RUAS GARIS BERARAH

Definisi dan Sifat-sifat yang Sederhana

Untuk melajutkan penyelidikan tentang isometri diperlukan pengertian

tentang ruas garis berarah sebagai berikut:

Definisi: Suatu ruas garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu

ujungnya dinamakan titik pangkal dan ujung yang lain dinamakan

titik akhir.

Apabila A dan B dua titik, lambang kita gunakan sebagai ruas garis

berarah dengan pangkal A dan titik akhir B. Perhatikan dan AB

melukiskan dua hal yang berbeda. Seperti diketahui bahwa

menggambarkan sinar atau setengah garis yang berpangkal di A dan melalui

B.

Dua ruas garis dan disebut kongruen apabila AB = CD. Walaupun AB

= CD, dan tidak perlu sama; adalah sebuah himpunan sedangkan

AB adalah bilangan real. Jika dan kongruen ditulis .

Andaikan sekarang ada 2 ruas garis berarah dan .

Dalam membandingkan dua ruas garis berarah dan tidaklah sukup,

jika AB = CD; kedua ruas garis berarah itu searah. Jika demikian, dikatakan

bahwa ruas garis berarah ekivalen dengan ruas garis berarah yang

ditulis sebagai = atau = .

Definisi: = apabila Sp(A) = D dengan P titik tengah .

Gambar 9.1

A

B

C

D

P

Teorema 9.1:

Andaikan dan dua ruas garis berarah yang tidak segaris, maka segi-4

ABCD sebuah jajargenjang jika dan hanya jika = .

Bukti:

Akan ditunjukkan jika dan adalah dua ruas garis berarah yang tidak

segaris maka ABCD jajargenjang = .

Akan ditunjukkan jika = maka ABCD jajargenjang dengan

dan adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris.

Dipunyai = .

Misalkan titik P adalah titik tengah .

Menurut definisi keekivalenan maka Sp(A) = D.

Berarti AP = PD, jadi P juga titik tengah AD.

Hubungkan titik A ke C dan titik B ke D sehingga terbentuklah

segiempat ABCD.

dan adalah diagonal-diagonal segiempat ABCD yang terbagi

sama panjang di P (definisi jajar genjang).

Akibatnya segiempat ABCD sebuah jajar genjang.

Jadi terbukti jika dan adalah dua ruas garis berarah yang tidak segaris

maka ABCD jajargenjang = .

Akibat Teorema 9.1:

Jika = maka AB = CD dan dan sejajar atau segaris.

Bukti:

Akan dibuktikan = = dan dan sejajar atau segaris.

Dipunyai =

Karena = , maka segaris

menurut definisi keekivalenan, Sp(A) = D dengan P adalah titik tengah

sehingga BP = PC.

Pilih titik P pada perpanjangan .

Karena Sp(A) = D, maka AP = PD.

Diperoleh AP = PD AB + BP = PC + CD.

Karena BP = PC, maka AB + PC = PC + CD AB = CD.

Buat garis yang melalui titik A dan D.

Diperoleh dan sehingga dan .

Karena segaris dengan maka segaris dengan .

Karena = , maka tidak segaris.

Berdasarkan teorema 9.1, diperoleh segiempat ABCD jajar genjang.

Menurut karakteristik jajar genjang bahwa sisi-sisi yang berhadapan sama

panjang dan sejajar, akibatnya AB = CD.

Karena // , dan maka // .

Teorema 9.2:

Diketahui ruas-ruas garis berarah , , dan maka

1. = (sifat reflexi);

2. jika = maka = (sifat simetrik);

3. jika = dan = maka = (sifat transitif).

Bukti:

1. Akan dibuktikan = (sifat reflexi)

Misalkan P adalah titik tengah , maka Sp(A) = B

Menurut definisi keekivalenan diperoleh = .

2. Akan dibuktikan jika = maka = (sifat simetrik)

Menurut teorema 9.1 jika = maka segiempat ABCD jajargenjang,

diagonal-diagonal dan membagi sama panjang di P,

maka P dalah titik tengah

akibatnya Sp(C) = B

menurut definisi kekeivalenan apabila Sp(C) = B dengan P titik tengah

maka = .

3. Akan dibuktikan jika = dan = maka = (sifat

transitif):

Diperoleh = maka Sp(A) = D dengan P titik tengah

Diperoleh = maka Sq(C) = F dengan Q titik tengah

Menurut teorema 9.1 jika = maka segiempat ABCD jajargenjang

sehingga // dan // akibatnya // .

Menurut akibat dari teorema 9.1 bahwa jika = maka AB = CD,

jika = maka CD = EF

Akibatnya AB = EF.

Karena AB = EF dan // maka ABFE jajargenjang.

Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka // .

Teorema 9.3:

Diketahui sebuah titik P dan suatu ruas garis berarah maka ada titik

tunggal Q sehingga = .

Gambar 9.2

Bukti:

Akan dibuktikan keberadaan Q sehingga =

Andaikan ada titik Q

misal R adalah titik tengah dengan Sp(A) = Q maka =

Menurut teorema 9.2 (2) maka =

Akan dibuktikan Q tunggal,

Andaikan ada titik T sehingga =

Karena R titik tengah maka SR(A) = T

Setengah putaran A terhadap R atau SR(A) tunggal sehingga =

Akibat 1:

Jika

A Q

B

R

P

Jika 1 1,1 ,2 2, 2 , dan 3 3,3 titik-titik yang diketahui maka

titik 3 + 2 1,3 + 2 1 adalah titik tunggal sehingga

3 = 12 .

Andaikan P bukan titik tungga maka 3 12 artinya 3 12 0

diperoleh 3 12 = 3 2 1

= 3 + 2 1,3 + 2 1 3,3 2,2 1,1

= 3 + 2 1 3,3 + 2 1 3 2 1,2 1

= 2 1,2 1 2 1,2 1

= 0,0

= 0 (Terbukti)

Akibat 2:

Jika = , , = 1,2,3,4, maka 12 = 34

2 1 = 4 3,2 1 = 4 3

Akan dibuktikan jika Jika = , , = 1,2,3,4 maka

12 = 34 2 1 = 4 3,2 1 = 4 3

Karena 12 = 34 maka 12=34 sehingga 2 1 = 4 3

2,2 1,1 = 4,4 3,3

2 1,2 1 = 4 3,4 3 (Terbukti)

Mengalikan Ruas Garis Berarah dengan Sebuah Skalar

Definisi:

Andaikan sebuah ruas garis berarah dan k suatu bilangan real, maka

k adalah ruas garis berarah sehingga dan AP = k (AB) jika

k>0.

Apabila k

SOAL-SOAL LATIHAN DAN PEMBAHASAN

1. Diketahui titik-titik A, B, C, dan D, tiap tiga titik tidak segaris.

Ditanya:

a. Lukis titik D sehingga =

b. Lukis titik F sehingga =

c. ( )

Jawab:

a. Misalkan titik D adalah titik tengah sehingga =

b. Misalkan titik F merupakan titik tengah sehingga =

c. ( )

2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tidak segaris.

Lukislah:

a. Titik D sehingga = 3

b. Titik F sehingga = 4

3

c. Titik F sehingga = 2

E B

C

C A

D

B

E A

D B

F

B

A

Jawab:

a. Titik D sehingga = 3

b. Titik F sehingga = 4

3

c. Titik F sehingga = 2

3. Diantara ungkapan-ungkapan di bawah ini manakah yang benar?

a. =

b. =

c. =

d. Jika = maka = 2

e. Jika = dan = , maka =

Jawab:

a. =

(Benar)

2

C

A B

F

A B E B

A B

B A

A B

D B A

b. =

(Benar)

c. =

(Benar)

d. Jika = maka = 2

(Benar)

e. Jika = dan = , maka =

(Benar)

4. Diketahui A (0,0), B (5,3), dan C (-2,4). Tentukan:

a. R sehingga =

b. S sehingga =

c. T sehingga =

Jawab:

a. R sehingga =

Berdasarkan teorema akibat jika = maka AR = BC sehingga

=

=

+

= 24

53 +

00 =

71

A B B

B A

A B B

A B A

B A A

B A B A

Jadi R = (-7,1).

b. S sehingga =

Berdasarkan teorema akibat jika = maka CS = AB sehingga

=

=

+

=

53

00 +

24 =

37

Jadi R = (3,7).

c. T sehingga =

Berdasarkan teorema akibat jika = maka TB = AC sehingga

=

=

+

= 53

24 +

00 =

71

Jadi R = (7,-1).

5. Diketahui: A (2,1), B (3,-4), dan C (-1,5). Tentukan:

a. D sehingga CD = AB

b. E sehingga AE = BC

c. F sehingga AF = 1

2

Jawab:

a. D sehingga CD = AB

2 + 2 = 2 + 2

+ 1 2 + 5 2 = 3 2 2 + 4 1 2

+ 1 2 + 5 2 = 1 2 + 5 2

+ 1 2 + 5 2 = 26

+ 1 2 + 5

2 = 26

2 + 2 + 1 +

2 10 + 25 = 26

2+

2 + 2 10 + 26 = 26

2+

2 + 2 10 = 0

Jadi D adalah semua titik pada lingkaran 2+

2 + 2 10 = 0

b. E sehingga AE = BC

2 + 2 = 2 + 2

2 2 + 1 2 = 1 3 2 + 5 + 4 2

2 2 + 1 2 = 4 2 + 9 2

2 2 + 1 2 = 16 + 81

2 2 + 1 2 = 97

2 2 + 1

2 = 97

2 4 + 4 +

2 2 + 1 = 97

2+

2 4 2 + 5 = 97

2+

2 4 2 92 = 0

Jai E adalah semua titik pada lingaran 2+

2 4 2 92 = 0

c. F sehingga AF = 1

2

2 + 2 = 1

2 2 + 2

2 2 + 1 2 = 1

2 1 2 2 + 5 1 2

2 2 + 1 2 = 1

2 3 2 + 4 2

2 2 + 1 2 = 1

2 9 + 16

2 2 + 1 2 = 1

2 25

2 2 + 1

2 =1

4 . 25

2 4 + 4 +

2 2 + 1 =1

4 . 25

2+

2 4 2 + 5 =1

4 . 25

42+4

2 16 8 + 20 = 25

42+4

2 16 8 5 = 0

Jadi F adalah semua titik pada lingkaran 42+4

2 16 8

5 = 0

6. Jika A = (1,3), B = (2,7), dan C = (-1,4) adalah titik-titik parallelogram

ABCD. Tentukan koordinat-koordinat titik D.

Jawab:

Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka AB=CD dengan K

adalah titik tengah BC dan AD.

Karena K titik tengah BC maka = +

2,+

2 =

21

2,

7+4

2 =

1

2,

11

2

Karena K titik tengah AD maka = +

2,+

2

1

2,11

2 =

1 + 2

,3 +

2

1 +

2=

1

2 1 + = 1 = 0

3 +

2=

11

2 3 + = 11 = 8

Jadi koordinat D adalah (0,8).

7. Jika A(-2,4), B(h,3), C(3,0), dan D(5,k) adalah titik sudut jajargenjang

ABCD, tentukan h dan k.

Jawab:

Karena ABCD jajargenjang maka = dan =

Dari = menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD maka

=

3

24 =

30

5

+ 21

= 2

Sehingga diperoleh + 2 = 2 = 4 dan = 1 = 1.

8. Jika A(-h,-k), B(5,-2 3), C(k,8 3) dan D(-9,h) adalah titik-titik sehingga

= , tentukan h dan k.

Jawab:

Karena = maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD

sehingga

=

5 +

2 3 + =

9

8 3

5 + = 9 + = 14 ... (1)

2 3 + = 8 3 = 6 3 ...(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh k = - 7 - 3 3 dan h = - 7 - 3 3.

9. Diantara relasi-relasi di bawah ini manakah yang termasuk relasi ekivalensi?

a. Kesejajaran pada himpunan semua garis.

b. Kekongruenan pada himpunan semua sudut.

c. Kesebangunan pada himpunan semua segitiga.

d. Kekongruenan antara bilangan-bilangan bulat modulo 3.

Jawab:

a. Relasi ekivalensi

b. Relasi ekivalensi

c. Relasi ekivalensi

d. Bukan relasi ekivalensi

e. Bukan relasi ekivalensi

10. Buktikan jika = dan = maka = dengan jalan

memisalkan = 1,2 , = 1,2 , = 0,0 = 1, 2 .

Bukti:

Dari = diperoleh AB = CD maka 12

12

= 12

12

12

= 1 1 + 02 2 + 0

= 1 12 2

Dari = diperoleh CD = EF maka 12

12 =

12

12

1 12 2

00 =

12

12

12 =

1 1 + 12 2 + 2

Sehingga = 1 1 + 12 2 + 2

12 =

1 12 2

.

11. Jika A=(0,0), B=(1,-3), dan C=(5,7), tentukan:

a. D sehingga AD = 3 AB

b. E sehingga AE = 1

2

c. F sehingga AF = -2 AB

Jawab:

a. D sehingga AD = 3 AB

2 + 2 = 3 2 + 2

+ 0 2 + 0 2 = 3 1 0 2 + 3 0 2

2 + 2 = 3 1 2 + 3 2

2 + 2 = 3 10

2 +

2 = 90

Jadi D adalah semua titik pada lingkaran 2 +

2= 90

b. E sehingga AE = 1

2

2 + 2 = 1

2 2 + 2

0 2 + 0 2 = 1

2 5 1 2 + 7 (3) 2

2 + 2 = 1

2 4 2 + 10 2

2 + 2 = 1

2 16 + 100

2 + 2 = 1

2 116

2 +

2 =1

4. 116

2 +

2 = 29

Jadi E adalah semua titik pada lingkaran 2 +

2 = 29

c. F sehingga AF = -2 AB

2 + 2 = -2 2 + 2

0 2 + 0 2 =-2 1 0 2 + 3 0 2

2 + 2 = 2 1 2 + 3 2

2 + 2 = 4 10

2 +

2 = 40

Jadi D adalah semua titik pada lingkaran 2 +

2= 40

12. Jika 0 = 0,0 ,1 = 1,1 ,2 = 2,2 dan 3 = 3,3 sedangkan

k>0, tentukan:

a. P sehingga 0 = 01

b. P sehingga 1 = 12

c. Jika 3 = 12 maka = 3 + 2 1 ,3 + 2 1

d. Apakah rumus tetap berlaku apabila k < 0?

Jawab:

a. P sehingga 0 = 01

Karena 0 = 01 maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh P0P =

kP0P1 sehingga 0 0

= 1 01 0

0

0 =

1 01 0

= 11

b. P sehingga 1 = 12

Karena 1 = 12 maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh

P1P=kP1P2 sehingga

1 1

= 212 1

1 1

= 2 12 1

1 = 2 1 = 2 ( 1)1

1 = 2 1 = 2 (1)1

Jadi = 2 ( 1)1,2 (1)1

c. Jika 3 = 12 maka = 3 + 2 1 ,3 + 2 1

Karena 3 = 12 maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh

P3P=kP1P2 sehingga

3 3

= 212 1

3 3

= 2 12 1

3 = 2 1 = (2 1) + 3

3 = 2 1 = (2 1) + 3

Jadi = (2 1) + 3,(2 1) + 3

d. Apakah rumus tetap berlaku apabila k < 0?

rumus tetap berlaku tetapi arahnya berlawanan.

13. Jika A = (0,0), B = (1,3), C = (-2,5), dan D = (4,-2) titik-titik diketahui,

gunakan hasil pada soal nomor 12, untuk menentukan koordinat-koordinat

titik-titik berikut:

a. P sehingga = 4

b. R sehingga =1

2

c. S sehingga = 3

d. T sehingga = 2

Jawab:

a. P sehingga = 4

Karena = 4 maka = 4 sehingga = 4( )

Diperoleh

= 4

= 4 2 05 0

+ 00

= 820

Jadi koordinat P = (-8,20).

b. R sehingga =1

2

Karena =1

2 maka BR=

1

2 BC sehingga R B =

1

2 ( )

Diperoleh

=1

2

1 3

=1

2 2 15 3

1 =3

2 =

1

2

3 = 1 = 4

Jadi koordinat R = (1

2, 4).

c. S sehingga = 3

Karena = 3 maka S D = 3 (C B)

Diperoleh

= 3

4

(2) = 3

2 15 3

4 = 9 = 5

+ 2 = 6 = 4

Jadi koordinat S = (5,4).

d. T sehingga = 2

Karena = 2 maka T C = -2 ( B D )

Diperoleh

= 2

(2) 5

= 2 1 4

3 (2)

+ 2 = 6 = 4

5 = 10 = 5

Jadi koordinat R = (4,5).

14. Diketahui garis-garis g dan h yang sejajar. Titik sedangkan titik

tidak pada g maupun h.

a. Lukislah P=MhMg(P) dan Q=MhMg(Q)

b. Buktikan bahwa =

Jawab:

a. Gambar P=MhMg(P) dan Q=MhMg(Q)

b. Bukti bahwa =

15. Diketahui garis-garis u dan v yang sejajar; ada titik-titik Z dan W tidak pada

garis-garis itu.

a. Lukislah Z=MvMu(Z) dan W=MvMu(W)

b. Buktikan bahwa =

Jawab:

a. Gambar Z=MvMu(Z) dan W=MvMu(W)

b. Bukti bahwa =

16. Diketahui garis g dan lingkaran-lingkaran L1 dan L2; garis itu tidak

memotong lingkaran-lingkaran. Dengan memperhatikan Mg(L1), tentukan

Mg(Q)

h

g P

P

Q

Q

Z

u

v

Z W

W

Mu(Z)

Mu(W)

semua titik X pada g sehingga dengan 1, 2

sedangkan dan adalah garis-garis singgung.

Jawab:

17. Diketahui garis g dan lingkaran-lingkaran L1 dan L2. Garis tidak memotong

L1 maupun L2. Gunakna sebuah transformasi untuk melukis sebuah bujur

sangkar yang dua titik sudutnya terletak pada g, satu titik sudut ada pada L1

dan titik sudut yang keempat ada pada L2.

Jawab: