Download - Bab1 Estimasi Bayes
Dr. Suparman, M.Si., DEA 1
Penaksir Bayes :
Misalkan n21 x,,x,x
menyatakan sampel random yg diambil dari suatu populasi dgn fgs kepadatan peluang
)x(f
dimana adalah parameter.
Jika )( menyatakan distribusi prior utk maka
Maka menurut Teorema Bayes, distribusi posterior utk
adalah
)x,,x,x( n21
d)()x,,x,x(f
)()x,,x,x(f
n21
n21
jika Kontinu dan
)x,,x,x( n21 )()x,,x,x(f
)()x,,x,x(f
n21
n21
jika diskrit.
Penaksir bayes untuk θ adalah mean distribusi posterior
Dr. Suparman, M.Si., DEA 2
Example :
Let x1 = 1, x2 = 2 be a random sample of size 2
from distribution with probability density
,)1(x3)x(f x3x
.3,2,1,0x
If the prior density of θ is
,2)( 121
a. What is the posterior distribution of θ
b. What is the Bayes estimation of θ
Answer :
)2x,1x( 21 a.
d)()2x,1x(f
)()2x,1x(f
21
21
)2x,1x(f 21
)x(f i2
1i
ii x3xi
2
1i
)1(x3
33 )1(23
13
33 )1(9
d)1(18
)1(18
331
33
21
Dr. Suparman, M.Si., DEA 3
)2x,1x( 21
d)1(18
)1(18
331
33
21
d)1(18 331
21
d)331(18 3231
21
d3318 65431
21
140
9
1409
33 )1(18
33 )1(280
Therefore, posterior distribution of θ is
)2x,1x( 21 ,)1(280 33 121
b. )2x,1x(Eˆ 21
d)1(280 331
21
Dr. Suparman, M.Si., DEA 4
b. )2x,1x(Eˆ 21
d)1(280 331
21
d)1(280 341
21
256
163
Therefore, Bayes estimation of θ is
256
163ˆ
Dr. Suparman, M.Si., DEA 5
Penaksir Bayes :
Misalkan n21 x,,x,x
menyatakan sampel random yg diambil dari suatu populasi dgn fgs kepadatan peluang
)x(f
dimana adalah parameter.
Jika )( menyatakan distribusi prior utk maka
Maka menurut Teorema Bayes, distribusi posterior utk
adalah
)x,,x,x( n21
d)()x,,x,x(f
)()x,,x,x(f
n21
n21
jika Kontinu dan
)x,,x,x( n21 )()x,,x,x(f
)()x,,x,x(f
n21
n21
jika diskrit.
Penaksir bayes untuk θ adalah mean distribusi posterior
Conjugate Prior
Dr. Suparman, M.Si., DEA 6
Notasi “” Notasi “” berarti sebanding dengan.
Contoh : 3x2)x(f
3x)x(f
4yx3)yx(f 4x)yx(f
4yx3)xy(f y)xy(f
!x
e)x(f
x
!x)x(f
x
x
1ex)(
1),x(f
x
1ex),x(f
11 )x1(x)()(
)(),x(f
11 )x1(x),x(f
xe)x(f xexf )(
Dr. Suparman, M.Si., DEA 7
)x,,x,x( n21
n
1i i
xn
!x
en
1i i b/1a
ae
)a(b
1
n1i i
xn
0!x
en
1i i
de)a(b
1 b/1a
a
n
1i ixneb/1a e )x,,x,x( n21
Dr. Suparman, M.Si., DEA 8
Contoh 4.30 hal 96 :
Dari suatu populasi yang berdistribusi Poisson, diambil sampel random x1 , x2 , ….., xn . Misalkan bahwa distribusi prior untuk parameter θ adalah distribusi gamma dengan parameter a dan b. Tentukan : a. Distribusi posterior dari parameter θ b. Estimator bayes untuk θ Jawab :
!x
e)x(f
x
θ>0 dan x = 0,1,2,…
b/1a
ae
)a(b
1)(
θ>0, b>0, dan a>0
Sehingga
)x(f)x,,x,x(f in
1in21
!x
e
i
xn
1i
i
n1i i
xn
!x
en
1i i
Dr. Suparman, M.Si., DEA 9
a. Distribusi posterior dari θ
d)()x,,x,x(f
)()x,,x,x(f)x,,x,x(
n210
n21
n21
n1i i
xn
!x
en
1i i
b/1a
ae
)a(b
1
n1i i
xn
0!x
en
1i i
de)a(b
1 b/1a
a
n
1i ixneb/1a e
)b
1n(1xa
en
1i i
Jadi, distribusi posterior dari θ adalah berdistribusi gamma dengan parameter
)b
1n(
1
dan n
1i ixa
Dr. Suparman, M.Si., DEA 10
b. Estimasi bayes untuk θ
Dari jawaban no. a, diperoleh θ berdistribusi gamma dengan parameter
n
1i ixa dan
)b
1n(
1
Jadi, estimator bayes untuk θ adalah
n1i i )
b
1n/()xa(ˆ
Dr. Suparman, M.Si., DEA 11
Soal 1 :
Misalkan kita mempunyai sampel random ukuran n yang berasal dari distribusi eksponensial
xe)x(f
utk x >0. Disini, θ > 0.
Misalkan distribusi prior untuk parameter θ adalah
b/1a
ae
)a(b
1)b,a(
Tentukan distribusi posterior untuk θ
Dr. Suparman, M.Si., DEA 12
Soal 2 :
Misalkan kita mempunyai sampel random ukuran n yang berasal dari distribusi bernoulli
x1x )1()x(f
utk x = 0, 1. Disini, 0<θ<1
Misalkan distribusi prior untuk parameter θ adalah
1)b,a(
1. Tentukan distribusi posterior untuk θ
2. Penarsir bayes untuk θ
Soal 3 :
Misalkan kita mempunyai sampel random ukuran n yang berasal dari distribusi dgn fungsi kepadatan probabilitas
xe)x(f
utk x>0
Misalkan distribusi prior untuk parameter θ adalah
bbe)b(untuk θ >0.
1. Tentukan distribusi posterior untuk θ
2. Penaksir bayes untuk θ