diktat pendukung kalkulus i k0424

Diktat Pendukung

KALKULUS I K0424

Drs. Sangadji, M.Sc., Ph.D.D1808

F S T

UNIVERSITAS BINA NUSANTARA

JAKARTA

DAFTAR ISI

halaman

DAFTAR ISI 2

KATA PENGANTAR 4

ABSTRAK 5

BAB 1. LIMIT FUNGSI 6

BAB 2. KEKONTINUAN FUNGSI 12

BAB 3. DERIVATIF FUNGSI 16

BAB 4. EKSTREM FUNGSI 29

BAB 5. LIMIT BENTUK TAK TERTENTU DAN RUMUS KHAS LIMIT 32

BAB 6. PENERAPAN DERIVATIF 37

BAB 7. INTEGRAL TIDAK TERTENTU 44

BAB 8. RUMUS-RUMUS REDUKSI 45

BAB 9. SUBSTITUSI GONIOMETRI 47

BAB 10. INTEGRASI FUNGSI RASIONAL 50

BAB 11. INTEGRAL TERTENTU 53

BAB 12 APLIKASI INTEGRAL 56

BAB 13 DERIVATIF PARSIAL DARI FUNGSI DUA PEUBAH 65

BAB 14 EKSTREM DARI FUNGSI DUA PEUBAH 69

BAB 15 BILANGAN KOMPLEKS 71

BAB 16 BARISAN TAK BERHINGGA DAN DERET TAK BERHINGGA 77

BAB 17 DERET POSITIF 82

BAB 18 DERET ALTERNATING 87

BAB 19 DERET PANGKAT 89

BAB 20 DERET MACLAURIN DAN DERET TAYLOR 91

DAFTAR PUSTAKA 93

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kita panjatkan kepada Allah s.w.t. atas limpahan rahmat dan karuniaNya,

sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan Diktat Pendukung Kalkulus I K0424 ini.

Mudah-mudahan diktat ini dapat bermanfaat dan khususnya dapat membantu para

mahasiswa dan memperlancar jalannya perkuliahan. Atas kesalahan maupun kekurangan yang

ada dalam diktat ini, penulis mohon maaf dan mohon saran untuk perbaikannya.

Akhirnya penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu

penerbitan diktat ini, khususnya Angger Aji Winanto.

Jakarta, November 2010

Penulis,

Drs. Sangadji, M.Sc., Ph.D.

ABSTRAK

Penulisan diktat ini dimaksudkan untuk membantu pembaca, terutama mahasiswa yang mengambil mata kuliah Kalkulus I K0424 dengan 4 sks. Diktat ini terdiri dari 20 bab. Tidak semua topik-topik dalam Kalkulus I dapat tertampung dalam diktat pendukung ini. Bab 1 tentang limit fungsi, Bab 2 tentang kekontinuan fungsi, Bab 3 mengenai derivatif fungsi, Bab 4 tentang ekstrem fungsi, Bab 5 mengenai limit bentuk tak tertentu dan rumus khas limit, Bab 6 tentang penerapan derivatif, Bab 7 tentang integral tidak tertentu, Bab 8 mengenai rumus-rumus reduksi, Bab 9 tentang substitusi goniometri, Bab 10 tentang integrasi fungsi rasional, Bab 11 tentang integral tertentu, Bab 12 mengenai aplikasi integral, Bab 13 mengenai derivatif parsial dari fungsi dua peubah, Bab 14 mengenai ekstrem dari fungsi dua peubah, Bab 15 mengenai bilangan kompleks, Bab 16 mengenai barisan tak berhingga dan deret tak berhingga, Bab 17 tentang deret positif, Bab 18 tentang deret alternating, Bab 19 tentang deret pangkat, dan Bab 20 tentang deret MacLaurin dan deret Taylor.Kata-kata kunci: Kalkulus, Kalkulus Dasar.

BAB 1. LIMIT FUNGSI

Definisi 1.1

Diberikan fungsi dengan domain dan kodomain di mana and

Bila untuk setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap di mana

, berlaku , maka kita katakan limit dari untuk x mendekati

adalah dan kita tulis

y

L+ε y=f (x)

L L–ε

O x0–δ x0 x0+δ x

Gambar 1.1

Contoh 1.1

Diberikan fungsi dari ke dengan Akan kita perlihatkan bahwa

Untuk setiap terdapatlah sedemikian sehingga untuk setiap , di mana

atau berlaku, i.e.

berlaku.

Jadi dengan definisi di atas kita simpulkan bahwa

Contoh 1.2

Pandang fungsi g dari ke dengan Kita akan

memperlihatkan bahwa

Dalam hal ini Perlu dicatat bahwa untuk

Untuk setiap terdapatlah sedemikian sehingga untuk setiap , di

mana , berlaku, yaitu

berlaku. Jadi dengan definisi di atas kita simpulkan bahwa

Definisi 1.2

Misalkan suatu fungsi dengan domain dan kodomain di mana dan

Bila untuk setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap di

mana , berlaku, maka kita katakan bahwa limit kiri dari untuk

mendekati adalah , dan kita tulis

Definisi 1.3



mana , berlaku, maka kita katakan bahwa limit kanan dari

untuk adalah dan kita tulis

Catatan

Notasi untuk limt kiri dan limit kanan di atas berturut-turut dapat disajikan dengan

and

Definisi 1.4

Misalkan suatu fungsi dengan domain dan kodomain di mana and


mana , berlaku, maka kita katakan bahwa limit dari untuk

mendekati adalah dan kita tulis

Untuk kasus kita tulis

dan untuk kasus kita tulis

Definisi 1.5



mana berlaku, maka kita katakan bahwa limit dari untuk is

dan kita tulis

Untuk kasus kita tulis

dan untuk kasus kita tulis

Contoh 1.3

Pandang fungsi dari ke dengan aturan

Menggunakan kurva fungsi mudah disimpulkan bahwa

and

Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama, kita simpulkan bahwa

tidak eksis.

y

O x

-1

Gambar 1.2

Contoh 1.4

Pandang suatu fungsi dari ke dengan aturan

Menggunakan kurva dari , mudah disimpulkan bahwa

,

y

O x

Gambar 1.3

Contoh 1.5

Pandang suatu fungsi h dari ke dengan aturan

Menggunakan kurva dari fungsi , tidaklah sulit untuk disimpulkan bahwa

,

,

y

o (1,2) 1

x

-1 O

Gambar 1.4Sifat-sifat limit fungsi

Misalkan fungsi-fungsi dan konstanta. Sifat-sifat di bawah ini berlaku:

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Catatan

Rumus-rumus 6 and 7 adalah kejadian khusus rumus 8.

Soal-soal

Carilah nilai limit dari fungsi-fungsi aljabar dan goniometri di bawahini:

1. 5. 9.

2. 6. 10.

3. 7. 11.

4. 8. 12. .

BAB 2. KEKONTINUAN FUNGSI

Definisi 2.1


Bila untuk setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap di mana

, berlaku, maka kita katakan fungsi kontinu di

y

f (x0)+ε y=f (x)

f (x0) f (x0)–ε

O x0–δ x0 x0+δ x

Gambar 2.1

Definisi 2.1 kenyataannya ekivalen dengan definisi berikut ini.

Definisi 2.2


Fungsi f kontinu di bila ketiga syarat di bawah ini dipenuhi, yaitu

(i). eksis atau terdifiisikan di dalam

(ii). eksis di dalam

(iii).

Contoh 2.1

Pandang fungsi dari ke dengan Karena tidak eksis,

fungsi f tidak kontinu di di Tetapi, kontinu untuk setiap

y

O 3 x -1/3

Gambar 2.2Contoh 2.2

Pandang fungsi dari ke dengan aturan

Mudah untuk dicek bahwa

and

sehingga g tidak kontinu di Tetapi, kontinu untuk setiap

y

x o-1

Gambar 2.3

Bila suatu fungsi F kontinu untuk setiap , kita katakana bahwa fungsi F kontinu

pada A. Setiap polinomial kontinu pada domainnya. Setiap fungsi rasional tidak kontinu di titik-

titik yang merupakan nilai nol dari penyebutnya, tetapi kontinu di titik-titik lainnya.

Setiap fungsi kuadrat dari R ke R adalah kontinu pada R.

Tetapi fungsi rasional dari ke R tidak kontinu di

maupun di dan kontinu pada .

Sifat-sifat fungsi kontinu

1. Bila fungsi-fungsi dan kontinu di maka fungsi-fungsi and juga

kontinu di , di mana Diperluas, titik di atas dapat diperluas ke himpunan bagian A dari R. Untuk kejadian khusus yang ke tiga, bila k adalah konstan sembarang, maka fungsi kf is juga kontinu bila f kontinu.

y

M o

f

m o a b

x O

Gambar 2.4

2. Teorema Nilai Ekstrem: Bila fungsi f kontinu pada selang [a, b], maka f dapat mencapai nilai minimumnya m dan

nilai maksimumnya M pada selang [a, b]. y

c f

O a x0 b

Gambar 2.5

3. Teorema Nilai Antara:

Bila suatu gungsi f kontinu pada selang [a, b] dengan maka untuk setiap bilangan real c dengan atau terdapatlah sekurang-kurangnya satu

bilangan real yang memenuhi

Soal-soal

Selidiki kekontinuan setiap fungsi dari fungsi-fungsi berikut ini:

1. dari R ke R.

2. dari ke R.

3. dari ke R.

4. dari R ke R.

5. dari ke R.

6. dari R to R di mana adalah the bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan

7. dari R ke R.

8. dari ke R.

9. dari ke R.

10. dari ke R.

BAB 3. DERIVATIF FUNGSI

Definisi 3.1

Diberikan fungsi f dengan domain dan kodomain . Untuk suatu

bila

eksis dan nilainya di dalam R, maka kita katakan bahwa f diferensiabel di dan derivatif dari f di x0 adalah nilai limit tersebut. Dalam hal ini kita tulis

Bila nilai limit di atas tidak eksis, maka kita katakana f tidak diferensiabel di

Fungsi dari domainnya ke R disebut fungsi derivatif dari fungsi f.

Bila fungsi f diferensiabel untuk setiap maka kita katakana bahwa f diferensiabel pada A.

Contoh 3.1

Diberikan fungsi dari R ke R. Untuk bilangan real sembarang maka

Jadi untuk sembarang bilangan real , diferensiabel di dan derivatif dari

adalah fungsi dari R ke R.

Contoh 3.2

Diberikan fungsi dari R ke R. Untuk bilangan real sembarang R , maka

Jadi, untuk bilangan real sembarang R , diferensiabel di , dan derivatif dari

adalah fungsi dari R ke R.

Sifat-sifat derivatif fungsi

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Rumus-rumus derivatif fungsi-fungsi fundamental

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Soal-soal 3.1

Tentukan derivatif dari fungsi-fungsi berikut :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Soal-soal 3.2

Carilah derivative dari fungsi-fungsi berikut:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Derivatif dari fungsi komposit

Pandang fungsi-fungsi

Sebagai kejadian khusus dari aturan rantai, kita peroleh

Contoh 3.3

1. Carilah dari fungsi komposit dengan substitusi

Ambil fungsi Maka kita peroleh

dan dengan aturan rantai di ats kita peroleh

Dengan cara biasa, kita harus menghitung dulu

Kemudian diperoleh

Jelas bahwa aturan rantai lebih baik dari cara biasa.

Contoh 3.4

Carilah dari fungsi komposit dengan substitusi

Ambil fungsi-fungsi Maka kita peroleh

dan dengan aturan rantai kita dapatkan hasil

Contoh 3.5

Carilah dari fungsi

Menggunakan definisi dari fungsi yang diberikan di atas, kita peroleh

dengan Kemudian

Menggunakan cara ini kita juga bisa mencari derivative dari fungsi-fungsi

Soal-soal 3.3

Carilah derivatif dari fungsi-fungsi di bawah ini:

1. 16.

2. 17.

3. 18.

4. 19.

5. 20.

6. 21.

7. 22.

8. 23.

9. 24.

10. 25.

11. 26.

12. 27.

13. 28.

14. 29.

15. 30.

Derivatif tingkat tinggi

Pandang fungsi diferensiabel dengan Dapat kita tulis

sebagai derivatif pertama dari Bila diferensiabel, maka dapat ditulis

sebagai derivatif ke dua dari Bila diferensiabel, dapat ditulis juga

sebagai derivatif ke tiga dari

Secara umum , dapat ditulis

sebagai derivatifke-n dari

Contoh 3.6

Carilah dari fungsi

Pertama,kita hitung

dan kemudian kita hitung

Contoh 3.7

Carilah dari fungsi dan

Pertama kita hitung

Dan kemudian kita hitung

Jelas, diperoleh

Soal-soal 3.4

1. Carilah dari fungsi dan juga (1).

2. Carilah dari fungsi dan juga

3. Carilah dari fungsi

4. Carilah dari fungsi , di mana A, B adalah konstan dan


6. Carilah dari fungsi , di mana a, b adalah konstan dan





11. Tentukan dari fungsi

12. Tentukan dari fungsi konstan.

13. Tentukan dari fungsi

Soal-soal 3.5

Carilah dari setiap fungsi-fungsi di bawah ini:

1. konstan; 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

Derivatif dari fungsi implisit

Suatu persamaan pada selang tertentu dapat menentukan y sebagai fungsi

dari x secara implisit. Sebagai contoh, misalnya

Derivatif dari y terhadap x, yaitu or dapat diperoleh dengan cara:

a) Ubah bentuk implisit ke bentuk y sebagai fungsi eksplisit dari x, misalnya

Kemudian cari derivatifnya secara biasa.

b) Dari , dapatkan Kemudian cari menggunakan aturan

rantai.

Contoh 3.8

Carilah dari fungsi implisit

a) Karena kita peroleh Kemudian,

b) Karena kita peroleh , ,

or

Contoh 3.9

Carilah dari fungsi implisit

a) Karena kita peroleh Kemudian,

b) Karena kita peroleh

, ,

Soal-soal 3.6

Carilah dan juga dari fungsi-fungsi implicit di bawah ini:

1. 9.

2. 10.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

7. 15.

8. 16.

Derivatif dari fungsi parameter

Pandang fungsi parameter; yaitu y sebagai fungsi dari x disajikan dengan

di mana f and g sebagai fungsi dari parameter t. Note Perlu dicatat bahwa dengan eliminasi t

menggunakan y = f (t) dan x = g (t) pada umumnya kita mendapatkan y sebagai fungsi dari x.

Derivatif dari y terhadap x is disajikan dengan

Contoh 3.10

Diberikan fungsi parameter

di mana t parameter. Bila kita eleminasi t, kita peroleh Jelas

Menggunakan rumus di atas, kita peroleh juga

yang sama dengan hasil sebelumnya.

Contoh 3.11


di mana konstan-konstan dan t parameter. Bila kita eleminasi t, kita peroleh

Menggunakan rumus di atas, kita juga mendapatkan

Soal-soal 3.7

Carilah dan juga dari fungsi-fungsi parameter ini:

1. di mana a and b konstan positif.

2. di mana a konstan positif.

3. di mana A konstan positif.

4. di mana A is konstan positif.

5. Cari juga di t = 1.

6. Cari juga di t = 2.

7. di mana a is a konstan positif.

8. di mana A dan B konstan positif.

9. di mana A dan B konstan positif.

10. di mana A konstan positif.

BAB 4.EKSTREM FUNGSI

Fungsi-fungsi naik dan turun

Definisi 4.1

Suatu fungsi dikatakan naik pada selang bila untuk setiap

dengan maka berlaku . Suatu fungsi dikatakan

turun pada selang bila untuk setiap dengan maka berlaku

Bila suatu fungsi naik atau turun pada kita katakan kurvanya berturut-turut naik

atau turun pada . If pada maka f naik pada . If pada

maka f turun pada . Sebagai contoh sederhana, the fungsi turun pada

dan naik pada

Nilai-nilai ekstrem (maksimum atau minimum)

Bila maka disebut titik kritis dari fungsi f. Jelas bahwa fungsi

punya titik kritis di

Bila and maka f mencapai maksimumnya (relatif atau lokal) di

dan nilainya adalah If and maka g mencapai minimumnya

(relatif atau lokal) di dan nilainya adalah

Untuk mencari maksimum atau minimum absolut dari suatu fungsi pada selang yang

diberikan, kita memerlukan pengamatan lebih lanjut pada selang tersebut.

Sebagai contoh sederhana, fungsi achieves mencapai minimum absolutnya di

pada R dan nilainya 5. Sedangkan fungsi mencapai maksimum absolutnya di

pada R dan nilainya 0. Fungsi tidak punya maksimum pada R, sedangkan

fungsi tidak punya minimum pada R.

Kecekungan dan kecembungan

Definisi 4.2

Kurva disebut cekung atas (cembung bawah) pada bila untuk setiap

titik yang terletak di kurva f pada , garis singgungnya terletak di bawah kurva dari f.

Kurva disebut cekung bawah (cembung atas) pada bila untuk setiap titik yang

terletak di kurva f pada , garis singgungnya terletak di atas kurva dari f.

Kurva pada R cekung atas sedangkan kurva pada R is cekung bawah.

Bila pada selang , kurva f cekung atas pada . Bila

pada selang , kurva f is cekung bawah pada .

Definisi 4.3

Titik belok dari kurva f adalah titik di kurva f di mana terjadi perubahan dari cekung atas

ke cekung bawah atau dari cekung bawah ke cekung atas.

Bila and maka kurva f punya titik belok di . Kurva dari

fungsi punya titik belok di

Soal-soal 4.1

1. Diberikan fungsi pada R.

(i) Tentukan di mana kurva dari fungsi tersebut naik atau turun.

(ii) Tentukan titik-titik belok dari kurva fungsi tersebut.

(iii) Tentukan nilai-nilai ekstrem dari fungsi tersebut.

2. Tentukan di mana kurva dari fungsi on R naik atau turun.

2 3. Pandang fungsi kuadrat pada R. Buktikan:

(i) Bila maka fungsi tersebut mencapai minimumnya di dan nilainya

(ii) Bila maka fungsi tersebut mencapai maksimumnya di dan nilainya

3 4. Tentukan titik di parabola yang berjarak minimum terhadap titik (2, 4).

5. Tentukan nilai-nilai ekstrem dari fungsi pada R dan titik-titik belok dari

kurvanya. Sket kurva dari fungsi tersebut.

6. Jumlah dua bilangan real adalah 150. Berapakah nilai dari bilangan-bilangan tersebut agar

hasil kalinya maksimum.

7. Tentukan titik-titik belok dari kurva fungsi-fungsi berikut:

(i) (ii) (iii)

8. Tentukan titik-titik belok dari kurva fungsi-fungsi berikut:

(i) (ii) (iii)

BAB 5. LIMIT BENTUK TAK TERTENTU DAN RUMUS KHAS LIMIT

Bentuk tak tertentu dari 0/0 ( Aturan L’Hopital)

Diberikan bilangan real a. Bila dan diferensiabel dan

untuk semua x pada selang , dan bila and maka

bila eksis atau tak berhingga.

Catatan:

Aturan L’Hopital masih sahih bila diganti dengan limit kiri atau limit kanan, yaitu

or .

Bentuk tak tertentu

Kesimpulan dari Aturan L’Hopital tidak berubah, bila satu atau kedua perubahan berikut

dipakai dalam hipotesisnya:

1. “ and ” diganti dengan “ dan .”

2. “ bilangan real a “ diganti dengan “ atau ” dan “ ” diganti

dengan “ ”

Contoh 5.1

1. c konstan;

2.

3.

4. di mana konstan,

Cara mengubah bentuk tak tertentu yang lain ke 0/0

1. Bentuk tak tertentu

Bila dan maka ubah


Bila dan maka ubah


Bila dan maka ubah


Bila and maka ubah


Bila dan maka ubah


Bila dan maka ubah

Contoh 5.2

Soal-soal 5.1

Carilah nilai limit-limit di bawah ini:

1. 10.

2. 11.

3. 12.

4. 13.

5. 14.

6. 15.

7. 16.

8. 17.

9. 18.

Rumus khas limit

Menggunakan rumus adalah jelas bahwa, bila

maka Bila maka

maka

Contoh 5.3

1.

2.

Soal-soal 5.2

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

BAB 6. PENERAPAN DERIVATIF

A. Menentukan garis-garis singgung dan normal

Diberikan fungsi diferensiabel pada R. Misalkan titik terletak di

kurva dari fungsi f. Misalkan garis k adalah garis singgung di P terhadap kurva dari f. Misalkan

garis l lewat P and dan tegak lurus k. Maka l disebut garis normal di P terhadap kurva f.

Misalkan sudut antara k dan sumbu-x. Kemiringan atau gradien dari garis singgung k adalah

Jadi persamaan garis singgung k adalah

dan persamaan garis normal l adalah

k

y

P

l

O Q S R x

Gambar 6.1

Misalkan garis singgung k memotong sumbu-x di titik Q dan garis normal l memotong

sumbu-x di titik R.. Maka disebut panjang subtangen dari k di P, and

disebut panjang subnormal dari l di P (lihat Gambar 6.1).

Contoh 6.1

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik A(2, 8) terhadap kurva dari fungsi

Tentukan juga panjang subtangen dari garis singgung dan panjang subnormal

dari garis normal di A.

Karena diperoleh . Jelas bahwa titik A di kurva dari f. Persamaan garis

singgung di A terhadap f adalah atau

Persamaan garis normal l di A terhadap f adalah

y=f(x)

or

Titik potong k dan sumbu-x adalah (4/3, 0). Jadi panjang subtangen dari k di A adalah

. Titik potong l dan sumbu-x adalah (98, 0). Jadi panjang subnormal dari l di A

adalah

Soal-soal 6.1

1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di terhadap kurva

. Tentukan juga panjang subtangen dari garis singgung dan subnormal dari garis

normal di P.

2. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal terhadap parabola di

titik-titik potong parabola dan sumbu-x.

3. Titik P dengan terletak di kurva Tentukan persamaan garis singgung dan

garis normal terhadap kurva tersebut di titik P.

4. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal terhadap kurva di

titik

5. Buktikan bahwa persamaan garis singgung terhadap parabola dengan gradien

is

6. Buktikan bahwa persamaan garis singgung terhadap elips di titik yang

terletak pada elips tersebut adalah

B. Soal-soal tentang maksimum atau minimum

Diberikan fungsi diferensiabel pada selang . Bila and

maka f mencapai maksimumnya (relatif atau lokal) di dan nilainya

sedangkan bila and maka f mencapai minimumnya (relatif atau lokal) di

dan nilainya

Contoh 6.2

Bagilah bilangan 120 menjadi dua bilangan, sedemikian sehingga jumlahnya 120 dan

hasil kali bagian pertama dan kuadrat bagian kedua maksimum.

Misalkan bagian pertama dan x bagian kedua. Maka

adalah hasil kali bagian pertama dan kuadrat bagian kedua , di mana Jelas,

dan Untuk 80 diperoleh and

Dengan hasil ini dan pengamatan kelakuan fungsi pada

selang , dapat kita simpulkan bahwa maksimum dari dicapai untuk

and

Soal-soal 6.2

1. Carilah persamaan garis lurus lewat titik (3,4) yang memotong kuadran dalam suatu segitiga

dengan luas minimum.

2. Buktikan bahwa segitiga sama sisi dengan tinggi 3r adalah segitiga sama kaki dengan luas

terkecil yang melingkupi dan menyinggung lingkaran berjari-jari r.

3. Suatu empat persegi panjang dilingkupi oleh elips (titik-titik sudutnya terletak

pada elips) di mana sisi-sisinya sejajar sumbu-sumbu elips. Tentukan ukuran empat persegi

panjang tersebut supaya (a) luasnya maksimum dan (b) kelilingnya maksimum.

C. Gerak pada garis lurus

Gerak partikel P sepanjang garis lurus dapat digambarkan dengan persamaan ,

di mana t adalah waktu dan s adalah jarak berarah P dari titik O pada lintasannya.

Kecepatan P pada waktu t adalah v = Bila v > 0 maka P bergerak dengan arah

naiknya s, sedangkan bila v < 0 P bergerak dengan arah turunnya s.

Kelajuan dari P adalah nilai absolut dari kecepatannya.

Percepatan atau akselerasi dari P adalah Bila a > 0 maka v naik dan bila

a < 0 maka v turun. Bila v dan a bertanda sama, kelajuan P naik . Bila v dan a bertanda sama,

kelajuan P naik If v and a tandanya berlainan, kelajuan P turun.

Contoh 6.3

Suatu bodi bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan , di mana s

dalam kaki dan t dalam detik . Tentukan kecepatan dan percepatannya setelah dua detik.

Contoh 6.4

Suatu partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan di

mana s dalam kaki dan t dalam detik .

(a) Tentukan s and a ketika v=0. (d) Kapan v naik?

(b) Tentukan s and v ketika a=0. (e) Kapan arah gerak berubah?

(c) Kapan s naik?

Jelas bahwa

(a) Ketika v=0, t = 1 & t =3. Ketika t = 1, s = 8 & a = -6. Ketika t = 3, s = 4 & a = 6.

(b) Ketika a = 0, t = 2. Ketika t = 2, s = 6 and v = -3.

(c) s is decreasing when v > 0, yaitu ketika t < 1 dan t >3.

(d) v naik ketika a > 0, yaitu ketika t > 2.

(e) Arah gerak berubah ketika v = 0, dan Dengan (a) arah gerak berubah ketika t = 1 dan t

= 3.

Soal-soal 6.3

Untuk soal-soal berikut ini, satuan-satuan yang dipakai adalah kaki dan detik.

1. Suatu partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan Tentukan

posisi partikel terhadap posisi awal (t = 0) at 0, tentukan arah dan kecepatannya, dan

tentukan percepatannya naik atau turun ketika (a) t = ½, (b) t = 3/2, (c) t = 5/2, (d) t = 4.

2. Jarak lokomotif dari dari suatu titik tertentu pada lintasan garis lurus pada waktu t diberikan

oleh persamaan Kapan lokomotif tersebut berbalik arah?

3. Suatu bodi bergerak sepanjang garis horizontal menurut persamaan

(a) Kapan s naik or turun?

(b) Kapan v naik atau turun?

(c) Kapan kelajuan bodi naik atau turun?

4. Suatu partikel bergerak sepanjang garis horizontal menurut persamaan

(a) Kapan kelajuan partikel naik atau turun? (b) Kapan arah gerak berubah? (c) Tentukan

jarak total yang ditempuh setelah 5 detik.

5. Suatu partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan di

mana s dalam kaki dan t dalam detik.

(a) Tentukan s and a ketika v = 0. (d) Kapan v naik?

(b) Tentukan s and v ketika a = 0. (e) Kapan arah gerak berubah?

(c) Kapan s naik?

6. Lintasan partikel yang bergerak sepanjang garis lurus diberikan oleh persamaan

di mana s dalam kaki dan t dalam detik.

(a) Tentukan s and a ketika v = 0. (d) Kapan v naik?

(b) Tentukan s and v ketika a = 0. (e) Kapan arah gerak berubah?

(c) Kapan s naik?

D. Solusi pendekatan persamaan

Pandang persamaan Bila solusi eksak atau akar-akarnnya sulit dicari, kita

gunakan metode Newton-Raphson untuk mencari solusi pendekatannya. Dalam hal ini

diasumsikan and kontinu.

Prosedur metode Newton-Raphson :

1. Pilih atau tebak pendekatan pertama dari Sket dari kurva akan membantu.

2. Gunakan pendekatan pertama untuk mencari pendekatan ke dua, yang ke dua untuk mencari

yang ke tiga dan seterusnya memakai rumus

.1

3. Kita dapat mengakhiri proses iterasi setelah pendekatan ke-n ketika

is relatif kecil.

Contoh 6.5

Tentukan akar positif dari persamaa

Jelas, rumus Newton-Raphson di atas menjadi

Untuk memakai perhitungan dengan efisien, kita tulis lagi formula di atas yang lebih baik, yaitu

Dengan memilih atau menebak diperoleh .

Soal-soal 6.4

Menggunakan metode Newton-Raphson, tentukan akar-akar pendekatan dari persamaan-

persamaan berikut:

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

Soal-soal 6.5

1

1. Menggunakan metode Newton-Raphson, estimasikan di mana kurva memotong garis

lurus .

2. Menggunakan metode Newton-Raphson, estimasikan di mana kurva memotong

parabola


parabola


parabola dalam selang

BAB 7. INTEGRAL TIDAK TERTENTU

Definisi 7.1

Bila d pada suatu selang dari R maka fungsi dapat disebut

integral tidak tertentu atau antiderivatif dari pada interval tersebut, dan kita tulis

Dalam ekspresi fungsi dapat disebut integran.

Contoh-contoh 7.1

1. Diberikan pada R. Jelas, pada R. Kita dapat

menulis

2. Diberikan pada R. Jelas, pada R. Dapat kita tulis

Sifat-sifat integral tidak tertentu

1.

2.

3. c konstan sembarang.

4. Metode substitusi: Bila dan maka

5. c konstan sembarang.

6. Integrasi parsial:

BAB 8. RUMUS-RUMUS REDUKSI

Menggunakan integrasi parsial, kita dapat menurunkan rumus-rumus reduksi berikut:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Contoh 8.1

Turunkan rumus reduksi:

Menggunakan integrasi parsial, dapat diperoleh:

Maka

dan dengan pembagian oleh m kita peroleh hasil:

Contoh 8.2

Derive the reduction formula:

Using integration by parts we get

Soal-soal

Turunkan rumus-rumus 2, 3, 4, 5, dan 7 di atas menggunakan integrasi parsial.

BAB 9. SUBSTITUSI GONIOMETRI

Beberapa integrasi dapat diredusir menggunakan substutusi goniometri berikut:

a) Bila integran mengandung gunakan substitusi or

b) Bila integran mengandung gunakan substitusi

c) Bila integran mengandung gunakan substitusi

Contoh 9.1

Carilah menggunakan substitusi

Jelas bahwa Maka

Contoh 9.2


Jelas bahwa Maka

Contoh 9.3


Jelas bahwa Maka

Kita dapat menurunkan rumus-rumus berikut ini:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Soal-soal 9.1

Carilah integral-integral di bawah ini menggunakan substitusi yang sesuai:

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

BAB 10. INTEGRASI FUNGSI RASIONAL

Suatu fungsi dengan dan polinomial disebut fungsi

rasional. Bila derajat lebih kecil dari derajat , maka disebut

fungsi rasional sejati, bila tidak demikian disebut fungsi rasional tidak sejati.

Suatu fungsi rasional tidak sejati dapat dinyatakan sebagai jumlah dari suatu polinomial

dan suatu fungsi rasional sejati. Fungsi rasional sejati sembarang dapat dinyatakan sebagai

jumlah dari fungsi-fungsi rasional yang lebih sederhana yang penyebut-penyebutnya berbentuk

and , m and n bilangan-bilangan bulat positif.

Contoh 10.1

Carilah

Sebelum melakukan integrasi, kita perlu mengubah integran sebagai berikut.

Sehingga diperoleh dan ini memberikan

Jadi

Contoh 10.2

Carilah

Kita selesaikan langsung menggunakan metode yang telah dibicarakan di atas.

Contoh 10.3

Carilah


Sehingga kita peroleh dan ini memberikan

Jadi

Contoh 10.4

Carilah


dalam hal ini untuk setiap

Sehingga diperoleh dan ini memberikan

Jadi

Problems

Tentukan integral-integral berikut menggunakan metode yang dibicarakan di atas:

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

BAB 11 INTEGRAL TERTENTU

Bila disebut integral

tertentu dari f (x) dengan batas bawah a dan batas atas b, di mana a and b konstan.

Contoh 11.1

Tentukan .

Karena maka

Contoh 11.2

Tentukan

Karena maka

Contoh 11.3

Tentukan

Karena maka

Sifat-sifat integral tertentu

1.

2.

3.

4.

5.

6. Integrasi parsial untuk integral tertentu:

7. Bila kontinu pada maka terdapat sedemikian sehingga

8. Bila then

Contoh 11.4

Tentukan

Contoh 11.5

Tentukan

Soal-soal

Tentukan nilai dari integral-integral tertentu di bawah ini:

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

BAB 12. APPLIKASI INTEGRAL

A. Luas daerah pada bidang datar

Diberikan fungsi kontinu nonnegatif on interval Luas A dari daerah

R pada bidang yang dibatasi oleh sumbu-x, garis-garis vertikal dan

diberikan oleh

Lebih jauh, luas A dari daerah R pada bidang yang dibatasi oleh kurva-kurva

dari fungsi-fungsi kontinu kontinu dan dengan sumbu-x,

garis-garis vertikal dan diberikan oleh

y

A

O x

Gambar 12.1

Contoh 12.1

Carilah luas daerah pada bidang plane yang dibatasi oleh parabola

sumbu_x, garis dan garis .

Luas daerah tersebut diberikan oleh

Contoh 12.2

Carilah luas daerah pada bidang yang dibatasi oleh parabola , dan garis

lurus .

Titik-titik potong parabola dan garis lurus adalah titik asal dan titik

Jadi luas daerah yang ditanyakan adalah

Contoh 12.3

Carilah luas daerah pada bidang yang dibatasi oleh kurva dari fungsi

garis dan garis

Titik potong kurva dari fungsi dan garis adalah titik Jadi luas

daerah yang ditanyakan adalah

2

1

O x

Gambar 12.2

B. Volume dari benda pejal putar

Diberikan fungsi kontinu nonnegatif pada selang Daerah R dari

bidang yang dibatasi oleh kurva dari fungsi sumbu-x , garis-garis vertikal

dan diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, volume V dari benda pejal putar

yang terjadi, diberikan oleh

y

0 a b x

Gambar 12.3

Contoh 12.4

Daerah pada bidang yang dibatasi oleh kurva dari fungsi sumbu-x, dan

garis-garis vertikal and diputar mengelilingi sumbu-x. Carilah volume benda

pejal putar yang terjadi.

Volume V dari benda pejal yang terjadi, adalah

Contoh 12.5

Carilah volume bola dengan jari-jari R.

Volume V dari bola dengan jari-jari R adalah

Contoh 12.6

Daerah pada bidang xOy yang dibatasi oleh kurva sumbu-y, garis-garis

horizontal dan , diputar mengelilingi sumbu-y. Carilah volume benda pejal

putar yang terjadi.

Volume V dari benda pejal yang terjadi, adalah

C. Panjang busur

Diberikan fungsi pada selang di mana kontinu pada selang

Panjang busur AB dari kurva fungsi di mana dan

diberikan oleh

y

B

A

O a b x

Gambar 12.4


,

di mana dan kontinu pada Misalkan

Maka, panjang L dari busur AB diberikan oleh

Contoh 12.7

Carilah panjang busur dari kurva dari titik asal ke titik

Contoh 12.8

Carilah panjang busur dari kurva dari ke

D. Luas dari luasan putar

Diberikan fungsi pada selang di mana and kontinu pada

Busur AB dari kurva and yaitu A dan B pada kurva

diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, luas A dari luasan putar yang terjadi,

diberikan oleh

y

B

A

O a b x

Figure 12.5

Contoh 12.9

Busur dari kurva dari diputar mengelilingi sumbu-x. Carilah

luas A dari luasan putar yang terjadi.

Contoh 12.10

Carilah luas A dari bola dengan jari-jari R.

Menggunakan fungsi

Soal-soal

1. Carilah luas daerah-daerah pada bidang yang dibatasi oleh kurva-kurva:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2. Daerah pada bidang yang dibatasi oleh kurva-kurva

diputar mengelilingi sumbu-x. Carilah volume

dari benda pejal putar yang terjadi.

3. The region of plane bounded by parabola

is revolved about axis. Find the volume of the solid of revolution.

4. The region of plane bounded by the graph and

is revolved about axis. Find the volume of the solid of revolution.

5. Find the length of the circumference of the circle

6. Find the length of arc of the curve from the point to the point

7. Find the length of arc of the curve from the point to the point

8. Find the length of arc of the curve

1. Find the length of arc of the curve

2. The arc of the graph of from to is revolved about x axis. Find the

area A of the surface of revolution.

3. The arc of the graph of from to is revolved about y axis. Find the


4. The arc of the graph of from to is revolved about x axis. Find the


CHAPTER 13. PARTIAL DERIVATIVES OF

A FUNCTION OF TWO VARIABLES

Partial derivatives

Given as a function of two independent variables x and y. If x varies

but y is fixed, then z is a function of x and the derivative of z with respect to x is given

by

and it is called the partial derivative of with respect to x.

Conversely, if y varies but x is fixed, then z is a function of y and the derivative of

z with respect to y is given by

and it is called the partial derivative of with respect to y.

Example 13.1

Given Then,

Example 13.2

Given Then,

Example 13.3

Given Then,

Partial derivatives of higher orders

The partial derivative of can be differentiated partially with

respect to x and y, yielding the second partial derivatives

Also, from can be obtained

If and its partial derivatives are continuous, it can be proved that the

order of differentiation is immaterial, i.e.

Example 13.4

Given Then,

Example 13.5

Given Then,

Partial derivatives of implicit functions

If z is defined implicitly as a function of independent variables x and y by the

equation then the partial derivatives and can be determined by

the method shown in the following examples.

Example 13.6

Find and of the implicit function

Similarly,

Problems

1. Find and of the function

2. Find and of the implicit function





7. Given Show that

8. Given Show that

9. Given Prove:

10. Given Prove:

CHAPTER 14. EXTREME OF A FUNCTION OF TWO VARIABLES

Given a function where its partial derivatives of first and second

orders exist. If at we have and , then the point is called the

critical point of f.

If at the critical point

Then f yields a relative (local) minimum at and its value is


Then f yields a relative (local) maximum at and its value is


Then f does not yield a relative maximum nor a relative minimum at .


then we can not conclude anything aout the extreme of f.

Example 14.1

Investigate the extreme of the function

Equations and give the critical point

Obviously, For the critical point

then f yields a relative (local)

minimum at and its value is

Problems

1. Investigate the extremes of the following functions:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

2. Determine positive numbers such that:

a)

b)

c)

d)

3. a) The surface area of a right open box is . Find the maximum volume

possible.

a) The volume area of a right open box is . Find the minimum surface area

possible.

CHAPTER 15. COMPLEX NUMBERS

The system of complex numbers

Every real number satisfies Therefore, no real number satisfying

A complex number is a number with the form where a and b are real

numbers, i is an imaginary unit satisfying If is a complex number then

a is called a real part of z and b an imaginary part of z. We can write

Two complex numbers are equal if and The set of all

real numbers R is a subset of the set of all complex numbers C. A complex number

is called a (pure) imaginary number.

If then is called a conjugate of z. For instance,

Fundamental operations

1. Addition:

2. Subtraction:

3. Multiplication:

4. Division:

Absolute value (modulus)

The absolute value (modulus) of a complex number is

For example

If and are complex numbers the following properties hold:

1.

2.

3. triangle inequality;

4. triangle inequality.

Fundamental properties

If are complex numbers then the following properties hold:

1. commutativity for addition;

2. commutativity for multiplication;

3. assosiativity for addition;

4. assosiativity for multiplication;

5. distributivity;

6.

7.

8.

9.

10.

Polar form of complex numbers

If is a complex number in Cartesian form then z can be expressed in

polar form using the following rule:

Make sure to choose the correct

For example,

De Moivre theorem

If

De Moivre theorem:

If

Roots of a complex number

A complex number w is called an root of a complex number z if

Written by Using De Moivre Theorem, we get the following formula.

Formula to find roots of a complex number:

If then

Euler formula

Using Euler formula we can get:

Example 15.1

Given Calculate:

a) b) c) d)

a)

b)

c)

d)

Example 15.2

Show that for all complex numbers z and w: a) b)

Let Then,

a)

b)

Example 15.3

Find all complex numbers w satisfying i.e. to find all

We write in polar form, i.e.

Then, using the formula to find roots of a complex number we get

Problems

1. Given Find:

a) b) c)

d) e) f)

2. Find:

a) b) c)

d) e) f)

3. Calculate:

a)

b)

c)

d)

4. Prove:

a) b)

CHAPTER 16. INFINITE SEQUENCES AND SERIES

Infinite sequence

An infinite sequence is a function of n whose domain is N

andd its values are numbers.

An infinite sequence is called bounded if there exist some numbers P and Q

such that for every n, As an example, the sequence is bounded

since for every n, As another example, the sequence is not

bounded since there is no Q such that for every n,

An infinite sequence is called monotonically increasing or increasing if

for every n. An infinite sequence is called monotonically decreasing or

decreasing if for every n.

An infinite sequence is called strictly increasing if for every n. An

infinite sequence is called strictly decreasing if for every n.

A sequence is called to converge to a finite number s as limit, written by

if for every positive number there exists a positive integer N such that

for every positive integer If the sequence has a limit it is called a

convergent sequence; otherwise it is called a divergent sequence. A sequence is

called to diverge to if for every positive number M there exists a positive integer N

such that for every positive integer written by

A sequence is called to diverge to if for every positive number M there exists a

positive integer N such that for every positive integer written by

A sequence is called to diverge to if for every positive number

M there exists a positive integer N such that for every positive integer ,

written by

Theorems on sequences

1. Every bounded increasing (decreasing) sequence is convergent.

2. Every unbounded sequence is divergent.

3. A convergent (divergent) sequence remains convergent (divergent) when any or all of

its first n terms are altered.

4. The limit of a convergent sequence is unique.

5. is a constant.

6.

7.

8.

9. If is a sequence of nonzero terms and

10.

11.

Example 16.1

Show that the sequence is convergent.

The sequence is bounded since for all n. The sequence

is increasing since for all n.

Hence using Theorem 1 on sequences, is convergent.

Example 16.2

Show that the sequence is divergent.

Since the sequence is unbounded.

By Theorem 2 on sequences we conclude that the sequence is divergent.

Problems 16.1

1. Investigate whether the following sequences are bounded, decreasing, increasing,

convergent or divergent:

a) b) c) d)

2. Prove Theorem 10 on sequences.

Infinite series

Let be an infinite sequence. We define the infinite series

as the following sequence of partial sums :

The numbers are the terms of the series

If is a finite number, then the series is called to converge and S is called

its sum. If does not exist, then the series is called to diverge. A series diverges

either because or because, as n increases, increases or decreases without

approaching a limit. An example of the first is the series 1+1+1+1+… whereas an

example of the latter is the series .

Since any series is a sequence, hence the theorems above on sequences can be applied

on series. The following are more theorems on series.

Theorems on series

1. A convergent (divergent) series remains convergent (divergent) after any or all of its

first n terms are altered.

2. The sum of a convergent series is unique.

3. If converges to S, then is any constant, converges to . If

diverges then also diverges,

4. If converges then

Example 16.3

Prove that the infinite geometric series where

converges to and diverges if

In this case,

If then and the series above converges to

If then is divergent and the series above is also divergent.

If then the series above has the form and the

series above is also divergent,

Problems 16.2

1. Investigate whether the following series are convergent or divergent. If convergent,

find their sums:

a) b)

c) d)

2. Prove that the harmonic series: diverges.

3. Prove Theorem 4 on series.

4. Find partial sum and the sum S for these series:

a) b)

CHAPTER 17. POSITIVE SERIES

A series whose all terms are positive is called a positive series. The following are

theorems or tests for convergence and divergence of positive series.

1. The boundedness of partial sum test

A positive series is convergent if the sequence of partial sum is bounded.

2. The integral test

If is a positive series with and is decreasing for

then respectively is convergent or divergent depends on is finite or

infinite.

3. The comparison test for convergence

Given a convergent positive series and for all Then,

is also convergent.

4. The comparison test for divergence

Given a divergent positive series and for all Then,

is also divergent.

5. The ratio test

Given a positive series and let If then series converges. If

then the series diverges. If or does not exist then we can not conclude

anything.

Example 17.1

Investigate the convergence or divergence of the series

using the integral test.

The series can be written as with and On the

interval and decreasing. We get:

Since the value of the integral above is finite, hence the series converges.

Example 17.2


using the integral test.

The series can be written as with and On

the interval and is decreasing. We get:

Since the value of the integral above is infinite, hence the series diverges.

Remark

Using the integral test it can be shown that the p-series

converges if and it diverges if

Example 17.3


using the comparison test of convergence.

The series can be written as with Since for every n and

the series converges, the series above also converges.

Example 17.4


using the comparison test of divergence.

The series can be written as with for every n. Since for

every n and the series diverges (harmonic series), the series above also diverges.

Example 17.5


using the ratio test.

The series can be written as with Since

the series above converges.

Example 17.6


using the ratio test.

The series can be written as with Since

the series diverges.

Problems

Investigate whether each of the following series converges or diverges:

1.

2.

3.

4. a) b) c)

5. a) b) c)

6. a) b) c)

CHAPTER 18. ALTERNATING SERIES

The general form of an alternating series can be written as

where for every n.

We have the following theorem for convergence or divergence of alternating

series.

Theorem

The alternating series

converges if:

(i) for every n, and

(ii)

Example 18.1

Using the theorem above it can be shown that the alternating series

converges.

Example 18.2

Using the theorem above it can be shown that the alternating series

also converges.

Problems

Investigate whether each of the following alternating series converges or diverges:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

CHAPTER 19. POWER SERIES

An infinite series of the form where all the

c’s are constants is called a power series in x. Furthermore, an infinite series of the form

where all the c’s and a are

constants is called a power series in x-a.

The radius of convergence of the power series in x above is a number such that

for every x satisfying the series converges and for every x satisfying the

series diverges. The value of the radius of convergence can be determined by the

formula:

Example 19.1

Determine the values of x where the power series converges or diverges.

Using the formula above, we get

Therefore, for every x satisfying the series converges and for every x satisfying

the series diverges. For , the series has the form i.e. a convergent

alternating series. For , the series has the form i.e. a convergent p-series with

Example 19.2

Determine the values of x where the power series converges or diverges.

Using the formula above, we get

Hence the series above converges for all values of (real) x.

Problems

For each of the following problems determine the values of x where the power

series converges or diverges:

1) 5)

2) 6)

3) 7)

4) 8)

CHAPTER 20. MACLAURIN SERIES AND TAYLOR SERIES

Let the function have derivatives of all orders on some interval

containing Then, Maclaurin series of on that interval is given by

Let the function have derivatives of all orders on some interval

containing , where a is a finite number. Then, Taylor series of around a on

that interval is given by

It can be seen that Maclaurin series is a special Taylor series with

Example 20.1

Determine Maclaurin series of R.

Since for every n, using the formula of Maclaurin series we get

Example 20.2

Determine Taylor series of

Since we have for every n. Using the formula of Taylor

series above we get:

Several important Maclaurin series

1)

2)

3)

4)

5)

Problems

1. Prove all formulas for Maclaurin series above.

2. Find a formula for Maclaurin series of the function



5. Find a formula for Taylor series with of the function

6. Find a formula for Taylor series with of the function .

DAFTAR PUSTAKA

1. Edwin, J. Purcell and Dale Varberg. 1997. Calculus with Analytic Geometry, 5th edition.

Prentice-Hall Inc. Upper Saddle River, New Jersey, USA.

2. Ayres JR, Frank and Elliot Mendelson.. 1990. Theory and Problems of Calculus, 3rd

edition. Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill, Inc. New York, USA.

3. Kletenik, D. Problems in Analytic Geometry, edited by N. Yefimov, translated from the

Russian by O. Soroka. Peace Publishers. Moscow, Russia.

diktat pendukung kalkulus i k0424

Documents