clase viii
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ING. KENNEDY R. GOMEZ TUNQUE
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERIA
E.A.P DE CIVIL (HUANCAVELICA)
Para la línea de corriente
que pasa por A
E = 𝑍𝐴 + 𝑑 cos 𝜃 +𝑉𝐴
2
2𝑔
ECUACIÓN DE LA ENERGIA
E = z + 𝑦 +𝑉 2
2𝑔
Para el tubo de corriente en la
sección
E = 𝑍 + 𝑑 cos 𝜃 + 𝛼𝑉2
2𝑔
Si el ángulo es
pequeño: 𝑦 ≈ 𝑑cos 𝜃
Luego:
……(1)
«Es» es la energía relativa al fondo
del canal
𝑍 = 0
ENERGIA ESPECIFICA
(Es)
Luego en (1) y un ángulo pequeño:
Es = 𝑦 + 𝛼𝑉2
2𝑔 ……(2)
Por continuidad:
……(3) Es = 𝑦 + 𝛼
𝑄2
2𝑔𝐴2
La ecuac. (3) tiene tres variables: Es, y, Q
Si Q es una constante, entonces: Es una
función de y.
Graficando para Q=cte, se tiene:
ENERGIA ESPECIFICA (Es)
Se sabe que:
Es = 𝑦 + 𝛼𝑄2
2𝑔𝐴2 ……(3)
𝑑𝐸𝑠
𝑑𝑦= 0 ⇒ 𝛼
𝑄2
𝑔=
𝐴𝐶3
𝑇𝐶
Se obtiene una curva de dos ramas,
lo cual se puede apreciar del
siguiente análisis:
Derivando la ecuac.(3), Es mínimo:
Son tirantes alternos: y1 y y2 para un Es:
Es decir, E → ∞ cuando y → 0 así
como cuando y → ∞, lo que indica que
para valores del intervalo 0 < y < ∞,
habrán valores definidos de E, y que
debe haber un valor mínimo de E.
Emin
𝐸𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝑦𝑐 + 𝛼𝑄2
2𝑔𝐴𝐶2 …(5) De Ecua (4) en (3):
ECUAC. DE FLUJO
CRITICO …... (4):
𝑉2
2𝑔>
𝑉𝐶2
2𝑔
𝑉2
2𝑔<
𝑉𝐶2
2𝑔
𝐸 < 𝐸𝑚𝑖𝑛
(flujo supercrítico)
𝐸1 = 𝐸2
𝑦2 > 𝑦𝑐
(flujo subcrítico)
𝑦1 < 𝑦𝑐
Tirantes alternos:
y1 y y2
GRAFICA DE LA ENERGÍA ESPECIFICA A GASTO CONSTANTE
No hay flujo
posible del gasto Q
F<1
F>1
(flujo Crítico)
F=1 y = 𝑦𝑐
F=𝑉
𝑔𝐴/𝑇
Numero de froude
FLUJO CRÍTICO
El estado crítico de flujo ha sido definido como la condición para la
cual el número de Froude es igual a la unidad (F=1). Es el estado
de flujo para el cual la energía específica es mínima para un caudal
determinado.
Es el caudal máximo para una energía
específica determinada, o el caudal que
se producirá con la energía específica
mínima.
Es el tirante hidráulico que existe cuando
el caudal es el máximo para una energía
específica determinada, o el tirante al
que ocurre un caudal determinado con la
energía específica mínima.
La velocidad media cuando el caudal es
el crítico.
CAUDAL CRÍTICO
TIRANTE CRÍTICO
VELOCIDAD CRÍTICA
Es el valor particular de la pendiente del
fondo del canal para la cual este
conduce un caudal Q en régimen
uniforme y con energía específica
mínima, o sea, que en todas sus
secciones se tiene el tirante crítico.
PENDIENTE CRÍTICA
RÉGIMEN SUBCRÍTICO
Son las condiciones hidráulicas en las que
los tirantes son mayores que los críticos, las
velocidades menores que las críticas y los
números de Froude menores que 1. Es un
régimen lento, tranquilo, fluvial, adecuado
para canales principales o de navegación.
RÉGIMEN SUPERCRÍTICO
Son las condiciones hidráulicas en las
que los tirantes son menores que los
críticos, las velocidades mayores que
las críticas y los números de Froude
mayores 1. Es un régimen rápido,
torrencial, pero perfectamente estable,
puede usarse en canales revestidos.
𝛼𝑄2
𝑔=
𝐴𝐶3
𝑇𝐶
Fuente: hidráulica de tuberías y canales - Arturo rocha
SECCIONES CRITICAS
Curvas para determinar el tirante crítico, en secciones rectangulares,
trapezoidales y circulares
Curvas para determinar el tirante crítico, (1) para secciones circulares,
(2) herradura, (3) ovoide con punta hacia arriba y (4) ovoide con punta
hacia abajo.
Ejemplo
Solución numérica de la ecuación de flujo critico
Determinar el tirante critico de un canal trapezoidal que conduce 11.32 m3/s,
ancho de la base 6.0m, talud Z=2 y coeficiente de coriolis igual a 1, empleando
los siguientes métodos:
A) Método grafico
B) Método numérico Newton - Raphson
C) Formula de Straub
𝑏 = 6 𝑧 = 2
𝑐
Solución numérica de la ecuación de flujo critico
Del parámetro:
A) Método grafico :
𝑍 =𝑄
𝑔𝛼
Luego:
De los datos:
𝑍
𝑏2.5 =𝑄
𝑏2.5 𝑔𝛼
𝑍
𝑏2.5 =11.32
62.5 9.811.0
= 0.041
𝑍 = 2
𝑦
𝑏= 0.115
y = 0.115 ∗ 𝑏
y = 0.115 ∗ 6 = 0.69𝑚
b) Método de Newton - Raphson
Solución numérica de la ecuación de flujo critico
De la ecuación de flujo critico:
Llamando:
𝛼𝑄2
𝑔=
𝐴3
𝑇
𝐴3 − 𝛼𝑄2
𝑔𝑇 = 0
𝑓(𝑦) = 𝐴3 − 𝛼𝑄2
𝑔𝑇
𝑓′(𝑦) = 3𝐴2𝑑𝐴
𝑑𝑦− 𝛼
𝑄2
𝑔
𝑑𝑇
𝑑𝑦
Donde: 𝐴 = 𝑏 + 𝑧𝑦𝐶 𝑦𝐶
T = 𝑏 + 2𝑧𝑦𝐶
Derivando:
𝑑𝐴
𝑑𝑦𝐶= 𝑏 + 2𝑧𝑦𝐶
𝑑𝑇
𝑑𝑦𝐶= 2𝑧
Solución numérica de la ecuación de flujo critico
Tabulando los resultados:
La ecuación de Newton Raphson:
𝑦c+1 = 𝑦𝑐 −𝑓(𝑦c)
𝑓′(𝑦𝑐)
𝑏 = 6 𝑧 = 2
𝑐
0.6602
0.6602
Yc(i + 1)
1.1461
0.8903
0.7336
0.6702
0.6604
553.1640.0007 0.6602 4.8327 8.6407 8.6407 4.0000
6 0.6604 4.8346 8.6416 8.6416 4.0000 0.120 553.694
752.082
5 0.6702 4.9196 8.6808 8.6808 4.0000 5.674 578.044
207.539 1324.248
4 0.7336 5.4780 8.9344 8.9344 4.0000 47.683
3 0.8903 6.9274 9.5613 9.5613 4.0000
2 1.1461 9.5034 10.5843 10.5843 4.0000 720.039 2815.498
f'(Yci)
1 1.5000 13.5000 12.0000 12.0000 4.0000 2303.626 6508.750
N° Yci A dA / dY T dT / dY f(Yci)
Luego Yc = 0.66 m
𝑓(𝑦) = 𝐴3 − 𝛼𝑄2
𝑔𝑇
𝑓′(𝑦) = 3𝐴2𝑑𝐴
𝑑𝑦− 𝛼
𝑄2
𝑔
𝑑𝑇
𝑑𝑦
Grafica del canal analizado
METODO COMPUTACIONAL
𝑓(𝑦) = 𝐴3 − 𝛼𝑄2
𝑔𝑇 𝑓′(𝑦) = 3𝐴2
𝑑𝐴
𝑑𝑦− 𝛼
𝑄2
𝑔
𝑑𝑇
𝑑𝑦 𝑦c+1 = 𝑦𝑐 −
𝑓(𝑦c)
𝑓′(𝑦𝑐)
c) Formula semi empírica de Straub:
Se tiene
que: 𝑦𝐶 = 0.81𝜑
𝑧0.75𝑏1.25
0.27
−𝑏
30𝑧
Donde:
𝜑 = 𝛼𝑄2
𝑔
De los datos:
𝛼 = 1.0 Q = 11.32 m3/s g = 9.81 m/s2
𝜑 = 1.011.322
9.81= 13.062
Evaluando:
𝑄
𝑏2.5 =11.32
62.5 = 0.128 ∈ 0.1; 0.4 𝑦𝐶 = 0.8113.062
20.75 ∗ 61.25
0.27
−6
30 ∗ 2
𝒚𝑪 = 𝟎. 𝟔𝟕 𝒎
Solución numérica de la ecuación de flujo critico
DETERMINACIÓN DEL
TIRANTE CRITICO:
ECUACIONES
SEMI –
EMPÍRICAS DE
STRAUB 1982