dinamika rotasi ii

Dinamika Rotasi http://gurumuda.net

A. San Lohat | Fisika SMA Kelas XI Semester 2 1

MATERI POKOK DINAMIKA ROTASI

I. Kompetensi Dasar Menformulasikan hubungan antara konsep torsi, momen inersia, momentum sudut dan titik berat berdasarkan hukum II Newton serta penerapannya dalam masalah benda tegar

II. Indikator Hasil Belajar

Siswa dapat : 1. Memahami pengertian torsi dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari 2. Menentukan torsi atau resultan torsi 3. Memahami pengertian momen inersia dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari 4. Menentukan momen inersia partikel 5. Menentukan momen inersia benda tegar 6. Memahami hukum II Newton pada gerak rotasi 7. Menentukan resultan torsi, momen inersia, percepatan sudut atau percepatan linear berdasarkan

hukum II Newton pada gerak rotasi 8. Memahami pengertian energi kinetik rotasi 9. Menentukan energi kinetik rotasi 10. Memahami pengertian momentum sudut 11. Menentukan momentum sudut atau besaran yang terkait dengan momentum sudut 12. Memahami hukum kekekalan momentum sudut dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari 13. Menentukan besaran fisika yang terkait dengan hukum kekekalan momentum sudut

III. Materi Pembelajaran

1. Pengertian dinamika rotasi 2. Momen gaya (torsi) 3. Momen inersia 4. Hukum II Newton pada gerak rotasi 5. Energi kinetik rotasi 6. Momentum sudut



1. Pengertian dinamika rotasi benda tegar Dinamika rotasi adalah cabang mekanika yang mempelajari gerak rotasi dengan melibatkan gaya, massa dan faktor lain yang turut mempengaruhi gerak rotasi. Suatu benda berotasi jika semua bagian benda bergerak mengelilingi poros atau sumbu putar yang terletak pada salah satu bagian benda tersebut. Gerak rotasi yang dipelajari pada topik ini difokuskan pada gerak rotasi pada sumbu tetap. Gerakan katrol, kipas angin, gerakan CD/DVD di dalam CD/DVD room, gerakan pintu atau jendela, gerakan silinder mesin, baling-baling helikpter atau pesawat, baling-baling kapal, merupakan beberapa contoh gerak rotasi pada sumbu tetap. Pernah mengamati gasing berputar ? Posisi sumbu putar gasing selalu berubah-ubah (kemiringan gasing cenderung berubah) karenanya gerak rotasi seperti yang dialami gasing tidak dipelajari pada topik ini. Dalam dinamika partikel, benda yang bergerak translasi dianggap sebagai partikel atau sebuah titik tunggal. Sebesar apapun ukuran sebuah benda atau serumit apapun bentuk sebuah benda, benda diandaikan seperti sebuah titik tunggal. Pada dinamika rotasi, benda tidak diandaikan sebagai sebuah titik tungal tetapi benda ditinjau sebagaimana adanya benda tersebut dan kita menganggap bentuk dan ukuran benda tidak berubah. Jika sebuah benda yang dianggap sebagai partikel terdiri dari sebuah titik tunggal maka benda yang dianggap sebagai benda tegar tersusun dari banyak partikel, di mana posisi setiap partikel selalu tetap dan jarak antara setiap partikel selalu sama. 2. Momen gaya atau torsi 2.1 Lengan gaya Tinjau sebuah benda yang berotasi, misalnya pintu suatu ruangan. Ketika pintu dibuka atau ditutup, pintu berotasi. Engsel yang menghubungkan pintu dengan tembok berperan sebagai sumbu rotasi.

Gambar pintu dilihat dari atas. Tinjau sebuah contoh di mana pintu didorong dengan dua gaya yang sama yang memiliki besar dan arah yang sama, di mana arah gaya tegak lurus pintu. Mula-mula pintu didorong dengan gaya F1 yang berjarak r1 dari sumbu rotasi. Setelah itu pintu didorong dengan gaya F2 yang berjarak r2 dari sumbu rotasi. Walaupun besar dan arah gaya F1 = F2, gaya F2

menyebabkan pintu berputar lebih cepat dibandingkan dengan gaya F1. Dengan kata lain, gaya F2 menyebabkan percepatan sudut yang lebih besar dibandingkan dengan gaya F1. Anda dapat membuktikan hal ini. Besar percepatan sudut benda yang bergerak rotasi tidak hanya dipengaruhi oleh gaya, tetapi dipengaruhi juga oleh jarak antara titik kerja gaya dengan sumbu putar (r). Apabila arah gaya tegak lurus permukaan benda seperti contoh di atas, maka besar lengan gaya (l) sama dengan jarak antara titik kerja dengan sumbu putar (r). Bagaimana jika arah gaya tidak tegak lurus permukaan benda ?

Tinjau dua contoh lain, seperti ditunjukkan pada gambar di samping. Walaupun besar gaya sama tetapi arah gaya berbeda sehingga lengan gaya (l) juga berbeda. Pada gambar 3, arah garis kerja gaya berhimpit dengan sumbu putar

sehingga lengan gaya bernilai nol. Lengan gaya diketahui dengan menggambarkan garis dari sumbu rotasi menuju garis kerja gaya, di mana garis dari sumbu rotasi harus tegak lurus atau membentuk sudut 90o dengan garis kerja gaya. Amati gambar 2 agar anda lebih memahami penurunan rumus lengan gaya.

(Persamaan 1)

Keterangan : l = lengan gaya, r = jarak titik kerja gaya dengan sumbu rotasi.



Persamaan 1 digunakan untuk menghitung lengan gaya. Jika F tegak lurus dengan r maka sudut yang dibentuk adalah 90o. l = r sin 90o = r (1) l = r Jika F berhimpit dengan r maka sudut yang dibentuk adalah 0o. l = r sin 0o = r (0) l = 0 2.2 Momen gaya atau torsi 2.2.1 Besar momen gaya Secara matematis, besar momen gaya adalah hasil kali besar gaya (F) dan lengan gaya (l).

(Persamaan 2) Keterangan : momen gaya (N m), F = gaya (Newton), l = lengan gaya (meter) Persamaan 2 digunakan untuk menghitung besar momen gaya. Satuan sistem internasional torsi sama dengan usaha, tetapi torsi bukan energi sehingga satuannya tidak perlu diganti dengan Joule. Fisikawan sering menggunakan istilah torsi sedangkan ahli teknik menggunakan istilah momen gaya. 2.2.2 Arah momen gaya Momen gaya merupakan besaran vektor karenanya selain mempunyai besar, momen gaya juga mempunyai arah. Arah momen gaya diketahui dengan mudah menggunakan aturan tangan kanan. Putar

keempat jari tangan kanan anda, sedangkan ibu jari tangan kanan ditegakan. Arah putaran keempat jari merupakan arah rotasi benda sedangkan arah yang ditunjukkan ibu jari merupakan arah momen gaya. Jika arah momen gaya ke atas (searah sumbu y) atau ke kanan (searah sumbu x) maka momen gaya bernilai positif. Sebaliknya jika arah momen gaya ke bawah (searah sumbu –y) atau ke kiri (searah sumbu –x) maka momen gaya bernilai negatif.

Dengan kata lain, jika arah rotasi benda searah putaran jarum jam maka momen gaya bernilai negatif. Sebaliknya jika arah rotasi benda berlawanan dengan putaran jarum jam maka momen gaya bernilai positif. 2.2.3 Contoh soal momen gaya Contoh soal 1. Sebatang balok memiliki panjang 8 meter. Pada balok bekerja tiga gaya, seperti pada gambar. Berapa besar momen gaya yang menyebabkan balok berotasi pada pusatnya ?

Pembahasan : Pusat balok terletak di tengah-tengah. Panjang balok 8 meter, karenanya pusat balok berjarak 4 meter dari ujung balok. Torsi 1 = F1 l1 = (10 N)(4 m) = 40 N m Torsi 1 bernilai positif karena torsi 1 menyebabkan balok berotasi berlawanan rotasi jarum jam. Torsi 2 = F2 l2 = (10 N)(2 m) = - 20 N m Torsi 2 bernilai negatif karena torsi 2 menyebabkan balok berotasi searah rotasi jarum jam.

Torsi 3 = F3 l3 = (15 N)(2 m) = - 30 N m Torsi 3 bernilai negatif karena torsi 3 menyebabkan balok berotasi searah rotasi jarum jam. Resultan torsi = 40 N m – 20 N m – 30 N m = - 10 N m Resultan torsi bernilai negatif, hal ini menunjukkan bahwa arah rotasi balok searah rotasi jarum jam. Contoh soal 2. F1 = 10 N, F2 = 15 N, F3 = 15 N dan F4 = 10 N, bekerja pada batang ABCD seperti pada gambar. Panjang batang ABCD adalah 20 meter. Apabila massa batang diabaikan maka nilai momen gaya terhadap titik D adalah...



Pembahasan : Pertanyaan soal ini adalah berapa nilai resultan torsi yang menyebabkan batang berotasi, di mana pusat rotasi terletak pada titik D. Torsi 1 = F1 l1 = (10 N)(15 m) = 150 N m Torsi 1 bernilai positif karena torsi 1 menyebabkan batang berotasi berlawanan dengan arah rotasi jarum jam. Torsi 2 = F2 l2 = (15 N)(5 m) = -75 N m Torsi 2 bernilai negatif karena torsi 2 menyebabkan batang berotasi

searah dengan arah rotasi jarum jam. Torsi 3 = F3 l3 = (15 N)(0 m) = 0 N m Torsi 3 bernilai nol karena F3 berhimpit dengan sumbu rotasi. Torsi 4 = F4 l4 = (10 N)(5 m) = 50 N m Torsi 4 bernilai positif karena torsi 4 menyebabkan batang berotasi berlawanan arah dengan rotasi jarum jam. Resultan torsi = 150 N m – 75 N m + 50 N m = 125 N m Resultan torsi bernilai positif, karenanya arah rotasi batang berlawanan dengan arah rotasi jarum jam. 3. Momen inersia 3.1 Momen inersia partikel

Tinjau sebuah partikel yang berotasi. Partikel bermassa m diberikan gaya F sehingga partikel berotasi terhadap sumbu O. Partikel tersebut berjarak r dari sumbu rotasi. Mula-mula partikel diam (v = 0). Setelah digerakkan gaya F, partikel bergerak dengan kelajuan tetentu sehingga partikel mempunyai percepatan tangensial (atan). Hubungan antara gaya (F), massa (m) dan percepatan tangensial (atan) partikel

dinyatakan melalui persamaan 3 : F = m atan (Persamaan 3) Partikel berotasi sehingga partikel mempunyai percepatan sudut. Hubungan antara percepatan tangensial dengan percepatan sudut dinyatakan melalui persamaan 4 :

(Persamaan 4) Subtitusikan atan pada persamaan 3 dengan atan pada persamaan 4 :

Kalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan r :

(Persamaan 5)

r F adalah momen gaya dan m r2 adalah momen inersia partikel. Persamaan 5 menyatakan hubungan antara momen gaya, momen inersia dan percepatan sudut partikel yang berotasi. Persamaan 5 adalah persamaan hukum II Newton untuk partikel yang berotasi. Momen inersia partikel merupakan hasil kali antara massa partikel (m) dengan kuadrat jarak partikel dengan sumbu rotasi (r2). I = m r2 (Persamaan 6) Keterangan : I = momen inersia partikel, m = massa partikel, r = jarak partikel dengan sumbu rotasi Persamaan 6 digunakan untuk menentukan momen inersia sebuah partikel. 3.2 Contoh soal momen inersia partikel Contoh soal 1. Sebuah partikel bermassa 2 kg diikat pada seutas tali yang panjangnya 0,5 meter lalu diputar. Berapa momen inersia partikel ketika berotasi ? Pembahasan : I = m r2 I = (2 kg) (0,5 m)2



I = 0,5 kg m2

Contoh soal 2. Dua partikel, masing-masing bermassa 2 kg dan 4 kg, dihubungkan dengan sebuah kawat ringan, di mana panjang kawat = 2 meter. Abaikan massa kawat. Tentukan momen inersia kedua partikel, jika : a) Sumbu rotasi terletak di antara kedua partikel Pembahasan : I = m1 r1

2 + m2 r22

I = (2)(12) + (4)(12) I = 2 + 4

I = 6 kg m2 b) Sumbu rotasi berada pada jarak 0,5 meter dari partikel yang bermassa 2 kg I = m1 r1

2 + m2 r22

I = (2)(0,52) + (4)(1,52) I = (2)(0,25) + (4)(2,25)

I = 0,5 + 9 I = 9,5 kg m2 c) Sumbu rotasi berada pada jarak 0,5 meter dari partikel yang bermassa 4 kg I = m1 r1

2 + m2 r22

I = (2)(1,52) + (4)(0,52) I = (2)(2,25) + (4)(0,25)

I = 4,5 + 1 I = 5,5 kg m2

Berdasarkan hasil perhitungan di atas, tampak bahwa momen inersia sangat dipengaruhi oleh letak sumbu rotasi. Walaupun bentuk dan ukuran sama, tapi karena letak sumbu rotasi berbeda, maka momen inersia juga berbeda.

Partikel yang berada di dekat sumbu rotasi memiliki momen inersia lebih kecil, sebaliknya partikel yang berada jauh dari sumbu rotasi memiliki momen inersia lebih besar. Jika kita mengandaikan bahwa kedua partikel di atas merupakan benda tegar, maka setiap partikel penyusun benda tegar yang berada di dekat sumbu rotasi memiliki momen inersia yang lebih kecil dibandingkan dengan momen inersia partikel yang jaraknya lebih jauh dari sumbu rotasi. 3.3 Momen inersia benda tegar homogen Benda tegar tersusun dari banyak partikel yang tersebar di seluruh bagian benda. Momen inersia suatu benda tegar merupakan jumlah total momen inersia setiap partikel yang menyusun benda tersebut.

Untuk menentukan momen inersia suatu benda tegar, kita perlu meninjau benda tersebut ketika ia berotasi karena letak sumbu rotasi mempengaruhi nilai momen inersia benda. Selain bergantung pada letak sumbu rotasi, momen inersia (I) setiap partikel juga bergantung pada massa (m) partikel dan kuadrat jarak (r2) partikel dari sumbu rotasi. Massa semua partikel penyusun benda adalah massa benda itu. Persoalannya, jarak setiap partikel dari sumbu rotasi berbeda-beda.

Tinjau penurunan rumus momen inersia sebuah cincin tipis berjari-jari R dan bermassa M. Jika sumbu rotasi terletak di pusat cincin, maka semua partikel penyusun cincin tipis berjarak r dari sumbu rotasi. Momen inersia cincin tipis sama dengan jumlah momen inersia semua partikel :

Massa semua partikel = massa cincin tipis (M)



Setiap partikel penyusun cincin tipis berjarak r dari sumbu rotasi sehingga r1 = r2 = r3 = rn = R Rumus momen inersia cincin tipis : I = M R2 Keterangan : I = momen inersia cincin tipis, M = massa cincin tipis, R = jari-jari cincin tipis.

Bagaimana jika sumbu rotasi tidak terletak di pusat cincin ? Jika sumbu rotasi tidak terletak di pusat cincin maka rumus momen inersia cincin tipis tidak bisa diturunkan menggunakan cara di atas karena jarak setiap partikel dari sumbu rotasi berbeda-beda. Penurunan rumus momen inersia untuk persoalan seperti ini tidak dibahas pada tulisan ini.

Rumus momen inersia beberapa benda tegar.

Batang pejal

I = (1/12) M L2

Cakram/piringan atau silinder pejal

I = (½) M R2

Bola pejal berjari-jari R

I = (2/5) M R2

Pelat pejal segi empat I = (1/12) M (a2 + b2)

Batang pejal

I = (1/3) M L2

Cincin atau silinder

berlubang I = ½ M R2

Bola tipis berongga

I = (2/3) M R2

Keterangan : L = panjang batang R = jari-jari M = massa benda

3.4 Contoh soal momen inersia benda tegar homogen Contoh soal 1. Batang silinder AB bermassa 3 kg ketika diputar melalui B, momen inersianya 27 kg m2. Berapa momen inersianya jika diputar melalui C ? Pembahasan : Rumus momen inersia batang pejal homogen (sumbu rotasi di pusat batang) : I = 1/12 M L2 27 = (1/12) M L2 (27)(12) = M L2 324 = M L2 Rumus momen inersia batang pejal homogen (sumbu rotasi di pinggir batang) : I = 1/3 M L2 I = 1/3 (324) I = 108 kg m2 4. Hukum II Newton pada gerak rotasi 4.1 Hubungan antara momen gaya, momen inersia dan percepatan sudut Jika terdapat resultan gaya (ΣF) yang bekerja pada sebuah benda bermassa (m) maka benda bergerak linear dengan percepatan (a) tertentu. Hubungan antara resultan gaya, massa dan percepatan dinyatakan melalui persamaan :

Ini adalah persamaan hukum II Newton yang telah dipelajari di kelas X.



Besaran fisika pada gerak rotasi yang identik dengan resultan gaya (ΣF) pada gerak lurus adalah resultan momen gaya ( ). Besaran fisika pada gerak rotasi yang identik dengan massa (m) pada gerak lurus adalah momen inersia (I). Besaran fisika pada gerak rotasi yang identik dengan percepatan (a) pada gerak lurus adalah percepatan sudut ( .

Jika terdapat resultan momen gaya ( ) yang bekerja pada sebuah benda yang mempunyai momen inersia (I) tertentu maka benda berotasi dengan percepatan sudut ( ) tertentu. Hubungan antara resultan momen gaya, momen inersia dan percepatan sudut dinyatakan melalui persamaan :

Persamaan ini merupakan analogi rotasional dari hukum II Newton. 4.2 Contoh soal hukum II Newton pada gerak rotasi Contoh soal 1. Katrol cakram pejal bermassa 1 kg dan berjari-jari 10 cm, pada tepinya dililitkan tali, salah satu ujung tali digantungi beban 1 kg. Anggap tali tak bermassa. Tentukan besar percepatan gerak turunnya beban. (g = 10 m/s2)

Pembahasan : Diketahui : F = w = m g = (1 kg)(10 m/s2) = 10 Newton r = 0,1 meter Ditanya : Percepatan gerak beban Jawab : Hitung Momen Inersia dan Momen Gaya terlebih dahulu.

Momen Inersia katrol cakram pejal : I = ½ m r2 = ½ (1 kg)(0,1 m)2

I = (0,5 kg)(0,01 m2) = 0,005 kg m2 Momen Gaya :

= (10 N)(0,1 m) = 1 N m Percepatan sudut katrol :

Percepatan beban :

Contoh soal 2. Katrol cakram pejal bermassa 2M dan jari-jari R, pada tepinya dililitkan tali, salah satu ujung tali digantungi beban bermassa m. Ketika beban dilepas, katrol berotasi dengan percepatan sudut . Jika pada katrol ditempelkan benda bermassa M, maka agar katrol berputar dengan percepatan sudut yang sama, massa beban harus dijadikan… (I katrol = ½ M R2).

Pembahasan : Diketahui : Massa katrol cakram pejal : 2M Jari-jari katrol cakram pejal : R Massa beban : m Ditanya : Massa beban ?

Jawab : Hitung momen inersia katrol cakram pejal, sebelum dan setelah ditempelkan benda bermassa M : Momen Inersia 1 : I = ½ m r2 = ½ (2M)(R)2 = M R2

Momen Inersia 2 : I = ½ m r2 = ½ (2M + M)(R)2 = ½ (3M)(R)2 = 1,5 M R2 Momen gaya yang dikerjakkan beban pada katrol :

= (m)(g)(R)

Percepatan sudut katrol sama, baik sebelum maupun setelah ditempelkan benda bermassa M.

Massa beban = 1,5 kali massa beban mula-mula.

5. Energi kinetik rotasi Benda yang bergerak lurus mempunyai energi kinetik yang dapat dihitung menggunakan persamaan : EK = ½ m v2 Keterangan : EK = energi kinetik (kg m2/s2), m = massa (kg), v = kelajuan (m/s)



Besaran fisika pada gerak rotasi yang identik dengan massa (m) pada gerak lurus adalah momen inersia (I). Besaran fisika pada gerak rotasi yang identik dengan kecepatan (v) pada gerak lurus adalah kecepatan sudut ( . Dengan demikian energi kinetik benda yang berotasi dapat dihitung menggunakan persamaan : EK = ½ I Keterangan : EK = energi kinetik rotasi (kg m2/s2), I = momen inersia (kg m2), = kecepatan sudut (rad/s) 6.1. Momentum sudut (L) Benda yang bergerak lurus mempunyai momentum yang dapat dihitung menggunakan persamaan : p = m v Keterangan : p = momentum (kg m/s), m = massa (kg), v = kelajuan (m/s)

Besaran fisika pada gerak rotasi, yang identik dengan massa (m) pada gerak lurus adalah momen inersia (I). Besaran fisika pada gerak rotasi, yang identik dengan kecepatan (v) pada gerak lurus adalah kecepatan sudut ( . Dengan demikian benda yang berotasi mempunyai momentum sudut yang dapat dihitung menggunakan persamaan : L = I Keterangan : L = momentum sudut (kg m2/s), I = momen inersia (kg m2), = kecepatan sudut (rad/s) 6.2. Contoh soal momentum sudut Contoh soal 1. Sebuah partikel bermassa 0,5 gram bergerak melingkar dengan kecepatan sudut tetap 2 rad/s. Tentukan momentum sudut partikel jika jari-jari lintasan partikel 10 cm. Pembahasan : Momen inersia partikel : I = m r2 = (0,5 x 10-3 kg)(1 x 10-1 m)2 = (0,5 x 10-3 kg)(1 x 10-2 m2) = 0,5 x 10-5 kg m2

Kecepatan sudut partikel : = 2 rad/s

Momentum sudut partikel : L = (0,5 x 10-5 kg m2)(2 rad/s) = 1 x 10-5 kg m2/s 6.3 Hukum kekekalan momentum sudut Hukum kekekalan momentum sudut menyatakan bahwa jika resultan momen gaya pada sebuah benda tegar yang berotasi bernilai nol maka momentum sudut benda tegar yang berotasi selalu konstan. Hukum kekekalan momentum sudut dapat diturunkan secara matematis dengan memodifikasi persamaan hukum II Newton versi momentum sudut. Berikut ini persamaan hukum II Newton versi momentum sudut :

Jika resultan momen gaya bernilai nol maka persamaan di atas berubah menjadi :

Keterangan : It = momen inersia akhir, Io = momen inersia awal, momen inersia akhir, momen inersia awal, Lt = momentum sudut akhir, Lo = momentum sudut awal.



6.4. Contoh soal hukum kekekalan momentum sudut Contoh soal 1. Sebuah piringan berbentuk silinder pejal homogen mula-mula berputar pada porosnya dengan kelajuan sudut 4 rad/s. Bidang piringan sejajar bidang horizontal. Massa dan jari-jari piringan 1 kg dan 0,5 m. Bila di atas piringan diletakkan cincin yang mempunyai massa dan jari-jari 0,2 kg dan 0,1 m dan pusat cincin tepat di atas pusat piring, maka piringan dan cincin akan bersama-sama berputar dengan kecepatan sudut… Pembahasan : Momen Inersia silinder pejal : I = ½ m r2 = ½ (1 kg)(0,5 m)2 = (0,5)(0,25) = 0,125 kg m2 Momen Inersia cincin : I = m r2 = (0,2 kg)(0,1 m)2 = (0,2)(0,01) = 0,002 kg m2 Momentum sudut awal (L1) = Momentum sudut akhir (L2) I1 ω1 = I2 ω2 (0,125 kg m2)(4 rad/s) = (0,125 kg m2 + 0,002 kg m2)(ω2) (0,5) = (0,127)(ω2) ω2 = 0,5 : 0,127 ω2 = 4 rad/s

Referensi :

Giancoli, Douglas C. 2001. Fisika Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.

Halliday dan Resnick. 1991. Fisika Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.

Tipler, P.A. 1998. Fisika untuk Sains dan Teknik–Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penebit Erlangga.

Young, Hugh D. & Freedman, Roger A. 2002. Fisika Universitas (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.

dinamika rotasi ii

Engineering