka
Monday, July 1, 2013
![Page 28: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/28.jpg)
Bukti
Misalkan F(x) = f(x)·g(x), maka
Monday, July 1, 2013
![Page 29: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/29.jpg)
Contoh 8
Carilah Fʼ(x) jika F(x) = (6x3)(7x4)
Pembahasan:
Monday, July 1, 2013
![Page 30: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/30.jpg)
6. Derivatif Hasil bagi
Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan, maka
Monday, July 1, 2013
![Page 31: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/31.jpg)
Bukti
Misalkan F(x) = f(x)·g(x), maka
Dengan menambahkan f(x)·g(x) − f(x)·g(x) pada pembilang maka diperoleh
Monday, July 1, 2013
![Page 32: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/32.jpg)
Monday, July 1, 2013
![Page 33: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/33.jpg)
Contoh 9
Diberikan y = x2 + x − 2x3 + 6
.
Pembahasan:
Carilah yʼ
Monday, July 1, 2013
![Page 34: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/34.jpg)
Derivatif Pangkat Umum
Jika n bilangan bulat positif, maka
ddx(xn ) = nxn−1
Jika n sembarang bilangan real, maka
ddx(x−n ) = −nx−n−1
Monday, July 1, 2013
![Page 35: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/35.jpg)
Contoh 10
Monday, July 1, 2013
![Page 36: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/36.jpg)
Contoh 11
Monday, July 1, 2013
![Page 37: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/37.jpg)
C. Aplikasi Derivatif
Monday, July 1, 2013
![Page 38: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/38.jpg)
Aplikasi dalam Fisika
Posisi partikel diberikan oleh persamaan s = f(t) = t3 − 6t2 + 9t, dengan t diukur dalam detik dan s dalam meter.
a) Carilah kecepatan pada waktu tb) Berapa kecepatan setelah 9 detik?c) Kapan partikel berhenti?
Monday, July 1, 2013
![Page 39: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/39.jpg)
Bahasan:
a) Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi
s = f (t) = t 3 − 6t 2 + 9t → v(t) = dsdt
= 3t 2 −12t + 9
b) Kecepatan setelah 4 detik, bermakna pada saat t = 4.
v(2) = dsdt t=4
= 3(4)2 −1(4) + 9 = 9 m / s
c) Partikel berhenti bilamana v(t) = 0, yaitu
3t 2 −12t + 9 = 3(t 2 − 4t + 3) = 3(t −1)(t − 3) = 0
Diperoleh t = 1 atau t = 3. Jadi partikel berhenti setelah 1 detik dan setelah 3 detik
Monday, July 1, 2013
![Page 40: KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020108/5a7757fe7f8b9a4b538de79b/html5/thumbnails/40.jpg)
Maslah Pengoptimalan
Monday, July 1, 2013