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8/20/2019 Capitulo 8 Fisica 3 (2)
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Ejemplo 28.1 Fuerzas entre dos protones en movimiento pág. 959
Dos protones se mueven paralelos al eje x en sentidos opuestos (fgura
28.2) con la misma rapidez v (pequeña en comparación con la rapidez de la
luz c). En el instante que se ilustra calcule las !uerzas el"ctricas #
magn"ticas so$re el protón de la parte superior # determine la razón de sus
magnitudes.
%olución&
'a !uerza el"ctrica est dada por la le# de oulom$. *ara encontrar la !uerza
magn"tica primero de$emos determinar el campo magn"tico que produce
el protón de la parte in!erior en la posición del de arri$a.
PLANTEAR: %e usa la ecuación (21.2) que e+presa la le# de oulom$. 'a
ecuación (28.2) da el campo magn"tico de$ido al protón in!erior # la le# de
la !uerza magn"tica ecuación (2,.2) da la !uerza magn"tica resultante
so$re el protón superior.
EJECTAR: De acuerdo con la le# de oulom$ la magnitud de la !uerza
el"ctrica so$re el protón de arri$a es&
Fe= K q
2
r2
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Ejemplo 28.-& ampo magn"tico de un solo alam$re
n conductor largo # recto conduce una corriente de 1./ 0. 0 qu"distancia del eje del conductor el campo magn"tico generado tiene
una magnitud B=0.5
×10
−4
T (apro+imadamente el campo magn"ticoterrestre en *itts$urg)3
!"LC#$N:
'as l4neas de campo de este conductor recto son c4rculos cu#adirección va a estar determinada por la regla de la mano derecacomo lo muestra la fgura&
B= μ
0 I
2 πr
%AT"! •r= μ
0 I
2 πB
r 5 3
B=0.5 ×10−4T • r=(4 π ×10−7 T ∙
m
A )(1.0 A)
2 π (0.5 ×10−4 T )
%e despeja 6r7 de la ecuaciónoriginal dada # se sustitu#enlos valores por los datos que
dan
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5 1./ 0 ¿4 × 10−3
m=4 mm
μ0=4 π × 10−7 T ∙
m
A
*ro$lema 28.-
n electrón se mueve a /.1//c como se muestra en la fgura E28.-.alcule la magnitud # dirección del campo magn"tico que esteelectrón produce en los siguientes puntos cada uno situado a
2.00 μm desde el electrón& a) puntos 0 # 9: $) punto : c) punto D.
!"LC#$N:
; El campo el"ctrico de$ido a una carga en movimiento es&
B= μ
0
4 π ∙
qv sin θ
r2
D0
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Ejemplo 28.>& ampo magn"tico de dos alam$res
'a fgura 28.,a es la vista de los e+tremos de dos alam$reslargos rectos # paralelos que son perpendiculares al plano
+# cada uno de los cuales conduce una corriente pero ensentidos opuestos. a) alcule B en los puntos P1 , P2 y P3 .
$) Deduzca una e+presión para B en cualquier punto del
eje + a la dereca del alam$re 2.
Fig. +,-
%='?@&
Ana'izar: *or el principio de superposición el campo magn"tico en
cada punto va a ser B=B1+B2 . %e va a utilizar la ecuación B= μ
0 I
2πr
para poder o$tener las magnitudes de B1 y B2 de estos campos #
utilizar la regla de la mano dereca para determinar las direcciones
correspondientes. 'a fgura muestra que B 1, B2 y B=Btotal en cualquier
punto: se de$e confrmar que las direcciones # magnitudes relativasmostradas son correctas.
a omo se muestra en la fgura el punto P1 est a una distancia
62d7 del alam$re 1 # a una distancia del alam$re 2 de 6>d7 2 a n o s i n d i c a q u e e s t ( e n d i r e c c i ó n 6 # 7 n e g a t i v a # q u e e s t ( e n d i r e c c i ó n 6 # 7 p o s i t i v a
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•⃗B
1=
μ0 I
2 π (2 d )=
μ0 I
4 πd
•
⃗B2=
μ0 I
2 π (4 d)=
μ0 I
8 πd
Enton(es:
⃗B total=⃗B1+⃗B2=− μ
0 I
4 πdĴ +
μ0 I
8 πdĴ =
− μ0 I
8πdĴ (*unto
P1 )
En el punto P2 a una distancia 6d7 entre los dos alam$res B1 y B2
tienen am$os dirección en 6#7 positiva # los dos tienen la misma
magnitud:⃗B
1=⃗B
2=
μ0 I
2 πd
Enton(es:
⃗B total=⃗B1+⃗B2= μ0 I 2 πd
Ĵ + μ0 I 2 πd
Ĵ =− μ0 I πd
Ĵ ( Punto P2)
En el punto P3 la regla de la mano dereca indica que B 1 est en
dirección 6#7 positiva # que B2 est en dirección 6#7 negativa. Este
punto se encuentra a -d del alam$re 1 # a una distancia d del
alam$re 2 por lo tanto&
•⃗B
1=
μ0 I
2 π (3 d )=
μ0 I
6 πd
•⃗B
2=
μ0 I
2 πd
Enton(es:
⃗B total=⃗B1+⃗B2=
μ0 I
6 πd^J −
μ0 I
2πd^J =
− μ0 I
3 πd^J ( Punto P3)
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* En cualquier punto so$re el eje 6+7 a la dereca del alam$re 2B
1 y B
2 estn en las mismas direcciones que en P3 . Este
punto est a una distancia 6+Ad7 del alam$re 1 # a unadistancia 6+Bd7 del alam$re 2 entonces el campo total es&
⃗B total=⃗B1+⃗B2= μ
0 I
2 π ( x+d )Ĵ −
μ0 I
2π ( x−d )Ĵ
¿− μ
0 Id
π ( x2−d2)Ĵ
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Ejemplo 28.C& ampo magn"tico de una $o$ina
na $o$ina con 1// espiras circulares con radio de /.C/ m conduceuna corriente de ./ 0. a) alcule el campo magn"tico en un punto alo largo del eje de la $o$ina a /.8/ m del centro. b) %o$re el eje aqu" distancia desde el centro de la $o$ina la magnitud del campo es
1
8 de la que tiene en el centro3
!"LC#$N:
%AT"!
@5 1//
5 ./ 0
a= /.C/ m
μ0=4 π × 10−7 T ∙
m
A
a sando +5/.8/m en la ecuación anterior se tiene&
e s e n u n v a l o r d a d o d e l a c o o r d e n a d a + .
e s e l v a l o r a = / . C / m d e + e n e l q u e e l c a m p o t i e n e d e l a m a g n i t u d q u e s e r e g i s t r a e n e l o r i ge
B x= μ0∋a
2
2( x2+a2)3
2
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0.80 m¿
B x=( μ0=4 π × 10−7T ∙ m A ) (100) (5.0 A ) (0.60 m )2
2 [(¿¿2+(0.60 m)2
)]
3
2
B x=1.1 ×10−4
T
* onsiderando la ecuación usada anteriormente queremosencontrar un valor de 6+7 tal que&
1
( x2+a2)3
2
=1
8∙
1
(02+a2)3
2
%e le da vuelta a las !racciones # se elevan am$oslados la potencia 2F-: entonces&
x=√ 3 a= 1.04 m
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E/emp'o +,. Campo de un (ondu(tor 'argo0 re(to & portadorde (orriente
En la sección 28.C se o$tuvo la le# de 0mpGre empleando la ecuación (28.H)
para el campo de un conductor largo recto # que transporta$a corriente.
Ievierta este proceso # utilice la le# de 0mpGre para encontrar la magnitud
y dirección de 1 en esta situación.
%olución
#%ENT#F#CAR: Esta situación presenta simetr4a cil4ndrica por lo que se
utiliza la le# de 0mpGre para encontrar el campo magn"tico en todos los
puntos u$icados a una distancia r del conductor.
PLANTEAR: %e toma como tra#ectoria de integración un c4rculo con radio r
centrado en el conductor # en un plano perpendicular a "ste como en la
fgura 28.1Ca (sección 28.C). En cada punto 1 es tangente a este c4rculo.
De acuerdo con la elección de la tra#ectoria de integración la le# de0mpGre Jecuación (28.2/)K es&
∮Bdl=B (2 πr ) 2 μ 3 #
# de inmediato se deduce la ecuación (28.H)
12 μ 0 I
2 πr Ec 28.H
*ro$lema 28.>
na part4cula al!a (carga A2e) # un electrón se mueven en sentidosopuestos desde el mismo punto cada uno con rapidez de
2.50×105
m/s . alcule la magnitud # dirección del campo magn"tico
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total que producen estas cargas en el punto * que se encuentra a1.,nm de cada uno.
%='?@&
B=Bal!a+Bele"tron= μ
0 v
4 π r2(e sin 40#+2esin140#)
D0
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B=4 π ×10
−7T ∙
m
A(1.6 ×10−19C )(2.50 ×105
m
s )
4 π (1.75 ×10−9 m)2 (sin 40#+2 sin 140 #)
B=2.52 ×10−3
T =2.52mT
*ro$lema 28.C
Dos cargas puntuales positivas q=+8.00 μC # q $ =+3.00 μC se
desplazan en relación con un o$servador en el punto * como se
ilustra en la fgura. 'a distancia d es /.12/m v=4.50 ×106
m /s #
v $ =9.00 ×106 m /s . a) uando las dos cargas estn en las u$icaciones
que se india en la fgura ules son la magnitud # la dirección delcampo magn"tico neto que producen en el punto *3 $) ules son lamagnitud # la dirección de las !uerzas el"ctrica # magn"tica que cadacarga ejerce so$re la otra3 ul es la razón entre la magnitud de la!uerza el"ctrica # la magnitud de la !uerza magn"tica3 c) %i la
dirección de v $ se invierte de manera que las dos cargas se
desplacen en la misma dirección ules son la magnitud # ladirección de las !uerzas magn"ticas que cada carga ejerce so$re laotra3
!"LC#$N:
⃗B= μ
0q⃗ v ×⃗r
4 π r3
D0
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q=+8.00×10−6 C v=4.50×106m / s
q $ =+3.00×10−6 C v $ =9.00×106 m /s
d5 /.12/m
μ0=4 π × 10−7 T ∙
m
A
En la parte a) r5d # ⃗r es perpendicular a ⃗v en todos los
casos por lo tanto& r5 2d
Enton(es:
a B total=B+B$ =
μ0
4 π (
qv
d2 +
q$ v
$
d2 )
0.120
¿¿¿2¿
(8×10−6 C ) (4.50×106m/ s)
¿
B=4 π ×10
−7T ∙
m
A
4 π ¿
B=4.38×10−4 T . 'a dirección es acia adentro.
* F B= μ
0
4 π ∙
qq$ vv $
r2 5
(10−7 T ∙ m A ) (8 ×10−6 C )( 3.00 × 10−6C ) (4.50 × 106 m/ s) (9 × 106 m/ s)
(0.240)2
F B=1.69 ×10−3
%
!eg4n 'a 'e& de Cou'om*0 'a uerza entre dos (argas es:
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F C =& q
1q
2
r2 =(9 ×10 9 % m2/C 2 )
( 8 ×10−6 C ) (3 ×10−6C )(0.240)2
=3.75 %
La relación entre la fuerza magnética y laeléctrica es:
F "
F B=
C 2
v1 v2=
3.75 %
1.69×10−3
% =2.22×103 % : la !uerza el"ctrica es ms
grande que la magn"tica.
( 'a dirección de las !uerzas magn"ticas se invierten cuando seinvierte la dirección de una sola velocidad sin em$argo lamagnitud de las !uerza permanece igual.
*ro$lema 28.C,
Dos alam$res largos recto # paralelos estn separados por unadistania de 1.//m como muestra la fgura. El alam$re de la izquierda
conduce una corriente I 1 de C.// 0 acia el plano del papel. a)
ules de$en ser la magnitud # el sentido de la corriente I 2 paraque el campo neto en el punto * sea cero3 b) ules son la magnitud# dirección del campo neto en L3 c) ul es la magnitud del camponeto en 6%73
!"LC#$N:
Ana'izar:%e utiliza la !ormula dada a continuación # la regla de lamano dereca para calcular la dirección # magnitud del campomagnetico en * dada por cada alam$re.
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B= μ
0 I
2 πr
a
I 1=6.00 A
1.00 m
I 2
0.50m
B1
B2
*
%AT"!
μ0=4 π × 10−7 T ∙ m
A
I 1=6.00 A
r= 1.50 m r= 0.50 m
• B1= μ
0 I
1
2 π r1=
μ0
2 π ∙(6.00
A1.50 m )
B 2= μ
0
2 π ∙( I
2
0.50 m )
omo B1 5 B2 : enton(es:
B1 y B
2 de$en ser iguales #
opuestos para que el campo
resultante en 6*7 sea cero. B 2 va
acia la dereca: entonces I 2 va
acia !uera de la pgina
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•(4 π × 10−7T ∙ m A )
2 π ∙ (6.00 A1.50 m )=
(4 π × 10−7T ∙ m A )2 π
∙ ( I 20.50 m )
• I 2=( 0.50 m1.50 m ) (6.00 A )=2.00 A
* B2 L B1 • B1= μ
0 I
1
2 π r1
0.50m• B1=(2×10−7 T ∙ m A )∙( 6.00 A0.50m )=2.40×10−6 T
I 11.00m• B
2=
μ0 I
2
2π r2
I 2
• B2=(2× 10−7 T ∙ m A ) ∙(
2.00 A
1.50 m )=2.67× 10−7T
B1 y B 2 son opuestos # B1>B2 entonces&
B=⃗B1−⃗B2=2.40 ×10−6
T −2.67 ×10−7T =2.13 ×10−6 T # B va acia la
dereca.
(
• B1=
μ0 I
1
2π r1
I 1
B2
/.C/m!
• B1=
(2× 10
−7T ∙
m
A
)∙
(
6.00 A
0.60 m
)=2 ' 00 ×10−6 T
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1.//m B1• B2= μ
0 I
2
2π r2
/.8/m • B
2=
(2× 10
−7T ∙
m
A
)∙
(2.00 A
1.80 m
)=5 ' 00 ×10−7 T
I 2
B 1 y B 2 tienen ngulos rectos entre los dos entonces la magnitud se da
por&
B=√ B12+B
2
2=√ (2 ' 00× 10−6 T )2
+(5 ' 00 ×10−7 T )2
=2.06 ×10−6 T