-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
1/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear ElementerAljabar Linear Elementer
MA1223MA1223
3 SKS3 SKS
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
2/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 2
Jadwal KuliahJadwal KuliahHari IHari I jamjam
Hari IIHari II jamjam
Sistem PenilaianSistem PenilaianUTSUTS 40%40%
UASUAS 40%40%
QuisQuis 20%20%
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
3/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 3
Silabus :
Bab I Matriks dan Operasinya
Bab II Determinan Matriks
Bab III Sistem Persamaan Linear
Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang
Bab V Ruang Vektor
Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam
Bab VII Transformasi Linear
Bab VIII Ruang Eigen
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
4/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 4
REFERENSI :
Anton H., Rorres, C., 1995, Elementary Linear
Algebra :Applications Version, 6th edition, JohnWilley and Sons, Ne !or"
Ari#in, A., $%%1, Aljabar Linear, edisi "ed&a,'ener(it I)*, *and&n+
&r(in, J. R., 199$, Modern Algebra:AnIntroduction, -rd edition, John Willey and Sons,Sin+aore
/reys0i+ E., , 199-,Advanced EnginereengMathematics, th edition, John Willey 2 Sons,
)oronto 3eon, S. J., $%%1, Aljabar Linear dan Aplikasinya,
ter4eahan 'ener(it Erlan++a, Ja"arta
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
5/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 5
1.Matriks dan Operasinya
Sub Pokok Bahasan
Matriks dan Jenisnya
Operasi Matriks
Operasi Baris Elementer
Matriks Invers (Balikan)
Beberapa Aplikasi Matriks
Representasi image (citra)
Chanel/Frequency assignment Operation Research
dan lain-lain.
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
6/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 6
1. Matriks dan Jenisnya
Notasi Matriks
Matriks A berukuran (Ordo)mxn
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
11
21111
11111 Baris pertama
Kolom kedua
Unsur / entri /elemen ke-mn
(barismkolom n)
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
7/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 7
MisalkanAdanBadalah matriks berukuran sama
AdanBdikatakan sama (notasiA=B)
jika
aij=bijuntuk setiapidanj
Jenis-jenis Matriks
Matriks bujur sangkar (persegi)Matriks yang jumlah baris dan jumlahkolomnya adalah sama (nxn)
Contoh :
=210
121012
B ns&r dia+onal
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
8/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 8
Matriks segi tigaAda dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan bawah.
Matriks segi tiga atas
Matriks yang semua unsur dibawah unsur diagonalpada kolom yang bersesuaian adalah nol.
Matriks segi tiga bawah Matriks yang semua unsur diatas unsur diagonalpada kolom yang bersesuaian adalah nol.
=
800
710
395
E
=
203
015
002
F
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
9/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 9
Matriks Diagonal
Matriks bujur sangkar dimana setiap unsur
yang bukan merupakan unsur diagonal adalah nol.
Matriks satuan(Identitas)
Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalnya
adalah satu.
=
100
020
003
D
=100
010001
I
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
10/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 10
Transpos Matriks
Matriks transpos diperoleh dengan menukarbaris matriks menjadi kolom seletak, atau
sebaliknya.Notasi At(hasil transpos matriks A)
Contoh :
maka
Jika matriks A = Atmaka matriks A dinamakan
matriks Simetri.Contoh :
=01-2-3
12
A
= 02-1
1-32t
A
=
31
12A
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
11/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 11
2. Operasi Matriks
Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :
1. Penjumlahan Matriks
2. Perkalian Matriks
Perkalian skalar dengan matriks
Perkalian matriks dengan matriks
3. Operasi Baris Elementer (OBE)
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
12/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 12
Penjumlahan Matriks
Syarat : Dua matriksberordo sama dapat
dijumlahkan
Contoh
a.
+
b.
+
dc
ba
hg
fe
++
++=
hdgc
fbea
43
21
87
65
=
10
6 8
12
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
13/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 13
Perkalian MatriksPerkalian Skalar dengan MatriksContoh :
=
Perkalian Matriks dengan MatriksMisalkan A berordopxqdan B berordomxn
Syarat : A X B haruslahq=m hasil perkalian AB berordopxn
B X A haruslahn=phasil perkalian BA berordomxq
Contoh :Diketahui
dan
sr
qpk
skrk
qkpk
32
xfed
cbaA
=
23
xur
tq
sp
B
=
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
14/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 14
Maka hasil kali A dan B adalah :
MisalkanA,B,Cadalah matriks berukuran sama
dan , merupakan unsur bilangan Riil,
Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut :
1. A+B=B+A
2. A+ (B+C) = (A+B) +C (A+B) =A+ B
4. ( + ) (A) =A+A
=
= 23
32
x
x ur
tq
sp
fed
cbaAB
ap+bq+cr
dp+eq+fr
as+bt+cu
ds+et+fu 2x2
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
15/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 15
=
01-
2-312
A
Contoh :
Diketahui matriks :
Tentukana.A At
b.AtA
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
16/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 16
Jawab :
=
02-1
1-32tA
maka
=
01-
2-3
12tAA
02-1
1-32
sedangkan
01-
2-3
12
= 02-11-32
AAt
=
=
5
-2
-2
13
-2
-3
1-3
4
-4-4 514
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
17/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 17
Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer meliputi :
1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan
konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris
yang lain.
Contoh : OBE 1
=
420
321
1-2-3-
A
420
1-2-3-
321
~21
bb
Baris pertama (b1) ditukar
dengan baris ke-2 (b2)
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
18/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 18
OBE ke-2
b1~
OBE ke-3
=
311-2
7120
4-04-4
A
311-2
7120
1-01-1
Perkalian Baris pertama (b1)
dengan bilangan
=
311-2
7120
1-01-1
A
+
7120
1-01-1
~2 31 bb
Perkalian (2) denganb1lalu
tambahkan pada baris ke-3 (b3)
0 1 1 5
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
19/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 19
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
Baris pertama dan ke-2 dinamakanbaris tak nol, karenapada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada bariske-2 dinamakanunsur pertama tak nolpada barismasing-masing.
Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama)dinamakansatu utama.
Baris ke-3 dinamakanbaris nol, karena setiap unsurpada baris ke-3 adalah nol.
=0000
1300
3111
B
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
20/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 20
Sifat matriks hasil OBE :
1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah1 (dinamakan satu utama).
2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendahmemuat 1 utama yang lebih ke kanan.
3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol),maka ia diletakkan pada baris paling bawah.
4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsuryang lainnya adalah nol.
Matriks dinamakan esilon baris jika
dipenuhi sifat 1, 2, dan 3Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika
dipenuhi semua sifat
(Proses EliminasiGauss)
(Proses EliminasiGauss-Jordan)
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
21/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 21
Contoh :
Tentukan matrik eil!n bari tere"uki "ari
#a$ab :
=311-27120
1-01-1
A
+
7120
1-01-1
2~31
bbA
1-01-1
~32
bb
0 1 1 5
0 1 1 5
0 2 1 7
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
22/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 22
+
5110
1-01-1
2~ 32 bbA
5110
1-01-1
~3b
+3100
1-01-1
~23 bb
+3100201012 bb
0 0 -1 -3
00 1 3
0 2
0
1
1 0 1
0
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
23/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 23
Perhatikan hasil OBE tadi :
Setiap baris mempunyai satu utama.Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlah
baris lebih sedikit dari jumlah kolom
(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)
31002010
1001
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
24/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 24
Invers Matriks
Misalkan A adalah matriks bujur sangkar.
B dinamakan invers dari A jika dipenuhiA B = I dan B A = I
Sebaliknya, A juga dinamakan invers dari B.
Notasi A = B-1
Cara menentukan invers suatu matriks A adalah
( )1| AI( )IA |
7*E
8
Jika OBE dari A tidak dapat menghasilkan matriksidentitas maka A dikatakantidak punya invers
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
25/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 25
Contoh :
Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari :
Jawab :
b1b 2
~
=122
011
123
A
100
010
001
122
011
123
100
001
010
122
123
011
010011-3b1+b22b1+b3
0 -1 1
00 21 1
0
0
-1 -3
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
26/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 26
-b2
-b3+ b2
-b2+ b1
Jadi Invers Matriks A adalah
120
010
100
011
120
010
100
011
120
111
100
010
120
031
010
100
110
011
=
120
111
101
1A
1 1 -1 3 00
10 0 1-1 -1
1110
0 0
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
27/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 27
Perhatikan bahwa :
dan
maka
=
120
111
1011A
=
122
011
123
A
=
120
111
101
210
121
012
1
AA
=100010
001
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
28/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 28
11 A
k
Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers :
i. (A-1)-1=A
ii. JikaA,Bdapat dibalik atau memiliki inversmaka (A.B)-1=B-1.A-1
iii. MisalkRiilmaka(kA)-1=
iv. Akibat dari (ii) maka (An)-1= (A-1)n
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
29/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 29
Latihan
Diketahui
, dan
Tentukan (untuk no 1 5) matriks hasil operasi berikut ini :
1.AB
2. 3CA
3. (AB)C
4.(4B)C + 2C
=
11
21
03
A
=
20
14B
=
513
241C
-
7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
30/30
07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 30
Untuk Soal no. 5 7, Diketahui :
dan
5. Tentukan :D + E2 (dimanaE2 =EE)6. Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi dariA,
B, C, D, dan E
7. Tentukan matriks invers dariD danE(jika ada)
=
210
121012
D
=144
010
023
E