Download - Bab 6 logika matematika
P E N E R B I T E R L A N G G A
LOGIKA MATEMATIKA
Kompetensi Dasar
Mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan.
Mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya.
Mendeskripsikan invers, konvers, dan kontraposisi.
Menerapkan modus ponens, modus tollens, dan prinsip silogisme dalam menarik kesimpulan.
1. Pernyataan dan Bukan Pernyataan
Logika Matematika berasal dari kata Yunani kunologos yang berarti hasil pertimbangan akal pikiranyang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalambahasa.
Kalimat Berarti dan Kalimat terbuka
Kalimat Berarti terbagi menjadi 2 yaitu
Kalimat Deklaratif : Kalimat yang dapat ditentukan kebenaranataupun kesalahannya, namun tidak keduanya pada saat sama
Kalimat Non Deklaratif : Kalimat yang tidak dapat ditentukanNilai Kebenarannnya dan biasanya merupakan kalimat perintah, kalimat tanya, kalimat harapan, atau kalimat terbuka
Kalimat Terbuka
Kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenrannya karenamasih mengandung peubah.
Contoh
Kalimat Nondeklaratif
1. Berapakah Jumlah sekolah di Indonesia
2. Makanlah jika anda lapar
Kalimat deklaratif
1. Semua bilangan Prima adalah ganjil
2. Jika 2x=6, maka x=3
Kalimat Terbuka 1. 5p-10=15,p∈A
2. 3x+7=y , x dan y ∈ C
2. Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi danBiimplikasi
1. Ingkaran (Negasi)
Ingkaran atau negasi digunakan untuk menyangkalsuatu pernyataan .Ingkaran(negasi) suatupernyataan adalah suatu pernyataan baru yang dibentuk dari suatu pernyataan awal sehingga nilaikeabsahannya berubah
Tabel Kebenaran Untuk negasi
p ∽p
B S
S B
Contoh Penyataan Negasi
Negasi pernyataan “Jakarta adalah ibu kotaIndonesia” adalah :
“Jakarta bukan ibu kota Indonesia” atau
“Tidak benar bahwa Jakarta bukan ibu kotaIndonesia”.
2. Pernyataan Majemuk
Pernyataan Majemuk adalah suatu pernyataan baru yang diperoleh dari penggabungan beberapa pernyataantunggal dengan kata hubung kalimat tertentu yaitu dan, atau, jika,jika…maka…..,….jika dan hanya jika……,dll
Contoh :
a) Sepeda motor merupakan alat transportasi paling murah tetapi dapat membahayakan pengemudinya.
b) Jika musim hujan, maka di Jakarta terjadi banjir.
i. Konjungsi
Penggabungan dua buah pernyataan denganmenggunakan kata hubung “dan”
Contoh
1. p : Hari ini adalah hari Selasa.
q : Hari ini hujan.
maka p ∧ q : Hari ini adalah hari Selasa dan hariini hujan atau Hari ini adalah hari Selasa dan hujan
Tabel kebenaran Konjungsi
p q p^q
B B B
B S S
S B S
S S S
ii. Disjungsi
Penggabungan dua buah pernyataan denganmenggunakan kata hubung “atau”
Contoh :
p : Hari ini adalah hari Selasa
q : Hari ini hujan
maka p ∨ q : Hari ini adalah hari Selasa atau hari inihujan
Tabel kebenaran Disjungsi
p q p v q
B B B
B S B
S B B
S S S
iii. implikasi
Penggabungan dua buah pernyataan majemukdengan menggunakan kata hubung “jika...maka…”
Contoh :
p : Hari ini hujan
q : Setiap hari pada bulan April turun hujan
maka
p → q : Jika hari ini hujan, maka setiap hari padabulan April turun hujan
Tabel Kebenaran Implikasi
p q p → q
B B B
B S S
S B B
S S B
iv. BiimplikasiPenggabungan dua buah pernyataan majemuk denganmenggunakan kata hubung “… jika dan hanya jika …”
Contoh :p : Hari ini adalah hari Selasaq : Hari ini hujanmakap ↔ q : Hari ini adalah hari Selasa jika dan hanya jika hari ini hujan.
p ↔ q bernilai S hanya pada hari Selasa yang tidak hujan atau harilain yang hujan, dan
bernilai B pada hari Selasa yang hujan atau pada hari lain yang tidakhujan.
Tabel Kebenaran Biimplikasi
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
3. Negasi Pernyataan Majemuk
Negasi Konjungsi dan Disjungsi, Implikasi, danBiimplikasi
¬ ( p ∧ q ) ≡ (¬ p ∨ ¬ q )
¬ ( p ∨ q ) ≡ (¬ p ∧ ¬ q )
¬ ( p → q ) ≡ p ∧ ¬ q
¬ ( p ⇔ q ) ≡ ¬ p ⇔ q
Tabel kebenaran bisa dilihat lebih lanjut di buku erlangga.
4. Konvers,Invers, dan Kontraposisi
Dari pernyataan yang berupa implikasi p ⇒ q dapatdibuat pernyataan implikasi baru sebagai berikut:(a) Pernyataan q ⇒ p disebut Konvers dari p ⇒ q(b) Pernyataan ~p ⇒ ~q disebut Invers dari p ⇒ q(c) Pernyataan ~q ⇒ ~p disebut Kontraposisi darip ⇒ q.
Contoh
Implikasi : Jika Singa bertaring, maka ia binatangbuas
Inversnya : Jika Singa tidak bertaring, maka iabukan binatang buas
Konversnya : Jika Singa binatang buas, maka iabertaring
Kontraposisinya : Jika Singa bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring
p q ~p ~q p ⇒ q q ⇒ p ~p ⇒ ~q ~q ⇒ ~p
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
Tabel Kebenaran Konvers, Invers, dan Kontraposisidari Implikasi
Penarikan Kesimpulan
Pernyataan yang digunakan untuk mengambilkesimpulan disebut premis
Penarikan kesimpulan dalam logika matematikasecara umum ada 3 cara yaitu:
Modus Ponens
Modus Tollens
Silogisme
Modus Ponens
modus ponens adalah argumentasi atau penarikankesimpulan yang disajikan dalam bentuk sebagaiberikut
Premis 1 : p ⇒ q
Premsi 2 : p
Konklusi : q
Contoh
Premis 1 : Jika harga cabe naik, maka permintaan cabeturun.
Premis 2 : Harga cabe naik.
Konklusi : Jadi permintaan cabe turun
Modus Tollens
modus tollens adalah argumentasi atau penarikankesimpulan yang disajikan dalam bentuk sebagaiberikut
Premis 1 : p ⇒ qPremsi 2 : ~q
Konklusi : ~p
Contoh :
Premis 1 : Jika saya makan di kantin, maka sayaminum di kantin
Premis 2 : saya tidak minum di kantin
Konklusi : saya tidak makan
Silogisme
Silogisme adalah argumentasi atau penarikankesimpulan yang disajikan dalam bentuk sebagaiberikut
Premis 1 : p ⇒ q
Premsi 2 : q ⇒ r
Konklusi : r
Contoh :
Premis 1 :Warga yang melanggar peraturan “X” harusdihukum.
Premis 2 : warga melanggar peraturan “X”
Konklusi : warga harus dihukum.
SUMBER
Kasmina, Suhendra,dkk (2008). MatematikaProgram Keahlian Teknologi, Kesehatan, danPertanian untuk SMK dan MAK kelas X, Jakarta: Penerbit Erlangga.
Logika Preposisi.pdf dari Mata Kuliah PengantarMatematika Universitas Indonesia