Aritmatika Interval
Sudaryatno Sudirham
Kata Pengantar
Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval.
Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasiinterval.
Cakupan Bahasan
� Pengertian-Pengertian Interval
� Operasi-Operasi Aritmatika Interval
� Sifat-Sifat Aritmatika Interval
Pengertian-Pengertian Interval
Bilangan nyata yang biasa kita kita operasikan adalah bernilai tunggal, baik bilangan bulat maupun pecahan
Dalam analisis interval, bilangan yang kita operasikan memiliki nilai yang berada dalam suatu interval tertutup *)
*) Lihat pula “Fungsi dan Grafik”
Dengan demikian bilangan yang kita hadapi sesungguhnya merupakan kumpulan bilangan
Contoh:Bilangan dalam interval 90 dan 110 adalah kumpulan bilangan
yang bernilai antara 90 dan 110 termasuk 90 dan 110 itu sendiri (interval tertutup).
Suatu kumpulan dinyatakan dengan tanda kurung { }. Secara umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai
)}(:{ xpxS =
menunjukkan syarat-syarat yang harus dipenuhi untuk
menentukan apakah x benar merupakan elemen dari S
atau tidak
menunjukkan kumpulan yang kita tinjau
menunjukkan sembarang elemen
dari S
Contoh
}11090 ,:{ ≤≤∈= xRxxS
R adalah kumpulan dari semua bilangan nyata
11090 ,)( ≤≥∈= xRxxp
Secara umum, kumpulan bilangan nyata X dalam interval antara a dan b dengan a < b dan a maupun b terletak antara −∞ dan + ∞
kita tuliskan
} ,, , ,:{ +∞<<<∞−∈≤≤∈= baRbabxaRxxX
Penulisan ini tentu agak merepotkan dalam melakukan operasi-operasi interval
Kita memerlukan cara penulisan yang lebih sederhana agar mudah melakukan operasi interval.
Dalam operasi interval, sesungguhnya kita akan berhubungan hanya dengan batas-batas interval.
Oleh karena itu kita akan menggunakan cara penulisan bilangan interval yang lebih sederhana, dengan hanya menyatakan batas-
batas intervalnya.
],[ xxX =
Dalam penjelasan selanjutnya kita akan menggambarkan interval pada garis sumbu nyata sebagai berikut
kita gunakan tanda kurung [ ] untuk mengakomodasi batas-batas interval.
Suatu interval X yang memiliki batas bawah (nilai minimum) x dan batas atas (nilai maksimum) kita tuliskanx
0(x )
interval Xbatas bawah batas atas
x
Degenerasi
Suatu interval mengalami degenerasi jika
dan disebut degenerate interval; interval yang tidak mengalami degenerasi disebut nondegenerate.
Dengan pengertian ini maka suatu bilangan nyata bernilai tunggal dapat dikatakan merupakan keadaan khusus dari suatu interval. Atau sebaliknya suatu interval merupakan pernyataan umum (generalisasi)
suatu bilangan nyata.
xx =
Lebar Interval
Lebar suatu interval X adalah bilangan nyata
xxXw −=)(
]15 ,6[=X 9615)( =−=Xw
Contoh:
(0
)x
w(X)
x
Titik Tengah
Titik tengah atau mid point suatu interval X adalah
2/)()( xxXm +=
Contoh:
}10 ,4{=X 72/)104()( =+=Xm→ titik tengah
Radius
Setengah dari lebar interval disebut sebagai radius interval
Contoh:
}10 ,4{=X
→ radius interval X adalah w(X)/2 = (10−4)/2 = 3.
2/)(Xw
Kesamaan
Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batas-batas yang sama.
Kesamaan
Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batas-batas yang sama.
],[ xxX = ],[ yyY =Jika dan
YX = yxyx == dan maka jika dan hanya jika
Urutan
Interval X dikatakan lebih kecil dari Y jika dan hanya jika batas maksimum X lebih kecil dari batas minimum Y, yx <
Contoh
X = {6, 10} dan Y = {13, 18}
→ X < Y.
0(x
) ( )X Yx y y
Dalam contoh ini juga w(X) < w(Y)
Nilai Absolut
Nilai absolut suatu interval X didefinisikan sebagai maksimum dari absolut batas-batasnya
} , max{ xxX =
Contoh
X = {−8, 4}
8} 4 , 8 max{ =−=X
Jarak
Jarak antara dua interval didefinisikan sebagai maksimum dari selisih batas-batas keduanya
|}| , |max{|),( yxyxYX −−=ρ
Contoh
X = {2,6}, Y = {8,18}
12|}186||,82max{| ),( =−−=ρ YX
0( )x
( )
X Y
xy − xy −
x yy
Di sini
|||| yxyx −>−
Simetri
Suatu interval X disebut simetris jika xx =−
Contoh: X = {−5, 5}
0(x )
X
x
Interval simetris mengandung elemen bernilai 0.
Tetapi tidak berarti mempunyai lebar 0.
Ia bukan degenerate interval.
Irisan
Karena interval dapat dipandang sebagai kumpulan maka kita mengenal irisan interval.
Irisan antara interval X dan interval Y adalah
}],min{ },,[max{ yxyxYX =∩
Contoh: X = {2, 9} dan Y = {6, 18} 9] ,6[=∩YX
0(x )( )
X Y
y x y
YX ∩
Irisan dua interval juga merupakan sebuah interval
Irisan X dan Y kosong atau = Ø jika X < Y atau Y < X.
Gabungan
Gabungan antara interval X dan Y adalah
}]maks{ },,[min{ y,xyxYX =∪
Contoh: X = [2, 9], Y = [6, 18] 18] ,2[=∪YX
0(x )( )
X Y
y x y
YX ∪
Jika irisan dari X dan Y tidak kosong maka gabungan keduanya juga merupakan sebuah interval.
Akan tetapi jika irisan antara keduanya kosong maka gabungan dua interval itu tidak merupakan sebuah interval karena sesungguhnya
gabungan itu akan terdiri dari dua interval yang berbeda.
Inklusi
Interval X berada di dalam interval Y jika dan hanya jika
)()(dan YwXwYX ≤≤atau
YX ⊆ yxxy ≤≤ dan jika dan hanya jika
Contoh: a). X = {5, 12} dan Y = {4, 16} → YX ⊆
0(x )( )
X
Y
xy y
b). X ={−5, 2} dan Y = {−7, 7}
0(x )( )
X
Y
y x y
Operasi-Operasi Aritmatika
Kita dapat membedakan interval dalam tiga katagori, yaitu:
Interval yang seluruh elemennya bernilai positif, yang kita sebut interval positif.
Interval yang seluruh elemennya bernilai negatif, yang kita sebut interval negatif.
Interval yang mengandung elemen bernilai negatif maupun positif termasuk nol.
Degenerasi interval positif membentuk bilangan positif, degenerasi interval negatif membentuk bilangan negatif, sedangkan degenerasi interval yang mengandung nol
bisa membentuk bilangan negatif, atau positif, atau nol.
Penjumlahan dan
Pengurangan
Penjumlahan
Misalkan X dan Y adalah dua interval. Jumlah dari X dan Y didefinisikan sebagai
} , :{ YyXxyxYX ∈∈+=+
Elemen dari jumlah interval adalah jumlah elemen masing-masing interval
Oleh karena itu maka batas bawah dari hasil penjumlahan adalah jumlah dari batas bawah, dan batas atas dari hasil penjumlahan
adalah jumlah dari batas atas
Dengan demikian maka penjumlahan dua interval hanya melibatkan batas-batas interval saja.
] ,[ yxyxYX ++=+
0(x ) ( )
X Y
( )
X+Y
x y y
yx + yx +
] ,[ yxyxYX ++=+
Jumlah interval juga merupakan interval.
],[ yyY =Jika dan , maka],[ xxX =
tidak merupakan sebuah interval karena X < Y.
X dan Y adalah dua interval yang terpisah.
YX ∪ Penjumlahan berbeda dengan penggabungan. Penggabungan
dua interval tidak selalu menghasilkan suatu interval.
Contoh: X = {2, 6} dan Y = {9, 14}
→ X + Y = [2+9, 6+14]=[11, 20]
Penjumlahan dua interval selalu dapat dilakukan.
Jika kedua interval yang dijumlahkan itu degenerate maka kita mendapatkan penjumlahan yang biasa kita lakukan dengan bilangan
biasa.
Perbedaan penjumlahan dan gabungan
Contoh: X = [2, 4], Y = [3, 6] 6] ,2[=∪YX
10] ,5[=+YX
0(x
)( )
X Y
y x y
YX ∪
(z)
z
YX +
Negatif Suatu Interval. Negatif dari suatu interval didefinisikan sebagai
} ,{ XxxX ∈−=−
yang dapat kita tuliskan
] ,[] ,[ xxxxX −−=−=−
0(x )
X
)− x
(
− X
x− x
Batas atas −X adalah x−
Batas bawah −X adalah x
Contoh: a). X = [2, 6] → −X = [−6, −2]
0(x )
X
)− x
(
− X
x− x
b). X = [−2, 6] → −X = [−6, 2]
0(x
)
X
)− x
(
− X
x− x
Pengurangan
Dengan pengertian negatif interval tersebut di atas maka pengurangan interval X oleh interval Y menjadi penjumlahan interval X
dengan negatif interval Y
] ,[],[],[ yxyxyyxxYX −−=−=−
Contoh: X = [2, 6] dan Y = [7, 12]
→ X − Y = [2, 6] − [7, 12] = [2− 12, 6 − 7] = [−10, −1]
0(x ) ( )
X Y( )
X−Y
( )y− y− x y y
yx − yx −
Dalam contoh ini X < Y dan hasil pengurangan X − Y merupakan interval negatif.
Perkalian dan
Pembagian
Perkalian Interval
Perkalian dua interval X dan Y didefinisikan sebagai
} , :{ YyXxxyYX ∈∈=⋅
yang dapat dituliskan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅
Dalam formulasi ini diperlukan empat kali perkalian batas masing-masing interval untuk menentukan batas bawah
maupaun batas atas dari interval hasil kali.
Namun pekerjaan akan sedikit sedikit menjadi ringan jika kita memperhatikan posisi elemen masing-masing interval pada
sumbu bilangan nyata
Pada interval X selalu dipenuhi relasi xx ≤maka dengan memperhatikan posisi kita akan mengetahui posisix x
0≥x 0≥xjika maka
0≤x 0atau 0 ≤≥ xxjika maka
Demikian juga pada interval Y
0≥y 0≥yjika maka
0≤y 0atau 0 ≤≥ yyjika maka
Karena ada tiga katagori interval, maka ada sembilan kemungkinan perkalian interval, yaitu:
interval positif kali interval positif
interval mengandung nol kali interval positif dan sebaliknya
interval negatif kali interval positif dan sebaliknya
interval negatif kali interval mengandung nol dan sebaliknya
interval negatif kali interval negatif
perkalian dua interval yang keduanya mengandung nol
Sembilan situasi yang mungkin terjadi adalah:
] ,[
0dan 0
yx yxYXZ
yx
=⋅=
≥≥x y y0
( )x
( )X Y
1).
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≥≤3).x y y0
( )x
( )X Y
] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yxx
=⋅=
≥<<2). x y y0
( )x
( )X Y
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yyx
=⋅=
<<≤4).
x y y0( )x
( )X Y
6). ] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≤≥yy x x0
( ) ( )Y X
] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yyx
=⋅=
<<≥7).yy x x0
( ) ( )Y X
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yxx
=⋅=
≤<<y y x x0( ) ( )
Y X8).
}] ,maks{ }, ,min{[
0dan 0
yxyxyxyx
YXZ
yyxx
=⋅=
<<<<
9). y yx x0( )( )
Y X
5). ] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≤≤x y y 0
( )x
( )X Y
Contoh dan Penjelasan
]6 ,4[ ]3 ,1[ == YX
]18 ,4[=⋅YX
Perkalian dua interval positif akan menghasilkan interval positif. Batas atas interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas sedang batas bawahnya adalah hasil kali kedua batas bawah.
Jika kedua interval degenerate, maka kita mempunyai perkalian bilangan biasa: perkalian dua bilangan positif yang memberikan hasil
bilangan positif.
] ,[
0dan 0
yx yxYXZ
yx
=⋅=
≥≥x y y0
( )x
( )X Y
1).
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
]8 ,4[ ]2 ,1[ =+−= YX
]16 ,8[ +−=⋅YX
] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yxx
=⋅=
≥<<2). x y y0
( )x
( )X Y
Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang
lain (yang positif).
Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karena kedua batas atas tersebut positif.
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
]4 ,1[ ]1 ,3[ =−−= YX
]1 ,12[ −−=⋅YX
Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali
batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif.
Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas bawah interval positif
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≥≤3).x y y0
( )x
( )X Y
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
]3 ,1[ ]2 ,4[ −=−−= YX
]4 ,12[ +−=⋅YX
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yyx
=⋅=
<<≤4).
x y y0( )x
( )X Y
Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas
bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.
Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
]1 ,4[ ]5 ,7[ −−=−−= YX
]82 ,5[=⋅YX
Kedua interval adalah interval negatif. Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas.
Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah.
5). ] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≤≤x y y 0
( )x
( )X Y
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar
yang bisa dicapai
]1 ,3[ ]4 ,1[ −−== YX
]1 ,12[ −−=⋅YX
6). ] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≤≥yy x x0
( ) ( )Y X
Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas
bawah interval negatif dan batas atas interval positif.
Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas bawah interval positif
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
]1 ,3[ ]5 ,2[ −== YX
]5 ,15[−=⋅YX
] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yyx
=⋅=
<<≥7).yy x x0
( ) ( )Y X
Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang
lain (yang positif).
Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karena kedua batas atas tersebut positif.
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yxx
=⋅=
≤<<y y x x0( ) ( )
Y X8).
]2 ,5[ ]3 ,1[ −−=−= YX
]5 ,15[−=⋅YX
Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas
bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.
Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
Contoh dan Penjelasan
]1 ,4[ ]5 ,2[ −=−= YX
]8 ,20[8}] ,5{maks },20,2[min{ −=−−=⋅YX
}] ,maks{ }, ,min{[
0dan 0
yxyxyxyx
YXZ
yyxx
=⋅=
<<<<
9). y yx x0( )( )
Y X
Kedua interval mengandung nol. Pada formulasi umum
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅
Akan bernilai negatif sehinggatak mungkin menjadi
batas maksimum
Akan bernilai positif sehingga tak mungkin menjadi
batas minimum
Contoh dan Penjelasan
Kebalikan Interval
Apabila X adalah satu interval yang tidak mengandung 0, kebalikan dari X didefinisikan sebagai
} :/1{1
XxxX
∈=
Dengan memperhatikan batas atas dan batas bawahnya, maka
]/1 ,/1[1
xxX
=
Contoh: X = [2, 10] → 1/X = [0.1, 0.5]
Jika ditinjau keadaan umum dimana interval X mengandung 0, kebalikan dari X akan terdiri dari dua interval terpisah satu sama lain.
Keadaan demikian ini belum akan kita lihat.
Pembagian Interval
Pembagian interval X oleh interval Y adalah perkalian antara Xdengan kebalikan Y.
]/1 ,/1[] ,[1
xxxxY
XY
X ⋅=⋅=
Contoh: X = [4, 10], Y = [2, 10]
→ X/Y = [4, 10] [0.1, 0.5] = [0.4, 5]
Sifat-Sifat Aritmatika Interval
Jika interval-interval mengalami degenerasi, maka operasi-operasi aritmatika interval berubah menjadi aritmatika bilangan
biasa yang sudah kita kenal.
Kita boleh mengharap bahwa sifat-sifat aritmatika bilangan biasa yang kita kenal, muncul juga dalam aritmatika
interval. Ternyata memang demikian.
Akan tetapi muncul juga perbedaan-perbedaan yang sangat menyolok.
} , :{ YyXxyxYX ∈∈+=+
} , :{ YyXxxyYX ∈∈=⋅
Operasi penjumlahan dan perkalian interval telah didefinisikan sebagai
Penjumlahan bersifat asosiatif dan perkalian bersifat komutatif.
XYYXZYXZYX +=+++=++ ;)()(
YXXYZXYYZX == ;)()(
Nol dan Satu adalah interval yang mengalami degenerasi:
[0, 0] dan [1, 1]
yang dituliskan sebagai 0 dan 1
Jadi X + 0 = 0 + X dan 1·X = X·1
Perbedaan menyolok dengan aritmatika biasa adalah bahwa dalam aritmatika interval:
X − X ≠ 0 dan X / X ≠ 1 jika w(X) > 0
]1 ,1)[(] ,[ −=−−=− XwxxxxXX
0 jika ]/ ,/[/
0 jika ]/ ,/[/
<=>=
XxxxxXX
XxxxxXX
Sifat distributif dalam aritmatika interval adalah:
X (Y + Z) = XY + XZ
Sifat distributif ini tetap berlaku dalam kasus-kasus khusus berikut:
1) Jika Y dan Z adalah interval simetris;
2) Jika YZ > 0
Namun sifat distributif tidak senantiasa berlaku:
[0, 1] (1-1) = 0
tetapi
[0, 1] − [0, 1] = [−1, 1]
Bahan Kuliah Terbuka
Aritmatika Interval
Sudaryatno Sudirham