clase 05 economia para ing 2016 i

33
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL IX CICLO 2016 I CLASE Nº 05 Docent e: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO Email: mhamwil@gmail. com Blog: htpp:/ingha miltonwilson.blogspot.com E m a il: mham w il @peru.c o m Tel éf.. (51) (056) - 225924 1

Upload: mag-ing-m-hamilton-wilson-huamanchumo

Post on 01-Mar-2018

236 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 1/33

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

IX CICLO – 2016 – I

CLASE Nº 05

Docent e : MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMOE m ai l : m h a m w i l @g m a i l .c o m B l o g : h t p p : / i n g h am i l t o n w i l s o n . b l o g s p o t . c o mEm ai l : m h am w i l @p er u .c o m Teléf.. (51) (056) - 225924

1

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 2/33

2

“ Uno de los conceptos básicos de las técnicas deanálisis y evaluación de inversiones, es la noción de

que el dinero tiene un valor en el tiempo”  Si S/. 100 se guarda en una caja y se almacena en la casa, los S/.100

originales pueden ser recuperados en cualquier fecha. Sin embargo, si los

mismos S/.100 se colocan en una “aventura económica” (nueva empresa,cuenta bancaria, etc.) no solamente recuperará los S/.100 sino unrendimiento adicional (interés).

 La cantidad total de interés varía con el tiempo durante el cual el dinero es

invertido y también sobre la tasa de interés ó rendimiento esperado.

  La tasa de interés es función del riesgo.

“Dejando al margen el efecto de la variación del nivel de precios

(inflación), $1 hoy vale más que $1 en el futuro”

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 3/33

3

“ Un dólar recibido hoy puede invertirse inmediatamente paraganar interés, pero un dólar futuro no puede generar interéssino cuando recién se haya recibido”

“ Un monto de dinero hoy, ganará una cantidad en el futuro

dependiendo de lo que se haya hecho con él, de la tasa deinterés y del tiempo involucrado”

PRIMER FUNDAMENTO: de estas equivalencias, el uso del interés compuesto;

que el interés ganado por un capital original es adicionado y se convierte en partedel capital al final de cierto periodo; es decir, en subsecuentes periodos de interésse gana tanto sobre el capital original como sobre el interés ganado en periodosanteriores, esta modalidad también se conoce como la capitalización de intereses.

EL SEGUNDO FUNDAMENTO,   debe entenderse, que se refiere a la equivalenciade las relaciones matemáticas. Por ejemplo, $100 de hoy es equivalente a $110de mañana, siempre que gane un ratio de interés del 10% en el periodo de unaño; y finalmente da varios flujos de dinero en diferentes épocas, éstos no puedensumarse ni restarse, sólo se suman o restan dinero de la misma época.

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 4/33

EL INTERÉS Y EL PERIODO DE CAPITALIZACIONInterés es el pago que se hace al propietario del

capital por el uso del dinero.

Cuando una persona deposita dinero en el banco, de hecho le estáprestando ese dinero para que éste lo use, por tanto, el bancodebe pagar cierto interés al propietario del dinero.

En ingeniería económica al interés se le designa con la letra i.

El pago de interés siempre está asociado a un periodo de tiempo.

Cuando un banco ofrece a sus ahorradores 20 % de interés anualsignifica que el ahorrador deberá dejar su dinero depositado por miperiodo de un año exacto para percibir el interés ofrecido.

4

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 5/33

EL INTERÉS Y EL PERIODO DE CAPITALIZACIONEl periodo mínimo necesario para que se pueda cobrar un interés sellama periodo de capitalización.

Si una persona le presta a otra S/. 1000 al 10 % de interés pero con lacondición de liquidar tanto los S/. 1000 como el interés de S/. 100 alcabo de una semana, el periodo de capitalización del que presta es deuna semana.

Se llama periodo de capitalización porque a su término ya se tiene oya se formó más capital.

 Así, quien prestó S/. 1000 al 10 % de interés semanal tendrá S/. 1100

en una semana.

De igual forma, si otra persona deposita S/. 1000 en un banco quepaga 20 % de interés anual, pasado el periodo de capitalización de un

año, su capital habrá aumentado de S/. 1000 a S/. 1200. 5

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 6/33

Caso 1. Una persona presta S/. 3,500 con la condición de que le paguen S/.4,025 al cabo de un año. ¿Cuál es la tasa de interés anual que cobra elprestamista?

SOLUCIÓN.

Para encontrar una fórmula que permita hacer este cálculo;

Determinamos el Interés cobrado;

(F- P) = 4025 – 3500 = 525Se divide la cantidad de interés cobrado sobre la cantidad original, lo cual, sise multiplica por 100, determinará el porcentaje de ganancia sobre lacantidad original, o sea, la tasa de interés correspondiente a ese periodo.

6

1001100

P

F  x

 p

PF i     %151001

3500

4025

  xi

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 7/33

SOLUCION. Como se cobra interés simple, esto significa que cada año, seacumularán intereses por S/. 525, aunque no se efectúe ningún pago alpropietario del dinero, por tanto, la suma pagada al final del año 4 será:

F = 3,500 + 525 x 4 = 5,600

 Aunque se han desarrollado fórmulas para este tipo de cálculos, actualmente elinterés simple dejó de aplicarse en los negocios desde hace mucho tiempo, por loque la utilidad de dichas fórmulas es nula en la actualidad.

7

INTERÉS SIMPLESe llama interés simple al que, por el uso del dinero a través de varios

periodos de capitalización, no se cobra interés sobre el interés que se debe.

CASO 2.El prestamista del Caso anterior cobra interés simple en sus operaciones.

Si presta S/. 3500 durante cuatro años al 15% de interés anual y acuerda quetanto el capital como los intereses se pagarán en una sola suma al final de los

cuatro años, ¿a cuánto asciende este único pago?

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 8/33

SOLUCION.

El banco calculara el saldo del ahorrador al final del año cuarto:1. Se deposita el dinero en el periodo cero, y al final del primer año los S/. 3,500

habrán ganado 3,500 x 0.15 = 525, siendo:

F1 = 3,500 + 3,500 (0.15) = 4,025

2. El ahorrador inicia el año 2 con S/. 4025 y sobre esta cantidad vuelve a ganar otro 15 %, por lo que al final de ese año habrá acumulado:

F2 = 4,025 + 4,025 (0.15) = 4,628.758

Fórmulas de Interés CapitalizadoCASO 2.

Un propietario del dinero en vez de prestar su dinero al 15 % de interés simple anualdurante cuatro años, decide depositarlo, es decir, prestarlo a un banco, que paga uninterés del 15 % capitalizado anualmente, también por un periodo de cuatro años.¿Cuánto tendrá acumulado al final del año cuarto?

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 9/33

......Continúa.

3. Bajo el mismo razonamiento, al final del año tres habrá acumulado:

F3 = 4628.75 + 4628.75 (0.15) = 5323.06

4. Y al final del cuarto año habrá acumulado:F4 = 5323.06 + 5323.06 (0.15) = 6121.52

9

Obsérvese cómo sobre el interés ganado cada año se vuelve a ganar más

interés, de ahí el nombre de INTERÉS CAPITALIZADO, lo que significaque a partir de un interés ganado se produce o se gana más capital.

El hecho más importante de este tipo de interés es que, de los datos del

Caso, aplicando INTERÉS SIMPLE, la suma acumulada al final del añocuarto es de tan sólo S/. 5600, mientras que, aplicando al dinero el interéscapitalizado la suma al final de los cuatro años se eleva a S/. 6121.52, locual representa una gran diferencia en ganancia.

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 10/33

......Por lo Tanto; .

Sean: Fn = la cantidad acumulada al final del periodo n

i = la tasa de interés

n = periodo de capitalización

P = la cantidad inicial depositada en el periodo cero

10

Si se deposita una cantidad P a una tasa de interés i durante un periodo de

capitalización n = 1, la cantidad F1 acumulada al final de ese periodo será:

F1 = P + Pi = P (1+i)1

Siguiendo exactamente el mismo razonamiento utilizado en el Caso para

calcular las Fn, la cantidad F2   acumulada al final del periodo de

capitalización 2 (n = 2) será:

F2 = P + Pi + (P + Pi)i

P + Pi es la cantidad acumulada al final del periodo 1 y por tanto es la inicial

del periodo 2.

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 11/33

11

Multiplicando y factorizando se obtiene:

F2=P+ Pi + Pi +Pi2 = P(1 +2i +i2) = P ( 1 + i )2

Del mismo modo, la cantidad F3 acumulada al final del periodo 3 despuésde multiplicar y factorizar es:

F3 = P+ Pi + Pi + Pi2 + (P + 2Pi + Pi2) i =

= P + 2Pi + Pi2 + Pi + 2Pi2 + Pi3= P + 3Pi + 3Pi2 + Pi3 == P(1+3i+3i2+i3) = P ( 1 + i )3

Las fórmulas que el exponente de F1 es 1, de F2 es 2 y de F3 es 3, lo cual se

puede generalizar como:

Fn = P ( 1 + i )n

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 12/33

12

 Aplicando la fórmula para calcular las Fn del ejemplo:

F1 = 3500 (1 + 0.15)1 = 4025.00

F2 = 3500 (1 + 0.15)2 = 4628.75

F3 = 3500 (1 + 0.15)3 = 5323.06

F4 = 3500 (1 + 0.15)4 = 6121.52

Estos resultados demuestran que se cuenta con una fórmula básica que

refleja exactamente la aplicación práctica del interés capitalizado.

Si en vez de transferir el valor del dinero del presente al futuro se desea

hacerlo a la inversa del futuro al presente, basta con despejar P de la

formula:

nn

i

F P

1

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 13/33

  00.370,28

12.01

500005 

P

13

CASO 3.Una persona espera recibir una herencia dentro de cinco años por un total de S/.50000. Si la tasa de interés es de 12 % anual capitalizado cada año, ¿A cuántoequivalen los S/. 50000 al día de hoy?

SOLUCION.

Datos son Fn = 50,000 o F = 50,000, i = 12 %, n = 5.

Utilizando la fórmula:

P = ?

2 4 5

F = S/. 50,000

1 3

0

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 14/33

SOLUCION.

Sea A el pago anual uniforme; P = S/. 100,000 o el valor presente que tiene la

casa; n = 10 pagos; i= 10 %. 14

SERIE UNIFORME DE PAGOS Y SU RELACIÓNCON EL PRESENTE (P)

CASO 4.Una persona compró una casa por S/. 100,000 y decidió pagarla en 10 anualidadesiguales, haciendo el primer pago un año después de adquirida la casa. Si la inmobiliariacobra un interés del 10 % capitalizando anualmente, ¿a cuánto ascienden los pagos

iguales anuales que deberán hacerse, de forma que con el último pago se liquidetotalmente la deuda?

Existen multitud de ocasiones en la vida cotidiana en que la forma de pago común es la

aportación de una serie de cantidades iguales durante ciertos periodos.

Cuando se desea comprar a crédito de autos, casas o muebles, la forma usual de pagoson 12, 24, 36 o más mensualidades iguales se tiene que usar las mismas fórmulasbásicas.

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 15/33

15

El diagrama de flujo de efectivo para el vendedor es la gráfica:

P = 100,000

0

A A A A A A A A A A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Para plantear una ecuación que resuelva este problema se utiliza la fórmula.

Pero aquí se tienen 10 cantidades futuras con respecto al presente, con laparticularidad de que todas son iguales y desconocidas.

La ecuación que iguala los S/. 100,000 en el presente a las diez A en cadauno de los diez años futuros es:

P1 = P2 = P3 = ............. = P10 = A

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 16/33

16

Resolviendo:

Factorizando y despejando:

 

  7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1.011.011.011.011.011.011.01000,100

  PPPPPPP

1010

99

88

1.011.011.01  

  PPP

 

  1093211.01

1

1.01

1........

1.01

1

1.01

1

1.01

1000,100   A

de donde A = 16,274.54.

Hay que observar dos cosas importantes en este problema, se designa

como A al Pago Anual Uniforme que se efectúa.

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 17/33

17

 A  será sinónimo de pago uniforme sin importar la frecuencia con que éstese efectúe.

Para simplificar la solución de problemas de este tipo se ha desarrollado

una fórmula.

Para obtener la fórmula que simplifique la obtención del resultado delproblema, se parte de la siguiente generalización:

a) El valor presente es conocido.

b) Se desconoce el valor de n pagos iguales llamados A.

c) El primer pago se efectúa en el periodo 1 y el último pago, en elperiodo n.

d) Los pagos no se suspenden en el transcurso de los n periodos.

La fórmula es:

 

11

1n

n

i

iiP A

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 18/33

SOLUCION.

Los datos son: P = 100,000; n = 10; i = 10 %. Sustituyendo en la fórmula se

tiene:

18

CASO 5.

Resuélvase el Caso 4, pero ahora empleando la fórmula;.

  54.274,1611.01

1.011.0000,100

10

10

 A

Vemos que el Caso 4 se planteó de que el primer pago se hiciera en el año 1 y elúltimo en el periodo n (Año 10).

Si cualquiera de estas condiciones no se cumple, el uso de la fórmula se invalida,

como podría suceder al empezar a pagar en el año 2, aunque se hicieran 10 pagos;

o bien, si se hicieran 10 pagos y se suspendiera un año el pago para liquidar 

totalmente la deuda en el año 11.

Por lo demás, se puede demostrar que haciendo 10 pagos de S/. 16,274.54 en

forma continua durante 10 periodos consecutivos, con el último pago se liquida

totalmente la deuda de 100,000 si la tasa de interés es de 10 %.

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 19/33

19

DEMOSTRACIÓN:En el periodo cero se deben S/.100000; al final del año 1 se deberán;

100,000 x 1.1 = 110,000

Pero en ese mismo momento se hace el primer pago, por lo que la deuda alfinal del año 1 será:

110,000 – 16274.54 = 93,725.46

 Al final del año 2, dado que se cobra un interés de 10 % se deberán;93,725.46 x 1.1 = 10,3098

y se efectúa en ese momento el segundo pago, y así sucesivamente.

Para observar los movimientos de efectivo durante los 10 años, se puedeconstruir la tabla siguiente:

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 20/33

20

TABLA DE DEMOSTRACIÓN DE PAGO DE DEUDA:

AMORTIZACION DE PAGOS UNIFORMES

 AÑO Interés Deuda + Interés Pago a fin de Año Deuda despues del pago

0 100000

1 10 000 110 000 16 274.54 93725.46

2 9372.54 103 098 16 274.54 86823.46

3 8682.34 95 505.80 16 274.54 79231.26

4 7923.12 87154.39 16 274.54 70879.85

5 7087.98 77967.83 16 274.54 61693.30

6 6169.33 67862.62 16 274.54 54588.08

7 5180.80 56746.89 16 274.54 40472.35

8 4047.23 44519.59 16 274.54 28245.04

9 2824.50 31069.55 16 274.54 14795.01

10 1479.50 16274.51 16 274.54 -.003

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 21/33

21

DE LA TABLA:De la tabla es evidente que con el último pago hecho en el año 10 se liquidatotalmente la deuda.

Una serie uniforme de pagos y el valor presente de una cantidad se pueden

relacionar inversamente con respecto al ejemplo mostrado, es decir, en unproblema cualquiera se pueden conocer los pagos uniformes y desconocer elpresente.

Se puede utilizar la misma formula si se desea simplificar el cálculo; De estemodo, si se despeja P de la fórmula se obtiene:

 

n

n

ii

i

 AP 1

11

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 22/33

22

CASO 6.

Una ama de casa compra a crédito una lavadora y acuerda pagarla en 12pagos iguales mensuales de S/. 95.00 comenzando dentro de un mes.

Si el proveedor cobra un interés del 2 % mensual en sus ventas a crédito,

¿cuál es el valor de contado de la lavadora?SOLUCION.

Los datos del problema son : A = 95.00; i = 2 %, n = 12.

El diagrama de flujo es el de la gráfica;

P = ?

2 4 5

95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95

1 3

0

6 7 8 9 10 11 12

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 23/33

23

Si se desea emplear la fórmula básica considere a cada A como un futuro, Fn yhabrá que trasladar cada uno a su valor equivalente en el periodo cero.

En este ejemplo se puede observar que la A  no necesariamente es un pago

anual y que los periodos de capitalización ni tampoco se cuantifican por necesidad en años;

Observación; los datos del problema están dados en meses, pero ello no invalidala aplicación de las fórmulas dadas. El interés también se da mensualmente,semanalmente en conclusión es por periodos.

12112102.01

95

02.01

95..........

02.01

95

02.01

95

P

 

  121121

02.01

95

02.01

95..........

02.01

95

02.01

9595P

  65.100402.0102.0

102.0195

12

12

P

Si se desea acortar el cálculo, utilizamos la fórmula:

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 24/33

SOLUCION.

Los datos del problema son: A = 800; i = 12 %; n = 9. El diagrama de flujo delproblema es el de la gráfica siguiente;

24

SERIE UNIFORME DE PAGOS Y SU RELACIÓNCON EL FUTURO (F)

CASO 7.

Si una persona ahorra S/. 800 cada año en un banco que paga el 12 % deinterés capitalizado anualmente, ¿cuánto tendrá ahorrado al finalizar el

noveno año, luego de hacer nueve depósitos de fin de año?

En la vida cotidiana existen problemas en que se relaciona el futuro con una

serie de pagos iguales, por tanto, es necesario contar con fórmulas que

ayuden a la solución de estos problemas.

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 25/33

25

Si se desea utilizar la fórmula básica considérese que cada pago de S/. 800 es unpresente P que debe trasladarse a su valor equivalente en el futuro, cada uno adiferente número de periodos.

El cálculo es:

F =?

3 5 6

800 800 800 800 800 800 800 800 800

2 41 7 8 9

GRAFICA DEL DIAGRAMA DE FLUJO.

    45678

12.0180012.0180012.0180012.0180012.01800F 

012312.0180012.0180012.0180012.01800  

  8.11820776.14800   F 

niPF      1

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 26/33

  F = ?

0 1 2 3 n - 1 n

A A A A A

26

Es importante señalar que el primer pago de S/. 800 en el periodo 1 se

traslada al futuro ocho periodos; el último pago en el año nueve se eleva a la

potencia cero puesto que ya está en el año futuro que se desea, es decir, el

año nueve, por lo que ya no gana interés.

Para simplificar este cálculo se ha desarrollado la siguiente fórmula:

El diagrama generalizado de la fórmula es la gráfica siguiente:

 

i

i AF 

n11

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 27/33

27

La aplicación de la fórmula tiene las siguientes restricciones:

1. El pago de la primera A siempre se efectúa en el periodo uno y no en elperiodo cero.

2. El último pago se verifica en el periodo n, es decir, en el momento en el

que se calcula la F, por tanto, la última A ya no gana interés.

3. Los pagos de A son continuos, del periodo 1 al periodo n.

Cualquier variación de estas condiciones en el problema hace que se

invalide la aplicación de la fórmula.

Formula deducida si se conoce el valor de F; el valor de A será:

 

11

  ni

iF  A

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 28/33

28

CASO 7B.

Resuélvase el caso 7 en la aplicación de la fórmula.

SOLUCION.

Como el ejemplo 7 está planteado de tal forma que no viola las restriccionespara el empleo de la fórmula, se aplica directamente.

Los datos son: A=800; i=12%; n=9.

80.1182012.0

112.01800

9

  F 

Una serie de pagos uniformes también puede relacionarse en forma inversacon respecto al futuro, es decir, se conoce el futuro pero se desconoce elmonto de los pagos uniformes.

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 29/33

29

CASO 8.

Una persona desea contar con S/. 13,000 dentro de ocho años. Su intenciónpara obtener esta suma es ahorrar una cantidad igual cada año, empezandoel próximo fin de año, en un banco que paga el 7 % de interés capitalizadoanualmente.

¿A cuánto ascienden los depósitos iguales que deberá hacer los años 1 al 8para juntar los S/. 13,000?

SOLUCION.

Datos del problema: F8 = 13,000; n = 8; i = 7 %. F = 13,000

2 4 5

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8

1 30 6 7 8

A1 =

A2 =

A3 ………………...……=

A7 =

A8

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 30/33

30

Nuevamente existen dos formas de resolver el problema.

Si se emplea la fórmula básica, considerando cada A en el futuro del año 8, adiferentes lapsos, se tiene:

 

  4

4

5

3

6

2

7

1   07.0107.0107.0107.01000,13   A A A A

08

1

7

2

6

3

5  07.0107.0107.0107.01     A A A A

Factorizando y despejando;   08.267,1 AO bien, si se desea utilizar el cálculo simplificado de la fórmula dado que el

problema no viola ninguna de las restricciones de la fórmula, se tiene:

  08.267,1

107.01

07.0000,13

 A

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 31/33

31

DEMOSTRACIÓN:Para demostrar que, efectivamente, depositando 8 cantidades iguales de S/.1,267.08 al final del octavo periodo se han reunido S/. 13,000, se procedecomo sigue:

Se depositan los primeros S/. 1,267.08 al final del año 1, es decir, al principiar el periodo 2;

 Al finalizar el año 2 ese depósito habrá ganado 7 % de interés, con lo que sehabrá acumulado 1,267.08 x 1.07 = 1,355.775.

En ese momento se hace otro depósito de S/. 1,267.08, con lo cual setendrán 1,355.775 + 1,267.08 = 2,622.85, y así sucesivamente.

Esto se puede representar en el diagrama .

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 32/33

PERIODOMonto

AmortizadoCuota Acumulado

Interés

7%Monto

acumulado

1 0.00 1267.08 1267.08 88.6956 1355.7756

2 1355.7756 1267.08 2622.8556 183.5998 2806.4555

3 2806.4555 1267.08 4073.5355 285.1475 4358.6830

4 4358.6830 1267.08 5625.7630 393.8034 6019.5664

5 6019.5663 1267.08 7286.6464 510.0652 7796.7116

6 7796.7116 1267.08 9063.7976 634.4654 9698.2570

7 9698.2570 1267.08 10965.3371 767.5736 11732.9106

8 11732.9106 1267.08 12999.9906

32

DEMOSTRACIÓN:

CURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

7/26/2019 Clase 05 Economia Para Ing 2016 i

http://slidepdf.com/reader/full/clase-05-economia-para-ing-2016-i 33/33

!Seguimos trabajando

 hasta la Próxima Clase!

CURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO 33