Transcript
Page 1: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

HANDOUT (BAHAN AJAR)

GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG

Sofyan Mahfudy

IAIN Mataram

Page 2: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

i

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah puji syukur kepada Alloh Ta’ala yang dengan rahmat dan

karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan handout yang sederhana ini.

Handout ini masih sangat banyak kekurangannya dikarenakan keterbatasan

waktu penulisan. Salah satunya adalah materi yang diambil hanya satu sub

materi yaitu lingkaran. Tentunya ke depan handout ini dapat disempurnakan

dan dikembangkan lagi sehingga lebih baik. Tujuan pembuatan handout ini

adalah sebagai upaya dan ikhtiar penulis untuk membuat referensi mata

kuliah bagi mahasiswa sehingga mudah dipahami dan didapatkan oleh

mahasiswa. Saran dan masukan yang positif tentunya sangat dibutuhkan oleh

penulis bagi sempurnanya handout ini ke depan. Akhirnya, semoga karya

sederhana ini dapat memberikan manfaatkan khususnya bagi mahasiswa yang

sedang menempuh mata kuliah Geometri Analitik Bidang.

Mataram, Juli 2016

Penulis

Page 3: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ..........................................................................................................................i

DAFTAR ISI ........................................................................................................................................ ii

LINGKARAN ....................................................................................................................................... 1

A. Tentang Lingkaran ........................................................................................................... 1

B. Definisi Lingkaran ............................................................................................................ 1

C. Persamaan Umum Lingkaran...................................................................................... 1

D. Persamaan Lingkaran dalam Bentuk lain ............................................................. 2

E. Garis singgung Lingkaran ............................................................................................. 3

F. Persamaan garis singgung dengan gradien (𝑚) tertentu ............................. 4

G. Kedudukan sebarang garis terhadap lingkaran ................................................. 5

H. Persamaan Garis Singgung melalui Titik pada Lingkaran ............................ 6

I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ...................................................................... 9

J. Garis singgung melalui di luar lingkaran............................................................ 11

K. SOAL-SOAL LATIHAN .................................................................................................. 14

REFERENSI ..................................................................................................................................... 15

Page 4: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

1

LINGKARAN

A. Tentang Lingkaran

Sejak lebih dari 2500 tahun silam bentuk lingkaran dianggap sebagai bentuk

yang paling sempurna. Lingkaran memiliki beberapa sifat yang istimewa

diantaranya adalah:

Diantara bangun datar yang memiliki luas sama, maka lingkaran-lah yang

memiliki keliling paling minimum. Pada dimensi 3 padanannya adalah

bola.

Selain identik dengan roda, lingkaran cocok untuk penutup saluran air

karena ia tidak akan jatuh ke dalam lubangnya.

Perbandingan keliling dan diameter selalu konsisten, selanjutnya

perbandingan tersebut disebut dengan 𝜋 (Archimedes menemukan

pendekatan 𝜋 ini 287-212 SM).

B. Definisi Lingkaran

Definisi lingkaran secara persis adalah “himpunan titik-titik pada bidang

sedemikian sehingga jarak titik-titik tersebut terhadap suatu titik tertentu

sama panjangnya”. Selanjutnya jarak tersebut disebut jari-jari/radius dan

titik tertentu disebut pusat lingkaran.

C. Persamaan Umum Lingkaran

Pada gambar 1.a, misalkan diketahui sebuah titik tertentu adalah (𝑎, 𝑏) dan

jaraknya adalah sebesar 𝑟, maka dengan konsep jarak dua titik diperoleh:

√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2= 𝑟2

Maka persamaan lingkaran dengan pusat (𝑎, 𝑏) dan jari-jari 𝑟 adalah

𝐿 ∶ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2= 𝑟2

Page 5: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

2

Jika lingkaran berpusat di O (0,0) dan jari-jari r maka nilai 𝑎 = 0 dan 𝑏 =

0, sehingga diperoleh:

𝐿 ∶ (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2= 𝑟2

𝐿 ∶ 𝑥2 + 𝑦2= 𝑟2

Latihan Soal A

Carilah persamaan lingkaran dengan ketentuan sebagai berikut:

1. Pusat O (0,0) dan jari-jari 3

2. Pusat P (−2,3) dan jari-jari 2

3. Pusat P (−5, −1) dan melalui (−2,2)

D. Persamaan Lingkaran dalam Bentuk lain

Apabila lingkaran dengan pusat (𝑎, 𝑏) dan jari-jari r yang berbentuk:

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2= 𝑟2

diuraikan, maka diperoleh bentuk:

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏2= 𝑟2

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2= 0

Sehingga apabila persamaan lingkaran dituliskan dalam bentuk

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 , maka diperoleh:

Gambar 1

Page 6: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

3

𝐴 = − 2𝑎 ⟹ 𝑎 = −1

2 𝐴 ; 𝐶 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 ⟹ 𝑟2 = 𝑎2 + 𝑏2 − C

𝐵 = − 2𝑏 ⟹ 𝑏 = −1

2 𝐵 ; 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝐶 =√

1

4𝐴2 +

1

4𝐵2 − 𝐶

Jadi lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 memiliki:

Pusat (−1

2 𝐴 , −

1

2 𝐵)

r = √1

4𝐴2 +

1

4𝐵2 − 𝐶

Latihan Soal B

Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut dan sketsalah:

1. 𝐿1 : 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 10𝑦 − 2 = 0

2. 𝐿2 : 𝑥2 + 𝑦2 + 20𝑥 + 36 = 0

3. 𝐿3 : 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑦 − 9 = 0

E. Garis singgung Lingkaran

Garis singgung suatu lingkaran adalah garis yang menyinggung lingkaran

tersebut sedemikian sehingga titik persekutuan garis dan lingkaran ada satu

dan hanya satu titik. Dari gambar 2 di bawah ini 𝑔1 menyinggung lingkaran

di titik D.

Gambar 2

Page 7: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

4

F. Persamaan garis singgung dengan gradien (𝒎) tertentu

Pada gambar 3 di atas garis 𝑔1 dan 𝑔2 memiliki gradien (𝑚) yang sama dan

keduanya merupakan garis singgung dari lingkaran 𝐿. Bagaimana mencari

persamaan garis 𝑔1 dan 𝑔2 jika gradien dan persamaan lingkaran yang

disinggungnya diketahui??

Jika garis 𝑔1 dan 𝑔2 memiliki persamaan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 dan menyinggung

lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, maka dengan mensubtitusikan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 ke

𝑥2 + 𝑦2= 𝑟2 diperoleh:

𝑥2 + (𝑚𝑥 + 𝑝)2= 𝑟2

𝑥2 + 𝑚2𝑥2 + 2𝑚𝑝𝑥 + 𝑝2 = 𝑟2

(𝑚2+1)𝑥2 + 2𝑚𝑝𝑥 + (𝑝2 − 𝑟2) = 0

Karena garis menyinggung lingkaran, maka hanya memiliki satu titik

persekutuan sehingga nilai deskriminan persamaan kuadrat tersebut

bernilai nol (𝐷 = 0)

𝐷 = 0

𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0

(2𝑚𝑐)2 − 4(𝑚2 + 1) (𝑝2 − 𝑟2) = 0

4𝑚2𝑝2 − 4(𝑚2𝑝2 − 𝑚2𝑟2+ 𝑝2 − 𝑟2) = 0

4𝑚2𝑝2 −4𝑚2𝑝2 + 4𝑚2𝑟2 − 4𝑝2 + 4𝑟2 = 0

Gambar 3

Page 8: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

5

𝑚2𝑟2 − 𝑝2 + 𝑟2 = 0

𝑝2 = 𝑟2(1+𝑚2) ⇒ 𝑝 = ± 𝑟 √1 + 𝑚2

Sehingga diperoleh persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat

𝑂 (0,0) dengan gradient 𝑚 adalah:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝

𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟 √1 + 𝑚2

Dengan cara yang sama, maka garis singgung lingkaran

𝐿: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 dengan gradien m adalah:

(𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟 √1 + 𝑚2

Latihan Soal C

1. Carilah persamaan singgung lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 dengan gradien (𝑚) = 2

3

2. Carilah persamaan garis singgung lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 10𝑦 − 2 =

0 dengan gradien (𝑚) = −2

G. Kedudukan sebarang garis terhadap lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran memiliki 3 kemungkinan seperti pada

gambar 4 di atas. Setiap kemungkinan memiliki ketentuan sebagai berikut:

Gambar 4

Page 9: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

6

1. Memotong (𝐷 > 0)

2. Tidak memotong dan tidak menyinggung (𝐷 < 0)

3. Menyinggung (𝐷 = 0)

𝐷 adalah nilai diskriminan (𝑏2 − 4𝑎𝑐) dari persamaan kuadrat yang

diperoleh dari substitusi persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran

H. Persamaan Garis Singgung melalui Titik pada Lingkaran

Pada gambar 5 terlihat titik 𝑃 (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 dan

garis 𝑔 adalah garis singgung lingkaran 𝐿 di titik 𝑃. Titik 𝑃 (𝑥1, 𝑦1) pada

lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, sehingga berlaku 𝑥12 + 𝑦1

2 = 𝑟2

Dari ilustrasi pada gambar 5 terlihat bahwa 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ ⊥ 𝑔

Jika 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ kita anggap sebagai sebuah garis yang memiliki gradien m OP̅̅̅̅ , maka

m OP̅̅̅̅ =

y1

x1

Karena 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ ⊥ 𝑔 maka berlaku

m OP̅̅̅̅ . mg = −1

mg = −1

m OP̅̅̅̅ sehingga mg = −

x1

y1

Jika persamaan garis 𝑔 adalah:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Gambar 5

Page 10: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

7

𝑦 − 𝑦1 = −𝑥1

𝑦1 (𝑥 − 𝑥1)

𝑦𝑦1 − 𝑦12 = −𝑥𝑥1 + 𝑥1

2

𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑥12 + 𝑦1

2

𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟2

Jadi diperoleh persamaan garis singung titik 𝑃 (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran 𝐿 ∶

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 adalah

𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟2

Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan, jika titik 𝑃 (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran

𝐿 ∶ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2, maka garis singgung lingkaran L melalui

𝑃 (𝑥1, 𝑦1) adalah (𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎)+ (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = 𝑟2. Pembuktiannya

adalah sebagai berikut:

Dari gambar 6 di atas terlihat bahwa titik 𝑃 (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran

𝐿 ∶ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 dan garis 𝑔 adalah garis singgung lingkaran 𝐿

di titik 𝑃. Titik 𝑃 (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran 𝐿 ∶ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2,

sehingga berlaku (𝑥1 − 𝑎)2 + (𝑦1 − 𝑏)2 = 𝑟2

Karena 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ ⊥ 𝑔 maka berlaku

m OP̅̅̅̅ . mg = −1

Gambar 6

Page 11: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

8

mg = −1

m OP̅̅̅̅

Karena m OP̅̅̅̅ =

𝑦1−𝑏

𝑥1−𝑎 sehingga mg = −

𝑥1−𝑎

𝑦1−𝑏

Jika persamaan garis 𝑔 adalah:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 𝑦1 = −𝑥1 − 𝑎

𝑦1 − 𝑏 (𝑥 − 𝑥1)

(𝑦 − 𝑦1)(𝑦1 − 𝑏) = −(𝑥1 − 𝑎)(𝑥 − 𝑥1)

𝑦𝑦1 − 𝑏𝑦 − 𝑦12 + 𝑏𝑦1 = −𝑥𝑥1 + 𝑥1

2 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥1

𝑥𝑥1 − 𝑎𝑥 + 𝑦𝑦1 − 𝑏𝑦 = 𝑥12 − 𝑎𝑥1 + 𝑦1

2 − 𝑏𝑦1

𝑥𝑥1 − 𝑎𝑥 + 𝑦𝑦1 − 𝑏𝑦 + (−𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 + 𝑎2 + 𝑏2)

= 𝑥12 − 𝑎𝑥1 + 𝑦1

2 − 𝑏𝑦1 + (−𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 + 𝑎2 + 𝑏2)

(𝑥𝑥1 − 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥1 + 𝑎2) + (𝑦𝑦1 − 𝑏𝑦 − 𝑏𝑦1 + 𝑏2)

= (𝑥12 − 2𝑎𝑥1 + 𝑎2) + (𝑦1

2 − 2𝑏𝑦1 + 𝑏2)

(𝑥𝑥1 − 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥1 + 𝑎2) + (𝑦𝑦1 − 𝑏𝑦 − 𝑏𝑦1 + 𝑏2) = (𝑥1 − 𝑎)2 + (𝑦1 − 𝑏)2

(𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎)+ (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = 𝑟2

Jadi diperoleh persamaan garis singung titik 𝑃 (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran

𝐿 ∶ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 adalah (𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎)+ (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = 𝑟2

Jika lingkaran dinyatakan dalam persamaan

𝐿: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, maka persamaan garis yang melalui titik

𝑃 (𝑥1, 𝑦1) pada 𝐿 adalah:

𝑥𝑥1 + y𝑦1 + 1

2𝐴(𝑥 + 𝑥1) +

1

2𝐵(𝑦 + 𝑦1) + 𝐶 = 0 (*)

Latihan Soal D

Tentukan persamaan garis singgung titik pada lingkaran sebagai berikut:

1. Titik 𝐴 (2, −√5) pada lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 9

2. Titik 𝑃 (−3,7) pada lingkaran (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 17

3. Titik 𝑄 (5, −6) pada lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 7 = 0

Page 12: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

9

I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran

Jika titik 𝑃 (𝑥0, 𝑦0) terletak di luar lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, maka dari titik

𝑃 dapat dibuat 2 buah garis singgung lingkaran 𝐿 seperti ditunjukkan pada

gambar 7. Garis singgung tersebut menyinggung lingkaran 𝐿 di titik 𝐴 (𝑥1, 𝑦1)

dan 𝐵 (𝑥2, 𝑦2). Karena titik 𝐴 dan 𝐵 pada 𝐿, maka persamaan garis singgung

yang melalui A dan B berturut-turut adalah 𝑔1: 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟2 dan 𝑔2: 𝑥𝑥2 +

𝑦𝑦2 = 𝑟2.

Karena 𝑔1 dan 𝑔2 melalui titik 𝑃 (𝑥0, 𝑦0), maka berlaku:

𝑥0𝑥1 + 𝑦0𝑦1 = 𝑟2 dan 𝑥0𝑥2 + 𝑦0𝑦2 = 𝑟2

Dari dua persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat

titik 𝐴 (𝑥1, 𝑦1) dan 𝐵 (𝑥2, 𝑦2) memenuhi persamaan: 𝑥0𝑥 + 𝑦0𝑦 = 𝑟2 (*).

Selanjutnya, persamaan garis (*) disebut persamaan garis kutub (polar)

lingkaran 𝐿. Garis polar tersebut melalui titik 𝐴 dan 𝐵 seperti terlihat pada

gambar 8 di bawah ini.

P (x0,y

0)

B (x2,y

2)

A (x1,y

1)

Gambar 7

Page 13: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

10

Selanjutnya dengan cara yang sama (buktikan sendiri) persamaan garis

kutub (polar) titik 𝑃 (𝑥0, 𝑦0) terhadap lingkaran

L : (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 adalah

(𝑥0 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦0 − 𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟2

Sedangkan persamaan garis kutub (polar) titik 𝑃 (𝑥0, 𝑦0) terhadap lingkaran

L : 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 adalah:

𝑥𝑥0 + 𝑦𝑦0 + 1

2𝐴(𝑥 + 𝑥0) +

1

2𝐵(𝑦 + 𝑦0) + 𝐶 = 0

Dari penyelesaian di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

1. Jika titik P di luar lingkaran, maka garis kutub (polar) nya adalah berupa

tali busur (memotong lingkaran di dua titik berbeda)

2. Jika titik P pada lingkaran, maka garis kutub (polar) nya adalah berupa

garis singgung lingkaran di titik tersebut

3. Jika titik P di dalam lingkaran, maka garis kutub (polar) nya tidak memotong

lingkaran

Latihan Soal E

Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap

lingkaran yang diketahui:

Gambar 8

Page 14: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

11

1. Titik A (5, −4) terhadap lingkaran x2+ y2 = 25

2. Titik P (1, −2) terhadap lingkaran (x − 4)2+ (y − 2)2 = 25

3. Titik P (−1,4) terhadap lingkaran (x − 4)2+ (y − 2)2 = 16

4. Titik Q (8,4) terhadap lingkaran x2+ y2 − 6x + 4y − 3 = 0

5. Titik R (1,1) terhadap lingkaran (x − 4)2+ (y − 2)2 = 16

J. Garis singgung melalui di luar lingkaran

Misalkan titik 𝑃 (𝑥0, 𝑦0) adalah titik di luar lingkaran 𝐿 dengan pusat (𝑎, 𝑏)

seperti sketsa pada gambar 9.

Akan ditentukan persamaan garis singgung yang melalui titik 𝑃 (𝑥0, 𝑦0) dan

menyinggung lingkaran 𝐿. Cara menentukan persamaan garisnya adalah

dengan memanfaatkan persamaan garis polar suatu lingkaran. Langkah-

langkahnya adalah seperti berikut ini:

1. Tentukan persamaan garis polar 𝑃 (𝑥0, 𝑦0) tersebut terhadap lingkaran

2. Potongkan garis polar (yang diperoleh dari langkah 1) terhadap

lingkaran, sehingga diperoleh dua titik potong

Gambar 9

Page 15: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

12

3. Selanjutnya dengan titik-titik potong yang diperoleh pada langkah 2

dapat ditentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan

persamaan garis singgung pada lingkaran. Akan diperoleh dua garis

singgung yang berbeda sebagaimana pada gambar 9.

Contoh Soal

Diketahui lingkaran 𝐿: 𝑥2 + 𝑦2 = 16 dan titik 𝑃(−3,4). Tentukanlah persamaan-

persamaan garis singgung lingkaran 𝐿 yang melalui titik 𝑃.

Solusi

Mudah ditunjukkan bahwa titik P berkedudukan di luar lingkaran L. Sehingga

langkah pertama adalah menentukan persamaan garis polar lingkaran 𝐿 di titik 𝑃.

Persamaan polarnya adalah 𝑔: − 3𝑥 + 4𝑦 = 16. Selanjutnya potongkan garis polar

𝑔 dengan lingkaran 𝐿.

Dengan mengubah −3𝑥 + 4𝑦 = 16 ⇒ 𝑦 = 16+3𝑥

4 ⇒ 𝑦 = 4 +

3

4𝑥, kemudian

subtitusikan ke lingkaran 𝐿. Diperoleh sebagai berikut:

𝑥2 + 𝑦2 = 16

𝑥2 + (4 +3

4𝑥)2 = 16

𝑥2 + 16 + 6𝑥 +9

16𝑥2 = 16

𝑥2 +9

16𝑥2 + 6𝑥 = 0

16𝑥2 + 9𝑥2 + 96𝑥 = 0

25𝑥2 + 96𝑥 = 0

𝑥(25𝑥 + 96) = 0

𝑥 = 0 atau 𝑥 = −96

25

Untuk 𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 = 4 +3

4(0) = 4. Jadi titik potong (0,4)

Untuk 𝑥 =96

25⇒ 𝑦 = 4 +

3

4(−

96

25) = 4 −

72

25=

28

25. Jadi titik potong (−

96

25,

28

25)

Titik (0,4) dan (−96

25,

28

25) merupakan titik singgung bagi garis singgung yang akan

ditentukan ehingga cara menentukan persamaan garis singgungnya adalah sama

dengan menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik pada lingkaran.

Sehingga persamaan-persamaan garis singgungnya adalah:

𝑔1: 𝑥(0) + 𝑦(4) = 16 ⟹ 𝑔1: 4𝑦 − 16 = 0 ⟹ 𝑔1: 𝑦 − 4 = 0

Page 16: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

13

𝑔2: 𝑥 (−96

25) + 𝑦 (

28

25) = 16 ⟹ 𝑔1: −96𝑥 + 28𝑦 = 400 ⟹ 𝑔1: 24𝑥 − 7𝑦 + 100 = 0

Jadi persamaan garis singgung lingkaran 𝐿: 𝑥2 + 𝑦2 = 16 dan melalui titik 𝑃(−3,4)

adalah

𝑦 − 4 = 0 dan 24𝑥 − 7𝑦 + 100 = 0

Page 17: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

14

K. SOAL-SOAL LATIHAN

1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik 𝐴 (3, 1) dan

𝐵 (−1, 3) serta titik pusatnya terletak pada garis 𝑔: 3𝑥 − 𝑦 − 2 = 0

2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A (3,0), B (0,2), dan

C (2,1)

3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat 𝐶 (1, −1) dan

menyinggung garis 𝑔: 5𝑥 − 12𝑦 + 9 = 0

4. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

𝐿: (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 9 di titik yang berabsis 1

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan

𝐿: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 9 yang sejajar garis 𝑔: −3𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0

6. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung lingkaran

𝐿: 𝑥2 + 𝑦2 + 10𝑥 − 6𝑦 − 2 = 0 yang tegak lurus dengan garis

ℎ: − 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0

7. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung lingkaran 𝐿: 𝑥2 + 𝑦2 =

25 yang melalui titik (−3 , 5)

8. Tentukan persamaan lingkaran dalam segitiga yang titik-titik sudutnya

mempunyai koordinat:

a. (10, 9), (– 4, 11), (– 6, – 3) b. (1, 7), (– 2, 8), (18, 12)

9. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu-x,

mempunyai pusat pada garis 𝑥 + 𝑦 = 7, dan melalui titik (5, 4)

10. Tentukan persamaan lingkaran yang dibatasi oleh segitiga yang sisi-

sisinya diberikan oleh persamaan 𝑥 + 7𝑦 – 30 = 0; 7𝑥 – 𝑦 – 10 = 0;

dan 4𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0

11. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung garis 3𝑥 – 4𝑦 + 5 =

0 dan 4𝑥 + 3𝑦 – 10 = 0 dan melalui titik (2, 4)

Page 18: GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG · I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Gambar

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

15

REFERENSI

Suryadi H.S. Teori dan Soal: Ilmu Ukur Analitik Ruang. Fakultas MIPA

Universitas Indoensia. 2001

Tim FMIPA Universitas Pendidikan Indonesia. Ilmu Ukur Analitik I dan II

(Geometri Analitik Bidang). 1971

Maxime Bocher. Plane Analytic Geometry. Havard University. 1915


Top Related