![Page 1: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/1.jpg)
4
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Sistem Bilangan Real
Sistem bilangan real 𝑅 adalah himpunan bilangan real yang disertai
dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma
tertentu. Pada sistemnya diperlakukan tiga aksioma, yang dikenal sebagai
aksioma lapangan, urutan dan kelengkapan.
1. Aksioma Lapangan
Aksioma ini mengatur tentang ketertutupan terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian, sifat komutatif, assosiatif dan distributif,
terdapatnya unsur 0 dan 1, serta terdapatnya unsur invers terhadap
penjumlahan dan perkalian. Dari operasi dasar ini didefinisikan operasi
pengurangan dan pembagian.
Pada 𝑅 didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian (jumlah
dan hasil kali bilangan real a dan b ditulis a + b dan ab) yang memenuhi
sifat – sifat berikut :
a. Sifat tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian yaitu jika ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
maka 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑅 dan 𝑎𝑏 ∈ 𝑅.
b. Sifat komutatif terhadap penjumlahan dan perkalian yaitu jika
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 maka 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 dan 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎.
4
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 2: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/2.jpg)
5
c. Sifat assosiatif terhadap penjumlahan dan perkalian yaitu jika
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 maka 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) dan 𝑎𝑏 𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐).
d. Adanya unsur kesatuan terhadap penjumlahan dan perkalian yaitu jika
terdapat 0 dan 1 ∈ 𝑅 dan 0 ≠ 1 sehingga 𝑎 + 0 = 𝑎 dan 𝑎. 1 = 𝑎
untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑅. Bilangan 0 dinamakan unsur kesatuan terhadap
penjumlahan dan 1 unsur kesatuan terhadap perkalian.
e. Adanya unsur negatif atau invers terhadap penjumlahan yaitu jika
∀𝑎 ∈ 𝑅 maka terdapat −𝑎 ∈ 𝑅 sehingga +(– 𝑎) = 0 . Bilangan real –
a dinamakan negatif atau lawan dari a.
f. Adanya unsur lawan atau invers terhadap perkalian, jika ∀𝑎 ∈ 𝑅 ,
𝑎 ≠ 0 maka terdapat 𝑎−1 ∈ 𝑅 sehingga 𝑎𝑎−1 = 1 . Bilangan real
𝑎−1 dinamakan kebalikan dari 𝑎.
g. Sifat distributif, yaitu jika ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 maka 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐.
(Martono, 1999)
Operasi pengurangan dan pembagian pada himpunan bilangan
real didefinisikan sebagai berikut
Definisi II.A.1
Diberikan 𝑎 dan 𝑏 bilangan real
a. Pengurangan dari 𝑎 dan 𝑏, hasilnya disebut selisih dari a dan b ditulis
𝑎 − 𝑏, didefinisikan sebagai bilangan real 𝑎 + (−𝑎)
b. Pembagian dari a dan b, hasilnya disebut hasil bagi dari a dan b,
𝑏 ≠ 0 ditulis 𝑎
𝑏 didefinisikan sebagai bilangan real 𝑎𝑏−1
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 3: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/3.jpg)
6
2. Aksioma Urutan
Aksioma ini mengatur tentang pemunculan bilangan positif dan
negatif. Berdasarkan ini, setiap bilangan real dapat diurutkan dari kecil
sampai besar. Dari aksioma ini diturunkan berbagai sifat yang mendasari
penyelesaian suatu pertidaksamaan, kemudian dirancang konsep nilai
mutlak sebagai ukuran jarak dua bilangan real dan merupakan suatu alat
untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang berkaitan dengan limit.
(Martono, 1999)
Pada 𝑅 terdapat suatu himpunan bagian yang unsurnya
dinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut:
a. Jika 𝑎 ∈ 𝑅 maka 𝑎 = 0 atau a bilangan positif jika 𝑎 > 0 atau –a
positif bila 𝑎 < 0
b. Jumlah dan hasil kali dua bilangan positif adalah bilangan positif.
Definisi II.A.2
Diberikan a dan b bilangan real
a. Bilangan a dikatakan lebih besar dari b, ditulis 𝑎 > 𝑏, jika 𝑎 − 𝑏
bilangan positif.
b. Bilangan a dikatakan lebih kecil dari b, ditulis 𝑎 < 𝑏, jika 𝑏 − 𝑎
bilangan positif.
c. Lambang ≤ (lebih kecil atau sama dengan ) dan ≥ (lebih besar atau
sama dengan) menyatakan relasi 𝑎 ≤ 𝑏 jika 𝑎 < 𝑏 atau 𝑎 = 𝑏 dan
𝑎 ≥ 𝑏 jika 𝑎 > 𝑏 atau 𝑎 = 𝑏.
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 4: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/4.jpg)
7
d. Pernyataan yang dihubungkan dengan tanda <, >, ≤, ≥ dinamakan
pertidaksamaan.
e. Bilangan real a dikatakan negatif jika –a adalah bilangan positif
3. Aksioma Kelengkapan
Aksioma kelengkapan pada Sistem bilangan Real menyatakan
bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari 𝑅 yang terbatas ke atas
selalu mempunyai batas atas terkecil. Aksioma ini mengakibatkan bahwa
setiap himpunan bagian tak kosong dari 𝑅 yang terbatas ke bawah selalu
mempunyai batas bawah terbesar.
(Martono, 1999)
Pada aksioma ini meliputi batas atas, batas bawah, batas atas
terkecil dan batas bawah terbesar.
a. Batas Atas dan Batas Bawah himpunan terurut
Sebelum mempelajari batas atas dan batas bawah himpunan
terurut, maka terlebih dahulu akan didefinisikan suatu himpunan
terurut sebagai berikut.
Definisi II.A.3.a.1).
Diberikan himpunan . Suatu urutan pada himpunan 𝑆 adalah suatu
relasi dua sifat berikut :
1) ∀𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑆 maka tepat satu pernyataan berikut benar : 𝑥 > 𝑦 atau
𝑥 = 𝑦 atau 𝑥 < 𝑦
2) ∀𝑥 , 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆, jika 𝑥 < 𝑦 dan 𝑦 < 𝑧 maka 𝑥 < 𝑧
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 5: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/5.jpg)
8
Contoh II.A.3.a.1).:
𝑅 = himpunan semua bilangan real merupakan himpunan terurut.
Di bawah ini didefinisikan pengertian konsep batas suatu
himpunan terurut.
Definisi II.A.3.a.2).
Diberikan 𝑆 himpunan terurut, 𝑆 ≠ ∅ dan 𝐸 ⊂ 𝑆
1) Himpunan 𝐸 dikatakan terbatas ke atas jika terdapat 𝑝 ∈ 𝑆
sehingga 𝑥 ≤ 𝑝 untuk ∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑝 dinamakan batas atas himpunan
𝐸.
2) Himpunan 𝐸 dikatakan terbatas ke bawah jika terdapat 𝑞 ∈ 𝑆
sehingga 𝑥 ≥ 𝑞 untuk ∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑞 dinamakan batas bawah
himpunan 𝐸.
3) Himpunan 𝐸 dikatakan terbatas jika 𝐸 terbatas ke atas dan
terbatas ke bawah.
(Soemantri,1988 )
Contoh II.A.3.a.2).:
Diberikan himpunan 𝐸 ⊂ 𝑅 dengan 𝐸 = {−1, 0 , 1 , 2 , 3 }. Selidiki
apakah 𝐸 terbatas !
Jawab :
𝐸 terbatas ke atas karena ∃𝑝 = 3 ∈ 𝑅 → ∀𝑥 ∈ 𝐸 , 𝑥 ≤ 3 dan 𝐸
terbatas ke bawah karena ∃𝑞 = −1 ∈ 𝑅 → ∀𝑥 ∈ 𝐸 , 𝑥 ≥ −1. Karena
𝐸 terbatas ke atas dan 𝐸 terbatas ke bawah maka 𝐸 merupakan
himpunan terbatas.
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 6: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/6.jpg)
9
b. Batas atas terkecil dan batas bawah terbesar himpunan terurut
Suatu himpunan terurut yang terbatas ke atas memiliki batas
atas terkecil dan himpunan terurut yang terbatas ke bawah memiliki
suatu batas bawah terbesar. Adapun pengertian dari batas atas terkecil
dan batas bawah terbesar sebagai berikut.
Definisi II.A.3.b.1).
Diberikan 𝑆 suatu himpunan terurut dengan 𝑆 ≠ 0 , 𝐸 ⊂ 𝑆 dan 𝐸
terbatas ke atas. Jika ∃𝑏 ∈ 𝑆 yang memenuhi sifat berikut :
1) 𝑏 adalah suatu batas atas 𝐸
2) Jika 𝑟 ≥ 𝑏 maka 𝑟 batas atas 𝐸
maka 𝑏 dikatakan batas atas terkecil (Supremum) dari 𝐸 ditulis
𝑏 = sup 𝑆
Definisi II.A.3.b.2).
Diberikan 𝑆 suatu himpunan terurut dengan 𝑆 ≠ 0 , 𝐸 ⊂ 𝑆 dan 𝐸
terbatas ke bawah. Jika ∃𝑎 ∈ 𝑆 yang memenuhi sifat berikut :
1) 𝑎 adalah suatu batas bawah 𝐸
2) Jika 𝑟 ≤ 𝑎 maka 𝑟 batas bawah 𝐸
maka 𝑎 dikatakan batas bawah terbesar (infimum) dari 𝐸 ditulis
𝑎 = inf 𝑆
Contoh II.A.3.b.1).:
Berdasarkan Contoh II.A.3.a.2)., maka himpunan semua batas atas 𝐸
adalah{ 𝑝 ∈ 𝑅 dan 𝑝 ≥ 3}, sehingga 3 merupakan batas atas terkecil
atau Sup 𝐸 = 3. Sedangkan himpunan semua batas bawah 𝐸 adalah
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 7: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/7.jpg)
10
{𝑞 ∈ 𝑅 dan 𝑝 ≤ −1} , sehingga −1 merupakan batas bawah terbesar
atau Inf 𝐸 = −1.
c. Sifat batas atas terkecil dan batas bawah terbesar himpunan
terurut
Adapun pengertian himpunan terurut dengan sifat batas atas
terkecil dan sifat batas bawah terbesar didefinisikan sebagai berikut.
Definisi II.A.3.c.1).
Himpunan terurut 𝑆 dikatakan mempunyai sifat batas atas terkecil
(s.b.a.t) jika setiap himpunan 𝐸 ⊂ 𝑆 yang tidak kosong dan terbatas ke
atas mempunyai Supremum.
Definisi II.A.3.c.1).
Himpunan terurut 𝑆 dikatakan mempunyai sifat batas bawah terbesar
(s.b.b.t) jika setiap himpunan 𝐸 ⊂ 𝑆 yang tidak kosong dan terbatas ke
bawah mempunyai Infimum.
(Soemantri,1988 )
Contoh II.A.3. :
Himpunan 𝑆 mempunyai s.b.a.t dan s.b.b.t, karena setiap 𝑆 ⊂ 𝑅
dengan 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} terbatas ke atas dan terbatas ke bawah
serta sup 𝑆 dan inf 𝑆 ada.
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 8: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/8.jpg)
11
Ilustrasi gambar himpunan tersebut adalah sebagai berikut.
Gambar II.A.3. Batas Bawah dan Batas Atas
(Bartle and Shelbert, 2000)
4. Interval
Himpunan bilangan real yang memenuhi suatu pertidaksamaan
tertentu disebut interval (selang) hingga atau interval tak hingga. Interval
hingga adalah himpunan bagian dari 𝑅 yang terbatas ke atas dan ke bawah,
sedangkan interval tak hingga tidak terbatas ke atas atau ke bawah.
Jika terdapat dua bilangan real 𝑎 dan 𝑏, dengan 𝑎 < 𝑏, maka
berturut– turut dapat ditulis sebagai berikut :
1. 𝑎, 𝑏 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
2. [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
3. (𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
4. [𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
5. 𝑎, ∞ = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 > 𝑎}
Batas Bawah dari 𝑆 Batas Atas dari 𝑆
Himpunan
bilangan real
Himpunan
bilangan real
Batas Bawah
terbesar dari 𝑆
Batas Atas
terkecil dari 𝑆
𝑏 𝑎
𝑆
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 9: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/9.jpg)
12
6. [𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≥ 𝑎}
7. −∞, 𝑏 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 < 𝑏}
8. (−∞, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑏}
9. −∞, ∞ = 𝑅
(Martono, 1999)
Interval 𝑎, 𝑏 dinamakan interval terbuka karena tidak memuat
kedua titik ujung. Sedangkan Interval [𝑎, 𝑏] dinamakan interval tertutup
karena memuat kedua titik ujung.
(Lipschutz, 1989)
Interval setengah terbuka atau setengah tertutup berbentuk [𝑎, 𝑏)
atau 𝑎, 𝑏 ditentukan oleh 𝑎 dan 𝑏, interval [𝑎, 𝑏) memuat titik ujung di 𝑎
sedangkan interval 𝑎, 𝑏 memuat titik ujung di 𝑏.
(Bartle and Shelbert, 2000)
B. Sistem bilangan real yang diperluas
Sistem bilangan real diperluas terdiri dari sistem bilangan real dan
dua lambang +∞ dan −∞. Urutan dalam 𝑅 tetap dipertahankan seperti
sebelum diperluas dan didefinisikan −∞ < 𝑥 < +∞ untuk ∀𝑥 ∈ 𝑅. Sistem
bilangan real diperluas diberi lambang 𝑅∗ 𝑅∗ = 𝑅 ∪ −∞, +∞ .
Dari definisi tersebut jelas bahwa +∞ merupakan suatu batas atas
setiap himpunan bagian dari sistem bilangan real diperluas 𝑅∗. Sehingga di
dalam 𝑅∗ setiap himpunan bagian pasti memiliki supremum. Himpunan
bilangan real yang tidak kosong dan tidak terbatas ke atas juga memiliki
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 10: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/10.jpg)
13
supremum di dalam 𝑅∗ yaitu +∞. Demikian juga himpunan bilangan real
yang tidak kosong dan tidak terbatas ke bawah mempunyai infimum dalam
𝑅∗ yaitu −∞ .
(Soemantri, 1988)
C. Topologi Dalam Ruang Metrik
Sebelum dibahas mengenai topologi dalam ruang metrik yang
meliputi himpunan terbuka dan himpunan tertutup, terlebih dahulu diberikan
definisi ruang metrik.
1. Ruang Metrik
Definisi II.C.1.
Diberikan himpunan 𝑋 yang tidak kosong, yang elemen – elemennya
disebut titik. Didefinisikan fungsi bernilai real nonnegatif 𝑑 pada 𝑋 × 𝑋
(𝑑 fungsi dua variabel dengan variabel-variabel pada 𝑋) sebagai
berikut. Untuk ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 :
1) 𝑑 𝑥, 𝑦 ≥ 0
2) 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0, jika hanya jika 𝑥 = 𝑦
3) 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑑(𝑦, 𝑥)
4) 𝑑 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑(𝑧, 𝑦)
Fungsi 𝑑 yang memenuhi keempat fungsi di atas disebut fungsi jarak
atau metrik pada 𝑋. Nilai 𝑑(𝑥, 𝑦) dinamakan jarak dari 𝑥 ke 𝑦. (𝑋, 𝑑)
disebut ruang metrik karena dilengkapi 𝑋 dengan fungsi 𝑑.
Contoh II.C.1. :
Apakah (𝑅, 𝑑) ruang metrik jika 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 ?
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 11: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/11.jpg)
14
Jawab :
Ambil sebarang , 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 , maka :
1) 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 > 0 untuk 𝑥 ≠ 𝑦
2) (⇨)𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 = 0 ⇨ 𝑥 − 𝑦 = 0 ⇨ 𝑥 = 𝑦
⇦ 𝑥 = 𝑦 ⇨ 𝑥 − 𝑦 = 0 ⇨ 𝑥 − 𝑦 = 0 = 0 ⇨ 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0
3) 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦
= −(− 𝑥 − 𝑦 )
= −1(−𝑥 + 𝑦)
= −1 𝑦 − 𝑥
= −1 (𝑦 − 𝑥) = 1 𝑦 − 𝑥 = 𝑦 − 𝑥 = 𝑑 𝑦, 𝑥
4) 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦
= 𝑥 − 𝑧 + (𝑧 − 𝑦)
≤ 𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦 = 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑(𝑧, 𝑦)
Jadi (𝑅, 𝑑) merupakan ruang metrik
2. Persekitaran, Titik Limit dan Titik Interior
Apabila 𝑋, 𝑑 ruang metrik, himpunan 𝐸 ⊂ 𝑋 dan titik 𝑝 ∈ 𝑋,
maka bagian berikut ini dibahas mengenai persekitaran, titik limit dan
titik interior. Adapun pengertian dari persekitaran, titik limit dan titik
interior berturut – turut sebagai berikut.
Definisi II.C.2.a.
Untuk 𝑟 > 0, persekitaran (Neighborhood) titik 𝑝 dengan radius 𝑟
didefinisikan dengan 𝑁𝑟 𝑝 = {𝑥 ∈ 𝑋, 𝑑 𝑥, 𝑝 < 𝑟}. Titik 𝑝 dinamakan
pusat persekitaran 𝑁𝑟 𝑝 .
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 12: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/12.jpg)
15
Definisi II.C.2.b.
Persekitaran 𝑝 memuat titik 𝑞 ∈ 𝐸 dan 𝑞 ≠ 𝑝.
Dari definisi titik limit dapat disimpulkan bahwa
1) 𝑝 adalah titik limit himpunan 𝐸 jika dan hanya jika :
(∀𝑟 > 0, 𝑁𝑟(𝑝) ∩ 𝐸 − {𝑝} ≠ ∅
2) 𝑞 bukan titik limit himpunan 𝐸 jika dan hanya jika :
(∃𝑟 > 0, 𝑁𝑟 𝑞 ∩ 𝐸 − 𝑞 = ∅.
Himpunan semua titik limit 𝐸 dinotasikan 𝐸′ .
Contoh II.C.2.b.:
Diberikan himpunan 𝐸 = { 𝑥, 𝑦 −2 < 𝑥 ≤ 2 dan −2 < 𝑦 ≤ 2}
dengan 𝐸 ∈ 𝑅2 dilengkapi metrik usual
𝑑 𝑥, 𝑦 = (𝑥1 − 𝑦1)2 + (𝑥2 − 𝑦2)2. Apakah titik 𝐾(2,2) dan
𝐿 −5
2,
9
4 merupakan titik limit 𝐸 ?
Jawab :
𝐾 2,2 merupakan titik limit 𝐸, karena (∀𝑟 > 0, 𝑁𝑟(2,2) ∩ 𝐸 − {2,2} ≠ ∅
Gambar II.C.2.b.1). Persekitaran titik (𝟐, 𝟐) dengan radius r
𝑥
𝑦
−2
−2
2
2
𝑁𝑟(2,2)
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 13: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/13.jpg)
16
Titik 𝐿 −5
2,
9
4 bukan merupakan titik limit 𝐸, karena
(∃𝑟 > 0, 𝑁𝑟 𝐿 ∩ 𝐸 − 𝐿 = ∅ yaitu 𝑟 =1
8, sehingga
𝑁18 −
5
2,9
4 ∩ 𝐸 − −
5
2,9
4 = ∅
Gambar II.C.2.b.2). Persekitaran titik −𝟓
𝟐,𝟗
𝟒 dengan radius
𝟏
𝟖
Definisi II.C.2.c.
Jika ∃𝑟 > 0 sehingga 𝑁𝑟 𝑃 ⊂ 𝐸 atau ada persekitaran titik 𝑝 yang
dimuat di dalam himpunan 𝐸. Himpunan semua titik interior 𝐸 diberi
notasi 𝐸𝑜
Contoh II.C.2.c.:
Diberikan himpunan 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 2 ≤ 𝑥 < 5} . Apakah 2 merupakan
titik interior himpunan ?
Jawab :
Untuk 0 < 𝑟 < 3 → 𝑁𝑟 2 = (2 − 𝑟, 2 + 𝑟) ⊄ 𝐴
𝑥
𝑦
−2
−2
2
2
9
4
−5
2
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 14: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/14.jpg)
17
Untuk 𝑟 > 3 → 𝑁𝑟 2 = (2 − 𝑟, 2 + 𝑟) ⊄ 𝐴
∀𝑟 > 0, 𝑁𝑟 2 ⊄ 𝐴 jadi 2 bukan titik interior himpunan 𝐴.
3. Himpunan Terbuka dan Himpunan Tertutup
Setelah mempelajari definisi dari titik interior dan titik limit
diberikan definisi dari himpunan terbuka dan himpunan tertutup sebagai
berikut.
Definisi II.C.3.a.
Dinamakan himpunan terbuka jika setiap anggota 𝐸 merupakan titik
Interior himpunan 𝐸. Jadi, 𝐸 terbuka jika 𝐸𝑜 = 𝐸.
Contoh II.C.3.a.
Jika pada 𝑅 didefinisikan metrik diskrit 𝑑 𝑥, 𝑦 = 1 , 𝑥 ≠ 𝑦 0 , 𝑥 = 𝑦
dan
himpunan 𝐸 ⊆ 𝑅, dengan 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑥 ≤ 1} . Buktikan bahwa
himpunan 𝐸 terbuka !
Jawab :
Ambil 𝑟 =1
2
Untuk 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑁1
2
𝑥 = 𝑥 ⊂ 𝐸
Untuk 𝑥 ∉ 𝐸, 𝑁1
2
𝑥 = 𝑥 ⊄ 𝐸
Jadi ∀𝑥 ∈ 𝐸, ∃𝑟 =1
2> 0 dimana 𝑁𝑟 𝑥 ⊂ 𝐸, 𝑥 titik interior 𝐸.
Dengan kata lain 𝐸 himpunan terbuka ■.
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 15: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/15.jpg)
18
Definisi II.C.3.b.
Dinamakan himpunan tertutup jika himpunan 𝐸 memuat semua titik
limitnya.
(Soemantri,1988)
Contoh II.C.3.b.:
Jika pada 𝑅 didefinisikan metrik diskrit 𝑑 𝑥, 𝑦 = 1 , 𝑥 ≠ 𝑦 0 , 𝑥 = 𝑦
dan
himpunan 𝐹 ⊆ 𝑅, dengan 𝐹 = {1, 3, 4}. Selidiki apakah himpunan 𝐹
tertutup!
Jawab :
Ambil 𝑟 = 1
𝑁1 1 ∩ 𝐹 − {1} = 1 ∩ 1, 3, 4 − 1 = 1 − 1 = ∅
𝑁1 3 ∩ 𝐹 − {3} = 3 ∩ 1, 3, 4 − 3 = 3 − 3 = ∅
𝑁1(4) ∩ 𝐹 − {4} = 4 ∩ 1, 3, 4 − 4 = 4 − 4 = ∅
Jadi ∀𝑥 ∈ 𝐹, ∃𝑟 = 1 → 𝑁1 𝑥 ∩ 𝐹 − {𝑥} = ∅
Untuk ∀𝑥 ∉ 𝐹, ambil 𝑟 = 1 → 𝑁1 𝑥 ∩ 𝐹 − 𝑥 = 𝑥 ∩ 𝐹 − 𝑥
= ∅ − 𝑥 = ∅
Jadi 𝐹′ = ∅
Karena ∅ merupakan himpunan bagian dari sembarang himpunan
berakibat 𝐹′ ⊂ 𝐹. Terbukti bahwa himpunan 𝐹 tertutup.
Teorema II.C.3.c.
Untuk sebarang ruang metrik, himpunan 𝐸 terbuka jika dan hanya jika
𝐸𝑐 tertutup.
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 16: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/16.jpg)
19
Untuk sebarang ruang metrik, himpunan 𝐸 tertutup jika dan hanya jika
𝐸𝑐 terbuka.
Teorema II.C.3.d.
Diberikan sebarang himpunan 𝐴 (berhingga atau tidak berhingga)
1) Jika 𝐺𝑎 himpunan terbuka untuk ∀𝑎 ∈ 𝐴 maka 𝐺𝑎
𝑎∈𝐴
terbuka
2) Jika 𝐺𝑎 himpunan tertutup untuk ∀𝑎 ∈ 𝐴 maka 𝐺𝑎
𝑎∈𝐴
tertutup
Teorema II.C.3.e.
1) Jika 𝐺1, 𝐺2, 𝐺3 , … … . , 𝐺𝑛 (berhingga) himpunan terbuka maka
𝐺
𝑛
𝑖=1
terbuka
2) Jika 𝐺1, 𝐺2, 𝐺3 , … … . , 𝐺𝑛 (berhingga) himpunan tertutup maka
𝐺
𝑛
𝑖=1
tertutup
Definisi II.C.3.c.
Diberikan 𝑋, 𝑑 ruang metrik, 𝐾 ∈ 𝑋)
Keluarga himpunan terbuka 𝐺𝛼 𝛼 ∈ 𝐴 disebut suatu liput terbuka
𝑜𝑝𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟 untuk himpunan 𝐾 jika 𝐾 ⊂ 𝐺𝛼
𝛼∈𝐴
Contoh II.C.3.c.1.
Jika 𝐴 ⊂ 𝑅 dilengkapi metrik baku 𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 apakah 𝒢 liput
terbuka 𝐴 jika = { 0,2 , 1,3 , 1,5 , 2,6 , 2,8 } ?
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 17: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/17.jpg)
20
Jawab :
𝒢 = { 0,2 , 1,3 , 1,5 , 2,6 , 2,8 }
𝐺1 ∪ 𝐺2 ∪ 𝐺3 ∪ 𝐺4 ∪ 𝐺5 = (0,8)
Karena 𝐴 ⊂ 𝐺𝑖
5
𝑖∈1
sehingga 𝒢 liput terbuka 𝐴
Contoh II.C.3.c.2.
Jika 𝐴 ⊂ 𝑅 dilengkapi metrik baku 𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 apakah 𝒢 liput
terbuka 𝐴 jika = 0,3 , 1,5 , 2,7 ?
Jawab :
𝒢 = 0,3 , 1,5 , 2,7
𝐺1 = 0,3 → terbuka
𝐺2 = [1,5) → tidak terbuka
𝐺2 = 2,7 → tidak terbuka
Karena ada anggota 𝒢 yang tidak terbuka maka 𝒢 bukan merupakan
liput terbuka.
4. Ukuran Himpunan
Sebelum mempelajari definisi ukuran dari suatu himpunan,
terlebih dahulu diberikan definisi ukuran dari suatu interval.
𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4 𝐺5 → terbuka
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 18: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/18.jpg)
21
Definisi II.C.4.a.
Ukuran interval terbuka (𝑎, 𝑏) dinyatakan dengan 𝜇 𝑎, 𝑏 dan
didefinisikan sebagai berikut 𝜇 𝑎, 𝑏 = 𝑏 − 𝑎.
Ukuran interval terbuka (𝑎,∞) atau (−∞, 𝑏) atau (−∞,∞) didefinisikan
sebagai berikut 𝜇 𝑎,∞ = 𝜇 −∞, 𝑏 = 𝜇 −∞,∞ = ∞.
Definisi II.C.4.b.
𝜇 ∅ = 0, 𝐸 = himpunan terbuka tak terbatas sehingga 𝜇(𝐸) = ∞.
Definisi II.C.4.c.
Panjang suatu interval I dengan lambang ℓ 𝐼 , didefinisikan sebagai
selisih antara titik ujung – ujungnya. Ukuran dari suatu himpunan E
diberi notasi 𝜇(E).
1) Jika I suatu interval maka 𝜇(𝐼) adalah ℓ 𝐼 , dengan ℓ 𝐼 ≥ 0 untuk
semua interval I.
2) Jika himpunan 𝐸1 ⊆ 𝐸2 maka 𝜇(𝐸1) ≤ 𝜇(𝐸2).
3) Diberikan 𝐸 ⊆ 𝑅 dan diambil 𝑥0 sebarang, 𝑥0 ∈ 𝑅, didefinisikan
𝐸 + 𝑥0 = {𝑥 + 𝑥0 𝑥 ∈ 𝐸} maka 𝜇(𝐸 + 𝑥0) adalah 𝜇 𝐸 .
(Gordon, 1994)
Definisi II.C.4.d.
Diambil 𝑂 himpunan terbuka di 𝑅 maka 𝑂 dapat ditulis sebagai
gabungan interval – interval terbuka yang saling asing {𝐼𝑖}, maka
panjang himpunan 𝑂 adalah jumlah dari panjang masing – masing
interval. Dengan kata lain :
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 19: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/19.jpg)
22
ℓ 𝐼 = ℓ 𝐼𝑖
∞
𝑖=1
Terdapat dua ukuran di dalam suatu himpunan yaitu ukuran
luar dan ukuran dalam. Definisi dari kedua ukuran tersebut sebagai
berikut.
1) Ukuran Luar
Definisi II.C.4.1).
Diberikan himpunan 𝐸 ⊆ 𝑅. Ukuran luar 𝐸 diberi notasi 𝜇∗(𝐸)
yang didefinisikan sebagai berikut: 𝜇∗ 𝐸 = Inf {𝜇 𝑂 : 𝐸 ⊆ 𝑂
dan 𝑂 himpunan terbuka}
2) Ukuran Dalam
Definisi II.C.4.2).
Diberikan himpunan 𝐸 ⊆ 𝑅. Ukuran dalam 𝐸 diberikan notasi
𝜇∗(𝐸) didefinisikan sebagai berikut: 𝜇∗ 𝐸 = Sup{ 𝜇 𝐾 : 𝐸 ⊆ 𝐾
dan 𝐾 himpunan tertutup}
Dari definisi diatas jelas bahwa 𝜇∗ 𝐸 ≤ 𝜇∗ 𝐸 untuk himpunan 𝐸 dan
jika 𝐴 ⊆ 𝐵 maka 𝜇∗ 𝐴 ≤ 𝜇∗ 𝐵 .
5. Himpunan terukur
Di bawah ini akan diberikan definisi dari himpunan yang terukur.
Definisi II.C.5.
Suatu himpunan 𝐸 ⊆ 𝑅 dikatakan terukur jika ukuran luar sama dengan
ukuran dalam atau 𝜇∗ 𝐸 = 𝜇∗ 𝐸 .
(Royden,1968)
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 20: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/20.jpg)
23
D. Fungsi
Diberikan himpunan 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝑅, fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 adalah suatu aturan
yang mengaitkan setiap unsur 𝑥 ∈ 𝐴 dengan tepat satu unsur 𝑦 ∈ 𝐵. Unsur 𝑦
yang berkaitan dengan unsur 𝑥 ini diberi lambang 𝑦 = 𝑓(𝑥), yang dinamakan
aturan fungsi. Lambang 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴 menyatakan sebuah fungsi dengan
aturan 𝑦 = 𝑓 𝑥 yang terdefinisi pada himpunan 𝐴. Selanjutnya 𝑥 dinamakan
peubah bebas, dan 𝑦 yang nilainya bergantung dari 𝑥 dinamakan peubah tak
bebas.
Apabila terdapat suatu fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴, maka daerah asal
fungsi 𝑓 adalah himpunan 𝐴, ditulis 𝐷𝑓 = 𝐴 dan daerah nilai fungsi 𝑓 adalah
himpunan 𝑅𝑓 = {𝑓(𝑥) 𝑥 ∈ 𝐴 = 𝐷𝑓}. Unsur 𝑓 𝑥 ∈ 𝐵 dinamakan nilai fungsi
𝑓 di 𝑥. Jika yang diketahui hanya 𝑦 = 𝑓 𝑥 maka daerah asal dan daerah nilai
fungsi 𝑓 adalah 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑓(𝑥) ∈ 𝑅} dan 𝑅𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ 𝐷𝑓} dengan 𝐷𝑓
merupakan daerah asal alamiah (Natural Domain) dari fungsi 𝑓 dan 𝑅𝑓
merupakan daerah nilai dari fungsi 𝑓. Daerah asal dan daerah nilai fungsi di
atas merupakan himpunan bagian dari 𝑅. Fungsi tersebut dinamakan fungsi
dengan peubah real dan bernilai real, disingkat fungsi real.
Gambar II.D.1. Fungsi 𝒇 𝒙
𝐷𝑓 𝑅𝑓
𝑓
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑓
𝑓
𝑥 𝑓(𝑥)
𝑅
𝐷𝑓 𝑅𝑓
𝑅
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 21: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/21.jpg)
24
1. Fungsi Terbatas
Di bawah ini akan diberikan definisi dari fungsi yang terbatas
sebagai berikut.
Definisi II.D.1.
Fungsi 𝑓 dikatakan terbatas jika ∃ 𝑀 > 0 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 dengan
𝑓(𝑥) ≤ 𝑀.
Dari ingkaran definisi tersebut dapat di simpulkan bahwa Fungsi
𝑓 dikatakan tidak terbatas jika ∀ 𝑀 > 0 , ∃𝑥𝑜 ∈ 𝐷𝑓 dengan
𝑓(𝑥) > 𝑀.
(Martono,1999 )
Contoh II.D.1 :
a. Fungsi 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 terbatas karena 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 ≤ 1 untuk
∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 dan 𝐷𝑓 ⊆ 𝑅.
b. Fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 tidak terbatas pada interval 0, ∞ karena
untuk 𝑀 > 0, terdapat 𝑥0 = 2𝑀 > 0 sehingga
𝑓 𝑥0 = 𝑓 2𝑀 = 2𝑀 + 1 > 𝑀.
2. Limit fungsi
Limit suatu fungsi merupakan konsep dasar diferensial dan
integral. Pada bagian ini dibahas mengenai pengertian limit fungsi.
Definisi II.D.2.a.
Diberikan fungsi 𝑓 terdefinisi pada interval terbuka 𝐼 yang memuat 𝑐,
kecuali mungkin di 𝑐 sendiri. Limit fungsi 𝑓 di 𝑐 adalah 𝐿 (ditulis
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 22: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/22.jpg)
25
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿, atau 𝑓 𝑥 → 𝐿 bila 𝑥 → 𝑐) jika
∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∍ 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇨ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀
Gambar II.D.2.a. Limit Fungsi 𝒇 di titik 𝒄
(Martono,1999 )
Contoh II.D.2.a. :
Buktikan lim𝑥→1
(2𝑥 + 3) = 5 !
Jawab :
Ambil sebarang 휀 > 0 , apakah ada 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap 𝑥
dengan 0 < 𝑥 − 1 < 𝛿 berlaku (2𝑥 + 3) − 5 < 휀.
(2𝑥 + 3) − 5 = 2𝑥 − 2 = 2(𝑥 − 1) = 2 𝑥 − 1 < 2𝛿
Untuk 0 < 𝑥 − 1 < 𝛿 berakibat (2𝑥 + 3) − 5 < 2𝛿.
Untuk setiap 휀 > 0 , agar 2𝑥 + 3 − 5 < 휀 maka dipilih 2𝛿 = 휀 atau
𝛿 =1
2휀
Jadi untuk setiap 휀 > 0 ada > 0 , yaitu 𝛿 =1
2휀 sehingga untuk 0 <
𝑥 − 1 < 𝛿 ⇨ (2𝑥 + 3) − 5 < 휀 dan terbukti bahwa
𝑦
𝐼
0 𝑥 𝑥
𝐿
𝑐
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑓
↓
↑
𝑐 − 𝛿 𝑐 + 𝛿
𝐿 − 휀
𝐿 + 휀
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 23: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/23.jpg)
26
lim𝑥→1
(2𝑥 + 3) = 5.
Definisi II.D.2.b.
Diberikan fungsi 𝑓 terdefinisi pada interval (𝑐, 𝑏). Limit kanan fungsi
𝑓 di c adalah L (ditulis lim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = 𝐿, atau 𝑓 𝑥 → 𝐿 bila 𝑥 → 𝑐+)
jika ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∍ 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇨ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀.
Diberikan fungsi 𝑓 terdefinisi pada interval 𝑎, 𝑐 . Limit kiri fungsi 𝑓
di 𝑐 adalah 𝐿 (ditulis lim𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = 𝐿, atau 𝑓 𝑥 → 𝐿 bila 𝑥 → 𝑐−) jika
∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∍ 0 < 𝑐 − 𝑥 < 𝛿 ⇨ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀.
Contoh II.D.2.b.:
Diberikan fungsi 𝑓 𝑥 =
𝑥−4
𝑥−2 , 𝑥 ≤ 4
𝑥2
4 , 𝑥 > 4
Tentukan (jika ada) :
1. lim𝑥→4+
𝑓(𝑥)
2. lim𝑥→4−
𝑓(𝑥)
3. lim𝑥→4
𝑓(𝑥)
Jawab :
1. lim𝑥→4+
𝑓(𝑥) = lim𝑥→4
𝑥2
4= 4
2. lim𝑥→4−
𝑓 𝑥 = lim𝑥→4
𝑥 − 4
𝑥 − 2= lim
𝑥→4
𝑥 + 2 𝑥 − 2
𝑥 − 2
= lim𝑥→4
𝑥 + 2 = 4
3. karena limit kanan sama dengan limit kiri maka limit fungsi ada
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 24: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/24.jpg)
27
dan lim𝑥→4
𝑓(𝑥) = 4
3. Fungsi kontinu
a. Fungsi kontinu di suatu titik
Suatu fungsi terdefinisi pada selang terbuka yang memuat
suatu titik dengan daerah asal fungsi himpunan sebarang yang
memuat suatu titik dimana limit fungsi tidak diketahui, maka
kekontinuan fungsinya didefinisikan sebagai berikut.
Definisi II.D.3.a.
Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu di 𝑐 ∈ 𝐷𝑓 jika
∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∍ 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇨ 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) < 휀
(Martono,1999 )
Contoh II.D.3.a. :
Selidiki apakah 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 5 kontinu di 𝑥 = 3
Jawab :
Ambil sebarang 휀 > 0 diselidiki apakah ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 sedemikian
sehingga 𝑥 − 3 < 𝛿 berlaku 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) < 휀.
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐 = 2𝑥 + 5 − 2.3 + 5 = 2𝑥 − 6 = 2 𝑥 − 3 < 휀
Untuk 𝑥 − 3 < 𝛿 ⇨ 2 𝑥 − 3 < 2𝛿 sehingga
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) =2 𝑥 − 3 < 2𝛿 untuk ∀휀 > 0 agar
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) < 휀 , maka dapat dipilih 휀 = 2𝛿 atau 𝛿 =ε
2
Jadi untuk ∀휀 > 0 ∃ε
2> 0 sehingga untuk 𝑥 − 3 < 𝛿 berlaku
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) < 휀. Dengan kata lain fungsi 𝑓 kontinu di 𝑥 = 3.
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 25: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/25.jpg)
28
Suatu fungsi terdefinisi pada selang terbuka yang memuat
suatu titik, kekontinuan fungsinya di titik itu dapat didefinisikan
dengan limit fungsi. Berdasarkan Definisi II.D.3.a. dapat dikatakan
bahwa fungsi 𝑓 𝑥 kontinu di 𝑥 = 𝑐 jika :
1. 𝑓 𝑥 harus ada, yaitu didefinisikan di 𝑥 = 𝑐
2. lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 ada
3. lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐
b. Kontinu Kiri dan Kanan
Sejalan dengan konsep limit kiri dan limit kanan, maka
didefinisikan fungsi kontinu kiri dan kontinu kanan di satu titik
sebagai berikut.
Definisi II.D.3.b.
Diberikan fungsi 𝑓 terdefinisi pada interval 𝑎, 𝑐 . Fungsi 𝑓
dikatakan kontinu kiri di 𝑐 jika lim𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐).
Diberikan fungsi 𝑓 terdefinisi pada interval [𝑐, 𝑏). Fungsi 𝑓
dikatakan kontinu kanan di 𝑐 jika lim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐).
c. Fungsi kontinu pada suatu interval
Kekontinuan suatu fungsi dapat didefinisikan pada interval
terbuka dan interval tertutup. Terdapat sembilan interval yang
mungkin, yaitu 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑏 , 𝑎, ∞ , 𝑎, ∞ , −∞, 𝑏 ,
−∞, 𝑏 dan (−∞, ∞). Berikut ini didefinisikan kekontinuan fungsi
pada dua selang sebagai berikut.
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 26: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/26.jpg)
29
Definisi II.D.3.c.1).
Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu pada interval terbuka 𝑎, 𝑏 jika fungsi 𝑓
kontinu di setiap titik (𝑎, 𝑏).
Definisi II.E.3.c.2).
Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu pada interval tertutup [𝑎, 𝑏] jika fungsi 𝑓
kontinu pada interval terbuka (𝑎, 𝑏), kontinu kanan di 𝑎 dan kontinu
kiri di 𝑏.
(Martono,1999 )
Contoh II.D.3.c.
Selidiki apakah fungsi 𝑓 𝑥 =1
𝑥 kontinu pada [1, ∞)?
Jawab :
Akan dibuktikan bahwa 𝑓 kontinu pada interval (1, ∞), dan kontinu
kanan di 1. Berdasarkan Definisi II.D.3.b. dan Definisi
II.D.3.c. diperoleh: lim𝑥→1+
𝑓 𝑥 = lim𝑥→1
1
𝑥=
1
1= 1 = 𝑓 1 = 𝑓(𝑥)
Jadi, 𝑓 kontinu pada 𝐷𝑓 = 1, ∞ .
4. Differensial atau Turunan
Di bawah ini akan diberikan definisi dari Differensial atau
Turunan sebagai berikut.
Definisi II.D.4.
Diberikan interval 𝐼 ⊆ 𝑅, Jika fungsi 𝑓: 𝐼 → 𝑅 dan 𝑐 ∈ 𝐼 maka L disebut
differensial atau turunan f di c jika ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 sehingga untuk
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 27: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/27.jpg)
30
∀𝑥 ∈ 𝐼 dengan 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 berlaku 𝑓 𝑥 −𝑓(𝑐)
𝑥−𝑐− 𝐿 < 휀 atau turunan
dari f di
𝑐 jika lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐= 𝑓 ′ 𝑐 dimana 𝑓 ′ 𝑐 = 𝐿
(Bartle anf Sherbert, 2000)
Fungsi 𝑓 dikatakan mempunyai turunan di 𝑐 jika 𝑓−′ 𝑐 = 𝑓+
′ (𝑐) serta
𝑓 ′ 𝑐 = 𝑓−′ 𝑐 = 𝑓+
′ (𝑐).
Dengan 𝑓−′ (𝑐) = lim
𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐
𝑥−𝑐 dan 𝑓+
′ (𝑐) = lim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐
𝑥−𝑐
Contoh II.D.4.
Selidiki apakah 𝑓 𝑥 = 7𝑥 − 2 , 𝑥 < 1
2𝑥2 + 3𝑥, 𝑥 ≥ 1 mempunyai turunan di 𝑥 = 1,
jika ya, tentukan 𝑓′ 1 !
Jawab :
𝑓−′ 1 = lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 − 𝑓 1
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
7𝑥 − 2 – (2. 12 + 3.1)
𝑥 − 1
= lim𝑥→1
7𝑥 − 2 – 5
𝑥 − 1
= lim𝑥→1
7𝑥 − 7
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
7 𝑥 − 1
𝑥 − 1= 7
𝑓+′ (1) = lim
𝑥→1+
𝑓 𝑥 − 𝑓 1
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
2𝑥2 + 3𝑥 − 2. 12 + 3.1
𝑥 − 1
= lim𝑥→1
2𝑥2 + 3𝑥 − 5
𝑥 − 1
= lim𝑥→1
2𝑥 + 5 𝑥 − 1
𝑥 − 1
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 28: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/28.jpg)
31
= lim𝑥→1
2𝑥 + 5 = 2.1 + 5 = 7
Karena 𝑓−′ 1 = 𝑓+
′ (1) maka 𝑓 mempunyai turunan di 𝑥 = 1 dengan
𝑓 ′(1) = 7
5. Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Pada bagian ini dibahas mengenai definisi dari fungsi naik, fungsi
turun, fungsi naik monoton dan fungsi turun monoton.
Definisi II.D.5.a.
Fungsi 𝑓: 𝐼 → 𝑅 dikatakan naik pada interval 𝐼 jika 𝑥1 < 𝑥2 maka
𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 , ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼
Fungsi 𝑓: 𝐼 → 𝑅 dikatakan turun pada interval 𝐼 jika 𝑥1 < 𝑥2 maka
𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 , ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼
Definisi II.D.5.b.
Fungsi 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅 dikatakan naik monoton pada (𝑎, 𝑏) jika
𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑏 maka 𝑓 𝑥1 ≤ 𝑓 𝑥2 , ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏)
Fungsi 𝑓: 𝐼 → 𝑅 turun monoton pada (𝑎, 𝑏) jika 𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑏 maka
𝑓 𝑥1 ≥ 𝑓 𝑥2 , ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏)
(Martono, 1999)
Contoh II.D.5.a.
Diberikan fungsi 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3.
Selidiki apakah 𝑓 𝑥 fungsi naik atau fungsi turun!
Jawab :
Ambil 𝑥1 < 𝑥2
𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 2𝑥1 < 2𝑥2
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 29: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/29.jpg)
32
⇒ 2𝑥1 + 3 < 2𝑥2 + 3
⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
Jadi, 𝑓(𝑥) merupakan fungsi naik
Contoh II.D.5.b.
Diberikan fungsi 𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 3.
Selidiki apakah 𝑓 𝑥 fungsi naik atau fungsi turun!
Jawab :
Ambil 𝑥1 < 𝑥2
𝑥1 < 𝑥2 ⇒ −2𝑥1 > −2𝑥2
⇒ −2𝑥1 + 3 > −2𝑥2 + 3
⇒ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)
Jadi, 𝑓(𝑥) merupakan fungsi turun
6. Fungsi terukur
Di bawah ini akan diberikan definisi dari fungsi terukur sebagai
berikut.
Definisi II.D.6.a.
Suatu 𝑓: 𝐸 → 𝑅 adalah terukur jika 𝐸 adalah himpunan terukur dan untuk
setiap 𝑟 ∈ 𝑅, himpunan 𝑥 ∈ 𝐸 𝑓 𝑥 > 𝑟 adalah terukur.
Teorema II.D.6.b.
Diberikan 𝐸 himpunan terukur dan jika 𝑓: 𝐸 → 𝑅 kontinu hampir
dimana–mana pada 𝐸, maka 𝑓 terukur.
(Gordon,1994)
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 30: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/30.jpg)
33
7. Pendekatan Derivatif (Approximate Derivative)
Di bawah ini akan diberikan definisi dari pendekatan derivatif
sebagai berikut.
Definisi II.D.7.
Suatu fungsi terukur 𝑓 dikatakan mempunyai pendekatan derivatif atas
𝐹𝑎𝑝 pada 𝑥0 jika 𝐹𝑎𝑝 𝑥0 = ap- lim𝑥→𝑥0
sup 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0
𝑥 − 𝑥0 ada
Dan juga untuk pendekatan derivatif bawah
𝐹𝑎𝑝 pada 𝑥0 jika 𝐹𝑎𝑝 𝑥0 = ap- lim𝑥→𝑥0
inf 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0
𝑥 − 𝑥0 ada
Definisi II.D.7.
Suatu fungsi terukur 𝑓 mempunyai suatu pendekatan derivatif di 𝑥0 atau
𝐹′𝑎𝑝 𝑥0 jika 𝐹𝑎𝑝 𝑥0 = 𝐹𝑎𝑝 𝑥0
Adapun sifat – sifat dari pendekatan derivatif adalah sebagai berikut.
a. 𝐹𝑎𝑝 (𝑓) ≤ 𝐹𝑎𝑝 (𝑓)
b. 𝐹𝑎𝑝 −𝑓 = −𝐹𝑎𝑝 (𝑓)
c. 𝐹𝑎𝑝 𝑓1 + 𝑓2 ≥ 𝐹𝑎𝑝 (𝑓1) + 𝐹𝑎𝑝 (𝑓2)
d. 𝐹𝑎𝑝 𝑓1 + 𝑓2 ≥ 𝐹𝑎𝑝 (𝑓1) + 𝐹𝑎𝑝 (𝑓2)
e. Jika 𝑓 hampir terdiferensialkan, maka 𝑓 terdekati secara kontinu.
(Wittaya,1979)
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 31: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/31.jpg)
34
8. Fungsi kontinu mutlak
Di dalam definisi fungsi kontinu mutlak terdapat interval yang
tidak saling tumpang tindih. Adapun definisi dari interval yang tidak
saling tumpang tindih sebagai berikut.
Definisi II.D.8.a.
Dua interval 𝐼 dan 𝐽 di dalam 𝑅 dikatakan tidak saling tumpang tindih
jika irisan antara interior masing-masing interval kosong, 𝐼𝑜 𝐽𝑜 = ∅.
Jika tidak demikian 𝐼 dan 𝐽 dikatakan saling tumpang tindih.
Contoh II.D.8.a.:
Diketahui interval 𝐼 = 1,2 dan 𝐽 = [2,3]. Apakah interval 𝐼 dan 𝐽
merupakan interval tidak tumpang tindih?
Jawab :
Jika 𝐼 = 1,2 maka 𝐼𝑜 = (1,2) dan 𝐽 = [2,3] maka 𝐽𝑜 = (2,3). Sehingga
menurut Definisi II.D.8.a. maka 𝐼𝑜 𝐽𝑜 = 1,2 2,3 = ∅.
Berikut adalah definisi dari fungsi kontinu mutlak atau yang
lebih dikenal dengan AC (absolutely continuous) dan fungsi kontinu
mutlak teritlak (generalized absolutely continuous) atau ACG.
Definisi II.D.8.b.
Suatu fungsi F dikatakan kontinu mutlak (absolutely continuous) atau
AC pada [𝑎, 𝑏] jika untuk ∀휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga jika
𝑏𝑘 − 𝑎𝑘 < 𝛿𝑘 berlaku 𝐹(𝑏𝑘) − 𝐹(𝑎𝑘) < 휀𝑘 untuk setiap
[𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 : 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} koleksi berhingga interval yang tidak saling
tumpang tindih 𝐼𝑘 di dalam [𝑎, 𝑏].
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 32: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/32.jpg)
35
Definisi II.D.8.c.
Suatu fungsi F dikatakan kontinu mutlak teritlak (generalized absolutely
continuous) atau ACG pada [𝑎, 𝑏] jika [𝑎, 𝑏] merupakan gabungan
sejumlah himpunan terbatas 𝑋𝑘 , 𝑘 = 1,2, … …, pada setiap fungsi F
adalah AC.
(Gordon, 1994)
9. Sifat hampir dimana-mana
Di bawah ini akan diberikan definisi dari sifat hampir dimana –
mana sebagai berikut.
Definisi II.D.9.
Suatu fungsi dikatakan mempunyai sifat 𝑃 pada 𝐸 hampir dimana – mana
jika fungsi tersebut bersifat P pada 𝐸 kecuali untuk himpunan 𝐴 ⊆ 𝐸 dan
𝜇 𝐴 = 0.
Contoh II.D.9. :
Suatu 𝑓: 𝐸 → 𝑅 dan 𝑔: 𝐸 → 𝑅 adalah sama atau 𝑓 = 𝑔 hampir dimana –
mana pada 𝐸 jika dan hanya jika 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) untuk ∀𝑥 ∈ 𝐸 − 𝐴 dengan
𝜇 𝐴 = 0 dan 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑔) untuk 𝑓: 𝐸 → 𝑅 untuk ∀𝐴 ⊆ 𝐸 dengan
𝜇 𝐴 = 0.
E. Integral
Diberikan fungsi 𝑓 yang terdefinisi pada interval terbuka I, ditentukan suatu
fungsi 𝐹 yang memenuhi 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥) pada I. Fungsi 𝐹 seperti ini
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
![Page 33: BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI LIYANTI_MTK'13.pdfdinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut: a. Jika ∈ 4 maka =](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022013020/5e940b08ad42ba2a3a311099/html5/thumbnails/33.jpg)
36
dinamakan anti turunan (integral) atau fungsi primitif dari fungsi f pada
interval I.
(Martono, 1999)
Integral terdiri dari integral tak tentu dan integral tentu. Integral
tersebut terletak pada batasnya, dimana Integral tentu memiliki batas atas dan
batas bawah.
Pada bagian ini dibahas mengenai sifat – sifat yang berlaku pada
integral tentu.
Jikal 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 adalah fungsi kontinu maka:
1. ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎
𝑎= 0
2. ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎= − ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
3. ∫ 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎= 𝑘 ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎, dengan 𝑘 konstanta
4. ∫ [𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ]𝑑𝑥𝑏
𝑎= ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎± ∫ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
5. ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑐
𝑎= ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎+ ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑐
𝑏 , dengan 𝑎 < 𝑏 < 𝑐
(Purcell,1984)
F. Integral Khintchine
Suatu fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 terintegral Khintchine pada [𝑎, 𝑏] jika
terdapat suatu fungsi kontinu 𝐹 sedemikian sehingga 𝐹 kontinu mutlak
teritlak atau ACG pada 𝑎, 𝑏 dan pendekatan derivatifnya 𝐹𝑎𝑝′ = 𝑓 hampir
dimana – mana pada 𝑎, 𝑏 .
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013