definisi fluida ruang lingkup mekanika fluida persamaan...

•Definisi Fluida•Ruang Lingkup Mekanika Fluida•Persamaan Dasar•Metode Analisa•Dimensi dan Unit

Fluidaadalah sebuah zat yang akan terdeformasi

(mengalami perubahan bentuk) secara terus-menerus (kontinyu) jika dikenai tegangangeser seberapun kecilnya tegangan geser

tersebut diberikan

Fluida : terdeformasi secara kontinyuseberapapun gaya F dikenakan padaFluida dari to t1 t2 .. dst…..

t0 t1 t2

t0 < t1 < t2

F

Zat Padat : tidak akan terdeformasi secarakontinyu selama gaya F yang dikenakan lebihkecil dibanding batas elastisnya

F

Fluida meliputi zat yang berbentuk

Cairan dan Gas (Uap) :

Contoh: - air

- minyak

- udara

- bubur kertas

- dll

Iklim dan Cuaca

Kendaraan : Mobil, Kereta Api, Kapal Laut, Pesawat Terbang, dll.

Lingkungan : Polusi Udara, Pencemaran Laut

Kesehatan : Biomedikal

Rekreasi dan Olah Raga

Industri Petrokimia dan Perminyakan

Dan Lain-Lain

Konstruksi Bangunan : Gedung, Jembatan, dll.

Tornadoes

Badai Petir

Hurricanes

Global Climate

Pesawat Udara

Kereta Api Cepat

Kapal Laut

Mobil

Polusi Udara River hydraulics

Pencemaran Laut oleh Tumpahan Minyak

Blood pumpVentricular assist device

Artificial Heart

Surfing

Water sports

Auto racing

Offshore racingCycling

Pompa Angguk

Pipa Distribusi Minyak

Stasiun Pompa

Kilang Petrokimia

Jembatan Tacoma Narrow –

Roboh pada tahun 1944

Jembatan Golden Gate

Visualisasi Aliran Melalui Model Gedung

Persamaan Dasar yang Digunakan untuk Menganalisa Mekanika

Fluida :

Konservasi/Kekekalan Massa

Persamaan Momentum Linier (Hk. II Newton)

Persamaan Momentum Angular

Hukum I Thermodinamika (Kekekalan Energi)

Hukum II Thermodinamika (Enthrophy)

Dibantu dengan Persamaan Tingkat Keadaan untuk Gas Ideal :

p = RT

Konservasi Massa

1m 2m

tankonsmm 21

Hukum Newton II (tentang gerak)

m Fa

amF

.

linearmomentumP:dimana

dt

Pd

dt

Vmd

dt

VdmamF

.

Moment of Momentum

Vm

R

VmxR

momentumofmomentH:dimana

dt

Hd

dt

VmxRd

dt

VmdxR

FxRTTorsi

SISTEM

adalah sejumlah masa yang tetap dan diketahui identitasnya, yang dibatasi dari sekelilingnya oleh suatu tapal batas (boundary)

Dimana tapal batas tsb dapat tetap atau berubah tetapi masa yang ada di dalamnya harus selalu tetap

(tidak ada perpindahan masa menembus tapal batas)

m

Tapal batas sistem

Piston

CONTROL VOLUME (CV)

adalah sembarang volume yang didefinisikan dalam suatu tempat dimana fluida mengalir melaluinya

Batas CV disebut Control Surface (CS)

CS : - dapat nyata atau imajiner

- dapat diam atau bergerak

CVCS

Pendekatan Differential & Integral

Differential

Penyelesaian dari persamaan differential suatu gerakan/aliran bersifat detail (point by point)

pada perilaku aliran

Integral

Penyelesaian dengan persamaan integral bersifat global (gross behavior) dan lebih

mudah diselesaikan secara analitis.

2. Metode Eulerian

Metode ini melakukan analisa dengan menggunakan konsep MEDAN (FIELD)

Dimana dalam hal ini setiap property dari gerakan fluida sebagai fungsi dari kedudukan & waktu di suatu

titik

Misalkan (dalam koordinat rectangular/cartesian):

property: kecepatan : V = V(x, y, z, t)

Note: metode ini lebih banyak digunakan dalam mekanika fluida

X

Y

T = f(t) Langrangian

T = T(xA, y

A, z

A, t

A) Euler

A

Contoh

1. Sistem Dimensi

Ada 3(tiga) Sistem Dimensi Primer:

a. MLtT : masa (M), panjang (L), waktu (t), temperatur (T)

dalam hal ini : gaya (F) sebagai Dimensi Sekunder

b. FLtT : gaya (F), panjang (L), waktu (t), temperatur (T)

dalam hal ini : masa (M) sebagai Dimensi Sekunder

c. FMLtT : gaya (F), masa (M), panjang (L), waktu (t),

temperatur (T)

dalam hal ini : masa (M) & gaya (F) sebagai Dimensi Primer

Note : L dan t sebagai dimensi Primer dalam seluruh sistem dimensi

2. Sistem Unit

a. SI-Unit (Systeme International d’Unites)MLtT

Satuan : masa (M) = kg (kilogram)

panjang (L) = m (meter)

waktu (t) = sec (second atau detik)

temperatur (T) = K (Kelvin)

dalam hal ini, karena gaya (F) sebagai DimensiSekunder, maka satuan gaya (F) adalah N (Newton)didefinisikan sebagai (dari Hukum II Newton) :

1 N = 1 kg.m/sec2

2. SISTEM UNIT

Note : dalam Sistem Metrik Absolut

Satuan : masa (M) = g (gram)

panjang (L) = cm (centimeter)


temperatur (T) = K (Kelvin)

dalam hal ini, karena gaya (F) sebagai DimensiSekunder, maka satuan gaya (F) adalah dynedidefiniskan sebagai (dari Hukum II Newton) :

1 dyne = 1 g.cm/sec2

2. SISTEM UNIT

b. British Gravitational System of Units FLtT

Satuan : gaya (F) = lbf (pound force)

panjang (L) = ft (foot)


temperatur (T) = R (Rankine)

dalam hal ini, karena masa (m) sebagai DimensiSekunder, maka satuan masa (m) adalah slugdidefiniskan sebagai (dari Hukum II Newton) :

1 slug = 1 lbf.sec2/ft

2. SISTEM UNIT

c. English Engineering System of Units FMLtT

Satuan : gaya (F) = lbf (pound force)

masa (M) = lbm (pound mass)

panjang (L) = ft (foot)


temperatur (T) = R (Rankine)

karena masa & gaya keduanya sebagai Dimensi Primer,maka Hukum II Newton ditulis sbb :

dimana : gc = konstanta pembanding

cga.mF

2. SISTEM UNIT

gaya 1 lbf adalah gaya yang dapat menggerakkan masasebesar 1 lbm dengan percepatan sebesar percepatan

gravitasi bumi 32,17 ft/sec2.

atau

gc = 32,17 ft.lbm/lbf.sec2

(gc = bukan gravitasi bumi)

dan : 1 slug = 32,17 lbm

cg2ft/sec32,17x11 lbmlbf

DIMENSI PRIMER (SI)

DIMENSI SEKUNDER

Bab 2 : KONSEP DASAR

1

2.1. FLUIDA SEBAGAI CONTINUUM

Kenyataan Zat (Fluida) terdiri dari molekul-molekul yang bergerak

Aplikasinya Hanya tertarik pada efek rata2 dari sejumlah molekul >>

“MAKROSKOPIK”

Anggapan bahwa Fluida sebagai satu kesatuan Makroskopik artinya Fluida sebagai

“CONTINUUM”

KONSEKUENSINYA“Bahwa setiap property Fluida diasumsikan

mempunyai harga tertentu pada setiap titik dalam ruang”

“KONSEP MEDAN”

2.1. FLUIDA SEBAGAI CONTINUUM

2

Artinya

Setiap property fluida (h) merupakan fungsi dari

KEDUDUKAN/POSISI dan WAKTU

MEDAN : h = h (x, y, z, t)

Property Fluida :- density ()- kecepatan (V)- tekanan (p)- temperatur (T)

waktu

posisi

2.2. MEDAN

V, m

v ; m

x

y

z

C

xo

yo

zo

0

3

MEDAN : h = h (x, y, z, t)

1. Medan SKALAR ; mis: density ()

2. Medan VEKTOR ; mis: kecepatan (V)

3. Medan TENSOR ; mis: tegangan

2.2.1. Medan Skalar : Denstitas ()

v

mratarata

???Cdiratarata

2.2.1. MEDAN SKALAR

V

m

V'V

v

mlim

'vv

4

Dengan cara yang sama dapat ditentukan di setiap

titik maka diperoleh distribusi sebagai fungsi posisi & waktu :

= (x, y, z, t)

v

mlim

'vv

Untuk menentukan c harus ditentukan seberapa

v minimum v’

2.2.2. MEDAN VEKTOR Kecepatan (V)

5

KECEPATAN

fluida pada suatu titik (titik C) adalah

kecepatan sesaat dari titik berat dv’

yang mengelilingi titik tersebut (titik C)

KECEPATAN PARTIKEL

Fluida pada suatu titik adalah kecepatan

sesaat dari partikel fluida yang

melewati titik tersebut (pada waktu

tertentu)

PARTIKEL

fluida adalah suatu masa fluida yang

kecil, dengan ukuran sebanding

dengan dv’ yang mempunyai identitas

masa yang tetap

t,z,y,xVV


6

Komponen Vektor Kecepatan:

Umumnya:

u = u (x, y, z, t)

v = v (x, y, z, t)

w = w (x, y, z,t)

Kondisi Khusus Aliran

kwjˆuV vi

a. ALIRAN STEADY (Steady Flow)

“adalah aliran dimana property fluida di

suatu titik tidak tergantung terhadap

waktu”

tz,y,,xηη0t

η


7

Kondisi Khusus Aliran

b. ALIRAN UNSTEADY (Un Steady Flow)

“adalah aliran dimana property fluida di

suatu titik tergantung terhadap waktu”

tz,y,,xηη0t

η

c. ALIRAN 1-D, 2-D dan 3-D (D = Dimensi)

“aliran disebut 1-D, 2-D atau 3-D

tergantung dari jumlah koordinat

ruang yang digunakan untuk

menspesifikasikan medan kecepatan”


8

Aliran Satu-Dimensi (1-D)

2

1R

ruu

max

Kecepatan u hanya akan berubah bila r

berubah Aliran Satu-Dimensi dalam

arah rContoh lain:

unsteady&DaliranexaV

steady&DaliranieaV

bt

bx

1

1

2


9

Aliran Dua-Dimensi (2-D)

• Kecepatan u1 & u2 akan berubah bila y

berubah

• Sepanjang perubahan x dari (1) ke (2)

kecepatan juga berubah dari u1 ke u2

Jadi aliran 2-Dimensi dalam arah x & y


10

Aliran Uniform

• Untuk aliran uniform:

00 21

y

udan

y

u

2.2.3. Timelines, Pathlines, Streaklines & Streamlines

11

Timelines

adalah garis/lintasan yang dibentuk

oleh sejumlah partikel yang mengalir

pada saat yang sama


12

Pathlines

adalah lintasan yang dibentuk oleh

sebuah partikel yang bergerak dalam

aliran


13

Streaklines

adalah gabungan garis/lintasan dari

sejumlah partikel yang mengalir ,

dimana identitas partikel telah

diketahui dan partikel tersebut

pernah lewat titik yang sama


14

Streamlines

adalah sembarang garis yang

dilukiskan dalam medan aliran,

dimana garis singgung pada setiap

titik dalam garis tersebut menyatakan

arah kecepatan aliran


15

Streamlines

Note:

• Karena setiap kecepatan aliran

hanya menyinggung streamlines,

maka berarti tidak ada aliran yang

menyeberangi/memotong/melintasi

streamline

• Jadi, seakan-akan streamline

merupakan batas padat yang tidak

bisa ditembus oleh aliran

(imaginary solid boundary)

Pada aliran steady :

Pathlines, streaklines, streamlines berada

pada satu garis yang sama

Contoh Soal 2.1

16

Medan kecepatan : , dimana

kecepatan dalam (m/s); x dan y dalam meter;

A = 0,3 s-1

Tentukan:

a)Persamaan stream line dalam bidang xy

b)Streamline yang melewati titik (x0, y0, 0) =

(2,8,0)

c)Kecepatan partikel pada titik (x0, y0, 0) =

(2,8,0)

d)Bila partikel yang melewati titik (x0, y0, 0)

dicatat pada tF = 0, tentukan lokasi partikel

pada t = 6 sec

e)Kecepatan partikel pada t = 6 sec

f)Bahwa persamaan pathline sama dengan

persamaan streamline

jAyiAxV ˆˆ

Contoh Soal 2.1

17

Penyelesaian :a). karena garis singgung pada setiap titik

dalam streamline adalah menyatakan arahkecepatan, maka:

pemisahan variable & diintegrasikan :

atau

yang dapat ditulis sbg.:

b). untuk streamline yg lewat titik (xo, yo, 0) = (2,8,0), maka nilai c dapat dihitung sebagai:xy = (2)(8) = 16 = c, sehingga persamaanstreamline menjadi : xy = xoyo = 16 m2

xdx

ydy

1lnln cxy

cxy

x

y

Ax

Ay

streamlinedx

dy

u

v

Contoh Soal 2.1

18

Penyelesaian :c). medan kecepatan , pada titik

(2,8,0) adalah :

d). partikel yang bergerak dalam medan aliran, mempunyai kecepatan sebesar

maka :

dan

pemisahan variable & diintegrasikan :

sehingga

atau

jAyiAxV ˆˆ

smjiV /ˆ4,2ˆ6,0

mjisjyixAV )82(3,0)ˆˆ( 1

Aty

ydanAt

x

x

00

lnln

Aty

ydanAt

x

x

00

lnln

At

o

At

oeyydanexx

jAyiAxV ˆˆ

Aydt

dy

pv Ax

dt

dx

pu

Contoh Soal 2.1

19

maka pada t = 6 s, didapat:

e). pada titik (12,1 , 1,32 , 0) m didapat :

f). untuk menentukan persamaan pathline, kita gunakan persamaan:

maka:

sehingga:

meydanmex 32,181,122 )6)(3,0()6)(3,0(

mjisjyixAV ˆ32,1ˆ1,123,0)ˆˆ( 1

smjiV /)ˆ396,0ˆ63,3(

At

o

At

oeyydanexx

216 myxxyoo

216 myxxyoo

2.3. Medan Tensor (Tegangan)

20

Secara Umum :

Gaya yang menimbulkan Tegangan:

• Gaya Permukaan/Surface Force• Gaya Badan/Body )F( B

)( Fd

)(

)(

ALuas

FGayaTTegangan

)F( s

adalah seluruh gaya yang bekerja pada tapal batas suatu media melalui kontak

fisik secara langsungContoh : gaya tekan, gaya gesek dll.

Gaya Permukaan/Surface Force

CsCv

Fs

2.3. Medan Tegangan

21

adalah seluruh gaya yang bekerja pada fluida tanpa adanya kontak fisik secara

langsung dan terdistribusi secara merata dalam volume fluida

Contoh : gaya berat, gaya elektromagnetik dll.

Gaya Badan / Body Force

• Tegangan pada suatu media dihasilkan dari gaya yang bekerja pada luasan media tersebut

• Karena gaya & luasan adalah vektor maka tegangan bukan vektor TENSOR

Tegangan

2.3. Medan Tegangan

22

Gaya yang bekerja pada luasandi sekeliling titik C, dapat

menghasilkan 2(dua) komponen tegangan: Normal (n) & Geser (s) pada luasan

Note: merupakan vektor satuan, yang merupakan arah vektor luasan tegak lurus bidang

Tegangan

)( A

)( F

)ˆ(n)( A

2.3. Medan Tegangan

23

• 3 Gaya Fx, Fy, Fz berturut-turut dalam

arah x, y, z

• Semua gaya bekerja pada bidang x Ax

• Tegangan yang dihasilkan masing-

masing :

Tegangan pd bidang x

dlm arah x


dlm arah y


dlm arah z

2.3. Medan Tegangan

24

Secara Umum

0lim

i

ATij =Fj_______

Ai

Tij = tegangan yang bekerja pada

bidang i dalam arah j

Txy adalah tegangan yang bekerja

pada bidang x dalam arah y

Sbg tegangan geser yang

dinotasikan : xy

Txx adalah tegangan yang bekerja

pada bidang x dalam arah x

Sbg tegangan normal yang

dinotasikan : xx

25

2.3. Medan Tegangan

Untuk 6(enam) bidang

(kubus/balok); pada setiap bidang

bekerja 3(tiga) buah tegangan

(2 geser + 1 normal), sehingga ada :

6 x 3 tegangan = 18 tegangan

26

2.3. Medan Tegangan

Dari 18 tegangan yang ada; terdapat

9 pasang tegangan:

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

T

dimana : disebut Tensor Tegagan T

27

2.3. Medan Tegangan

Perjanjian Tanda Tegangan

Khusus untuk sistem koordinat diatas, diperoleh :

Bidang x :

Bidang y :

Bidang z :

Kiri

Bawah

Belakang

Kanan

Atas

Depan

Bidang - Bidang +

Tanda Tegangan bertanda

x

y

z

bilaarah +

bidang +bila

arah -

bidang -atau

+

28

2.4. Viskositas

x

y

M M’

l

P P’

y

Elemen fluida

pada saat, tElemen fluida

pada saat, t+t

Gaya Fx

kecepatan U

N Ox

a

• Tegangan geser xy diberikan sebagai:

dimana : Ay = element luasan fluida

yang digeser oleh plat

• Selama selang waktu t, elemen fluida

terderformasi dari posisi MNOP ke

M’NOP’, dengan kecepatan deformasi:

y

x

y

x

Ayx

dA

dF

A

F

y

0lim

dt

d

ttdeformasi tankecepa

a

a

0lim

29

2.4. Viskositas

Dari gambar terlihat:• l = u.t

• atau juga, l = a.y

Sehingga :

Maka kecepatan deformasi =

dy

dU

dt

d

a

dy

dU

dt

datau

y

U

t

a

a

30

2.4.1. Newtonian Fluid

Newtonian Fluid:adalah fluida yang apabila dikenai tegangan

geser, maka tegangan geser tersebut

sebanding/berbanding langsung dengan

kecepatan deformasi

Contoh : air, udara,minyak dll

Setiap fluida mempunyai ketahanan

terhadap deformasi yang berbeda akibat

Tegangan Geser yang sama

VISKOSITAS ABSOLUT (m)

dy

duyx

dy

duyx m

31

Viskositas Absolut/dinamik

Viskositas absolut atau dinamik (m)

dimana: m = viskositas absolut/dinamik

yx = tegangan geser

= kecepatan deformasi

dy

du

yxm

dy

du

32

Viskositas Absolut/dinamik

sec.sec.

sec.

Pa

m

N

m

kg

2

sec.cm

g

sec.

sec.2 ft

slugft

lbf

DIMENSIMLtT [M L-1 t-1]

FLtT [F L-2 t]

SATUAN

S.I

Absolute

Matric

British

ppoise

cm

g111

sec.

Note

1 poise = 100 centipoise = 100 cp

dy

du

yxm

33

Viskositas Kinematik (n)

Viskositas kinematik (n)

adalah perbandingan antara

viskositas absolut (m) dengan masa

jenis/densitas ()

mn

dimana: SGzat = Specific Gravity suatu Zat

H2O = masa jenis/densitas air

OH

zatzatSG

2

34

Viskositas Kinematik

DIMENSI

MLtT

atau

FLtT

[L2 t-1]

SATUAN

S.I

Absolute

Matric

British

mn

sec

2m

sec

2cm

sec

2ft

stokecm

1

2

1

sec

Note

35

Viskositas

Note:

Pengaruh temperatur terhadap

Viskositas fluida:

• Untuk Gas:

Temperatur (T) Viskositas

• Untuk Liquid:

Temperatur (T) Viskositas

FIGURE A2 (VISKOSITAS ABSOLUT)

36

FIGURE A3(VISKOSITAS KINEMATIK)

37

38

2.4.2. Non-Newtonian Fluid

Non-Newtonian Fluid:adalah fluida yang apabila dikenai tegangan

geser, maka tegangan geser tersebut tidak

sebanding/berbanding langsung dengan

kecepatan deformasi

dimana: k = konstanta

n = indeks yang tergantung pada

perilaku aliran

Bila : k = m dan n = 1 Fluida Newtonian

contoh fluida Non-Newtonian:

pasta gigi, cat, lumpur, bubur kertas, dll.

n

yxdy

duk

39


Persamaan diatas dapat diubah menjadi:

dimana: h =

= viskositas semu

(apparent viscosity

Bila :

• n < 1 h Pseudoplastic

(mis.: bubur kertas)

• n = 1 h = k = m Newtonian

(mis: air)

• n > 1 h Dilatant (mis.: lumpur)

dy

du

dy

du

dy

duk

n

yx h1

1

n

dy

duk

Bingham Plastic:

dimana : y = yield stress

Contohnya : Pasta gigi

dy

dupyyx m

dy

du

dy

du

40


41


Note:

Umumnya :

dimana : t = waktu

Bila :

• t h Thixotropic

(mis.: cat)

• t h Rheopectic

• Viscoelastic fluid :

adalah fluida yang dapat kembali ke

keadaan/bentuk asalnya bila tegangan

geser yang bekerja padanya dihentikan

)(tfh

Contoh Soal : 2.2

42

Contoh soal

43

Contoh Kasus :

2.5. Deskripsi dan Klasifikasi

Gerakan Fluida

44

2.5.1. Aliran Viscous & Inviscid

45

Aliran Viscousadalah aliran dimana viskositas fluida

sangat berpengaruh sehingga

menghasilkan tegangan geser aliran

pada dinding saluran

0yx

Aliran Inviscidadalah aliran dimana viskositas fluida

diasumsikan NOL (m = 0), sehingga

tegangan geser tidak berpengaruh

0yx

Problem: Tidak ada fluida yang tidak mempunyai viskositas

adakah aliran inviscid ??

46

Fluida viscous dan inviscid dipisahkan oleh sebuah batas

yang dikenal dengan boundary layer.

Daerah yang berada diantara permukaan padat (solid

surface) dan boundary layer adalah daerah yang

dipengaruhi oleh efek viscous. Efek viscous ini

memberikan sumbangan terhadap adanya tegangan geser

(shear stress). Profil kecepatan aliran pada daerah ini

semakin kecil akibat adanya tegangan geser tersebut, hal

ini ditunjukkan pada posisi x1 dan x2 pada posisi yC dan

yC’ , dimana uc > uc’.

Daerah di atas boundary layer dikenal sebagai daerah

inviscid, dimana pada daerah tersebut efek viscous tidak

ada, sehingga tegangan gesernya diabaikan. Profil

kecepatan di daerah inviscid adalah pada arah y adalah

konstan dan harganya sama dengan kecepatan

freestream-nya (U )

Sebagai konsekuensi kondisi tanpa slip (no-slip

condition), maka profil kecepatan aliran pada posisi x1 dan

x2 yang ditunjukkan dengan titik A dan A’ berharga nol.


Viscous

Inviscid


47

Boundary Layer (BL)adalah lapisan tipis di dekat dinding

padat yang memisahkan daerah di

dalam BL dimana tegangan geser

sangat berpengaruh (aliran viscous) dan

daerah di luar BL dimana tidak ada

pengaruh tegangan geser (aliran

inviscid)

Bondary

Layer (BL)

Di dalam BL 0 aliran Viscous

Di luar BL = 0 aliran inviscid

Note:adalah aliran dimana viskositas fluida diasumsikan NOL

(m = 0), sehingga tegangan geser tidak berpengaruh

* Di dalam BL : u = f(y) aliran viscous0dy

du0

dy

dum

0m

* Di luar BL : u = konstan thd y aliran inviscid0dy

du

0m

0

Aliran Viscous

48

Terjadinya SeparasiBila momentum yang digunakan untuk

menggerakkan fluida sudah tidak mampu lagi mengatasi gaya gesek dan

tekanan balik (adverse pressure gradient) yang terjadi

A = titik StagnasiC = Titik SeparasiB = Titik Kecepatan Maximum & Tekanan Minimum

49

Fenomena Separasi Pada Permukaan Lengkung

50

Fenomena Separasi Pada Permukaan Lengkung

Aliran Viscous

51

Wakeadalah daerah bertekanan rendah yang

dibentuk oleh terpisahnya Boudary Layer bagian atas dan bagian bawah

Wake Pressure Drag (FDp)

Wake Pressure Drag (FDp)

Note: pressure drag = gaya hambat akibat tekanan

Streamlining a Body (aliran Viscous)

52

Streamlining a body

Mengurangi adverse pressure gradient

Menunda terjadinya separasi

Mempersempit daerah Wake

Memperkecil terjadinya Pressure Drag

Aliran Inviscid

53

Untuk aliran inviscid melewati body silinder:

aliran simetri dalam sumbu x & y distribusi tekanan juga simetri dalam

sumbu x & y (tidak ada gesekan yang terjadi)

A = titik StagnasiB = titik Kecepatan Maximum & Tekanan Minimum

Aliran Melalui Permukaan Lengkung

54

2.5.2. Aliran Laminar & Turbulent

55

Aliran Laminaradalah aliran dimana struktur aliran

dibentuk oleh partikel-partikel fluida

yang bergerak secara berlapis-lapis,

dimana setiap lapisan bergerak diatas

lapisan lainnya

Aliran Turbulentadalah aliran dimana partikel-partikel

fluida bergerak secara bercampur aduk

(mixing) dan acak, setiap partikel

menumbuk partikel lainnya sehingga

terjadi pertukaran energi


56


57

Bilangan Reynolds (Re)

Bilangan tidak berdimensi

untuk mengkarakteristikkan apakah

aliran laminar ataukan turbulent

dimana : L = panjang karakteristik

Untuk aliran dalam Pipa L = D (diameter pipa)

m

LVRe

V

m

Daliran

m

DVRe

Bila : Re < 2300 aliran Laminar

Re = 2300 aliran Transisi

Re > 2300 aliran Turbulent


58

Untuk aliran antara dua-plat paralel L = h

Bila : Re < 1400 aliran Laminar

Re = 1400 aliran Transisi

Re > 1400 aliran Turbulent

V

m

haliran

m

hVRe

59

Viscous Pipe Flow: Flow Regime

Osborne Reynolds Experiment to show the three regimes

Laminar, Transitional, or Turbulent:

Laminar

Transitional

Turbulent


Aliran Laminar

60

Aliran Turbulent

61

2.6. Aliran Inkompressibel &

Kompresibel

62

Aliran Inkompresibeladalah aliran dimana variasi densitas

fluida yang mengalir dapat diabaikan

= konstan

Aliran kompresibeladalah aliran dimana variasi densitas

fluida yang mengalir cukup berarti dan

tidak dapat diabaikan

konstan

2.6. Aliran Inkompressibel & Kompresibel

63

Bilangan Mach (M) bilangan tanpa dimensi

untuk mengkarakteristikkan tingkat

compressibility aliran

Dimana : V = kecepatan rata-rata aliran

C = kecepatan rambat bunyi

lokal

C

VM

Bila : M < 0,3 aliran Inkompresibel

M > 0,3 aliran Kompresibel

2.7. Aliran Internal & Eksternal

64

Aliran Internaladalah aliran dimana fluida yang

mengalir dilingkupi secara penuh oleh

suatu batas padat

misal : aliran dalam pipa

2.7. Aliran Internal & Eksternal

65

Aliran Eksternaladalah aliran dimana fluida melingkupi

suatu body padat

misal : aliran sungai

mobil yang bergerak

Bab 3 : STATIKA FLUIDA

1

Fluida Statis: tidak ada Tegangan Geser

hanya ada Tegangan Normal (^bidang

3.1. Persamaan Dasar

• Volume CV = = dx.dy.dz

• Di pusat masa kubus tekanannya = p

vd

3.1. : Persamaan Dasar

2

Gaya:

sFdBFdFd

Gaya Body (dFB):

Gaya Permukaan (dFs):

X

Y

Xki

Xka

X

dx

0p

dx/2dx/2

}

dxdydzgvdgdmgFdB

Pki PkA


3

Bidang Kiri (arah x+):- Tekanan :

- Gaya :

Bidang Kanan (arah x-):- Tekanan:

- Gaya:

22

dx

x

pp

dx

x

pp

xxx

ppp

kiki

idydzdx

x

pp

AdpFdkikiki

2

idydzdx

x

pp

AdpFdkakaka

2

22

dx

x

pp

dx

x

pp

xxx

ppp

kaka


4

Jadi gaya dalam arah x:

Analogi untuk:Gaya dalam arah y:

Gaya dalam arah z:

idydzdx

x

pp

idydzdx

x

pp

sxFd

ˆ

ˆ

2

2

jdxdzdy

y

pp

jdxdzdy

y

pp

syFd

ˆ

ˆ

2

2

kdxdydz

z

pp

kdxdydz

z

pp

szFd

ˆ

ˆ

2

2


5

Sehingga Gaya Total:

kFdjFdiFdFd szsysxsˆˆˆ

kdxdydz

z

ppkdxdy

dz

z

pp

jdxdzdy

y

ppjdxdz

dy

y

pp

idydzdx

x

ppidydz

dx

x

ppFd s

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

22

22

22

dxdydzkz

pj

y

pi

x

pFd s

ˆˆˆ

dxdydzkz

pj

y

pi

x

pFd s

ˆˆˆ

dxdydzpdxdydzpgradFd s

ppgradpgradient


6

Sehingga Gaya Total :

atau:

Untuk fluida statis / diam:

Sehingga:

dxdydzgpgradFd

gpgrad

0

vd

gpgraddxdydz

Fd

vd

Fd

00 Fda

vulumesatuanper

beratgaya

volumesatuanper

tekangaya0


7

Komponen-komponennya:

- arah x:

tidak ada perubahan tekanan dalam arah horizontal x

-arah y:

tidak ada perubahan tekanan dalam arah horizontal y

g

x

z

y

0

x

p

0

0

x

x

g

gx

p

0

0

y

y

g

gy

p

0

y

p


8

arah z:

Keterangan:

1. Terjadi perubahan tekanan dalam arah

vertikal z

2. Tanda (-) menunjukkan semakin tinggi

kedudukan tekanan semakin kecil

(g = berat jenis)

gg

gz

p

z

z

0

g

g

z

p

3.2. : Perubahan tekanan dalam fluida statis

9

a. Fluida Inkompresibel

Fluida inkompresibel = konstan

Note: - turun (+) gh

- naik (-) gh

z

x

y

h

op

g

h

ghpp

ghpp

zzgzzgpp

dzg

gz

p

o

o

ooo

z

zo

p

po

dp

konstan

Contoh Soal

10

Tentukan: pA-pB

Penyelesaian:

A

B

h1

h2

h3

h4

h5

H2O

H2O

Oil

Hg

BOHHgoilHgOHA pghghghghghp 5243212

5243212 ghghghghghpp OHHgoilHgOHBA

3.2. : Perubahan tekanan dalam fluida statis

11

a. Fluida kompresibel

- Untuk GAS berubah bila : p & T berubah

Note:- Untuk LIQUID pada tekanan rendah

(fluida inkompresibel) hanya fungsi T

Tetapi pada tekanan tinggi efek compressibility dalam liquid sangat berartidalam hal ini perubahan & pberhubungan dengan Bulk Modulusatau Modulus of elasticity (Ev):

RTp

d

dp

d

dpEv

/

3.3. : Tekanan Absolut & Gage

12

pabsolut

pgage

patm

Sea level = patm

vakuum

atmgageabs Ppp

- Amosfer Standard:

3.4. : Gaya Hidrostatis pada Permukaan

Tercelup

13

Gaya Hidrostatis

Besar Gaya

Arah GayaTitik Kerja Gaya

Arah Gaya:Karena Hidrostatis a = 0 diam

Tidak ada gaya geser

Jadi hanya ada

gaya normal yang ^ permukaan bidang

3.4.1 : Gaya Hidrostatis pada Permukaan

Datar Tercelup

14

Arah Gaya:

dimana :

Besar Gaya hidrostatis yang bekerja

pada luasan dA :

kR

FR

F

kdAAd

kdFFd

ˆ

ˆ

ˆ

ApdFd


Datar Tercelup

15

Besar Gaya Resultan yang bekerja pada

seluruh permukaan benda :

Note: menghitung tekanan p untuk kasus

seperti tergambar:

ysinθρgpp

:sehingga

ysinθhy

hsinθ:dimana

ρghpp

o

o

AA

R ApdFdF


Datar Tercelup

16

Menentukan letak titik kerja FR = (x’, y’) :

“Besar moment gaya resultan (FR)

terhadap suatu titik = S moment gaya-

gaya distribusinya terhadap titik yang

sama”

dimana:

kdAAdkFF

jyi xrjy'ix''r

RRˆˆ

ˆˆˆˆ

+

i

j

k 0kxkkixjjixk

0jxjijxkikxj

0ixijkxikjxi

AF

R ApdxrFdxrFx'r


Datar Tercelup

17

Sehingga:

maka:

AA R

R

AA R

R

pdAyF

1y'pdAyFy'

pdAxF

1x'pdAxFx'

AA

RR

A

R

iypdAjxpdAiFy'jFx'

kpdAjyixkF-jy'xix'

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

Contoh Soal

19

3.4


Lengkung Tercelup

20

Besar Gaya hidrostatis yang bekerja

pada luasan dA :

dimana:

ApdFd

zyx

zyxR

dAkdAjdAiAd

FkFjFiF

ˆˆˆ

ˆˆˆ


Lengkung Tercelup

21

Besar Gaya hidrostatis dalam arah x :

Analog untuk arah y dan z:

Atau secara umum dapat ditulis, sbb.:

dimana:

A A

xxRRxdFdApiAdpiFdiFF ˆˆˆ

A A

yyRRydFdApjAdpjFdjFF ˆˆˆ

A A

zzRRzdFdApkAdpkFdkFF ˆˆˆ

l

llA

RdApF

ll

arahdalamdAluasproyeksidA

3.5 : Buoyancy & Stabilitas

22

Buoyancy:

adalah gaya tekan ke atas yang terjadi

pada benda yang tercelup

h

h1

h2

dF2

dF1

dA

z

vd

dAhvd

kdAhg

ataskekdAhhg

kdAghpdAghpFd

bawahkekdAghpkdApFd

ataskekdAghpkdApFd

f

f

fofoz

fo

fo

ˆ

)(ˆ

ˆ

)(ˆˆ

)(ˆˆ

12

12

111

222

3.5 : Buoyancy & Stability

23

Jadi:

dimana:

f = densitas fluida

= volume benda

= volume fluida yang dipindahkan

“sebuah benda yang dicelupkan dalam

fluida akan mendapat gaya tekan

ke atas (buoyancy) seberat fluida yang

dipindahkan oleh benda tersebut”

“HUKUM ARCHIMEDES”

vgF

kvgkvgdF

fz

fv

fz

ˆˆ

v

fv

bendandipindahkayangfluidaberat

gvFffz

3.5 : Buoyancy & Stabilitas

24

Stabilitas:

a. Stabil b. Tak-stabil

Body Force (gaya berat) bekerja pada

pusat berat benda (CG)

a. Stabil:

gaya body dan buoyancy yang bekerja

cenderung menyebabkan benda pada posisi

benar (stabil)

b. Tak-stabil:

gaya body dan buoyancy yang bekerja

cenderung menyebabkan benda pada posisi

salah (tak-stabil)

Example :

Given :Manometer system as shown

SG liquid A = 0.75SG Liquid B = 1.20

Find :Gage pressure at point A

Solution :Basic equation

Assumptions :1. Static fluid2. Gravity is only body force3. Z axis direction vertically4. g = constan

Example 2 :

Given :Water flow in an inclined pipe as shown, pressure

difference PA – PB, measured with two fluid manometer. L = 5 ft, h = 6 in

Find :Pressure difference PA – PB

Solution :Basic equation

Assumptions :1. Static fluid2. Gravity is only body force3. Incompressible4. g = constan

Diketahui :

• Pintu gerbang seperti pada gambar diatasmempunyai lebar b = 3 m; dalam kondisi setimbangdan dengan massa diabaikan.

• Tentukan : Kedalaman air ( d )

• Persamaan Dasar :

Asumsi :

– Fluida static

– = konstan

– Pada free surface dan sisi pintu gerbang dan

0 ZMρ gh

p

APF C.R Ay

I yy

C

XXC '

12

b LI

XX

Bab 4 : PERSAMAAN-PERSAMAAN

DASAR UNTUK CONTROL VOLUME

DALAM BENTUK INTEGRAL

1

4.1. Hukum-hukum Dasar untuk Sistem

1. Konservasi Masa:

dimana masa m dalam sistem:

2. Hukum Newton II:

dimana: = momentum linear

= gaya luar yang bekerja pada

sistem

Mencari Korelasi antara Sistem dengan

Perumusan-perumusan Control Volume

0dt

dmtankonsm

sistemdt

PdF

P

F

)( )(sistemm sistemv

sistemvddmm


2

momentum dari sistem adalah :

3. Prinsip Momentum Angular:

“Jumlah torsi yang bekerja pada suatu sistem

= laju perubahan dari momentum angular”

dimana: = torsi

= momentum angular

Momentum angular dari sistem adalah:

Torsi ( ) disebabkan oleh: gaya permukaan,

gaya body dan juga oleh poros :

P


sistemvdVdmVP

sistemdt

HdT

T

H


sistemvdVxrdmVxrH

T

)(sistemm

porosssistemTdmgxrFxrT


3

4. Hukum Termodinamika-I:

Bila ditulis dalam bentuk laju perubahan:

dimana: = laju perpindahan panas

= laju kerja

= laju energi total

Energi total dari sistem adalah:

dan

energi potensial per satuan masa

energi kinetik per satuan masa

energi dalam per satuan masa

energi total per satuan masa

dEWQ

sistemdt

dEWQ

Q

W

dt

dE


sistemvdedmeE

gzV

ue 2

2


4

5. Hukum Termodinamika-II:

bila sejumlah panas Q dipindahkan ke dalam

sistem bertemperatur T, maka berdasarkan

hukum Termodinamika II perubahan entropi

dS ditulis sbb:

Bila ditulis dalam bentuk laju perubahan:

Entropi dari sistem adalah:

dimana : s = entropi per satuan masa

T

QdS


sistemvddmS ss

QTdt

dS

sistem

1

4.2. Bentuk Umum Persamaan Dasar Sistem

5

Sebutlah: N = sembarang extensive property

dari sistem

dan h = intensive property (extensive

property per satuan masa)

dari sistem

Maka bila:


sistemvddmN hh

m v

sist

m v

sist

m v

sist

m v

sist

m v

sist

vddmSsSN

vdedmeEeEN

vdVxrdmVxrHVxrHN

vdVdmVPVPN

vddmmmN

.).5

.).4

.).3

..).2

.1).1

h

h

h

h

h

ss

4.2.1. Derivasi

6

Laju perubahan dari Nsistem:

dimana:

x

y

z

stream linestream line

a). Pada waktu to b). Pada waktu t

o+ t

I IIIII

sistem

CV

CV

sistem

Sub region (1)

dari region I

Sub region (3)

dari region III

t

NN

dt

dNoo tstts

tsistem

0lim

o

oo

tCVtcvts

vdNN

h

ttIIIttIttCV

ttIIIICVttIIIIItts

ooo

ooo

vdvdvd

NNNNNN

hhh

4.2.1. Derivasi

7

maka:

=

1 2 3

vc

vc

otvctotvc

0t

otvctot

vc

0t

tt

N

t

NN

t

vd

vdvd

h

hh

lim

lim1

tttdt

dN

tdt

dN

totI

0t

totIII

0t

otvctot

vc

0tsist

otvctot

ItotIIItot

vc

0tsist

vdvdvdvd

vdvdvdvd

hhhh

hhhh

limlimlim

lim

4.2.1. Derivasi

8

=

Pada daerah III masa mengalir keluar dari

CV selama interval waktu t

2

t

N

t

totIII

0t

totIII

0t

limlim

vdh

III

dA

Ad

Va

CSIII to + t

aCos.dA.vd 2

a

CSIII

CSIIIt

CSIII

t

ttIII

t

AdV

Adt

t

dA

t

vdo

ah

ah

ahh

Cos

Cos

Cos

0

00

lim

limlim

4.2.1. Derivasi

9

=

Pada daerah I masa mengalir masuk ke

dalam CV selama interval waktu t

Note :

3

CSI

CSI0t

CSI

0t

totI

0t

V

t

tt

Ad

Ad

dAvd

ah

ah

ahh

Cos

Cos

Cos-

lim

limlim

AddAdanVt0t

lim

t

N

t

totI

0t

totI

0t

limlim

vdh

I

dA

CSI to + t

V

Ad

aCos.dA.vd

a

2

a

4.2.1. Derivasi

10

maka laju perubahan dari N)sistem menjadi:

masuk cv keluar cv

dimana bila:

cs = csI + cs III

a = 0o

a = 180o

Sehingga:

Persamaan TRANSPORTASI REYNOLDS

AdcosVAdcosVtdt

dN

csIIIcsIsistem

ahahh

vc

vd

AddengansegarisV

cssistem

AdVtdt

dN hh

vc

vd

aCosAdV

AdVa

Ad

V

4.2.1. Derivasi

11

Arti fisik Persamaan Transportasi Reynolds:

waktupersatuansistemdari

)N(propertyextensivesembarangdaritotalperubahandt

dN

sistem

waktupersatuanvcvolumecontroldalamdi

Npropertyextensivesembarangdariperubahant

vc

vdh

waktupersatuan

cssurfacecontroldarikeluarataumasukyang

Npropertyextensivesembarangcs

AdVηρ

Pemakaian Persamaan Transportasi Reynolds

12

Persamaan Transportasi Reynolds:

Dalam hal ini:

Sehingga diperoleh Formulasi CV untuk Konservasi

Masa, sbb.:

4.3. Konservasi masa

0dt

dm

sistem

cssistem

AdVtdt

dN hh

vc

vd

0dt

dm

dt

dN

sistemsistem

1m

Nh

N = m

cs

AdVt

0

vc

vd

4.3.1. Kasus Khusus

13

Formulasi Konservasi Masa dapat

disederhanakan, sbb. :

a. Untuk aliran Incompressible

sehingga formulasi konservasi masa

disederhanakan menjadi:

= 0 = 0

(vol = konstan) ( = konstan)

Sehingga :

tankons

cs

cs

cs

AdV0

AdVt

0

AdVt

0

tv

t

v

v

vd

vc

cs

AdV0

cs

AdV0

4.3.1. Kasus Khusus

14

a. Untuk aliran steady

sehingga formulasi konservasi masa

disederhanakan menjadi:

= 0 (aliran steady)

maka :

Note:

0

t

cs

AdVt

0

vc

vd

cs

AdV0

A

A

A

AdVA

1

A

V

A

QV:rataratatankecepa

AdVVQ:debit/flowratevolume

AdV:flowratemass

m

CATATAN PENTING

15

= merupakan vektor luasan yang arahnya

positip bila ditarik ^ keluar dari bidang

Pada section (1) aliran masuk CS, dimana dan

membentuk sudut a = 180oCos 180o = -1

Pada section (2) aliran keluar CS, dimana dan

membentuk sudut a = 0oCos 0o = 0 Cos 0o = +1

Resume:

keluar

masuk

Ad

2Ad

1Ad

2V

1V

1

2

Ad

V

AdVCosAdVAdV o

180

AdVCosAdVAdV o

0

Ad

V

CSkealiranbilanegatipAdV

CSdarialiranbilapositipAdV

berlakumakaCSVCVBila

)()(

)(

:),(

^

CONTOH SOAL

16

CONTOH SOAL

17

CONTOH SOAL

18

CONTOH SOAL

• A two dimensional reducing bend has a linearvelocity profile at section 1. the flow is uniformat sections 2 and 3. The fluid is incompressibleand the flow is steady. Find the magnitude anddirection of the uniform velocity at section 3.

CONTOH SOAL

CSCV

AdVdt

..0

Basic equation :

Assumptions :

- Steady flow

- Incompressible flow

- Uniform flow at sections 2 and 3

0

321

AAACS

AdVAdVAdVAdV

Then

CONTOH SOAL

22

0 1

max121

1

213

w hV w dyh

yVAdVAdVAdV

h

,

AAA

22

1max1

22

01

2

max13322

1

w hV w hV

w hV h

y w VA V ,

h

,

sec51

sec152

sec10

2

1 2

33 ft ft x

ft ftx

ft x

w

A V

333333 hV

w

whV

w

AV

sec33.3

sec5

5.1

1 2

3

333

ftftx

fth

hVV

V3 mempunyai arah keluar CV

CONTOH SOAL

CSCV

AdVdt

..0

Basic equation :

Assumptions :

- Steady flow

- Incompressible flow

- Uniform flow at sections 2 and 3

0

21

AACS

AdVAdVAdV

Then

Water enter a two-dimensional, square channel of

constant width, h = 75,5 mm, with uniform velocity, U. The

channel makes a 90o bend that distorts the flow to

produce the linear velocity profil shown at the exit, with

Vmax = 2 Vmin. Evaluate Vmin , if U = 7,5 m/s.

CONTOH SOAL

h

AA

w dxVhwVAdVAdV0

2121 ..0

21

) h

x ( V

h

x) (V V

h

x) V (VV V 22 minminminminmaxmax2

h

w dxVhwU0

2..0

h

) w dxh

x (VhwU

0

min 2..0

22

22.. min

0

2

min

hhwV

h

xxwVhwU

h

2

3min

h w VU. w .h

U V3

2min

4.4. Persamaan Momentum

25

Hukum Newton II untuk suatu sistem yang

bergerak terhadap sistem koordinat yang

diam :

dimana:


4.4.1. Untuk Control Volume Diam

sistemdt

PdF

)()( sistemVsistemmasasistem

VdVdmVP

linearmomentumP

BsFFF

cssistem

AdVtdt

dN hh

vc

vd


26

dimana:

maka persamaan momentum ditulis:

atau:

Note:

Bila gaya body persatuan masa = maka:

Dalam hal ini, bila gaya bodi = berat

Gaya permukaan akibat tekanan (p):

N = P B

FFFdt

Pd

dt

dNS

sistemsistem

Vm

Vm

m

P

m

N

h

csvcBS

AdVVvdVt

FFF

csvcsistem

AdVVvdVtdt

Pd

B

vcmasa

BvdBdmBF

gB

A

SAdpF


27

Komponen gaya-gaya:

- sumbu - x :

- sumbu – y :

- sumbu – z :

Note:

1). Langkah ke-1 yang harus dilakukan adalah menentukan

tanda dari

2). Langkah ke-2 adalah menentukan tanda dari kecepatan

u, v, w, yang tergantung dari sistem koordinat yang

dipilih. Dalam hal ini tandanya harus diperhitungkan bila

disubstitusikan untuk mendapatkan harga numerik, sbb.:

csvcBzSzz

AdVvdt

FFF

ww

csvcBySyy

AdVvdt

FFF

vv

AdV

aa coscos AdVAdVAdV

a cosAdVAdV

uu

csvcBxSxx

AdVvdt

FFF

uu



CSCV

BS AdVVdVt

FFF

CSCV

AdVdt

0

CS

BS AdVVFFF

CS

AdV

0

Persamaan dasar :

Dan

Asumsi :

1.Aliran steady

2.Aliran incompressible

3.Aliran uniform pada tiap-tiap section

Untuk aliran steady maka persamaan dasar menjadi :

Dan


CS

BXSX AdVuFF

..

0BXF

CS

SX AdVuF

..

XaaSX RApApF

XSX RF

Gaya yg diakibatkan

tek atmosphere kea

rah kiri (-) pd

permukaan kanan

Gaya support pd

control volumeGaya yg diakibatkan

tek atmosphere ka arah

kanan (+)

pd permukaan kiri

Control volume 1 :

Control volume telah dipilih sedemikian hingga luasan permukaan sebelah kiri

sama dengan luasan permukaan sebelah kanan, dan dinotasikan dengan A.

Jika kita mencari gaya horizontal, kita tulis komponen X dari

persamaan momentum aliran steady.

Karena tidak ada body force dalam arah x, sehingga

dan

Untuk mengevaluasi FSx harus dilibatkan semua gaya yang bekerja

pada permukaan pada control volume.

Konsekuensinya maka :

1

....

ACS

X AdVuAdVuR

AdVAdV

1..

1

11

1

... AVuAdVuR

A

X

mkg

Nmx

mx

m

kgmRX

.

sec01,0

sec

15999

sec

15 22

3

KNRX 25,2

KNRK XX 25,2

Massa yang melalui permukaan atas dan bawah harga u = 0, sehingga

Pada section (1 ) jika arah dA dan V1 adalah 180o maka :

sehingga :

Rx gaya aksi berlawanan thd arah positip asumsi

Maka dari itu :



33


34


35

4.4.2. Untuk Control Volume Yang Bergerak Dengan

Kecepatan Konstan

36

Cara Analisa:

Dalam analisanya, ada 2(dua) hal yang

harus dicatat:

1). semua kecepatan diukur relatif terhadap

CV (koordinat : xyz bukan XYZ)

2). semua derivasi terhadap waktu, diukur

relatif terhadap CV (koordinat: xyz bukan XYZ)


csvcsistem

AdVvdtdt

dN hh

y

x

Y

X

CV

suduV

U

VCdarikonstankecepatanU


Kecepatan Konstan

37

Untuk momentum:

- N = Pxyz maka : h = Vxyz

maka persamaan momentum untuk CV yang

bergerak dengan kecepatan konstan:

dimana:

subcript : xyz = menunjukkan relatif

terhadap CV.

csvcBS

Advdt

FFF

xyzxyzxyzVVV


Kecepatan Konstan

38


Kecepatan Konstan

39

4.5. Prinsip Momentum Angular

44

Prinsip Momentum Anguler untuk suatu

sistem yang bergerak terhadap sistem

koordinat yang diam :

dimana:



cssistem

AdVtdt

dN hh

vc

vd

sistemdt

HdT

)()( sistemVsistemmasa

sistemVdVxrdmVxrH

angularmomentumH

ygtotaltorsiT

nyasekeliling dr

sistempdbekerja

)(sistemm

shaftsTdmgxrFxrT


45

dimana:

maka persamaan momentum anguler ditulis:

atau:

Karena pada saat to sistem berimpit dengan CV,

maka :

Sehingga:

N = H T

dt

Hd

dt

dN

sistemsistem

Vxrm

mVxr

m

H

m

N

h

csvcsistem

AdVVxrvdVxrtdt

Hd

csvcsistemmshaftS

AdVVxrvdVxrt

TdmgxrFxrT

)(

VCsistemTT

csvc

shaftSAdVVxrVxr

tTvdg xrFxr

vc

vd

Contoh Soal : Lawn Sprinkler

46

Diketahui:Suatu sprinkle seperti tampak pada gambar. Tekanan inlet 20 KPa,

total volume rate air yang melalui sprinkle 7,5 lt/min dan

berputar dengan kecepatan 30 rpm. Diameter tiap-tiap jet 4

mm. Hitung kecepatan jet relative thd sprinkle nozzle. Evaluasi

torsi gesek pada sprinkle pivot

Tentukan : a). Vjet relatif thd setiap nosel

b). Torsi akibat friksi pd pivot

persamaan dasar:

dimana kecepatan diukur relatif terhadap

koordinat inertial (tetap) XYZ.

Asumsi: 1). aliran incompressible

2). aliran uniform pd setiap section

3). Kecepatan sudut ( ) = konstan

cs

AdVt

vc

vd0

csvc

shaftS AdVVxrVxrt

TvdgxrFxr

vc

vd

= 0 (1)

= 0 (a) = 0 (b)


47

Dari kontinuitas, kecepatan relatif jet (Vjet)

pada nosel dapat dihitung:

Dalam kasus ini persamaan momentum

Angular dapat dipahami setiap bagiannya

sbb:

Sehingga satu-satunya Torsi yang bekerja

pada CV hanyalah akibat gesekan pada

pivot sbb. :

s/m97,4

s60

minx

m

mm10x

lt1000

mx

mm4

14x

min

lt5,7x

2

1

D

4

2

Q

A2

QV

2

26

3

22

2

jetjet

rel

0jumlahnyasehinggaarahberlawanan

&besarsamalengankeduapadaforcebodyakibatntTorsi/Momeb).

momentanmenghasilktidak

sehinggaO,axialsumbupdtepatinletpdtekangayadan

CS,pdseluruhbekerjatekanankarenantTorsi/mome0Fxra). s

KTT fshaft


48

Sebelum mengevaluasi persamaan integral

untuk CV pada sisi kanan (=) dari

persamaan momentum anguler diatas,

terlebih dulu akan dievaluasi tentang posisi

vektor dan vektor kecepatan (diukur

relatif terhadap XYZ) untuk setiap elemen

fluida dalam CV :

r

V

o

X

Y

Z

A

B

a

B'


49

Panjang lengan kanan OA = R menempel

pada bidang XY; sementara AB membentuk

sudut kemiringan a tdp bidang XY, dimana

titik B’ adalah proyeksi dari titik B pd bidang

XY.Bila diasumsikan panjang tip AB = L

yang relatif sangat kecil dibanding R

(L<<R) momentum fluida dlm tip AB <<

momentum fluida dlm lengan R.

A

B'

R

L Cos a Sin

L Cos a Cos

L Cos a

X

Y


50

Maka momentum fluida dalam lengan kanan

R (OA) dihitung sbb. :

untuk menghitung akan dihitung

lebih dulu sbb.:

sehingga:

maka:

X

Y

O

r

Vt

A

r

Vt Cos

Vt Sin

r Cos

r Sin

vc

vdVxrt

Vxr

22222 ˆ)(ˆ rSinrCosrVxr KK

)(ˆ)(ˆ

ˆˆ

CosrSinVSinrCosVV

SinrCosrr

tt

JI

JI

AR

drArdvVxr

R

OOAv

3

ˆˆ3

2

)(

KK


51

maka:

dimana A = luas penampang pipa

Analog untuk lengan kanan, lengan kiri juga

akan menghsilkan harga yang sama (= 0).

Selanjutnya untuk menghitung momentum

anguler yang menembus CS =

akan ditentukan lebih dulu :

yang dihitung relatif

tdp XYZ.

Untuk lengan kanan OAB, sbb. :

03

ˆ3

)(

A

R

tdvVxr

tOAv

K

AdVVxr

cs

jetBjet Vjetkecepatadanrr


52

untuk L << R, maka :

selanjutnya:

A

B'

R

L Cos a Sin

L Cos a Cos

L Cos a

X

Y

R Sin

R Cos

aaa SinLKCosCosLSinRJSinCosLCosRIrB

SinRJCosRIrB

aa

a

aa

SinVKCosRCosVJSinRCosVI

CosRJSinRISinVK

CosCosVJSinCosVI

VVV

relrelrel

rel

relrel

tipreljet

ˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆ


53

sehingga:

maka momentum anguler yang menembus

CS untuk lengan kanan (OAB):

Analog untuk lengan kiri (OCD):

RCosVRKCosSinVRJSinSinVRI

CosSinRCosVRKCosSinVRJSinSinVRIVxr

relrelrel

relrelreljB

aaa

aaa

ˆˆˆ

ˆˆˆ 22

2

ˆˆˆ

)(

QRCosVRKCosSinVRJSinSinVRIAdVVxr relrelrel

OABcs

j aaa

2

ˆˆˆ

)(

QRCosVRKCosSinVRJSinSinVRIAdVVxr relrelrel

OABcs

j aaa

A

B'

R

X

Y

Vrel Cosa

Vrel Cosa Sin

Vrel Cosa Cos

R

R Cos

R Sin

R Cos

R Sin

R

Vrel Cosa Sin

Vrel Cosa Cos

R

O

C

D'

R Sin

R Sin

R Cos

R Cos


54

sehingga bila di jumlahkan antara lengan

kiri & kanan, didapat:

maka:

atau:

sehingga dr data yang diketahui, didapat:

maka:

QRCosVRKAdVVxr rel

cs

j a ˆ

ρQωRCosαVRT relf

QRCosVRKKTT relfshaft a

ˆˆ

s

m471,0

mm1000

mx

s60

mntx

put

rad2xmm150x

mnt

put30R

m.N0718,0

mm1000

mx

m.kg

s.Nx

s60

minx

lt1000

mx

min

lt5,7x

m

kg999x

s

m471,030Cosx

s

m97,4mm150T

23

3

o

f

4.5. Hukum Termodinamika-I

55

Hukum Termodinamika-I menyatakan

tentang kesetimbangan Energi, sbb.:

dimana:

(+ bila panas ditambahkan masuk ke dalam sistem)

( bila kerja dilakukan sistem keluar ke sekeliling)

dan

energi potensial per satuan masa

energi kinetik per satuan masa

energi dalam per satuan masa

energi total per satuan masa

sistemdt

dEWQ

panasnperpindahalajuQ

jalajuW ker

)sistem(m )sistem(v

sistem vdedmeenergitotalE

gz2

Vue

2

4.5. Hukum Termodinamika-I

56


dimana:

maka :

Karena pada saat to sistem berimpit dengan CV,

maka :

Sehingga:

N = E

cssistem

AdVtdt

dN hh

vc

vd

WQdt

dE

dt

dN

sistemsistem

em

E

m

Nh

cssistem

AdVeetdt

dE

vc

vd

vcsistem

WQWQ

cs

AdVeet

WQ

vc

vd

4.5.1. Laju kerja yang dilakukan oleh CV

57

Laju kerja yang dilakukan oleh CV

diklasifikasikan menjadi 4 sbb.:

Laju Kerja Poros

adalah laju kerja yang dipindahkan oleh

poros menembus control surface (CS)

Bila gaya bekerja menyebabkan

perpindahan sejauh , maka kerja yang

dilakukan diberikan sbb.:

sehingga laju kerja yang dihasilkan:

1. Kerja Poros ( )sW

sW

2. Kerja akibat Tegangan Normal pada CS ( )normalW

F

F

F

sd

sdFW

VFt

sdFlim

t

WlimW

0t0t

othershearnormalshaft WWWWW


58

Laju kerja pada element dari CS oleh

tegangan normal ( ) :

maka total laju kerja akibat :

Gaya geser yang bekerja pada elemen

dari CS diberikan:

dimana adalah tengan geser yang bekerja

pada bidang

Laju kerja pada keseluruhan CS akibat

tegangan geser:

F

Ad

VAdVFdWd nnnormal

nn

3. Kerja akibat Tegangan Geser pada CS ( )shear

W

Ad

dAFd

Ad

nn

cscs

shear dAVVdAW

cs

nn

cs

nnnormal AdVVAdW


59

Laju kerja akibat tegangan geser dapat

diuraikan dalam 3 term:

sehingga:

Bila CS^ maka a = 90o

dan

F

)()()( portsAsurfacesolidAshaftsA

shear dAVdAVdAVW

)( portsA

shear dAVW

V

090CosVVo

0shearW

a

V

)Wdalamdihitungsudahdianggap(0dAV shaft

)shafts(A

)0dindingdiV(0dAV

)surfacesolid(A

)ports(A)ports(A

dACosVdAV a


60

Kerja lain meliputi: energi listrik, energi

elektromagnetik, dll.

Sehingga secara keseluruhan laju kerja

dapat ditulis sbb.:

F

4. Kerja lain-lain ( )

othershear

cs

nnshaft WWAdVWW

otherW

4.5.2. Persamaan Control Volume

61

Dengan menguraikan maka Hk Termodinamika I

dalam formulasi CV menjadi:

atau

karena (dimana = specific volume),

maka:

sehingga:

Dalam dunia teknik u/ aliran secara umum

(dimana p = tekanan termodinamika) maka:

atau

F

vc cs

othershear

cs

nnshaft AdVevdet

WWAdVWQ

cs

nn

vc cs

othershearshaft AdVAdVevdet

WWWQ

W

1atau1

cs cs

nnnn AdVAdV

vc cs

nnothershearshaft AdVevdet

WWWQ

)(

vc cs

othershearshaft AdVpevdet

WWWQ

)(

vc cs

othershearshaft AdVzgV

puvdet

WWWQ

)2

(2

pnn

)gz2

Vue:untuk(

2

4.6. Hukum Termodinamika-II

62

Hukum Termodinamika-II dinyatakan sbb.:

dimana total entropy (S) dari sistem

diberikan sbb.:


dimana

maka

QT

1

dt

dS

sistem

)sistem(m )sistem(v

sistem vdsdmsentropytotalS

cssistem

AdVtdt

dN hh

vc

vd

N = S

sm

S

m

Nh

QT

1

dt

dS

dt

dN

sistemsistem

cssistem

AdVsstdt

dS

vc

vd

4.6. Hukum Termodinamika-II

63

Karena pada saat to sistem & CV berimpit,

maka:

Sehingga Hk Termodinamika II dalam

formulasi CV menjadi:

Note:

Dalam persamaan diatas, menyatakan

heat flux per satuan luas dalam CV yang

melintasi elemen dA.

Untuk menghitung maka heat flux

( ) dan temperatur lokal T, keduanya harus

diketahui untuk setiap luas elemen dari CS.

dAA

Q

T

1Q

T

1Q

T

1

csvcsistem

dAA

Q

T

1AdVss

tdt

dS

cscssistem

vc

vd

A

Q

dAA

Q

T

1

cs

A

Q

Bab 8 : ALIRAN INTERNAL VISCOUS

INKOMPRESIBEL

1

8.1. Pendahuluan

Aliran Internaladalah aliran dimana fluida yang

mengalir dilingkupi secara penuh oleh

suatu batas padat

misal : aliran dalam pipa

2

Kecepatan Rata-rata:

o

A

UV

dAuAA

QV

1

8.1. Pendahuluan

3

Entrance Length (L)

• Untuk Aliran Laminar: tergantung pada Bilangan Reynolds (Re)

• Untuk Aliran Turbulent: akibat mixing antar partikel/lapisan dalam

aliran, maka boundary layer cepat tumbuh akibatnya aliran fully developed lebih cepat tercapai:

D138D23000,06DRe0,06L

:sehingga

2300Repipadalamlaminaraliranuntuk

μ

DVρ0,06Re0,06

D

L

8.1. Pendahuluan

D40)(25L

4

asumsi: - aliran steady & incompressible

• Bila pada dinding plat tidak ada slip, maka

kondisi batasnya:

di y = 0 u = 0

di y = a u = 0

8.2. Aliran antara Dua Plat Paralel Tak

Berhingga

Bagian A: Aliran Laminar Berkembang Penuh

(Fully Developed Laminar Flow)

8.2.1. Kedua Plat Diam

5

• Karena aliran fully developed

(berkembang penuh), maka kecepatan

tidak berubah thd x :

u = u(y)

• Juga tidak ada komponen kecepatan ke

arah y & z:

v = 0 & w = 0

Persamaam Momentum dlm arah x:

asumsi:

(1). Aliran steady

(2). Aliran fully developed Fsx = 0

(3). FBx = 0

csvc

BxSx AdVρuVdρut

FF

= 0 (3)= 0 (1)

8.2.1 Aliran antara Dua Plat Paralel Tak

Berhingga – Kedua Plat Diam

6

Untuk aliran fully developed Fsx = 0,

jadi:

022

22

0

dxdzdy

dy

ddxdz

dy

dy

d

dydzdx

x

ppdydz

dx

x

pp

yx

yx

yx

yx

SxF



7

Persamaan A berlaku untuk harga-harga

x dan y, jadi:

Bila diintegralkan persaman tersebut

menjadi:

yang berarti tegangan geser bervariasi

linear terhadap y.

Untuk aliran Laminar berlaku:

)(....... A

x

p

dy

dτ

0dxdydzdy

dτdxdydz

x

p

yx

yx

konstanx

p

dy

dτ yx

).(.............................. a1yx Cyx

pτ

).(.................................... bd

d

y

uτ yx m



8

Subtitusi persamaan (b) ke (a) didapat:

sehingga:

dimana : C1 & C2 = konstanta

Kondisi batas untuk kedua plat diam:

di y = 0 u = 0 C2 = 0

di y = a u = 0

1Cyx

p

d

d

y

um

212

Cyμ

Cy

x

p

2μ

1u

Persamaan Umum Profil Kecepatan Aliran

Antara Dua Plat Paralel

ax

p

2

1C

aμ

Ca

x

p

2μ

10

1

12

….(B)



9

Sehingga untuk aliran antara dua plat

paralel diam mempunyai persamaan:

• Profil kecepatan :

atau:

• Distribusi tegangan geser:

ayx

p

2μ

1y

x

p

2μ

1u

2

Persamaan Profil Kecepatan Aliran

Antara Dua Plat Paralel Diam

a

y

a

y

x

p

2μ

au

22

2

1

a

y

x

paa

x

p

2

1-y

x

p

Cyx

pτ 1yx

…. (C)



10

• Debit (volumetric flowrate):

untuk lebar dalam arah z adalah l :

Jadi debit persatuan lebar (l) adalah:

Debit sebagai fungsi dari pressure

drop (p):

- karena , maka:

A

AdVQ

dyayyx

p

2

1dyu

Q

dyuQ

2

a

0

a

0

a

0

m

3

12

1a

x

p

m

Q

konstanx

p

L

p

L

pp

x

p

12



11

Sehingga debit sebagai fungsi p:

• Kecepatan rata-rata:

• Posisi Kecepatan Maksimum:

Syarat posisi kecepatan maksimum

dicapai bila

L

paa

L

p

mm 1212

1 33

Q

2

12

1a

x

p

a

Q

AV

m

Q

0dy

du



12

dari profil kecepatan (pers. C) didapat:

berarti:

jadi pada y = a/2 u = Umax

012

2:

2

2

2

22

aa

y

x

pa

dy

dumaka

a

y

a

y

x

pau

m

m

2

012

2

ayatau

aa

y

di tengah

x

p

8μ

a

2

1

4

1

x

p

2μ

a

a

a/2

a

a/2

x

p

2μ

aU

22

22

max



13

atau dalam bentuk lain dapat ditulis:

• Transformasi koordinat:

Sebelumnya menggunakan koordinat

asal dengan y = 0 pada plat bawah

Sekarang koordinat asal dipindahkan

ke tengah y diganti y’

V2

3

2

3

max

22

max

U

x

p

μ12

a

x

p

8μ

aU

V



14

•Kondisi batas untuk koordinat baru:

- pada plat atas : u = 0 di y’ = a/2

- pada plat bawah : u = 0 di y’ = - a/2

• Kondisi batas untuk koordinat lama:

- pada plat atas : u = 0 di y = a

- pada plat bawah : u = 0 di y = 0

sehingga y = y’ + a/2

maka persamaan profil kecepatan (B)

menjadi:

jadi profil kecepatan parabolik

4

1'2

a

y

x

p

2μ

aU

2

Transisi aliran pada Re 1400



15

• Persamaan Profil Kecepatan aliran

antara 2-Pelat Pararlel (pers. B):

• Kondisi batas:

- pada plat bawah : y = 0 u = 0 C2 = 0

- pada plat atas : y = a u = U

8.2. 2. Pelat Atas Bergerak dengan Kecepatan

Konstan

212

Cyμ

Cy

x

p

2μ

1u

ax

p

2

1

a

UμC

0aμ

Ca

x

p

2μ

1U

1

12

16

• Sehingga:


Konstan

a

y

a

y

x

p

2μ

ay

a

Uu

atau

ayyx

p

2μ

1y

a

U

yax

p

2μ

1y

a

Uy

x

p

2μ

1u

22

2

2

Persamaan Profil Kecepatan Aliran

Antara Dua Plat Paralel

salah satu plat bergerak dengan kecepatan konstan

… (D)

17

• Distribusi tegangan geser:

• Debit aliran (Volumetric flowrate):


Konstan

2

1

:

12

2 2

2

a

y

x

pa

a

U

atau

aa

y

x

pa

a

U

dy

du

yx

yx

m

m

m

A

AdVQ

untuk lebar dalam arah z adalah l :

a

0

a

0

a

0

dya

Udyu

Q

dyuQ

ayyx

py 2

2

1

m

18

sehingga debit aliran per lebar plat (l ):

• Kecepatan Rata-rata:

• Posisi Kecepatan Maksimum:

Syarat posisi kecepatan maksimum

dicapai bila:

dari profil kecepatan (pers. C) didapat:


Konstan

3a

x

p

12μ

1

2

UaQ

2

12

1

2a

x

pU

a

Q

AV

m

Q

0dy

du

012

2:

2

2

2

22

aa

y

x

pa

a

U

dy

dumaka

a

y

a

y

x

pa

a

Uyu

m

m

19

berarti:

untuk aliran ini kondisi transisi terjadi

pada Re > 1500.

x

pμ,U,fy

x

p

μ

1

aU

2

ay


Konstan

a

y

a

y

x

p

U

a

a

y

U

uatau

a

y

a

y

x

p

U

a

a

y

U

u

12

:

2

2

22

m

m

20

• untuk aliran steady & fully developed

Fsx = 0

• Bila tekanan pada titik pusat CV = p,

maka menurut Deret Taylor diperoleh

Gaya-gaya permukaan sbb.:

- Gaya (tekan) permukaan sebelah kiri:

8.3. Aliran Laminar Fully Developed Melalui

Pipa

drr.π22

dx

x

pp

21

- Gaya (tekan) permukaan kanan:

• Bila teg. geser pada ttik pusat CV = rx

- Gaya (geser) permukaan dalam:

- Gaya (geser) permukaan luar:

• Sehingga total gaya permukaan:

drr.π22

dx

x

pp

dx2

dr-rπ2

2

dr

dr

d rxrx

dx2

drrπ2

2

dr

dr

d rxrx

0dx2

drrπ2

2

drdx

2

drrπ2

2

dr

drrπ 22

dx-drrπ 2

2

dx

dr

d

dr

d

x

pp

x

pp

rxrx

rxrx


Pipa

22

atau:

Dimana rx hanya fungsi dari r

dr

rd

rdr

d

rx

p

atau

dr

d

rx

p

menjadidengandibagibila

dr

d

x

p

rxrxrx

rxrx

rxrx

1

0

:

0

dxdrrπ 2

dxdrrπ 2dxdrπ 2dxdrrπ 2

drr

x

pτrd

atau

konstanx

p

dr

τrd

r

1

rx

rx


Pipa

23

Bila diintegralkan menjadi:

dimana untuk aliran laminar berlaku:

maka:

Sehingga:


Pipa

r

Cr

Cr

1

1

2

2

2

x

pτ

x

pτr

rx

rx

dr

dumrxτ

r

Cr

dr

du 1

2

x

pm

21

2

ln4

CrCr

u

mm x

p

..(E)

24

Kondisi Batas:

1. pada r = R u = 0

2. dari pertimbangan fisik kita tahu

bahwa pada r = 0 (di tengah),

kecepatan aliran adalah maksimum,

hal ini hanya mungkin bila C1 = 0

jadi pada r = 0

Persamaan (E) menjadi:

Dari kondisi batas (1), dimana:


Pipa

00 1

0

Cbilahanyadr

du

r

2

2

4C

ru

x

p

m

x

p

x

p

mm 440

2

22

2 RCC

R

……. (F)

25

Sehingga pers. (F) menjadi:

atau:

atau:

• Distribusi Tegangan Geser:


Pipa

x

p

x

p

mm 44

22 Rru

22

14 R

rRu

x

p

m

22

4

1Rru

x

p

m

dx

dpr

dr

durx

2m

…(G)

26

• Debit aliran:

Sehingga:

• Debit fungsi dari pressure drop:

- karena maka:

sehingga debit fungsi p:

atau


Pipa

drrRrx

p

drruAdVQ

R

R

A

m

24

1

2

22

0

0

x

pRQ

m

8

4

L

p

L

pp

x

p

12

konstanx

p

L

pRQ

m

8

4

L

Dp

L

RpQ

m

m

1288

44

27

• Kecepatan Rata-rata:

• Posisi kecepatan maksimum:

syarat posisi kecepatan maksimum

dicapai bila

dari profil kecepatan (pers. G) didapat:

maka terjadi pada r = 0.

pada r = 0


Pipa

2Rπ

Q

A

QV

x

p

μ8

RV

2

0dr

du

0rx

p

2μ

1

dr

du

0dr

du

x

p

4μ

RUu

2

max

V2Umax

28

Perubahan tekanan dapat disebabkan

oleh:

perubahan ketinggian

perubahan kecepatan

gesekan

• Gesekan menyebabkan kerugian

tekanan: - 1. Major Losses

- 2. Minor Losses

• Distribusi Tegangan Geser pada aliran

yang berkembang penuh di dalam pipa:

8.4. Aliran dalam Pipa dan Saluran

Bernoulli

29

Persamaan momentum dalam arah x:

asumsi: 1). FBX = 0 (pipa horisontal)

2). Aliran steady

3). Aliran incompressible

4). Aliran fully developed

maka: FSX = 0

sehingga:

Note: tegangan geser berubah secara linear dalam

arah r.


CSCV

BxSx AdVuVdut

FF

= 0 (1) = 0 (2) = 0 (3, 4)

02

0222

2

22

dxrrdxx

p

dxrrdx

x

ppr

dx

x

ppF

rx

rxSx

x

prrx

2

30

Tegangan gaser pada dinding (w) terjadi

pada r = R :

Note: persamaan (H) berlaku untuk aliran fully

deveoped dalam pipa, baik Laminar maupun

Turbulent

• Aliran Laminar

Untuk aliran laminar fully developed,

profil kecepatannya parabolik, sbb :

Kecepatan maksimum pada posisi r = 0

(ditengah):


x

pRRrrxw

2

……(H)

22

14 R

rRu

x

p

m

x

p

4μ

RU U

2

max

31

sehingga:

atau:

untuk aliran laminar dalam pipa,

kecepatan rata-rata ditunjukkan sbb:

• Aliran Turbulent

Untuk aliran turbulent, tidak

mempunyai formulasi sederhana yang

menghubungkan antara tegangan geser

dan medan kecepatan rata-rata seperti

aliran laminar.


2

1R

rUu

2

1

2

1

U

VatauUV

2

1R

r

U

u

32

Fluktuasi kecepatan dalam aliran

turbulent menyebabkan pertukaran

momentum antara lapisan fluida,

sehingga Tegangan Geser Total :

bila dibagi dengan :

dimana:


''vudy

udm

Reynolds Stress (apparent stress)

''vudy

udn

*

1/2

w

T

uvelocityfriction/ρτ

kuadratkecepatanberdimensiρ

τ

dtv'u'T

1v'u'

y&xarahdalamkecepatanfluktuasiv'&u'

rataratakecepatanu

laminar turbulent

33

Note:•Pada daerah dekat dinding laminar lebih

dominant & turbulent = 0, karena No-slip conditions

sehingga:

• Total tegangan geser bervariasi linear

dalam arah radial

• Pada sumbu pipa turbulent dominant &

laminar 0


0

y

wdy

dum

34

Secara empiris profil kecepatan untuk

aliran turbulent dalam smooth pipe

diberikan dalam persamanan power-law :

dimana : - n = f(Re)

- pers. Power-law tidak berlaku

untuk (y/R < 0,04)

- n adalah slope dr grafik

dibawah ini

8.5. Profil Kecepatan Turbulent dalam Aliran

Fully Developed

nn

R

r

R

y

U

u/1/1

1

35

Gambar diatas : n = f(Re), dimana bila

Re n :


Fully Developed

3.200.000Re10n

110.000Re7n

4.000Re6n

36

Persamaan Power-law dapat

dikembangkan untuk mendapatkan

hubungan antara dan U :

dimana semakin besar harga n (dengan

bertambahnya Re) profil kecepatan

semakin tumpul:


Fully Developed

V

1n21n

n2

U

V2

87,0

79,0

U

V

U

V

7n

6n

37

Persamaan Dasar:

8.6. Konsiderasi Energi pada Aliran Dalam

Pipa

1

2

CV

y

x

z

g

CV CSothershears AdVpv)ρ(edeρ

tWWWQ

=0(1) =0(2) =0(1) =0(3)

gz2

Vue

2

(2)&(1)sectionpduniformtekanan&dalamenergi5).

ibleincompressaliran4).

steadyaliran3).

0)dindingpdkecepatanttpdinding,

pdgeserteganganada(meskipun0W 2).

0W0,W 1).

:asumsi

shear

others

38

Sehingga:

Note:

1. Kita tidak mengasumsikan bahwa

aliran adalah uniform karena kita tahu

bahwa aliran adalah viscous.

2. Bagaimanapun juga akan lebih mudah

bila kita menggunakan kecepatan rata-

rata ( ), untuk itu didefinisikan

koefisien Energi Kinetik (a):


Pipa

11A

2

12

A2

2

2

1212

12

dAVρ2

VdAVρ

2

V

zzgmρ

p

ρ

pmuumQ

12

2

A

3

Vm

dAVρα

V

……(I)

39

maka persamaan (I) menjadi:

Bila dibagi dengan didapat:

atau


Pipa

2

Vα

2

Vαm

zzgmρ

p

ρ

pmuumQ

2

11

2

22

1212

12

m

2

Vα

2

Vαzgz

ρ

p

ρ

puu

dm

Q2

11

2

2212

1212 g

dm

Quugz

2

Vα

ρ

pz

2

Vα

ρ

p122

2

2221

2

111

g

Total Head Loss

……..(J)

40

Note:

Sehingga persamaan (J) menjadi:

Note:

a) Untuk aliran tanpa gesekan

kecepatan aliran uniform (a1 = a2 = 1)

sehingga persamaan (J) menjadi

persamaan Bernoulli, dimana: hLT = 0


Pipa

LT

12

2

hlossheadTotaltotalheadkerugian

merupakanatau(2)dan(1)titikantara

masasatuanpermekanikenergiperbedaandm

Qδuu

masasatuanpermekanikenergigz2

Vα

ρ

p

……..(K)

LT2

2

2221

2

111 hgz2

Vα

ρ

pgz

2

Vα

ρ

p

41

b) Untuk aliran laminar dalam pipa,

karena bentuk kecepatan yang

menonjol maka : a = 2.

c) Untuk aliran turbulen, profil

kecepatan cenderung tumpul, maka:

dimana untuk:

n = 6 (Re = 4.000) a = 1,08

n = 10 (Re = 3.200.000) a = 1,03

untuk semua harga n a 1

Sehingga secara umum untuk aliran

turbulen a = 1


Pipa

nn

n

V

U

233

2 23

a

42

Contoh Sistem Perpipaan

43

• Persamaan Energi dari (2) ke (3):

Instalasi Pompa

44

• Persamaan Energi dari (2) ke (3):

8.7. Perhitungan Head Pompa

LT3

2

3332

2

222 hgz2

Vα

ρ

pgz

2

Vα

ρ

p

........Energi persatuan masa Dimensi (L2/t2)

45

Bila dibagi dengan gravitasi g menjadi:

• Persamaan energi dari (1) ke (3):

dalam CV meliputi pompa yang daya

shaftnya ( ) harus diperhitungkan:

atau dalam energi persataun berat:

8.7. 2. Perhitungan Head Pompa

LT3

2

3332

2

222 h'z2g

Vα

ρg

pz

2g

Vα

ρg

p

........Energi persatuan berat Dimensi (L)

sW

LT3

2

333s1

2

111 hgz2

Vα

ρ

p

m

Wgz

2

Vα

ρ

p

........ Dimensi (L2/t2)

LT3

2

333s1

2

111 h'z2g

Vα

ρg

p

gm

Wz

2g

Vα

ρg

p

Hp = head pompa

Hp = head pompa

........ Dimensi (L)

46

8.8. Perhitungan Head Loss

LmLLT hhh

Minor LossesMajor Losses

Total Head Loss (hLT):

merupakan jumlah dari major losses (hL)

dan minor losses (hLm)

Major Losses (hL):

kerugian energi karena gesekan pada

dinding pipa lurus yang mempunyai

luas penampang yang sama/tetap

Minor Losses (hLm):

kerugian energi karena : perubahan

penampang pipa; entrance;

sambungan; elbow; katup; dan

asesoris perpipaan lainnya.

47

Persamaan Energi aliran dalam pipa

lurus – horisontal berdiameter konstan:

Untuk kondisi instalasi yang dimaksud

berlaku ketentuan sbb.:

8.8. 1. Major Losses : Faktor Gesek

LmL

2

11

2

2212

21

LT2

2

2221

2

111

hh2

VαVαzzg

ρ

pp

hgz2

Vα

ρ

pgz

2

Vα

ρ

p

48

• berdiameter konstan:

• pipa lurus tidak ada minor losses

(hLm = 0)

• horisontal z1 = z2 (z1 – z2) = 0

Sehingga persamaan energi menjadi:


2

Vα

2

Vα

2

22

2

11

LmLLT hhh = 0

L21 h

ρ

Δp

ρ

pp

LmL

2

11

2

2212

21 hh2

VαVαzzg

ρ

pp

= 0 = 0 = 0

….. (L)

49

A. Untuk aliran LAMINAR:

kondisi aliran fully developed pada

pipa horisontal:

atau:

karena :

maka:


Lμ128

DΔpπQ

4

4Dπ

QLμ128Δp

2

D4

πVQ

D

V

D

LD

m

324

2

4

Dπ

VLμ128

Δp

…. (M)

50

Gabungan dari pers. (L) & (M) didapat:

atau:

B. Untuk aliran TURBULENT:

- kerugian tekanan tidak bisa

dievaluasi secara analitis

- harus dievaluasi secara

eksperimental dengan

menggunakan analisa dimensi

yang mengkorelasikan data yang

didapat dari hasil eksperimental


DVρ

μ64

2

V

D

L

Dρ

Vμ

D

L32

ρ

Δph

2

L

2

V

D

L

Re

64h

2

L

…… (N)

51

Dengan analisa dimensi didapat:

dimana

maka:


μρ,,Ve,L,D,ΔpΔp

D

e,

D

L,

DVρ

μf

Vρ

Δp2

Re

1

DVρ

μ

D

e,

D

LRe,

Vρ

Δp2

52

Subtitusi dar pers. (L) didapat:

Hasil eksperimental menunjukkan bahwa

hL ~ L/D, sehingga:

karena 1 tetap tidak dapat ditentukan,

maka memungkinkan untuk

memasukkan suatu konstanta pada

sebelah kiri persamaan tsb., dalam hal

ini angka 1/2:


D

e,

D

LRe,

V

h

Vρ

Δp2

L

2

= hL

D

eRe,

D

L

V

h2

L1

D

eRe,

D

L

V2

1

h

2

L2

53

dimana didefinisikan faktor gesek (f)

sebagai berikut:

maka:

Hasil eksperimental menunjukkan bahwa

hL ~ L/D, sehingga:

Note:

- Untuk aliran Laminar f hanya

tergantung pada bilangan Re:


D

eRe,f 2

2

V

D

Lfh

2

L

Re

64f laminar

54

- Untuk aliran (transisi) & turbulent

faktor gesek tergantung pada Re &

kekasaran pipa (bahan pipa)

- Untuk aliran turbulent dengan Re yang

sangat besar faktor gesek (f) hanya

tergantung pada bilangan kekasaran

pipa (bahan pipa) saja.

Selanjutnya untuk memudahkan dapat

dilihat pada Moody Diagram


D

eRe,f 2

Kekasaran pipa

(Bahan pipa)

Bilangan Reynolds

55


Diagram Moody

56


Grafik Kekasaran Relatif Pipa (untuk pipa baru)

57

Pipa yang mengalami kerusakan

(bisa kerena korosi)

Untuk pipa semacam ini harga e/D bisa

mencapai (5 -10) kali harga yang

tertulis pada grafik kekasaran pipa

diatas


58


59


60

Untuk kebutuhan perhitungan yang

menggunakan komputer, beberapa nilai

faktor gesek dirumuskan secara empiris

sbb. :

• Korelasi Blasius untuk aliran turbulent

dalam smooth pipe (Re < 105):

• Korelasi Colebrook:

• Korelasi Miller:


0,25Re

0,3164f

0,50,5fRe

2,51

3,7

e/Dlog2,0

f

1

2

0,9Re

5,74

3,7

e/Dlog0,25f

61

Head Loss Minor diberikan sebagai:

dimana :

K : koefisien kerugian minor (loss

coefficient) yang besarnya

ditentukan secara eksperimental

Head Loss Minor dapat juga dinyatakan

sebagai :

Dimana:

Le : panjang ekuivalen dari pipa lurus

8.8. 2. Minor Losses

2

VKh

2

Lm 2

VKhLm

2

VKh

2

Lm

2

Vfh

2

LmD

Le

= K

62

a. Inlets & Exits

Bentuk inlet & exit mempengaruhi harga K:


63

b. Enlargements & Contractions:

Note:

Kecepatan yang digunakan untuk

menghitung hLm adalah kecepatan yang

lebih besar


64

b. Enlargements & Contractions:

Kerugian karena perubahan luasan

dapat dikurangi dengan pemasangan

Nosel & Difuser

Hubungan Cp & Head Loss:

Bila a1 = a2 dan pipa dalam posisi

horisontal (z1 = z2), maka persamaan (K)

menjadi:


65

atau

Hukum Kontinuitas :


LmLT

2

22

2

11 hh2

V

ρ

p

2

V

ρ

p

pC2

1

2

2

2

1

2

121

12

2

1

2

2

2

1

12

2

2

2

1Lm

V

VV

Vρ

pp

V

VV

ρ

pp

2

VVh

12

12

2

1

1

22211

A

A

V

VAVAV

66

Untuk aliran tanpa gesekan hLm = 0,

maka koefosien tekanan recovery ideal

(Cpi):

Selanjutnya head loss minor untuk

difuser nyata dapat ditulis :


p

2

1Lm

p

2

1Lm

C12

Vh

C12

Vh

2

1

2

2

2

1

1

:

AR

makaA

AARRatioAreakandidefinisibilaatau

A

A

2piAR

11C

2

VCCh

2

1ppiLm

67

c. Pipe Bends:

Kerugian pada pipa yang dibelokkan

(pipe bend) lebih besar dibanding

pipa lurus dengan panjang yang

sama. Tambahan kerugian

dikarenakan adanya secondary flow

pada belokan


68

d. Valves & Fittinggs:

Tabel harga K untuk beberapa asesori

perpipaan:


69

Tabel harga (Le/D) untuk beberapa

asesori perpipaan:


70

Tabel harga (Le/D) untuk beberapa

asesori perpipaan:

Contoh:

Standard Elbow 900 dengan diameter nominal 6

inch memiliki panjang ekuivalen (Le) = 16 ft = 192

inch, sehingga (Le/D) = 192/6 = 32.


71

Saluran dengan penampang bebentuk :

• Bujur Sangkar

• Empat Persegi Panjang

Diameter Hidrolik (Dh) :

dimana:

A = luas penampang saluran

P = keliling basah (wetted perimeter)

Contoh:

8.9. Saluran Yang Tidak Sirkuler

(Non Circular Duct)

4atau3lebar

panjang

P

A4Dh

72

CONTOH SOAL

73

Pertimbangan pemilihan alat ukur

kapasitas aliran didasarkan pada :

1. Keakuratan alat

2. Range (skala)

3. Harga

4. Kerumitan alat

5. Kemudahan pembacaan data

6. Umur

Note: alat ukur yang mudah

penggunaannya, murah dan

memberikan keakuratan sesuai

keinginan layak adalah menjadi dipilih

Pengukuran kapasitas`aliran dibedakan

dalam dua bagian, yaitu:

1. Saluran TERBUKA

2. Saluran TERTUTUP

PENGUKURAN KAPASITAS ALIRAN

74

Persamaan Bernoulli:

Asumsi:

1. Aliran inkompresibel ( = konstan)

2. p1 = p2 = patm

3. Aliran dari (1) ke (2) dalam satu

streamline

4. V1 = 0

8.10. Pengukuran Kapasitas Aliran Pada

Saluran Terbuka

yHg2

22

V

ρ2

pgH

2

21

V

ρ1

p

8.10. 1. Rectangular Weir

75

Sehingga:

Kapasitas (discharge) teoritis (Qt):

ygV 2

yHg2

22

V

ρ2

pgH0

ρ1

p

= (2) p1 = p2

dyyLg2

dyLyg2

dyLV

dAVQ

H

0

H

0

H

0

A

t

21

8.10.1. Rectangular Weir

76

Sehingga:

dimana:

Qt = kapasitas teoritis

L = lebar weir

Akibat adanya kontraksi & kerugian

lainnya, maka kapasitas real (Qr) dpt

ditentukan (secara eksperimen) sbb.:

atau:

Untuk Satuan English Engineering:

Untuk Satuan Internasional (SI):

tr Q.%62Q


23

3

2HLg2Qt

(ft)dalamL&HHL3,33Q 23

r

(m)dalamL&HHL1,84Q 23

r

77

Persamaan Bernoulli:

Asumsi:

1. Aliran inkompresibel ( = konstan)

2. p1 = p2 = patm

3. Aliran dari (1) ke (2) dalam satu

streamline

4. V1 = 0

yHg2

22

V

ρ2

pgH

2

21

V

ρ1

p

8.10. 2. V-Notch Weir

78

Sehingga:

Kapasitas (discharge) teoritis (Qt):

ygV 2

yHg2

22

V

ρ2

pgH0

ρ1

p

= (2) p1 = p2

H

0

At

dyxV

dAVQ

8.10.2. V-Notch Weir

H

yHLx

H

yH

L

x

79

Sehingga:

Dari segitiga diatas didapat:

Sehingga:

25

25

23

H2H

Lg2

15

8

y5

2Hy

3

2

H

Lg2

dyH

yHLyg2Q

H

0

H

0t


H

L

H

L

22tan 2

1

25H

2tang2

15

8Qt

80

Secara eksperimen, kapasitas real (Qr)

didapatkan :

Nilai koefisien V-notch weir (Cd)

tergantung pada sudut V-notch () dan

ketinggian (H).

tdr Q.CQ


81

Nilai terendah Cd untuk semua sudut V-

notch adalah sekitar 0,58, sehingga:

Untuk 90o-Notch Weir ( = 90o), secara

pendekatan didapat:

Dalam Satuan English Engineering:

Dalam Satuan Internasional (SI):

tr Q.0,58Q


(ft)dalamHH2Q 25

r 5,

(m)dalamHH1,38Q 25

r

82

• Prinsip: Perubahan tekanan ke arah

radial karena kurva

streamline

• Sifat : sederhana harus dikalibrasi

dimana: h = 40 mmH2O

8.11. Pengukuran Kapasitas Aliran Pada

Saluran Tertutup

8.11. 1. Elbow Flowmeter

83

Untuk aliran Uniform & udara pada

kondisi standard tentukan kapasitas

aliran

Penyelesaian:

Pers. Dasar:

Asumsi:

1). aliran tanpa gesekan

2). aliran incompressible

3). aliran uniform pada penampang

tempat pengukuran

Untuk aliran ini, p = p(r), jadi:


r

V

r

p 2

r

ρV

dr

dp

r

p 2

84

atau:

sehingga:

Untuk p = p2 – p1 = H2O g h, maka:


1

22r

r2

12

p

p

r

r

2

2

r

rlnρVrlnρVpp

drr

ρVdp

drr

ρVdp

2

1

2

1

2

1

1

2

1

lnr

r

p

2pV

1

2

2

lnr

r

hg

udara

OH

V

85

maka:

Sehingga untuk aliran uniform, kapasitas

aliran (Q):


s

m

m

kg

ms

m

m

kg

8,30

25,0

35,0ln23,1

)04,0()81,9()999(

3

23

V

s

m0,924

m0,3xm0,1s

m30,8V.AQ

3

86

Flow meter untuk aliran internal

umumnya didasarkan pada percepatan

aliran fluida, seperti terlihat pada gambar

berikut:

Note:

Separasi terjadi pada leher nosel

zona resirkulasi

Pada penampang (2) (vena contracta)

aliran dipercepat terus, kemudian

diperlambat

8.11. 2. Orifice, Flow Nozzle, Venturi

87

Persamaan Dasar:

= 0 (1)

= 0 (7)

asumsi:

1. aliran steady

2. aliran incompressible

3. aliran sepanjang streamline

4. aliran tanpa gesekan

5. Kecepatan uniform pada penampang

(1) dan (2)

6. Distribusi tekanan uniform pada

penampang (1) dan (2)

7. z1 = z2


2

2

221

2

11

csvc

gz2

V

ρ

pgz

2

V

ρ

p

AdVρvdρt

0

88

Sehingga:

dari persamaan kontinuitas didapat:

atau

Gabungan persamaan (a) & (b) didapat:


2

2

1

2

2

2

1

2

221

V

V1

2

ρV

VV2

ρpp

2211 AρVAρV0

2

1

2

2

2

12211

A

A

V

VAVAV

…(a)

…(b)

2

1

2

2

221

A

A1

2

ρVpp

89

Kecepatan Teoritis aliran (V2):

Laju aliran masa teoritis diberikan sbg:

atau


2

1

2

212

AA

1ρ

pp2V

22

1

2

2122teoritis A

AA

1ρ

pp2ρAVρm

212

1

2

2teoritis pp2

AA

1

Am

90

Note:

Luasan A1 adalah luas penampang

saluran yang tentu mudah

ditentukan/dihitung.

Luasan A2 adalah luasan vena

contracta yang sulit ditentukan baik

posisi maupun besarnya. Oleh

karenanya lebih mudah menggunakan

/menentukan luas leher (At) dalam

perhitungan flowrate.

Selanjutnya untuk menentukan mass

flowrate sebenarnya (mactual), perlu

mempertimbangkan hal-hal sbb.:- pendekatan aliran uniform hanya akan

berlaku untuk bilangan Reynolds yang

rendah

- efek geesakan yang terjadi

- penempatan presssure tap sangat

mempengaruhi harga bacaan

- pengaruh kontraksi ataupun pencekikan

saluran


91

Dengan mempertimbangkan hal-hal

tersebut diatas, maka mactual dihitung

dengan melibatkan “discharge

coefficient “ (C) sbb.:

bila b = Dt/D1 (At/A1)2 = (Dt/D1)

4 = b4,

maka:

dimana adalah “velocity of

approach factor”.


212

1

t

tactual pp2

AA

1

ACm

214

tactual pp2

1

ACm

b

41 b

92

Discharge coefficient & velocity of

approach factor, seringkali digabungkan

menjadi satu koefisien (K) dimana:

Sehingga:

Untuk aliran turbulen (Re > 4000)

koefisien C diexpresikan sebagai:


4β1

CK

214

tactual pp2

1

ACm

b

= K

21tactual ppρ2AKm

n

D1Re

bCC

93

Dan harga K diexpersikan sebagai:

dimana :

• index adalah menyatakan koefisien

untuk harga Re tak terhingga

• konstanta b & n untuk harga Re

terhingga


n

D14 Re

b

β1

1KK

94

Faktor-faktor yang harus dipertimbangkan dalam

pemilihan sebuah flow meter:

1. Harga (cost)

2. Ketilitian (accuracy)

3. Kebutuhan untuk Kalibrasi

4. Kemudahan dalam pemasangan & perawatan

Tabel : Karakteristik dari ORIFICE, FLOW NOZZLE &

VENTURI Flow Meter


95

Kejelekan utama dari ORIFICE:

1. Kapasitas pengukuran terbatas

2. Head Loss tinggi

Karena ekspansi aliran pada down

stream tidak terkontrol

Harga Discharge Coefficient (C) untuk

“concentric orifice“ dengan corner taps:

8.11. 3. Orifice

0,75

D1

2,582,1

Re

β91,71β0,184β0,03120,5959C

….(c)

96

Persamaan (c) memprediksi harga C

dengan ketelitian + 6%, untuk harga:

0,2 < b < 0,75 & 104 < ReD1 < 107.

Flow coefficient untuk Orifice

8.11. 3. Orifice

97

Flow Nozzle dalam saluran

Flow Nozzle dalam Ruang Bakar

(Plenum)

8.11. 4. FLOW NOZZLE

98

Flow Nozzle merupakan pengukur

kapasitas :

- Saluran (duct)

- Ruang Bakar (plenum)

Harga Discharge Coefficient (C)

Long-radius flow nozzle yang

direkomendasikan ASME:

Note:

Persamaan (d) memprediksi harga C

untuk Flow Nozzle dengan ketelitian

+ 2%, untuk harga:

0,25 < b < 0,75 & 104 < ReD1 < 107.


0,5

D1

0,5

Re

β60,9975C

53, ….(d)

99

Flow Coefficient untuk Nozzle


100

Venturi merupakan alat ukur kapasitas

aliran yang dibanding Orife dan Nozzle:

- Lebih teliti

- Lebih rendah kerugian head-nya

- Lebih mahal harganya

Harga Discharge Coefficient (C) untuk

VENTURI adalah sebesar:

0,98 < C < 0,995

(untuk ReD1 > 2 x 107)

Note:

Umumnya diambil C = 0,99 dengan

ketilitian = + 1 %

8.11. 5. VENTURI

101

Gambar berikut menunjukkan

perbandingan Head Loss alat ukur

kapasitas seprti : Orifice, Nozzle dan

Venturi , sebagai fungsin dari b.

Note:

Head loss dari Venturi yang paling

rendah

8.11. 6. Perbandingan Head Loss antara

ORIFICE, NOZZLE & VENTURI

definisi fluida ruang lingkup mekanika fluida persamaan...

Documents