Download - AP Polonius

Transcript

MAKALAH SEMINAR PENDIDIKAN MATEMATIKA

Pembuktian Dalil Apollonius pada Ellips dan Hiperbola

Oleh :

Fitri Handayani

NIM. 07 05045 136

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MULAWARMAN

2010

i

HALAMAN JUDUL DAN PENGESAHAN

Judul : Pembuktian Dalil Apollonius pada Ellips

dan Hiperbola

Nama : Fitri Handayani

Nim : 070504536

Diajukan pada mata kuliah : Seminar PendidikanMatematika

Pembimbing I

Dra. Suriaty, M.PdNIP. 19571213 198601 2 001

Pembimbing II

Drs. H. Zainuddin Untu, M.PdNIP.19651231 199203 1 041

Pembimbing III

Safrudiannur, S.Pd, M.PdNIP.

ii

KATA PENGANTAR

Segala puji hanya milik Allah SWT, karena berkat rahmat dan hidayah-

Nya makalah ini dapat disusun. Shalawat dan salam semoga selalu tercurah

kepada suri teladan, Rasulullah SAW.

Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Seminar

Pendidikan Matematika dengan judul “Pembuktian Dalil Apollonius pada Ellips

dan Hiperbola”.

Tak lupa penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Drs. Zainuddin

Untu, M.Pd dan Bapak Safrudiannur, M. Pd serta Ibu Dra. Suriaty, M.Pd selaku

dosen mata kuliah Seminar Pendidikan Matematika yang telah memberikan

bimbingan dan arahan selama penyusunan makalah ini. Penulis juga

mengucapkan terima kasih kepada keluarga dan teman-teman yang memberikan

semangat dan bantuan kepada penulis.

Penulis menyadari, bahwa makalah ini masih terdapat banyak kekurangan,

karena keterbatasan kemampuan penulis dalam penyusunannya. Oleh karena itu

kritik dan saran sebagai perbaikan sangat penulis harapkan.

Samarinda, 26 Desember 2010

Penulis

iii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL DAN PENGESAHAN ................................................... i

KATA PENGANTAR...................................................................................... ii

DAFTAR ISI .................................................................................................... iii

BAB I. PENDAHULUAN ..................................................................................1

A. Latar Belakang ..................................................................................1

B. Rumusan Masalah..............................................................................2

C. Batasan Masalah ................................................................................2

D. Tujuan Penulisan ...............................................................................2

E. Manfaat Penulisan..............................................................................3

BAB II. PEMBAHASAN....................................................................................4

A. Ellips .................................................................................................4

B. Pembuktian Dalil Apollonius I pada Ellips.........................................8

C. Pembuktian Dalil Apollonius II pada Ellips .......................................6

D. Hiperbola...........................................................................................10

E. Pembuktian Dalil Apollonius I pada Hiperbola ..................................12

F. Pembuktian Dalil Apollonius II pada Hiperbola .................................16

BAB III. PENUTUP.............................................................................................22

A. Kesimpulan .......................................................................................22

B. Saran .................................................................................................22

DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................23

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika memiliki struktur dan keterkaitan yang kuat dan jelas antar

konsepnya. Sehingga untuk mencapai konsep yang lebih tinggi, harus

diketahui dulu konsep-konsep dasar yang menjadi pondasinya. Begitu pula

dengan irisan kerucut.

Untuk memahami lebih dalam tentang irisan kerucut, harus dipahami

terlebih dahulu konsep tentang kerucut, bangun ruang, bangun datar, dan

konsep-konsep dasar lain yang mendukung. Apollonius adalah salah satu

matematikawan yang memperkenalkan irisan kerucut lewat karya-karyanya

yang berdampak besar bagi perkembangan matematika. Buku karyanya yang

terkenal, Conics (kerucut), mengenalkan istilah-istilah yang sekarang populer

seperti: parabola, elips dan hiperbola. Disebut dengan kerucut karena irisan

dari sebuah kerucut akan menghasilkan tiga bentuk yang sudah disebut di atas.

Dalam pembahasannya tentang irisan kerucut, Apollonius menemukan

sebuah dalil pada ellips dan hiperbola yang kemudian diberi nama Dalil

Apollonius. Pada ellips, Dalil Apollonius I berbunyi, ”Jumlah kuadrat garis

tengah sekawan sama dengan jumlah kuadrat sumbu-sumbunya” dan Dalil

Apollonius II, “Luas jajargenjang yang mengelilingi elips pada garis-garis

tengah sekawan sama dengan luas persegi panjang pada sumbu-sumbu ellips”.

Pada hiperbola, Dalil Apollonius I berbunyi, “Selisih kuadrat garis

tengah sekawan sama dengan selisih kuadrat sumbu-sumbunya.” dan Dalil

2

Apollonius II, “Luas jajargenjang yang mengelilingi hiperbola pada garis-garis

tengah sekawan sama dengan luas persegi panjang pada sumbu-sumbu

hiperbola”. Dalil-dalil ini tentu akan semakin jelas apabila diketahui alur

penemuannya, yang pada akhirnya akan terlihat dengan jelas pula keterkaitan

antar konsepnya. Untuk itu perlu dilakukan pembuktian pada dalil tersebut.

Berdasarkan pemaparan di atas, penulis ingin membahas pembuktian

Dalil Apollonius pada ellips dan hiperbola.

B. Rumusan Masalah

Dari latar belakang dan batasan masalah di atas penulis merumuskan

masalah yaitu bagaimana pembuktian Dalil Apollonius I dan II pada ellips dan

hiperbola?

C. Batasan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan di atas, maka dalam

makalah ini penulis membatasi masalah pada pembuktian Dalil Apollonius I

dan II pada ellips dan hiperbola.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan yang diharapkan dari penulisan ini adalah untuk membuktikan

Dalil Apollonius pada ellips dan hiperbola yaitu, pada ellips Dalil Apollonius I

berbunyi, ”Jumlah kuadrat garis tengah sekawan sama dengan jumlah kuadrat

sumbu-sumbunya” dan Dalil Apollonius II, “Luas jajargenjang yang

3

mengelilingi elips pada garis-garis tengah sekawan sama dengan luas persegi

panjang pada sumbu-sumbu ellips”. Pada hiperbola, Dalil Apollonius I

berbunyi, “Selisih kuadrat garis tengah sekawan sama dengan selisih kuadrat

sumbu-sumbunya.” dan Dalil Apollonius II, “Luas jajargenjang yang

mengelilingi hiperbola pada garis-garis tengah sekawan sama dengan luas

persegi panjang pada sumbu-sumbu hiperbola”.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang dapat diambil dari hasil penulisan ini adalah dapat

membantu siswa, guru, dan semua pihak yang berminat pada matematika

dalam memahami Dalil Apollonius pada ellips dan hiperbola, serta dapat

menambah pengetahuan kita tentang materi ellips dan hiperbola khususnya

pada mata kuliah Geometri Analit Bidang dan Ruang.

4

BAB II

PEMBAHASAN

A. Ellips

Ellips adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik pada bidang

datar yang jaraknya terhadap dua titik adalah tetap (konstan) dan merupakan

bilangan tertentu, kedua titik tetap itu disebut focus. Dari definisi tersebut,

diperoleh persamaan ellips dengan pusat O(0,0) adalah 12

2

2

2

b

y

a

x. Untuk

ellips dengan pusat P ),( , persamaannya adalah 1)()(

2

2

2

2

b

y

a

x .

Suatu garis lurus dapat memotong ellips, menyinggung, atau tidak

memotong dan menyinggung ellips. Dalam hal yang terakhir, garis dan ellips

tidak mempunyai titik persekutuan.

Misalkan persamaan garis yang gradiennya m adalah nxmy dan

persamaan ellips 12

2

2

2

b

y

a

x, maka untuk garis yang menyinggung ellips

atau disebut garis singgung ellips, persamaannya adalah

222 mabmxy . persamaan ini untuk ellips dengan pusat O(0,0).

Tampak bahwa ada dua garis singgung yang gradiennya m. Sedangkan untuk

ellips yang berpusat di P ),( dengan gradien m, persamaan garis

singgungnya adalah 222)()( mabxmy .

5

Persamaan garis singgung ellips juga dapat diperoleh dengan

menggunakan titik singgung yang diketahui. Misal titik singgungnya adalah T

),( 11 yx .

Persamaan garis yang menyinggung ellips 12

2

2

2

b

y

a

xadalah

12

12

1 b

yy

a

xx, sedangkan garis singgung ellips 1

)()(2

2

2

2

b

y

a

x ,

persamaannya adalah 1))(())((

21

21

b

yy

a

xx .

Garis-garis tengah y = mx dan xma

by

2

2 disebut garis-garis tengah

sekawan, sedangkan m1= m dan m2 = ma

b2

2disebut arah-arah sekawan.

Berarti 2

2

21 a

bmm

< 0 sehingga m1 dan m2 berlawanan tanda. Jadi, garis-

garis tengah sekawan ellips dipisahkan oleh sumbu-sumbu koordinat.

6

B. Pembuktian Dalil Apollonius I pada Ellips

“Jumlah kuadrat garis tengah sekawan sama dengan jumlah kuadrat sumbu-

sumbunya”

Persamaan Ellips 12

2

2

2

b

y

a

x

Misal ),( 11 yxP dan ),( 11 yxQ adalah titik ujung garis tengah sekawan.

Garis singgung di P memiliki persamaan 12

1

2

1 b

yy

a

xx

Gradiennya 1

2

1

2

1 ya

xbm

Gradien PQ adalah 1

12 x

ym

A

P(x1,y1)

D

S

C

Q

B O

R(x2,y2)

a1b1

a

bx

y

7

Apabila kedua gradien dikalikan, 1

1

12

12

21 x

y

ya

xbmm

maka hasilnya adalah

2

2

21 a

bmm

Hal ini menujukkan bahwa garis singgung di P sejajar dengan garis tengah yang

sekawan dengan P Q.

Jadi garis singgung di P sejajar dengan garis tengah sekawan PQ

Jika RS garis tengah sekawan PQ maka persamaannya 02

1

2

1 b

yy

a

xx.

Koordinat R dan S sebagai koordinat-koordinat titik potong RS dengan ellips.

Dari persamaan garis RS diperoleh1

21

ya

bxx

b

y sehingga 1

2

12

12

2

ya

bxx

a

xatau

112

12

221

2

2

ya

bx

a

x. Karena P(x1,y1) terletak pada ellips maka

2221

2221 bayabx . Jadi 1

21

2

22

2

2

ya

ba

a

xatau 1

1 21

2

22

ya

bxatau 12 y

b

ax ,

sehingga 12 xa

by .

Jadi,

11 , x

a

by

b

aR dan

11, x

a

by

b

aS

Jika 1aOP , 1bOR , maka

2

1

2

1

2

1 yxa

2

12

22

12

22

1 xa

by

b

ab

8

A

P(x1,y1)

D

S

C

Q

B O

R(x2,y2)a1

b1

ab

x

2

12

222

12

222

1

2

1 yb

bax

a

baba

2

21

2

21222

121 )(

b

y

a

xbaba , karena 1

2

2

1

2

2

1

b

y

a

x

222

1

2

1 baba

222

1

2

1 4444 baba

Jadi terbukti Dalil Apollonius I, bahwa “Jumlah kuadrat garis tengah sekawan

sama dengan jumlah kuadrat sumbu-sumbunya”

C. Pembuktian Dalil Apollonius II pada Ellips

“Luas jajargenjang yang mengelilingi elips pada garis-garis tengah sekawan sama

dengan luas persegi panjang pada sumbu-sumbu ellips”

9

1

2sinb

y

1

2cosb

x

1

1sina

y

1

1cosa

x

, sehingga

)sin(sin

sincoscossinsin

1

1

1

2

1

1

1

2sina

y

b

x

a

x

b

y

11

1221sinba

yxyx

Luas jajargenjang OPAR = sin11ba

= 11

122111 ba

yxyxba

= 1221 yxyx

Karena P(x1,y1) terletak pada ellips maka 2221

2221 bayabx . Jadi

12

12

22

2

2

ya

ba

a

xatau 1

1 21

2

22

ya

bxatau 12 y

b

ax , sehingga 12 x

a

by .

10

= 1221 yxyx

= 1111 yyb

ax

a

bx

= 2

1

2

1 yb

ax

a

b

=

2

2

1

2

2

1

b

y

a

xab , karena 1

2

2

1

2

2

1

b

y

a

x

= ab

Luas jajargenjang ABCD = ab4

= 4ab

Luas persegi panjang = panjang x lebar

Luas persegi panjang = abba 422

Jadi terbukti Dalil Apollonius II, bahwa “Luas jajargenjang yang mengelilingi

ellips pada garis-garis tengah sekawan sama dengan luas persegi panjang pada

sumbu-sumbu ellips”

D. Hiperbola

Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap

dua titik tertentu tetap besarnya atau hiperbola adalah tempat kedudukan yang

perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu tetap

besarnya dan perbandingan ini lebih besar dari 1. Titik itu disebut titik api dan

garis tertentu disebut garis arah ( direktris). Dari definisi tersebut, diperoleh

11

persamaan hiperbola dengan pusat O(0,0) adalah 12

2

2

2

b

y

a

x. Untuk

hiperbola dengan pusat P ),( , persamaannya adalah

1)()(

2

2

2

2

b

y

a

x .

Garis yang menyinggung hiperbola atau disebut garis singgung

hiperbola, persamaannya adalah 222 mabmxy , persamaan ini untuk

hiperbola dengan pusat O(0,0). Sedangkan untuk hiperbola dengan pusat P

),( , persamaan garis singgungnya adalah

222)()( mabxmy .

Persamaan garis singgung hiperbola juga dapat diperoleh dengan

menggunakan titik singgung yang diketahui. Misal titik singgungnya adalah T

),( 11 yx . Persamaan garis yang menyinggung hiperbola 12

2

2

2

b

y

a

xadalah

12

12

1 b

yy

a

xx, sedangkan garis singgung hiperbola 1

)()(2

2

2

2

b

y

a

x ,

persamaannya adalah 1))(())((

21

21

b

yy

a

xx .

Garis-garis tengah y = mx dan xma

by

2

2

disebut garis-garis tengah

sekawan, sedangkan m1= m dan m2 = ma

b2

2

disebut arah-arah sekawan.

Berarti 2

2

21 a

bmm > 0 sehingga m1 dan m2 mempunyai tanda yang sama.

12

E. Pembuktian Dalil Apollonius I pada Hiperbola

“Selisih kuadrat garis tengah sekawan sama dengan selisih kuadrat sumbu-

sumbunya”

Persamaan hiperbol yang melalui P adalah 12

2

2

2

b

y

a

x

Misal ),( 11 yxP dan ),( 11 yxQ adalah titik ujung garis tengah sekawan

Garis singgung di P memiliki persamaan 12

1

2

1 b

yy

a

xx

Gradiennya 1

2

1

2

1 ya

xbm

Gradien PQ adalah 1

12 x

ym

P (x1,y1)O

GD

CBD

F

E

A

a1b1

a

b

x

y

S

Q

R (x2,y2)

13

Apabila kedua gradient dikalikan, hasilnya 2

2

21 a

bmm

Jadi garis singgung di P sejajar dengan garis tengah sekawan PQ

Jika RS garis tengah sekawan PQ maka persamaannya 02

1

2

1 b

yy

a

xx

2

1

2

1

b

yy

a

xx

1

2

1

2

xb

yyax ...(i)

Koordinat R dan S sebagai koordinat-koordinat titik potong RS dengan

hiperbola 12

2

2

2

b

y

a

x …(ii)

Untuk mencari koordinat R dan S , substitusikan (i) dan (ii)

12

2

2

2

b

y

a

x

12

2

2

1

42

22

1

4

b

y

xba

yya

11

22

1

4

2

1

22

bxb

yay

12

1

4

2

1

22

1

22

xb

xbyay

14

22

22

2

1

22

1

2

2

1

42

1

1

ba

baxbya

xby

222

1

22

1

2

22

1

22

1)(

/

baxbya

axby

2

2

1

2

2

1

22

1

22 /

a

x

b

yaxb

y

2

2

1

2

2

1

22

1

22 /

a

x

b

yaxb

y

2

2

1

22

a

xby

a

bxy 1

a

bxy 1

2

Substitusikan a

bxy 1 ke persamaan (i) akan diperoleh

1

2

1

2

xb

yyax

axb

bxyax

1

2

11

2

b

ayx 1

15

b

ayx 1

2

11, xa

by

b

aR dan

11 , x

a

by

b

aS

Jika 1aOP , 1bOR , maka

2

1

2

1

2

1 yxa

2

12

22

12

22

1 xa

by

b

ab

2

12

222

12

222

1

2

1 yb

bax

a

baba

2

2

1

2

2

1222

1

2

1 )(b

y

a

xbaba , karena 1

2

2

1

2

2

1

b

y

a

x

222

1

2

1 baba

222

1

2

1 4444 baba

Jadi terbukti Dalil Apollonius I , bahwa “Selisih kuadrat garis tengah sekawan

sama dengan selisih kuadrat sumbu-sumbunya”.

16

F. Pembuktian Dalil Apollonius II pada Hiperbola

“Luas jajargenjang pada garis-garis tengah sekawan sama dengan luas persegi

panjang pada sumbu-sumbu hiperbola”

1

2sinb

y

1

2cosb

x

1

1sina

y

1

1cosa

x

, sehingga

)sin(sin

sincoscossinsin

P (x1,y1)O

GD

CBD

F

E

A

a1

b1

a

b

x

y

S

Q

R (x2,y2)

17

1

1

1

2

1

1

1

2sina

y

b

x

a

x

b

y

11

1221sinba

yxyx

Luas jajargenjang OPFR = sin11ba

= 11

122111 ba

yxyxba

= 1221 yxyx

Karena P(x1,y1) terletak pada hiperbola maka 2221

2221 bayabx . Jadi

12

12

22

2

2

ya

ba

a

xatau 1

1 21

2

22

ya

bxatau 12 y

b

ax , sehingga 12 x

a

by

= 1111 yyb

ax

a

bx

= 2

1

2

1 yb

ax

a

b

=

2

2

1

2

2

1

b

y

a

xab , karena 1

2

2

1

2

2

1

b

y

a

x

= ab

Luas jajargenjang DEFG = ab4

Luas persegi panjang ABCD = pajang x lebar

Luas persegi panjang ABCD = abba 422

Jadi terbukti Dalil Apollonius II , bahwa “Luas jajargenjang pada garis-garis

tengah sekawan sama dengan luas persegi panjang pada sumbu-sumbu hiperbola”.

18

Contoh Soal:

1. Tentukan persamaan garis singgung pada ellips 1520

22

yx

yang tegak lurus garis 2x – 2y + 13 = 0

Penyelesaian:

Koefisien arah garis 2x – 2y + 13 = 0 adalah m1 = 1

Andaikan persamaan garis singgungnya mempunyai arah persamaan m, maka

berlakulah m.(m1) = -1. Jadi, persamaan garis singgungnya

222 mabmxy

5)1(20 2 xy

5 xy

Jadi, persamaan garis singgung pertama y = -x + 5 dan garis singgung kedua

adalah y = -x – 5

2. Tentukan persamaan garis singgung pada ellips 12430

22

yx

yang mempunyai absis 5.

Penyelesaian:

Titik yang mempunyai absis 5 pada ellips ordinatnya dapat dicari dengan cara

mensubtitusikan absisnya ke persamaan ellips.

19

12430

22

yx

Untuk x = 5, maka

12430

22

yx

12430

5 22

y

12430

252

y

1246

52

y

24

24

2424

202

y

24

20

24

24

24

2y

24

4

24

2

y

6

1

24

2

y

246 2 y

6

242 y

42 y

4 y

20

2y

Titik singgungnya (5,2) dan (5,-2). Rumus persamaan garis singgung

12

12

1 b

yy

a

xx

124

2

30

5

yx

12126

yx

12

12

1212

2

yx

2x + y = 12 atau 2x + y – 12 = 0

Garis singgung yang kedua melalui (5, -2) adalah

124

2

30

5

yx

124

2

30

5

yx

12126

yx

12

12

1212

2

yx

12126

yx

12

12

1212

2

yx

2x - y = 12 atau 2x - y – 12 = 0

Jadi, persamaan garis singgung pada ellips adalah 2x + y – 12 = 0 dan

21

2x - y – 12 = 0

3. Tentukan persamaan garis singgung pada ellips 1

520

22

yx

yang melalui titik A(2, -1).

Penyelesaian:

Perlu diselidiki letak A(2, -1) terhadap ellips. Ternyata titik A terletak di luar

ellips. Misal titik S(x0, y0) adalah titik singgungnya, maka persamaan garis

singgung di S adalah

11400

yyxx

atau x0x + 4y0y = 4. titik A pada garis singgung, maka

2x0 + 4y0 = 4 atau x0 = 2y0 + 2 ………(i)

Titik S terletak pada ellips, jadi berlaku

114

20

20

yx

atau x02 + 4y0

2 = 4 ………(ii)

dari (i) dan (ii) diperoleh

(2y0 + 2)2 + 4y02 = 4

4y02 + 8y0 + 4 + 4y0

2 = 4

y02 + y0 = 0.

Jadi, persamaan garis singgung pada ellips adalah y01 = -1 dan y02 = 0

22

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dari pembahasan dapat disimpulkan bahwa:

1. Dalil Apollonius I pada ellips yang berbunyi, “Jumlah kuadrat garis

tengah sekawan sama dengan jumlah kuadrat sumbu-sumbunya” dan

Dalil Apollonius I pada hiperbola yang berbunyi, “Selisih kuadrat garis

tengah sekawan sama dengan selisih kuadrat sumbu-sumbunya”,

dibuktikan dengan memanfaatkan konsep garis singgung, garis tengah

sekawan, Teorema Pythagoras, dan operasi aljabar.

2. Dalil Apollonius II pada ellips yang berbunyi, “Luas jajargenjang yang

mengelilingi elips pada garis-garis tengah sekawan sama dengan luas

persegi panjang pada sumbu-sumbu ellips” dan Dalil Apollonius II pada

hiperbola yang berbunyi, “Luas jajargenjang pada garis-garis tengah

sekawan sama dengan luas persegi panjang pada sumbu-sumbu

hiperbola”, dibuktikan dengan memanfaatkan konsep trigonometri,

geometri, dan operasi aljabar.

B. Saran

Diharapkan dengan adanya makalah seminar ini dapat menambah

pengetahuan khususnya bagi guru untuk dapat menjelaskan pembuktian Dalil

Apollonius pada ellips dan hiperbola dalam pembelajaran.

23

DAFTAR PUSTAKA

Kukuh. 2003. Geometri Anallit Bidang dan Ruang Bagian II. Samarinda : FKIP

Universitas Mulawarman.

http://id.wikipedia.org/wiki/Apollonius_dari_Perga (diakses pada tanggal 20

Oktober 2010 pukul 16.40)

http://www.matematikk.org/biografi/vis.html?tid=62492 (diakses pada tanggal 20

Oktober 2010 pukul 16.55)

http://choirisa.blogspot.com/2009/06/matematika-dan-ilmperkembangannya.html

(diakses pada tanggal 2 November 2010 pukul 11.30)


Top Related