Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomial Debrina Puspita Andriani www.debrina.lecture.ub.ac.id E-mail : [email protected] / [email protected]
6
Outline
Distribusi Variabel Acak Diskrit
Distribusi Binomial
Distribusi Multinomial
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
2
Distribusi Probabilitas
Adalah sebuah susunan distribusi yang
mempermudah mengetahui probabilitas
sebuah peristiwa / merupakan hasil dari
setiap peluang peristiwa 3
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Variabel Acak/Random
¡ Adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan
oleh kesempatan atau variabel yang dapat
bernilai numerik yang dapat didefinisikan dalam
suatu ruang sampel
¡ Misal: pelemparan sebuah dadu sebanyak 6 kali,
maka muncul angka 1 sebanyak 0,1,2,3,4,5, atau
6 kali merupakan kesempatan
4
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Macam Variabel Acak/Random
Variabel Acak Diskrit
¡ Variabel random yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu.
¡ Nilainya merupakan bilangan bulat & asli, tidak berbentuk pecahan
¡ Contoh:
¡ Banyaknya pemunculan angka/gambar dalam pelemparan sebuah koin
¡ Jumlah anak dalam keluarga
Variabel Random Kontinu
¡ Variabel random yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai2 pada suatu interval tertentu
¡ Nilainya dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan
¡ Contoh: ¡ Pada label kurva baja tertulis
diameter 2 ± 0,0005 mm. sehingga daerah hasil variabel random X adalah Rx = {X : 1,9995 ≤ x ≤ 2,0005; x adalah bilangan real}
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
5
1. Distribusi Binomial suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan
bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai
dengan proses Bernoulli.
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
6
Proses Bernoulli 22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
7
usaha
Percobaan terdiri dari beberapa usaha
t i a p - t i a p u l a n g a n percobaan bebas satu sama lainnya.
Probabilitas kesuksesan
tidak berubah dari
percobaan satu ke
percobaan lainnya. Persyaratan:
• Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang
• Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokkan menjadi 2-kategori, sukses atau gagal
• Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu usaha ke usaha berikutnya.
• Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.
perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5
kali Sisi
gambar Sisi angka
Dua macam kartu yang diambil berturut-turut
dengan label ; • merah : “berhasil” • hitam : “gagal”
berhasil gagal
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
8
Distribusi Binomial
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
9
Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan:
§ kesuksesan dengan probabilitas p
§ kegagalan dengan probabilitas q = 1 – p
maka distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu
banyaknya kesuksesan dalam n-usaha bebas adalah
0 1 2x n xnb(x;n,p) p q ;x , , ,....,n
x−⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎝ ⎠
Di mana :
Contoh
Peluang cacat dan baik dari hasil produksi suatu perusahaan yang hampir bangkrut adalah 50%. Apabila perusahaan itu memproduksi 3 barang, berapakah probabilitas yang diperoleh, jika:
a. Satu barang cacat
b. Dua barang baik
c. Maksimum dua barang cacat
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
10
maka akan diperoleh ruang sampel sbb:
S = {bbb, bbc, bcb, cbb, bcc, cbc, ccb, ccc}
b = barang baik
c = barang cacat
Solusi:
¡ Probabilitas nilai x, yaitu:
¡ X = 0, nilai probabilitasnya = p(x = 0) = 1/8
¡ X = 1, nilai probabilitasnya = p(x = 1) = 3/8
¡ X = 2, nilai probabilitasnya = p(x = 2) = 3/8
¡ X = 3, nilai probabilitasnya = p(x = 3) = 1/8
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
11
¡ Kasus di atas dapat diselesaikan dengan distribusi binomial Dengan: p = ½, q = ½
x = banyaknya barang yang baik n = 3
Misal x adalah banyaknya barang baik dari 3 barang yang diproduksi, maka nilai x adalah:
sampel bbb bbc bcb cbb bcc cbc ccb ccc
x 3 2 2 2 1 1 1 0
Dengan x = 0, 1, 2, 3
Solusi: a. Jika peristiwa A à satu barang cacat, maka A mempunyai
ruang sampel : S = { bbc, bcb, cbb} à p(A) = 3/8
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
12
b. Jika peristiwa B à adalah memproduksi dua barang baik, maka B mempunyai ruang sampel : S = { bbc, bcb, cbb} à p(B) = 3/8
Dengan distribusi binomial x = 2 à 1 barang cacat, yang tidak cacat (x) = 2
Dengan distribusi binomial x = 2 à 2 barang baik
Solusi:
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
13
c. Jika peristiwa C adalah memproduksi maksimum dua barang cacat, maka C mempunyai ruang sampel : S = { bbb, bcb, bcb,cbb, ccb, cbc, bcc} à p(C) = 7/8
Dengan distribusi binomial x = 1, 2 dan 3 à Maksimum 2 barang cacat, x ≠ 0
1 –
Tabel Binomial - Cara membaca Untuk n=15, p=0.4 ;
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
14 n r p
0.01 . . . . . . . 0.4 . . . . . . . . .
15 1
2 0.0271
: : :
8 0.9050
9 0.9662
: :
15
9
015 0 4 0 9662
xb(x; ; . ) .
=
→ =∑
b(x;15;0.4)=0.0271x=0
2∑
8
015 0 4 0 9050
xb(x; ; . ) .
=
=∑
15
Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini, berapa peluang: a. sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh b. ada 3 sampai 8 orang yg sembuh c. tepat 5 orang yg sembuh
Penyelesaian: Misal : X = menyatakan banyaknya orang yg sembuh Diketahui : p = 0.4 n = 15
a)
Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338
[ ]9
0
10 1 10 1 0 1 9
1 15 0 4
1 0 96620 0338
x
P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X )
b(x; ; . ) lihat tabel
..
=
≥ = − < = − = + = + =
= − ←
= −
=
∑
Contoh
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
16 b)
Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yg sembuh = 0.8779
8 2
0 0
3 8 8 2
15 0 4 15 0 4
0 9050 0 02710 8779
x x
P( X ) P(X ) P(X )
b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel
. .
.
= =
≤ ≤ = ≤ − ≤
= − ←
= −
=
∑ ∑
c)
Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh = 0.1859
5 4
0 0
5 5 15 0 4 5 4
15 0 4 15 0 4x x
P(X ) b( ; ; . ) P(X ) P(X )
b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel
0.4032 - 0.2173 0.1859
= =
= = = ≤ − ≤
= − ←
=
=
∑ ∑
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Distribusi Binomial Kumulatif
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
17
Adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses.
)(...)2()1()0(
)(
PBK
0
0
nXPXPXPXP
xXP
qpC
n
x
n
x
xnxxn
=++=+=+==
==
⋅⋅=
∑
∑
−
−
−
Tabel Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif
∑=
=r
xpnxbpnrB
0),;(),;(
B(r=1;n=2,p=0.30) = 0.9100 22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
18
Contoh Soal u/ Tabel Binomial
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
19
Warna mesin cuci yang diproduksi oleh PT. Makmur Jaya
adalah putih dan merah. Suatu rumah tangga memesan
2 mesin cuci tersebut dan pengirimannya dilakukan 2 kali.
Berapa probabilitas ?
1. Ke-2 mesin cuci berwarna merah
2. Ke-2 mesin cuci berwarna putih
3. Berwarna merah minimal 1
Kerjakan dengan Tabel Distribusi Binomial dan
Tabel Distribusi Binomial Kumulatif.
¡ Tabel Distribusi Binomial
p = ½, q = ½, dan n=2
X = banyaknya mesin cuci yang berwarna merah.
Dari tabel distribusi binomial :
Nilai x 0 1 2
Probabilitas 0,2500 0,500 0,2500
1. Probabilitas ke-2 mesin berwarna merah dapat ditentukan x=2, P = 0,2500
2. Probabilitas ke-2 mesin berwarna putih dapat ditentukan x=0, P = 0,2500
3. Probabilitas berwarna merah minimal 1 dapat ditentukan dengan nilai x=1 ditambah nilai x = 2. sehingga: 0,5000 + 0,2500 = 0, 7500
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
20
¡ Tabel Distribusi Binomial Kumulatif
p = ½, q = ½, dan n=2
X = banyaknya mesin cuci yang berwarna merah.
Dari tabel distribusi binomial kumulatif:
Nilai x 0 1 2
Probabilitas 0,2500 0,7500 1,0000
1. Probabilitas ke-2 mesin berwarna merah = P(x=2) – P(x=1) = 1,0000- 0,7500= 0,2500
2. Probabilitas ke-2 mesin berwarna putih = P(x=0) = 0,2500
3. Probabilitas berwarna merah minimal 1 = {P(x=1) – P(x=0)} + {P(x=2) – P(x=1)} = {0,7500 - 0,2500} + {1,0000 - 0,7500} = 0,7500
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
21
Distribusi Multinomial
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
22
Distribusi probabilitas binomial digunakan untuk sejumlah
sukses dari n percobaan yang independen, dimana seluruh
hasil (outcomes) dikategorikan ke dalam dua kelompok
(sukses dan gagal).
Distribusi probabilitas multinomial digunakan untuk
penentuan probabilitas hasil yang dikategorikan ke dalam
lebih dari dua kelompok.
Fungsi distribusi probabilitas multinomial:
P(x1, x2,.., xk ) =n!
x1!x2 !...xk !p1x1p2
x2 ...pkxk
Berdasarkan laporan sebuah penelitian tahun 1995, diantara produk
mikroprosesor pentium generasi pertama diketahui terdapat cacat yang
mengakibatkan kesalahan dalam operasi aritmatika.
Setiap mikroprosesor dapat dikategorikan sebagai baik, rusak dan cacat
(dapat digunakan dengan kemungkinan muncul kesalahan operasi
aritmatika).
Diketahui bahwa 70% mirkoprosesor dikategorikan baik, 25% cacat dan 5%
rusak. Jika sebuah sample random berukuran 20 diambil, berapa
probabilitas ditemukan 15 mikroprosesor baik, 3 cacat dan 2 rusak?
( )( )( )P( , , ) ! ! ! . . .
.
15 3 2 20!15 3 2 7 25 05
0288
15 3 2=
=
23 Contoh (1)
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Penyelesaian :
Bila dua buah dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapat jumlah bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua dadu sekali, dan kemungkinan lainnya sebanyak 3 kali?
Penyelesaian : o S = 36 o E1 = jumlah kedua dadu 7 atau 11: peluangnya adalah 2/9 o E2 = bilangan yang sama pada kedua dadu : peluangnya 1/6 o E3 = kemungkinan lainnya: 1 – P(E1 + E2) = 1 – (2/9 + 1/6) = 11/18
Maka f(2,1,3; 2/9, 1/6, 11/18, 6)
x p n
Contoh (2)
22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id
24
= 0,1127