23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear ElementerMA1223
3 SKSSilabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 2
RUANG VEKTOR
Sub Pokok Bahasan– Ruang Vektor Umum– Subruang– Basis dan Dimensi– Basis Subruang
Beberapa Aplikasi Ruang VektorBeberapa metode optimasi Sistem KontrolOperation Research dan lain-lain
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 3
Ruang Vektor Umum
Misalkan dan k, l RiilV dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :
1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan Untuk setiap
2.
3.4. Terdapat sehingga untuk setiap
berlaku5. Untuk setiap terdapat sehingga
Vwvu ,,
Vvu maka, Vvu
vu uv
wvuwvu
uuu 00V0 Vu
Vu u 0 uuuu
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 4
6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar. Untuk setiap dan k Riil maka
7. 8. 9. 10.
Vu Vuk
vkukvuk
ulukulk
ukluklulk
uu .1
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 5
Contoh :1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar
(operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar). Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n)
2. Himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar), Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn)
3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 6
Ruang Euclides orde nOperasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:• Penjumlahan • Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)
• Perkalian Titik (Euclidean inner product)
• Panjang vektor didefinisikan oleh :
• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :
nn vuvuvuvu ...,,, 2211
nkukukuuk ,...,, 21
nnvuvuvuvu ...2211
21
uuu
vuvud , 2222
211 ... nn vuvuvu
222
21 ... nuuu
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 7
Contoh :Diketahui danTentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut
Jawab:Panjang vektor :
Jarak kedua vektor
3,2,1,1u 1,1,2,2v
vuvud ,
21
uuu 153211 2222
101122 2222 v
2222 13122121
7
2111 2222
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 8
Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V
W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga merupakan ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.
Syarat W disebut subruang dari V adalah :1. W { }2. W V3. Jika maka 4. Jika dan k Riil maka
Wvu , Wvu Wu Wuk
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 9
Contoh :Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2
Jawab :
2. Jelas bahwa W M2x23. Ambil sembarang matriks A, B W
Tulis dan
maka0000
1. WO
W
00
2
1a
aA
00
2
1b
bB
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 10
Perhatikan bahwa :
Ini menunjukan bahwa 4. Ambil sembarang matriks A W dan k Riil
maka
Ini menunjukan bahwa
Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.
00
00
00
22
11
2
1
2
1
baba
bb
aa
BA
WBA
Wka
kakA
00
2
1
WkA
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 11
Contoh :Periksa apakah himpunan D yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinannya nol merupakan subruang dari ruang vektor M2x2
Jawab :
00ba
A
abB
00
Ambil sembarang matriks A, B WPilih a ≠ b :
, jelas bahwa det (A) = 0
, jelas bahwa det (A) = 0
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 12
BA
abba
Perhatikan bahwa :
=
Jadi D bukan merupakan subruang karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan
Karena a ≠ bMaka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 13
u
1v 2v nv
nnvkvkvku ...2211
Sebuah vektor dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor
,
, … , jika vektor – vektor tersebut dapat dinyatakan dalam
bentuk :
dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 14
Contohu v
a
b
c
Misal = (2, 4, 0), dan
Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas
= (4, 2, 6)
c. = (0, 0, 0)
adalah vektor-vektor di R3. = (1, –1, 3)
b. = (1, 5, 6)
a.
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 15
6 2 4
3 1- 1
0 4 2
21 kk
6 2 4
3 0 1- 4 1 2
2
1
k
k
a. Tulis akan diperiksa apakah ada k1, k2,
sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.
Ini dapat ditulis menjadi:
Jawab :
avkuk 21
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 16
0 0 0 2 1 0 2 1
~6 3 0 6- 3- 1 2 1 2
12
1
a u
vua 2
dengan OBE, diperoleh:
Dengan demikian, merupakan kombinasi linear dari vektor dan
atau
v
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 17
bvkuk
21
6 5 1
3 1- 1
0 4 2
21 kk
6 5 1
3 0 1- 4 1 2
2
1
kk
b. Tulis :
ini dapat ditulis menjadi:
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 18
3 0 0 2 1 0
1 ~
6 3 0 3 3- 0 0 1
~ 6 3 0
5 1- 4 1 1 2 2
12
12
1
dengan OBE dapat kita peroleh :
Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwaSPL tersebut adalah tidak konsisten(tidak mempunyaisolusi). Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari u dan v
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 19
c.Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0, maka dapat ditulis
cvkuk
21
artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 20
1v
2v
3v
Himpunan vektor
dikatakan membangun suatu ruang vektor V
jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S.
= (1, 1, 2),
= (1, 0, 1), dan
= (2, 1, 3)
Definisi membangun dan bebas linear
nvvvS ,...,, 21
Contoh :Tentukan
apakah
membangun V???
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 21
3
2
1
3
2
1
312101211
uuu
kkk
Jawab :
misalkan
.
Tulis :
.
Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :
Ambil sembarang vektor di R2
332211 vkvkvku
3
2
1
uuu
u
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 22
Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear
1 1 2 u10 -1 -1 u2 u10 0 0 u3 u1 u2
SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten) Dengan OBE
diperoleh :
haruslah u3 – u2 – u1 = 0 Agar SPL itu konsisten Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat) Dengan demikian vektor – vektor tersebut tidak membangun R3
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 23
nuuuS ,...,, 21Misalkan
0...1211 nnukukuk
01 k 02 k 0nk
S dikatakan bebas linear (linearly independent)
hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni
,...,
adalah himpunan vektor diruang vektor V
JIKA SPL homogen :
,
Jika solusinya tidak tunggal
(Bergantung linear / linearly dependent) maka S kita namakan himpunan tak bebas linear
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 24
2,3,1u 1,1,1 a
021
akuk
000
121311-
2
1
kk
Diketahui dan
Apakah saling bebas linear di R3
Tulis
atau
Contoh :
Jawab :
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 25
~000
121311-
~
000
104011
000
001001
dengan OBE dapat diperoleh :
dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :
k1 = 0, dan k2 = 0. Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 26
231
a
111
b
46
2c
ckbkak 3210
412613
211
321
kkk
000
Contoh 8 :Misal :
,
,
Jawab :
atau
=
Tulis :
Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3
Contoh :
Misalkan
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 27
~010040211
000010211
cba ,,
dengan OBE diperoleh :
Ini menunjukan bahwa k1, k2, k3 mrp solusi tak hingga banyak
adalah vektor-vektor yang bergantung linear.
Jadi
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 28
Basis dan DimensiJika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan himpunan berhingga dari vektor – vektor di V,maka S dinamakan basis bagi V
Jika kedua syarat berikut dipenuhi :• S membangun V• S bebas linear
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 29
2101
,41280
,0110
,63
63M
dc
bakkkk
2101
41280
0110
6363
4321
Contoh :Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :
merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2 Jawab :
Tulis kombinasi linear :
atau
dcba
kkkkkkkkkkkk
4314321
32141
246123863
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 30
dcba
kkkk
4
3
2
1
240611213
08161003
dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks, diperoleh SPL :
Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48 • det(MK) 0 SPL memiliki solusi
untuk setiap a,b,c,d Jadi, M membangun M2 x 2 • Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, det(MK) 0 SPL homogen punya solusi tunggal. Jadi, M bebas linear.
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 31
Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2 maka M merupakan basis bagi M2 x 2. Ingat…Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal.
Contoh :Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks :
1000
,0100
,0010
,1001
juga merupakan basisnya.
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 32
12211321
1121A Vektor baris
Vektor kolom
Misalkan matriks :
dengan melakukan OBE diperoleh :
1 2 0 -10 0 1 00 0 0 0
Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 33
matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :
231
,111
basis ruang baris diperoleh dengan cara,
Mentransposkan terlebih dahulu matriks A,
lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :
1 0-12
0 112
0 0 00 0 0
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 34
Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A). Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :
1321
,
1121
Dimensi basis ruang baris = ruang kolomdinamakan rank. Jadi rank dari matriks A adalah 2.
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 35
Contoh :Diberikan SPL homogen :
2p + q – 2r – 2s = 0p – q + 2r – s = 0–p + 2q – 4r + s = 0 3p – 3s = 0
Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas
Jawab :SPL dapat ditulis dalam bentuk :
03003014210121102212
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 36
00000000000021001001
ba
srqp
0120
1001
dengan melakukan OBE diperoleh :
Solusi SPL homogen tersebut adalah :
dimana a, b merupakan parameter.
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 37
Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :
0120
,
1001
Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas. Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 38
8036
31
21
4210
2024
Latihan Bab 51.Nyatakanlah matriks
sebagai kombinasi linear dari matriks berikut :
dan
2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear !a.{6 – x2 , 6 + x + 4x2 }b.{1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x – x2}
, ,
3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 } membangun polinom orde 2 !
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 39
2222 cbacxbxaJ
4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan basis bagi polinom orde 2 (P2)
a.{4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2}b.{– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2}
Periksa apakah J merupakan subruang dari ruang vektor Polinom orde
dua Jika ya, tentukan basisnya
5. Misalkan
merupakan himpunan bagian dari ruang vektor
Polinom orde dua.
23/04/23 10:50 MA-1223 Aljabar Linear 40
6. Diberikan SPL homogen :p + 2q + 3 r = 0p + 2q – 3 r = 0p + 2q + 3 r = 0,
Tentukan basis ruang solusi (buktikan) dan tentukan dimensinya.
12211321
1121
7. Tentukan rank dari matriks :