METODE SIMPLEX

MATA KULIAH

MANAJEMEN KUANTITATIF

MODUL 3PEOGRAM LINEAR DENGAN METODE SIMPLEX

TATAP MUKA : 4 (EMPAT)PENYUSUN : NURMATIAS, MMFAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS MERCU BUANA JAKARTA

PEOGRAM LINEAR DENGAN METODE SIMPLEX

PENDAHULUAN

Metode Simpleks merupakan sebuah metode lanjutan dari metode grafik. Metode Grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan manajemen yang memiliki variable keputusan cukup besar, sehingga untuk menyelesaikannya dibutuhkan sebuah metode yang lebih kompleks yaitu dengan menggunakan program komputer QSB (Quantitative System For Business) atau menggunakan metode simpleks. Dalam kenyataannya penggunaan komputer lebih efisien, akan tetapi metode dasar yang digunakan dalam pengoperasian komputer tetap metode simpleks.

Penyelesaian secara manual linear program dengan metode simpleks tetap menghendaki kesungguhan kita dalam pengembangan keahlian formulasi Linear Programing (LP). Dengan mempelajari mekanisme dari metode simpleks, informasi yang diperoleh tidak hanya solusi optimal saja, melainkan juga interpretasi ekonomi dan informasi untuk mengadakan analisa sensitivitas.

Metode simpleks merupakan pengembangan metode aljabar yang hanya menguji sebagian dari jumlah solusi basis dalam bentuk tabel. Tabel simpleks hanya menggambarkan masalah linear program dalam bentuk koefisien saja, baik koefisien fungsi tujuan maupun koefisien setiap kendala. PENGERTIAN

Metode Simpleks adalah metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan manajerial yang telah diformulasikan terlebih dahulu ke dalam persamaan matematika program linear yang mempunyai Variabel Keputusan mulai dari lebih besar atau sama dengan 2 (dua) sampai multivariabel.

Sebagai pembanding, Metode Grafik hanya dapat kita gunakan apabila jumlah variable keputusan maksimal 2 (dua) buah. Sehingga dapat juga kita katakan bahwa apabila suatu persoalan Linear programming dapat kita selesaikan dengan Metode simpleks. Sebaliknya suatu persoalan yang hanya bisa diselesaikan dengan Metode Simpleks tidak dapat kita selesaikan dengan Metode Grafik.

Ada beberapa langkah penting yang harus kita pahami dalam menggunakan Metode Simpleks, yaitu :

1. pembuatan Motode Program Linear biasa

2. Merubah formulasi LP Biasa menjadi Formulasi standar

3. Menyiapkan table Simpleks Awal (Initial Tableau)

4. Memasukkan nilai-nilai dan variable dalam formulasi standar ke dalam tabel awal.

5. Melakukan Proses Iterasi

6. Menentukan apakah Penyelesaian Optimal sudah tercapai

7. Membuat kesimpulan jawaban.

Merubah Formulasi Biasa ke dalam Formulasi standar

Merubah formulasi biasa ke dalam formulasi standar harus mengikuti kaidah dasar yang berlaku yaitu :

Introduksikan variable baru sebagai variable dummy dengan singkatan huruf SL sebagai singkatan dari Slack (Kekurangan)

Variabel Slack kita introduksikan apabila kita mempunyai bentuk tanda pembatas lebih kecil dari atau sama dengan ()

Introduksikan variable baru sebagai variable dummy dengan singkatan SP sebagai singkatan dari Surplus (kelebihan)

Variabel Surplus kita introduksikan apabila kita mempunyai bentuk tanda pembatas lebih besar dari atau sama dengan ()

Contoh Max Z = 40 X1 + 30 X2

Batasan1. 2/5 X1 + X2 20

2. 1/5 X2 5

3. 3/5 X1 + 3/10 X2 21

4. X1, X2 0 Non Negativity

(FORMULA BIASA)

Max Z = 40 X1 + 30 X2 + OS1 + OS2 + OS3

Batasan

1. 2/5 X1 + X2 + 1 S1= 20

2. 1/5 X2 + 1 S1 = 5

3. 3/5 X1 + 3/10 X2 + 1 S1= 21

X1, X2, S1, S2, S3 0

(FORMULASI STANDAR)

Barangkali ada yang masih ragu atau kurang mengerti mengapa kita tambahkan atau introduksikan variable baru sewaktu kita merubah bentuk biasa ke bentuk standar. Perhatikan lagi dengan seksama.

Ambil contoh : 2/5 X1 + X2 20

Disini kita lihat bahwa nilai ruas kiri lebih kecil atau sama dengan () 20. Padahal dalam pengoperasikan Tabel simpleks kita harus merubah tanda menjadi tanda = artinya nilai ruas kiri betul-betul sama dengan nilai ruas kanan. Variabel yang kita tambahkan tersebut kita namakan Slack Variable dengan tanda SL dan bertanda postitf.

2/5 X1 + X2 + 20

2/5 X1 + X2 + SL. 20 atau

2/5 X1 + X2 + 1 SL = 20

Sementara jika tanda pembatas kita adalah Lebih Besar atau Sama Dengan () maka kita introduksikan varibel Surplus.

Ambil contoh: 4 X 1 + 3 X 25

Disini kita lihat bahwa nilai ruas kiri lebih besar atau sama dengan () nilai ruas kanan, oleh karena itu agar nilainya sama besar maka kita introduksikan variable baru yang kita sebut Surplus Variabel dengan tanda SP pada ruas kanan, dengan tujuan untuk mengurangi nilai ruas kanan tersebut agar sama besar dengan nilai ruas kiri.

4 X 1 + 3 X 2 25 +

4 X 1 + 3 X 2 25 + SP atau

4 X 1 + 3 X 2 - 1P = 25

Dapat juga disimpulkan bahwa setiap Slack Variabel tandanya Positif dan setiap Surplus Variabel tandanya Negatif.

BENTUK TABEL SIMPLEKS

Cj

BASIS X1 X2 X3 .. Xn NRK

Zj

Cj - Zj

Penjelasan penggunaan Tabel Simpleks di atas

Untuk Table Simpleks seperti ini yang perlu kita ingat adalah ketentuan seperti berikut :

1. Kolom Baris

Kolom Baris selalu ada dan ditempatkan di kolom paling kiri. Untuk tabel awal variable yang pertama kali kita tulis pada kolom ini adalah Variabel tambahan yang bertanda positif seperti Slack Variabel (SL)

Artifisial Variabel Oleh karena itu Surplus Variabel (-SP) tidak pernah kita masukkan ke dalam

kolom basis pada tabel awal.

2. Kolom Cj

Kolom Coefesien Fungsi Tujuan (Cj) selalu kita tuliskan pada urutan kedua setelah kolom Basis. Angka Koefesien setiap kita lihat pada Fungsi Tujuan Formulasi Standar dari persoalan yang dihadapi.

3. Kolom di antara Kolom Cj dan Kolom paling kanan atau Kolom Nilai Ruas Kanan (NRK)

Jumlah kolom ini bervariasi tergantung berapa jumlah variable yang ada di dalam Fungsi Tujuan Formulasi Standar. Oleh karena itu apabila terjadi kesalahan dalam membuat Formulasi Standar maka penyelesaian persoalan dengan metode simple simpleks juga akan salah.

4. Kolom Nilai Ruas Kanan (NRK)

Pada kolom ini kita menuliskan Nilai Ruas Kanan dari setiap batasan yang ada di dalam setiap persoalan yang dihadapi.

5. Jumlah Baris

Jumlah baris di antara baris Basis dengan baris Zj tergantung dari berapa buah Batasan yang kita hadapi di dalam setiap persoalan.

6. Baris Zj

Baris Zj ini kita gunakan untuk mendapat nilai Shadow Price atau Nilai Marginal Value Product dari setiap variable yang kita hadapi.

Angka yang akan kita tuliskan pada Baris Zj ini adalah angka Hasil Penjumlahan Perkalian setiap Koefesien dari variable yang tertera dalam Kolom basis dengan angka-angka di dalam Matrik A.

7. Baris Cj Zj

Baris ini sangat bermanfaat bagi kita untuk melihat kapan kita berhenti melakukan Iterasi atau baris yang dapat membantu kita untuk menentukan apakah penyelesaian optimal telah kita capai.

Batasan

1. 2/5 X 1 + X 2 + 1 SL 1 = 20

2. 1/5 X2 + 1 SL 2 = 5

3. 3/5 X 1 + 3/10 X2 + 1 SL 3 = 2BENTUK 2

Cj ----( Product Mix Quantity X1 X2 X3 . Xn

Zj

Cj - Zj

Penjelasan Penggunaan Tabel Model di atas :

1. Kolom Cj atau Kolom Fungsi Tujuan ditempatkan pada urutan paling kiri. Kegunaannya sama dengan bentuk 1.

2. Kolom Product Mix

Kolom ini sama fungsinya dengan Kolom Basis

3. Kolom Quantity

Kolom ini sama fungsinya dengan Kolom Nilai Ruas kanan Persoalan MaksimisasiContoh penyelesaian persoalan Maksimisasi menggunakan Metode Simpleks dengan menggunakan bentuk tabel. 1

Misalkan

Fungsi tujuan:Max Z = 40 X 1 + 30 X2

Batasan1.2/5 X1 + X220

2.

1/5 X2 5

3.3/5 X1 + 3/10 X221

4.X1, X2

0 Non-Negativity

(FORMULASI BIASA)

Max Z = 40 X1 + 30 X2 + OSL1 + OSL2 + OSL3

Batasan

1. 2/5 X1 + X2 + 1 SL1 = 20

2. 1/5X2 + 1 SL2 = 5

3. 3/5 X1 + 3/10X2 + 1 SL3 = 21

X1, X2, S1, SL2, SL3 0

(FORMULASI STANDAR)

Tabel Awal

Cj 40

30 0 0 0

BASIS

X1 X2 SL1 SL2 SL3 NRK

SL1 0 2/5 1 0 0 20

SL2 0 0 1/5 0 1 0 5

SL3 0 3/5 3/10 0 0 1 21

Zj 0 0 0 0 0 0

Cj - Zj 40 30 0 0 0

PROSES ITERASI

1. Tentukan Kunci Kolom (Pivot Colum)

Caranya adalah memilih nilai Cj Zj yang terbesar dan positif

Pada tabel di atas kita pilih kolom X1 sebagai kunci Kolom (nilai 40)

2. Tentukan Kunci Baris (Pivot Row atau Replaced Row)

Caranya adalah memilih hasil bagi anatara NRK dengan angka=angka yang ada dalam kunci kolom. Kemudia kita pilih hasil bagi yang terkecil dan positif. Ingat hasil bagi dengan nilai negative; nol dan tak terhingga tidak dapat dijadikan sebagai kunci baris. Pada tabel di atas kita lihat cara mendapatkan kunci baris.

Langkah-langkah penggunaan Metode Simpleks ;1. Ubah masalah linear program ke dalam bentuk standar

2. Periksa apakah setiap kendala memiliki variabel basis . Jika tidak tambahkan satu variabel buatan (semu) yang bertindak sebagai variabel basis, misalnya Q1 atau Q2 yang jumlahnya sesuai dengan kebutuhan.

Variabel basis adalah :

Variabel yang memiliki koefisien sat, sedangkan pada kendala yang lain nilainya nol.

3. Masukkan semua nilai fungsi kendala ke dalam tabel simpleks

4. Masukkan niali koefisien fungsi tujuan pada baris Zj Cj dengan rumus :

Zj Cj = Cbyj Cj

Rumus ini hanya digunakan pada awal tabel simpleks

5. Tentukan kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai negatif terbesar pada baris Zj Cj. Jika terdapat dua nilai terbesar sama, dapat dipilih salah satu.

6. Tentukan baris kunci, yaitu nilai yang memiliki angka indeks terkecil dan bukan negatif, dengan menggunakan rumus :

Min, Nilai pada kolom bi atau Min, Xbi, Yik 0

Nilai pada kolom kunci Yik

7. Cari angka baru yang terdapat pada baris kunci dengan cara membagi semua angka yang terdapat pada baris kunci dengan angka kunci. Angka kunci adalah angka yang terdapat pada persilangan baris kunci dengan kolom kunci.

8. Mencari angka baru pada baris yang lain dengan rumus :

Angka baru = Nilai pada baris lama (perkalian koefisien pada kolom

kunci dengan angka baru baris kunci)

9. Apabila sosialisasi optimal belum ditemukan, kembali ke langkah kelima di atas, sehingga nilai yang terdapat pada baris Zj Cj 0.

Gambar Langkah langkah penggunaan Metode Simpleks

Langkah 1

Langkah 2

Langkah 3

Contoh Kasus Produk Mix

PT. Yummy Food memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi dua jenis produk yaitu Vanilla dan Violette. Untuk memproduksi kedua produk tersebut diperlukan bahan baku A, bahan Baku B dan jam tenaga kerja. Maksimum penyediaan bahan baku A adalah 60 kg per hari, bahan baku B 30 kg per hari, dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja, dapat dilihat dalam Tabel berikut ini.

Jenis bahan baku

dan tenaga kerjaKg bahan baku dan jam tenaga kerjaMaksimum penyediaan

VanillaViolette

Bahan baku A

Bahan baku B

Tenaga kerja2

-

23

2

160 kg

30 kg

40 jam

Kedua jenis produk memberikan sumbangan keuntungan sebesar Rp. 40,00 untuk vanilla dan Rp. 30,00 untuk Violette. Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi dalam setiap hari.

Penyelesaian

Z = rupaih keuntungan per hari

X1 = jumlah vanilla yang diproduksi/hari

X2 = jumlah violette yang diproduksi/hari

Zmax = 40X1 + 30X2 60 (rupiah/hari)

Langkah 1

Formulasi Linear Program (LP)

Kendala : 2X1 + 3X2 60 (bahan baku A)

2x2 30 (bahan baku B)

2X1 + 1X2 40 (Tenaga kerja)

X1 0

X2 0 (kendala tambahan)

Bentuk standar :

2X1 + 3X2 + S1 + 0S2 + 0S3 = 60

2X2 + 0S1 + S2 + 0S3 = 30

2X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + S3 = 40

Diubah menjadi :

40X1 + 30X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3

C1 = 40, C2 = 30, C3 = 0, C4 = 0, C5 = 0

Langkah 2

Tabel Simplex Awal Masalah PT. Yummy Food

CBVariabel dlm basis Cj

bj4030000Indeks

X1X2S1S2S3

0S1602310060/2 = 30

0S2300201030/0 =

0S3402100140/2 = 20

Zj - Cj0-40-30000

Cara pengisian kolom Zj Cj :

60 1

Z = (0,0,0) = 30 - 0 = 0

Z3 = (0,0,0) = 0 - 0 = 0

40 0

20

Z1 =(0,0,0) = 0 - 40 = - 40 Z4 = (0,0,0) = 1 - 0 = 0

2 0

3 0

Z2 =(0,0,0) = 2 - 30 = - 30

Z5 =(0,0,0)= 0 - 0 = 0

1 1

Nilai Z = 0, menunjukkan bahwa pada tabel awal nilai X1 dan X2 = 0 (belum berproduksi). Jika dimasukkan dalam fungsi tujuan Z = 40(0) + 30(0) + 0(60) + 0(30) + 0(40) = 0

Langkah 3

Apakah tabel tersebut sudah optimal? Belum, karena tabel optimal bila nilai yang terdapat pada baris Zj Cj 0

Langkah 4

Penyelesaian dengan cara iterasi

1. menentukan kolom kunsi, yaitu kolom yang memiliki nilai Zj Cj negatif terbesar, dalam hal ini kolom X1. Dengan demikian X1 akan masuk dalam basis

2. Menentukan baris kunci, yaitu baris yang memiliki angka indeks yang terkecil dan bukan negatif, dalam hal ini baris S3. Dengan demikian S3 akan keluar dari basis dan tempatnya akan digantikan oleh variabel X1

3. Menentukan angka kunci. Angka kunci adalah angka yang terdapat pada persilangan kolom kunci dengan baris kunci, dalam hal ini angka kunci = 24. Mencari angka baru yang terdapat pada baris kunci, dengan cara membagi semua angka yang terdapat pada baris kunci dengan angka kunci.

Angka baru = 40/2, 2/2, , 0/2, 0/2, .

Atau = 20, 1, , 0, 0, .

5. Mencari angka baru pada baris yang lain, yaitu :

Baris S1

Angka lama

= [ 60 2 3 1 0 0 ]

Angka baru baris kunci= [ 20 1 0 0 ] (2)

Angka baru

= [ 20 0 2 0 0 -1 ]

Baris S2

Angka lama

= [ 30 0 2 0 1 0 ]

Angka baru baris kunci= [ 20 1 0 0 ] (0)

Angka baru

= [ 30 0 2 0 1 0 ]

Baris Zj - Cj

Angka lama

= [ 0 -40 -30 0 0 0]

Angka baru baris kunci= [ 20 1 0 0 ] (-40)

Angka baru

= [800 0 -10 0 0 20]

Hasil perhitungan diatas, akan nampak pada tabel baru simplex yaitu tabel yang merupakan hasil iterasi pertama.

Tabel Iterasi 1

CBVariabel dlm basisCj

bj4030000Index

X1X2S1S2S3

0S1200210-120/2=10

0S2300201030/2=15

40X12011/5001/520/0, 5=40

Zj - Cj8000-100020

Tabel Iterasi 1 belum optimal sehingga harus diulang langkah-langkah di atas, sehingga akan didapat tabel Iterasi 2

Tabel Iterasi 2

CBVariabel dlm basisCj

bj4030000Index

X1X2S1S2S3

30X110010-1/2

0S21000-111

40X11510-1/40

Zj - Cj900005015

Solusi optimum Tabel Iterasi 2 menunjukkan bahwa total nilai Z = 900 dengan masing-masing variabel keputusan X1 = 15 dan X2 = 10. Pada tabel di bawah ini (S1 = S3 = 0 merupakan variabel nonbasis).

Variabel basis Koefisien fungsi tujuan x Nilai variabel basis

X2 30 x 10 = 300

S2 0 x 10 = 0

X1 40 x 15 = 600

Jumlah = 900

Kesimpulan :

1. Pada tabel Iterasi 2 merupakan tabel akhir simplex, dengan solusi optimal adalah :

X1 (Vanilla)

= 15 unit

X2 (Violette)

= 10 unit

Z (keuntungan)= Rp. 900,00

2. Kendala kedua (bahan baku B) masih tersisa sebanyak 10 kg yang ditunjukkan oleh nilai S2 = 10, pada tabel optimal.

3. Kendala 1 dan 3 tidak ada sisa (full capasity), yang ditunjukkan oleh niali S1 = S3 = 0 (variabel nonbasis). Hal ini dapat juga dibuktikan dengan memasukkan nilai X1 dan X2 ke dalam kendala 1 dan 3.

Kendala 1 : 2X1 + 3X2 = 60

2(15) + 3 (10) = 60

60 = 60

Bahan baku yang digunakan = yang tersedia

Kendala 3 : 2X1 + 1 X2 = 40

2(15) + 1(10) = 40

40 = 40

Jam kerja yang digunakan = yang tersedia

Periksa apakah semua kendala memiliki variable basis layak. Jika tidak tambahkan satu variable buatan atau semu ke dalam kendala (2)

Konversikan semua kendala ke dalam persamaan atau dalam bentuk standar dengan menambahkan slack variable atau mengurangkannya dengan surplus variable (1)

MULAI

Lakukan penyempurnaan penyelesaian kelayakan dengan cara iterasi (3)

Penyelesaian perlu diteruskan? (4)

Cari penyelesaian yang lebih baik

(6)

Apakah penyelesaian sudah layak dan optimal? (5)

Penyelesaian optimal

(7)

Tidak ada penyelesaian optimal (8)

SELESAI

PAGE Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMBNURMATIAS,SE,MMMANAJEMEN KUANTITATIF