1 | P a g e

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya,

misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai

bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton (

1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (

1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai

suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Turunan

dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan

dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi

komposisi, dan turunan fungsi invers. Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang

kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah

menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial

adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi

yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal,

turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada

titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan

linear terbaik fungsi pada titik tersebut.

Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar

kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari

pengintegralan.

Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari

perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan

terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan

dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda.

Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan

menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan

menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untuk

perusahaan yang sedang bersaing.

Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi.

Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat

penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya

(generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis

kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.

2 | P a g e

1.2 RUMUSAN MASALAH

1. Definisi turunan

2. Deferensi fungsi aljabar

3. Deferensi fungsi trigonometri

4. Deferensi fungsi transenden

5. Deferensi fungsi parameter

1.3 TUJUAN

1. Untuk mengetahui deferensial fungsi aljabar

2. Untuk mengetahui deferensial fungsi trigonometri

3. Untuk mengetahui deferensial fungsi transenden

4. Untuk mengetahui deferensial fungsi parameter

1.4 BATASAN MASALAH

1. Definisi turunan

2. Deferensi fungsi aljabar

3. Deferensi fungsi trigonometri

4. Deferensi fungsi transenden

5. Deferensi fungsi parameter

3 | P a g e

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Turunan

Misalkan P adalah sebuah titik pada kurva y=f(c)

dan Q merupakan titik yang dapat dipindahkan pada

kurva tersebut. Titik P dan Q akan membentuk garis

singgung dengan kemiringan . Kemiringan

dapat diperoleh dari dengan nilai

.

Jadi kemiringan garis PQ dapat diperoleh dari:

Untuk mencari kemiringan garis singgung ini, merupakan definisi turunan.

Beberapa bentuk setara

untukturunan.Perubahanyanglebihradikal,tetapi masih tetap

hanyasuatuperubahancara penulisan,mungkin dipahami dengan

menggantikan c+h dengan x,sehingga h dapat digantikan

dengan x-c.

Keterdiferensiasi mengimplikasi kontinuitas jika f’(c) ada

maka f kontinu di c.Jika sebuah kurva mempunyai sebuah garis

singgung disebuah titik,maka kurva itu tidak dapat melompat

atau sangat berayun di titik tersebut.

Grafik turunan, turunan f’(x) memberikan kemiringan garis singgung terhadap

grafiky=f(x)pada nilai x. jadi ketika garis singgung miring naik kekanan,turunan positif,dan

ketika garis singgung miring turun ke kiri,turunan negative.karenanya kita dapat memperoleh

gambaran kasar dari turunan hanya dengan diketahui grafik fungsi.

Untuk menentukan fungsi deferensial, dapat menggunakan berbagai notasi yakni:

Notasi

Leibniz

Notasi

Lagrange

Notasi

Newton

Notasi

Euler

Turunan

f(x) terhadap x

ƒ′(x)

4 | P a g e

2.2 Aturan Pencarian Turunan

2.2.1 Sifat-Sifat Turunan

Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan maka berlaku:

1. Kelipatan Konstanta

Bukti :

2. Penjumlahan

Bukti :

3. Selisih

Bukti :

5 | P a g e

4. Perkalian

Bukti :

5. Pembagian

Bukti :

2.2.2 Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi aljabar merupakan penjabaran turunan dari fungsi tetap dan

fungsi pangkat.

1. Fungsi konstan

Bukti :

6 | P a g e

2. Fungsi pangkat Pangkat

Bukti :

Di dalam kurung siku, semua suku kecuali yang pertama mempunyai h

sehingga jika masing-masing suku ini mempunyai limit nol ketika h mendekati

nol.

2.3 Aturan Rantai

Aturan rantai adalah aturan yang sangat bermanfaat yang mempermudahkan kita

dalam mencari turunan suatu fungsi. Dimana aturan rantai biasanya digunakan untuk

menentukan fungsi komposisi.

Misalkan dan menentukan fungsi komposisi yang

dirumuskandengan . Jika terdeferensialkan di dan

terdeferensialkan di maka terdiferensialkan di dan

atau

Fungsi komposisi dapat diperluas menjadi komposis 3 fungsi, 4 fungsi dan seterusnya.

Jika

Yakni

Maka :

7 | P a g e

Bukti:

2.4 Turunan fungsi invers

Andaikan terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang I.

Jika di suatu x tertentu dalam daerah I. Maka terdiferensiasikan di titik

yang berpadanan dalam daerah hasil f dan

Bukti :

Menurut definisi limit

Akan dibuktikan

Dengan definisi limit, kita peroleh

Karena dan

Maka kita bisa menuliskan

Karena f kontinu dan monoton murni, sehingga , sehingga

Sehingga kita boleh melanjutkan proses maka kita bisa menuliskan

8 | P a g e

Dengan ini kita mendapatkan

Dimana , diperoleh

2.5 Diferensiasi implisit

Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian

yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi

dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di atas. Untuk mencari turunan

fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut

diferensiasi implisit . Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat didiferensiasi

terhadap x. Fungsí implisit secara umum dapat ditulis sebagai f(x, y) = 0 dengan y sebagai

fungsí dalam x.

Contoh fungsi implisit: 1) y – 2x3 – 8 = 0

Contoh :

1. Tentukan dari fungsí yang dirumuskan dengan y – 2x3 – 8 = 0

Penyelesaian

Apabila kedua ruas diturunkan terhadap x, maka akan diperoleh:

9 | P a g e

2.6 Turunan Fungsi Trigonometri dan Siklometri

Aturan turunan fungsi trigonometri hanya ada dua, yakni untuk Dxsinx dan

Dxcosx.

Untuk dan

Bukti :

Serta

10 | P a g e

Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri. Akan dicari turunan invers

fungsi sinus (arcus sinus) berikut.

y

x

1

y

x

1

11 | P a g e

2.7 Turunan Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat tertentu.

Bentuk fungsi eksponensial yang akan kami bahas disini adalah turunan fungsi

dan .

Jika maka

Sedangkan untuk , maka maka

Jika diganti dengan e maka , jadi . Karena nilai

sehingga

2.8 Turunan Fungsi Logaritma

Sebelum membahas turunan fungsi eksponen dan logaritma, akan dikenalkan dulu

bilangan e yang kemuan disebut sebagai bilangan Euler, yakni sebuah bilangan yang

merupakan pendekatan dari bentuk untuk n menuju tak hingga yang ditemukan

pada tahun 1683 oleh Jacob Bernoulli

Pada tahun 1748, Euler memberikan ide mengenai bilangan e, yaitu :

Bentuk berikut ini dapat diubah menjadi

Dari formulasi tersebut Euler memperoleh pendekatan untuk nilai e sampai 18

digit, yaitu

e = 2,718281828459045235

Suatu logaritma dengan basis e dinamakan logaritma natural dan ditulis dengan

ln. Sehingga

12 | P a g e

Turunan dasar pada fungsi logaritma dalam dan

Sedangkan untuk maka

2.9 Turunan Fungsi Parameter

Apabila disajikan persamaan berbentuk:

x = f(t)

y = g(t)

maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut

parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dengan cara sebagai berikut. Dari

bentukx = f(t) dibentuk , dengan begitu maka ) dengan

menggunakan aturan rantai, akan didapatkan seperti berikut.

13 | P a g e

2.10 Turunan Fungsi Hiperbolik

Fungsi hiperbolik diperoleh dari campuaran fungsi dan fungsi . Fungsi

hiperbolik, cosinus hiperbolik dan empat fungsi hiperbolik lainya, didefinisikan sebagai

berikut.

Pembuktiannya menggunakan sisi kanan dari identitas terhadap euler. Ingat bahwa :

Bukti turunan

Bukti turunan

Bukti turunan

14 | P a g e

BAB III

PENUTUP

3.1 KESIMPULAN

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya,

misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan

sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac

Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm

Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial )

digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan

mekanika. Pada geometri masalahnya adalah garis singgung sedangkan mekanis

masalahnya pada kecepatan rata-rata dan kecepatan.

15 | P a g e

16 | P a g e

DAFTAR PUSTAKA

Djohan, Warsoma, dkk. 2007. Diktat Kalkulus I. Bandung : Departemen Matematika,

Fakultas MIPA ITB.

http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan_fungsi

http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan

http://matematikasulis.blogspot.com/2013/03/rumus-lengkap-turunan.html

Yudarwi. 2007. Turuna Fungsi Logaritma Dan Eksponensial