clase viii

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ING. KENNEDY R. GOMEZ TUNQUE [email protected] UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERIA E.A.P DE CIVIL (HUANCAVELICA)

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Page 1: Clase VIII

ING. KENNEDY R. GOMEZ TUNQUE

[email protected]

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA

FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERIA

E.A.P DE CIVIL (HUANCAVELICA)

Page 2: Clase VIII

Para la línea de corriente

que pasa por A

E = 𝑍𝐴 + 𝑑 cos 𝜃 +𝑉𝐴

2

2𝑔

ECUACIÓN DE LA ENERGIA

E = z + 𝑦 +𝑉 2

2𝑔

Para el tubo de corriente en la

sección

E = 𝑍 + 𝑑 cos 𝜃 + 𝛼𝑉2

2𝑔

Si el ángulo es

pequeño: 𝑦 ≈ 𝑑cos 𝜃

Luego:

……(1)

Page 3: Clase VIII

«Es» es la energía relativa al fondo

del canal

𝑍 = 0

ENERGIA ESPECIFICA

(Es)

Luego en (1) y un ángulo pequeño:

Es = 𝑦 + 𝛼𝑉2

2𝑔 ……(2)

Por continuidad:

……(3) Es = 𝑦 + 𝛼

𝑄2

2𝑔𝐴2

Page 4: Clase VIII

La ecuac. (3) tiene tres variables: Es, y, Q

Si Q es una constante, entonces: Es una

función de y.

Graficando para Q=cte, se tiene:

ENERGIA ESPECIFICA (Es)

Se sabe que:

Es = 𝑦 + 𝛼𝑄2

2𝑔𝐴2 ……(3)

𝑑𝐸𝑠

𝑑𝑦= 0 ⇒ 𝛼

𝑄2

𝑔=

𝐴𝐶3

𝑇𝐶

Se obtiene una curva de dos ramas,

lo cual se puede apreciar del

siguiente análisis:

Derivando la ecuac.(3), Es mínimo:

Son tirantes alternos: y1 y y2 para un Es:

Es decir, E → ∞ cuando y → 0 así

como cuando y → ∞, lo que indica que

para valores del intervalo 0 < y < ∞,

habrán valores definidos de E, y que

debe haber un valor mínimo de E.

Emin

𝐸𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝑦𝑐 + 𝛼𝑄2

2𝑔𝐴𝐶2 …(5) De Ecua (4) en (3):

ECUAC. DE FLUJO

CRITICO …... (4):

Page 5: Clase VIII

𝑉2

2𝑔>

𝑉𝐶2

2𝑔

𝑉2

2𝑔<

𝑉𝐶2

2𝑔

𝐸 < 𝐸𝑚𝑖𝑛

(flujo supercrítico)

𝐸1 = 𝐸2

𝑦2 > 𝑦𝑐

(flujo subcrítico)

𝑦1 < 𝑦𝑐

Tirantes alternos:

y1 y y2

GRAFICA DE LA ENERGÍA ESPECIFICA A GASTO CONSTANTE

No hay flujo

posible del gasto Q

F<1

F>1

(flujo Crítico)

F=1 y = 𝑦𝑐

F=𝑉

𝑔𝐴/𝑇

Numero de froude

Page 6: Clase VIII

FLUJO CRÍTICO

El estado crítico de flujo ha sido definido como la condición para la

cual el número de Froude es igual a la unidad (F=1). Es el estado

de flujo para el cual la energía específica es mínima para un caudal

determinado.

Es el caudal máximo para una energía

específica determinada, o el caudal que

se producirá con la energía específica

mínima.

Es el tirante hidráulico que existe cuando

el caudal es el máximo para una energía

específica determinada, o el tirante al

que ocurre un caudal determinado con la

energía específica mínima.

La velocidad media cuando el caudal es

el crítico.

CAUDAL CRÍTICO

TIRANTE CRÍTICO

VELOCIDAD CRÍTICA

Es el valor particular de la pendiente del

fondo del canal para la cual este

conduce un caudal Q en régimen

uniforme y con energía específica

mínima, o sea, que en todas sus

secciones se tiene el tirante crítico.

PENDIENTE CRÍTICA

RÉGIMEN SUBCRÍTICO

Son las condiciones hidráulicas en las que

los tirantes son mayores que los críticos, las

velocidades menores que las críticas y los

números de Froude menores que 1. Es un

régimen lento, tranquilo, fluvial, adecuado

para canales principales o de navegación.

RÉGIMEN SUPERCRÍTICO

Son las condiciones hidráulicas en las

que los tirantes son menores que los

críticos, las velocidades mayores que

las críticas y los números de Froude

mayores 1. Es un régimen rápido,

torrencial, pero perfectamente estable,

puede usarse en canales revestidos.

𝛼𝑄2

𝑔=

𝐴𝐶3

𝑇𝐶

Page 7: Clase VIII

Fuente: hidráulica de tuberías y canales - Arturo rocha

SECCIONES CRITICAS

Page 8: Clase VIII

Curvas para determinar el tirante crítico, en secciones rectangulares,

trapezoidales y circulares

Page 9: Clase VIII

Curvas para determinar el tirante crítico, (1) para secciones circulares,

(2) herradura, (3) ovoide con punta hacia arriba y (4) ovoide con punta

hacia abajo.

Page 10: Clase VIII

Ejemplo

Solución numérica de la ecuación de flujo critico

Determinar el tirante critico de un canal trapezoidal que conduce 11.32 m3/s,

ancho de la base 6.0m, talud Z=2 y coeficiente de coriolis igual a 1, empleando

los siguientes métodos:

A) Método grafico

B) Método numérico Newton - Raphson

C) Formula de Straub

𝑏 = 6 𝑧 = 2

𝑐

Page 11: Clase VIII

Solución numérica de la ecuación de flujo critico

Del parámetro:

A) Método grafico :

𝑍 =𝑄

𝑔𝛼

Luego:

De los datos:

𝑍

𝑏2.5 =𝑄

𝑏2.5 𝑔𝛼

𝑍

𝑏2.5 =11.32

62.5 9.811.0

= 0.041

𝑍 = 2

𝑦

𝑏= 0.115

y = 0.115 ∗ 𝑏

y = 0.115 ∗ 6 = 0.69𝑚

Page 12: Clase VIII

b) Método de Newton - Raphson

Solución numérica de la ecuación de flujo critico

De la ecuación de flujo critico:

Llamando:

𝛼𝑄2

𝑔=

𝐴3

𝑇

𝐴3 − 𝛼𝑄2

𝑔𝑇 = 0

𝑓(𝑦) = 𝐴3 − 𝛼𝑄2

𝑔𝑇

𝑓′(𝑦) = 3𝐴2𝑑𝐴

𝑑𝑦− 𝛼

𝑄2

𝑔

𝑑𝑇

𝑑𝑦

Donde: 𝐴 = 𝑏 + 𝑧𝑦𝐶 𝑦𝐶

T = 𝑏 + 2𝑧𝑦𝐶

Derivando:

𝑑𝐴

𝑑𝑦𝐶= 𝑏 + 2𝑧𝑦𝐶

𝑑𝑇

𝑑𝑦𝐶= 2𝑧

Page 13: Clase VIII

Solución numérica de la ecuación de flujo critico

Tabulando los resultados:

La ecuación de Newton Raphson:

𝑦c+1 = 𝑦𝑐 −𝑓(𝑦c)

𝑓′(𝑦𝑐)

𝑏 = 6 𝑧 = 2

𝑐

0.6602

0.6602

Yc(i + 1)

1.1461

0.8903

0.7336

0.6702

0.6604

553.1640.0007 0.6602 4.8327 8.6407 8.6407 4.0000

6 0.6604 4.8346 8.6416 8.6416 4.0000 0.120 553.694

752.082

5 0.6702 4.9196 8.6808 8.6808 4.0000 5.674 578.044

207.539 1324.248

4 0.7336 5.4780 8.9344 8.9344 4.0000 47.683

3 0.8903 6.9274 9.5613 9.5613 4.0000

2 1.1461 9.5034 10.5843 10.5843 4.0000 720.039 2815.498

f'(Yci)

1 1.5000 13.5000 12.0000 12.0000 4.0000 2303.626 6508.750

N° Yci A dA / dY T dT / dY f(Yci)

Luego Yc = 0.66 m

𝑓(𝑦) = 𝐴3 − 𝛼𝑄2

𝑔𝑇

𝑓′(𝑦) = 3𝐴2𝑑𝐴

𝑑𝑦− 𝛼

𝑄2

𝑔

𝑑𝑇

𝑑𝑦

Page 14: Clase VIII

Grafica del canal analizado

METODO COMPUTACIONAL

𝑓(𝑦) = 𝐴3 − 𝛼𝑄2

𝑔𝑇 𝑓′(𝑦) = 3𝐴2

𝑑𝐴

𝑑𝑦− 𝛼

𝑄2

𝑔

𝑑𝑇

𝑑𝑦 𝑦c+1 = 𝑦𝑐 −

𝑓(𝑦c)

𝑓′(𝑦𝑐)

Page 15: Clase VIII

c) Formula semi empírica de Straub:

Se tiene

que: 𝑦𝐶 = 0.81𝜑

𝑧0.75𝑏1.25

0.27

−𝑏

30𝑧

Donde:

𝜑 = 𝛼𝑄2

𝑔

De los datos:

𝛼 = 1.0 Q = 11.32 m3/s g = 9.81 m/s2

𝜑 = 1.011.322

9.81= 13.062

Evaluando:

𝑄

𝑏2.5 =11.32

62.5 = 0.128 ∈ 0.1; 0.4 𝑦𝐶 = 0.8113.062

20.75 ∗ 61.25

0.27

−6

30 ∗ 2

𝒚𝑪 = 𝟎. 𝟔𝟕 𝒎

Solución numérica de la ecuación de flujo critico

Page 16: Clase VIII

DETERMINACIÓN DEL

TIRANTE CRITICO:

ECUACIONES

SEMI –

EMPÍRICAS DE

STRAUB 1982