Download - Babi Smpvii 1
1
Bilangan Bulat
1.1 Bilangan Bulat dan Lambangnya
Pada tingkat Sekolah Dasar, telah dipelajari beberapa jenis bilangan seperti:Bilangan Cacah: 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya
Bilangan Asli: 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya.
Namun, pada kenyataannya kedua jenis bilangan tersebut belum dapat menampung suatu bilangan yang sering dipakai untuk menyatakan ketinggian tempat di bawah permukaan laut (di bawah 0 km), suhu yang sangat dingin (di bawah 0) yang disebut sebagai Bilangan Bulat Negatif.
Jadi, Bilangan Bulat adalah semua bilangan baik yang di atas 0 maupun yang di bawah 0 : ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
1.1.1 Bilangan Bulat Negatif
Bilangan bulat negatif untuk menyatakan angka di bawah 0, seperti suhu di bawah 0 dan letak di bawah permukaan laut 0 km.
Contoh:Kota A terletak 50 km di bawah permukaan laut, maka ditulis -40 km.
Suhu udara di kota B ketika musim dingin mencapai 5C di bawah 0C, maka ditulis -5C.
Pada garis bilangan, letak bilangan bulat negatif adalah di sebelah kiri 0.
Perhatikan gambar berikut ini:
Bilangan bulat negatif
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
1.1.2 Bilangan Bulat Positif
Bilangan bulat positif untuk menyatakan angka di atas 0. seperti suhu di atas 0 dan letak di atas permukaan laut 0 km.
Contoh:Kota B terletak 150 km di atas permukaan laut, maka ditulis 150 km.
Suhu udara di kota A ketika musim panas mencapai 25C di atas 0C, maka ditulis 25C.
Pada garis bilangan, letak bilangan bulat positif adalah di sebelah kanan 0.
Perhatikan gambar berikut ini:
Bilangan bulat positif
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
1.1.3 Menyatakan Hubungan antara Dua Bilangan Bulat
Dengan memperhatikan garis bilangan bulat yang telah kita pelajari sebelumnya, dapat disimpulkan mengenai hubungan antara dua bilangan bulat sebagai berikut:
Jika suatu bilangan a terletak di sebelah kanan b a > b.
Jika suatu bilangan a terletak di sebelah kiri b a < b.
dan jika ...
a < 0 a bilangan bulat negatif dan Jika a > 0 a bilangan bulat positif
Contoh:
Di antara bilangan -2 dan -5, manakah yang lebih tinggi?Jawab:Pada garis bilangan, -2 terletak di sebelah kanan -5, maka bilangan yang lebih tinggi adalah -5.
Sisipkanlah lambang > atau < di antara pasangan bilangan berikut agar menjadi kalimat benar.-5 dan 3
-8 dan -10
Jawab:Pada garis bilangan, -5 terletak di sebelah kiri 3, maka -5 < 3.Pada garis bilangan, -8 terletak di sebelah kanan -10, maka -8 > -10.
Susunlah deretan bilangan -15, 6, -3 dalam urutan naik, dan sisipkan lambang < sehingga menjadi kalimat benar.Jawab:Bilangan yang terkecil = -15. Bilangan yang terbesar = 6.Deretan bilangan dalam urutan naik: -15, -3, 6 -15 < -3 < 6.
Latihan 1
Kedalaman suatu benda yang tenggelam setelah diukur menunjukkan angka 25 meter di bawah permukaan laut.Bagaimana seharusnya kamu menuliskannya?
Bagaimana pula kamu menuliskan letak suatu kota yang berada di dataran tinggi sekitar 25 km di atas permukaan laut?
Apa artinya kalau kita menuliskan:
-15C
35C
Suhu di suatu kedalaman lautan menunjukkan -5C. Berapakah suhu di kota tersebut bila:
Naik 7C
Turun 2C
Kalau +20 km berarti 20 km ke sebelah Utara suatu tempat, apakah artinya -20 km?
Suhu suatu ruangan yang mempergunakan AC tercatat 15C. Suhu di ruang tempat penyimpanan daging 25C lebih rendah dari ruang yang menggunakan AC tersebut. Berapa suhu di ruang penyimpanan daging?
Gunakan garis bilangan untuk menunjukkan tempat kedudukan tiap-tiap pasangan bilangan berikut ini dengan memberikan noktah, kemudian tentukan hubungannya:
-4 dan -6
5 dan -3
-10 dan -8
Dari pasangan bilangan berikut ini, manakah yang lebih tinggi?
-2 dan 1
-1 dan -2
6 dan 8
0 dan -3
Sisipkanlah lambang < atau > di antara pasangan-pasangan bilangan berikut ini agar menjadi kalimat yang benar:
21 ......... 25
-17 ......... -19
-25 ......... 0
1 ......... -1
Nyatakan kalimat-kalimat berikut ini benar atau salah:
-20 > -21 ( ... )
43 < -45 ( ... )
-50 > 0 ( ... )
21 > 23 ( ... )
Susunlah deretan bilangan berikut ini menurut urutan naik, dan sisipkan lambang < sehingga menjadi kalimat yang benar:
-23, -35, -47
0, -12, 13
54, 67, 32
-10, 7, -19
Susunlah deretan bilangan berikut ini menurut urutan turun, sisipkan lambang > sehingga menjadi kalimat yang benar:
45, 98, 67
61, -54, 36
-74, 43, -66
-48, -91, -52
1.2 Penjumlahan
1.2.1 Penjumlahan Bilangan Bulat
Cara menghitung penjumlahan bilangan bulat dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu:Dengan mistar hitung
Dengan garis bilangan
Contoh:
-3 + 6 = 3
Dengan mistar hitungLetakkan titik 0 pada mistar hitung kedua bersesuaian letaknya dengan titik -3 pada mistar hitung pertama.Bilangan pada mistar hitung kedua yang bersesuaian dengan titik 6 pada mistar hitung kedua, yaitu 3, merupakan hasil dari -3 + 6.
6
Mistar hitung kedua
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4
-5
-6
-7
Mistar hitung pertama
-3
Dengan garis bilangan
6
-3
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
3
6
Dengan garis bilangan
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-5 + 3 = -2
Dengan mistar hitungLetakkan titik 0 pada mistar hitung kedua bersesuaian letaknya dengan titik -5 pada mistar hitung pertama.Bilangan pada mistar hitung kedua yang bersesuaian dengan titik 3 pada mistar hitung kedua, yaitu -2, merupakan hasil dari -5 + 3.
3
Mistar hitung kedua
-3
-2
-1
0
1
2
5
4
3
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
Mistar hitung pertama
-5
Dengan garis bilangan
3
-5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-2
3
Dengan garis bilangan
-5
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
(-5) + (-2) = -7
Dengan mistar hitungLetakkan titik 0 pada mistar hitung kedua bersesuaian letaknya dengan titik -5 pada mistar hitung pertama.Bilangan pada mistar hitung kedua yang bersesuaian dengan titik -2 pada mistar hitung kedua, yaitu -7, merupakan hasil dari -5 + (-2).
-2
Mistar hitung kedua
-3
-2
-1
0
1
2
3
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-9
Mistar hitung pertama
-5
Dengan garis bilangan
-2
-5
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-7
Dengan garis bilangan
-5
-2
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Dengan memahami tiga bentuk penjumlahan di atas yang telah ditunjukkan dengan Mistar Hitung dan Garis Bilangan, maka dapat disimpulkan bahwa pada penjumlahan bilangan bulat berlaku ketentuan sebagai berikut:
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b berlaku:-a + (-b) -= -(a + b)
-a + b= -(a b) jika a > b
-a + b = b a jika a < b
Contoh:
Hitunglah penjumlahan bilangan bulat berikut ini:-52 + 75
-125 + (-43)
80 + (-117)
-90 + (-53) + (-27)
-17 + 49 + (-63)
-35 + (-29) + 98
Jawab:-52 + 75 = 75 52 (52 < 75) = 23
-(125 + 43) = -168
80 + (-117) = -(117 80) (117 > 80) = -37
-90 + (-53) + (-27) = -(90 + 53 + 27) = -170
-17 + 49 + (-63) = (-17 + 49) + (-63) = 32 + (-63) = -31
-35 + (-29) + 98 = -(35 + 29) + 98 = -64 + 98 = 34
Latihan 2
Dengan menggunakan mistar hitung sederhana, tentukan hasil penjumlahan berikut ini:
7 + 3
-7 + 5
4 + (-6)
(-3) + (-4)
Pergunakan garis bilangan untuk menghitung hasil penjumlahan berikut ini:
9 + (-5)
5 + 6
-4 + 2
(-5) + (-3)
Hitunglah penjumlahan berikut ini tanpa menggunakan alat bantu:
17 + 9
-19 + 39
20 + (-28)
-35 + (-43)
15 + 6 + 27
21 + 33 + (-45)
-37 + 20 + (-44)
-22 + (-15) + (-13)
-50 + (-17) + 23
25 + (-15) + 30
Tentukan pengganti x, sehingga kalimat matematika berikut ini menjadi benar:
x + 7 = 11
x + (-6) = 2
-4 + x = -8
-x + (-5) = 2
x + 15 = 3
-x + (-2) = -10
Tabel berikut menunjukkan hubungan antara waktu dan suhu (dalam derajat Celcius) pada suatu hari di daratan Eropa. Salin dan lengkapilah setelah kamu membaca keterangan-keterangan dibawahnya.
Waktu06.0009.0012.0015.0018.0021.00
Suhu-8...............
Dari pukul 06.00 sampai dengan pukul 09.00 suhu naik 8.
Dari pukul 09.00 sampai dengan pukul 12.00 suhu naik 12.
Dari pukul 12.00 sampai dengan pukul 15.00 suhu naik 5.
Dari pukul 15.00 sampai dengan pukul 18.00 suhu turun 6.
Dari pukul 18.00 sampai dengan pukul 21.00 suhu turun 14.
1.2.2 Sifat-Sifat Penjumlahan pada Bilangan Bulat
Sifat Komutatif (Pertukaran)
Untuk lebih jelasnya, perhatikan Tabel Penjumlahan sebagian bilangan bulat berikut ini:Bilangan kedua
Kolom 1
2
3
4
5
6
7
Baris kedua
Baris ketiga
Baris keempat
Baris ketujuh
Baris pertama
+-3-2-10123
-3-6-5-4-3-2-10
Bilangan pertama
-2-5-4-3-2-101
-1-4-3-2-1012
0-3-2-10123
Baris kelima
Baris keenam
1-2-101234
2-1012345
30123456
Dengan memperhatikan tabel di atas, terutama bilangan-bilangan yang terletak pada diagonal utama yaitu bilangan-bilangan yang berada pada kolom yang diberi warna . Dapat dilihat bahwa letak bilangan-bilangan lain dalam tabel tersebut simetris terhadap diagonal utama.
Beberapa bilangan tersebut adalah bilangan-bilangan yang terletak pada kolom yang diberi warna . Bilangan-bilangan tersebut adalah: -5, -2, 0, 2, dan 4 yang dinyatakan dalam operasi penjumlahan berikut ini:
-2 + (-3) = -3 + (-2) = -50 + (-2) = -2 + 0 = -22 + (-2) = -2 + 2 = 03 + (-1) = -1 + 3 = 23 + 1 = 1 + 3 = 4
Dari operasi penjumlahan di atas dapat dilihar bahwa hasil penjumlahan dua bilangan bulat selalu memperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut bertukar tempat.
Atau ...
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, selalu berlaku:a + b = b + a Sifat Komutatif (Pertukaran)
Unsur Identitas pada Penjumlahan
Perhatikan bilangan pada Tabel Penjumlahan di atas, khususnya yang berada pada Baris dan Kolom ke-4 yang merupakan penjumlahan bilangan dengan 0.
Pada Baris ke-4Pada Kolom ke-40 + (-3) = -3-3 + 0 = -30 + (-2) = -2-2 + 0 = -2Pada Baris ke-4Pada Kolom ke-40 + (-1) = -1-1 + 0 = -10 + 0 = 00 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 10 + 2 = 22 + 0 = 20 + 3 = 33 + 0 = 3
Dari hasil tersebut dapat dilihat bahwa bilangan-bilangan tersebut bila dijumlahkan dengan 0 menghasilkan bilangan-bilangan itu sendiri meskipun bertukar tempat. Sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut:
Untuk semua bilangan bulat a, selalu berlaku:a + 0 = 0 + a = a0 disebut unsur identitas (netral) pada penjumlahan
Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku:(a + b) + c = a + (b + c) Sifat Asosiatif (Pengelompokkan)
Perhatikan contoh-contoh berikut ini:(-3 + 5) + 2 = 2 + 2 = 4-3 + (5 + 2) = -3 + 7 = 4Jadi, (-3 + 5) + 2 = -3 + (5 + 2)
[-20 + (-5)] + (-15) = (-25) + (-15) = -40-20 + [(-5) + (-15)] = -20 + (-20) = -40Jadi, [-20 + (-5)] + (-15) = -20 + [(-5) + (-15)]
[-4 + (-6)] + 8 = -10 + 8 = -2-4 + [(-6) + 8] = -4 + 2 = -2Jadi, [-4 + (-6)] + 8 = -4 + [(-6) + 8]
Sifat Tertutup
Perhatikan contoh-contoh berikut ini:-22 + (-13) = -45-22 dan -13 adalah bilangan bulat-35 juga bilangan bulat
-15 + 25 = 10-15 dan 25 adalah bilangan bulat10 juga bilangan bulat
7 + (-16) = -97 dan -16 adalah bilangan bulat-9 juga bilangan bulat
Dari contoh-contoh tersebut dapat disimpulkan bahwa:
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b,jika a + b = c, maka c juga bilangan bulat.Sifat ini disebut Sifat Tertutuppada penjumlahan bilangan bulat.
Latihan 3
Tentukan hasil penjumlahan bilangan-bilangan berikut ini:-17 + 8 dan 8 + (-17)
-35 + (-15) dan -15 + (-35)
27 + (-22) dan -22 + 27
Dengan memperhatikan jawaban soal-soal di atas, sifat apakah yang berlaku?
Tentukan hasil penjumlahan bilangan-bilangan berikut:
(-23 + 13) + (-10)
[(-35) + (-15)] + 9
-17 + (14 + 8)
12 + [(-19) + (-6)]
Salin dan lengkapilah tabel penjumlahan berikut ini:
Bilangan kedua
+-5-4-3-2-101
-5
-4Bilangan pertama
-3
-2
-1
0
1
Bilangan-bilangan manakah yang terletak pada diagonal utama?
Simetris terhadap apakah hasil-hasil penjumlahan pada tabel di atas?
Dengan menggunakan jawaban b, sifat manakah yang berlaku?
Berilah contoh untuk sifat jawaban c.
Hitunglah penjumlahan bilangan bulat berikut ini:[13 + (-9)] + (-15) dan 13 + [(-9) + (-15)]
17 + [(-12) + 20] dan [17 + (-12)] + 20
-22 + [(-33) + (-10)] dan [(-22) + (-33)] + (-10)
Dengan memperhatikan penjumlahan-penjumlahan di atas beserta jawabannya, sifat apakah yang berlaku?
Dengan menggunakan Tabel Penjumlahan pada nomor 3, tentukan pengganti x untuk soal-soal berikut ini sehingga menjadi kalimat yang benar:
-1 + x = -6
x + (-3) = -8
-x + 1 = -4
-4 + x = -9
Dalam suatu permainan ditentukan nilai tertinggi adalah 200 dan dimungkinkan seseorang memperoleh nilai negatif. Dalam 5 kali permainan, seorang anak memperoleh nilai sebagai berikut: -50, -75, 150, 100, dan -25. Hitung jumlah nilai anak tersebut!
Dalam suatu ujian dengan jumlah soal 100, nilai ditetapkan sebagai berikut:
untuk jawaban yang benar diberi nilai 4.
untuk jawaban yang salah diberi nilai -1.
untuk soal yang tidak dijawab diberi nilai 0.
Seorang siswa menjawab soal dengan benar sebanyak 86 soal dan salah sebanyak 12 soal. Berapa nilai siswa tersebut?
Siswa yang lain menjawab dengan benar sebanyak 60 soal dan salah sebanyak 40 soal. Berapa nilai siswa tersebut?
Dalam suatu tes, jawaban yang benar diberi nilai 3, yang salah diberi nilai -1, dan yang tidak dijawab diberi nilai 0. Jika banyak soal tes 50 soal, tentukan:nilai terbaik yang mungkin dicapai.
nilai terburuk yang mungkin diperoleh.
1.2.3 Invers Jumlah atau Lawan Suatu Bilangan
Perhatikan garis bilangan berikut ini:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Dari garis bilangan tersebut dapat dilihat bahwa setiap bilangan memiliki pasangan dengan tanda yang berbeda, yaitu:4 dan -43 dan -32 dan -21 dan -1
Sehingga dapat disimpulkan bahwa:
Lawan (invers jumlah) dari a adalah -aLawan (invers jumlah) dari -a adalah a
Untuk selanjutnya perhatikan penjumlahan-penjumlahan bilangan bulat berikut ini:
4 + (-4) = 0
3 + (-3) = 0
-2 + 2 = 0
-1 + 1 = 0
Ternyata hasil penjumlahan dari kedua bilangan yang saling berpasangan tersebut adalah 0.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa:
Untuk sembarang bilangan bulat a berlaku:a + (-a) = -a + a = 0
Latihan 4
Tulislah lawan dari bilangan bulat berikut ini:
11
23
-45
-76
p
-q
Lengkapilah soal-soal berikut sehingga menjadi kalimat yang benar:
18 + (-18) = ...
-51 + 51 = ...
b + (-b) = ...
-c + c = ...
Salin dan lengkapilah soal-soal berikut ini sehingga menjadi kalimat yang benar:
5 + ... = 0
-14 + ... = 0
-x + ... = 0
... + (-n) = 0
Tentukanlah nilai m, jika m adalah bilangan bulat:
-16 + 23 + m = 0
(-14) + m + (-10) = 0
7 + (-15) + m = 0
m + (-20) + 30 = 0
1.3 Pengurangan
1.3.1 Pengurangan Bilangan Bulat
Perhatikan hubungan antar bilangan bulat yang dinyatakan dalam contoh berikut ini:Bilangan berapakah jika ditambah 5 sama dengan 8?Jawabannya adalah 3.Jawaban diperoleh dengan cara perhitungan sebagai berikut:8 5 = 3.
Dan bila diperhatikan di garis bilangan berikut ini:
8
-5
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
3
maka, 8 5 = 8 + (-5) = 3
Bilangan berapakah jika ditambah -2 sama dengan 4?Jawabannya adalah 6.Jawaban diperoleh dengan cara perhitungan sebagai berikut:4 - (-2) = 6.Dan bila diperhatikan di garis bilangan berikut ini:
4
2
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
6
maka, 4 (-2) = 4 + 2 = 6
Dengan memperhatikan contoh-contoh tersebut di atas, maka dapat disimpulkan bahwa pada pengurangan bilangan bulat berlaku hubungan seperti yang disebutkan di bawah ini:
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku:a b = a + (-b)
Pada pengurangan bilangan bulat hanya berlaku Sifat Tertutup seperti pada penjumlahan bilangan bulat.
Latihan 5
Salin dan lengkapilah soal-soal berikut ini:
11 9 = 11 + ......... = .........
-7 13 = .......... + ......... = .........
4 - (-8) = 4 + ......... = .........
-15 - (-6) = ......... + ......... = .........
Dengan mengubah pengurangan menjadi penjumlahan, hitunglah setiap pengurangan berikut ini:
9 12
-11 16
7 - (-1)
18 9
-20 15
35 - (-20)
Hitunglah pengurangan-pengurangan berikut ini:
5 2 dan 2 5
-4 6 dan -6 4
15 - (-7) dan -7 15
-9 - (-11) dan 11 - (-9)
Bila p dan q sembarang bilangan bulat, apakah p q = q p? Sifat apakah yang tidak berlaku?
Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ini:
7 10 + 5
11 8 - (-3)
10 + (-5) + (-12)
-6 + 5 + (-7)
-21 - (-32) - (-5)
-2 6 + 15
Hitunglah pengurangan-pengurangan berikut ini:(9 5) 3 dan 9 (5 3)
(-4 3) 6 dan -4 (3 6)
[-12 - (-8)] 2 dan -12 - [(-8) - (-2)]
(4 2) - (-5) dan 4 [2 - (-5)]
[10 - (-5)] - (-25) dan 10 - [(-5) - (-25)]
Bila p, q, dan r sembarang bilangan bulat, apakah (p q) r = p (q r)? Sifat apakah yang tidak berlaku?
Jika n adalah bilangan bulat, tentukan nilai y agar menjadi kalimat yang benar:
4 + n = 2
n + (-3) = (-4)
-n + 7 = -3
-5 n = 6
Suhu suatu kamar pendingin mula-mula 2C di bawah nol, kemudian diturunkan 20C. Berapa suhu kamar pendingin itu sekarang?
Tinggi kota A adalah 1.258 m di atas permukaan laut, sedangkan tinggi kota B adalah 2.468 m di bawah permukaan laut. Hitunglah berapa perbedaan tinggi kedua kota itu!
Kecepatan perahu motor pada air yang tenang adalah 25 km/jam. Bila perahu bergerak pada sungai yang kecepatan arusnya 5 km/jam, hitunglah:Kecepatan perahu motor jika bergerak mengikuti arus air sungai.
Kecepatan perahu motor jika bergerak melawan arus air sungai.
Tinggi tempat-tempat A, B, dan C berturut-turut adalah 115 m, -45 m, dan -20 m dari permukaan laut. Berapa meter selisih tinggi kota berikut ini:
A dari B
B dari C
A dari C
1.4 Perkalian
1.4.1 Perkalian Bilangan Bulat Positif dan Negatif
Arti perkalian pada bilangan cacah adalah sebagai berikut:2 x 4 berarti ada dua empatan, yaitu:
2 x 4 = 4 + 4 (bukan 2 + 2 + 2 + 2) = 8
4 x 6 berarti ada empat enaman, yaitu:4 x 6 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24
Arti perkalian seperti di atas dapat digunakan untuk menentukan perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif berikut ini:1 x (-5) = -5
2 x (-5) = (-5) + (-5) = -10
3 x (-5) = (-5) + (-5) + (-5) = -15
4 x (-5) = (-5) + (-5) + (-5) + (-5) = -20
Dari contoh-contoh tersebut dapat disimpulkan bahwa:
Hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatifadalah bilangan bulat negatif a x (-b) = -ab
Contoh:
-3 x 7 = -21
10 x (-5) = -50
8 x (-2 x 4) = 8 x (-8) = -64
-9 x [22 + (-17)] = -9 x 5 = -45
13 x (-14 + 10) = 13 x (-4) = -52
[15 x (-2)] x 4 = -30 x 4 = -120
Perkalian antara bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif...Untuk selanjutnya, perhatikan tabel perkalian bilangan bulat dengan pasangannya berikut ini:Bilangan kedua
x3210-1-2-3
Bilangan pertama
39630-3-6-9
26420-2-4-6
13210-1-2-3
Baris ke-5
00000000
-1-3-2-1012Baris ke-6
3
Baris ke-7
-2-6-4-20246
-3-9-6-30369
Perhatikan baris dan kolom yang diberi warna ungu:Baris ke-5 : -1 x 3 = -3-1 x 2 = -1-1 x 1 = -1
Baris ke-6 : -2 x 3 = -6-2 x 2 = -4-2 x 1 = -2
Baris ke-7 : -3 x 3 = -9-3 x 2 = -6-3 x 1 = -3
Dari hasil perkalian seperti yang telah dijabarkan di atas, diperoleh tanda hasil perkalian adalah negatif, sehingga dapat disimpulkan bahwa:
Hasil perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positifadalah bilangan bulat negatif -a x b = -ab
Contoh:
-5 x 6 = -30
(-8 x 4) x 5 = -32 x 5 = -160
9 x [(-7) x 1] = 9 x (-7) = -63
-25 x (-8 + 16) = -25 x 8 = -200
[50 + (-35)] x (-4) = 15 x (-4) = -60
1.4.2 Perkalian Bilangan Bulat Negatif dan Negatif
Perhatikan Tabel Perkalian Bilangan Bulat berikut ini:Bilangan kedua
x3210-1-2-3
Bilangan pertama
39630-3-6-9
26420-2-4-6
13210-1-2-3
Baris ke-5
00000000
Baris ke-6
-1-3-2-10123
Baris ke-7
-2-6-4-20246
-3-9-6-30369
Perhatikan baris dan kolom yang diberi warna ungu:Baris ke-5 : -1 x (-1) = 1-2 x (-1) = 2-3 x (-1) = 3
Baris ke-6 : -1 x (-2) = 2-2 x (-2) = 4-3 x (-2) = 6
Baris ke-7 : -1 x (-3) = 3-2 x (-3) = 6-3 x (-3) = 9
Dari hasil perkalian seperti yang telah dijabarkan di atas, diperoleh tanda hasil perkalian adalah positif, sehingga dapat disimpulkan bahwa:
Hasil perkalian antarabilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatifadalah bilangan bulat positif -a x (-b) = ab
Contoh:
-7 x (-6) = 42
(-8 x 5) x (-2) = -40 x (-2) = 80
-11 x [(-5) + 2] = -11 x (-3) = 33
(-13 + 9) x (-17) = (-4) x (-17) = 68
1.4.3 Perkalian Bilangan Bulat dengan 0 dan 1
a. Perkalian Bilangan Bulat dengan 0Perhatikan Tabel Perkalian Bilangan Bulat berikut ini:Bilangan kedua
x3210-1-2-3
Bilangan pertama
39630-3-6-9
26420-2-4-6
13210-1-2-3
00000000
-1-3-2-10123
-2-6-4-20246
-3-9-6-30369
Perhatikan baris dan kolom yang diarsir warna abu-abu, baris dan kolom tersebut menunjukkan hasil perkalian bilangan bulat dengan 0 atau 0 dengan bilangan bulat. Dari baris dan kolom tersebut dapat dilihat hasilnya adalah 0. Sehingga disimpulkan bahwa:
Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku:a x 0 = 0 x a = 0
b. Perkalian Bilangan Bulat dengan 1Perhatikan Tabel Perkalian Bilangan Bulat sebelumnya. Lihat baris dan kolom yang diarsir warna kuning. Baris dan kolom tersebut menunjukkan hasil perkalian antara bilangan bulat dengan 1 atau sebaliknya. Baris dan kolom tersebut menunjukkan bahwa hasil kalinya adalah bilangan bulat itu sendiri.
Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku:a x 1 = 1 x a = a 1 adalah unsur identitas(unsur netral) dalam perkalian.
Latihan 6
Hitunglah perkalian-perkalian berikut ini:
-5 x 12
-11 x (-13)
9 x (-7)
18 x 7
Tentukan pengganti huruf-huruf berikut sehingga menjadi kalimat yang benar!
y x (-9) = 72
r x (-7) = -56
8 x s = -64
m x 5 = -40
-4 x n = 36
-9 x p = -18
Hitunglah perkalian-perkalian berikut ini:
[3 x (-8)] x (-2)
4 x (-7 x 5)
-11 x [-5 x (-4)]
(-9 x 2) x 6
-15 x (7 x 2)
(-12 x 4) x (-10)
Hitunglah:
-9 x (10 + 7)
(-7 + 18) x (-5)
[-8 - (-12)] x 5
-3 x [-6 + (-4) - (-3)]
[7 + (-5)] x (-6)
(-9 x 8) x [-4 + 4 - (-5)]
[4 - (-2) + 4] x 10
-6 x (-5) + (-7 x 8)
Tentukan nilai x, jika x adalah peubah pada himpunan bilangan bulat!
5x = -10
-3x = -135
-15x = 0
19x = 38
-12x = 96
10x = 0
1.5 Pembagian
1.5.1 Pembagian sebagai Operasi Kebalikan dari Perkalian
Dalam latihan sebelumnya terdapat bentuk soal sebagai berikut:
Tentukan nilai m, bila m x 9 = 63!
Ketika kita melihat bentuk soal seperti itu, pasti yang ada dalam pikiran kita adalah:Bilangan berapa yang dikalikan 9 menghasilkan 63?
Atau yang paling sederhana adalah:Lawan dari kali adalah bagi, berarti berapakah hasil dari 63 : 9?
Dari pemikiran di atas dapat disimpulkan beberapa hal, yaitu:Untuk menjawab soal di atas dapat dilakukan dengan dua cara yaitu perkalian dan pembagian.
Hasil dari 63 : 9 sama dengan hasil dari menentukan bilangan yang dikalikan 9 menghasilkan 63.
Atau dalam kalimat matematikanya dapat ditulis sebagai berikut:
63 : 9 = 7 7 x 9 = 63
Sehingga dapat disimpulkan bahwa:
Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalianatau disebut juga Invers Perkalian. Dan untuk semua bilangan bulat a, b, dan c, berlaku:a : b = c c x b = a
Contoh:
60 : 15 = 4 4 x 15 = 60
120 : x = 24 24x = 120 x = 120 : 24 = 5
y : 16 = 6 6 x 16 = y y = 96
1.5.2 Pembagian Bilangan Bulat
a. Pembagian Bilangan Bulat Positif dan Bilangan Bulat NegatifKarena pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian, untuk pembagian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif maka perhatikan beberapa contoh berikut ini:
-8 : 4 = ...Bilangan yang dikalikan 4 sama dengan -8 adalah -2.Karena -2 x 4 = -8 -8 : 4 = -2
-15 : 3 = ...Bilangan yang dikalikan 3 sama dengan -15 adalah -5.Karena -5 x 3 = -15 -15 : 3 = -5
Dengan melihat pada contoh di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut:
Bilangan bulat negatif dibagi dengan bilangan bulat positifmenghasilkan bilangan bulat negatif.
Sedangkan untuk pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, perhatikan contoh-contoh berikut ini:
24 : (-3) = b b x (-3) = 24Pengganti b yang benar adalah -8, sebab -8 x (-3) = 24.Jadi, 24 : (-3) = -8.
36 : (-9) = b b x (-9) = 36Pengganti b yang benar adalah -4, sebab -4 x (-9) = 36.Jadi, 36 : (-9) = -4.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa:
Bilangan bulat positif dibagi dengan bilangan bulat negatifmenghasilkan bilangan bulat negatif.
b. Pembagian Bilangan Bulat Negatif dan Bilangan Bulat NegatifUntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini:
-21 : (-7) = c c x (-7) = -21 c = 3, karena 3 x (-7) = -21Jadi, -21 : (-7) = 3
-39 : (-3) = c c x (-3) = -39 c = 13, karena 13 x (-3) = -39Jadi, -39 : (-3) = 13
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa:
Bilangan bulat negatif dibagi dengan bilangan bulat negatifmenghasilkan bilangan bulat positif.
1.5.3 Pembagian dengan Nol
Perhatikan contoh-contoh bentuk pembagian berikut ini:9 : 0 = ...Untuk menyelesaikan soal di atas, kita harus mengetahui bilangan berapa yang dikalikan dengan 0 sama dengan 9.Atau dengan kalimat matematikanya 9 : 0 = p p x 0 = 9.Tabel Perkalian pada halaman 29 dapat membantu kita.Dari tabel tersebut kita tidak dapat menemukan bilangan yang dikalikan 0 akan menghasilkan 9.
-10 : 0 = ...Sama dengan soal sebelumnya, kita harus mengetahui bilangan berapa yang dikalikan dengan 0 sama dengan -10.Atau dengan kalimat matematikanya -10 : 0 = p p x 0 = -10.Dari Tabel Perkalian yang sama, kita juga tidak dapat menemukan bilangan yang dikalikan 0 akan menghasilkan -10.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa tidak ada satupun pengganti p yang memenuhi p x 0 = q atau p x 0 = -q sehingga menjadi kalimat yang benar.
Atau ...Untuk sembarang bilangan bulat a, makaa : 0 tidak dapat terdefinisi
Lalu, bagaimana dengan pembagian bilangan bulat dengan 0?Perhatikan contoh berikut ini:Berapakah 0 : p? (p adalah sembarang bilangan bulat)Pertama-tama kita mengubah bentuk pembagian ke dalam bentuk perkalian, yaitu: bilangan bulat berapa yang bila dikalikan dengan p menghasilkan 0?
Kita bisa menggunakan Tabel Perkalian untuk membantu menjawab pertanyaan tersebut.
Dari tabel tersebut dapat dilihat bahwa semua bilangan bulat yang dikalikan dengan 0 akan menghasilkan 0.
Dengan demikian dapat disimpulkan:
Untuk sembarang bilangan bulat a, maka:0 : a = 0
Latihan 7
Tentukan hasil pembagian berikut ini:
-21 : 3
15 : (-5)
-54 : (-6)
100 : 0
-12 : 0
0 : -35
0 : 81
-84 : 12
Lengkapilah pembagian berikut ini, kemudian tulislah kalimat perkalian yang sama artinya dengan pembagian tersebut:-48 : 6 = ...... 6 x ...... = -48
-63 : (-9) = ...... -9 x ...... = -63
55 : (-11) = ....... -11 x ...... = 55
Hitunglah pembagian berikut ini:
[70 : (-7)] : (-5)
72 : (-18 : 9)
35 : [-14 : (-2)]
[-140 : (-4)] : (-7)
(180 : 5) : (-4)
-66 : (121 : 11)
-90 : [36 : (-2)]
-144 : (-72 : 6)
[45 : (-5)] : 3
[-50 : (-5)] : 10
Hitunglah pembagian-pembagian bilangan bulat berikut ini:
45 : 5
45 : 10
56 : (-7)
56 : (-20)
-81 : (-9)
-81 : (-40)
Apakah hasil pembagian bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat?Apakah operasi pembagian pada bilangan bulat memiliki sifat tertutup?
Hitunglah:(-24 : 6) : (-2) dan -24 : [6 : (-2)]
[40 : (-4)] : 2 dan 40 : (-4 : 2)
Jika a, b, dan c sembarang bilangan bulat, apakah (a : b) : c = a : (b : c)?Apakah sifat asosiatif berlaku pada operasi pembagian bilangan bulat?
1.6 Taksiran pada Bilangan Bulat
Taksiran berarti pendekatan atau mendekati. Taksiran bisa dilakukan pada: angka puluhan dan ratusan terdekat. (Lambang taksiran: ).
Aturan dalam taksiran:Bila angka satuan = 1 sampai dengan 4, maka pembulatan dilakukan ke bawah.
Bila angka satuan = 5 ke atas, maka pembulatan dilakukan ke atas.
Contoh:Lakukan pembulatan ke angka puluhan terdekat pada bilangan-bilangan berikut:
85
93
176
111
2.158
3.122
Lakukan pembulatan ke angka ratusan terdekat pada bilangan-bilangan berikut:
236
341
3.472
5.133
46.987
62.182
765.324
823.544
Jawab:Untuk pembulatan ke angka puluhan terdekat, lihat pada bilangan satuannya terlebih dahulu:85 angka satuannya 5 dibulatkan ke atas 85 90.
93 angka satuannya 3 dibulatkan ke bawah 93 90.
176 angka satuannya 6 dibulatkan ke atas 176 180.
111 angka satuannya 1 dibulatkan ke bawah 111 110.
2.158 angka satuannya 8 dibulatkan ke atas 2.158 2.160.
3.122 angka satuannya 2 dibulatkan ke bawah 3.122 3.120.
Untuk pembulatan ke angka ratusan terdekat, terlebih dahulu lihat pada bilangan satuannya terlebih dahulu, baru kemudian ke angka puluhan:236 angka satuannya 6 dibulatkan ke atas 240 angka puluhannya 4 dibulatkan ke bawah 236 200.
341 angka satuannya 1 dibulatkan ke bawah 340 angka puluhannya 4 dibulatkan ke bawah 341 300.
3.472 angka satuannya 2 dibulatkan ke bawah 3.470 angka puluhannya 7 dibulatkan ke bawah 3.472 3.500.
5.133 angka satuannya 3 dibulatkan ke bawah 5.130 angka puluhannya 3 dibulatkan ke bawah 5.133 5.100.
46.987 angka satuannya 7 dibulatkan ke atas 46.990 angka puluhannya 9 dibulatkan ke atas 46.987 47.000.
62.182 angka satuannya 2 dibulatkan ke bawah 62.180 angka puluhannya 8 dibulatkan ke atas 62.182 62.200.
765.324 angka satuannya 4 dibulatkan ke bawah 765.320 angka puluhannya 2 dibulatkan ke bawah 765.320 765.300.
823.544 angka satuannya 4 dibulatkan ke bawah 823.540 angka puluhannya 4 dibulatkan ke bawah 823.544 823.500.
Setelah kita mempelajari tentang taksiran, sekarang kita akan melihat bagaimana bila kita diminta menaksir hasil perkalian dan pembagian bilangan bulat.Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah melakukan taksiran terhadap masing-masing bilangan yang akan dikali atau dibagi.
Contoh ...
Tentukan hasil pendekatan taksiran hasil perkalian dan pembagian berikut ini ke angka puluhan terdekat:
28 x 32
125 x 47
243 : 58
719 : 123
Jawab:28 x 32 30 x 30 900
125 x 47 130 x 50 6.500
243 : 58 240 : 60 4
719 : 123 720 : 120 6
Tentukan hasil pendekatan taksiran hasil perkalian dan pembagian terdekat berikut ini ke angka ratusan terdekat:
148 x 238
324 x 387
1.618 : 176
2.085 : 737
Jawab:148 x 238 200 x 200 40.000
324 x 387 300 x 400 120.000
1.618 : 176 1.600 : 200 8
2.085 : 737 2.100 : 700 3
Latihan 8
Lakukan pendekatan ke angka puluhan terdekat pada bilangan-bilangan berikut:
92 ......
76 ......
225 ......
311 ......
1.289 ......
4.521 ......
21.025 ......
75.892 .......
327.566 ......
419.333 ......
Lakukan pendekatan ke angka ratusan terdekat pada bilangan-bilangan berikut:
236 ......
357 ......
2.432 ......
3.562 ......
22.764 ......
35.867 ......
127.544 ......
323.786 ......
Tentukan taksiran hasil perkalian dan pembagian berikut ini ke angka puluhan terdekat:
22 x 35 .........
133 x 56 .........
31 x 64 .........
248 x 52 .........
11 x 1.153 .........
1.749 : 52 .........
323 : 42 .........
419 : 67 .........
838 : 141 .........
956 : 161 .........
Tentukan taksiran hasil perkalian dan pembagian berikut ini ke angka ratusan terdekat:
251 x 431 .........
196 x 278 .........
379 x 123 .........
2.357 x 111 ........
3.154 x 236 .........
4.167 : 212 .........
5.613 : 787 .........
6.277 : 916 .........
12.533 : 467 .........
16.226 : 196 .........
1.7 Tanda Kurung dalam Operasi Hitung
Urutan dalam penggunaan tanda kurung dalam operasi hitung:
Tanda kurung kecil atau biasa ( )Tanda kurung kurawal { }Tanda kurung siku atau besar [ ]
Contoh:
Tentukan hasil dari perhitungan berikut ini:[{30 : (7 + 3)} x 8]
-6 x [-50 : {(28 + 72) : 4}]
[(4 9) x {-8 : (22 24)}]
[{16 x (-5 + 2)} + {(15 60) : (-9)}]
Jawab:[{30 : (7 + 3)} x 8] = (30 : 10) x 8 = 3 x 8 = 24
-6 x [-50 : {(28 + 72) : 4}] = -6 x {-50 : (100 : 4)} = -6 x (-50 : 25)= -6 x (-2) = 12
[(4 9) x {-8 : (22 24)}] = [-5 x {-8 : (-2)}] = -5 x 4 = -20
[{16 x (-5 + 2)} + {(15 60) : (-9)}] = [{16 x (-3)} + {-45 : (-9)}]= -48 + 5 = -43
Latihan 9
Perhatikan tanda kurung dalam menyelesaikan perhitungan berikut ini:[-7 x {40 : (-2 6)}]
[63 : {-3 x (33 30)}]
[25 {(45 : 15) x (-10)}]
[-125 : {225 : (-16 + 7)}]
[8 x {(-4 + 11) x (7 5)}]
[-20 x {(-16 + 7) : (9 6)}]
[-72 : {(-5 1) x (28 25)}]
[(-2 + 8) x {55 : (-6 5)}]
[(24 + 36) : {-6 x (-7 + 5)}]
5 x [70 - {(-21 9) : (-2)}]
-3 x [-20 + {(11 x 6) : (-28 5)}]
250 : [-25 x {(50 16) : (-17)}]
5 x [101 - {(-6 15) x (-7)}]
120 : [15 + {(26 31) x (-8 + 14)}]
-18 x [120 : (-28 +24) x (-17 + 11)}]
1.8 Pemangkatan pada Bilangan Bulat
1.8.1 Pengertian Pemangkatan Bilangan
Perhatikan contoh bentuk-bentuk pangkat berikut ini:152 = 15 x 15 = 225
(-9)3 = (-9) x (-9) x (-9) = -729
104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000
Dari contoh-contoh tersebut di atas, dapat disimpulkan bahwa bentuk umum bilangan berpangkat didefinisikan sebagai:
Matematika SMP - VII Bilangan BulatPage