chapter ii

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Teori Relativitas Einstein

Relativitas merupakan subjek yang penting yang berkaitan dengan pengukuran

(pengamatan) tentang di mana dan kapan suatu kejadian terjadi dan bagaimana

kejadian tersebut dianalisa atau diukur menurut suatu kerangka acuan yang bergerak

relatif terhadap kerangka yang lain. Topik tentang teori relativitas dibagi ke dalam dua

bagian, yakni Teori Relativitas Khusus (Special Theory of Relativity) dan Teori

Relativitas Umum (General Theory of Relativity).

Dalam teori relativitas khusus, subjek yang menjadi fokus adalah kerangka

acuan yang inersial, yaitu kerangka yang padanya hukum gerak Newton berlaku.

Sedangkan teori relativitas umum berkaitan dengan situasi yang lebih rumit dimana

kerangka acuannya mengalami percepatan gravitasi. Kedua teori tersebut dibuat untuk

menjelaskan bahwa gelombang elektromagnetik tidak sesuai dengan teori relativitas

klasik yang didasari konsep Galileo Galilei dan didefenisikan kembali oleh Sir Isasc

Newton melalui teori relativitas geraknya.

2.1.1 Teori Relativitas Khusus (TRK)

Pada tahun 1905, Albert Einstein mempublikasikan beberapa makalahnya yang salah

satunya berjudul,On the Electrodynamics of Moving Bodies (Elektrodinamika Benda

Bergerak). Makalah tersebut menyajikan teori relativitas khusus berdasarkan dua

postulatnya:

Universitas Sumatera Utara

1. Postulat Relativitas: Hukum-hukum fisika berlaku sama untuk setiap pengamat di

dalam kerangka acuan yang inersial.

2. Postulat Kelajuan Cahaya: Kelajuan cahaya dinyatakan dengan c yang bernilai

tetap pada semua kerangka acuan.

Hadirnya kedua postulat tersebut memunculkan teori-teori baru. Seperti pada

postulat pertamanya dikatakan bahwa jika hukum-hukum itu dibedakan, maka

perbedaan tersebut dapat membedakan satu kerangka acuan inersial dari kerangka

lainnnya. Disamping itu, yang tidak kalah baru adalah teori tentang ramalan mengenai

laju radiasi elektromagnetik yang diturunkan dari persamaan Maxwell. Menurut

analisis ini, cahaya dan semua gelombang elektromagnetik lain berjalan dalam ruang

hampa dengan laju konstan yang sekarang didefenisikan secara eksak sebesar

299.792.458 m/s atau biasa dituliskan dengan 3 x 108 m/s. Hal ini akan kita temukan

dalam ruang hampa yang memiliki peranan penting dalam teori relativitas Einstein.

Kehadiran kedua postulat tersebut juga sukses dalam memperluas cakupan

hukum-hukum gerak oleh Galileo yang terbatas di mekanika ke hukum-hukum

elektromagnetik dan optik. Hasil dari memperkenalkan teori relativitas khusus ini,

diperkenalkannya transformasi koordinat baru yang dinamakan Transformasi Lorentz

yang sesuai untuk laju tinggi.

2.1.1.1 Transformasi Lorentz

Transformasi Galileo mengenai koordinat, waktu dan kecepatan tidak taat

dengan kedua postulat Einstein. Meskipun transformasi Galileo sesuai dengan akal

sehat kita, ia tidak memberi hasil yang sesuai dengan berbagai percobaan pada laju

tinggi. Oleh karena itu, kita memerlukan seperangkat persamaan transformasi baru

yang dapat meramalkan berbagai efek relativistik seperti penyusutan panjang,

pemuluran waktu dan efek Doffler relativistik. Karena kita juga mengetahui bahwa

transformasi Galileo berlaku baik pada laju rendah, transformasi baru ini haruslah


memberikan hasil yang sama seperti transformasi Galileo apabila laju relatif antara

dan adalah rendah. (Krane, Kenneth S., 2006)

z

y

x

SS

z

y

x

v

Oo

Gambar 2.1 Kerangka acuan inersial dari S dan S

Transformasi yang memenuhi semua persyaratan ini dikenal dengan

transformasi Lorentz dan seperti halnya transformasi Galileo, ia mengaitkan koordinat

suatu peristiwa sebagaimana diamati dari kerangka dengan koordinat

peristiwa yang sama yang diamati dari kerangka acuan yang sedang

bergerak dengan kecepatan terhadap . Dengan menganggap bahwa gerak relatifnya

adalah sepanjang arah positif. Bentuk transformasi Lorentz ini adalah sebagai

berikut:

(2.1)

Persamaan (2.1) adalah transformasi koordinat Lorentz yang merupakan generalisasi

dari transformasi Galileo terdahulu . Untuk

nilai yang mendekati nol, akar-akar dalam penyebut . Namun, umumnya baik


koordinat ruang maupun waktu dari suatu peristiwa dalam suatu kerangka acuan

bergantung pada koordinat waktunya dalam kerangka acuan lainnya. Sekarang ruang

dan waktu telah menjadi saling jalin menjalin. Kita tidak dapat lagi mengatakan

bahwa panjang dan waktu mempunyai arti mutlak yang tidak tergantung kerangka

acuannya.

Bentuk-bentuk transformasi Lorentz pada (2.1) dapat digunakan untuk

menurunkan generalisasi relativitas sebagai efek penggunaan transformasi ini.

Diantaranya:

Pemuluran Waktu Relativistik yang mana waktu bergerak lebih lambat dari

penanda waktu yang berada dalam keadaan diam.

Kontraksi Panjang Lorentz,

Transformasi Kecepatan,

Bila untuk laju yang lebih kecil dari laju cahaya c dalam ruang hampa,

transformasi kecepatannya memperlihatkan kepada kita bahwa sebuah benda yang

bergerak dengan laju yang lebih kecil dari c dalam satu kerangka acuan selalu

mempunyai laju yang lebih kecil dari c dalam tiap-tiap kerangka acuan yang lain. Ini

merupakan alasan yang digunakan untuk menyimpulkan bahwa tidak ada benda yang

berjalan dengan laju yang sama atau lebih besar dari c dalam ruang hampa relatif

terhadap sembarang kerangka acuan inersial. (M. S. Longair, 1987)


2.1.1.2 Kerangka Acuan Inersial

Dengan adanya peta (atlas), setiap peristiwa mempunyai label berupa 4 bilangan real,

misalnya atau . Arti fisis dari atlas adalah suatu kerangka acuan

dengan sistem koordinat tertentu. Kerangka acuan terdiri atas partikel-partikel berlabel

yang dilengkapi dengan penanda waktu. Sebuah kerangka acuan dicirikan dengan

gerakan tertentu dari partikel-partikel penyusunnya, sedangkan cara pemberian label

menunjukkan sistem koordinat yang digunakan dalam kerangka acuan itu. Jadi,

kerangka acuan adalah suatu sarana untuk memberikan label pada setiap peristiwa.

Salah satu label menunjukkan saat terjadinya peristiwa, dan dalam mekanika klasik

Newtonian, label itu bersifat mutlak.

Cara penentuan saat terjadinya peristiwa adalah dengan menyediakan penanda

waktu yang sudah disinkronkan dan kemudian disebar ke dalam ruang. Saat dari suatu

peristiwa ditunjukkan dengan penanda waktu yang berada di tempat peristiwa itu

terjadi. Penunjukkan waktu bersifat mutlak, artinya tidak dipengaruhi oleh gerakan

waktu ketika dibawa oleh partikel penyusun kerangka acuan. Karena saat dari

peristiwa-peristiwa dalam ruang-waktu bersifat mutlak, maka ruang-waktu dapat

dibagi menjadi sub ruang 3 dimensi, dimana setiap subruang (ruang spatial) terdiri

atas peristiwa-peristiwa yang terjadi pada saat yang sama (simultan). Peristiwa dalam

ruang spatial cukup diberi label berupa 3 bilangan real dan memberikan posisi dari

peristiwa itu dalam ruang spatial. Mekanika klasik Newtonian menyatakan bahwa

hanya ada satu cara pembagian ruang-waktu menjadi subruang yang simultan dan

subruang berdimensi 3 itu berstruktur Euklidean.

Sebuah partikel bebas yang bergerak merupakan serentetan peristiwa yang

disebut sebagai garis sejarah (world line). Dalam ruang spatial, himpunan titik-titik

yang merupakan posisi dari peristiwa-peristiwa dalam garis sejarah merupakan sebuah

kurva (disebut sebagai lintasan) yang pada umumnya melengkung. Kurva lintasan

partikel itu dapat dinyatakan sebagai dan kecepatannya adalah


Kita dapat menggunakan atlas yang lain dalam manifold ruang-waktu, misalnya

menghasilkan label untuk peristiwa yang dinyatakan sebagai atau .

Karena hanya ada satu cara pembagian ruang-waktu, maka itu berarti

Hubungan antara dengan mempunyai dua kemungkinan, yaitu

yang berarti kita berpindah kerangka acuan, atau

yang berarti kita hanya berganti sistem koordinat.

Jika dapat ditemukan suatu transformasi sehingga dalam ruang spatial

kerangka acuan itu, kurva lintasan partikel bebas berupa garis lurus dan kecepatannya

konstan, maka kerangka acuan itu disebut sebagai kerangka acuan yang inersial.

(Arief Hermanto, 2003)

2.1.2 Teori Relativitas Umum Einstein

Teori relativitas umum merupakan perluasan dari teori relativitas khusus ke arah

gravitasi dan menggantikan hukum gravitasi Newton. Teori ini menggunakan

matematika geometri diferensial dan tensor untuk menjelaskan gravitasi. Bentuk teori

ini sama untuk seluruh pengamat yang bergerak dalam kerangka acuan inersial

ataupun bagi pengamat yang bergerak dalam kerangka acuan yang dipercepat. Dalam

relativitas umum, gravitasi bukan lagi sebuah gaya seperti dalam hukum gravitasi

Newton tetapi merupakan konsekuensi dari kelengkungan ruang-waktu. Dan melalui

relativitas umum juga ditunjukkan bahwa kelengkungan ruang-waktu terjadi akibat

kehadiran massa.


2.1.2.1 Prinsip Ekuivalensi

Ketika Newton merumuskan hukum gerak dan hukum gravitasinya, ia mendefenisikan

massa inersial dan massa gravitasi. Massa inersial diukur berdasarkan ukuran

kelembaman suatu benda terhadap gaya dorong atau gaya tarik yang bekerja,

sedangkan massa gravitasi diukur berdasarkan pengaruh gaya gravitasi pada benda

tersebut. Para eksperimentalis sejak zaman Newton hingga pertengahan abad ke-20

telah berusaha membuktikan kesetaraan antara kedua jenis massa tersebut. Salah satu

percobaan yang paling terkenal adalah percoban Eotvos yang membuktikan bahwa

kedua massa tersebut setara. Berdasarkan bukti eksperimen tersebut, akhirnya Einstein

menyimpulkan dalam postulatnya yang terkenal dengan nama Prinsip Ekuivalensi

Massa bahwa,Gaya gravitasi dan gaya inersial yang bekerja pada 1 benda adalah

sama dan tidak terbedakan (indistinguisable) satu sama lain. Konsekuensinya adalah

bahwa tidak ada lagi kerangka acuan inersial.

2.1.2.2 Prinsip Kovariansi Umum

Akibat prinsip ekuivalensi massa yang menyebabkan tidak adanya kerangka acuan

inersial, maka prinsip relativitas khusus menyatakan bahwa hukum-hukum fisika

berlaku sama pada kerangka acuan inersial tidaklah berlaku umum. Oleh karena itu,

Einstein merumuskan postulat keduanya yang terkenal dengan nama Prinsip

Kovariansi Umum yang menyatakan bahwa,Semua hukum-hukum fisika berlaku

sama pada semua kerangka acuan tanpa kecuali. Konsekuensinya adalah setiap

besaran fisika haruslah dinyatakan dalam bentuk umum dan tidak bergantung pada

koordinat dimana ia didefenisikan. Artinya semua besaran fisika harus dinyatakan

dalam bentuk tensor. Seperti telah dinyatakan sebelumnya dalam relativitas khusus,

hukum-hukum gerak dinyatakan dalam bentuk yang invarian terhadap transformasi

Lorentz dengan konsekuensi diperkenalkannya konsep ruang dan waktu dimensi 4

dengan metrik Minkowski. Generalisasinya, teori relativitas umum menyatakan bahwa

hukum-hukum fisika harus invarian terhadap transformasi umum dengan konsep

ruang-waktu 4 dimensi.


2.1.2.3 Kelengkungan Ruang-Waktu

Dari teori relativitas khusus, baik waktu atau ruang adalah bergerak relatif terhadap

gerak pengamat dengan interval panjang dan waktu diukur oleh seorang pengamat

secara umum tidak sama dengan interval panjang dan waktu yang diukur oleh

pengamat yang berbeda. Karena panjang dan waktu relatif dan keduanya bergantung

pada gerak relatif pada lintasan yang sama maka perlu untuk menyatakan kembali

bahwa ruang berdimensi 3 dan 1 dimensi waktu tidak terpisah, dan lebih dari itu juga

keduanya merupakan komponen yang setara dari suatu ruang-waktu 4 dimensi yang

tunggal. Untuk menggambarkannya memang sulit tapi kita masih dapat

merepresentasikannya secara matematis dengan menggunakan pertimbangan

persamaan yang sesuai.

Beberapa contoh penggambaran kelengkungan ruang-waktu ditunjukkan pada

gambar 2.2 yang mengilustrasikan ruang datar berimensi 1 yang berupa garis lurus.

Untuk melengkungkannya, harus dibengkokkan pada arah yang lain. Tapi,

kelengkungan yang ditunjukkan dalam 1 dimensi tidak cukup dan memerlukan 2

dimensi untuk mengilustrasikannya lebih lanjut. Gambar 2.3 menyajikan suatu ruang

2 dimensi dan ilustrasi bagaimana ruang itu dilihat jika dibengkokkan.

(a)

(b)

Gambar 2.2 Ruang 1 dimensi (a) yang datar (b) yang lengkung


(a) (b)

Gambar 2.3 Ruang 2 dimensi (a) yang datar (b) yang lengkung

Geometri dari sistem koordinat ruang datar adalah geometri Euklidean yang aturan

penggunaanya diilustrasikan pada 2.4 dengan suatu garis lurus yang menjadi jarak

terpendek antara dua titik dan total sudut segitiga dalam ruang datar adalah 180o, serta

garis-garis sejajar yang tidak akan saling berpotongan. Untuk geometri lengkung yang

dikenal dengan geometri non-Euklidean diberikan oleh 2.5, dimana aturan geometri

euklidean tidak bisa digunakan, sehingga jarak terpendek antara dua titiknya

merupakan busur lingkaran besarnya dengan jumlah sudut segitiga dalam ruang ini

lebih dari 180o dan garis-garis sejajarnya dapat saling berpotongan.

A

B

BA

Gambar 2.4 Ruang Euklid dan Gambar 2.5 Ruang non-Euklid dan

komponen-komponen geometrinya komponen-komponen geometrinya

Lebih lanjut, kita dapat menentukan kapan suatu ruang dikatakan melengkung atau

datar dengan mengukur derajat kelengkungannya. Caranya dengan menghitung rasio

keliling bola terhadap diameternya. Dalam ruang datar, rasionya diberikan sebesar

(Gambar 2.6.a), sedang dalam ruang lengkung rasionya akan menjadi lebih besar atau


kurang dari (Gambar 2.6.b). Sebagaimana yang akan dibahas berikutnya,

kelengkungan ruang-waktu ditentukan oleh massa terdekat atau disekitar massa

massifnya, dengan kelengkungan yang dapat bernilai cukup besar untuk memberikan

efek yang tampak (2.7).

(a)

D

C

D

C

(b)

Gambar 2.6 (a) Dalam ruang datar (b) Dalam ruang lengkung

atau .

Lintasan-lintasan sejajar

Ruang Datar yang jauh dari massa

bumi

Ruang melengkung

Bumi

Gambar 2.7 Tampilan ruang-waktu yang melengkung oleh benda bermassa

Sumber: Nggieng (2007)

Pada gambar 2.7 tampak bahwa ketika jauh dari posisi bumi (dalam hal ini memiliki

massa lebih besar dibandingkan dengan benda yang bermassa lain disekitarnya), ruang

berbentuk datar dan lintasan-lintasan sejajarnya tetap sejajar. Sebaliknya, ketika dekat

dengan bumi, lintasan-intasan sejajar mulai konvergen karena ruang dilengkungkan

oleh massa bumi tersebut.


Banyak prediksi akan peristiwa yang terjadi yang telah berhasil dibuktikan dan

dikemukakan oleh teori relativitas umum yang tentunya berbeda dari fisika klasik.

Prediksinya juga telah dikonfirmasikan dalam semua percobaan dan pengamatan

fisika. Walaupun teori ini bukan satu-satunya teori tentang relativistik gravitasi, ia

merupakan teori paling sederhana dan konsisten dengan data-data eksperimen. Salah

satu prediksinya adalah peristiwa terbeloknya cahaya matahari di sekitar matahari.

Teori relativitas umum memprakirakan bahwa titik-titik kerucut cahaya (bintang)

yang berada di dekat matahari akan terbelokkan menuju matahari karena pengaruh

massa matahari. Karenanya cahaya yang datang dari bintang-bintang jauh dan lewat

dekat matahari akan mengalami defleksi yang menyebabkan bintang-bintang tersebut

tampak berbeda di posisi yang berbeda bagi pengamat di bumi. Karena bumi bergerak

dengan mengorbit pada matahari maka bintang-bintang yang berbeda akan berada di

belakang matahari dan cahayanya terdefleksi sehingga posisinya berubah relatif

terhadap bintang lain. (Kenneth S. Krane, 1983)

2.2 Analisis Tensor

Aljabar tensor adalah suatu disiplin matematik yang sangat penting peranannya dalam

fisika karena hukum fisis tidak akan bergantung pada sistem koordinat yang

digunakan untuk memberikan tafsiran yang tepat pada hukum tersebut. Jika di dalam

sebuah sistem koordinat terdapat suatu persamaan tensor maka bentuk daripada

persamaan tersebut akan tetap sama (kovarian) di dalam semua sistem koordinat lain.

Sifat tersebut menyebabkan tensor sangat banyak sekali digunakan di dalam fisika.

Khususnya dalam teori relativitas umum, maka semua perumusan fisis selalu

dinyatakan dengan persamaan tensor seperti yang akan dibahas.

Tensor pada dasarnya merupakan generalisasi daripada skalar dan vektor. Kita

akan melihat vektor sebagai suatu tensor yang mempunyai rank 1 sedang skalar adalah

suatu tensor yang mempunyai rank 0. Semua sifat-sifat vektor yang telah kita kenal

akan dimiliki juga oleh tensor. Dikatakan juga bahwa penggunaan tensor di dalam

fisika, umumnya akan membuat hukum-hukum fisis mempunyai bentuk yang lebih

umum dan sederhana. (Pantur S, 1979)


2.2.1 Transformasi Koordinat

Misalkan koordinat-koordinat tegak lurus (x, y, z) dari sebarang titik dinyatakan

sebagai fungsi-fungsi sehingga

Andaikan bahwa bentuk di atas dapat dipecahkan untuk dalam , yakni

Fungsi-fungsi dalam (2.5) dan (2.6) dianggap tunggal dan memiliki turunan-turunan

yang kontiniu sehingga kaitan dengan adalah tunggal.

Diketahui sebuah titik P dengan koordinat-koordinat tegak lurus maka

dari (2.5) kita dapat mengasosiasikan suatu himpunan koordinat-koordinat

yang tunggal yang disebut koordinat-koordinat kurvilinier dari P. Himpunan

persamaan (2.5) dan (2.6) mendefenisikan suatu transformasi koordinat.

x

y

z

Gambar 2.8 Kurva-kurva dan garis koordinat

Selanjutnya, akan didefenisikan transformasi koordinat menyangkut sistem koordinat

lain dengan dimensi yang lebih tinggi. Untuk itu perlu diketahui terlebih dahulu

mengetahui ruang dengan sebarang dimensi dimana kita akan membahas sifat-sifat

transformasi daripada ruang tersebut.

P

kurva

kurva

kurva


Sebuah ruang berdimensi n, dimana n adalah sembarang bilangan bulat positif,

adalah merupakan himpunan daripada susunan yang teratur,

dan yang memenuhi sifat-sifat daripada sebuah ruang vektor. Komponen sebuah

vektor dalam ruang berdimensi n tersebut akan dinyatakan dengan indeks tertentu.

Suatu kurva di dalam sebuah ruang berdimensi n adalah himpunan dari titik-titik x

yang memenuhi n buah persamaan, yaitu , dimana t adalah parameter dan

. Jika dianggap sebagai subruang dari (n < N) maka

ditunjukkan oleh dimana menyatakan n buah

parameter dan .

Kemudian diberikan sistem koordinat mencakup ruang tersebut, yaitu

yang membentuk sistem koordinat di . Setiap

menyatakan titik pada ruang . Misalkan ada transformasi dari suatu sistem

koordinat ke siatem yang lain maka bentuk perubahan koordinatnya dinyatakan sbb:

. . .

. . .

. . .

Dengan demikian, diferensial untuk dapat ditulis sebagai berikut:

. . .

. . .

. . .


Atau dapat juga disederhanakan menjadi

dimana

2.2.2 Koordinat Kurvalinier

2.2.2.1 Koordinat Kurvalinier Ortogonal

Permukaan dimana adalah konstanta, disebut

permukaan-permukaan koordinat, dan setiap pasangan permukaan-permukaan ini

berpotongan melalui kurva-kurva yang disebut kurva-kurva atau garis-garis koordinat

(gambar 2.8). Bila permukaan-permukaan koordinat ini berpotongan tegak lurus,

maka sistem koordinatnya disebut ortogonal. Dengan menggunakan hubungan

transformasi (2.5) dan (2.6), dimisalkan atau sebagai

vektor posisi dari titik P. Maka berdasarkan persamaan tersebut dapat bentuk

vektornya .

2.2.2.2 Vektor Satuan dan Faktor Skala dalam Sistem Koordinat Kurvalinier

Dengan demikian,

masing-masing adalah vektor singgung terhadap kurva dengan koordinat: .

Maka vektor-vektor satuan dalam masing-masing arah koordinat kurvalinier ini

adalah:


dimana

adalah panjang vektor-vektor singgung yang bersangkutan atau disebut juga sebagai

faktor skala.

Uraian di atas memberikan bentuk pernyataan untuk sistem koordinat

ortogonal yang ditinjau dimana berlaku syarat:

yang ketiga vektor satuan ini membentuk himpunan vektor satuan koordinat

kurvalinier (gambar 2.9). Dalam hal seperti ini penggunaan sistem koordinat

kurvalinier yang sesuai seperti koordinat bola ternyata mengalihkan persoalan menjadi

sederhana untuk ditangani. (Hans J. Wospakrik, 1972)

2.2.2.3 Koordinat Kurvalinier Umum

z

y

x

u1

u2

er

e

e

r

Gambar 2.9 Sistem koordinat kurvalinier umum bola


Dari kita peroleh

Maka diferensial dari panjang busur ditentukan dari Untuk sistem

ortogonal,

Untuk sistem-sistem kurvalinier yang tak ortogonal maka bentuk tidak akan

memiliki bentuk yang sederhana seperti sebelumnya. Tapi secara umum dapat

dituliskan sebagai berikut:

dimana komponen pada persamaan merepresentasikan koefisien-koefisien yang

muncul dalam perhitungan . Bentuk dapat juga disederhanakan

menjadi

Dalam bentuk matriks dapat dituliskan dengan

Persamaan (2.14) adalah representasi lainnya yang dinyatakan oleh bentuk

matriks. (M. L. Boas, 1983)


2.2.3 Kaidah Penjumlahan

Dalam menuliskan suatu pernyataan seperti kita dapat

mempergunakan notasi singkat

atau notasi yang lebih singkat lagi , dimana menyetujui suatu kaidah (convention)

bahwa setiap sebuah indeks (indeks atas atau bawah) diulangi dalam suatu suku

tertentu maka ini berarti kita menjumlahkan terhadap indeks tersebut dari 1 sampai n

kecuali bila ada pernyataan lain. Inilah yang disebut kaidah penjumlahan.

2.2.4 Klasifikasi Tensor Berdasarkan Hukum Transformasi

Skalar dan vektor dapat dikatakan sebagai kasus khusus dari tensor. Karena tensor

adalah objek geometri yang memerlukan uraian lebih dari satu faktor seperti skalar

atau tiga faktor seperti pada vektor. Secara umum tensor termasuk didalamnya skalar

dan vektor dibedakan berdasarkan penempatan indeksnya. Namun demikian, tensor

juga dapat dibedakan berdasarkan hukum transformasi yang dimilikinya.

2.2.4.1 Vektor Kontravarian

Fungsi dalam sistem koordinat disebut vektor kontravarian jika

pada suatu transformasi koordinat , sehingga fungsi akan

ditransformasikan menjadi

dimana merupakan fungsi dalam sistem koordinat


disebut komponen vektor kontravarian atau tensor kontravarian rank satu.

2.2.4.2 Vektor Kovarian

Fungsi dalam sistem koordinat disebut vektor kovarian jika pada

suatu transformasi koordinat , sehingga fungsi akan ditransformasikan

menjadi

dimana merupakan fungsi dalam sistem koordinat

disebut komponen vektor kovarian atau tensor kovarian rank satu atau order satu.

2.2.4.3 Invarian

Suatu fungsi disebut invarian jika pada suatu transformasi

koordinat , sehingga fungsi akan ditransformasikan menjadi


2.2.4.4 Tensor Campuran

Dalam konsep tensor, suatu tensor campuran adalah tensor yang bukan jenis kovarian

kuat maupun kontravarian kuat. Fungsi dalam sistem koordinat

disebut tensor campuran yang memiliki komponen kontravarian rank satu dan

komponen kovarian rank satu. Jika pada suatu transformasi koordinat ,

maka fungsi ditransformasikan menjadi

dimana merupakan fungsi dalam sistem koordinat . Diperoleh

yang menyatakan komponen tensor campuran.

Dengan menggunakan defenisi dari tensor campuran di atas akan ditunjukkan

bahwa juga merupakan suatu tensor campuran. Sekarang perhatikan persamaan

transformasi berikut

dimana dan . Jadi diketahui bahwa merupakan tensor

campuran dengan kontravarian dan kovarian masing-masing ber-rank satu atau biasa

dinamakan dengan delta kronecker.


2.2.4.5 Tensor Simetri dan Antisimetri

Misalkan sebarang tensor kontravarian, berlaku

1. Jika maka disebut simetri terhadap pertukaran

indeks dan .

2. Jika maka disebut antisimetri terhadap

pertukaran indeks dan .

Sekarang perhatikan, jika adalah suatu tensor simetri dan adalah suatu

tensor antisimetri, maka . Setiap tensor selalu dapat dinyatakan

sebagai penjumlahan tensor simetri dengan tensor antisimetri.

2.2.5 Operasi-Operasi Dasar Tensor

Semua sifat-sifat yang berlaku pada vektor, akan berlaku pula pada tensor. Hal itu

dikarenakan operator-operator yang berlaku dan digunakan pada tensor merupakan

bentuk generalisasi dari operator-operator yang berlaku pada vektor. Berikut ini akan

dijelaskan operasi-operasi dasar yang berlaku pada tensor.

Penjumlahan

Penjumlahan dari dua tensor atau lebih memiliki rank dan jenis yang sama (sebagai

contoh: Misalkan tensor A dan B banyaknya indeks kontravarian dan indeks kovarian

adalah sama) akan menghasilkan tensor yang memiliki rank dan jenis yang sama pula.

Misalkan dan merupakan tensor dalam sistem koordinat ,

maka

(2.21)

Pengurangan

Selisih dari dua tensor atau lebih yang memiliki rank dan jenis yang sama adalah

tensor dengan rank yang jenisnya sama pula. Misalkan dan merupakan

tensor dalam sistem koordinat , maka


(2.22)

merupakan tensor juga.

Perkalian (Outer Multiplication)

Hasil kali dua tensor adalah tensor dimana ranknya merupakan jumlah dari rank

tensor-tensor tersebut. Komponen tensor ini disebut outer product. Sebagai contoh,

(2.23)

adalah outer product dari dan . Tetapi tidak semua bentuk tensor dapat

dinyatakan sebagai hasil kali dari dua tensor yang ranknya lebih sederhana.

Konstraksi

Misalkan adalah suatu tensor campuran yang memiliki rank lima, dengan

kontravarian rank dua dan kovarian rank tiga. Jika salah satu indeks kovarian

samadengan salah satu indeks kontravarian, maka rank tensor tersebut akan berkurang

sebanyak dua. Artinya, bentuk merupakan tensor yang memiliki rank tiga.

Proses demikian lebih dikenal sebagai konstraksi tensor.

Perkalian Dalam (Inner Multiplication)

Misalkan dan merupakan tensor dalam sistem koordinat , maka

(2.24)

disebut outer product. Misalkan , sehingga diperoleh atau dengan

memisahkan dan , sehingga diperoleh bentuk tensor . Dengan

menggunakan proses outer multiplication dan konstraksi, dapat diperoleh tensor baru

yang disebut inner product. Proses ini disebut inner multiplication. Pada inner maupun

outer multiplication berlaku juga sifat komutatif dan assosiatif.


2.2.6 Tensor Metrik

A

B

Gambar 2.10 Jarak antara dua titik A dan B ditinjau dalam ruang berdimensi

Pada bagian ini jika A dan B adalah dua titik dalam suatu ruang berdimensi n masing-

masing dengan vektor kedudukan dengan titik , maka jarak di antara

kedua titik tersebut dinyatakan oleh persamaan

(2.25)

dimana Susunan besaran-besaran dapat disusun menjadi

(2.26)

Tensor dinamai tensor metrik untuk ruang tersebut. Ruang dengan metrik , di

mana

(2.27)

dikenal dengan sebutan ruang Riemann. Tensor dapat dianggap sebagai sebuah

tensor simetri, karena:


Karena

(

Maka

Yakni bahwa adalah sebuah tensor simetri. Jika , di mana t adalah

sebuah parameter, maka

atau

Yang menyatakan jarak antara dua titik di dalam ruang Riemann tersebut. Sebuah

kurva (t) dinamai kurva nol (null curve), jika

di dalam sebuah ruang non-Euklidean maka jarak antara dua titik boleh sama dengan

0, walaupun kedua titik tersebut tidak berimpit. Misalnya dalam teori relativitas

khusus, setiap elemen jarak akan dinyatakan oleh persamaan

(2.29)

(2.30)

Ruang yang bermetrik diatas, dinamai sebuah ruang Minkowski. Elemen garis atau

kuadrat metrik jarak memiliki interval yang diklasifikasikan ke 3 kelompok yang

berbeda berdasarkan bentuk kurva dan interval kurva itu sendiri.


Jika:

Kurva Timelike

Kurva Spacelike

Kurva null

(Lampiran A).

2.2.7 Tensor Konjugat

Misalkan merupakan tensor metrik dan dinotasikan sebagai

determinan dengan elemen-elemen dari sebagai berikut

(2.31)

maka adalah kontravarian tensor simetri rank dua yang disebut konjugat atau

reciprocal tensor dari .

2.2.8 Differensiasi Tensor

Proses differensiasi tensor adalah suatu generalisasi proses differensial yang biasa

dikenal sebagai differensial fungsi. Pada analisis tensor dikenal dua jenis differensiasi

yang biasa digunakan, yaitu

1. Differensiasi Kovarian

2. Differensiasi Intrinsik

Selanjutnya akan dijabarkan differensiasi kovarian yang terkait dengan

pembahasan masalah selanjutnya. Untuk itu maka tinjau persamaan transformasi.

Dengan mendifferensiasikan terhadap , maka diperoleh persamaan yang berikut:


Kita telah perlihatkan bahwa bukanlah suatu tensor dan untuk

membentuk tensor dari turunan parsial tersebut maka didefenisikan simbol-simbol

Christoffel berikut:

1. Simbol Christoffel yang pertama, yang biasanya dinyatakan dengan notasi

yang didefenisikan menurut persamaan

(2.32)

2. Simbol Christoffel yang kedua, yang biasanya didefenisikan menurut persamaan

dan dinyatakan dengan notasi di mana adalah tensor metrik

untuk ruang yang bersangkutan (ruang Riemann). Jadi

(2.33)

Adapun hukum transformasi untuk Simbol Christoffel diatas adalah sebagai berikut:

Tinjau suatu geodesik,

untuk kedua sistem koordinat dalam ruang Riemann. Sekarang ditentukan

hubungan antara dengan

disubtitusi , kita peroleh


Selanjutnya, persamaan di atas dikalikan dengan dan dijumlahkan harga

yang sama,

Hasil di atas dibandingkan dengan bentuk geodesiknya, tampak bahwa

Ini merupakan hukum transformasi untuk . bukan merupakan komponen tensor,

sehingga memungkinkan harga bernilai nol pada suatu sistem koordinat tapi bukan

pada semua sistem koordinat.

2.2.9 Geodesik

Pada bagian ini akan dibahas generalisasi pengertian jarak terpendek di antara dua

titik dalam suatu ruang Riemann. Andaikan kurva menguhubungkan titik

A dan B dengan koordinat A dan B masing-masing diberikan oleh dan

. Maka persamaan geodesik diberikan oleh

penjumlahan pada indeks-indeks , dimana s adalah panjang busur dan

adalah simbol Christoffel dari jenis kedua. Untuk kasus bagaimana persamaan

geodesik untuk koordinat kartesius di ruang Euklidean. Jika koefisien jaraknya

konstan maka turunannya nol, dan simbol Christoffelnya juga nol. Akibatnya,

persamaan geodesiknya berbentuk

untuk solusi adalah berupa garis lurus. Sembarang sistem koordinat yang simbol-

simbol Christoffelnya adalah sistem koordinat geodesik.


2.3 Medan Gravitasi Einstein

Disini akan ditentukan hukum suatu gerak, yang tidak tergantung pada sistem

koordinat yang digunakan, yang menggambarkan medan gravitasi suatu partikel

tunggal. Dalam teori relativitas khusus, elemen garis untuk koordinat ruang-waktunya

adalah diberikan oleh

Dalam ruang (x, y, z, t), adalah konstanta dan ruangnya adalah Euklidean,

maka . Untuk partikel yang berada di bawah pengaruh gravitasi tensor

Riccinya dihilangkan. Karena , suatu ruang 4 dimensi menghasilkan

persamaan menyertakan dan turunannya. Karena , dimana

, , dan untuk j = 1, 2, 3, 4, kesepuluh persamaan utama akan

direduksi menjadi 6 persamaan.

Kita andaikan elemen garis (dalam kaitan dengan Schwarzchild) berubah

bentuk menjadi

sehingga ruangnya menjadi non-Euklidean. Dari persamaan tersebut dapat kita susun

, , ,

dan

, , , ,

Sekarang , dan karena untuk , kita

peroleh

dengan i tidak dijumlahkan.


Jika i, j, k adalah berbeda, maka . Kita juga lihat bahwa

Ketiga persamaan tersebut digunakan untuk mendapat harga-harga berikut: , ,

, , , , , . Dan semua yang lain dihilangkan. Selanjutnya, harga-

harga tersebut digunakan untuk hukum gravitasi Einstein yang dirumuskan dalam

tensor Ricci yang diberikan sebagai berikut:

Sedemikian sehingga,

Dengan jalan yang sama dengan yang di atas, dapat ditentukan pula , , dan .

(Harry Lass, 1950)


chapter ii

Documents