FUNGSI TRIGONOMETRIK
Asimtot’s Blog
http://asimtot.wordpress.com/
Oleh:
Kelompok V
M. Sihabudin 309312422750
Rino Kitanto 309312426745
Rizki Imansyah Putra 309312422758
Saniagus Munendra 309312417508
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
NOPEMBER 2011
FUNGSI KOMPLEKS TRIGONOMETRIK
Dengan menggunakan rumus euler
Maka ,
Dua persamaan berikut kita eliminasi ,
Kurangkan, diperoleh
Maka,
Dengan cara serupa, diperoleh
Kedua rumus tersebut dapat dikatakan mewakili bentuk kompleks fungsi nyata sinus dan
cosinus. Untuk fungsi kompleks trigonometri, didefinisikan dengan mengganti (pada
fungsi nyata trigonometri di atas) dengan , yaitu
Definisi Fungsi Kompleks Trigonometri
untuk semua bilangan kompleks
Empat fungsi trigonometri yang lain didefinisikan :
dengan syarat penyebut pada empat bentuk terakhir tidak sama dengan nol.
Contoh Soal
Contoh 1 :
Tentukan nilai .
Jawab :
Dengan menggunakan definisi ,
Contoh 2 :
Tentukan yang memenuhi .
Jawab :
Dengan menggunakan definisi ,
maka diperoleh :
misalkan , maka diperoleh
Menggunakan rumus , diperoleh
maka,
Diperoleh solusinya yaitu
Contoh 3 (soal 10A, halaman 80, nomor 10.11.a)
Gunakan definisi fungsi kompleks untuk menuliskan bilangan-bilangan berikut dalam
bentuk
a.
Jawab :
menurut definisi
Ingat, identitas euler yaitu , sehingga
Dalam bentuk yang diinginkan, maka
Contoh 4 (soal 10A, halaman 81, nomor 10.12)
Carilah turunan keenam fungsi trigonometrik dan nyatakan dalam suku-suku
trigonometrik pula
Jawab :
Non Contoh (contoh yang bukan merupakan fungsi kompleks trigonometri)
Yaitu, fungsi-fungsi kompleks yang tidak memenuhi definisi fungsi kompleks trigonometri
(selain yang didefinisikan pada definisi fungsi kompleks trigonometri)
Misalnya, fungsi linear yaitu : , atau fungsi kompleks yang lain,
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
dan
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks Trigonometrik
yaitu,
Bukti :
dan
Penulisan dan dalam bentuk
Misalkan,
Dengan langkah serupa,
Sifat-sifat Dan Bukti Pada Fungsi Kompleks Trigonometri
1)
bukti :
Karena , maka
Karena sesuai definisi
karena
, maka tentu saja
jadi,
kedua ruas di logaritma natural kan! Diperoleh ,
2)
bukti :
Karena
, maka
Karena sesuai definisi
maka
jadi,
kedua ruas dilogaritmanaturalkan! Diperoleh ,
3)
bukti :
4)
bukti :
5)
bukti :
maka ,
6)
bukti :
7)
bukti :
8)
Bukti :
Perhatikan
9)
Bukti :
10)
bukti :
11)
bukti :
Sifat-sifat yang lainnya mengenai fungsi kompleks trigonometri dan fungsi kompleks
hiperbolik
12) Identitas dasar Hiperbolik :
Bukti :
13)
Bukti :
14)
Bukti :
15) (soal nomor 10.30.a)
Bukti:
Perhatikan bahwa
Maka,
16) (soal nomor 10.30.b)
Bukti :
Perhatikan bahwa
Maka,
17)
Bukti :
18)
Bukti :
Bukti :
Bukti :
Contoh penggunaan sifat :
Gunakan sifat – sifat yang telah ada untuk menunjukkan bahwa
sin 3z = 3 sin z (cos2 z – sin2 z)
Jawab :
sin 3z = sin (2z + z) = (sin 2z)(cos z) + (sin z) (cos 2z)
= (2 sin z cos z)(cos z) + (sin z)(cos2 z – sin2 z)
= 2 sin z cos2 z + sin z cos2 z – sin3 z
= 3 sin z cos2 z – sin3 z
= 3 sin z (cos2 z – sin2 z)
PERBEDAAN FUNGSI KOMPLEKS TRIGONOMETRI DAN FUNGSI NYATA TRIGONOMETRI
Perbedaan terbesar terletak pada batas nilainya
Jika pada fungsi nyata trigonometri kita mengenal untuk
(begitu juga untuk cos)
Pada fungsi kompleks trigonometri, kita tidak mengenal hal itu (not bounded)
Tentu saja karena Bilangan Kompleks tidak mengenal suatu urutan.
Dua bilangan kompleks tidak bisa dibandingkan nilainya, yang bisa dibandingkan adalah
modulusnya.
Hati-hati
Hitunglah !
Dengan sifat yang sudah kita miliki, maka
, karena 30 ini adalah bilangan real (bukan derajat)
(jadi, jika menghitung dengan kalkulator, ubah deg menjadi rad)
Ingat , bentuk , dengan