definisi dan aksioma aljabar boolean

Nama:halimatussadiahNIM:101402017Kelas: ganjil (A)

A. Definisi dan Aksioma Aljabar Boolean

Aljabar boolean adalah sistem aljabar yang berisi himpunan S dengan dua operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) yang didefinisikan pada himpunan, sehingga setiap elemen a, b, dan c dari S mempunyai sifat-sifat atau aksioma-aksioma berikut:

*Aksioma-aksioma

1. a + b C S (tertutup)

2. a.b C S (tertutup)

3. a + (b + c) = (a + b) + c (asosiatif)

4. a.(b.c) = (a.b).c (asosiatif)

5. Jika 0 C S maka untuk setiap a C S, adalah a + 0 = 0 + a = a (identitas)

6. Jika 1 C S maka untuk setiap a C S, adalah a.1 = 1.a = a (identitas)

7. a + b = b + a (komutatif)

8. a.b = b.a (komutatif)

9. a.(b + c) = a.b + a.c (distributif)

10. (a + b).c = a.c + b.c (distributif)

11. a + (b.c) = (a + b).(a + c) (distributif)

12. (a.b) + c = (a + c).(b + c) (distributif)

13. untuk setiap a C S, dan a’ C S, maka a + a’ = 1 dan a.a’ = 0


*Prinsip Dualitas

Teorema 1Untuk setiap elemen a, berlaku:a + a = a dan a.a = a

Teorema 2Untuk setiap elemen a, berlaku:a + 1 = 1 dan a.0 = 0

Teorema 3Untuk setiap elemen a dan b, berlaku:a + a.b = a dan a(a + b) = a(disebut hukum penyerapan)

Teorema 4Untuk setiap elemen a dan b, berlaku:(a.b)’ = a’ + b’ dan (a + b)’ = a’.b’(disebut hukum de Morgan)

Teorema 50’ = 1 dan 1’ = 0Teorema 6Jika suatu aljabar Boolean berisi paling sedikit dua elemen yang berbeda, maka 0 ≠ 1

*Pembuktian Rumus DualitasPembuktian rumus dualitas dilakukan berdasar aksioma dan sifat dari aljabar Boolean, yaitu:

1a. Pernyataan a + a = aBukti:a+a = (a+a)(1) (identitas) = (a+a)(a+a’) (komplemen) = a + (a.a’) (distributif) = a + 0 (komplemen) = a (identitas)


1b. Pernyataan: a.a = aBukti:a.a = a.a + 0 (identitas) = a.a +a.a’ (komplemen) = a (a + a’) (distribusi) = a.1 (komplemen) = a (identitas)

2a. Pernyataan: a + 1 = 1Bukti:a + 1 = a + (a + a’) (komplemen) = (a + a) + a’ (asosiatif) = a + a’ (teorema 1a) = 1 (komplemen)

2b. Pernyataan: a.0 = 0Bukti:a.0 = a.(a.a’) (komplemen) = (a.a).a’ (asosiatif) = a.a’ (idempoten) = 0 (komplemen)

3a. Pernyataan: a + a.b =aBukti:A + a.b = a.1 + a.b (identitas) = a(1 + b) (distributif) = a.1 (teorema 2a) = a (identitas)

3b. Pernyataan: a.(a + b) = aBukti:a.(a + b) = a.a + a.b (distributif) = a + a.b (idempoten) = a.1 + a.b (identitas) = a.(1 + b) (distributif) = a.1 (teorema 2a) = a (identitas)


4a. Pernyataan: (a.b)’ = a’ + b’ diketahui : (ab)(ab)’ = 0 diperlihatkan : (ab)(a’ + b’) = 0Bukti:(ab)(a’ + b’) = aba’ + abb’ (distributif) = 0.b +a.0 (komplemen) = 0 + 0 (teorema 2b) = 0 (identitas)

4b. Pernyataan: (a + b)’ = a’b’ diketahui : (a + b) + (a + b)’ = 1 diperlihatkan: (a + b) + a’b’ = 1

Bukti:(a+b) + a’b’ = (a+b+a’).(a+b+b’) (distributif) = (1 + b).(a + 1) (komplemen) = 1.1 (teorema 2a) = 1 (identitas)

B. Fungsi Boolean

Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke Bmelalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagaif : BnByang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasanganterurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.

Misalkan sebuah fungsi Boolean adalahf(x, y, z) = xyz + x’y + y’zFungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1sehingga f(1, 0, 1) = 1 0 1 + 1’ 0 + 0’1 = 0 + 0 + 1 = 1 .

Contoh. Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:1. f(x) = x2. f(x, y) = x’y + xy’+ y’3. f(x, y) = x’ y’4. f(x, y) = (x + y)’

Nama:halimatussadiahNIM:101402017Kelas: ganjil (A)5. f(x, y, z) = xyz’

Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentukkomplemennya, disebut literal.

Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buahliteral, yaitu x, y, dan z’.

Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabelkebenaran.Penyelesaian:

Komplemen Fungsi

1. Cara pertama: menggunakan hukum De MorganHukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah

Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), makaf ’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’ = x’ + (y’z’ + yz)’ = x’ + (y’z’)’ (yz)’ = x’ + (y + z) (y’ + z’)

2. Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas.Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalukomplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut.

Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), makadual dari f: x + (y’ + z’) (y + z)komplemenkan tiap literalnya: x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)


Aplikasi Aljabar Boolean

1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)Saklar adalah objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup.Tiga bentuk gerbang paling sederhana:


2. Rangkaian Digital Elektronik

Tabel kebenaran Gerbang NOT Tabel kebenaran Gerbang AND


Tabel kebenaran Gerbang OR

Gerbang Turunan

Gerbang NAND Gerbang XOR

Tabel kebenaran Gerbang NAND Tabel kebenaran Gerbang XOR


Tabel kebenaran Gerbang NOR Tabel kebenaran Gerbang XNOR

definisi dan aksioma aljabar boolean

Documents