Download - 5Momentum Linear Dan Tumbukan
Momentum Linear dan Tumbukan
BAB V
MOMENTUM LINIER DAN TUMBUKAN
Hukum kekekalan energi yang dibahas dalam bab terdahulu, hanyalah salah satu hukum
kekekalan di dalam fisika. Kuantitas lain yang ditemukan memiliki sifat kekal adalah
momentum linier, momentum sudut dan muatan listrik. Pada bab ini kita akan
membahas momentum linier dan kekalannya. Selanjutnya dengan menggunakan hukum
kekekalan momentum serta hukum kekekalan energi, kita akan menganalisis tumbukan.
Tumbukan terjadi jika ada interaksi “obyek”, sering disebut “partikel”, baik partikel
tunggal (seperti ledakan bom), maupun partikel ganda (seperti tumbukan antara dua
kelereng). Tumbukan dari interaksi partikel ganda tidak harus bersinggungan satu sama
lain. Tumbukan seperti ini disebut “interaksi medan”.
5.1 Momentum dan Hubungannya dengan Gaya
Momentum linier dari sebuah partikel didefinisikan sebagai hasil kali antara massa dan
kecepatan partikel tersebut. Momentum linier umumnya dinyatakan dengan simbol p.
Jika m menyatakan massa partikel dan v adalah kecepatannya, maka momentum linier
(selanjutnya disebut saja “momentum”) p adalah:
p = mv (5.1)
Karena kecepatan adalah sebuah vektor, maka momentum haruslah merupakan vektor.
Arah momentum sama dengan arah kecepatan, dan besar momentum adalah p = mv.
Karena v bergantung pada kerangka acuan maka kerangka ini haruslah ditetapkan.
Sebuah gaya diperlukan untuk mengubah momentum dari sebuah partikel, baik besar
maupun arahnya. Pernyataan Hukum II Newton dapat ditafsirkan dalam bahasa
momentum sebagai berikut: “Laju perubahan momentum dari sebuah partikel sebanding
dengan gaya resultan yang bekerja padanya”. Secara matematis ditulis:
(5.2)
dengan F adalah gaya total yang bekerja pada obyek dan p adalah perubahan
momentum resultan yang terjadi selama selang waktu t. Jika sistem terdiri dari sebuah
partikel bermassa m konstan, maka dengan memasukkan persamaan (5.1) ke persamaan
(5.2) kita dapatkan bentuk Hukum II Newton yang lazim kita gunakan selama ini.
Fisika Dasar V-1
Momentum Linear dan Tumbukan
Pada sistem partikel banyak yang terdiri dari n partikel dengan massa masing-masing
m1, m2, m3…..mn, sistem secara keseluruhan memiliki momentum total p. Momentum
total didefinisikan sebagai jumlah vektor semua momentum partikel dalam kerangka
acuan yang sama, yaitu;
p = p1 + p2 + …. + pn
= m1v1 + m2v2 +…+ mnvn (5.3)
dengan v1 adalah kecepatan m1, v2 adalah kecepatan m2, dan vn adalah kecepatan partikel
ke-n bermassa mn.
V.2 Kekekalam Momentum
Hukum kekekalan momentum adalah hukum kekekalan kedua yang diulas dalam buku
ini; yang pertama adalah hukum kekekalan energi. Pada pertengahan abad ke-17
ditemukan bahwa jumlah momentum dari dua obyek yang bertumbukan adalah konstan.
Contoh tumbukan dua bola billiard (Gambar 5.1).
Andaikan gaya eksternal total pada sistem ini adalah nol. Selanjutnya, meskipun
momentum dari tiap-tiap bola berubah karena tumbukan, ternyata jumlah momentumnya
ditemukan sama sebelum dan sesudah tumbukan.
Jika m1v1 adalah momentum dari bola 1 dan m2v2 adalah
momentum dari bola 2, keduanya diukur sebelum tumbukan,
maka momentum total kedua bola sebelum tumbukan adalah
m1v1+m2v2.
Setelah tumbukan, tiap-tiap bola mempunyai kecepatan dan momentum yang berbeda,
yakni m1v’1 dan m2v’2. Momentum total setelah tumbukan adalah m1v’1+m2v’2. Dengan
demikian tanpa gaya eksternal berlaku:
m1v1+m2v2 = m1v’1+m2v’2 (5.4)
Dalam hal ini, vektor momentum total dari sistem dua bola adalah kekal atau konstan.
Fisika Dasar V-2
m1v1 m2v2
m1v’1 m2v’2
Gambar 5.1 Tumbukan dua buah bola billiard
Momentum Linear dan Tumbukan
Meskipun prinsip kekekalan momentum ditemukan secara eksperimental, namun kita
dapat juga menurunkannya dari hukum gerak Newton. Dari Gambar 5.1, anggap gaya F
terdapat pada satu bola dan mendorong bola lain selama tumbukan. Gaya rata-rata
selama waktu tumbukan t diberikan oleh:
F = p/t atau F t =p (5.5)
Jika persamaan (5.5) diterapkan pada bola 1 (Gambar 5.1) dengan mengambil kecepatan
bola 1 adalah v1 dan v’1 adalah kecepatan bola 1 setelah tumbukan, maka Ft=m1v’1-
m1v1.
Dalam hubungan diatas, F adalah gaya pada bola 1 mendorong bola 2, dan t adalah
waktu kontak kedua bola selam tumbukan. Bilamana persamaan (5.5) diterapkan pada
bola 2, berdasarkan hukum Newton ketiga, gaya pada bola 2 terhadap bola 1 adalah F,
sehingga ditulis -Ft=m2v’2-m2v2.
Kombinasi persamaan untuk bola 1 dan bola 2 diperoleh:
m1v’1-m1v1= -( m2v’2-m2v2) atau m1v’1+ m2v’2 = m1v1+ m2v2.
Persamaan terakhir diatas menunjukkan bahwa jika jumlah gaya-gaya yang bekerja pada
sistem adalah nol, maka p=0, sehingga tidak ada perubahan momentum total. Jadi
pernyataan umum “ hukum kekekalan momentum” adalah “Momentum total dari suatu
sistem terisolir adalah konstan”.
Contoh soal 1.
Sebuah mobil dengan massa 10.000 kg bergerak dengan kecepatan 24,0 m/s menabrak
mobil sejenis yang sedang mogok. Selanjutnya kedua mobil berjalan beriringan setelah
bertabrakan. Berapa kecepatan kedua mobil?
Jawab.
Momentum total awal adalah m1v1+ m2v2 = (10.000 kg)(24,0m/s)+ (10.000 kg)(24,0m/s)
=2,4x105 kgm/s. Setelah tumbukan, kedua mobil bergerak dengan kecepatan yang sama
(mobil berjalan mendorong mobil mogok), jadi: (m1+m2)v’=2,4x105kgm/s. Maka v’ =
(2,4x105kgm/s) / (2,0x104 kg) =12,0 m/s.
Fisika Dasar V-3
Momentum Linear dan Tumbukan
5.3 Sistem dengan Massa yang Berubah
Pada pasal-pasal terdahulu telah dibahas sistem dengan massa total M yang tetap
terhadap waktu. Sekarang akan dibahas sistem dengan massa yang berubah. Jika
terdapat massa yang masuk ke dalam sistem, laju perubahan massa dM/dt diberi tanda
positif; sebaliknya jika terdapat massa yang keluar diberi tanda negatif. Contoh yang
aktual dari sistem ini adalah roket yang diluncurkan.
Gambar 5.2 Peluncuran roket (a) pada saat peluncuran (b) pada saat t+t
Gambar 5.2a memperlihatkan sebuah sistem bermassa M yang bergerak dengan
kecepatan v terhadap kerangka acuan tertentu. Gaya eksternal Feks bekerja pada sistem.
Setelah saat berikutnya t+ t, susunannya berubah menjadi seperti dalam gambar 5.2b.
Massa sebesar M keluar dari sistem dan bergerak dengan kecepatan u terhadap
pengamat. Massa dan kecepatan sistem berubah secara berurutan menjadi M-M dan
v+v. Berdasarkan persamaan (5.2):
(5.6)
Dengan pf adalah momentum akhir sistem (Gambar 5.2b) dan pi adalah momentum awal
sistem (Gambar 5.2a). Momentum akhir sistem diberikan oleh:
(5.7a)
Momentum awal sistem adalah:
pi =Mvi (5.7b)
Sehingga persamaan (5.6) menjadi:
Fisika Dasar V-4
t+t v+vt v
ba
uM
M-M
Momentum Linear dan Tumbukan
(5.8)
Jika t dibuat menuju nol, keadaan Gambar 5.2b mendekati keadaan Gambar 5.2a,
dalam hal ini v/t mendekati dv/dt. Besaran M adalah massa yang ditolakkan dalam
waktu t. Karena perubahan massa benda terhadap waktu, dM/dt, dalam hal ini harus
berharga negatif, maka ketika t manuju nol, besaran positif M/t kita ganti dengan –
dM/dt. Akhirnya, v menuju nol bila t menuju nol. Dengan demikian persamaan (5.8)
menjadi:
(5.9a)
atau (5.9b)
Persamaan (5.9) merupakan pernyataan matematis dari Hukum II Newton, yang
mendefinisikan gaya luar pada obyek yang massanya berubah. Kita perhatikan bahwa
jika laju perubahan massa adalah nol (massa konstan) maka pernyataan (5.9) akan
kembali ke bentuk lazim yaitu F=Ma.
Contoh soal 2.
Sebuah senapan mesin dipasang di atas kereta yang dapat menggelinding bebas tanpa
gesekan di atas permukaan horizontal. Massa sistem (kereta+senapan) pada satu saat
tertentu adalah M. Pada saat tersebut senapan memuntahkan perluru-peluru bermassa m
dengan kecepatan u terhadap kerangka acuan. Kecepatan kereta dalam kerangka ini
adalah v dan kecepatan peluru terhadap kereta adalah u-v. Banyaknya peluru yang
ditembakkan terhadap satuan waktu adalah n. Hitung percepatan yang dialami kereta!
Jawab.
Anggap tidak ada gaya eksternal yang bekerja pada sistem, maka berdasarkan
persamaan (5.19a) kita peroleh: , disini dv/dt = a (percepatan sistem),
vreal =u-v, dan dM/dt = -mn yaitu laju pengurangan massa sistem tiap satuan waktu. Ma
= (vreal)(-mn) atau .
Fisika Dasar V-5
Momentum Linear dan Tumbukan
5.4 Tumbukan dan Impuls
Pada saat dua benda bertumbukan, keduanya umumnya mengalami deformasi yang
melibatkan gaya-gaya yang kuat. Gaya-gaya tersebut adalah gaya kontak berdasarkan
hukum Newton kedua, persamaan (5.2), besar vektor gaya tersebut adalah:
F=(p/t) (5.10)
Persamaan ini tentu saja diterapkan pada masing-masing benda
dalam suatu tumbukan. Dipahami bahwa tumbukan umumnya
terjadi dalam waktu yang sangat singkat sehingga gaya kontak
dapat ditulis dalam bentuk infinitesimal t 0, yakni F=dp/dt.
Jika kedua ruas persamaan (5.10) dikalikan dengan selang
waktu t, diperoleh:
Ft=p (5.11)
Kuantitas ruas kiri persamaan (5.11), yakni perkalian antara gaya F dengan interval
waktu t, disebut “impuls”. Disini terlihat bahwa perubahan total pada momentum sama
dengan impuls. Konsep impuls hanya terdapat pada tumbukan yang berlangsung sangat
singkat. Besar impuls dinyatakan oleh luas di bawh kurva Gambar 5.3.
Contoh soal 3.
a. Hitung impuls yang dialami oleh seseorang yang bermassa 70 kg pada tanah
setelah melompat dari ketinggian 3,0 m.
b. Kemudian perkiraan gaya rata-rata yang didorongkan kaki orang tersebut oleh
tanah kalau mendarat dengan kaki tegak
c. Sama dengan soal b tetapi kaki bengkok. Dalam hal ini, anggap tubuh bergerak
1,0 cm selama tumbukan, dan pada kasus kedua, bilamana kaki bengkok sekitar
50 cm.
Jawab.
Fisika Dasar V-6
t
t
F
Gambar 5.3 Besar impuls oleh luas kurva
Momentum Linear dan Tumbukan
a. Ambil percepatan sebesar a=g=9,8 m/s2, dan kecepatan awal vo =0. Maka
kecepatan tubuh saat mencapai tanah:
v=[2a(y-yo)]1/2 = [2(9,8m/s2)(,0m)]1/2 = 7,7 m/s. Impuls pada tubuh orang
tersebut:
Ft =p = p – po =0-(70 kg) (7,7 m/s) = -542 Ns
Tanda negatif menunjukkan bahwa arah gaya berlawanan dengan arah
momentum tubuh (gaya arahnya ke atas)
b. Tubuh berkurang kecepatnnya dari 7,7 m/s menjadi nol dalam jarak d=1,0
cm=1,0x10-2m. Laju rata-rata selama perioda ini adalah v=(7,7+0)/2=3,8 m/s.
sehingga waktu tumbukan diberikan oleh t=d/v =(1,0x10-2m)/(3,8m/s) = 2,6
x10-3 s. Besar gaya rata-rata orang tersebut (arah ke bawah); F= impuls/t =
(540 Ns)/(2,6x10-3) = 2,1x105 N dan F = Ftanah – mg, maka:
Ftanah = F + mg = (2,1x105N) + (70 kg)(9,8 m/s2)
= 2,1x105 N + 690 N =2,1x105N
c. d = 50 cm = 0,5 m.
t =d / v = (0,5 m)/(3,8 m/s) = 0,13 s
f =(540 Ns)/(0,13 s) = 4,2x103 N
ftanah = F + mg = $,2x103 N + 0,6x103 N = 4,9x103 N.
5.5 Kekekalan Energi dan Momentum pada Tumbukan
Pada pasal 5.2 telah dikemukakan adanya kekekalan momentum total pada tumbukan
antara dua obyek (bola biliard). Jika kedua obyek sangat keras dan elastis serta tidak ada
panas yang dihasilkan pada saat kedua obyek bertumbukan, maka energi kinetik adalah
kekal. Ini berarti bahwa energi kinetik sebelum dan sesudah tumbukan adalah sama.
Tumbukan dimana energi total adalah kekal disebut “tumbukan elastik”sedangkan
tumbukan dimana energi kinetik total tidak kekal disebut “tumbukan tidak elastik”.
Tumbukan elastik:
(1/2)m1v12+(1/2)m2v2
2 =(1/2)m1v1’2+(1/2)m2v2’ 2 (5.12)
m1v1+m2v2 =m1v1’+m2v2’
Tumbukan tidak elastik:
(1/2)m1v12+(1/2)m2v2
2 =(1/2)m1v1’2+(1/2)m2v2’ 2 + energi termal + bentuk energi lain
Fisika Dasar V-7
Momentum Linear dan Tumbukan
m1v1+m2v2 =m1v1’+m2v2’
Jadi pada tumbukan elastik berlaku hukum kekekalan energi kinetik dan hukum
kekekalan momentum; pada tumbukan tidak elastik tidak berlaku hukum kekekalan
energi kinetik namun berlaku hukum kekekalan momentum.
5.6 Tumbukan Eleastik dalam Satu Dimensi
Pada uraian berikut ini diterapkan kekekalan momentum dan energi kinetik buat
tumbukan elastik antara dua obyek kecil (partikel) yang saling bertumbukan, sedemikian
hingga semua gerak terjadi sepanjang garis lurus. Anggap bahwa kedua partikel
bergerak dengan kecepatan awal v1 dan v2 sepanjang sumbu-x (Gambar 5.4a). Setelah
tumbukan, kecepatannya masing-masing berubah menjadi v1’ dan v2’ (Gambar 5.4b).
Dari hukum kekekalan momentum, kita peroleh; m1v1+m2v2 =m1v1’+m2v2’. Oleh karena
tumbukan dianggap elastik, energi kinetik juga kekal; (1/2)m1v12+(1/2)m2v2
2
=(1/2)m1v1’2+(1/2)m2v2’ 2. Jika massa dan kecepatan awal diketahui, maka dengan
menggambarkan kedua persamaan di atas kecepatan sesudah tumbukan, yakni v1’ dan v2’
dapat ditentukan.
Persamaan kekekalan momentum dan energi kinetik dapat dituliskan kembali sebagai
berikut:
m1( v1 – v1’) =m2 (v2’-v2) (5.13)
m1( v12 – v1’
2) =m2( v2’ 2 – v2
2) (5.14a)
Persamaan (5.14a) dapat dituliskan kembali seperti;
m1( v1 – v1’) ( v1+ v1’)= m2 (v2’-v2) (v2’+v2) (5.14b)
Jika persamaan (5.14b) dibagikan dengan (5.13), diperoleh;
( v1+ v1’)= (v2’+v2) atau ( v1 – v2)=( v2’- v1’) (5.15)
Fisika Dasar V-8
m1v1 m2v2 m1v’1 m2v’2
Gambar 5.4 Tumbukan elastik dua obyek kecil (a). Sebelum tumbukan, (b). Setelah tumbukan
xb
y
xa
y
Momentum Linear dan Tumbukan
Dari persamaan (5.13) dan (5.15), dapat dinyatakan kecepatan akhir terhadap kecepatan
awal.
Contoh soal 5.
Dari data pada gambar dibawah ini, hitunglah
Gambar 5.5 Tumbukan elastik satu dimensi
a. Kecepatan m1 dan m2 setelah tumbukan, bila tumbukannya bersifat elastik satu
dimensi
b. Energi kinetik total sebelum tumbukan
c. Energi kinetik total setelah tumbukan dari hasil jawaban pertanyaan a.
Jawab.
Karena bidang licin, maka . Jadi kita dapat menggunakan
hubungan-hubungan diatas dengan ketentuan v1 = 5 m/s dan v2 = - 10 m/s.
a.
b. Ek (total) = (1/2)m1v12+(1/2)m2v2
2
= (1/2)(30x10-3kg)(5m/s)2+(1/2)(20x10-3kg)(-10 m/s)2
= 1,375 J
c. E’k (total) = (1/2)m1v1’2+(1/2)m2v2’ 2
= (1/2) (30x10-3kg)(-7m/s)2+(1/2)(20x10-3kg)(8m/s)2
= 1,375 J.
5.7 Tumbukan Elastik dalam Dua atau Tiga Dimensi
Fisika Dasar V-9
m1 M2
v1=5m/s v2 =-10m/s
Momentum Linear dan Tumbukan
Prinsip kekekalan momentum dan energi dapat juga diterapkan untuk tumbukan dalam
dua atau tiga dimensi. Untuk kasus demikian, kaidah vektor kembali berperan penting.
Contoh tumbukan semacam ini dapat dilihat pada permainan billiar, serta tumbukan
atom-atom. Gambar 5.5 memperlihatkan partikel 1 bermassa m1 bergerak sepanjang
sumbu-x dan menumbuk partikel 2 bermassa m2 yang mula-mula dalam keadaan diam.
Setelah kedua partikel terhambur, m1= membentuk sudut 1 terhadap x dan m2
membentuk sudut 2 terhadap sumbu-x.
Gambar 5.5 Tumbukan elastik dalam dua dimensi
Dari kekekalan energi kinetik diperoleh hubungan:
(1/2)m1v12+(1/2)m2v2
2 =(1/2)m1v1’2+(1/2)m2v2’ 2
Dari kekekalan momentum diperoleh:
p1 = p1’+p2’
Jika diuraikan dalam komponen vektornya, diperoleh:
px = px1’+px2’
m1v1 = m1v1’ cos 1’ +m2v2’ cos 2’ (5.16b)
py = py1’+py2’
0 = m1v1’ sin 1’ +m2v2’ sin 2’ (5.16c)
Ketiga persamaan (5.16a,b dan c) di atas bebas satu sama lain dan dapat ditemukan tiga
variabel yang tidak diketahui jika variabel lainnya diketahui.
Contoh soal 5.
Sebuah peluru bermassa 10 kg bergerak pada sumbu-x positif dengan kecepatan 140
m/s. Jika peluru ini kemudian pecah menjadi 3 bagian dengan data sebagai berikut:
m1 = 3kg, v1x = 210 m/s, v1y = -180 m/s, v1z = 80 m/s
m2 = 4 kg, v2x = 105 m/s, v2y =40 m/s, v2z = -60 m/s, maka
a. Nyatakan momentum linier awal peluru yakni pox, poy, poz.
Fisika Dasar V-10
p1
m2
p2’
x2’
y
m1
p1’m1
m2
1’
p1
m2
p2’
x2’
y
m1
p1’m1
m2
1’
Momentum Linear dan Tumbukan
b. Tuliskan persamaan komponen momentum linier akhir arah x,y,z (setelah peluru
terpecah tiga, abaikan gaya gravitasi)
c. Jika pecahan ketiga bermassa 3 kg tentukanlah besar dan arah kecepatan pecahan
tersebut.
Jawab.
a. Momentum awal peluru
pox = mvox = (10 kg) (140 m/s) = 1400 kg m/s
poy = mvoy = (10 kg) (0) = 0
poz = mvoz = (10 kg) (0) = 0
b. Momentum liniar akhir yaitu;
pfx = m1 v1x + m2 v2x + m3 v3x = (3x210)+(4x105)+ p3x=1400
pfy = m1 v1y+m2v2y+ m3 v3y = (3x(-180))+(4x40)+ p3y=0
pfz = m1 v1z + m2 v2z + m3 v3z =(3x80)+(4x(-60))+ p3z=0
pfx = 630 + 420 + p3x=1400
pfy =-540 + 160+ p3y=0
pfz = 240 – 240 + p3z=0
c. Besar dan arah pecahan ketiga
p3x=1400-1050=350 kgm/s, maka v3x = 350/3=116,7 m/s
p3y=0 + 380 = 380 kg m/s, maka v3y = 380/3 =126,7 m/s
p3z=0, maka v3z = 0/3 = 0 m/s
Besar kecepatan
arahnya terhadap sumbu-x
5.8 Pusat Massa
Sejauh ini obyek yang ditinjau diperlakukan sebagai partikel tunggal. Dalam gerak
translasi, tiap-tiap titik pada obyek mengalami pergeseran yang sama dengan titik
lainnya sepanjang waktu, sehingga gerak dari satu partikel menggambarkan gerak
keseluruhan obyek. Tetapi, walaupun dalam geraknya obyek berotasi ataupunm
Fisika Dasar V-11
Momentum Linear dan Tumbukan
bervibrasi, ada satu titik pada obyek yang bergerak serupa dengan gerak sebuah partikel
bila dikenai gaya luar yang sama, titik tersebut dinamakan “pusat massa”.
Tinjau sistem dua partikel m1 dan m2 yang masing-masing berjarak x1 dan x2 dari titik
pusat 0. Pusat massa sistem terletak pada jarak xcm dari titik pusat 0, dengan xcm
didefinisikan sebagai (lihat gambar 5.6).
(5.17)
dengan M=m1+m2 adalah massa total sistem. Pusat massa terletak pada garis antara m1
dan m2. Jika kedua massa sama (m1=m2=m), xcm persis berada di tengah, karena dalam
kasus ini .
Jika m1> m2, maka pusat massa akan bergeser mendekati
m1. Sebaliknya jika m1<m2 maka pusat massa akan
bergeser mendekati m2.
Jika kita mempunyai n partikel m1, m2, .. mn sepanjang garis lurus, maka menurut
definisi, pusat massa partikel-partikel ini terhadap suatu titik asal adalah:
(5.18)
dengan x1, x2,..xn adalah jarak masing-masing massa terhadap titik asal yang digunakan
untuk mengukur xcm.
Untuk banyak partikel yang tersebar dalam ruang dan tidak harus segaris ataupun tidak
harus sebidang, pusat massanya berada pada xcm, ycm, zcm, masing-masing dinyatakan
sebagai berikut:
, , (5.19a)
Fisika Dasar V-12
m1 m2
Gambar 5.6 Pusat massa sistem dua buah benda
xcmx
y
x2
x1
Momentum Linear dan Tumbukan
Dalam notasi vektor, masing-masing partikel dalam sistem dapat dinyatakan dengan
vektor posisi rI dalam suatu sistem koordinat tertentu dan pusat massanya ditunjukkan
oleh vektor posisi rcm. Vektor-vektor ini dihubungkan dengan xI, yI, zI dan xcm, ycm dan
zcm dalam persamaan (5.19a) melalui
rI=ixi+jyI+kzI, dan rcm = ixcm+jycm+kzcm.
Dengan demikian, ketiga persamaan (5.19a) dapat digantikan dengan sebuah persamaan
vektor;
(5.19b)
Persamaan (5.19b) menyatakan bahwa jika titik asal kerangka acuan dipilih pada titik
pusat t massa (rcm=0), maka sistem tersebut berlaku .
Suatu benda tegar dapat dipandang sebagai sistem partikel yang saling berdekatan dan
sangat rapat sehingga dapat ditentukan pusat massanya. Caranya kita bagi-bagi benda
menjadi n buah elemen kecil yang masing-masing bermassa mi. Jika mI dibuat sangat
kecil (mI 0), maka letak pusat massa dinyatakan dalam bentuk vektor diberikan oleh:
(5.20)
Dalam pernyataan diatas, dm adalah elemen massa diferensial pada posisi r dari titik
asal kerangka acuan.
Contoh 6.
Tentukan letak pusat massa sistem yang terdiri atas tiga partikel dengan massa
masimng-masing m1 = 1,0 kg, m2 = 2,0 kg dan m3 =3,0 kg. Partikel tersebut masing-
masing terletak di titik sudut segitiga sama sisi dengan rusuk 1,0 m.
Jawab.
Pilih sumbu-x berimpit dengan salah satu sisi segitiga
seperti pada Gambar 5.7. x3 = ½ meter.
y3 = [12-(1/2)2]2 = (3/4)1/2
Fisika Dasar V-13
m1 m2
Gambar 4.7 Sistem tiga partikel
x (m)
y3
r3
rcm
m3
Momentum Linear dan Tumbukan
5.9 Pusat Massa dan Gerak Translasi
Tinjau gerak sekumpulan partikel, masing-masing dengan massa m1, m2,…mn. Massa
keseluruhan M dianggap konstan. Persamaan (5.19b) dapat dituliskan kembali sebagai
Mrcm = m1r1 + m2 r2 +….+ mn rn
dengan rcm adalah vektor posisi yang menyatakan letak pusat massa partikel dalam suatu
kerangka acuan tertentu. Persamaan ini diferensiasikan terhadap waktu sehingga
diperoleh:
atau
Mvcm = m1v1 + m2 v2 +….+ mn vn (5.21)
dengan adalah kecepatan partikel ke-n, dan kecepatan pusat massa.
Persamaan (5.21) mengungkapkan bahwa momentum total dari sistem sama dengan
hasil kali massa total dengan kecepatan pusat massa sistem. Persamaan (5.21)
dideferensiasikan terhadap waktu, sehingga
atau
Macm = m1a1 + m2 a2 +….+ mn an (5.22)
dengan acm adalah percepatan pusat massa sistem, sedang an adalah percepatan partikel
ke-n. Berdasarkan hukum II Newton, persamaan (5.22) dapat ditulis menjadi:
Macm = F1+ F2 +….+ Fn = Ftotal (5.23)
Jadi jumlah semua gaya yang bekerja pada sistem sama dengan massa total sistem
dikalikan dengan percepatan pusat massanya. Pusat massa sistem bergerak seperti
sebuah partikel tunggal bermassa M dibawah pengaruh gaya eksternal total .
Fisika Dasar V-14
Momentum Linear dan Tumbukan
SOAL LATIHAN
1. Sebuah benda bermassa 2 kg bergerak di atas bidang datar yang licin dengan
kelajuan tetap 5 m/dtk, dikerjakan gaya yang besarnya berubah terhadap waktu
dan arahnya sama dengan arah gerak benda. Gaya tersebut mempunyai harga
2000 N pada saat t=0 dtk dan berharga nol pada saat t=0,05 dtk.
2. Pada sebuah tetes hujan jatuh melalui
lapisan kabut. Tetes hujan ini makin lama
makin besar akibat proses pengembunan.
Besarnya laju perbesaran tetes hujan ini
sebanding dengan luas penampang dengan
kecepatan tetes air (kAv), dimana k adalah
konstanta. Hitunglah percepatan air hujan
(anggap tetes hujan ini mula-mula diam dan
berukuran sangat kecil).
3 Sebuah Mobil mainan bermassa m=2 kg meluncur sepanjang meja tanpa
gesekan dengan laju 10 m/dtk.
Di muka mobil mainan tersebut terdapat sebuah mobil ambulance (mainan) yang
bermassa M = 5 kg dan bergerak dengan kecepatan 3 m/dtk dalam arah yang
sama. Sebuah pegas tak bermassa dengan konstanta pegas k = 1120 N/m
dipasang di belakang mobil ambulance M (lihat gambar disamping). Berapa jauh
mampatan pegas (pegas tidak bengkok).
4 Sebuah balok dengan massa M=100 kg dalam
keadaan diam di atas meja panjang tanpa
gesekan. Ujung kanan meja terdapat dinding.
Fisika Dasar V-15
v M m l
Beberapa saat setelah hujan reda
V1
v2 M
m l
Momentum Linear dan Tumbukan
Balok lain bermassa m diletakkan diantara alok pertama dan dinding dan
digerakkan ke kiri dengan laju konstan v (lihat gbr). Dengan menganggap bahwa
semua tumbukan benar-benar elastik, tentukanlah harga m agar kedua balok
bergerak dengan kecepatan yang sama setelah m menumbuk M.
5 Sebuah bola elastis dengan massa M dan jari- jari a bergerak dengan
kecepatan v menumbuk suatu
permukaan dengan sudut terhadap
garis vertikal.
Anggap bola itu slip ketika bersetuhan dengan permukaan itu. Koefisien gesek
antara bola dengan permukaan adalah . Hitung pada sudut berapa bola akan
meninggalkan permukaan itu (anggap tidak ada gravitasi). Berapa perubahan
kecepatan sudut bola sebelum dan sesudah tumbukan.
Fisika Dasar V-16
θo
ω a
v
Momentum Linear dan Tumbukan
MODUL BAB V MOENTUM LINEAR DAN TUMBUKAN
NAMA :
NIM :
1. Sebuah balok bermassa 5 kg diam pada bidang
datar yang koefisien gesek kinetiknya 0,4. gaya
yang diberikan adalah F = (4t2 + 2) N. Tentukan
kecepatan benda setelah 4 detik kemudian.
Fisika Dasar V-17
vF
fg
Momentum Linear dan Tumbukan
MODUL BAB V MOENTUM LINEAR DAN TUMBUKAN
NAMA :
NIM :
2. Seseorang hendak menancapkan sebuah tiang.yang
massanya 50 kg ke dalam tanah. Tiang tersebut ditegakkan
kemudian dari ketinggian 2 m dijatuhkan sebuah benda
keras seberat 100 kg pada ujung atas tiang. Tiang melesak
masuk kedalam tanah. Semakin dalam ia melesak semakin
besar gaya hambat dari tanah sehingga makin lama tiang
melesak semakin kecil setiap kali ditimpa benda. Jika pada
suatu saat gaya hambat tanah 104 N, hitunglah berapa
dalam tiang tersebut melesak.
Fisika Dasar V-18
2 m
Momentum Linear dan Tumbukan
MODUL BAB V MOENTUM LINEAR DAN TUMBUKAN
NAMA :
NIM :
3. Diketahui bahwa dibutuhkan waktu 0,2 detik bagi suatu benda bermassa 4 kg yang
bergerak dengan kecepatan 2 m/detik keatas bidang miring sampai berhenti. Jika
sudut miring bidang 30o, hitunglah koefisien gesek rata-rata.
Fisika Dasar V-19
Momentum Linear dan Tumbukan
MODUL BAB V MOENTUM LINEAR DAN TUMBUKAN
NAMA :
NIM :
4. Benda bermassa 5 kg dengan laju 30 m/dtk
menumbuk lempeng baja pada sudut 45o
terhadap bidang horizontal dan terpantul
kembali dengan laju dan sudut yang sama (lihat
gambar disamping). Berapakah perubahan
momentum liniernya?.
Fisika Dasar V-20
45o 45o