1 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
SOLUSI PREDIKSI UJIAN NASIONAL
MATEMATIKA IPA 2015
Paket 2
Pilihlah jawaban yang paling tepat!
1. Diberikan premis-premis berikut!
1. Jika pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak maka kemacetan di ruas jalan semakin
padat.
2. Kemacetan di ruas jalan tidak semakin padat atau kegiatan ekonomi masyarakat terhambat.
Negasi dari penarikan kesimpulan yang sah pada premis-premis tersebut adalah ….
A. Jika pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak maka kegiatan ekonomi masyarakat
terhambat.
B. Jika pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak maka kegiatan ekonomi masyarakat tidak
terhambat.
C. Pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak dan kegiatan ekonomi masyarakat terhambat
D. Pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak dan kegiatan ekonomi masyarakat tidak
terhambat
E. Pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak atau kegiatan ekonomi masyarakat tidak
terhambat
Solusi:
q r q r
Negasi dari pernyataan “Jika pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak maka kegiatan
ekonomi masyarakat terhambat” adalah “Pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak dan
kegiatan ekonomi masyarakat tidak terhambat”. D
2. Jika 6 32x , ...16666,061,0 y , dan 2011z , maka nilai ....3 353
2
1
23
5
62
1
zyx
zyxxy
p q p q
q r q r
…. p r
(p q) p q
Jika pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak maka kemacetan di ruas jalan semakin padat
Jika kemacetan di ruas jalan semakin padat maka kegiatan ekonomi masyarakat terhambat
Jika pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak maka kemacetan di ruas jalan
semakin padat maka kegiatan ekonomi masyarakat terhambat
2 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
A. 3
4 D.
3
2
B. 2
3 E.
3
1
C. 4
3
Solusi:
...16666,061,0 y
3 353
2
1
23
5
62
1
zyx
zyxxy
13
5
16
5
32
1
zxy
zyxxy3
5
6
5
2
1
3
yx 6
1053
3
yx 23 yx 2
33
6
162
3
4
36
148
[A]
3. Hasil dari penjabaran dari 15
15
53
8
dapat dinyatakan sebagai ba , dengan ba .
Nilai .... ba
A. 40 D. 20
B. 32 E. 16
C. 24
Solusi:
15
15
53
8
15
15
15
15
53
8
4
15
53
82
2
15
53
8
53
53
53
154
59
35254
522 420 ba
20a dan 4b
Jadi, nilai 16420 ba . [E]
4. Persamaan 02log1log222 xkx dan 06log3log
222 xax mempunyai sebuah
akar persekutuan (akar berserikat) . Banyaknya semua akar persaman tersebut adalah ….
A. 10 D. 5
B. 8 E. 4
C. 6
...666,16100 y
...6666,110 y
90y =15
6
1
90
15y
3 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
Solusi:
2
4log2
kx 02
2
41
2
42
kk
k
022214422 kkk
0444628 22 kkkk
0822 kk
042 kk
2k atau 4k
2k 02log1log222 xkx
02log3log 222 xx (karena 0214)3( 2 D , berarti ada 2 akar)
02log1log 22 xx
1log2 x atau 2log2 x
2x atau 4x
2k 06log3log222 xkx
06log5log 222 xx (karena 061452 D , berarti ada 2 akar)
06log1log 22 xx
1log2 x atau 6log2 x
2x atau 64
1x
4k 02log1log222 xkx
02log3log 222 xx (karena 021432 D , berarti ada 2 akar)
02log1log 22 xx
1log2 x atau 2log2 x
2
1x atau
4
1x
4k 06log3log222 xkx
06loglog 222 xx (karena 061412
D , berarti ada 2 akar)
02log3log 22 xx
3log2 x atau 2log2 x
02log1log222 xkx
06log3log222 xkx
08log422
xk
2
4
42
8log2
kkx
4 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
8x atau 4
1x
Jadi, banyak semua akarnya adalah 8. [B]
5. Jika kurva fungsi 22 152 kxkxky tidak memotong sumbu X dan kurva melalui titik
(4,9), maka salah satu persamaan garis singgung yang dapat ditarik dari titik (0,7) adalah ….
A. 02135 yx D. 078 yx
B. 01423 yx E. 0712 yx
C. 0712 yx
Solusi:
)9,4( 22 152 kxkxky
22 414529 kkk
24480329 kkk
093282 kk
0313 kk
3k atau 31k
3k 22 152 kxkxky 942 xx
Karena 091442
D , maka kurva tidak memotong sumbu X.
31k 22 152 kxkxky 9613067 2 xx
Karena 0961674302 D , maka kurva memotong sumbu X di dua titik yang berbeda.
Ambillah persamaan garis singgung: nmxy .
)7,0( nmxy
nm 07
7n
Sekarang persamaan garis singgung itu menjadi 7 mxy .
7 mxy 942 xxy
947 2 xxmx
01642 xmx
Syarat garis menyinggung kurva parabola adalah D = 0, sehingga:
0161442
m
0641682 mm
04882 mm
0412 mm
12m atau 4m
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 712 xy dan 74 xy .
Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya adalah 0712 yx . [E]
5 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
6. Persamaan kuadrat 012 nnxx , dengan 0n mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika
2632
31 xx , maka nilai n adalah ….
A. 4 D. 1
B. 3 E. 3
C. 2
Solusi:
012 nnxx , dengan 0n mempunyai akar-akar x1 dan x2.
nxx 21
121 nxx
2632
31 xx
263 2121
3
21 xxxxxx
26133
nnn
02633 23 nnn
01352 2 nnn
2n atau 01352 nn (akar-akarnya tidak real karena )0D
Jadi, nilai n adalah 2.
7. Jika persamaan kuadrat 0162 2 xx mempunyai akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang
akar-akarnya 12
13 x dan 2
2
13 x adalah dapat dinyatakan dalam bentuk umum 02 cbxax .
Nilai dari .... cba
A. 19 D. 8
B. 12 E. 7
C. 9
Solusi:
Alternatif 1:
0162 2 xx akar-akarnya adalah x1 dan x2.
321 xx dan 2
121 xx
Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah 12
13 x dan 2
2
13 x .
Jumlah akar-akarnya:
21212
16
2
13
2
13 xxxx
2
93
2
16
Hasil kali akar-akarnya:
92
3
4
1
2
13
2
13 212121
xxxxxx
8
37
8
7236193
2
3
2
1
4
1
Persamaan kuadrat yang diminta adalah
021212 xxxxxx
2 1 3 3 26
2 10 26
1 5 13 0
6 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
08
37
2
92
xx
037368 2 xx
Jadi, 937368 cba [C]
Alternatif 2:
xx 12
13 xx 261
xx 261 0162 2 xx
012662622
xx
01123672488 2 xxx
037368 2 xx
Jadi, 937368 cba [C]
8. Salah satu garis singgung lingkaran 0208622 yxyx yang tegak lurus pada garis
082 yx adalah ….
A. 032 yx D. 032 yx
B. 052 yx E. 072 yx
C. 072 yx
Solusi:
Gradien garis 082 yx adalah 2
11 m .
Syarat dua garis tegak lurus adalah 121 mm , sehingga
12
12 m
22 m
0208622 yxyx
54322 yx
Jari-jari lingkaran: 5r dan pusat lingkaran: (a,b) = (3,4)
Persamaan garis singgung adalah
12 mraxmby
125324 2 xy
5624 xy
5624 xy dan 5624 xy
032 yx dan 072 yx
Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya adalah 032 yx . [A]
9. Dua buah fungsi f dan g didefinisikan sebagai 3
2
xxf , 3x dan baxxg 2 , dengan a
dan b adalah konstanta. Jika 52 g dan 11 gof , maka ....xfog
7 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
A. 3
12 x
D. 3
12 x
B. 62
12 x
, 3x E. 3
12 x
, 3x
C. 6
12 x
, 6x
Solusi:
52 g
54 ba …………… (1)
11 gof
11 fg
131
2
g
11 g
112
ba
1 ba ……….….. (2)
Selisih persamaan (1) dan (2) menghasilkan:
63 a
2a
2a 1 ba
12 b
3b
32 2 xxg
32 2 xfxgfxfog332
22
x 62
22
x 3
12
x
, 3x
10. Diberikan fungsi 3 axxf , 0a dan 2
2
x
xxg , 2x , Jika 023 1 gf , maka nilai
....31 gof
A. 2 D. 6
B. 3 E. 7
C. 5
Solusi:
3 axxf a
xxf
31
Rumus: dcx
baxxf
acx
bdxxf
1
2
2
x
xxg
1
221
x
xxg
023 1 gf
8 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
012
22233
a
633 a
3a 3
31 x
xf
61gof 61 fg
3
36g 3g 5
23
23
11. Diberikan persamaan 021 23 abxxax habis dibagi oleh 2x ; dibagi oleh
2x sisanya 4. Himpunan pemyelesaiannya adalah ….
A. 3,1,2 D. 3,2,1
B. 3,2,1 E. 2,1,3
C. 3,2,1
Solusi:
2x 021 23 abxxax
02221223
aba
022448 aba
422 ba
2 ba …………. (1)
2x 021 23 abxxax
42221223
aba
422448 aba
1622 ba
8 ba …………. (2)
Jumlah persamaan (1) dan (2) menghasilkan:
62 a
3a
3a 2 ba
23 b
5b
Dengan mensubstitusikan nilai 3a dan 5b ke persamaan semula diperoleh
032513 23 xxx
0652 23 xxx
061 2 xxx
0231 xxx
1x atau 3x atau 2x
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 3,1,2 . [A]
1 1 2 5 6
1 1 6
1 1 6 0
9 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
12. Jumlah uang Laras dan Dinda adalah Rp 5.000.000,00. Laras membelanjakan 4
3 dari uangnya
kurang Rp 600.000,00 dan Dinda membelanjakan 3
2 dari uangnya tambah Rp 300.000,00.
Jumlah uang sisa mereka adalah 2 kali sebanyak uang yang dibelanjakan Laras. Selisih uang Dinda
dan Laras adalah ….
A. Rp 3.000.000,00 D. Rp 1.500.000,00
B. Rp 2.400.000,00 E. Rp 1.000.000,00
C. Rp 2.000.000,00
Solusi:
Ambillah uang Laras x rupiah dan uang Dinda y rupiah.
000.000.5 yx …………….. (1)
Laras membelanjakan 4
3 dari uangnya kurang Rp 600.000,00 000.600
4
3 x
Sisa uang Laras 000.6004
1000.600
4
3 xxx
Dinda membelanjakan 3
2 dari uangnya tambah Rp 300.000,00 000.300
3
2 y
Sisa uang Laras 000.3003
1000.300
3
2 yyy
Jumlah uang sisa mereka adalah 2 kali sebanyak uang yang dibelanjakan Laras
000.600
4
32000.300
3
1000.600
4
1xyx
000.200.12
3000.300
3
1
4
1 xyx
000.500.13
1
4
5 yx …………. (2)
Persamaan (2) + 3
1 Persamaan (1) menghasilkan:
000.500.13
000.000.5
3
1
4
5 xx
000.000.3819 x
000.000.2x
000.000.2x 000.000.5 yx
000.000.5000.000.2 y
000.000.3y
Jadi, selisih uang Laras dan Dinda = Rp 3.000.000,00 – Rp 2.000.000,00 = Rp 1.000.000,00. [E]
13. Laras dan Yuda membuat mainan A dan B di toko kerajinannya. Setiap mainan A membutuhkan 3
jam kerja Laras dan 1 jam kerja Yuda. Setiap mainan B membutuhkan 4 jam kerja Laras dan 2 jam
kerja Yuda. Laras tidak dapat bekerja lebih dari 48 jam per minggu dan Yuda tidak dapat bekerja
lebih dari 20 jam per minggu. Jika setiap mainan A dihargai $12 dan mainan B dihargai $20, maka
banyak item yang dapat mereka buat untuk memaksimumkan penghasilannya adalah ….
10 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
A. 6 mainan A dan 8 mainan B D. 8 mainan A dan 6 mainan B
B. 16 mainan A saja E. 10 mainan A dan 16 mainan B
C. 10 mainan B saja
Solusi:
Ambillah banyak mainan A = x buah dan mainan B = y buah.
0
0
202
4843
y
x
yx
yx
Fungsi objektif yxyxf 2012,
4843 yx ………….. (1)
202 yx
4042 yx ………….. (2)
Selisih persamaan (1) dan (2) menghasilkan:
8x
8x 202 yx
2028 y
6y
Koordinat titik potongnya adalah (8,6).
Titik yxyxf 2012,
(0,0) 0020012
(16,0) 1920201612
(8,6) 216620812 (maksimum)
(0,10) 2001020012
Jadi, banyak item yang dapat mereka buat untuk memaksimumkan penghasilannya adalah 8 buah
mainan A dan 6 buah mainan B. [D]
14. Diberikan matriks
53
21A dan
73
52
23
57
12
131BA dengan 1A adalah
invers matriks A maka jumlah elemen-elemen matriks 1B adalah ….
A. 0 D. 2
3
B. 2
1 E. 2
C. 1
Solusi:
73
52
23
57
12
131BA
O
12
10
20
(8,6)
202 yx
X
Y
4843 yx
16
11 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
10
01
12
131BA
02
121BA
02
12AB
02
12
53
21B
34
12B
24
13
4132
11B
122
1
2
3
Jadi, jumlah elemen-elemen matriks 1B adalah 0122
1
2
3 [A]
15. Sudut antara vektor
3
12
p
p
p
a , dengan 0p dan vektor b adalah 3
π. Jika panjang proyeksi
vektor a pada vektor b adalah 2
5, maka nilai p adalah ….
A. 2
5 D. 1
B. 2 E. 2
1
C. 2
3
Solusi:
ba
ba cos
cosbaba
3
cos312222
bpppba 2
13144 222 bpppp bpp 148
2
1 2
Rumus: Panjang proyeksi vektor a pada b adalah b
bac
b
bpp 1482
1
2
52
12 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
1485 2 pp
1485 2 pp
0448 2 pp
012 2 pp
0112 pp
2
1p atau 1p
Jadi, nilai p yang diminta adalah 1 . [D]
16. Diberikan vektor-vektor 2,1,2 a , 8,10,4 b , dan bac10
1 . Proyeksi vektor dari vektor
c pada vektor a adalah ….
A.
2
1
2
5
1 D.
2
1
2
B.
2
1
2
5
3 E.
2
1
2
5
6
C.
2
1
2
5
4
Solusi:
bac10
1
8
10
4
10
1
2
1
2
5
142
5
8
Rumus: b
b
baz
2
a
a
acz
2
2
1
2
212
2
1
2
5
142
5
8
222
2
1
2
9
5
282
5
16
2
1
2
5
6
Jadi, proyeksi vektor dari vektor c pada vektor a adalah
2
1
2
5
6. [E]
13 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
17. Bayangan kurva 01025 yx jika dicerminkan terhadap garis xy dilanjutkan dengan rotasi
terhadap pusat O sebesar 2
adalah ….
A. 01025 yx D. 01052 yx
B. 01025 yx E. 01052 yx
C. 01025 yx
Solusi:
Alternatif 1:
y
x
y
x
01
10
01
10
'
'
y
x
10
01
'
'
10
01
0011
1
y
x
y
x
'
'
y
x
'
'
y
x
'xx dan 'yy
Alternatif 2:
y
x
y
x
01
10
01
10
'
'
y
x
10
01
y
x
xx ' 'xx dan yy '
010'2'5 yx
01025 yx
01025 yx
Jadi, bayangannya adalah 01025 yx . [C]
18. Diberikan fungsi eksponen baxf x 2 yang ditunjukkan pada gambar berikut ini. Jika
xf 1 adalah invers dari fungsi eksponen f , maka ....1 xf
A. 383log2 x
B. 83
9log2
x
C. 83log92 x
D. 83log3 2 x
E. 83log32 x
Solusi:
)8,2( baxf x 2
ba 228
84 ba …….. (1)
)0,0( baxf x 2
ba 020
0 ba …….... (2)
Selisih persamaan (1) dan (2) menghasilkan:
O X
Y
xfy
(2,8)
14 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
83 a
3
8a
3
8a 0 ba
83
8 b
3
8b
Persamaan fungsi eksponen adalah 3
82
3
82 xx baxf
3
8
3
23
x
3
82
3
1 3 xxf
3
8
3
23
y
x
823 3 yx
8323 xy
83log2log 3 xy
83log2log3 xy
83log3 2 xy
83log3 2 xy
83
9log2
xy
Jadi, fungsi inversnya adalah 83
9log21
xxf [B]
19. Persamaan kuadrat 282 kxx , dengan k > 0 mempunyai akar-akar dan . Jika , , dan ( +
1) adalah tiga suku pertama deret aritmetika, maka jumlah 25 suku pertamanya adalah ….
A. 2.000 D. 1.200
B. 1.800 E. 1.000
C. 1.600
Solusi:
282 kxx
0282 kxx akar-akarnya dan .
k ……… (1)
28 …..….… (2)
Deret aritmetika: 1
1
12 ……….. (3)
Jumlah persamaan (1) dan (3) menghasilkan:
15 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
13 k
3
1
k
3
1
k k
kk
3
1
3
12
3
1
kkk
28
283
12
3
1
kk
25212 2 kk
02532 2 kk
011232 kk
2
23k (ditolak) atau 11k (diterima)
11k 3
1
k 4
3
111
11k 3
12
k 7
3
1112
Deret aritmetika yang dimaksud adalah ...1074 , dengan 4a , 347 b , dan 25n
bnan
Sn 122
000.13125422
2525 S
Jadi, jumlah 25 suku pertamanya adalah 1.000. [E]
20. Tiga buah bilangan yang bulat merupakan deret geometri. Jika bilangan yang kedua ditambah 8,
maka ketiga bilangan itu menjadi deret aritmetika. Tetapi jika bilangan ketiga dari deret yang
terakhir ini ditambah 64, maka bilangan-bilangan itu merupakan deret geometri kembali. Jumlah
ketiga bilangan semula adalah ….
A. 52 D. 40
B. 48 E. 36
C. 42
Solusi:
Deret geometri: arar
a
Deret aritmetika: arar
a 8
88 aarr
aa
16 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
0162 arr
aa
0162 2 ararar
Deret geometri: 648 arar
a
8
648
a
ar
r
a
a
r
aaaa
646416 22
r
aa
646416
r
aa
44
4
4
a
ar
4
4
a
ar 0162 2 ararar
04
4
4
416
4
42 2
a
aaa
a
a
a
aa
016446448 332 aaaaaaa
01616825664328 323223 aaaaaaaa
0240889 23 aaa
0240889 2 aaa
0240889 2 aa atau 0a (ditolak)
92
2409488882
a
18
135121888
18
256888
18
16888
1218
216
18
12888
a (diterima)
9
22
9
20
18
40
18
12888
a (ditolak)
1218
216
18
12888
a
4
4
a
ar 3
412
124
Jadi, jumlah deret geometri semula adalah 5236124312123
12 . [A]
21. Diberikan balok EFGH.ABCD, 45DHG , 65FHB , dan panjang GH = 6 cm. Jarak garis
titk H ke garis BD adalah ….
A. 23 cm D. 63 cm
B. 33 cm E. 54 cm
C. 53 cm
Solusi:
17 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
6 BFCHCDDGGH cm
22 DGGHDH 2666 22 DH cm
Perhatikan FHB siku-siku di F, sehingga 60FHB
dan 30FBH .
6FB
323
6
3
FBHF cm
32 HFBC cm
343222 HFHB cm
34 HBBD cm
Perhatikan BHD :
HBDH
BDHBDHBHD
2cos
222 34262
343426222
4
6
648
72
4
10sin BHD
Luas BHD BDHPBHDHDHB 2
1sin
2
1
BD
BHDHDHBHP
sin
34
4
102634
53 cm
Jadi, jarak garis titk H ke garis BD adalah 53 cm. [C]
22. Diberikan limas T.ABC beraturan dengan AB = 8 cm dan TA = 12 cm. Sudut antara bidang TAC
dan bidang ABC adalah . Nilai 2sin adalah ….
A. 464
1 D. 6
12
1
B. 462
1 E. 138
12
1
C. 234
1
Solusi:
Lihat APB siku-siku di P:
3460sin8sin BABAP cm
Lihat TPC siku-siku di P:
222 PCTCTP 12816144412 22
Lihat TAP:
TPAP
TATPAP
2cos
222
128342
1212834 22
4
6
106422
A
B C
D
E
F
G
H
60o
45o
P
A
B
C
T
T1
h
P
8
8 4
4
12
18 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
2838
14412848
664
32
12
6
12
138sin
cossin22sin
12
6
12
1382 46
4
1 [A]
23. Diameter (garis tengah) lingkaran luar dari segi-8 beraturan yang mempunyai 2648 cm2 adalah
….
A. 12 cm D. 36 cm
B. 18 cm E. 48 cm
C. 24 cm
Solusi:
Luas segi-n berturan n
Rn
360
sin2
1 2
Luas segi-8 berturan 8
360sin
2
18 2 R
45sin2
182648 2R
22
1
2
182648 2 R
3242 R
18324 R cm
361822 RD cm
Jadi, diameter lingkaran luar segi-8 bertaturan itu 36 cm. [D]
24. Diberikan prisma segitiga tegak ABC.DEF, dengan AB = 5 cm, BC = 6 cm, 33061AC cm,
dan luas BCD adalah 18 cm2. Volume prisma tersebut adalah ….
A. 1194
1cm
3 D. 1195 cm
3
B. 1194
15cm
3 E. 11915 cm
3
C. 1194 cm3
Solusi:
BCAB
ACBCABB
2cos
222
652
33061652
22
60
330613625
60
330 3
2
1
2
1sin B
B
A C
E
D F
P
6
h
5
33061
12
6
13861222
19 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
Luas ABC BABBC sin2
1
2
15
2
156
2
1 cm
2
Luas ABC 2
15
2
1 BCAP
2
156
2
1 AP
2
5AP cm
Luas BCD 182
1 BCDP
1862
1 DP
6DP cm
22 APDPAD
2
2
2
56
4
2536
4
119 119
2
1 cm
Alternatif lain untuk menentukan panjang AD adalah
cosLuasLuas BCDABC
BCD
ABC
Luas
Luascos
ABC
BABBC
Luas
sin2
1
18
2
156
2
1
12
5
DP
ADsin
1192
1
12
1196sin DPAD cm
Jadi, volume prisma tersebut ADABC Luas ADBABBC sin2
1
1192
1
2
156
2
1 119
4
15 cm
3 [B]
25. Himpunan penyelesaian persamaan 2
12sintancos 222 xxx , dengan 3600 x adalah ….
A.
3
2π,
3
π D.
6
5π,
3
4π,
3
2π,
6
π
B.
3
5π,
3
4π E.
3
5π,
3
4π,
3
2π,
3
π
C.
3
2π,
3
π,
6
π
Solusi:
2
12sintancos 222 xxx
2
13sintan1cos 222 xxx
5
12 119512 22
20 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
2
13sinseccos 222 xxx
2
13cos1seccos 222 xxx
02
14seccos2 22 xx
02cos9cos4 24 xx
02cos1cos4 22 xx
4
1cos2 x (diterima) atau 2cos2 x (ditolak)
2
1cos x atau
2
1cos x
3
x atau
3
2x atau
3
4x atau
3
5x
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
3
5π,
3
4π,
3
2π,
3
π. [E]
26. Jika
72sin72cos
72sin72costan x , maka nilai x adalah ….
A. 27 D. 72
B. 53 E. 153
C. 54
Solusi:
72sin72cos
72sin72costan x
72sin18sin
72sin18sin
27cos45sin2
27sin45cos2
27cos
27sin
27tan 27180tan 153tan
Jadi, nilai x = 153. [E]
27. Dalam ABC, 90ABC , AB = 8 cm, dan BC = 6 cm. Jika garis bagi ACB memotong AB di R
dan aCR 3 , maka nilai a adalah ….
A. 5 D. 2
B. 4 E. 1
C. 3
Solusi:
Ambillah xACB 2
6
82tantan xACB
3
4
tan1
tan22
x
x
xx 2tan44tan6
02tan3tan2 2 xx
02tan1tan2 xx
A
B C
R
x x
21 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
2
1tan x (diterima) atau 2tan x (ditolak)
BC
BRxBCR tantan
62
1 BR
3BR cm
Menurut Pythagoras dalam CBR:
222 BRBCCR
222
363 a
9369 a
5a
Nilai 5a A
28. Jika 99
27lim
2
3
3
x
bax
x, maka nilai .... ba
A. 8 D. 4
B. 6 E. 3
C. 5
Solusi:
027lim 3
3
bax
x
02733
ba
02727 ba
ba
99
27lim
2
3
3
x
aax
x
9
9
27lim
2
3
3
x
xa
x
933
933lim
2
3
xx
xxxa
x
93
93lim
2
3
x
xxa
x
933
93332
a
5427 a
2a
2 ab
Jadi, nilai 422 ba . [D]
29. Nilai ....sin
cos1lim
6
0
xx
x
x
22 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
A. 8 D. 4
B. 6 E. 3
C. 5
Solusi:
Alternatif 1:
xx
x
x sin
cos1lim
6
0
xx
xx
x sin
cos1cos1lim
33
0
xx
xxxx
x sin
cos1coscos1cos1lim
32
0
xx
xxxx
x sin
cos1coscos12
1sin2
lim
322
0
4
cos1coscos1
sin
2
12
1sin
2
12
1sin
2lim32
0
xxx
x
x
x
x
x
x
x
4
111111112
3 [E]
Alternatif 2:
xx
x
x sin
cos1lim
6
0
xx
xx
x sin
cos1cos1lim
33
0
xx
xxxx
x sin
cos1coscos1cos1lim
32
0
xx
xxxx
x
322
0
cos1coscos12
1
lim 111112
1 3 [E]
30. Garis singgung pada kurva bxaxy 3 pada titik dengan absis 2x adalah 03216 yx .
Nilai .... ba
A. 8 D. 6
B. 6 E. 8
C. 4
Solusi:
2x 03216 yx
032216 y
0y
Koordinat titik singgungnya adalah 0,2 .
0,2 bxaxy 3
2203
ba
04 ba ……….. (1)
Gradien garis singgung 03216 yx adalah 16m .
bxaxy 3
baxdx
dy 23
23 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
2 xdx
dym
ba 2
2316
ba 1216 …………. (2)
Selisih persamaan (2) dan (1) adalah
168 a
2a
2a 04 ba
024 b
8b
Jadi, nilai 682 ba . [B]
31. Suatu proyek dapat dikerjakan selama x hari, dengan biaya setiap harinya
180
45006
xx juta
rupiah> Jika biaya minimum proyek tersebut C juta rupiah, maka C = ….
A. 4.500 D. 2.150
B. 3.150 E. 2.250
C. 3.100
Solusi:
Biaya
180
45006
xxxC 45001806 2 xx
18012' xC
12"C
Nilai stasioner (titik kritis) dicapai jika 0'C , sehingga
018012 x
15x
Karena 012" C , maka fungsi biaya C minimum untuk 15x .
31504500151801562
min C
Jadi, biaya minimum C adalah 3.150. [B]
32. Jika hasil dari b
adxxx
3
0
12 , maka nilai .... ba
A. 142 D. 256
B. 241 E. 421
C. 244
Solusi:
Metode Substitusi:
Ambilah ux 1 dudx
ux 1 1 ux
0x 1101 xu
3x 4131 xu
24 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
dxxx
3
0
12 duuu
4
1
1 duuu
4
1
2
1
2
34
1
2
3
2
5
3
2
5
2
uu
3
2
5
2
3
16
5
64
15
256
3
14
5
62
b
a
256a dan 15b
Jadi, nilai 24115256 ba
33. Jika hasil darin
mdxxx
3
0
cos3sin
, maka nilai .... nm
A. 13 D. 5
B. 10 E. 4
C. 6
Solusi:
dxxx3
0
cos3sin
dxxx
3
0
2sin4sin2
1
3
0
2cos4
14cos
8
1
xx
0cos4
10cos
8
1
3
2cos
4
1
3
4cos
8
1
4
1
8
1
8
1
16
1
16
9
n
m
9m dan 16n
Jadi, nilai 5169 nm [D]
34. Jika 01
cos
02
π
0
a
dxx
xxdxx , maka nilai 2a adalah ….
A. 4 D. 36
B. 8 E. 64
C. 9
Solusi:
Alternatif 1:
Menentukan hasil dari xdxx cos
Ambillah xu dxdu
xdxdv cos xv sin
xdxxxxdxx sinsincos Cxxx cossin
Alternatif 2:
Diferensial Integral
x xcos
1 xsin
0 xcos
+
Cxxxxdxx cossincos
25 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
01
cos
02
π
0
a
dxx
xxdxx
011
1
2
1cossin
0
2
20
a
xdx
xxx
0120
2
a
x
01012 22 a
0112 2 a
312 a
912 a
82 a
Jadi, nilai 82 a . [B]
35. Perhatikan gambar berikut ini!
Rasio luas daerah A dan B adalah ….
A. 11:5 D. 2:1
B. 11:7 E. 7:5
C. 11:3
Solusi:
Persamaan garis yang melalui titik (4,0) dan (1,2) adalah
414
200
xy
3
8
3
2 xy
Garis3
8
3
2 xy memotong sumbu Y di titik
3
8,0 .
Luas daerah A dan B 3
16
3
84
2
1
Luas daerah B dxxdxx
4
1
1
0
2
3
8
3
22
4
1
2
1
0
3
3
8
3
1
3
2
xxx
3
8
3
1
3
32
3
16
3
2
3
11
Luas daerah A = Luas daerah A dan B – Luas daerah B 3
11
3
16
3
5
Jadi, rasio luas daerah A dan B adalah 11:53
11:
3
5 [A]
36. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy , garis xy 2 , dan
sumbu Y yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o adalah ….
Y
4
(1,2)
X O
A
B
22xy
26 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
A. π15
32 D. π
15
21
B. π15
31 E. π
15
12
C. π15
22
Solusi:
Alternatif 1:
Batas-batas integral:
Kurva 2xy dan garis xy 2
xx 22
022 xx
021 xx
1x atau 2x
dxxgxfV
b
a
22π , xgxf
dxxxV
1
0
2222π dxxxx
1
0
4244π
1
0
532
5324π
xxxx
5
1
3
124π π
15
32
Alternatif 2:
Batas-batas integral:
Kurva 2xy dan garis xy 2
xx 22
022 xx
021 xx
1x atau 2x
dxxgxfV
b
a
22π , xgxf
dxxdxxdxxV
1
0
2
1
2222
2
0
22ππ2π
dxxxdxxdxxx
1
0
2
1
24
2
0
2 44ππ44π
2
1
32
1
0
52
0
32
324π
5π
324π
xxx
xxxx
3
124
3
888π
5
1π
3
888π π
3
1π
5
1π
3
8 π
15
32
O X
Y
2xy
xy 2
1 2
27 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
37. Data yang disajikan pada berikut adalah nilai ulangan matematika dari 80 siswa siswa .
Nilai Frekuensi
71 75 5
76 80 10
81 85 17
86 90 a
91 95 16
96 100 b
Jika median pada tabel tersebut adalah 6
187 , maka nilai b adalah ….
A. 6 D. 9
B. 7 E. 10
C. 8
Solusi:
pf
fkn
LMe
2
2
22
1
dengan: Me = median
L2 = tepi bawah kelas yang memuat median (kuartil tengah Q2)
p = panjang kelas atau interval kelas
2fk = jumlah frekuensi sebelum kelas yang memuat median (kuartil tengah Q2)
2f = frekuensi kelas yang memuat median (kuartil tengah Q2)
801617105 ba
32 ba
Nilai median pada tabel tersebut adalah 6
187 menunjukkan bahwa kelas modus terletak pada
interval kelas 86 90 dengan frekuensi a.
Me = 6
187 , L2 = 85,5; p = 5; 322 fk ; af 2 , dan n = 80
53240
5,856
187
a
58
6
10
a
24a
24a 32 ba
3224 b
8b
Jadi, nilai b adalah 8. [C]
38. Cara menyusun huruf-huruf “STATIS” dengan kedua S tidak berdekatan ada sebanyak ….
28 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
A. 180 D. 60
B. 120 E. 20
C. 80
Solusi:
Banyak cara menyusun huruf “STATIS” ada sebanyak 180!212
!23456
!2!2
!6
.
Banyak cara menyusun huruf-huruf “STATIS” dengan syarat kedua huruf S berdekatan sama
artinya dengan menyusun huruf-huruf “TATIS” atau “STATI” (huruf S dihitung sekali) ada
sebanyak 60!2
!2345
!2
!5
.
Jadi, banyak cara menyusun huruf-huruf “STATIS” dengan kedua S tidak berdekatan ada sebanyak
180 – 60 = 120.
39. Banyaknya cara dapat memilih sekurang-kurangnya 1 buku dari 5 buku yang tersedia adalah ….
A. 31 D. 20
B. 30 E. 15
C. 24
Solusi:
Buku dapat dipilih satu persatu, dua-dua, dan seterusnya.
Jadi, banyak cara dapat memilih sekurang-kurangnya 1 buku dari 5 buku yang tersedia adalah
3115101055545352515 CCCCC [A]
40. Dari suatu kotak terdapat 8 bola putih dan 4 bola biru. Jika dua bola diambil satu persatu tanpa
pengembalian, maka peluang bola yang terambil berwarna sama adalah ….
A. 17
11 D.
33
14
B. 11
7 E.
33
11
C. 33
17
Solusi:
Kemungkinannya bola yang terambil adalah (1Putih, 1Putih atau 1Biru, 1Biru)
Peluang bola yang terambil berwarna sama adalah 33
17
11
1
33
14
11
3
12
4
11
7
12
8 [C]