ELEKTRONIKA DIGITAL
Hak cipta pada penulisHak penerbitan pada penerbit
Tidak boleh diproduksi sebagian atau seluruhnya dalam bentuk apapunTanpa izin tertulis dari pengarang dan/atau penerbit
Kutipan Pasal 72 :Sanksi pelanggaran Undang-undang Hak Cipta (UU No. 10 Tahun 2012)
1. Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak melakukan perbuatan sebagaimana dimaksud dalam Pasal 2 ayat (1) atau Pasal (49) ayat (1) dan ayat (2) dipidana dengan pidana penjara masing-masing paling singkat 1 (satu) bulan dan/atau denda paling sedikit Rp. 1. 000.000,00 (satu juta rupiah), atau pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan atau denda paling banyak Rp. 5. 000.000.000,00 (lima miliar rupiah)
2. Barang siapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu Ciptaan atau hasil barang hasil pelanggaran Hak Cipta atau Hak Terkait sebagaimana dimaksud ayat (1) dipi-dana dengan pidana penjara paling lama 5 (lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp. 500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah)
PUSAKA MEDIA
ELEKTRONIKA DIGITAL
UNTUK MAHASISWA DAN UMUM
Dr. JUNAIDI, S.Si., M.Sc.
Perpustakaan Nasional RI: Katalog Dalam Terbitan (KDT)
ELEKTRONIKA DIGITAL
PenulisDr. JUNAIDI, S.Si., M.Sc.
Desain Cover & LayoutPusaka Media Design
vi + 135 hal : 15,5 x 23 cmCetakan Februari 2018
ISBN: 978-602-5420-78-8
PenerbitPusaka MediaJl. Endro Suratmin, Pandawa Raya No. 100Korpri Jaya Sukarame Bandarlampung082280035489email : [email protected] : www.pusakamedia.com
Dilarang mengutip atau memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini tanpa izin tertulis dari penerbit
v
Bismillahirrohmannirrohiim
Assalamu ‘Alaikum wr.wb.
Puji syukur kehadirat Allat SWT yang telah memberikan rahmat
dan karunia-NYA, sehingga kami mampu menyelesaikan
penerbitan Buku Elektronika Digital (Teori dan Aplikasi) untuk
Mahasiswa dan Umum.
Buku ini menjelaskan tentang konsep dasar bilangan digital dan
aplikasinya dalam sistem atau elektronika digital. Elektronika
digital adalah suatu ilmu yang membahas tentang berbagai piranti
digital, seperti komputer, sistem memori, dekoder-enkoder,
multiflexer, dan lain-lain. Buku ini lebih menekankan kepada
pemahaman dasar terkait sistem digital untuk aplikasi pada bidang
fisika dan instrumentasi. Buku ini membahas tentang system
bilangan, gerbang logika, aljabar Boole, dan minimalisasi fungsi
Boole.
Akhirnya kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak
yang turut membantu dalam penulisan dan penerbitan buku ini.
Kami sadari, masih banyak kekurangan dan kelemahan dalam
penyusunan buku ini. Semoga buku ini dapat memberikan manfaat
bagi kita semua.
Bandar Lampung, 25 November 2017 Penulis, Dr. Junaidi, S.Si., M.Sc.
vi
KATA PENGANTAR ................................................................................ v
DAFTAR ISI .............................................................................................. vi
BAB 1 SISTEM BILANGAN ...................................................................... 1
1.1 Sistem Bilangan Basis-10 (Desimal) ............................................... 1
1.2 Sistem Bilangan Basis-n .................................................................. 2
1.3 Operasi Aritmatika dalam system bilangan basis-n ......................... 4
1.4 Sistem Bilangan Negatif ................................................................... 6
1.5 Bilangan Decimal Dikodekan Biner (BCD) ...................................... 7
BAB 2 GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLE........................... 11
2.1 Inverter ........................................................................................... 12
2.1 Gerbang OR (A + B) ...................................................................... 14
2.3 Gerbang AND (A ● B) .................................................................... 16
2.4 Gerbang Exclusive OR (XOR) ....................................................... 19
2.5 Gerbang Not OR (NOR) ................................................................ 21
2.6 Gerbang Not AND (NAND) ............................................................ 25
2.7 Gerbang EXCLUSIVE NOR (X-NOR) ........................................... 28
BAB 3 MINIMALISASI FUNGSI BOOLE ................................................ 47
3.1 Minimalisasi dengan Fungsi MINTERM ........................................ 47
3.2 Minimalisasi dengan Fungsi MAXTERM ....................................... 55
3.3 Penyederhanaan Aljabar Boole ..................................................... 60
DAFTAR PUSTAKA
1
Sistem bilangan atau number sistem adalah deretan angka-
angka yang digunakan untuk mewakili besaran dari suatu sistem fisik.
Sistem bilangan menggunakan suatu bilangan dasar atau basis
(base/radix) yang tertentu. Komponen atau angka-angka yang tercantum
dalam sistem bilangan umumnya diwakilkan dengan deretan angka yang
memiliki bentuk umum 0, 1, … N-1. Dimana N adalah basis bilangan
yang diinginkan. Misalkan sistem bilangan dengan basis-5, maka akan
memiliki wakilan deratan angka dari 0, 1, 2, 3, dan 4 (N-1 = 5-1 = 4).
Artinya, sistem bilangan basis-5 memiliki angka maksimum sebesar 4
dengan jumlah deret angka sebanyak 5 dan seterusnya.
1.1 Sistem Bilangan Basis-10 (Desimal) Sistem bilangan desimal (Basis-10) adalah sistem bilangan yang
paling umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sistem bilangan
desimal menggunakan basis-10 dan menggunakan 10 macam simbol
bilangan yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan desimal
dapat berupa integer desimal (decimal integer) dan dapat juga berupa
pecahan desimal (decimal fraction). Sebagai contoh adalah deretan
angka 897342. Angka-angka tersebut apabila dijabarkan akan memiliki
bentuk: n-1 n-2 n-3 n-na×basis +b×basis +c×basis +...+z×basis (1.1)
Dari contoh di atas, deretan angka 897342 memiliki jumlah deret
angka sebanyak 6 digit (n). Sehingga pangkat pada bilangan pertamanya
adalah 5 (6-1). Sehingga deretan angka 897342 dapat dijabarkan
sebagai berikut: 5 4 3 2 1 08×10 +9×10 +7×10 +3×10 +4×10 +2×10 (1.2)
2 S I S T E M B I L A N G A N
Selain dengan cara penulisan di atas, untuk melihat nilai bilangan
desimal dapat digunakan perhitungan seperti berikut: 5
4
3
2
1
0
8×10 =8000009×10 = 900007×10 = 70003×10 = 2004×10 = 402×10 = 2
897342
1.2 Sistem Bilangan Basis-n
Sama halnya denga sistem bilangan basis-10, sistem bilangan
basis-n adalah sistem bilangan dengan basis sembarang. Dimana n
merupakan wakilan dari nilai basis (radix) nya. Dalam ilmu computer dan
teknonolgi digital, sistem bilangan yang umum digunakan selaian basis-
10 adalah basis-2 (biner), basis-8 (oktal), dan basis-16 (hexadesimal).
Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis-2 adalah
sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu 0
dan 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm
Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari
semua sistem bilangan berbasis digital. Dari sistem biner, kita dapat
mengkonversinya ke sistem bilangan Oktal atau Hexadesimal. Sistem ini
juga dapat kita sebut dengan istilah bit atau Binary Digit. Pengelompokan
biner dalam komputer selalu berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte. Dalam
istilah komputer, 1 Byte serata dengan 8 bit. Kode-kode rancang bangun
komputer, seperti kode ASCII (American Standard Code for Information
Interchange) menggunakan sistem peng-kode-an 1 Byte.
Perhitungan dalam sistem bilangan biner mirip dengan
menghitung dalam sistem bilangan desimal. Dimulai dengan angka
pertama, dan angka selanjutnya. Dalam sistem bilangan desimal,
perhitungan menggunakan angka 0 sampai 9, sedangkan dalam biner
hanya menggunakan angka 0 dan 1.
3
Selain dengan cara penulisan di atas, untuk melihat nilai bilangan
desimal dapat digunakan perhitungan seperti berikut: 5
4
3
2
1
0
8×10 =8000009×10 = 900007×10 = 70003×10 = 2004×10 = 402×10 = 2
897342
1.2 Sistem Bilangan Basis-n
Sama halnya denga sistem bilangan basis-10, sistem bilangan
basis-n adalah sistem bilangan dengan basis sembarang. Dimana n
merupakan wakilan dari nilai basis (radix) nya. Dalam ilmu computer dan
teknonolgi digital, sistem bilangan yang umum digunakan selaian basis-
10 adalah basis-2 (biner), basis-8 (oktal), dan basis-16 (hexadesimal).
Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis-2 adalah
sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu 0
dan 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm
Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari
semua sistem bilangan berbasis digital. Dari sistem biner, kita dapat
mengkonversinya ke sistem bilangan Oktal atau Hexadesimal. Sistem ini
juga dapat kita sebut dengan istilah bit atau Binary Digit. Pengelompokan
biner dalam komputer selalu berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte. Dalam
istilah komputer, 1 Byte serata dengan 8 bit. Kode-kode rancang bangun
komputer, seperti kode ASCII (American Standard Code for Information
Interchange) menggunakan sistem peng-kode-an 1 Byte.
Perhitungan dalam sistem bilangan biner mirip dengan
menghitung dalam sistem bilangan desimal. Dimulai dengan angka
pertama, dan angka selanjutnya. Dalam sistem bilangan desimal,
perhitungan menggunakan angka 0 sampai 9, sedangkan dalam biner
hanya menggunakan angka 0 dan 1.
Sebagai contoh adalah deratan angka 111000111001 (12 digit).
Apabila angka-angka tersebut dikonversikan menjadi sistem bilangan
decimal, maka sesuai dengan persamaan (1.1), maka dapat dapat ditulis
sebagai berikut: 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0N =1×2 +1×2 +1×2 +0×2 +0×2 +0×2 +1×2 +1×2 +1×2 +0×2 +0×2 +1×2
= 2048+1024+512+0+0+0+32+16+8+0+0+0+1=3641(desimal)
Dalam sistem komunikasi digital modern, dimana data
ditransmisikan dalam bentuk bit-bit biner, dibutuhkan sistem yang tahan
terhadap noise yang terdapat di kanal transmisi sehingga data yang
ditransmisikan tersebut dapat diterima dengan benar. Kesalahan dalam
pengiriman atau penerimaan data merupakan permasalahan yang
mendasar yang memberikan dampak yang sangat signifikan pada sistem
komunikasi. Biner yang biasa dipakai itu ada 8 digit angka dan cuma
berisikan angka 1 dan 0, tidak ada angka lainnya.
Sistem bilangan basis-8 (octal) dan sistem bilangan basis-16
(hexadecimal) merupakan sistem bilangan yang juga penting dalam
teknologi elektronika dan computer digital. Kedua sistem bilangan ini
memiliki hubungan yang saling terkait dengan sistem bilangan biner.
Bilangan 8 = 23, setiap digit bilangan octal sesuai dengan tiga digit
bilangan biner (binary digit/bit). Ketentuan atau cara konversi bilangan
biner ke bilangan octal adalah dengan pengelompokan bilangan biner
menjadi kelompok 3-bit. Sebagai contoh adalah bilangan berikut:
Contoh-1: Ubahlah bilangan basis-2 dari 111001010011,0101100112
menjadi bilangan basis-8 (octal)!
Penyelesaian:
111 001 010 011, 010 110 011 BINER 7 1 2 3, 2 6 3 OCTAL
Jadi: 111001010011,0101100112 = 7123,2638
= = =
4 S I S T E M B I L A N G A N
1.3 Operasi Aritmatika dalam system bilangan basis-n
Operasi aritmatika adalah hal yang mudah dalam bilangan basis-
10. Untuk bilangan basis-n, operasi aritmatika memiliki aturan yang tidak
jauh berbeda. Pada bilangan basis-n, hasil operasi tidak diperbolehkan
melebihi angka tertinggi dari system bilangan basis-n tersebut. Sebagai
contoh, bilangan basis-8 (octal) akan memiliki angka tertinggi n-1 = 8-1 =
7. Ketika operasi aritmatika menghasilkan angka lebih tinggi dari 7, maka
hasil tersebut dituliskan berulang ke angka nol dengan menambahkan
angka pada digit di belakang. Tabel 1 merupakan contoh operasi
aritmatika untuk system bilangan basis-2 dan basis-4.
Tabel Operasi aritmatika pada system bilangan basis-2 dan basis-4
Contoh-2:
Kerjakan operasi aritmatika berikut dalam system bilangan basis-2
(biner):
a) 24 + 10 (decimal)
b) 24 - 11 (decimal)
c) 24 x 11 (decimal)
+ 0 1 0 00 01 1 01 10
x 0 1 0 00 00 1 00 01
+ 0 1 2 3 0 00 01 02 03 1 01 10 03 10 2 02 03 10 11 3 03 10 11 12
x 0 1 2 3 0 00 00 00 00 1 00 01 02 03 2 00 02 10 12 3 00 03 12 21
5
1.3 Operasi Aritmatika dalam system bilangan basis-n
Operasi aritmatika adalah hal yang mudah dalam bilangan basis-
10. Untuk bilangan basis-n, operasi aritmatika memiliki aturan yang tidak
jauh berbeda. Pada bilangan basis-n, hasil operasi tidak diperbolehkan
melebihi angka tertinggi dari system bilangan basis-n tersebut. Sebagai
contoh, bilangan basis-8 (octal) akan memiliki angka tertinggi n-1 = 8-1 =
7. Ketika operasi aritmatika menghasilkan angka lebih tinggi dari 7, maka
hasil tersebut dituliskan berulang ke angka nol dengan menambahkan
angka pada digit di belakang. Tabel 1 merupakan contoh operasi
aritmatika untuk system bilangan basis-2 dan basis-4.
Tabel Operasi aritmatika pada system bilangan basis-2 dan basis-4
Contoh-2:
Kerjakan operasi aritmatika berikut dalam system bilangan basis-2
(biner):
a) 24 + 10 (decimal)
b) 24 - 11 (decimal)
c) 24 x 11 (decimal)
+ 0 1 0 00 01 1 01 10
x 0 1 0 00 00 1 00 01
+ 0 1 2 3 0 00 01 02 03 1 01 10 03 10 2 02 03 10 11 3 03 10 11 12
x 0 1 2 3 0 00 00 00 00 1 00 01 02 03 2 00 02 10 12 3 00 03 12 21
Penyelesaian:
(a)
(b)
(c)
2 / 24 sisa: / ---- 2 / 12 A0 = 0 / ---- 2 / 6 A1 = 0 / ---- 2 / 3 A2 = 0 / ---- 1 A3 = 1
24 (decimal) = 11000 (biner)
2 / 11 sisa: 2 / 10 sisa: / ---- / ---- 2 / 5 A0 = 1 2 / 5 A0 = 0 / ---- / ---- 2 / 2 A1 = 1 2 / 2 A1 = 1 / ---- / ---- 1 A2 = 0 1 A2 = 0
11 (decimal) = 1011 (biner) 10 (decimal) = 1010 (biner)
2 / 11 sisa: 2 / 10 sisa: / ---- / ---- 2 / 5 A0 = 1 2 / 5 A0 = 0 / ---- / ---- 2 / 2 A1 = 1 2 / 2 A1 = 1 / ---- / ---- 1 A2 = 0 1 A2 = 0
11 (decimal) = 1011 (biner) 10 (decimal) = 1010 (biner)
6 S I S T E M B I L A N G A N
1.4 Sistem Bilangan Negatif
Bilangan negatif dalam basis-2 sama pentingnya dengan
bilangan negatif decimal. Sebagai contoh, dalam penjumlahan satu
bilangan positif dan bilangan negatif, bilangan yang lebih besar dikurangi
bilanagan yang lebih kecil.
Bilangan negatif dalam sistem bilangan biner yang disebut
sebagai pemenuh-2 (2’s complement). Untuk mendapatkan pemenuh-2
dapat dilakukan dengan dua cara/metoda.
Contoh-3:
Konvensikan bilangan -2610 menjadi bilangan biner!
Cara 1:
Cara 2:
Masing-masing bit pada bilangan biner tersebut dibalik, yaitu bila
bit 0 diubah menjadi bit 1, dan untuk bit satu diubah menjadi bit
0. Setelah dikerjakan pada setiap bit kemudian bilangan yang
telah dibalik bitnya tersebut ditambah 1 (bit satu) pada LSB-nya.
Mari kita perhatikan operasi berikut:
2 / 26 sisa: / ---- 2 / 13 A0 = 0 / ---- 2 / 6 A1 = 1 / ---- 2 / 3 A2 = 0 / ---- 1 A3 = 1
7
1.4 Sistem Bilangan Negatif
Bilangan negatif dalam basis-2 sama pentingnya dengan
bilangan negatif decimal. Sebagai contoh, dalam penjumlahan satu
bilangan positif dan bilangan negatif, bilangan yang lebih besar dikurangi
bilanagan yang lebih kecil.
Bilangan negatif dalam sistem bilangan biner yang disebut
sebagai pemenuh-2 (2’s complement). Untuk mendapatkan pemenuh-2
dapat dilakukan dengan dua cara/metoda.
Contoh-3:
Konvensikan bilangan -2610 menjadi bilangan biner!
Cara 1:
Cara 2:
Masing-masing bit pada bilangan biner tersebut dibalik, yaitu bila
bit 0 diubah menjadi bit 1, dan untuk bit satu diubah menjadi bit
0. Setelah dikerjakan pada setiap bit kemudian bilangan yang
telah dibalik bitnya tersebut ditambah 1 (bit satu) pada LSB-nya.
Mari kita perhatikan operasi berikut:
2 / 26 sisa: / ---- 2 / 13 A0 = 0 / ---- 2 / 6 A1 = 1 / ---- 2 / 3 A2 = 0 / ---- 1 A3 = 1
Contoh-4:
Konversikan bilangan decimal berikut ke pemenuh-2 (komplemen-2):
a) -8 b) -25
Penyelesaian:
a) 8 (decimal) = 1000 (biner)
b) 25 (decimal) = 11001 (biner)
1.5 Bilangan Decimal Dikodekan Biner (BCD)
Bilangan decimal yang dikodekan biner (BCD: binary-coding
decimal) adalah salah suatu bentuk pengkodean suatu sistem bilangan
8 S I S T E M B I L A N G A N
yang juga berfungsi pada beberapa sistem mesin (komputer), yang biasa
juga disebut sebagai mesin decimal. Setiap digit dari sistem bilangan
decimal dikodekan menjadi 4-bit BCD. Selengkapnya dapat kita
perhatikan Tabel 2.
Tabel konversi decimal dan BCD
Bilangan decimal B C D 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001
Contoh-5:
Konversikan bilangan decimal berikut ke BCD:
a) 2867 b) 3066 c) 512 d) 51087
Penyelesaian:
a) 2867 (decimal) = 0010 1000 0110 0111 (BCD) b) 3066 (decimal) = 0011 0000 0110 0110 (BCD) c) 512 (decimal) = 0101 0001 0010 (BCD) d) 51087 (decimal) = 0101 0001 0000 1000 0111 (BCD)
Contoh-6:
Kerjakanlah operasi aritmatika decimal berikut sebagai operasi BCD:
a) 614 – 387 b) 298 + 173
9
yang juga berfungsi pada beberapa sistem mesin (komputer), yang biasa
juga disebut sebagai mesin decimal. Setiap digit dari sistem bilangan
decimal dikodekan menjadi 4-bit BCD. Selengkapnya dapat kita
perhatikan Tabel 2.
Tabel konversi decimal dan BCD
Bilangan decimal B C D 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001
Contoh-5:
Konversikan bilangan decimal berikut ke BCD:
a) 2867 b) 3066 c) 512 d) 51087
Penyelesaian:
a) 2867 (decimal) = 0010 1000 0110 0111 (BCD) b) 3066 (decimal) = 0011 0000 0110 0110 (BCD) c) 512 (decimal) = 0101 0001 0010 (BCD) d) 51087 (decimal) = 0101 0001 0000 1000 0111 (BCD)
Contoh-6:
Kerjakanlah operasi aritmatika decimal berikut sebagai operasi BCD:
a) 614 – 387 b) 298 + 173
Penyelesaian:
SOAL LATIHAN: SISTEM BILANGAN 1. Konversikan bilangan berbasis 10 berikut ke basis 2.
a. 653 c. 94 e. 964
b. 13 d. 356 f. 286
2. Ulangi soal nomor 1 untuk konversi ke octal.
3. Ulangi soal nomor 1 untuk konversi ke hexadecimal
4. Ulangi soal nomor 1 untuk konversi ke BCD
5. Konversikan bilangan berbasis 10 berikut ke basis 2 sampai
minimum delapan bit di belakang koma.
a. 653,61 c. 43,32 e. 19,61
b. 0,00625 d. 0,51 f. 0,15
6. Konversikan bilangan berbasis 8 berikut ke basis 2
a. 734 c. 123 e. 27
b. 671 d. 2672 f. 36734
7. Ulangi soal nomor 6 untuk konversi ke basis 10
8. Ulangi soal nomor 6 untuk konversi ke hexadecimal
9. Ulangi soal nomor 6 untuk konversi ke BCD
10. Konversikan bilangan hexadecimal berikut ke basis 2
a. 8A71 c. 98AC e. AE3
b. A2E d. 1867F f. 71CB
11. Ulangi soal nomor 10 untuk konversi ke basis 8
10 S I S T E M B I L A N G A N
12. Bilangan hexadecimal di bawah ini konversikan ke decimal
a. A1 c. 71 e. 1CE
b. 9F d. 15 f. 2A1
13. Ulangi soal nomor 12 untuk konversi ke BCD
14. Ekspresikan bilangan berbasis 2 berikut ke decimal
a. 10101110.01101
b. 1110001.1010
c. 101011.1101
d. 111011.1011
e. 10001.0001
f. 110011.1001
11
12. Bilangan hexadecimal di bawah ini konversikan ke decimal
a. A1 c. 71 e. 1CE
b. 9F d. 15 f. 2A1
13. Ulangi soal nomor 12 untuk konversi ke BCD
14. Ekspresikan bilangan berbasis 2 berikut ke decimal
a. 10101110.01101
b. 1110001.1010
c. 101011.1101
d. 111011.1011
e. 10001.0001
f. 110011.1001
Suatu pernyataan dinyatakan benar bila sesuai dengan
kenyataan dan sebaliknya. Logika benar dan salah (dua-keadaan)
tersebut memberikan suatu pemikiran besar. Pada tahun 1854, George
Boole memberikan teori simbol logika yang sekarang kita kenal sebagai
aljabar Boole. Aljabar Boole memakai huruf dan simbol lainnya untuk
menyatakan hubungan logikanya. Hal yang sangat penting pada aljabar
Boole adalah suatu variabel mempunyai salah satu harga benar atau
salah. Berdasarkan pada teori tersebut kemudian direalisasikan gerbang-
gerbang logika yang merupakan komponen dasar dari komputer digital.
Tujuan dari penyederhanaan rangkaian logika adalah untuk
mencari suatu rangkaian logika yang lebih sederhana dan merupakan
sarana yang digunakan untuk melakukan transpormasi dari tabel
kebenaran menjadi rangkaian logika praktis dalam segi rangkaian dan
penggunaan IC-nya.Pada jaringan logika dua-keadaan tersebut
dinyatakan dengan tegangan (rendah atau tinggi / level tegangan), yang
disimbolkan dalam biner sebagai 0 (low) atau 1 (high). Gerbang logika
dasar umumnya terdiri dari: (1) inverter (gerbang NOT), (2) gerbang OR,
(3) gerbang AND, dan (4) gerbang Exclusive-OR (X-OR). Dari kombinasi
gerbang-gerbang tersebut akan dibentuk gerbang-gebang logika lainnya,
seperti gerbang NOT-OR (NOR), gerbang NOT-AND (NAND), gerbang
Exclusive-NOT-OR (X-NOR), flip-flop, berbagai rangkaian register dan
lain sebagainya yang merupakan bagian penting dari system komputer
digital.
Gerbang logika merupakan bentuk dasar sistem digital.
Tegangan yang digunakan dalam gerbang logika adalah TINGGI (HIGH)
atau RENDAH (LOW). Tegangan tinggi berarti 1, sedangkan tegangan
rendah berarti 0. Pada dasarnya rangkaian logika (digital) dibentuk dari
12 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
berapa gabungan komponen elektronik yang terdiri dari macam-macam
gerbang (gate) dan rangkaian-rangkaian lainnya, sehingga membentuk
rangkaian elektronika yang bersifat rumit dan kompleks. Untuk mengatasi
hal tersebut dipergunakan berapa metode penyederhanaan rangkaian
logika. Dalam penyederhanaan rangkaian logika dapat menggunkan
cara, diantaranya: (a) Metode Aljabar Boole (teori de morgan), (b)
Metode Peta Karnaugh (karnaugh map), dan (c) Metode Minterm dan
Maksterm.
2.1 Inverter
Suatu gerbang tersusun atas jaringan logika dengan satu sinyal
masukan atau lebih dengan satu sinyal keluaran. Sinyal tersebut
merupakan level tegangan, yaitu: rendah atau tinggi. Inverter merupakan
gerbang logika yang mempunyai satu sinyal masukan dan satu sinyal
keluaran. Sinyal keluaran dari gerbang inverter ini selalu berlawanan
dengan sinyal masukan. Oleh sebab itu pula inverter sering disebut
sebagai gerbang NOT.
Gambar 2.1 Simbol dari Gerbang inverter (NOT)
Bila dua gerbang inverter disusun rangkap seperti pada Gambar
2.1, maka didapatkan gerbang non-inverter. Gerbang non-inverter ini
juga sering disebut rangkaian buffer atau penguat tak membalik (non-
inverting amplifier). Bufffer akan selalu memberikan sinyal keluaran yang
sama dengan sinyal masukan.
13
berapa gabungan komponen elektronik yang terdiri dari macam-macam
gerbang (gate) dan rangkaian-rangkaian lainnya, sehingga membentuk
rangkaian elektronika yang bersifat rumit dan kompleks. Untuk mengatasi
hal tersebut dipergunakan berapa metode penyederhanaan rangkaian
logika. Dalam penyederhanaan rangkaian logika dapat menggunkan
cara, diantaranya: (a) Metode Aljabar Boole (teori de morgan), (b)
Metode Peta Karnaugh (karnaugh map), dan (c) Metode Minterm dan
Maksterm.
2.1 Inverter
Suatu gerbang tersusun atas jaringan logika dengan satu sinyal
masukan atau lebih dengan satu sinyal keluaran. Sinyal tersebut
merupakan level tegangan, yaitu: rendah atau tinggi. Inverter merupakan
gerbang logika yang mempunyai satu sinyal masukan dan satu sinyal
keluaran. Sinyal keluaran dari gerbang inverter ini selalu berlawanan
dengan sinyal masukan. Oleh sebab itu pula inverter sering disebut
sebagai gerbang NOT.
Gambar 2.1 Simbol dari Gerbang inverter (NOT)
Bila dua gerbang inverter disusun rangkap seperti pada Gambar
2.1, maka didapatkan gerbang non-inverter. Gerbang non-inverter ini
juga sering disebut rangkaian buffer atau penguat tak membalik (non-
inverting amplifier). Bufffer akan selalu memberikan sinyal keluaran yang
sama dengan sinyal masukan.
Gambar 2.2 Simbol rangkaian buffer
Untuk membangun sebuah gerbang inverter, dapat dilakukan
dengan cara menyusun rangkaian dasar yang terdiri dari resistor dan
transistor seperti ditunjukkan pada Gambar 2.3(a). Kombinasi 6 buah
rangkaian dasar gerbang inverter akan membentuk suatu konfigurasi
yang dikemas dalam bentuk IC tipe 74LS04 seperti tampak pada Gambar
2.3(b).
Gambar 2.3 (a) Rangkaian dasar gerbang inverter (NOT) dan (b) IC gerbang logika inverter 74LS04
Tabel kebenaran inverter Vin Vout
0 1
1 0
Tabel kebenaran buffer Vin Vout
0 0
1 1
R110k
R24,7k
A
VCC
Q
Q12N2222
14 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
2.1 Gerbang OR (A + B)
Gerbang OR mempunyai dua sinyal masukan atau lebih. Prinsip
dasar dari gerbang OR adalah rangkaian paralel dari dua atau lebih
pensaklaran. Apabila salah satu saklar dalam kondisi ON, maka arus
listrik akan mengalir melalui saklar yang kondisinya ON dan target
keluaran akan aktif menyala. Artinya, jika ada sinyal masukan yang tinggi
(berlogika 1) maka sinyal keluaran akan tinggi. Hal ini akan lebih jelas
lagi jika kita perhatikan gambar gerbang OR dan tabel untuk beberapa
masukan berikut:
Gambar 2.4 Rangkaian Dasar Gerbang Logika OR
Tabel kebenaran gerbang OR untuk 2 buah masukan (Y = A + B)
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
VR1
10k
D1
1N4007
D2
1N4007
QA
B
Q1
2N2222
Q2
2N2222
R110k
R210k
R310k
Q
VCC
A
B
15
2.1 Gerbang OR (A + B)
Gerbang OR mempunyai dua sinyal masukan atau lebih. Prinsip
dasar dari gerbang OR adalah rangkaian paralel dari dua atau lebih
pensaklaran. Apabila salah satu saklar dalam kondisi ON, maka arus
listrik akan mengalir melalui saklar yang kondisinya ON dan target
keluaran akan aktif menyala. Artinya, jika ada sinyal masukan yang tinggi
(berlogika 1) maka sinyal keluaran akan tinggi. Hal ini akan lebih jelas
lagi jika kita perhatikan gambar gerbang OR dan tabel untuk beberapa
masukan berikut:
Gambar 2.4 Rangkaian Dasar Gerbang Logika OR
Tabel kebenaran gerbang OR untuk 2 buah masukan (Y = A + B)
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
VR1
10k
D1
1N4007
D2
1N4007
QA
B
Q1
2N2222
Q2
2N2222
R110k
R210k
R310k
Q
VCC
A
B
Tabel kebenaran gerbang OR untuk 3 buah masukan (Y = A + B + C)
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Tabel kebenaran gerbang OR untuk 4 buah masukan (Y = A + B + C + D)
A B C D Y
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
16 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
Jumlah keluaran untuk n buah masukan terdiri dari 2 pangkat n
(2n). Misalkan untuk gerbang logika dengan 2 buah masukan, maka
jumlah keluaranya akan memiliki 22 = 4 buah keluaran dan seterusnya.
Kumpulan dari 4 buah gerbang logika dasar OR dikemas dalam sebuah
IC gerbang logika tipe 74LS32 seperti ditunjukkan pada gambar di
bawah.
Gambar 2.5 Konfigurasi pin IC 74LS32
2.3 Gerbang AND (A ● B)
Sama halnya dengan gerbang OR, gerbang AND mempunyai
dua sinyal masukan atau lebih. Prinsip kerja dari rangkaian dasar
gerbang AND adalah system saklar yang dirangkai secara serial. Sinyal
keluaran untuk system saklar model seperti ini akan aktif manakala
semua saklar dalam kondisi ON. Jika semua sinyal masukan tinggi maka
sinyal keluaran akan tinggi. Untuk lebih jelas kita perhatikan gambar dan
tabel berikut :
IC 74LS32
OutputInput Y
C
BA 1
23
45
6
17
Jumlah keluaran untuk n buah masukan terdiri dari 2 pangkat n
(2n). Misalkan untuk gerbang logika dengan 2 buah masukan, maka
jumlah keluaranya akan memiliki 22 = 4 buah keluaran dan seterusnya.
Kumpulan dari 4 buah gerbang logika dasar OR dikemas dalam sebuah
IC gerbang logika tipe 74LS32 seperti ditunjukkan pada gambar di
bawah.
Gambar 2.5 Konfigurasi pin IC 74LS32
2.3 Gerbang AND (A ● B)
Sama halnya dengan gerbang OR, gerbang AND mempunyai
dua sinyal masukan atau lebih. Prinsip kerja dari rangkaian dasar
gerbang AND adalah system saklar yang dirangkai secara serial. Sinyal
keluaran untuk system saklar model seperti ini akan aktif manakala
semua saklar dalam kondisi ON. Jika semua sinyal masukan tinggi maka
sinyal keluaran akan tinggi. Untuk lebih jelas kita perhatikan gambar dan
tabel berikut :
IC 74LS32
OutputInput Y
C
BA 1
23
45
6
Gambar 2.6 Rangkaian dasar gerbang logika AND
Tabel kebenaran gerbang AND untuk 2 buah masukan (Y = A●B)
A B Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Tabel kebenaran gerbang AND untuk 3 buah masukan (Y = A●B●C)
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
VR
10k
D1
1N4007
D2
1N4007
VCC
Q
A
B
Q12N2222
Q22N2222
R110k
R210k
R310k
Q
VCC
A
B
18 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
A
B
C
OutputInput
12 3
45
6 Y
IC 74LS08
Tabel kebenaran gerbang AND untuk 4 buah masukan (Y = A●B●C●D)
A B C D Y
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
Kumpulan dari 4 buah gerbang logika dasar AND dikemas dalam
sebuah IC gerbang logika tipe 74LS08 seperti ditunjukkan pada gambar
di bawah.
Gambar 2.7 Konfigurasi pin IC 74LS08
19
A
B
C
OutputInput
12 3
45
6 Y
IC 74LS08
Tabel kebenaran gerbang AND untuk 4 buah masukan (Y = A●B●C●D)
A B C D Y
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
Kumpulan dari 4 buah gerbang logika dasar AND dikemas dalam
sebuah IC gerbang logika tipe 74LS08 seperti ditunjukkan pada gambar
di bawah.
Gambar 2.7 Konfigurasi pin IC 74LS08
2.4 Gerbang Exclusive OR (XOR)
Gerbang Exclusive OR (XOR) mempunyai dua sinyal masukan.
Sinyal keluaran akan tinggi jika kedua sinyal masukan tidak sama. Mari
kita perhatikan gambar dan tabel berikut :
Gambar 2.8 Gerbang XOR
Tabel kebenaran gerbang X-OR
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Pada gerbang XOR yang sebenarnya ada dua masukan saja,
untuk masukan yang lebih banyak maka perlu kombinasi dari gerbang
XOR tersebut. Sebagai contoh gerbang XOR dengan 3-masukan dan 4-
masukan berikut :
Gambar 2.9 Gerbang XOR 3-masukan
20 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
Pada gerbang XOR 3-masukan dan 4-masukan ini jika
mempunyai jumlah inputan 1 ganjil maka keluaran akan 1. Hal ini dapat
kita perhatikan pada tabel berikut (kolom 1’s menyatakan banyaknya
masukan-1) :
Tabel XOR 3-masukan
1’s A B C A ⊕ B Y = (A ⨁ B) ⨁ C
0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 1 1
2 0 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1
2 1 0 1 1 0
2 1 1 0 0 0
3 1 1 1 0 1
Gambar 2.10 Gerbang XOR 4-masukan
Tabel kebenaran gerbang XOR 4-masukan word masukan = 16
1’s A B C D Y
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1
2 0 0 1 1 0
1 0 1 0 0 1
21
Pada gerbang XOR 3-masukan dan 4-masukan ini jika
mempunyai jumlah inputan 1 ganjil maka keluaran akan 1. Hal ini dapat
kita perhatikan pada tabel berikut (kolom 1’s menyatakan banyaknya
masukan-1) :
Tabel XOR 3-masukan
1’s A B C A ⊕ B Y = (A ⨁ B) ⨁ C
0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 1 1
2 0 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1
2 1 0 1 1 0
2 1 1 0 0 0
3 1 1 1 0 1
Gambar 2.10 Gerbang XOR 4-masukan
Tabel kebenaran gerbang XOR 4-masukan word masukan = 16
1’s A B C D Y
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1
2 0 0 1 1 0
1 0 1 0 0 1
2 0 1 0 1 0
2 0 1 1 0 0
3 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 1
2 1 0 0 1 0
2 1 0 1 0 0
3 1 0 1 1 1
2 1 1 0 0 0
3 1 1 0 1 1
3 1 1 1 0 1
4 1 1 1 1 0
2.5 Gerbang Not OR (NOR)
Gerbang NOR mempunyai dua sinyal masukan atau lebih.
Semua sinyal masukan harus rendah (0) untuk mendapatkan sinyal tinggi
(1) pada keluaran. Hal ini akan lebih jelas lagi jika kita perhatikan gambar
gerbang NOR dan tabel untuk beberapa masukan berikut :
Gambar 2.11 gerbang NOR dengan beberapa masukan
Tabel kebenaran gerbang NOR 2-masukan word masukan = 4
A B Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
22 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
Tabel kebenaran gerbang NOR 3-masukan word masukan = 8
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
Tabel kebenaran gerbang NOR 4-masukan word masukan = 16
A B C D Y
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
23
Tabel kebenaran gerbang NOR 3-masukan word masukan = 8
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
Tabel kebenaran gerbang NOR 4-masukan word masukan = 16
A B C D Y
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
THEOREMA PERTAMA DE MORGAN
Analisa gerbang NOR 2-masukan, sebagaimana diketahui
mempunyai persamaan Boolean:
Y = A + B = A.B
Theorema ini dapat dijelaskan lebih lanjut dengan gambar gerbang dan
tabel berikut :
Gambar 2.12 Gerbang NOR dan AND-NOT
Gerbang AND-NOT dapat digambarkan lebih jelas lagi, yaitu
dengan gambar gelembung-AND sebagai berikut :
Gambar 2.13 Gerbang gelembung-AND/AND-NOT
Tabel kebenaran NOR dan AND-NOT
A B A + B A B A.B
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0
1 1 0 0 0 0
Contoh-contoh dari gerbang NOR yang diubah ke AND-NOT adalah
sebagai berikut :
Untuk 3-masukan : Y = A + B+C = A.B.C
24 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
Untuk 4-masukan : Y = A + B+C+ D = A.B.C.D
Contoh perubahan rangkaian 2-gerbang OR dan 1-gerbang AND menjadi
3-gerbang NOR.
25
Untuk 4-masukan : Y = A + B+C+ D = A.B.C.D
Contoh perubahan rangkaian 2-gerbang OR dan 1-gerbang AND menjadi
3-gerbang NOR.
2.6 Gerbang Not AND (NAND)
Gerbang NAND (NOT-AND) mempunyai dua masukan atau
lebih. Bila semua masukan tinggi (1) maka keluaran akan rendah (0). Hal
ini akan lebih jelas lagi jika kita perhatikan gambar gerbang NAND dan
tabel untuk beberapa masukan berikut :
Gambar 2.14 gerbang NAND (NOT-AND) dengan beberapa masukan
Tabel kebenaran gerbang NAND 2-masukan word masukan = 4
A B Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Tabel kebenaran gerbang NAND 3-masukan word masukan = 8
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
26 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
Tabel kebenaran gerbang NAND 4-masukan word masukan = 16
A B C D Y 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0
THEOREMA KEDUA DE MORGAN
Analisa gerbang NAND 2-masukan, sebagaimana diketahui
mempunyai persamaan Boolean :
Y = A . B = A + B
Theorema ini dapat dijelaskan lebih lanjut dengan gambar gerbang dan
tabel berikut :
27
Tabel kebenaran gerbang NAND 4-masukan word masukan = 16
A B C D Y 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0
THEOREMA KEDUA DE MORGAN
Analisa gerbang NAND 2-masukan, sebagaimana diketahui
mempunyai persamaan Boolean :
Y = A . B = A + B
Theorema ini dapat dijelaskan lebih lanjut dengan gambar gerbang dan
tabel berikut :
Gerbang OR-NOT dapat digambarkan dengan lebih sederhana lagi, yaitu
dengan gambar gelembung-OR sebagai berikut :
Tabel kebenaran NAND (NOT-AND) dan OR-NOT
A B A . B A B A + B
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1
1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 0
Contoh-contoh dari gerbang NAND yang diubah ke OR-NOT adalah
sebagai berikut :
Y = A . B . C = A + B+C
Y = A . B . C . D = A + B+C+ D
Contoh perubahan rangkaian 2-gerbang NAND dan 1-gerbang OR
menjadi 3-gerbang NAND.
28 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
2.7 Gerbang EXCLUSIVE NOR (X-NOR)
Gerbang exclusive NOR (X-NOR) mempunyai dua sinyal
masukan. Sinyal keluaran akan tinggi (1) jika kedua sinyal masukan
sama. Mari kita perhatikan gambar dan tabel berikut :
Tabel kebenaran X-NOR
A B A ⊕ B Y = A B
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
Pada gerbang X-NOR yang sebanarnya ada dua masukan saja,
untuk masukan yang lebih banyak maka perlu kombinasi dari gerbang X-
29
2.7 Gerbang EXCLUSIVE NOR (X-NOR)
Gerbang exclusive NOR (X-NOR) mempunyai dua sinyal
masukan. Sinyal keluaran akan tinggi (1) jika kedua sinyal masukan
sama. Mari kita perhatikan gambar dan tabel berikut :
Tabel kebenaran X-NOR
A B A ⊕ B Y = A B
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
Pada gerbang X-NOR yang sebanarnya ada dua masukan saja,
untuk masukan yang lebih banyak maka perlu kombinasi dari gerbang X-
NOR tersebut. Sebagai contoh gerbang X-NOR dengan 3-masukan dan
4-masukan berikut :
Pada gerbang X-NOR 3-masukan dan 4-masukan ini jika
mempunyai jumlah inputan 1 ganjil maka keluaran akan 0. Hal ini dapat
kita perhatikan pada tabel berikut (kolom 1’s menyatakan banyaknya
masukan-1) :
Tabel kebenaran gerbang X-NOR 3-masukan word masukan = 8
1’s A B C A ⊕ B Y = (A B) C
Y = (A B) C
0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 1 0 1 0
1 0 1 0 1 1 0
2 0 1 1 1 0 1
1 1 0 0 1 1 0
2 1 0 1 1 0 1
2 1 1 0 0 0 1
3 1 1 1 0 1 0
30 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
Tabel kebenaran gerbang X-NOR 4-masukan word masukan = 16
1’s A B C D Y = (A B) (C D) Y = (A B) (C D)
0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1 0
2 0 0 1 1 0 1
1 0 1 0 0 1 0
2 0 1 0 1 0 1
2 0 1 1 0 0 1
3 0 1 1 1 1 0
1 1 0 0 0 1 0
2 1 0 0 1 0 1
2 1 0 1 0 0 1
3 1 0 1 1 1 0
2 1 1 0 0 0 1
3 1 1 0 1 1 0
3 1 1 1 0 1 0
4 1 1 1 1 0 1
DEFINISI ALJABAR BOOLE
1. ‘=’ adalah definisi untuk relasi ekuivalen yang memenuhi
prinsip subtitusi. Contoh : a = b
2. ‘+’ adalah operator OR. Contoh : a + b
3. ‘.’ adalah operator AND. Contoh : a . b
4. ‘¯’ adalah operator NOT. Contoh : ā
AXIOMA 1. Idempoten : a . a = a
a + a = a
2. Komutativ : a . b = b . a
a + b = b + a
31
Tabel kebenaran gerbang X-NOR 4-masukan word masukan = 16
1’s A B C D Y = (A B) (C D) Y = (A B) (C D)
0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1 0
2 0 0 1 1 0 1
1 0 1 0 0 1 0
2 0 1 0 1 0 1
2 0 1 1 0 0 1
3 0 1 1 1 1 0
1 1 0 0 0 1 0
2 1 0 0 1 0 1
2 1 0 1 0 0 1
3 1 0 1 1 1 0
2 1 1 0 0 0 1
3 1 1 0 1 1 0
3 1 1 1 0 1 0
4 1 1 1 1 0 1
DEFINISI ALJABAR BOOLE
1. ‘=’ adalah definisi untuk relasi ekuivalen yang memenuhi
prinsip subtitusi. Contoh : a = b
2. ‘+’ adalah operator OR. Contoh : a + b
3. ‘.’ adalah operator AND. Contoh : a . b
4. ‘¯’ adalah operator NOT. Contoh : ā
AXIOMA 1. Idempoten : a . a = a
a + a = a
2. Komutativ : a . b = b . a
a + b = b + a
3. Asosiativ : a . (b . c) = (a . b) . c
a + (b + c) = (a + b) + c
4. Absorptiv : a . (a + b) = a
a + (a . b) = a
5. Distributiv : a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
6. Elemen nol dan satu : a . 1 = 1 . a = a dan a . 0 = 0 . a = 0
a + 1 = 1 dan a + 0 = a
7. Komplement : a . ā = 0 dan a + ā = 1
Sebagai catatan untuk penulisan : a.b dapat dituliskan ab, untuk :
a.b.c dapat dituliskan abc; dan untuk a.(b+c) dapat dituliskan a(b+c).
Contoh 1 :
Buktikan a + a = a
Penyelesaian : a + a = (a + a) . 1
= (a + ā)(a + ā)
= aa + aā + aa + aā
= a + aā
= a + 0 = a
Contoh 2 :
Buktikan a + 1 = 1
Penyelesaian : a + 1 = 1 . (a + 1)
= (a + ā)(a + 1)
= aa + a.1 + aā + ā.1
= a + a + 0 + ā
= a + ā
= 1
Formulasi persamaan logika : 1. a + a = a dan a . a = a
2. a + ā = 1 dan a . ā = 0
3. 1 + a = a + 1 = 1 dan 1 . a = a . 1 = a
32 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
4. 0 + a = a + 0 = a dan 0 . a = a . 0 = 0
5. a + b = b + a dan a . b = b . a
6. a + a . b = a dan a . (a + b) = a
7. (a + b ) . b = a . b dan a . b + b = a + b
8. a + b + c = (a + b) + c dan a . b . c = (a . b) . c
= a + (b + c) = a . (b . c)
9. a . b + a . c = a . (b + c) dan (a + b) . (a + c) = a + b . c
10. (a + b)(a + c)(b + c) = (a + b)(a + c)
a . b + ā . c + bc = ab + āc
11. (a + b)(a + c) = a . c + a . b
SOAL-JAWAB
1. Buatlah tabel kebenaran 3-bit input (A, B, C) dan 1-bit output (Y) untuk rangkaian gerbang NOT dan AND berikut:
Penyelesaian:
Tabel kebenaran: Y = A.B.C
A A B C Y = A.B.C
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
33
4. 0 + a = a + 0 = a dan 0 . a = a . 0 = 0
5. a + b = b + a dan a . b = b . a
6. a + a . b = a dan a . (a + b) = a
7. (a + b ) . b = a . b dan a . b + b = a + b
8. a + b + c = (a + b) + c dan a . b . c = (a . b) . c
= a + (b + c) = a . (b . c)
9. a . b + a . c = a . (b + c) dan (a + b) . (a + c) = a + b . c
10. (a + b)(a + c)(b + c) = (a + b)(a + c)
a . b + ā . c + bc = ab + āc
11. (a + b)(a + c) = a . c + a . b
SOAL-JAWAB
1. Buatlah tabel kebenaran 3-bit input (A, B, C) dan 1-bit output (Y) untuk rangkaian gerbang NOT dan AND berikut:
Penyelesaian:
Tabel kebenaran: Y = A.B.C
A A B C Y = A.B.C
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
2. Buatlah tabel kebenaran 3-bit input (A, B, C) dan 1-bit output (Y) untuk rangkaian gerbang AND dan OR berikut:
Penyelesaian:
Tabel kebenaran: Y = AB + C
A B A.B C Y = AB + C 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
3. Buatlah tabel kebenaran 3-bit input (A, B, C) dan 1-bit output (Y)
untuk rangkaian gerbang NOT dan OR berikut:
Penyelesaian:
Tabel kebenaran: Y = A + B +C dan Y
A A B C Y = A + B+C Y 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0
34 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
4. Buatlah tabel kebenaran 3-bit input (A, B, C) dan 1-bit output (Y) untuk rangkaian gerbang OR dan AND berikut:
Penyelesaian: Tabel kebenaran: Y = (A + B) CD
A B C D A + B C.D Y = (A+B)CD
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 1 0
0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0 0
1 0 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 0 0
1 1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1
35
4. Buatlah tabel kebenaran 3-bit input (A, B, C) dan 1-bit output (Y) untuk rangkaian gerbang OR dan AND berikut:
Penyelesaian: Tabel kebenaran: Y = (A + B) CD
A B C D A + B C.D Y = (A+B)CD
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 1 0
0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0 0
1 0 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 0 0
1 1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1
5. Buatlah persamaan Boolean tabel kebenaran untuk rangkaian gerbang XOR, AND dan OR berikut:
Penyelesaian:
Tabel kebenaran: Y = (A + B) + CD
A B C D A + B C.D Y = (A+B) + CD
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 1 1
0 1 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 0 1
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0 1
1 0 1 0 1 0 1
1 0 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1
36 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
6. Buatlah persamaan Boolean untuk diagram berikut:
Penyelesaian :
Y = [(AB)(CD)] . (EF)
= [ABCD](EF)
= BCDEF
7. Buatlah persamaan Boolean dan tabel kebenaran untuk rangkaian gerbang AND, XOR dan NOT berikut:
Penyelesaian:
Tabel kebenaran : Y = (AB + CD) dan Y
A B C D A.B C.D Y = (A.B+CD) Y
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 1 1 0 1 1 0
0 1 0 0 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0 0 1
0 1 1 0 0 0 0 1
37
6. Buatlah persamaan Boolean untuk diagram berikut:
Penyelesaian :
Y = [(AB)(CD)] . (EF)
= [ABCD](EF)
= BCDEF
7. Buatlah persamaan Boolean dan tabel kebenaran untuk rangkaian gerbang AND, XOR dan NOT berikut:
Penyelesaian:
Tabel kebenaran : Y = (AB + CD) dan Y
A B C D A.B C.D Y = (A.B+CD) Y
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 1 1 0 1 1 0
0 1 0 0 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0 0 1
0 1 1 0 0 0 0 1
0 1 1 1 0 1 1 0
1 0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 1 1 0 1 1 0
1 1 0 0 1 0 1 0
1 1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1 1 0
8. Tuliskan persamaan Boolean tabel kebenaran untuk rangkaian berikut dan tentukanlah ekuivalennya:
Penyelesaian:
Tabel kebenaran: Y = (AB) +(AB)
A B A B A.B A.B Y = (AB) +(AB)
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 0 0
Gerbang ekuivalennya adalah gerbang XOR, Y = A + B
38 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
9. Tuliskan persamaan Boolean tabel kebenaran untuk rangkaian berikut dan sederhanakanlah persamaan Boole tersebut:
Penyelesaian:
Tabel kebenaran: Y = AB +(B +C)
A B C A A.B B + C Y = AB+(B+C)
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 1 1
1 1 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 1 1
Y = AB+(B+C) = AB+ B+C
= AB + B(A + A) + C = AB + AB + AB + C
= AB + AB + C = (A + A)B + C= B + C
10. Buatlah persamaan Boolean untuk diagram berikut:
39
9. Tuliskan persamaan Boolean tabel kebenaran untuk rangkaian berikut dan sederhanakanlah persamaan Boole tersebut:
Penyelesaian:
Tabel kebenaran: Y = AB +(B +C)
A B C A A.B B + C Y = AB+(B+C)
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 1 1
1 1 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 1 1
Y = AB+(B+C) = AB+ B+C
= AB + B(A + A) + C = AB + AB + AB + C
= AB + AB + C = (A + A)B + C= B + C
10. Buatlah persamaan Boolean untuk diagram berikut:
Penyelesaian:
Y = (A + B)(C + D) + (EF)
11. Buktikan bahwa diagram ini mempunyai persamaan: Y = A + B dan buatlah tabel kebenarannya.
Penyelesaian:
X = A + B
Y = X + X
= X X
= X = A + B= A + B
12. Buktikan bahwa diagram ini mempunyai persamaan: Y = A . B
dan buatlah tabel kebenarannya.
Penyelesaian:
X = A B
40 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
Y = X X
= X + X
= X = A B= A B
13. Apakah nama gerbang ekuivalennya, buatlah tabel kebenarannya.
Penyelesaian:
Y = A B = A + A = A
A Y = Ā
0 1
1 0
Gerbang ekuivalennya adalah gerbang NOT
14. Buatlah tabel kebenaran untuk diagram berikut:
41
Y = X X
= X + X
= X = A B= A B
13. Apakah nama gerbang ekuivalennya, buatlah tabel kebenarannya.
Penyelesaian:
Y = A B = A + A = A
A Y = Ā
0 1
1 0
Gerbang ekuivalennya adalah gerbang NOT
14. Buatlah tabel kebenaran untuk diagram berikut:
Penyelesaian: Tabel kebenaran soal no. 14
A B C D Y1 Y2 Y3 Y4
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1 0 1
1 0 1 0 1 1 1 0
1 0 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
15. a. Buatlah persamaan Boole untuk rangkaian di bawah.
b. Buatlah rangkaian berikut menjadi rangkaian NOR.
c. Ada berapa banyak input word untuk rangkaian tersebut ? d. Jika semua masukan = 0, maka keluarannya = ..... e. Jika semua masukan = 1, maka keluarannya = .....
42 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
Penyelesaian :
a. Y = [(A + B)(C+ D + E)](F+G)
b.
c. Banyaknya word masukan = 128 word
d. Jika semua masukan = 0, maka keluaran = 0.
e. Jika semua masukan = 1, maka keluaran = 0.
16. a. Tuliskan persamaan Boole untuk rangkaian berikut. b. Buatlah tabel kebenarannya. c. Tentukanlah banyaknya word masukan.
43
Penyelesaian :
a. Y = [(A + B)(C+ D + E)](F+G)
b.
c. Banyaknya word masukan = 128 word
d. Jika semua masukan = 0, maka keluaran = 0.
e. Jika semua masukan = 1, maka keluaran = 0.
16. a. Tuliskan persamaan Boole untuk rangkaian berikut. b. Buatlah tabel kebenarannya. c. Tentukanlah banyaknya word masukan.
Penyelesaian:
a. Y = (A + B) +(A + B)
A B A B A + B A + B Y = (A + B) +(A + B)
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 1 1
b. Banyaknya word masukan = 4 word.
17. a. Buatlah persamaan Boolean dari rangkaian di bawah. b. Buatlah rangkaian berikut menjadi rangkaian NAND.
c. Ada berapa banyak input word untuk rangkaian tersebut ? d. Jika semua masukan = 0, maka keluarannya = ..... e. Jika semua masukan = 1, maka keluarannya = ..... Penyelesaian:
a. Y = (AB)(CD) +(EF)(CD)
b.
44 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
c. Banyaknya word masukan = 64 word
d. Jika semua masukan = 0, maka keluaran = 0.
e. Jika semua masukan = 1, maka keluaran = 0.
18. buktikan dengan aljabar atau tabel bahwa rangkaian di bawah ini mempunyai persamaan Boole: Y = AB
Penyelesaian:
Y = (A + B)B = AB+ BB = AB
A B B A.B B . B Y = (AB+ BB)
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
45
c. Banyaknya word masukan = 64 word
d. Jika semua masukan = 0, maka keluaran = 0.
e. Jika semua masukan = 1, maka keluaran = 0.
18. buktikan dengan aljabar atau tabel bahwa rangkaian di bawah ini mempunyai persamaan Boole: Y = AB
Penyelesaian:
Y = (A + B)B = AB+ BB = AB
A B B A.B B . B Y = (AB+ BB)
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
19. Buktikan: a + ab = a Penyelesaian: a + ab = a . 1 + ab
= a (1 + b) → 1 + b = 1
= a . 1
= a
20. Buktikan: a(a+b) = a Penyelesaian:
a(a + b) = aa + ab
= a + ab
= a . 1 + ab
= a (1 + b) → 1 + b = 1
= a . 1
= a
21. Buktikan: a + bc = (a + b)(a + c) Penyelesaian:
a + bc = a(1 + b) + bc
= a + ab + bc
= a(1 + c) + ab + bc
= a + ac + ab + bc
= aa + ac + ab + bc
= (a + b)(a + c)
22. Buktikan: a(a + b + c) = a Penyelesaian:
a(a + b + c) = a[(a + b) + c]
= a(a + b) + ac
= a + ac → a(a + b) = a
= a . 1 + ac
= a(1 + c) → 1 + c = 1
= a . 1
= a
46 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E
23. Buktikan: a(ā + b) = ab Penyelesaian: a(ā + b) = aā + ab → aā = 0
= 0 + ab
= ab
24. Buktikan: ab + āc + bc = ab + āc Penyelesaian:
ab + āc + bc = ab + āc + bc(a + ā)
= ab + abc + āc + ābc
= ab (1 + c) + āc(1 + b)
= ab + āc
25. Buktikan: (a + b)( ā + c)(b + c) = (a + b)( ā + c) Penyelesaian: (a + b)( ā + c)(b + c) = (aā + ac + āb + bc)(b + c)
= (ac + āb + bc)(b + c)
= (abc + acc + ābb + ābc + bbc + bcc)
= (abc + ac + āb + ābc + bc + bc)
= (abc + ābc + ac + āb + bc)
= [(a + ā)bc + ac + āb + bc]
= (bc + ac + āb + bc)
= (ac + āb + bc)
= (a + b)( ā + c)
47
23. Buktikan: a(ā + b) = ab Penyelesaian: a(ā + b) = aā + ab → aā = 0
= 0 + ab
= ab
24. Buktikan: ab + āc + bc = ab + āc Penyelesaian:
ab + āc + bc = ab + āc + bc(a + ā)
= ab + abc + āc + ābc
= ab (1 + c) + āc(1 + b)
= ab + āc
25. Buktikan: (a + b)( ā + c)(b + c) = (a + b)( ā + c) Penyelesaian: (a + b)( ā + c)(b + c) = (aā + ac + āb + bc)(b + c)
= (ac + āb + bc)(b + c)
= (abc + acc + ābb + ābc + bbc + bcc)
= (abc + ac + āb + ābc + bc + bc)
= (abc + ābc + ac + āb + bc)
= [(a + ā)bc + ac + āb + bc]
= (bc + ac + āb + bc)
= (ac + āb + bc)
= (a + b)( ā + c)
3.1 Minimalisasi dengan Fungsi MINTERM
Pada bab sebelumnya kita telah bicarakan ketentuan-ketentuan
aljabar Boole dan metode matematika untuk mendapatkan logika yang
sederhana. Namun masih banyak metode-metode penyederhanaan
jaringan logika. Sebagai langkah awal, kita tentukan bentuk yang akan
kita sebut sebagai SOP (sum of products/jumlah hasil perkalian).
Pengertian ini lebih jelas jika kita perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 1:
Tentukan bentuk SOP dari fungsi berikut:
f (A,B,C,D) (AC B)(CD D)
Penyelesaian:
f (A,B,C,D) (AC B)(CD D)
ACCD ACD BCD BD
ACD ACD BCD BD → bentuk SOP
Contoh 2:
Tentukan bentuk SOP dari fungsi berikut:
f (A,B,C,D) (AC D)(D CE)
48 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
Penyelesaian:
f (A,B,C,D,E) (AC D)(B CE)
(A C) D (B.CE)
(A C D) B.(C E)
(A C D)(B.C B.E)
A.B.C A.B.E B.B.C B.C.E B.C.D B.D.E
A.B.C A.B.E B.C B.C.E B.C.D B.D.E
Dari contoh-contoh di atas, secara umum konversi dari fungsi
Boole ke bentuk SOP cukup jelas. Jika kita perhatikan pada contoh 1 dan
2, maka terlihat bahwa besaran-besaran yang jumlah literalnya lebih kecil
dari besaran fungsi. Dengan demikian contoh 1 dapat dilanjutkan sebagai
berikut:
f (A,B,C,D) ACD ACD BCD BD
ACD ACD BCD BD(C C) (C C) 1
ACD ACD BCD BCD BCD
(ACD ACD)(B B) (BCD BCD BCD)(A A)
ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD
ABCD ABCD ABCD
Kemudian untuk besaran yang sama dapat dipakai satu saja, dengan
demikian: A + A = A dapat kita terapkan pada masalah ini.
f (A,B,C,D) ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD
merupakan hasil lengkap dari SOP. Demikian pula untuk contoh 2
mempunyai bentuk lengkapnya:
49
Penyelesaian:
f (A,B,C,D,E) (AC D)(B CE)
(A C) D (B.CE)
(A C D) B.(C E)
(A C D)(B.C B.E)
A.B.C A.B.E B.B.C B.C.E B.C.D B.D.E
A.B.C A.B.E B.C B.C.E B.C.D B.D.E
Dari contoh-contoh di atas, secara umum konversi dari fungsi
Boole ke bentuk SOP cukup jelas. Jika kita perhatikan pada contoh 1 dan
2, maka terlihat bahwa besaran-besaran yang jumlah literalnya lebih kecil
dari besaran fungsi. Dengan demikian contoh 1 dapat dilanjutkan sebagai
berikut:
f (A,B,C,D) ACD ACD BCD BD
ACD ACD BCD BD(C C) (C C) 1
ACD ACD BCD BCD BCD
(ACD ACD)(B B) (BCD BCD BCD)(A A)
ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD
ABCD ABCD ABCD
Kemudian untuk besaran yang sama dapat dipakai satu saja, dengan
demikian: A + A = A dapat kita terapkan pada masalah ini.
f (A,B,C,D) ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD
merupakan hasil lengkap dari SOP. Demikian pula untuk contoh 2
mempunyai bentuk lengkapnya:
f (A,B,C,D,E) ABC ABE BC BCE BCD BDE
ABC ABE BC(A A) BCE BCD BDE
ABC ABE ABC ABC BCE BCD BDE
ABC ABE ABC BCE BCD BDE
(ABC ABE ABC BCE)(D D) (BCD BDE)(A A)
ABCD ABCD ABDE ABDE ABCD ABCD BCDE
BCDE ABCD ABCD ABDE ABDE
ABCD ABCD ABDE ABDE ABCD ABCD BCDE
BCDE ABDE
(ABCD ABCD ABCD ABCD)(E E) (ABDE ABDE
ABDE)(C C) (BCDE BCDE)(A A)
ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE
ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE
ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE
ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE
ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE
Fungsi yang lengkap dari contoh-contoh bentuk SOP di atas
disebut sebagai fungsi minterm. Setiap bersama miterm (ruas kanan)
mempunyai/ mengandung variabel dari fungsi (ruas kiri). Seperti pada
contoh 1, fungsi [f(A, B, C, D)] mempunyai 4 variabel, maka besaran
minterm (ruas kanan) juga mempunyai 4 variabel, misalnya:
ABCD , ABCD atau ABCD
Fungsi minterm ini mempunyai cara penulisan tersendiri, sebagai contoh
adalah penulisan fungsi minterm dari SOP contoh 1:
50 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
f (A,B,C,D) m(4,6,7,10,11,12,14,15)
Untuk menggambarkan lebih jelas tentang minterm dapat dilihat
contoh tabel minterm di bawah (kolom minterm menunjukkan cara
penulisan minterm sebagai fungsi minterm, kolom besaran minterm
menunjukkan cara penulisan minterm sebagai SOP):
Tabel minterm untuk 2-masukan/variabel
Minterm A B besaran
minterm
0 0 0 A.B 1 0 1 A.B 2 1 0 A.B 3 1 1 A.B
Tabel minterm untuk 3-masukan/variabel
Minterm A B C Besaran Minterm
0 0 0 0 A.B.C
1 0 0 1 A.B.C
2 0 1 0 A.B.C
3 0 1 1 A.B.C
4 1 0 0 A.B.C
5 1 0 1 A.B.C
6 1 1 0 A.B.C
7 1 1 1 A.B.C
51
f (A,B,C,D) m(4,6,7,10,11,12,14,15)
Untuk menggambarkan lebih jelas tentang minterm dapat dilihat
contoh tabel minterm di bawah (kolom minterm menunjukkan cara
penulisan minterm sebagai fungsi minterm, kolom besaran minterm
menunjukkan cara penulisan minterm sebagai SOP):
Tabel minterm untuk 2-masukan/variabel
Minterm A B besaran
minterm
0 0 0 A.B 1 0 1 A.B 2 1 0 A.B 3 1 1 A.B
Tabel minterm untuk 3-masukan/variabel
Minterm A B C Besaran Minterm
0 0 0 0 A.B.C
1 0 0 1 A.B.C
2 0 1 0 A.B.C
3 0 1 1 A.B.C
4 1 0 0 A.B.C
5 1 0 1 A.B.C
6 1 1 0 A.B.C
7 1 1 1 A.B.C
Tabel minterm untuk 4-masukan/variabel
Minterm A B C D besaran minterm
0 0 0 0 0 A.B.C.D
1 0 0 0 1 A.B.C.D
2 0 0 1 0 A.B.C.D
3 0 0 1 1 A.B.C.D
4 0 1 0 0 A.B.C.D
5 0 1 0 1 A.B.C.D
6 0 1 1 0 A.B.C.D
7 0 1 1 1 A.B.C.D
8 1 0 0 0 A.B.C.D
9 1 0 0 1 A.B.C.D
10 1 0 1 0 A.B.C.D
11 1 0 1 1 A.B.C.D
12 1 1 0 0 A.B.C.D
13 1 1 0 1 A.B.C.D
14 1 1 1 0 A.B.C.D
15 1 1 1 1 A.B.C.D
Untuk 5-masukan atau lebih penulisan minterm dan besaran
minterm adalah sesuai dengan jumlah masukan/variabel fungsi. Dengan
demikian kita telah mendapat runtutan metode untuk mendapatkan fungsi
minterm dari suatu fungsi Boole. Untuk lebih jelasnya dapat kita ikuti
tahapan-tahapan berikut:
52 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
1. Tentukan persamaan/fungsi Boole dari suatu jaringan (rancangan)
sistem yang dikehendaki.
2. Bualah persamaan/fungsi Boole menjadi bentuk SOP yang lengkap
diana setiap komponen product (komponen perkalian) mempunyai
julah variabel yang sesuai dengan variabel fungsi.
3. Tentukanlah komponen product dari bentuk SOP yang didapat
sebagai komponen minterm.
Pada contoh 1, bila direalisasikan dalam rangkaian logka maka
akan tersusun 8 gerbang AND dengan 4-masukan dan 1 gerbang OR
dengan 8-masukan:
dimana akan satu pada kondisi minterm yang bersangkutan (lihat tabel di
bawah):
Tabel minterm dari fungsi f(A,B,C,D)= m(4,6,7,10,11,12,14,15)
Minterm A B C D Besaran
Minterm
Keluaran
0 0 0 0 0 A.B.C.D 0
1 0 0 0 1 A.B.C.D 0
2 0 0 1 0 A.B.C.D 0
3 0 0 1 1 A.B.C.D 0
4 0 1 0 0 A.B.C.D 1
5 0 1 0 1 A.B.C.D 0
6 0 1 1 0 A.B.C.D 1
7 0 1 1 1 A.B.C.D 1
8 1 0 0 0 A.B.C.D 0
9 1 0 0 1 A.B.C.D 0
53
1. Tentukan persamaan/fungsi Boole dari suatu jaringan (rancangan)
sistem yang dikehendaki.
2. Bualah persamaan/fungsi Boole menjadi bentuk SOP yang lengkap
diana setiap komponen product (komponen perkalian) mempunyai
julah variabel yang sesuai dengan variabel fungsi.
3. Tentukanlah komponen product dari bentuk SOP yang didapat
sebagai komponen minterm.
Pada contoh 1, bila direalisasikan dalam rangkaian logka maka
akan tersusun 8 gerbang AND dengan 4-masukan dan 1 gerbang OR
dengan 8-masukan:
dimana akan satu pada kondisi minterm yang bersangkutan (lihat tabel di
bawah):
Tabel minterm dari fungsi f(A,B,C,D)= m(4,6,7,10,11,12,14,15)
Minterm A B C D Besaran
Minterm
Keluaran
0 0 0 0 0 A.B.C.D 0
1 0 0 0 1 A.B.C.D 0
2 0 0 1 0 A.B.C.D 0
3 0 0 1 1 A.B.C.D 0
4 0 1 0 0 A.B.C.D 1
5 0 1 0 1 A.B.C.D 0
6 0 1 1 0 A.B.C.D 1
7 0 1 1 1 A.B.C.D 1
8 1 0 0 0 A.B.C.D 0
9 1 0 0 1 A.B.C.D 0
10 1 0 1 0 A.B.C.D 1
11 1 0 1 1 A.B.C.D 1
12 1 1 0 0 A.B.C.D 1
13 1 1 0 1 A.B.C.D 0
14 1 1 1 0 A.B.C.D 1
15 1 1 1 1 A.B.C.D 1
Pada tabel di atas dapat kita ketahui bahwa keluaran akan satu
pada minterm 4, 6, 7, 10, 11, 12, 14, 15; dimana pada bentuk fungsi SOP
terlihat bahwa masing-masing minterm di-OR-kan satu dengan yang
lainnya. Dengan demikian jika salah satu minterm terpenuhi maka
keluaran akan 1.
Rangkaian kerja ini sangat berguna dalam banyak
aplikasi/perancangan kontrol digital/komputer. Perancangan sistem
biasanya menentukan spesifikasi yang dikeluarkan dalam bentuk fungsi
dengan tabel keluarannya. Aljabar Boole adalah suatu metode yang
sangat berguna untuk mentransformasikan dari tabel kebenaran ke
rangkaian praktis. Namun seringkali kita dalam dalam merealisasikan
suatu rancangan tidak mendapat bentuk yng sederhana. Untuk
mendapatkan bentuk yang sederhana maka kita harus melakukan
minimisasi dengan beberapa metode, antara lain dengan peta Karnaugh
dan Implikasi prima yang akan kita bahas nanti.
Contoh 3:
Konversikan fungsi berikut ke bentuk fungsi minterm:
f (A,B,C,D) ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD
ABCD ABCD
54 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
Penyelesaian:
f (A,B,C,D) ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD
0101 0110 0111 1011 1010 1111 0011
5 6 7 11 10 15 3
ABCD ABCD
0001 0100
1 4
f (A,B,C,D) m(1,3,4,5,6,7,10,11,15)
Contoh 4:
Konversikan fungsi SOP berikut ke bentuk fungsi minterm dan realisasi
rangkaiannya:
f (A,B,C) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
Penyelesaian:
f (A,B,C) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
010 011 101 110 011 100 010 101 100
2 3 5 6 3 4 2 5 4
bila ada 2 minterm (atau lebih) yang sama, maka cukup dipakai salah
satu saja. Seperti contoh di atas, ada 2 minterm -2, 2 minterm-3, 2
minterm-4, dan 2 minterm-5. Untuk masing-masing minterm cukup
dicantumkan satu saja. Dengan demikian bentuk fungsi minterm:
f (A,B,C,D) m(2,3,4,5,6)
Contoh 5:
Konversikan fungsi SOP di bawah ini ke bentuk fungsi minterm:
55
Penyelesaian:
f (A,B,C,D) ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD
0101 0110 0111 1011 1010 1111 0011
5 6 7 11 10 15 3
ABCD ABCD
0001 0100
1 4
f (A,B,C,D) m(1,3,4,5,6,7,10,11,15)
Contoh 4:
Konversikan fungsi SOP berikut ke bentuk fungsi minterm dan realisasi
rangkaiannya:
f (A,B,C) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
Penyelesaian:
f (A,B,C) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
010 011 101 110 011 100 010 101 100
2 3 5 6 3 4 2 5 4
bila ada 2 minterm (atau lebih) yang sama, maka cukup dipakai salah
satu saja. Seperti contoh di atas, ada 2 minterm -2, 2 minterm-3, 2
minterm-4, dan 2 minterm-5. Untuk masing-masing minterm cukup
dicantumkan satu saja. Dengan demikian bentuk fungsi minterm:
f (A,B,C,D) m(2,3,4,5,6)
Contoh 5:
Konversikan fungsi SOP di bawah ini ke bentuk fungsi minterm:
f (A,B,C,D,E) ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE
ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE
Penyelesaian:
f (A,B,C,D,E) ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE 01011 01010 01110 11010 10101
10111 11 10 14 26 21 23
ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE
01101 10110 10011 00111 11111
13 22 19 7 31
f (A,B,C,D,E) m(7,10,11,13,14,19,21,22,23,26,31)
3.2 Minimalisasi dengan Fungsi MAXTERM
Dalam beberapa hal ada gunanya pula bila kita tinjau suatu
bentuk fungsi lain untuk merealisasikan suatu rancangan sistem digital,
yaitu bentuk POS (product of sum/perkalian hasil penjumlahan). Sebagai
gambarn yang lebih jelas kita perhatikan contoh berikut:
Contoh 6:
Ubahlah persamaan berikut ke bentuk fungsi POS:
f (A,B,C,D) A C BD
Penyelesaian:
f (A,B,C,D) A C BD
A (C BD)
A (C B)(C D) ← kaidah distributif
(A C B)(A C D)
56 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
Ruas kanan merupakan dua komponen yang masing-masing
hanya mempunyai tiga variabel dari empat variabel fungsi yang ada.
Jadi, kita harus melengkapi komponen-komponen tersebut.
f (A,B,C,D) (A C B D.D)(A C D B.B) D.D 1
(A C B D)(A C B D)(A C D B)(A C D B)
(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)
karena pada ruas kanan ada komponen ganda, maka berarti cukup tiga
komponen saja yang dituliskan:
f (A,B,C,D) (A C B D)(A C B D)(A B C D)
Bentuk di atas tidak lain adalah bentuk dari fungsi POS yang dapat kita
tuliskan ke dalam bentuk fungsi maxterm:
f (A,B,C,D) (A C B D)(A C B D)(A B C D)
(0 0 1 0) (0 0 1 1) (0 0 0 1)
4 5 1
Fungsi maxterm yang dimaksud:
f (A,B,C,D) M(1,4,5)
sedangkan bentuk realisasi dari rangkaian maxterm:
Contoh 7:
Konversikan bentuk fungsi POS berikut ke bentuk maxterm:
f (A,B,C) (A B C)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)
57
Ruas kanan merupakan dua komponen yang masing-masing
hanya mempunyai tiga variabel dari empat variabel fungsi yang ada.
Jadi, kita harus melengkapi komponen-komponen tersebut.
f (A,B,C,D) (A C B D.D)(A C D B.B) D.D 1
(A C B D)(A C B D)(A C D B)(A C D B)
(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)
karena pada ruas kanan ada komponen ganda, maka berarti cukup tiga
komponen saja yang dituliskan:
f (A,B,C,D) (A C B D)(A C B D)(A B C D)
Bentuk di atas tidak lain adalah bentuk dari fungsi POS yang dapat kita
tuliskan ke dalam bentuk fungsi maxterm:
f (A,B,C,D) (A C B D)(A C B D)(A B C D)
(0 0 1 0) (0 0 1 1) (0 0 0 1)
4 5 1
Fungsi maxterm yang dimaksud:
f (A,B,C,D) M(1,4,5)
sedangkan bentuk realisasi dari rangkaian maxterm:
Contoh 7:
Konversikan bentuk fungsi POS berikut ke bentuk maxterm:
f (A,B,C) (A B C)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)
Penyelesaian:
f (A,B,C) (A B C)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C) (1 1 0) (1 0 1) (0 1 1) (0 1 0) (0 0 0)
6 5 3 2 0
Fungsi maxterm yang dimaksud:
f (A,B,C,D) M(0,2,3,5,6)
Contoh 8:
Konversikan bentuk fungsi POS berikut ke bentuk maxterm:
f (A,B,C,D) (A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)
(A B C D)
Penyelesaian:
f (A,B,C,D) (A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)
(1 0 1 0)(0 1 0 1)(1 0 0 1)(0 1 1 0)(1 0 0 0)
10 5 9 6 8
Fungsi maxterm yang dimaksud:
f (A,B,C,D) M(5,6,8,9,10)
Tabel : )f(A,B,C,D)= M(5,6,8,9,10
Maxterm A B C D Besaran maxterm
Keluaran
15 0 0 0 0 A B C D 0
14 0 0 0 1 A B C D 0
13 0 0 1 0 A B C D 0
12 0 0 1 1 A B C D 0
58 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
11 0 1 0 0 A B C D 0
10 0 1 0 1 A B C D 1
9 0 1 1 0 A B C D 1
8 0 1 1 1 A B C D 1
7 1 0 0 0 A B C D 0
6 1 0 0 1 A B C D 1
5 1 0 1 0 A B C D 1
4 1 0 1 1 A B C D 0
3 1 1 0 0 A B C D 0
2 1 1 0 1 A B C D 0
1 1 1 1 0 A B C D 0
0 1 1 1 1 A B C D 0
Selanjutnya memperoleh fungsi minterm dan maxterm, langkah
selanjutnya dalam realisasi suatu rancangan logika adalah
penyederhanaan yang mungkin pada rangkaian. Penyederhanaan yang
dapat dilakukan antara lain adalah dengan aljabar Boole. Akan tetapi ada
suatu cara yang bisa dikatakan sebagai suatu cara yang sangat
mendasar untuk penyederhanaan rangkaian yang disebut sebagai peta
Karnaugh.
Sebelum kita bicarakan lebih lanjut tentang penyederhanaan
aljabar Boole dan peta Karnaugh kita uraikan terlebih dahulu tentang
hubungan antara minterm dan maxterm. Untuk lebih jelasnya kita
perhatikan tabel berikut:
59
11 0 1 0 0 A B C D 0
10 0 1 0 1 A B C D 1
9 0 1 1 0 A B C D 1
8 0 1 1 1 A B C D 1
7 1 0 0 0 A B C D 0
6 1 0 0 1 A B C D 1
5 1 0 1 0 A B C D 1
4 1 0 1 1 A B C D 0
3 1 1 0 0 A B C D 0
2 1 1 0 1 A B C D 0
1 1 1 1 0 A B C D 0
0 1 1 1 1 A B C D 0
Selanjutnya memperoleh fungsi minterm dan maxterm, langkah
selanjutnya dalam realisasi suatu rancangan logika adalah
penyederhanaan yang mungkin pada rangkaian. Penyederhanaan yang
dapat dilakukan antara lain adalah dengan aljabar Boole. Akan tetapi ada
suatu cara yang bisa dikatakan sebagai suatu cara yang sangat
mendasar untuk penyederhanaan rangkaian yang disebut sebagai peta
Karnaugh.
Sebelum kita bicarakan lebih lanjut tentang penyederhanaan
aljabar Boole dan peta Karnaugh kita uraikan terlebih dahulu tentang
hubungan antara minterm dan maxterm. Untuk lebih jelasnya kita
perhatikan tabel berikut:
Tabel minterm dan maxterm untuk 4- variabel
No. A B C D Minterm Maxterm
0 0 0 0 0 0A.B.C.D m 15A B C D M
1 0 0 0 1 1A.B.C.D m 14A B C D M
2 0 0 1 0 2A.B.C.D m 13A B C D M
3 0 0 1 1 3A.B.C.D m 12A B C D M
4 0 1 0 0 4A.B.C.D m 11A B C D M
5 0 1 0 1 5A.B.C.D m 10A B C D M
6 0 1 1 0 6A.B.C.D m 9A B C D M
7 0 1 1 1 7A.B.C.D m 8A B C D M
8 1 0 0 0 8A.B.C.D m 7A B C D M
9 1 0 0 1 9A.B.C.D m 6A B C D M
10 1 0 1 0 10A.B.C.D m 5A B C D M
11 1 0 1 1 11A.B.C.D m 4A B C D M
12 1 1 0 0 12A.B.C.D m 3A B C D M
13 1 1 0 1 13A.B.C.D m 2A B C D M
14 1 1 1 0 14A.B.C.D m 1A B C D M
15 1 1 1 1 15A.B.C.D m 0A B C D M
60 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
Pada tabel di atas terlihat masing-masing variabel minterm dan
maxterm merupakan komplemennya. Jika kombinasi masukan pada
minterm adalah 1 maka kombinasi masukan pada maxterm adalah 0, dan
bila kombinasi pada minterm adalah 0 maka pada maxterm adalah 1.
3.3 Penyederhanaan Aljabar Boole
Metoda penyederhanaan dengan memakai aljabar Boole adalah
metode atau cara yang cukup sederhana. Caranya adalah sebagai
berikut. Dari persamaan SOP dapat disusun kembali menjadi persamaan
lain yang sesuai dengan aljabar Boole. Hal ini akan lebih jelas diberikan
pada contoh berikut:
Contoh 9:
Y AB AB Penyederhanaan dengan aljabr Boole adalah:
Y AB AB
A(B B)
Persamaan di atas dapat disederhanakan lagi menjadi:
Y A(B B) B B 1
A
Contoh 10:
Y AC AD BC BD
Penyederhanaan dengan aljabr boole adalah:
Y A(C D) B(C D)
(A B)(C D)
61
Pada tabel di atas terlihat masing-masing variabel minterm dan
maxterm merupakan komplemennya. Jika kombinasi masukan pada
minterm adalah 1 maka kombinasi masukan pada maxterm adalah 0, dan
bila kombinasi pada minterm adalah 0 maka pada maxterm adalah 1.
3.3 Penyederhanaan Aljabar Boole
Metoda penyederhanaan dengan memakai aljabar Boole adalah
metode atau cara yang cukup sederhana. Caranya adalah sebagai
berikut. Dari persamaan SOP dapat disusun kembali menjadi persamaan
lain yang sesuai dengan aljabar Boole. Hal ini akan lebih jelas diberikan
pada contoh berikut:
Contoh 9:
Y AB AB Penyederhanaan dengan aljabr Boole adalah:
Y AB AB
A(B B)
Persamaan di atas dapat disederhanakan lagi menjadi:
Y A(B B) B B 1
A
Contoh 10:
Y AC AD BC BD
Penyederhanaan dengan aljabr boole adalah:
Y A(C D) B(C D)
(A B)(C D)
Contoh 11:
Y (A B)(A C)(B C)
Penyederhanaan dengan aljabr boole adalah:
Y (A B)(A C)(B C)
(AA AC AB BC)(B C) AA 0
(AC AB BC)(B C)
ABC ACC ABB ABC BBC BCC BB B
ABC AC AB ABC BC BC BC BC BC
(A A)BC AC AB BC A A 1
BC AC AB BC
AC BC AB
AA AC BC AB
(A B)(A C)
3.4 Minimasasi dengan Peta Karnaugh
Peta Karnaugh adalah merupakan suatu cara/metode yang
sangat diperlukan dalam perancangan logika. Peta Karnaugh dipakai
dalam penyederhanaan rancangan logika, bahkan lebih andal
dibandingan dengan aljabar Boole. Dalam bab ini kita akan bicarakan
penyederhanaan rancangan digital dengan peta Karnaugh mulai dari 2-
variabel sampai variabel yang lebih banyak lagi. Kita perhatikan tabel
kebenaran AND dan OR berikut:
62 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
Tabel kebenaran gerbang AND dan OR untuk 2-variabel
A B A.B
0 0 0
0 1 0
1 1 0
1 1 1
A B A+B
0 0 0
0 1 1
1 1 1
1 1 1
Peta Karnaugh 2-variabel ini mirip suatu matrik 2x2. Tetapi cara
penulisan elemen berbeda dengan matrik, yaitu kolom dituliskan lebih
dulu baru kemudian diikuti dengan baris, dimana A adalah sebagai kolom
sedangkan B adalah sebagai barisnya. Dengan demikian penulisan
elemennya adalah dengan urutan AB.A = 0 adalah sebagai kolom 0 dan
B = 1 sebagai baris 1.
Dengan demikian peta Karnaugh merupakan matrik yang
mempunyai elemen 00 (baris 0, kolom 0), 01 (baris 0, kolom 1), 10 (baris
1, kolom 0), dan 11 (baris 1, kolom 1). Elemen matrik disini mempunyai
arti elemen kolom di-AND-kan dengan elemen baris, kemudian bila hasil
operasi adalah 1, maka akan kita tuliskan 1 pada salah satu kotak peta
Karnaugh yang merupakan elemen matrik. Pada masing-masing kotak
diberikan nomor urut seperti tertera pada gambar. Pada elemen matrik
00 berarti A = 0 dan B = 0 adalah nomor 0, pada elemen matrik kita lihat
pada gambar berikut.
B\A 0 1
0 0 2
1 1 3
63
Tabel kebenaran gerbang AND dan OR untuk 2-variabel
A B A.B
0 0 0
0 1 0
1 1 0
1 1 1
A B A+B
0 0 0
0 1 1
1 1 1
1 1 1
Peta Karnaugh 2-variabel ini mirip suatu matrik 2x2. Tetapi cara
penulisan elemen berbeda dengan matrik, yaitu kolom dituliskan lebih
dulu baru kemudian diikuti dengan baris, dimana A adalah sebagai kolom
sedangkan B adalah sebagai barisnya. Dengan demikian penulisan
elemennya adalah dengan urutan AB.A = 0 adalah sebagai kolom 0 dan
B = 1 sebagai baris 1.
Dengan demikian peta Karnaugh merupakan matrik yang
mempunyai elemen 00 (baris 0, kolom 0), 01 (baris 0, kolom 1), 10 (baris
1, kolom 0), dan 11 (baris 1, kolom 1). Elemen matrik disini mempunyai
arti elemen kolom di-AND-kan dengan elemen baris, kemudian bila hasil
operasi adalah 1, maka akan kita tuliskan 1 pada salah satu kotak peta
Karnaugh yang merupakan elemen matrik. Pada masing-masing kotak
diberikan nomor urut seperti tertera pada gambar. Pada elemen matrik
00 berarti A = 0 dan B = 0 adalah nomor 0, pada elemen matrik kita lihat
pada gambar berikut.
B\A 0 1
0 0 2
1 1 3
Kemudian hasil dari tabel kebenaran AND dan OR di atas
kitamasukkan ke dalam peta Karnaugh. Untuk tabel AND hasilnya kita
masukkan pada kotak yang bersesuaian (yang kita tuliskan bila hasil
operasi adalah 1, untuk hasil operasi = 0 tidak kita tuliskan dalam peta
Karnaugh), yaitu hasil operasi AND akan 1 bila A dan B =1. Jika kita
tuliskan dalam bentuk fungsi Boole adalah: Y =AB.
Maka pada kotak yang merupakan elemen matriks 11 (yang
berarti 1.1 = 1) kita tuliskan 1. Dengan demikian hasil operasi AND dapat
kita lihat pada gambar (a) berikut.
B\A 0 1
0
1 1
B\A 0 1
0 1
1 1 1
Sedangkan untuk operasi OR hasilnya dapat kita lihat pada
gambar (b) di atas. Hasil operasi OR akan 1 bila salah satu variabel
adalah 1. Maka dituliskan 1 pada kotak-kotak peta Karnaugh yang
merupakan elemen matrik 01, 10, dan 11. Elemen matrik 01 berarti 0+1 =
1, elemen 10 berarti 1+0 = 1 dan elemen 11 berarti 1+1 = 1. Atau dapat
juga kita tuliskan dalam bentuk aljabar Boole yang bentuknya akan
seperti berikut:
Y AB AB AB
AB A(B B) B B 1
AB A
Atau
Y AB AB AB
64 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
(A A)B AB A A 1
A AB
Dari persamaan Boole di atas dapat disimpulkan menjadi:
Y (AB A) (B AB)
(AB A B AB
A(1 B) B(1 A) 1 A 1
A B
Peta Karnaugh map untuk 3-variabel dapat kita ikuti pada
bahasan berikut. Pertama kita perhatikan tabel kebenaran AND dan OR
3-variabel berikut:
Tabel kebenaran gerbang AND dan OR untuk 3-variabel
A B C A.B.C
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
65
(A A)B AB A A 1
A AB
Dari persamaan Boole di atas dapat disimpulkan menjadi:
Y (AB A) (B AB)
(AB A B AB
A(1 B) B(1 A) 1 A 1
A B
Peta Karnaugh map untuk 3-variabel dapat kita ikuti pada
bahasan berikut. Pertama kita perhatikan tabel kebenaran AND dan OR
3-variabel berikut:
Tabel kebenaran gerbang AND dan OR untuk 3-variabel
A B C A.B.C
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
A B C A+B+C 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
Dari tabel kebenaran di atas dapat kita pindahkan ke peta
Karnaugh dengan sedikit perbedaan dengan peta Karnaugh untuk 2-
variabel. Pada peta Karnaugh 3-variabel ini A dan B sebagai kolom, yang
dituliskan: AB dan C adalah sebagai baris. Untuk lebih jelasnya kita
perhatikan langkah-langkah berikut. Pertama buat peta karnaugh yang
terdiri dari delapan buah elemen yang terdiri dari dua baris dan empat
kolom. Kemudian urutan dari masing-masing elemen ini kita beri nomor
decimal sebagai berikut. (Nomor decimal tersebut sesuai dengan kode
biner untuk 3-variabel, yaitu menurut urutan variabel: ABC).
C \ AB 00 01 10 11
0 0 2 4 6
1 1 3 5 7
Pada kolom 00 berarti keadaan A = 0 dan B = 0, kolom 01 berarti
keadaan A = 0 dan B = 1, kolom 11 berarti keadaan A = 1 dan B = 1,
serta kolom 10 berarti A = 1 dan B = 0. Pada baris 0 berartikeadaan C =
0 dan pada baris 1 berarti keadaan C = 1.
Pada gambar berikut akan dijelaskan letak masing-masing
variabel untuk keadaan 0 dan 1. Pada gambar (a) berikut ditunjukkan
letak variabel A untuk keadaan 0 dan 1 (A dan A), untuk keadaan 0 (A)
tidak dituliskan dalam peta Karnaugh. Untuk gambar (b) adalah untuk
variabel B, gambar (c) untuk variabel C dan gambar (d) adalah hasil dari
operasi AND dari variabel A, B, dan C, dimana hasil AND akan 1 jika A,
66 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
B, dan C adalah 1. Dengan demikian dapat kita perhatikan pada gambar
(a), (b), dan (c) bahwa A, B, dan C adlah 1 pada kotak nomor 7. Maka
hanya pada kotak nomor 7 tersebut dapat kita tuliskan 1. Persamaan
untuk fungsi AND trsebut adalah: Y = ABC.
C \ AB 00 01 10 11
0 1 1
1 1 1
C \ AB 00 01 10 11
0 1 1
1 1 1
C \ AB 00 01 10 11
0
1 1 1 1 1
C \ AB 00 01 10 11
0
1 1
Sedangkan untuk operasi OR hasilnya dapat kita lihat pada
langkah-langkah berikut. Gambar (a) adalah untuk A = 1, gambar (b)
untuk B = 1, gambar (c) untuk C = 1, dan gambar (d) adalah untuk hasil
operasi OR. Hasil operasi OR akan 1 bila salah satu variabel atau lebih
adalah 1. Maka dituliskan 1 pada kotak-kotak peta Karnaugh yang
merupakan elemen:
001 0 0 1 1
010 0 1 0 1
011 0 1 1 1
(a)
(b)
(c)
(d)
67
B, dan C adalah 1. Dengan demikian dapat kita perhatikan pada gambar
(a), (b), dan (c) bahwa A, B, dan C adlah 1 pada kotak nomor 7. Maka
hanya pada kotak nomor 7 tersebut dapat kita tuliskan 1. Persamaan
untuk fungsi AND trsebut adalah: Y = ABC.
C \ AB 00 01 10 11
0 1 1
1 1 1
C \ AB 00 01 10 11
0 1 1
1 1 1
C \ AB 00 01 10 11
0
1 1 1 1 1
C \ AB 00 01 10 11
0
1 1
Sedangkan untuk operasi OR hasilnya dapat kita lihat pada
langkah-langkah berikut. Gambar (a) adalah untuk A = 1, gambar (b)
untuk B = 1, gambar (c) untuk C = 1, dan gambar (d) adalah untuk hasil
operasi OR. Hasil operasi OR akan 1 bila salah satu variabel atau lebih
adalah 1. Maka dituliskan 1 pada kotak-kotak peta Karnaugh yang
merupakan elemen:
001 0 0 1 1
010 0 1 0 1
011 0 1 1 1
(a)
(b)
(c)
(d)
100 1 0 0 1
101 1 0 1 1
110 1 1 0 1
110 1 1 0 1
C \ AB 00 01 10 11
0 1 1
1 1 1
C \ AB 00 01 10 11
0 1 1
1 1 1
C \ AB 00 01 10 11
0
1 1 1 1 1
C \ AB 00 01 10 11
0 1 1 1
1 1 1 1 1
Bentuk persamaan OR adalah : Y A B C D
Atau dapat kita tuliskan dalam bentuk aljabar Boole, yang bentuknya
akan seperti berikut:
Y ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC A 1(4,5,6,7) B 1(2,3,6,7) C 1(1,3,5,7)
Y ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
1 2 3 4 5 6 7
(b)
(c)
(d)
(a)
68 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
Bentuk persmaan diatas tidak lain adalah bentuk fungsi SOP, yang mana
sangat mudah dikonversikan kebentuk fungsi minterm:
f A,B,C m 1,2,3,4,5,6,7
Contoh 12: Tuliskan persamaaan Boole dan fungsi mintermnya untuk peta karnaugh
berikut:
C \ AB 00 01 10 11
0 1 1
1 1 1
Penyelesaian:
AB
C
00
01
10
11
0 1 1
1
Y1 AC
AB
C
00
01
10
11
0
1 1 1
Y2 AC
Dari kedua persamaan itu kita bisa satukan dengan memakai opersi OR,
dengan demikian persamaan akan menjadi:
69
Bentuk persmaan diatas tidak lain adalah bentuk fungsi SOP, yang mana
sangat mudah dikonversikan kebentuk fungsi minterm:
f A,B,C m 1,2,3,4,5,6,7
Contoh 12: Tuliskan persamaaan Boole dan fungsi mintermnya untuk peta karnaugh
berikut:
C \ AB 00 01 10 11
0 1 1
1 1 1
Penyelesaian:
AB
C
00
01
10
11
0 1 1
1
Y1 AC
AB
C
00
01
10
11
0
1 1 1
Y2 AC
Dari kedua persamaan itu kita bisa satukan dengan memakai opersi OR,
dengan demikian persamaan akan menjadi:
AB
C
00
01
10
11
0 1 1
1 1 1
Y AC AC
Untuk mencari fungsi mintermnya dari persamaan Boole kita ubah
kebentuk fungsi SOP.
Y(A,B,C) AC AC
AC(B B) AC(B B)
ABC ABC ABC ABC
4 6 1 3
Kemudian dari bentuk fungsi SOP ini kita dapat dengan mudah
mengkonversiakn kebentuk fungsi minterm. Bentuk fungsi minterm yang
dimaksud:
f A,B,C m 1,3,4,6
Peta Karnaugh map untuk 4-variabel dapat kita ikuti pada
bahasan berikut. Pada peta Karnaugh 4-variabel ini A dan B sebagai
kolom, yang dituliskan berurutan: AB, C dan D adalah sebagai baris yang
dituliskan berurutan: CD.
Untuk lebih jelasnya kita perhatikan langkah-langkah berikut.
Pertama kita buat peta Karnaugh yang terdiri dari enam belas buah
elemen yang terdiri dari empat baris dan empat kolom.Kemudian urutan
dari masing-masing elemen kita beri nomor decimal sebagai berikut.
(Nomor desimal tersebut sesuai dengan kode biner untuk 4-varibel, yaitu
menurut urutan variabel ABCD).
70 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
AB
CD
00
01
10
11
00 0 4 8 12
01 1 5 9 13
10 2 6 10 14
11 3 7 11 15
Peta Karnaugh 4-variabel
Pada kolom:
00 → A = 0 dan B = 0
01 → A = 0 dan B = 1
10 → A = 1 dan B = 0
11 → A = 1 dan B = 1
Pada baris:
00 → C = 0 dan D = 0
01 → C = 0 dan D = 1
10 → C = 1 dan D = 0
11 → C = 1 dan D = 1
Contoh 13:
Dari fungsi-fungsi minterm berikut buatlah peta Karnaugh dan tuliskanlah
persamaan Boolenya
f A,B,C,D m 0,1,4,5,8,9,10,11,12,13,14,15
Penyelesaian:
a. f A,B,C,D m 0,1,4,5,8,9,10,11,12,13,14,15
Peta Karnaughnya adalah:
71
AB
CD
00
01
10
11
00 0 4 8 12
01 1 5 9 13
10 2 6 10 14
11 3 7 11 15
Peta Karnaugh 4-variabel
Pada kolom:
00 → A = 0 dan B = 0
01 → A = 0 dan B = 1
10 → A = 1 dan B = 0
11 → A = 1 dan B = 1
Pada baris:
00 → C = 0 dan D = 0
01 → C = 0 dan D = 1
10 → C = 1 dan D = 0
11 → C = 1 dan D = 1
Contoh 13:
Dari fungsi-fungsi minterm berikut buatlah peta Karnaugh dan tuliskanlah
persamaan Boolenya
f A,B,C,D m 0,1,4,5,8,9,10,11,12,13,14,15
Penyelesaian:
a. f A,B,C,D m 0,1,4,5,8,9,10,11,12,13,14,15
Peta Karnaughnya adalah:
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
10 1 1
11 1 1
Persamaan Boolenya: Y A C
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1
Y A
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
10
11
Y C
72 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
Peta Karnaugh map untuk 5-variabel dapat kita ikuti pada
bahasan berikut. Peta Karnagh untuk 5-variabel terdiri dari 32 elemen
yang terbagi menjadi dua bagian, masing-masing bagian terdiri dari
enambelas elemen. Enambelas pertam untuk A = 0 dan enambelas
berikutnya untuk A = 1. Pata peta Karnaugh 5-variabel ini B dan C
sebagai kolom, yang dituliskan berurutan: BC, D dan E adalah sebagai
baris yang dituliskan berurutan: DE. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan
langkah-langkah berikut. Pertama kali kita buat peta Karnaugh yang
terdiri dari enambelas buah elemen dua kali berdampingan, yang
masing-masing terdiri dari empat baris dan empat kolom. Kemudian
urutan dari msaing-maing elemen kita beri nomor decimal sebagai
berikut. (Nomor decimal tersebut sesuai dengan kode biner untuk 5-
variabel, yaitu menurut ururatan variabel: ABCDE).
Untuk A = 0
CD \ AB 00 01 10 11
00 0 4 8 12
01 1 5 9 13
10 2 6 10 14
11 3 7 11 15
Untuk A = 1
CD \ AB 00 01 10 11
00 16 20 24 28
01 17 21 25 29
10 18 22 26 30
11 19 23 27 31
Y A B C D E
Dengan cara yang sama dengan 4-variabel, persamaan Boole untuk
operasi AND:
Y A.B.C.D.E
73
Peta Karnaugh map untuk 5-variabel dapat kita ikuti pada
bahasan berikut. Peta Karnagh untuk 5-variabel terdiri dari 32 elemen
yang terbagi menjadi dua bagian, masing-masing bagian terdiri dari
enambelas elemen. Enambelas pertam untuk A = 0 dan enambelas
berikutnya untuk A = 1. Pata peta Karnaugh 5-variabel ini B dan C
sebagai kolom, yang dituliskan berurutan: BC, D dan E adalah sebagai
baris yang dituliskan berurutan: DE. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan
langkah-langkah berikut. Pertama kali kita buat peta Karnaugh yang
terdiri dari enambelas buah elemen dua kali berdampingan, yang
masing-masing terdiri dari empat baris dan empat kolom. Kemudian
urutan dari msaing-maing elemen kita beri nomor decimal sebagai
berikut. (Nomor decimal tersebut sesuai dengan kode biner untuk 5-
variabel, yaitu menurut ururatan variabel: ABCDE).
Untuk A = 0
CD \ AB 00 01 10 11
00 0 4 8 12
01 1 5 9 13
10 2 6 10 14
11 3 7 11 15
Untuk A = 1
CD \ AB 00 01 10 11
00 16 20 24 28
01 17 21 25 29
10 18 22 26 30
11 19 23 27 31
Y A B C D E
Dengan cara yang sama dengan 4-variabel, persamaan Boole untuk
operasi AND:
Y A.B.C.D.E
DE \ABC 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10
11
Dapat diterapkan pada peta Karnaugh 5-variabel sebagai berikut:
Y A.B.C.D.E . Demikian juga persamaan Boole untuk operasi OR:
Y A B C D E . Dapat diterapkan pada peta Karnaugh 5-
variabel. Diamana kotak yang tidak terisi sama dengan variabel-variabel
yang lain, yaitu pada elemen kotak nomor 0.
Contoh 14:
Dari fungsi-fungsi minterm berikut buatlah peta Karnaugh dan tuliskanlah
persamaan Boolenya:
a. f A,B,C,D m 0,1,4,5,8,9,10,11,12,13,14,15
b. f A,B,C,D m 0,1,2,3,4,5,6,7,12,13,1( 4,15)
c. f A,B,C,D m 2,3,4,5,6,7,9,11,13,15
d. f A,B,C,D m 4,5,6,7,9,10
e. f A,B,C,D m 7,8,9,10,13,14,15
Penyelesaian:
a. f A,B,C,D m 0,1,4,5,8,9,10,11,12,13,14,15
74 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
Y C
Peta Karnaughnya adalah:
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
10 1 1
11 1 1
Persamaan Boolenya: Y A C
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1
Y A
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
10
11
75
Y C
Peta Karnaughnya adalah:
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
10 1 1
11 1 1
Persamaan Boolenya: Y A C
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1
Y A
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
10
11
b. f A,B,C,D m 0,1,2,3,4,5,6,7,12,13,1( 4,15)
Peta Karnaughnya adalah:
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1 1
01 1 1 1
10 1 1 1
11 1 1 1
Persamaan Boolenya: Y A B
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1
Y A
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1
Y B
76 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
c. f A,B,C,D m 2,3,4,5,6,7,9,11,13,15
Peta Karnaughnya adalah:
AB
CD
00
01
10
11
00 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1 1 1
Y AB CD AC BD
AB
CD
00
01
10
11
00 1
01 1
10 1
11 1
Y AB
AB
CD
00
01
10
11
00
01
10
11 1 1 1 1
Y CD
77
c. f A,B,C,D m 2,3,4,5,6,7,9,11,13,15
Peta Karnaughnya adalah:
AB
CD
00
01
10
11
00 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1 1 1
Y AB CD AC BD
AB
CD
00
01
10
11
00 1
01 1
10 1
11 1
Y AB
AB
CD
00
01
10
11
00
01
10
11 1 1 1 1
Y CD
AB
CD
00
01
10
11
00
01
10 1 1
11 1 1
Y AC
AB
CD
00
01
10
11
00
01 1 1
10
11 1 1
Y BD
d. f A,B,C,D m 4,5,6,7,9,10
Peta Karnaughnya adalah:
AB
CD
00
01
10
11
00 1
01 1 1
10 1 1
11 1
78 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
AB
CD
00
01
10
11
00 1
01 1
10 1
11 1
Y AB
AB
CD
00
01
10
11
00
01 1
10
11
Y A.B.C.D
AB
CD
00
01
10
11
00
01
10 1
11
Y ABCD
Pesamaan Boolenya: Y AB ABCD ABCD
79
AB
CD
00
01
10
11
00 1
01 1
10 1
11 1
Y AB
AB
CD
00
01
10
11
00
01 1
10
11
Y A.B.C.D
AB
CD
00
01
10
11
00
01
10 1
11
Y ABCD
Pesamaan Boolenya: Y AB ABCD ABCD
e. f A,B,C,D m 7,8,9,10,13,14,15
Peta Karnaughnya adalah:
AB CD
00
01
10
11
00 1
01 1 1
10 1 1 1
11 1
Y ABC ABD BCD ACD
AB CD
00
01
10
11
00 1 01 1 10 11
Y ABC
AB CD
00
01
10
11
00 01 1 10 1 11
Y ABD
AB CD
00
01
10
11
00 01 10 11 1 1
Y BCD
80 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
AB
CD
00
01
10
11
00
01
10 1 1
11
Y ACD
Peta Karnaugh map untuk 5-variabel dapat kita ikuti pada
bahasan berikut. Peta Karnagh untuk 5-variabel terdiri dari 32 elemen
yang terbagi menjadi dua bagian, masing-masing bagian terdiri dari
enambelas elemen. Enambelas pertam untuk A = 0 dan enambelas
berikutnya untuk A = 1. Pata peta Karnaugh 5-variabel ini B dan C
sebagai kolom, yang dituliskan berurutan: BC, D dan E adalah sebagai
baris yang dituliskan berurutan: DE. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan
langkah-langkah berikut. Pertama kali kita buat peta Karnaugh yang
terdiri dari enambelas buah elemen dua kali berdampingan, yang
masing-masing terdiri dari empat baris dan empat kolom. Kemudian
urutan dari msaing-maing elemen kita beri nomor decimal sebagai
berikut. (Nomor decimal tersebut sesuai dengan kode biner untuk 5-
variabel, yaitu menurut ururatan variabel: ABCDE).
BC
DE
00
A = 0
01
10
11
00 0 4 8 11
01 1 5 9 12
10 2 6 10 13
11 3 7 11 14
81
AB
CD
00
01
10
11
00
01
10 1 1
11
Y ACD
Peta Karnaugh map untuk 5-variabel dapat kita ikuti pada
bahasan berikut. Peta Karnagh untuk 5-variabel terdiri dari 32 elemen
yang terbagi menjadi dua bagian, masing-masing bagian terdiri dari
enambelas elemen. Enambelas pertam untuk A = 0 dan enambelas
berikutnya untuk A = 1. Pata peta Karnaugh 5-variabel ini B dan C
sebagai kolom, yang dituliskan berurutan: BC, D dan E adalah sebagai
baris yang dituliskan berurutan: DE. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan
langkah-langkah berikut. Pertama kali kita buat peta Karnaugh yang
terdiri dari enambelas buah elemen dua kali berdampingan, yang
masing-masing terdiri dari empat baris dan empat kolom. Kemudian
urutan dari msaing-maing elemen kita beri nomor decimal sebagai
berikut. (Nomor decimal tersebut sesuai dengan kode biner untuk 5-
variabel, yaitu menurut ururatan variabel: ABCDE).
BC
DE
00
A = 0
01
10
11
00 0 4 8 11
01 1 5 9 12
10 2 6 10 13
11 3 7 11 14
00
A = 1
01
10
11
BC
DE
16 20 24 28 00
17 21 25 29 01
18 22 26 30 10
19 23 27 31 11
BC
DE
00
A = 0
01
10
11
00
01
10
11
BC
DE
00
A = 1
01
10
11
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1
BC DE
00
A =0 01
10
11
00 1 1 01 1 1 10 1 1 11 1 1
82 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
00
A =1 01
10
11
BC
DE
1 1 00 1 1 01 1 1 10 1 1 11
B = 1
BC DE
00
A = 0 01
10
11
00 1 1 01 1 1 10 1 1 11 1 1
00
A = 1 01
10
11
BC DE
1 1 00 1 1 01 1 1 10 1 1 11
C 1
BC DE
00
A = 0 01
10
11
00
01
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1
83
00
A =1 01
10
11
BC
DE
1 1 00 1 1 01 1 1 10 1 1 11
B = 1
BC DE
00
A = 0 01
10
11
00 1 1 01 1 1 10 1 1 11 1 1
00
A = 1 01
10
11
BC DE
1 1 00 1 1 01 1 1 10 1 1 11
C 1
BC DE
00
A = 0 01
10
11
00
01
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1
00
A = 1 01
10
11
BC DE
00
01
1 1 1 1 10
1 1 1 1 11
D = 1
BC
DE
00
A = 0
01
10
11
00
01 1 1 1 1
10
11 1 1 1 1
00
A = 1
01
10
11
BC
DE
00
1 1 1 1 01
10
1 1 1 1 11
84 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
Dengan cara yang sama dengan 4-variabel, persamaan Boole
untuk operasi AND:
Y A.B.C.D.E
Dapat diterapkan pada peta Karnaugh 5-variabel sebagai berikut:
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10
11 1
Y A.B.C.D.E
Demikian juga persamaan Boole untuk operasi OR:
Y A B C D E
Dapat diterapkan pada peta Karnaugh 5-variabel. Diamana kotak
yang tidak terisi sama dengan variabel-variabel yang lain, yaitu pada
elemen kotak nomor 0.
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1
01
10
11
Y A B C D E
85
Dengan cara yang sama dengan 4-variabel, persamaan Boole
untuk operasi AND:
Y A.B.C.D.E
Dapat diterapkan pada peta Karnaugh 5-variabel sebagai berikut:
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10
11 1
Y A.B.C.D.E
Demikian juga persamaan Boole untuk operasi OR:
Y A B C D E
Dapat diterapkan pada peta Karnaugh 5-variabel. Diamana kotak
yang tidak terisi sama dengan variabel-variabel yang lain, yaitu pada
elemen kotak nomor 0.
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1
01
10
11
Y A B C D E
Contoh 15:
Dari fungsi-fungsi minterm berikut tentukanlah persamaan Boole
yang paling sederhana dengan memakai peta Karnaugh.
a. f A,B,C,D,E m 2,3,7,10,11,15,18,19,23,24,25,26,27,28,29
b. f A,B,C,D,E m 0,1,2,3,8,9,10,11,18,19,20,21,26,27,28,29
c. f A,B,C,D,E m 8,9,10,11,12,13,14,15,22,23,24,25
d. f A,B,C,D,E m 11,12,13,14,15,16,17,18,19
e. f A,B,C,D,E m 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,21,22,23,24,25,26,27
Penyelesaian:
a. f A,B,C,D,E m 2,3,7,10,11,15,18,19,23,24,25,26,27,28,29
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1 1 1 1
Peta Karnaugh untuk fungsi minterm tersebut
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10
11 1 1 1 1
Y ADE
86 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10
11
Y ABD
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1
01 1
10 1
11 1
Y ABC
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1
Y CD
87
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10
11
Y ABD
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1
01 1
10 1
11 1
Y ABC
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1
Y CD
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10
11 1 1 1 1
Y BDE
Persamaan Boole: Y ADE ABD ABC CD BDE
b. f A,B,C,D,E m 0,1,2,3,8,9,10,11,18,19,20,21,26,27,28,29
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1
Peta Karnaugh yang dimaksud
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1
Y AC
88 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1
Y CD
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110
111
00 1 1
01 1 1
10
11
Y ACD
Persamaan Boole: Y AC CD ACD
c. f A,B,C,D,E m 8,9,10,11,12,13,14,15,22,23,24,25
ABC DE
000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1 1
01 1 1 1
10 1 1 1
11 1 1 1
Peta karnaugh yang dimaksud
89
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1
Y CD
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110
111
00 1 1
01 1 1
10
11
Y ACD
Persamaan Boole: Y AC CD ACD
c. f A,B,C,D,E m 8,9,10,11,12,13,14,15,22,23,24,25
ABC DE
000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1 1
01 1 1 1
10 1 1 1
11 1 1 1
Peta karnaugh yang dimaksud
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
10 1 1
11 1 1
Y AB
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10
11
Y BCD
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10 1
11 1
Y ABCD
90 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
Persamaan Boole: Y AB BCD ABCD
d. f A,B,C,D,E m 11,12,13,14,15,16,17,18,19
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1 1
Peta Karnaugh yang dimaksud
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1
01 1
10 1
11 1
Y ABC
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1
01 1
10 1
11 1
Y ABC
91
Persamaan Boole: Y AB BCD ABCD
d. f A,B,C,D,E m 11,12,13,14,15,16,17,18,19
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1 1
Peta Karnaugh yang dimaksud
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1
01 1
10 1
11 1
Y ABC
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1
01 1
10 1
11 1
Y ABC
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10
11 1 1
Y ABDE
Persamaan Boole: Y ABC ABC ABC ABDE
e. f A,B,C,D,E m 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,21,22,23,24,25,26,27
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1 1
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1
Peta Karnaugh yang dimaksud
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1
Y AB
92 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1
01 1
10 1
11 1
Y ABC
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10
11
Y ACD
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01 1 1
10
11 1 1
Y BCE
93
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1
01 1
10 1
11 1
Y ABC
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10
11
Y ACD
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01 1 1
10
11 1 1
Y BCE
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10 1 1
11 1 1
Y BCD
Persamaan Boole: Y AB ABC ACD BCE BCD
SOAL-JAWAB
1. Konversikan persamaan Boole berikut ke bentuk fungsi minterm.
a. f (A,B,C,D) AC B(A CD)
b. f (A,B,C,D,E) B(C A)(D E) ACE
c. f (A,B,C,D,E) (C E)(E BD) (AE BC)(D E)
Penyelesaian:
a. f (A,B,C,D) AC AB ABC ACD BCD
AC(B B) AB BCD
ABC ABC AB(C C) BCD(A A)
ABC(D D) ABC(D D) ABC ABC ABCD ABCD
ABCD ABCD ABCD ABCD ABC(D D) ABC(D D)
ABCD ABCD
ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD
10 11 14 15 12 13 14 15
94 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
ABCD ABCD
6 14
f (A,B,C,D) m(6,10,11,12,13,14,15)
b. f (A,B,C,D,E) B(C A)(D E) ACE
(BC AB)(D E) ACE
BCD BCE ABD ABE ACE
BCD(A A) BCE(A A) ABD(C C) ABE(C C) ACE(B B)
ABCD ABCD ABCE ABCE ABCD ABCD ABCE
ABCE ABCE ABCE
ABCD(E E) ABCD(E E) ABCE(D D) ABCE(D D)
ABCD(E E) ABCE(D D) ABCE(D D)
ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE
2 3 18 19 0 2
ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE 16 18 6 7 4 6
ABCDE ABCDE
8 10
f (A,B,C,D,E) m(0,2,3,4,6,7,10,16,18,19)
c. f (A,B,C,D,E) (C E)(E BD) (AE BC)(D E)
(C E)EBD (AE BC)DE
(C E)E(B D) ADEE BCDE
(CE EE)(B D) BCDE
(BCE CDE BE DE BCDE)(A A)
ABCE ABCE ACDE ACDE ABE ABE ADE ADE ABCDE ABCDE
95
ABCD ABCD
6 14
f (A,B,C,D) m(6,10,11,12,13,14,15)
b. f (A,B,C,D,E) B(C A)(D E) ACE
(BC AB)(D E) ACE
BCD BCE ABD ABE ACE
BCD(A A) BCE(A A) ABD(C C) ABE(C C) ACE(B B)
ABCD ABCD ABCE ABCE ABCD ABCD ABCE
ABCE ABCE ABCE
ABCD(E E) ABCD(E E) ABCE(D D) ABCE(D D)
ABCD(E E) ABCE(D D) ABCE(D D)
ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE
2 3 18 19 0 2
ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE 16 18 6 7 4 6
ABCDE ABCDE
8 10
f (A,B,C,D,E) m(0,2,3,4,6,7,10,16,18,19)
c. f (A,B,C,D,E) (C E)(E BD) (AE BC)(D E)
(C E)EBD (AE BC)DE
(C E)E(B D) ADEE BCDE
(CE EE)(B D) BCDE
(BCE CDE BE DE BCDE)(A A)
ABCE ABCE ACDE ACDE ABE ABE ADE ADE ABCDE ABCDE
(ABCE ABCE ABE ABE)(D D) (ACDE ACDE ADE
ADE)(B B) ABCDE ABCDE
ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABDE ABDE ABDE
+ABDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE + ABDE + ABDE ABDE ABDE ABCDE ABCDE
ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE + ABCDE
+ABCDE ABCDE ABCDE +(ABDE ABDE ABDE + ABDE
+ABDE ABDE)(C C)
ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE + ABCDE + ABCDE 4 6 20 22 4 12
+ABCDE ABCDE ABCDE + ABCDE ABCDE ABCDE
28 8 24 0 4 2
ABCDE ABCDE + ABCDE + ABCDE ABCDE + ABCDE 6 16 20 18 22 8
ABCDE ABCDE ABCDE
12 24 28
f (A,B,C,D,E) m(0,2,4,6,8,12,16,18,20,22,24,28)
2. Konversikan persamaan Boole berikut ke bentuk fungsi maxterm.
a. f (A,B,C,D) AC A(B CD)
b. f (A,B,C) B(A C)(B C) AB
c. f (A,B,C) (C B)(A B) (A BC)
Penyelesaian:
a. f (A,B,C,D) AC A(B CD)
AC AB ACD
A(C B CD)
96 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
A[C (B CD)]
A[(C (B C)(B D)] → sifat distributif
A(C B C)(C B D) → sifat distributif
A(B C)(B C D)
(A BB)(B C AA)(B C D AA) AA 0
(A B)(A B)(A B C)(A B C)(A B C D)(A B C D)
(A B CC)(A B CC)(A B C DD)(A B C DD) (A B C D)(A B C D)
(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C D) (A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)
(A B C DD)(A B C DD)(A B C DD)(A B C DD)
(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D) (A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)
0 1 2 3
(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D) 4 5 6 7
(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)
0 1 8 9
f (A,B,C,D,E) M(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
b. f (A,B,C) B(A C)(B C) AB → distributif
(B AB)(A C AB)(B C AB)
(B A)(B B)(A (C A)(C B))(B (C A)(C B))
(B A)B(A (C A)(A C B)(B C A)(B C B)
B(A B)(A C)(A B C)(A B C)(1 C) → B B 1
dan1 C 1
(AA B)(A B CC)(A C BB)(A B C)(A B C)
97
A[C (B CD)]
A[(C (B C)(B D)] → sifat distributif
A(C B C)(C B D) → sifat distributif
A(B C)(B C D)
(A BB)(B C AA)(B C D AA) AA 0
(A B)(A B)(A B C)(A B C)(A B C D)(A B C D)
(A B CC)(A B CC)(A B C DD)(A B C DD) (A B C D)(A B C D)
(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C D) (A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)
(A B C DD)(A B C DD)(A B C DD)(A B C DD)
(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D) (A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)
0 1 2 3
(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D) 4 5 6 7
(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)
0 1 8 9
f (A,B,C,D,E) M(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
b. f (A,B,C) B(A C)(B C) AB → distributif
(B AB)(A C AB)(B C AB)
(B A)(B B)(A (C A)(C B))(B (C A)(C B))
(B A)B(A (C A)(A C B)(B C A)(B C B)
B(A B)(A C)(A B C)(A B C)(1 C) → B B 1
dan1 C 1
(AA B)(A B CC)(A C BB)(A B C)(A B C)
(A B)(A B)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)
(A B C)(A B C)
(A B CC)(A B CC)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)
(A B C)(A B C)
(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)
2 3 6 7 6 7
(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)
5 7 7 5
f (A,B,C,D,E) M(2,3,4,5,6,7)
c. f (A,B,C) (C B)(A B) (A BC)
(C B)(AB) (A B)(A C)
(ABC ABB) (A B)(A C)
ABC (A B)(A C)
(A A B)(A A C)(B A B)(B A C)(C A B)(C A C)
→ A A A
(A B)(A C)(A 1)(A B C)(A B C)(A C)
(A B CC)(A C BB)(A B C)(A B C)(A C BB)
(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)
4 5 5 7
(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)
7 5 5 7
f (A,B,C,D,E) M(4,5,7)
3. Dengan memakai peta Karnaugh, tentukan realisasi minimal fungsi
SOP dari fungsi minterm 3-variabel berikut.
a) f (A,B,C) m(0,1,4,6)
98 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
b) f (A,B,C) m(0,5,6,7)
c) f (A,B,C) m(0,1,4,5)
Penyelesaian:
a) f (A,B,C) m(0,1,4,6)
AB
C 00 01 10 11
0 1 1 1
1 1
fungai SOP: f (A,B,C) AB AC
(minimalisasi lihat gambar berikut)
AB
C 00 01 10 11
0 1 1 1
1 1
f (A,B,C) AB
AB
C 00 01 10 11
0 1 1 1
1 1
f (A,B,C) AC
99
b) f (A,B,C) m(0,5,6,7)
c) f (A,B,C) m(0,1,4,5)
Penyelesaian:
a) f (A,B,C) m(0,1,4,6)
AB
C 00 01 10 11
0 1 1 1
1 1
fungai SOP: f (A,B,C) AB AC
(minimalisasi lihat gambar berikut)
AB
C 00 01 10 11
0 1 1 1
1 1
f (A,B,C) AB
AB
C 00 01 10 11
0 1 1 1
1 1
f (A,B,C) AC
Realisasi rangkaian:
b) f (A,B,C) m(0,5,6,7)
AB
C
00
01
10
11
0 1 1
1 1 1
fungai SOP: f (A,B,C) ABC AB AC
(minimalisasi lihat gambar berikut)
AB
C
00
01
10
11
0 1
1
f (A,B,C) ABC
AB
C
00
01
10
11
0 1
1 1
f (A,B,C) AB
100 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
AB
C
00
01
10
11
0
1 1 1
f (A,B,C) AC
realisasi rangkaian:
c) f (A,B,C) m(0,1,4,5)
AB
C
00
01
10
11
0 1 1
1 1 1
fungai SOP: f (A,B,C) B
(minimalisasi lihat gambar berikut)
AB
C
00
01
10
11
0 1
1 1
f (A,B,C) AB
101
AB
C
00
01
10
11
0
1 1 1
f (A,B,C) AC
realisasi rangkaian:
c) f (A,B,C) m(0,1,4,5)
AB
C
00
01
10
11
0 1 1
1 1 1
fungai SOP: f (A,B,C) B
(minimalisasi lihat gambar berikut)
AB
C
00
01
10
11
0 1
1 1
f (A,B,C) AB
AB
C
00
01
10
11
0 1
1 1
f (A,B,C) AB
f (A,B,C) AB AB B(A A) B
4. Dengan memakai peta Karnaugh, tentukan realisasi minimal fungsi
SOP dari fungsi minterm 4-variabel berikut.
a) f (A,B,C,D) m(5,7,10,11,13,15)
b) f (A,B,C,D) m(0,4,6,10,11,14,15)
c) f (A,B,C,D) m(3,4,5,7,11,12,14,15)
d) f (A,B,C,D) m(5,6,9,10,13,14)
Penyelesaian:
a) f (A,B,C,D) m(5,7,10,11,13,15)
AB
CD
00
01
10
11
00
01 1 1
10 1
11 1 1
fungai SOP: f (A,B,C,D) BD ABCD
102 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
(minimalisasi lihat gambar berikut)
AB
CD
00
01
10
11
00
01 1 1
10
11 1 1
f (A,B,C,D) BD
AB
CD
00
01
10
11
00
01
10 1
11
f (A,B,C,D) ABCD
Realisasi rangkaian:
103
(minimalisasi lihat gambar berikut)
AB
CD
00
01
10
11
00
01 1 1
10
11 1 1
f (A,B,C,D) BD
AB
CD
00
01
10
11
00
01
10 1
11
f (A,B,C,D) ABCD
Realisasi rangkaian:
b) f (A,B,C,D) m(0,4,6,10,11,14,15)
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1
01
10 1 1 1
11 1 1
fungai SOP: f (A,B,C,D) AC ACD BCD
(minimalisasi lihat gambar berikut)
AB
CD
00
01
10
11
00
01
10 1 1
11 1 1
f (A,B,C,D) AC
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1
01
10
11
f (A,B,C,D) ACD
104 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
AB
CD
00
01
10
11
00
01
10 1 1
11
f (A,B,C,D) BCD
Realisasi rangkaian:
c) f (A,B,C,D) m(3,4,5,7,11,12,14,15)
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1
01 1
10 1
11 1 1 1 1
fungai SOP: f (A,B,C,D) CD BCD ABC ABC
(minimalisasi lihat gambar berikut)
105
AB
CD
00
01
10
11
00
01
10 1 1
11
f (A,B,C,D) BCD
Realisasi rangkaian:
c) f (A,B,C,D) m(3,4,5,7,11,12,14,15)
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1
01 1
10 1
11 1 1 1 1
fungai SOP: f (A,B,C,D) CD BCD ABC ABC
(minimalisasi lihat gambar berikut)
AB
CD
00
01
10
11
00
01
10
11 1 1 1 1
f (A,B,C,D) CD
AB
CD
00
01
10
11
00 1 1
01
10
11
f (A,B,C,D) BCD
AB
CD
00
01
10
11
00
01
10 1
11 1
f (A,B,C,D) ABC
AB CD
00
01
10
11
00 1 01 1 10 11
f (A,B,C,D) ABC
106 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
Realisasi rangkaian:
d) f (A,B,C,D) m(5,6,9,10,13,14)
AB
CD
00
01
10
11
00
01 1 1 1
10 1 1 1
11
fungai SOP: f (A,B,C,D) CD BCD ABC ABC
(minimalisasi lihat gambar berikut)
AB
CD
00
01
10
11
00
01 1 1
10
11
f (A,B,C,D) BCD
107
Realisasi rangkaian:
d) f (A,B,C,D) m(5,6,9,10,13,14)
AB
CD
00
01
10
11
00
01 1 1 1
10 1 1 1
11
fungai SOP: f (A,B,C,D) CD BCD ABC ABC
(minimalisasi lihat gambar berikut)
AB
CD
00
01
10
11
00
01 1 1
10
11
f (A,B,C,D) BCD
AB CD
00
01
10
11
00 01 10 1 1 11
f (A,B,C,D) BCD
AB CD
00
01
10
11
00 01 1 1 10 11
f (A,B,C,D) ACD
AB CD
00
01
10
11
00 01 10 1 1 11
f (A,B,C,D) ACD
Realisasi rangkaian:
108 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
5. Dengan memakai peta Karnaugh, tentukan realisasi minimal fungsi
SOP dari fungsi minterm 5-variabel berikut.
a) f (A,B,C,D,E) m(0,2,3,4,7,10,11,16,18,19,20,23,26,27)
b) f (A,B,C,D,E) m(13,20,21,29,30,31)
c) f (A,B,C,D,E) m(2,3,10,11,18,19,23,24,25,26,27,28,29,30,31)
d) f (A,B,C,D,E) m(0,1,2,3,12,13,14,15,16,17,18,19,28,29,30,31)
Penyelesaian:
a) f (A,B,C,D,E) m(0,2,3,4,7,10,11,16,18,19,20,23,26,27)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1 1 1
01
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1 1 1
f (A,B,C,D,E) CD BDE BDE
(minimisasi lihat gambar berikut)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1
f (A,B,C,D,E) CD
109
5. Dengan memakai peta Karnaugh, tentukan realisasi minimal fungsi
SOP dari fungsi minterm 5-variabel berikut.
a) f (A,B,C,D,E) m(0,2,3,4,7,10,11,16,18,19,20,23,26,27)
b) f (A,B,C,D,E) m(13,20,21,29,30,31)
c) f (A,B,C,D,E) m(2,3,10,11,18,19,23,24,25,26,27,28,29,30,31)
d) f (A,B,C,D,E) m(0,1,2,3,12,13,14,15,16,17,18,19,28,29,30,31)
Penyelesaian:
a) f (A,B,C,D,E) m(0,2,3,4,7,10,11,16,18,19,20,23,26,27)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1 1 1
01
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1 1 1
f (A,B,C,D,E) CD BDE BDE
(minimisasi lihat gambar berikut)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1
f (A,B,C,D,E) CD
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10
11 1 1 1 1
f (A,B,C,D,E) BDE
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1 1 1
01
10
11
f (A,B,C,D,E) BDE
Realisasi rangkaian:
110 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
b) f (A,B,C,D,E) m(13,20,21,29,30,31)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1
01 1 1 1
10 1
11 1
f (A,B,C,D,E) ABC ACDE BCDE
(minimisasi lihat gambar berikut)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1
01 1
10 1
11 1
f (A,B,C,D,E) ABC
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01
10
11
f (A,B,C,D,E) ACDE
111
b) f (A,B,C,D,E) m(13,20,21,29,30,31)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1
01 1 1 1
10 1
11 1
f (A,B,C,D,E) ABC ACDE BCDE
(minimisasi lihat gambar berikut)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1
01 1
10 1
11 1
f (A,B,C,D,E) ABC
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01
10
11
f (A,B,C,D,E) ACDE
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01 1 1
10
11
f (A,B,C,D,E) BCDE
Realisasi rangkaian:
c) f (A,B,C,D,E) m(2,3,10,11,18,19,23,24,25,26,27,28,29,30,31)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10 1 1 1 1 1
11 1 1 1 1 1 1
f (A,B,C,D,E) AB CD ADE
112 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
(minimisasi lihat gambar berikut)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1
f (A,B,C,D,E) AB
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1
f (A,B,C,D,E) CD
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10
11 1 1 1 1
f (A,B,C,D,E) ADE
113
(minimisasi lihat gambar berikut)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1
f (A,B,C,D,E) AB
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1
f (A,B,C,D,E) CD
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10
11 1 1 1 1
f (A,B,C,D,E) ADE
Realisasi rangkaian:
d) f (A,B,C,D,E) m(0,1,2,3,12,13,14,15,16,17,18,19,28,29,30,31)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1
f (A,B,C,D,E) BC BC
(minimisasi lihat gambar berikut)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1
f (A,B,C,D,E) BC
114 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1
f (A,B,C,D,E) BC BC
Realisasi rangkaian:
6. Suatu rangkaian logika direncanakan mempunyai 4-masukan y1, y0
dan x1, x0. Pasangan bit y1, y0, dan x1, x0 menampilkan bilangan biner
2-bit, dengan y1 dan x1 merupakan MSB. Keluaran z akan 1 jika
bilangan biner x1, x0 lebih besar atau sama dengan bilangan biner y1,
y0. Tentukan fungsi SOP dan realisasi rangkaian dengan memakai
tabel kebenaran dan minimalisasi peta Karnaugh.
Penyelesaian: Tabel kebenaran dengan peta Karnaugh
y1 y0 x1 x0 Z
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
115
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1
f (A,B,C,D,E) BC BC
Realisasi rangkaian:
6. Suatu rangkaian logika direncanakan mempunyai 4-masukan y1, y0
dan x1, x0. Pasangan bit y1, y0, dan x1, x0 menampilkan bilangan biner
2-bit, dengan y1 dan x1 merupakan MSB. Keluaran z akan 1 jika
bilangan biner x1, x0 lebih besar atau sama dengan bilangan biner y1,
y0. Tentukan fungsi SOP dan realisasi rangkaian dengan memakai
tabel kebenaran dan minimalisasi peta Karnaugh.
Penyelesaian: Tabel kebenaran dengan peta Karnaugh
y1 y0 x1 x0 Z
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
minimisasi dengan peta Karnaugh:
y1y0
x1x0
00
01
10
11
00 1
01 1 1
10 1 1 1 1
11 1 1 1
fungai SOP: 1 0 1 0 1 0 0 11 0 1 0f ( ) y y x x y xy , y , yx ,x x
(minimisasi lihat gambar berikut) y1y0
x1x0
00
01
10
11
00 1
01 1
10 1
11 1
1 0 1 10 0y , y ,x ,xf ( ) y y
116 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
y1y0
x1x0
00
01
10
11
00
01
10 1 1 1 1
11
1 0 1 10 0y , y ,x ,xf ( ) x x
y1y0
x1x0
00
01
10
11
00
01 1 1
10
11 1 1
1 0 1 10 0y , y ,x ,xf ( ) y x y1y0
x1x0
00
01
10
11
00
01 1 1
10
11 1 1
1 0 1 00 1y , y ,x ,xf ( ) y x
Realisasi rangkaian:
117
y1y0
x1x0
00
01
10
11
00
01
10 1 1 1 1
11
1 0 1 10 0y , y ,x ,xf ( ) x x
y1y0
x1x0
00
01
10
11
00
01 1 1
10
11 1 1
1 0 1 10 0y , y ,x ,xf ( ) y x y1y0
x1x0
00
01
10
11
00
01 1 1
10
11 1 1
1 0 1 00 1y , y ,x ,xf ( ) y x
Realisasi rangkaian:
7. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi oleh bilangan
itu sendiri atau 1. Tentukan bilangan prima antara 0 dan 31 yang
disajikan dalam bentuk bilangan biner dalam bentuk lima bit:
A B C D E
dimana A merupakan MSB.
Rencanakan rangkaian logika detektor bilangan prima tersebut dalam
bentuk fungsi SOP, dimana keluaran Y akan 1 jika dan hanya jika
input ABCDE merupakan bilangan prima.
Penyelesaian: Tabel kebenaran dengan peta Karnaugh
Bil desimal
A B C D E Out Y
0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 1
2 0 0 0 1 0 1
3 0 0 0 1 1 1
4 0 0 1 0 0 0
5 0 0 1 0 1 1
6 0 0 1 1 0 0
7 0 0 1 1 1 1
8 0 1 0 0 0 0
9 0 1 0 0 1 0
10 0 1 0 1 0 0
11 0 1 0 1 1 1
12 0 1 1 0 0 0
13 0 1 1 0 1 1
14 0 1 1 1 0 0
15 0 1 1 1 1 0
16 1 0 0 0 0 0
17 1 0 0 0 1 1
118 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
18 1 0 0 1 0 0
19 1 0 0 1 1 1
20 1 0 1 0 0 0
21 1 0 1 0 1 0
22 1 0 1 1 0 0
23 1 0 1 1 1 1
24 1 1 0 0 0 0
25 1 1 0 0 1 0
26 1 1 0 1 0 0
27 1 1 0 1 1 0
28 1 1 1 0 0 0
29 1 1 1 0 1 1
30 1 1 1 1 0 0
31 1 1 1 1 1 1
Minimisasi dengan peta Karnaugh adalah sebagai berikut:
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01 1 1 1 1 1
10 1
11 1 1 1 1 1 1
f (A,B,C,D,E) ABE BCE ACDE ABCD ACDE ABCE ABCDE
119
18 1 0 0 1 0 0
19 1 0 0 1 1 1
20 1 0 1 0 0 0
21 1 0 1 0 1 0
22 1 0 1 1 0 0
23 1 0 1 1 1 1
24 1 1 0 0 0 0
25 1 1 0 0 1 0
26 1 1 0 1 0 0
27 1 1 0 1 1 0
28 1 1 1 0 0 0
29 1 1 1 0 1 1
30 1 1 1 1 0 0
31 1 1 1 1 1 1
Minimisasi dengan peta Karnaugh adalah sebagai berikut:
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01 1 1 1 1 1
10 1
11 1 1 1 1 1 1
f (A,B,C,D,E) ABE BCE ACDE ABCD ACDE ABCE ABCDE
(minimisasi lihat gambar berikut)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01 1 1
10
11 1 1
f (A,B,C,D,E) ABE
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01 1 1
10
11 1 1
f (A,B,C,D,E) BCE
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01 1 1
10
11
f (A,B,C,D,E) ACDE
120 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10 1
11 1
f (A,B,C,D,E) ABCD
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10
11 1 1
f (A,B,C,D,E) ACDE
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01 1
10
11 1
f (A,B,C,D,E) ABCE
121
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10 1
11 1
f (A,B,C,D,E) ABCD
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10
11 1 1
f (A,B,C,D,E) ACDE
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01 1
10
11 1
f (A,B,C,D,E) ABCE
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10
11 1
f (A,B,C,D,E) ABCDE
8. Suatu pencacah modulo-4 direncanakan untuk 4-masukan dan 2-
keluaran. Tabel penjumlahan untuk modulo-4 tersebut diberikan pada
tabel berikut:
X
Y
0
1
2
3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 1 1
3 3 0 0 2
Z = (X + Y) Mod-4
Masukan dikodekan dalam bilangan biner x2 x1 dan yang lainnya
adalah y2 y1. Keluaran juga dikodekan dalam bentuk biner z2 z1. Hasil
keluaran adalah sebagai berikut:
z2 z1 = 00 jika jumlah dari modulo-4 adalah 0
z2 z1 = 01 jika jumlah dari modulo-4 adalah 1
z2 z1 = 10 jika jumlah dari modulo-4 adalah 2
z2 z1 = 11 jika jumlah dari modulo-4 adalah 3
Tentukan keluaran z2 dan z1 dalam bentuk persamaan Boole.
122 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
Penyelesaian:
Untuk menyederhanakan fungsi kita lakukan konversi ke bentuk peta
Karnaugh, yang bentuknya adalah sebagai berikut:
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00 0 1 2 3
01 1 2 3 0
10 2 3 0 1
11 3 0 1 2
2 1 2 1z x x y y x2x1
y2y1
00
01
10
11
00 00 01 10 11
01 01 10 11 00
10 10 11 00 01
11 11 00 01 10
Keluaran: z2z1
Peta keluaran z2z1 dipisahkan menjadi dua peta Karnaugh, yaitu masing-masing untuk z2 dan z1.
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00 0 0 1 1
01 0 1 1 0
10 1 1 0 0
11 1 0 0 1
Keluaran: z2
123
Penyelesaian:
Untuk menyederhanakan fungsi kita lakukan konversi ke bentuk peta
Karnaugh, yang bentuknya adalah sebagai berikut:
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00 0 1 2 3
01 1 2 3 0
10 2 3 0 1
11 3 0 1 2
2 1 2 1z x x y y x2x1
y2y1
00
01
10
11
00 00 01 10 11
01 01 10 11 00
10 10 11 00 01
11 11 00 01 10
Keluaran: z2z1
Peta keluaran z2z1 dipisahkan menjadi dua peta Karnaugh, yaitu masing-masing untuk z2 dan z1.
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00 0 0 1 1
01 0 1 1 0
10 1 1 0 0
11 1 0 0 1
Keluaran: z2
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00 0 1 0 1
01 1 0 1 0
10 0 1 0 1
11 1 0 1 0
Keluaran: z1
Untuk penyederhanaan dengan peta Karnaugh maka yang diperlukan
hanya jika hasil keluaran adalah 1, maka bentuknya menjadi:
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1
Keluaran: z2 x2x1
y2y1
00
01
10
11
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 1 1
Keluaran: z1
Bentuk persamaan Boole untuk keluaran z2 dan z1 adalah sebagai
berikut:
2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1z = x y y + x x y + x y y + x x y + x x y y + x x y y
1 1 1 1 1z x y x y
124 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
Penyederhanaan dengan peta Karnaugh dapat diikuti pada tahapan
berikut:
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00
01
10 1 1
11
2 2 2 1z x y y
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00
01 1 1
10
11 1 1
1 1 1z x y
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00
01
10 1
11 1
2 2 1 2z x x y
125
Penyederhanaan dengan peta Karnaugh dapat diikuti pada tahapan
berikut:
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00
01
10 1 1
11
2 2 2 1z x y y
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00
01 1 1
10
11 1 1
1 1 1z x y
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00
01
10 1
11 1
2 2 1 2z x x y
2 2 2 1z x y y
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00 1 1 01 10 1 1 11
1 1 1z x y
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00 1 1 01 10 11
x2x1
y2y1
00
01
10
11
0 1
01 1
10
11
1 2 1 2z x x y
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00 01 1 10 11
2 2 1 2 1z x x y y
126 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00
01
10
11 1
1 2 1 2 1z x x y y
9. Tentukan realisasi minimum SOP untuk fungsi-fungsi berikut:
a) f (A,B,C,D) m(1,3,5,8,9,11,15) d(2,13)
b) f (A,B,C,D) m(4,5,7,12,14,15) d(3,8,10)
c) f (A,B,C,D,E) m(1,2,3,4,5,11,18,19,20,21,23,28,31) d(0,7,12,14,15,27,30)
d) f (A,B,C,D,E) m(7,8,9,12,13,14,19,23,24,27,29,30) d(1,10,17,26,28,31)
Penyelesaian:
a) f (A,B,C,D) m(1,3,5,8,9,11,15) d(2,13)
AB
CD
00
01
10
11
00 1
01 1 1 1 x
10 x
11 1 1 1
fungai SOP: f (A,B,C,D) CD AD ABC ABC
(minimalisasi lihat gambar berikut)
127
x2x1
y2y1
00
01
10
11
00
01
10
11 1
1 2 1 2 1z x x y y
9. Tentukan realisasi minimum SOP untuk fungsi-fungsi berikut:
a) f (A,B,C,D) m(1,3,5,8,9,11,15) d(2,13)
b) f (A,B,C,D) m(4,5,7,12,14,15) d(3,8,10)
c) f (A,B,C,D,E) m(1,2,3,4,5,11,18,19,20,21,23,28,31) d(0,7,12,14,15,27,30)
d) f (A,B,C,D,E) m(7,8,9,12,13,14,19,23,24,27,29,30) d(1,10,17,26,28,31)
Penyelesaian:
a) f (A,B,C,D) m(1,3,5,8,9,11,15) d(2,13)
AB
CD
00
01
10
11
00 1
01 1 1 1 x
10 x
11 1 1 1
fungai SOP: f (A,B,C,D) CD AD ABC ABC
(minimalisasi lihat gambar berikut)
AB
CD
00
01
10
11
00
01 1 1 1 x
10
11
f (A,B,C,D) CD
AB
CD
00
01
10
11
00
01 1 x
10
11 1 1
f (A,B,C,D) AD
AB CD
00
01
10
11
00 01 10 x 11 1
f (A,B,C,D) ABC
AB
CD
00
01
10
11
00 1
01 1
10
11
f (A,B,C,D) ABC
128 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
Realisasi rangkaian:
b) f (A,B,C,D) m(4,5,7,12,14,15) d(3,8,10)
AB
CD
00
01
10
11
00 1 x 1
01 1 1
10
11 x 1 x 1
fungai SOP: f (A,B,C,D) CD ABC BCD ABC
(minimalisasi lihat gambar berikut)
AB
CD
00
01
10
11
00
01
10
11 x 1 x 1
f (A,B,C,D) CD
129
Realisasi rangkaian:
b) f (A,B,C,D) m(4,5,7,12,14,15) d(3,8,10)
AB
CD
00
01
10
11
00 1 x 1
01 1 1
10
11 x 1 x 1
fungai SOP: f (A,B,C,D) CD ABC BCD ABC
(minimalisasi lihat gambar berikut)
AB
CD
00
01
10
11
00
01
10
11 x 1 x 1
f (A,B,C,D) CD
AB
CD
00
01
10
11
00 1
01 1
10
11
f (A,B,C,D) ABC
AB CD
00
01
10
11
00 1 1 01 10 11
f (A,B,C,D) BCD
AB CD
00
01
10
11
00 01 10 1 11 1
f (A,B,C,D) ABC
Realisasi rangkaian:
130 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
c) f (A,B,C,D,E) m(1,2,3,4,5,11,18,19,20,21,23,28,31) d(0,7,12,14,15,27,30)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 x 1 x 1 1
01 1 1 1
10 1 x 1 x
11 1 x 1 x 1 1 x 1
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10
11 1 x 1 x 1 x 1 X
f (A,B,C,D,E) DE
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 x
01 1
10 1
11 1
f (A,B,C,D,E) ABC
131
c) f (A,B,C,D,E) m(1,2,3,4,5,11,18,19,20,21,23,28,31) d(0,7,12,14,15,27,30)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 x 1 x 1 1
01 1 1 1
10 1 x 1 x
11 1 x 1 x 1 1 x 1
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10
11 1 x 1 x 1 x 1 X
f (A,B,C,D,E) DE
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 x
01 1
10 1
11 1
f (A,B,C,D,E) ABC
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01 1 1
10
11
f (A,B,C,D,E) BCD
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 x 1 x
01
10
11
f (A,B,C,D,E) CDE
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10 1 1
11 1 1
f (A,B,C,D,E) BCD
132 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
d) f (A,B,C,D,E) m(7,8,9,12,13,14,19,23,24,27,29,30) d(1,10,17,26,28,31)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1 1
01 x x 1 1 x x x 1
10 x x 1 1
11 1 1 1 x x
f (A,B,C,D,E) CE DE ABE AE ABC ABD
(minimisasi lihat gambar berikut)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01 x 1 x 1
10
11 1 x 1 x
f (A,B,C,D,E) CE
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01 x x 1 1 x x x 1
10
11
f (A,B,C,D,E) DE
133
d) f (A,B,C,D,E) m(7,8,9,12,13,14,19,23,24,27,29,30) d(1,10,17,26,28,31)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1 1
01 x x 1 1 x x x 1
10 x x 1 1
11 1 1 1 x x
f (A,B,C,D,E) CE DE ABE AE ABC ABD
(minimisasi lihat gambar berikut)
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01 x 1 x 1
10
11 1 x 1 x
f (A,B,C,D,E) CE
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01 x x 1 1 x x x 1
10
11
f (A,B,C,D,E) DE
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1 1
01
10 x 1
11
f (A,B,C,D,E) ABE
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01 x x x 1
10
11 1 x 1
f (A,B,C,D,E) AE
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00 1
01 x
10 x
11 1
f (A,B,C,D,E) ABC
134 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10 x 1
11 1 x
f (A,B,C,D,E) ABD
135
ABC
DE 000 001 010 011 100 101 110 111
00
01
10 x 1
11 1 x
f (A,B,C,D,E) ABD
Malvino, A. and Leach D.P. (2008). Digital Principles and Applications. Tata Mgraw Hill.
Givone D.D. (2005). Digital Principles and Design. Tata Mgraw Hill.
Moris, M.M. and Michael, D.C. (2008). Digital Design. Prentice-hall of India Pvt.Ltd.
Normal, B. and Bradley, C. (2006). Digital Logic Design Principles. John Wiley & Sons.
Polosoro, E. (2009) Sistem Digital. Yogyakarya: Graha Ilmu.
Tocci, R.J. (2006). Digital System: Principles and Application. Prentice-hall of India Pvt.Ltd.
William, J.D. and Joh, W.P. (1998). Digital Systems Engineering. Cambridge University Press.