▪ Definisi: Untuk partikel tunggal, momentum pdidefinisikan sebagai:
◼ Hukum ke-2 Newton:
F = ma
dtm=
p = mv(p adalah vektor karena v
adalah vektor).
Sehingga px = mvx
dst.
dv )m(dt
d= v
dt
d=F
p
◼ Satuan momentum linier adalah kg m/s.
3
Konsep momentum biasa digunakan untuk
mempelajari peristiwa:
▪Tumbukan/tabrakan
▪Ledakan
▪Peluncuran roket
▪Dan lain-lain
4
▪ Konsep kekekalan momentum merupakan salah satuprinsip yang paling mendasar dalam Fisika
▪ Ini adalah persamaan (komponen) vektor.▪ Dapat diaplikasikan untuk sembarang arah dimana tidak ada gaya
eksternal
▪ Anda akan melihat bahwa kita sering menjumpai kasusdimana berlaku kekekalan momentum walaupun tidakberlaku hukum kekekalan energi.
FP
EXT
d
dt=
d
dt
P= 0 FEXT = 0
5
▪ Tumbukan biasanya menyangkut interaksi yang sangat cepat.
vf
vi
F Vf
awal final
The balls are in contact
for a very short time.
6
▪ Dalam waktu singkat ini, gaya yang bekerja bisa besar sekali
t1 t2
t5 t4 t3
t
p1p2
p4
p3 = 0 p5
F2
F3
F4
7
F
t
ti tf
= f
i
t
tdtFI
t
Diagram berikut menunjukan gaya vs. waktu untuk suatu tumbukan. Impuls, I, dari gaya adalah suatu vektor yang didefinisikan sebagai integral dari gaya selama waktu tumbukan berlangsung
Impulse I = luas daerah di bawah
kurva !
Impuls mempunyai satuan: Ns.
8
F
t
ti tf
dt
dPF =
t
Gunakan
PPPP
PF
Δd
dtdt
ddt
i
t
t f
t
t
t
t
f
i
f
i
f
i
− ==
==I
I = P
Maka impuls menjadi:
impuls = perubahan momentum!
9
Dua tumbukan yang berbeda dapat
mempunyai impuls yg sama karena I
bergantung hanya pada perubahan
momentum,bukan pada sifat
tumbukan.
ti tft
F
t
F
t
ti tf
t
Luas sama
t besar, F kecilt kecil, F besar
10
CONTOH:
▪ Dua kotak, yang satu lebih berat dari yang lain, mula-mula diam pada permukaan horisontal yang licin. Gaya tetap yang sama F bekerja pada masing-masing kotak selama 1 second.
▪ Kotak mana yang memiliki momentum paling besar setelah gaya bekerja?
(a) berat (b) ringan (c) sama
F F light heavy
12
CONTOH: SOLUSI
F F light heavy
Fp
avt
=
Kita tahu p F= av tsehingga
Dalam kasus ini F dan t sama untuk kedua kotak!
Kedua kotak akan memiliki momentum akhir yg sama.
13
F
t
ti tf
Fav
Gaya rata-rata untuk selang waktu t = tf - ti adalah:
tΔdt
tΔ
1 f
i
t
tav
I == FF
tΔ
Δav
PF =atau
▪ Kita dapat menggunakan notasi impuls untukmendefinisikan “gaya rata-rata”, suatu konsepyang sangat berguna.
t
14
ti tft
F
t
F
t
ti tf
t t big, Fav small
t small, Fav big
soft spring
stiff spring
Fav
Fav
Ball-Block
Collisions
15
A pitcher pitches the ball (m = .7 kg) at 145 km/hr (about 90 mph).
The batter makes contact with the ball for .001 s causing the ball to leave the bat going 190 km/hr (about 120 mph).
Find the average force on the ball, disregarding gravity.
16
First convert everything to m/s:
145 km/hr = 40.28 m/s
190 km/hr = 52.78 m/s
Next find the change in momentum ( = the impulse):
Pf - Pi = (.7 kg)(52.78 m/s) - (.7 kg)(-40.28 m/s)
Pf - Pi = 65.14 kg-m/s
Finally find the average force:
N65142.001s
Ns1465
tav ==
=
.pF
17
▪ Suatu tumbukan dikatakan elastik jika energi kinetik dan momentum sebelum dan sesudah tumbukan adalah sama. Kbefore = Kafter
▪ Kereta yang bertumbukan dengan pegas, bola billiard, dll.
vi
◼ Suatu tumbukan dikatakan inelastik jika energi kinetik sebelum dan
sesudah tumbukan tidak sama, momentumnya sama.
Kbefore Kafter
◼ Tumbukan antar mobil, tumbukan dimana kedua obyek menyatu, dll.
18
▪ Suatu balok dengan massa M mula-mula diam di ataspermukaan horisontal yang licin. Sebuah peluru denganmassa m ditembakkan ke balok dengan kecepatan (laju) v. Peluru menyatu dengan balok , balok bergerakdengan laju V. Didalam parameter m, M, dan V :▪ Tentukan kecepatan awal peluru v!
▪ Tentukan energi awal dari sistem!
▪ Tentukan energi akhir dari sistem!
▪ Apakah energi konservatif?
v
V
before after
x
19
▪ Pandang peluru dan balok sebagai satu sistem. Setelah peluru ditembakkan, tidak ada gaya luar yang bekerjapada sistem dalam arah-x. Momentum kekal dalamarah-x!
▪ Px, i = Px, f
▪ mv = (M+m)V
vM m
mV=
+
v
V
initial final
x
20
▪ Tinjau energi kinetik sebelum dan sesudah tumbukan
▪ Sebelum:
▪ Sesudah:
▪ Sehingga
( )E mv mM m
mV
M m
mM m VB = =
+
=
+
+
1
2
1
2
1
2
22
2 2
( )E M m VA = +1
2
2
Em
M mEA B=
+
Energi kinetik tidak konservatif! (gesekan menghentikan peluru),
tetapi momentum kekal.
21
Sebelum tumbukan:
Gunakan kekekalan momentum untuk menentukan v setelah tumbukan.
Sesudah tumbukan:
Kekekalan momentum:
P Vi M m= + ( )0 P vf M m= +( )
P Pi f=
M M mV v= +( )
Vv)mM(
M
+= Pers. vektor
23
▪ Tinjau energi kinetik dari sistem sebelum dan sesudahtumbukan:
▪ Sebelum:
▪ Sesudah:
▪ Sehingga:
( )E MV MM m
Mv
M m
MM m vBUS = =
+
=
+
+
1
2
1
2
1
2
22
2 2
( )E M m vA = +1
2
2
EM
M mEA B=
+
Energi kinetik tidak kekal
dalam tumbukan inelastik!
24
▪ Tinjau suatu tumbukan 2-D (tabrakan mobil pada perempatan,…tanpa gesekan).
v1
v2
V
before after
m1
m2
m1 + m2
25
▪ Tidak ada gaya eksternal.▪ Terapkan kekekalan momentum pada dua komponen.
v1
v2
V = (Vx,Vy)
m1
m2
m1 + m2
P Px i x f, ,= ( )m v m m Vx1 1 1 2= +( )
Vm
m mvx =
+
1
1 21
P Py i y f, ,= ( )m v m m Vy2 2 1 2= +( )
Vm
m mvy =
+
2
1 22
26
▪ Sehingga kita ketahui semua tentang gerak setelah tumbukan!
V = (Vx,Vy)
Vx
Vy
( )V
m
m mvx =
+
1
1 21
( )V
m
m mvy =
+
2
1 22
1
2
11
22
x
y
p
p
vm
vm
V
Vtan ===
27
▪ Tidak ada gaya eksternal, momentum P konservatif.
▪ Awal: P = 0
▪ Akhir: P = m1v1 + m2v2 = 0
m1v1 = - m2v2
M
m1 m2
v1 v2
30
CONTOH:
▪ Sebuah bom meledak menjadi 3 bagian yg indentik. Mana diantara konfigurasi kecepatan berikut yang mungkin?
(a) 1 (b) 2 (c) kedua-duanya
m m
v V
v
m
m mv v
v
m
(1) (2)
31
CONTOH:
m m
v v
v
m
(1)
▪ Tidak ada gaya eksternal, P harus konstan.
▪ Awalnya: P = 0
▪ Pad ledakan (1) tidak ada sesuatu yang mengimbangi momentum arah ke atas Pfinal 0.
mvmv
mv
32
CONTOH:
▪ Tidak ada gaya eksternal, P harus konstan..
▪ Semua momentum saling menghilangkan.
▪ Pfinal = 0.
(2)
m mv v
v
m
mv
mv
mv
33
▪ Kita telah melihat bahwa total energi kinetik dari suatui sistem yg mengalami tumbukan inelastik tidak konstan.▪ Energi hilang dalam bentuk:
▪ Panas (bomb)
▪ Logam melengkung (crashing cars)
▪ Momentum sepanjang arah tertentu konservatif jika tidak ada gaya eksternal yg bekerja dalam arah tersebut.
Secara umum, kekekalan momentum lebih mudah ditunjukkan dibandingkan kekekalan energi.
34
H
L L
L L
m
M
Sebuah peluru dengan massa m bergerak horisontal dengan laju v menumbuk sebuah massa yg diam M yang digantung pada tali yg panjangnya L. Sehingga, m + M naik ke suatu ketinggian H.
Jika diketahui H, tentukan laju awal v dari peluru?
M + mv
V
V=0
35
Dua tahap proses:
1. m bertumbukan dengan M, secara inelastic.
Kedua M & m kemudian bergerak bersama dengan kecepatan V
2. M & m naik ke ketinggian H, K+U energy E konservatif.(tidak ada gaya non-konservatif yang bekerja
setelah tumbukan)
36
▪ Tahap 1: Momentum is conserved
in x-direction: mv m M V= +( ) Vm
m Mv=
+
Tahap 2: K+U Energy is conserved
( )E EI F=
12
2( ) ( )m M V m M gH+ = + V gH2 2=
Eliminating V gives: gH2m
M1v
+=
37
▪ Elastic artinya bahwa energi kinetik dan momentumadalah kekal
▪ Ini akan banyak membantu kita dalam analisa persolan:
▪ Persoalan yg lebih komplek dapa diselesaikan!!
▪ Billiards (2-D collision)
▪ Benda yg bertumbukan
tidak menyatu setelah
tumbukan
▪ Kita mulai dari kasus 1D
Initial Final
38
v1,i v2,i
v1,fv2,f
before
after
x
m1 m2
Konservasi PX:
m1v1,i + m2v2,i = m1v1,f + m2v2,f
Konservasi Energi kinetik:
1/2 m1v2
1,i + 1/2 m2v2
2,i = 1/2 m1v2
1,f + 1/2 m2v2
2,f
Andaikan kita tahu v1,i dan v2,i
Kita ingin menentukan v1,f dan v2,f
Should be no problem 2 equations & 2 unknowns!
40
▪ Akan tetapi, menyelesaikan persoalan ini membuat kita sedikit repot karena ada persamaan kuadratik!!
▪ Hilangkan faktor ½, diperoleh
▪ Faktorisasi kedua sisi, diperoleh
m1v1,i + m2v2,i = m1v1,f + m2v2,f (*)
1/2 m1v2
1,i + 1/2 m2v2
2,i = 1/2 m1v2
1,f + 1/2 m2v2
2,f
41
▪ Persamaan momentum dipisahkan
dalam m1 dan m2
▪ Diperoleh (**)
▪ Dari (**) dapat disimpulkan bahwakecepatan relatif dua partikel sebelum tumbukan sama dengan negatif kecepatan relatif dua partikel setelah tumbukan.
▪ Dari (*) dan (**) diperoleh:
42
▪ Andaikan kita mengetahui kecepatan “sebelum-tumbukan”
▪ Kita ingin mengetahui gerak suatu benda setelahtumbukan▪ We want v1x,f , v1y,f , v2x,f , v2y,f
▪ Kita juga mengetahui bahwa :▪ Dalam tumbukan elastik, energi kinetik dan momentum
adalah kekal. Ini akan membentuk 3 persamaan:
▪ Ef = Ei
▪ Px,f = Px,i (dimana Px = p1x + p2x = m1v1x + m2v2x etc)
▪ Py,f = Py,i
▪ Kita punya 3 persamaan dan 4 yg tidak diketahui: ▪ Kita butuh informasi tambahan (scattering angle, masses).
43
▪ Kita tahu bahwa K = 1/2mv2
Energi kinetik dapat juga dinyatakan
dalam momentum:
K = 1/2mv2
2
2
pK
m
m2
vm22
=
m2
)m( 2
=v
44
▪ Jika semua yg kita ketahui adalah kecepatan awal dari cue ball (bola pemukul), kita tidak memiliki informasi yg cukup untuk menyelesaikan secara eksak untuk lintasan setelah tumbukan. Tetapi kita dapat belajar beberapa hal yg berguna...
45
▪ Tinjau kasus dimana satu bola dalam keadaan diam.
pf
pi
F Pf
initial finalArah akhir dari bola merah
Akan bergantung pada posisi
Bola dipukul.
vcm
46
▪ Kita tahu momentum adalah konservatif: pi = pf + Pf
▪ Kita juga tahu bahwa energi kinetik adalah konservatif :
▪ Perbandingan dua persamaan ini memberitahu kitabahwa:
pi2 = (pf + Pf )
2 = pf2 + Pf
2 + 2 pf • Pf
m2
P
m2
p
m2
p2
f2f
2i +=
pf • Pf = 0
Karenannya, pi dan pf harus tegak lurus
pf
pi
Pf
Ppp2
f2f
2i +=
47