Download - Bahan Ajar Kalk Integral.pptx
![Page 1: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/1.jpg)
BAHAN AJAR KALKULUS INTEGRALOleh: ENDANG LISTYANI
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Masalah:Tentukanlah persamaan suatu kurva y= f(x) yang melalui titik (1,3) dan kemiringan garis singgung di sebarang titik pada kurva samadengan empat kali absis titik itu
![Page 2: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/2.jpg)
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Penyelesaian Misalkan persamaantersebut y = f(x) Kemiringan garis singgung kurva di (x,y)
Akan dicari suatu fungsi y=f(x) yang memenuhi persamaan
dengan syarat y=3 jika x=1
xdxdy 4
xdxdy 4
![Page 3: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/3.jpg)
xdxdyxdxdy 44
CxyCxCy 22
21 22
C 21.23maka(1,3),titikmelaluiKurva
dimaksudyangkurvapersamaanJadi12xy 2
xdxdy 4
1C
![Page 4: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/4.jpg)
PERSAMAAN DIFERENSIAL Sebarang persamaan dengan yang tidak
diketahui berupa suatu fungsi dan melibatkan turunan atau diferensial dari fungsi yang tidak diketahui tersebut
Menyelesaikan suatu persamaan diferensial berarti menentukan fungsi yang tidak diketahui tersebut
![Page 5: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/5.jpg)
Persamaan Diferensial Contoh
0 xydxdy
yx
dxdy
![Page 6: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/6.jpg)
Solusi 5.218) Diket: a = Ditanyakan v(2) dan S(2) Jawab:
10,0,)1( 04
oSvt
Cttvadtdvdtdva 3)1(
31)(
31)01(
310)0( 3 CCv
31)1(
31)( 3 ttv
![Page 7: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/7.jpg)
Solusidet/
8126)2(
31)21(
31)2( 3 cmvv
dttSdvdtdSdtdSv ]
31)1(
31[ 3
![Page 8: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/8.jpg)
PENDAHULUAN LUAS Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam
Misalkan Daerah R dibatasi kurva sumbu-x dan garis x = 2. Akan dicari luas
daerah R
Dibuat partisi pada [0,2] menjadi n selang bagian, dengan panjang selang bagian
2xy
nx 2
![Page 9: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/9.jpg)
PENDAHULUAN LUAS Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam
nxx
nxxx 2.2.2,2,0 210
nxx 2.3.33
nixixi
2..
![Page 10: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/10.jpg)
5.2 no 25 Laju perubahan volume
![Page 11: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/11.jpg)
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam
![Page 12: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/12.jpg)
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam
)( 1ixf
1ix ix
![Page 13: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/13.jpg)
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam
Luas daerah R dapat dihitung sbbxxfxxfxxfL nR )(...)()( 110
xxf i )( 23
22 82.2 i
nnnixxi
![Page 14: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/14.jpg)
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam
23
23
23
23 )1(8...)2(8)1(8)0(8
nnnnn
LR
])1(...21[8 2223 n
n
]6
)12()1([83
nnnn
Rumus 2, hal, 323 dengan n diganti n-1
![Page 15: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/15.jpg)
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam
2344
38
nnLR
2344
38limlim
nnL
nRn 38
![Page 16: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/16.jpg)
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang luar
Dengan cara sama dibuat PP luar
![Page 17: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/17.jpg)
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang luar
)( ixf
1ix ix
![Page 18: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/18.jpg)
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang luar
xxfxxfxxfL nR )(...)()( 21
23
23
23
23 )(8...)3(8)2(8)1(8 n
nnnnLR
]...21[8 2223 n
n
![Page 19: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/19.jpg)
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang luar
]6
)12)(1([83
nnnn
LR
]132[68
2nnLR
2
13234limlim
nnL
nRn 38
![Page 20: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/20.jpg)
INTEGRAL TENTUMisalkan fungsi f terdefinisi pada selang [a,b]Dibuat persegi panjang dengan lebar dan tinggi dan pada selang , seperti pada gambar
berikut:
ix )( *ixf
*ix ],[ 1 ii xx
*1x
*2x
*ix
![Page 21: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/21.jpg)
INTEGRAL TENTU
Dibentuk pejumlahan
disebut jumlah Riemann
i
n
iinn xxfxxfxxfxxf
1
**2
*21
*1 )()(...)()(
Pi
n
ii Rxxf
1
*)(
![Page 22: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/22.jpg)
INTEGRAL TENTU
DEFINISI INTEGRAL TENTUMisalkan f suatu fungsi terdefinisi pada selang [a,b]. Jika
maka dikatakan f terintegralkan di [a,b]Selanjutnya
disebut integral tentu atau integral Riemann f dari a ke b
adaxxfn
iii
P
1
*0
)(lim
b
a
dxxf )(
n
iiiPxxf
1
*
0)(lim
terpanjangbagianselangpanjangP
![Page 23: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/23.jpg)
Contoh Integral tentu dengan definisiHitunglah integral tentu berikut dengan definisi.
1
2
2 )1( dxx
![Page 24: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/24.jpg)
Penyelesaian
1
2
2 )1( dxx
menjadiselangpadapartisiDibuat ]1,2[xpanjangsamabagianselangn
n3
iiii xxgunakanxxselangtiapDalam *
1 ],[
2, 0 xMaka 1x nx 322
2x n322 ix n
i 32
)( ixf 12 ix 1)32( 2 n
i
![Page 25: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/25.jpg)
Penyelesaian1)32(1)( 22
nixxf ii
xxfxxfSehinggan
ii
n
iii
11
* )()(nn
in
i
31321
2
1)9124(3
12
2
n
i ni
ni
n
n
i
n
i
n
ii
ni
nn 1 1
22
1
91253
1
2
2 )1( dxx
![Page 26: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/26.jpg)
Penyelesaian
n
ii xxf
1)( n
n5.3
2)1(.12.3
nn
nn 6)12)(1(.9.3
2
nnnnn
15n1818 22
92279
nn
229
227186
nnn
1
2
2 )1( dxx
![Page 27: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/27.jpg)
Penyelesaian
)29
227186(lim)(lim 2
1
*
0 nnnxxf
n
n
iiiP
6
1
2
2 )1( dxx
![Page 28: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/28.jpg)
Hitunglah dengan menggunakan definisi integral tentu
2
1)12()1 dxx
1
2
2 )23()2 dxx
![Page 29: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/29.jpg)
TEOREMA DASAR KALKULUSTEOREMAMisalkan f kontinu (shg f terintegralkan) pada
[a,b], dan misalkan F sebarang anti turunan dari f pada [a,b], maka
)()()( aFbFdxxfb
a
![Page 30: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/30.jpg)
Bukti Teorema dasar kalkulusDibuat partisi pada selang [a,b]
bxxxxa ni ......10
)()()()( 0xFxFaFbF n )()(...)()()()( 01211 xFxFxFxFxFxF nnnn
)]()([ 11
i
n
ii xFxF
![Page 31: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/31.jpg)
Bukti Teorema dasar kalkulus (lanjutan)
Menurut Teorema rata-rata pada turunanterdapat ],[ 1
*iii xxselangpadax
)).((')()( 1*
1 iiiii xxxFxFxFsehingga
ii xxf )( *
n
iii
n
iii xxfxFxFaFbFJadi
1
*
11 )(])()([)()(
![Page 32: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/32.jpg)
Bukti Teorema dasar kalkulus (lanjutan)
ii
n
iPPxxfaFbF
)(lim)]()([lim *
100
b
a
dxxfaFbF )()()(terbukti
![Page 33: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/33.jpg)
Teorema dasar kalkulusNotasiF(b) – F(a) =Contoh
baxF )(
71233)1()2(3 33
2
1
32
1
2
xFFdxx
![Page 34: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/34.jpg)
Dibuat partisi pada selang menjadi n selang bagian dengan panjang
],0[ n
xi
nix
nx
nxxx i
,2,,0 210
22 )(sin)(sin)(n
ixxf ii
![Page 35: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/35.jpg)
Soal 5.6 no 43.Menentukan Rumus Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau
sama dengan x
b
dxx0
x
![Page 36: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/36.jpg)
Soal 5.6 no 43.Menentukan Rumus
b
b
1 2 3 4 b b -1
b
dxx0
![Page 37: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/37.jpg)
Soal 5.6 no 43.Menentukan Rumus
b b
b b
Luas = {b - }( ) b
b
dxx0
![Page 38: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/38.jpg)
Soal 5.6 no 43.Menentukan Rumus
bbbbdxxb
)()1(...3210
bbbbb
2
)1(
b
dxx0
![Page 39: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/39.jpg)
Contoh: Hitunglah
2,3
3
3
2
2
1
1
0
2,3
03210 dxdxdxdxdxx
dxx2,3
0
2,333210 x 6,3
2,3)2,32,3(2
2,3)(12,3(2,3
0
x
rumusDengan
6,3)3)(32,3(2
)3)(13(
![Page 40: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/40.jpg)
SIFAT-SIFAT INTEGRALTEOREMA A: PENAMBAHAN SELANG Jika f terintegralkan pada suatu selang
yang mengandung tiga titik a, b, dan c, maka
bagaimanapun urutan dari a, b, dan cContoh
c
b
b
a
c
adxxfdxxfdxxf )()()(
5
6
6
2
5
4
4
2
5
2
22
222
xdxxdxatau
xdxxdxxdx
![Page 41: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/41.jpg)
SIFAT-SIFAT INTEGRALTEOREMA B: PEMBANDINGANJika f dan g terintegralkan pada [a , b] dan
jika f(x) g(x) untuk semua x dalam [a,b]Maka
b
a
b
adxxgdxxf )()(
![Page 42: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/42.jpg)
SIFAT-SIFAT INTEGRALTEOREMA C: KETERBATASANJika f terintegralkan pada [a , b] dan jikam f(x) M untuk semua x dalam [a,b]Maka
)()()( abMdxxfabmb
a
![Page 43: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/43.jpg)
SIFAT-SIFAT INTEGRALTEOREMA D: PENDIFERENSIALAN INTEGRAL TENTU
Andaikan f kontinu pada selang tertutup [a , b] dan x titik dalam (a , b)Maka
Carilah dengan dua cara
)()( xfdttfDx
ax
x
x dttD2
)1(
![Page 44: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/44.jpg)
jawab Cara I
Jadi
x
x dttD2
)1(
421]
21[)1( 2
22
2 xxttdtt x
x
1]421[ 2 xxxDx
x
x dttD2
)1( 1x
![Page 45: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/45.jpg)
jawab Cara II dengan teorema D
x
x dttD2
)1(
x
x dttD2
)1( 1x
![Page 46: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/46.jpg)
Soal 1: tentukan JawabTeorema D hanya berlaku untuk variabel
batas yang linearMisalkan ,Menurut aturan rantai
2xu
]12[2
0dttD
x
x
dttDx
x 2
012[ )(].12[ 2
0xDdttD x
u
u
dttyu
0
12
uDyDyD xux .
![Page 47: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/47.jpg)
Soal 2: tentukan Jawab
Misal
])(sin[2
3 dttDxx
xx
])(sin[2
3 dttDxx
xx
])(sin)(sin[2
0
30
3 dttdttDxx
xx
])(sin)(sin[2
0
3
0
3 dttdttDxxx
x
)(].)(sin[])(sin[ 2
0
32
0
3 xxDdttDdttD x
u
u
xx
x
xxu 2
![Page 48: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/48.jpg)
)(].)(sin[])(sin[ 2
0
32
0
3 xxDdttDdttD x
u
u
xx
x
)(sin)12(
)12().(sin23
3
xxx
xu
Jadi
])(sin[2
3 dttDxx
xx
)(sin)12()(sin 233 xxxx
![Page 49: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/49.jpg)
Bentuk Substitusi hasil22 xa tax sin tacos
tax tan22 xa tasec
22 ax tax sec ta tan
![Page 50: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/50.jpg)
Contoh 1. dxx225
![Page 51: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/51.jpg)
SUBSTITUSI YANG MERASIONALKAN
Bentuk Substitusi•
22 xa
![Page 52: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/52.jpg)
PENGINTEGRALAN PARSIAL (548)
Metode ini didasarkan pada rumus turunan hasilkali dua fungsi
Misalkan )()( xvvxuu
)(')(' xvdxdvxu
dxdu
dxxvdvdxxudu )(')('
)(')()(')())()(( xvxuxuxvdx
xvxud
![Page 53: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/53.jpg)
dxxvxudxxuxvxvxud )(')()(')())()(( udvvduuvd )(
udvvduuvd )(
udvvduuv
vduuvudv
![Page 54: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/54.jpg)
Contohdxxln
vduuvudv
dxdvxuMisal ln
xvdxx
du 1
dxx
xxxdxx 1.lnln
Cxxxdxx lnln
![Page 55: Bahan Ajar Kalk Integral.pptx](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022020213/58775a2f1a28abd8418b99cd/html5/thumbnails/55.jpg)