UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PER

(FACULTAD DE INGENIERA CIVIL DINMICA)

VIBRACION LIBRE AMORTIGUADA

Despues de estudiar el modelo representativo de un sistema libre sin amortiguamiento el paso siguiente es ampliar estos conceptos al estudio de un modelo en el que el amortiguamiento esta presente, el amortiguamiento en un sistema vibratorio esta presente ya sea por la naturaleza propia de alguno de sus elementos o bien por la presencia de un elemento amortiguador.

Uno de los tipos de amortiguamiento ampliamente usados para representar la perdida de energia en sistemas vibratorios es el del tipo viscoso, este tipo de amortiguamiento tiene la caracteristica de que la fuerza ejercida por el mismo es directamente proporcional a la velocidad, de manera que un amortiguador de este tipo posee una constante de amortiguamiento al que llamaremos c; por lo tanto la fuerza del amortiguador fd esta dado :

Donde:

x es la velocidad en un instante

Considere el modelo representativo de un sistema libre amortiguado como el que se muestra en la figura:

Modelo libre amortiguado

Usando el procedimiento analitico usado para determinar la ecuacion diferencial de un sistema libre no amortiguado se puedereescribirla ecuacion para representar el modelo libre amortiguado de la manera:

mx+cx+kx=0

Aqui se puede observar que aparece la fuerza inercial mx , la fuerza del

amortiguador cx y la fuerza elastica kx. La solucion de la ecuacion diferencial es de la forma cuadratica:

Donde s1 y s2 son de la forma:

Esta ultima expresion muestra que la solucion de la ecuacion diferencial

dependera del valor del termino de la raiz cuadrada, de aqui que los sistemas amortiguados puedan clasificarse en diferentes tipos de movimiento como se muestra en la tabla.

Diferentes tipos de movimiento

La solucion es una solucion particular y a continuacion se presenta.

Criticamente amortiguado(=1)

Cuando el amortiguamiento es tal que c2/4m2= k/m, entonces se dice que el sistema esta en un punto critico y quiere comenzar a vibrar pero no vibra aun como se muestra en la Figura , este tipo de movimiento se caracteriza por que el sistema busca el equilibrio en un menor tiempo y no vibra.

Figura . Comportamiento de un sistema criticamente amortiguado .La solucion particular de la ecuacion 3.8 es de la forma

.( 3.10)

Las constantes A y B dependen de las condiciones iniciales del movimiento y estn expresadas como:

x(0) y x(0) son el desplazamiento inicial (no la deformacion estatica) y la velocidad inicial respectivamente, n es la frecuencia natural no amortiguada y el termino se le conoce como el factor o la razon de amortiguamiento y esta definida como:

=

Donde:

c es el coeficiente de amortiguamiento y cc se le conoce como el coeficiente de amortiguamiento critico, este ultimo termino no es un parametro fisico del sistema, si no un estimado del valor del amortiguador en funcion de la masa y el amortiguador tal que el sistema sea criticamente amortiguado, por lo tanto si en c/4m2= k/m se hace c = cc, se tiene que el coeficiente de amortiguamiento critico ser:

CONCEPTO DE AMORTIGUAMIENTO

En el mundo real esto no es posible. En todo proceso fsico hay prdidas por el motivo que sea, no existe el movimiento continuo (a excepcin de las ideas de Einstein al respecto), y en este caso se producen por el amortiguamiento de este movimiento vibratorio armnico simple:

El amortiguamiento se comporta como una fuerza proporcional a la velocidad, como lo son las fuerzas de rozamiento con fludos (aire, agua...) y por ello la frmula es la misma. c es un coeficiente de rozamiento viscoso.

F=c*v = c*x'

(Cuando el cono est parado no se mueve, por lo que o no hay fuerza o est compensada), la ecuacin se hace:

Para que resolver la ecuacin caracterstica sea ms fcil, hacemos

Tenemos:

La ecuacin caracterstica es:

Las races son:

(ec 1)

Esto muestra tres casos posibles, en los que las races son diferentes, iguales o complejas. Estamos llegando a la compresin del fenmeno del amortiguamiento.

TRES CASOS:

CASO 1

... y tenemos dos races reales. La solucin es

Donde m1 y m2 son negativos. La grfica de esto es una exponencial que decrece, y que se puede ver a la derecha:

El eje vertical corresponde a la posicin del cono y el horizontal al tiempo. La masa tender a su posicin de reposo cada vez ms lentamente.

A este caso se le llamaMOVIMIENTO SOBREAMORTIGUADO

CASO 2

Si las dos races m1 y m2 son iguales,

Esto implica que LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES IGUAL QUE LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Tenemos una raz doble, m1=-a. La solucin es

La grfica de esto es como un lado de una campana de Gauss. La masa tambin tender a su posicin de reposo cada vez ms lentamente, pero la velocidad al principio crece lentamente.

Este es el caso delMOVIMIENTO CRTICAMENTE AMORTIGUADO.Su importancia radica en que es el estado lmite entre el comportamiento anterior (sobreamortiguado) y el siguiente, el subamortiguado.

CASO 3

En este caso, LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES MENOR QUE LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Las raices que tenemos son complejas y conjugadas.

Para simplificar las ecuaciones, haremos:

Transformando la solucin mediante la frmula de Euler de las exponenciales de nmeros complejos, tenemos una solucin de la forma:

Aplicando las condiciones iniciales calculamos C1 y C2, y tendremos

Y con un ltimo cambio,

tendremos la solucin que nos indica cmo ser el movimiento de una manera ms sencilla que la anterior.

Es decir, es una onda senoidal con un desfase determinado, modulada por una exponencial que decrece con el tiempo y una constante.

La masa tender a su posicin de reposo pero habr la fuerza amortiguadora no es lo suficientemente fuerto como para frenerlo antes de que llegue al punto x=0 (punto de reposo). Como se puede ver a la derecha, se pasar del punto de reposo.

Luego volver en la otra direcin, se pasar de nuevo del centro y volver a pasarse cuando vuelva, cada vez la oscilacin ser menor, as hasta en infinito donde tericamente se detendr.

En la grfica de la derecha se puede ver el movimiento un tanto exagerado (para lo que sera un altavoz), y la exponencial como mdulo de la funcin coseno.

Este tipo de movimiento se llamaMOVIMIENTO SUBAMORTIGUADO

En dos primeros casos el sistema resonante no llega a completar un slo ciclo, por lo que no tiene sentido hablar de frecuencias, pero en este ltimo caso, el sistema si tiene una frecuencia de resonancia que viene dada por alfa, el coeficiente que acompaa al tiempo en la funcin peridica coseno, que es:

Vemos como cuando la viscosidad del medio (amortiguamiento) se hace prximo a cero la frmula tiende a la del caso donde no haba amortiguamiento:

Es de imaginar tambin que cuanto menor es el amortiguamiento ms se parecer la ltima frmula a una funcin coseno, es decir: la vibracin durar ms tiempo cuanto menos amortiguada est.

VIBRACIONES FORZADAS

Si aadimos una fuerza ms al sistema anterior, tendremos algo ms prximo a lo que sucede en un altavoz, ya que el altavoz lo que hace es eso exactamente, es el sistema resonante que hemos estudiado, pero adems existe un motor magntico que genera una fuerza que desplazar el cono. Fees la nueva fuerza aadida.

presentes Podemos escribir la ecuacin de esta forma, reuniendo todas las fuerzas:

En el caso del altavoz, la fuerza de excitacin es una suma de frecuencias puras, y resulta interesante examinar el caso de cuando f(t) es una onda cosenoidal pura:

(ec2)

Como ya hemos resuelto la parte homognea, aplicaremos el mtodo de los coeficientes indeterminados para hallar la resolucin, que ser alguna de las tres posibles soluciones anteriores (soluciones homogneas) ms una solucin particular. Tomaremos como solucin:

Sustituimos en (ec2) y obtenemos el sistema

de donde otenemos A y B, que son:

Es decir, nuestra solucin particular es la siguiente:

Para simplificar la ecuacin hacemos el siguiente cambio:

y nos queda la siguiente solucin particular:

Recordamos que la solucin a una ecuacin diferencial de 2 orden no homognea es la suma de la solucin homognea ms la particular (x=xh+xp), y que tenemos tres posibles soluciones homogneas que dependen de los parmetros c (coeficiente de rozamiento viscoso), M (masa mvil) y k (constante elstica), y que definen los casos estudiados anteriormente: sobreamortiguado, crticamente amortiguado y subamortiguado.

Sobreamortiguado:

Crticamente amortiguado:

Submortiguado:

En todos, como consecuencia del tipo de movimiento y con la nica necesidad de que exista un mnimo amortiguamiento, tenemos una parte que decrece, que tiende a cero (la que define el tipo de vibracin) y una parte que es constante en el tiempo, consecuencia de la vibracin forzada. A la primera parte se la denominatransitoriay a la segundaestacionaria, ya que con el transcurso del tiempo la primera desaparece, se hace cero, pero la segunda permanece.

de qu nos sirve esto?

Sirve para interpretar la respuesta temporal del sistema: Los sistemas sobreamortiguados son los que mejores caractersticas temporales poseen, mientras que los sistemas subamortiguados son los que peor se comportan.

Por decirlo de alguna manera, los tiempos de establecimiento (subida y bajada completa) de la onda (pensando ms bien en valor abosluto, quizs en un valor RMS) son menores en los sistemas sobreamortiguados que en los subamortiguados.

En la imagen de arriba a la derecha podemos ver la respuesta ante tres ciclos de onda de un sistema resonante crticamente amortiguado (por ejemplo: caja cerrada con Q=0,5, Bessel).

El tiempo de subida puede interpretarse como parte del comportamiento paso alto que tiene la onda, al final vemos que la onda desaparece dejando slo una ligera sobreoscilacin, que puede deberse a un error en la simulacin.

En la imagen central podemos ver un ejemplo de sistema subamortiguado, en el caso una caja cerrada con Q=0,707 (Butterworth). La respuesta es buena pero la sobreoscilacin al final es mayor.

La ltima imagen no corresponde con lo estudiado porque se trata de una caja bass-freflex, que es un sistema resonante de 4 orden, no de 2. Conocemos las ventajas de extensin de la respuesta de las BR, y tambin que se consigue a base de penalizar la respuesta temporal.

Aqu vemos el porqu. La respuesta es mala, con sobreoscilaciones al principio pero muy especialmente al final, y sin que se llegue a alcanzar el valor mximo que deba alcanzar.

Esto da una idea de que el orden tambin es un elemento tan importante como el coeficiente de amortiguamiento.

VIBRACIN FORZADA SIN

AMORTIGUAMIENTO

DEFINICIN:

La vibracin forzada sin amortiguamiento es considerada uno de los ms importantes de movimiento vibratorio en los trabajos de ingeniera.

Ocurre cuando dicho sistema oscila debido a la accin de fuerzas externas.

Los principios pueden ser usados para analizar las fuerzas que causan vibraciones en muchos tipos de mquinas y estructuras.

FUERZA PERIDICA

El bloque y el resorte representan las caractersticas vibratorias de un sistema sometido a una fuerza peridica.

Esta fuerza tiene una amplitud de F0 y frecuencia forzada w0

F=F0Senw0t

El diagrama de cuerpo libre para el bloque cuando est desplazado una distancia x, que muestra la figura.

Aplicando la ecuacin de movimiento resulta.

Esta ecuacin es una ecuacin diferencial de segunda orden no homognea.

Su solucin general consta de una solucin complementaria, Xc, ms una solucin particular, xp .

Solucin complementaria: Xc = ASenwnt + Bcoswnt

(Senw0t)

Solucin particular: Xp = F0 /K

1 (w0 / wn)2

La solucin general: X = Xc + Xp

Por lo cual se concluye que:

La solucin complementaria, Xc, define la vibracin libre, que depende la frecuencia natural (circular), wn y de las constantes A y B

La solucin particular, Xp, describe la vibracin forzada del bloque causada por la fuerza aplicada.

La vibracin libre, Xc, desaparecer con el tiempo, por esta razn a la vibracin libre se le llama transitoria, y a la vibracin forzada se le denomina de estado estable ya que es la nica vibracin que permanece.

DESPLAZAMIENTO PERIDICO DEL SOPORTE

Las vibraciones forzadas tambin pueden originarse a partir de la excitacin peridica del soporte de un sistema.

El modelo mostrado en la figura representa la vibracin peridica de un bloque que es causada por el movimiento armnico del soporte. En este caso, el diagrama de cuerpo libre para el bloque que muestra.

Por lo tanto, el desplazamiento general del resorte es .

.Aplicando la ecuacin de movimiento resulta.

En comparacin, sta ecuacin es idntica a la forma de la ecuacin.

Si F0 , es reemplazada por . Cuando se efecta esta sustitucin en las soluciones definidas mediante las ecuaciones, los resultados son apropiados para escribir el movimiento del bloque cuando est sometido al desplazamiento

VIBRACIONESMECANICAS

INTRODUCCION

El aumento permanente de las potencias en mquinas, junto con una disminucin simultnea de gasto de materiales, y la alta exigencia de calidad y productividad industrial, hacen que el anlisis dinmico de las vibraciones mecnicas en mquinas e instalaciones industriales sea cada vez ms exacto. El estudio de las vibraciones mecnicas se ha convertido en algo esencial para el estudiante de ingeniera mecnica ya que el buen funcionamiento de maquinaria mecnica est relacionado en muchos casos con su comportamiento vibratorio .Es importante conocer la clasificacin de las vibraciones mecnicas ya que nos presentan un panorama de los diferentes estudios .Otra herramienta importante en el estudio de las vibraciones mecnicas es el modelo matemtico. Este procedimiento debe ser preciso ya que los errores producen informacin errnea .El estudio de las vibraciones mecnicas tambin llamado, mecnica de las vibraciones, es una rama de la mecnica, o ms generalmente de la ciencia, estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas con ella.

Vibracin:

Es el movimiento de vaivn que ejercen las partculas de un cuerpo debido a una excitacin .Existe una relacin entre el estudio de las vibraciones mecnicas del sonido, si un cuerpo sonoro vibra el sonido escuchado est estrechamente relacionado con la vibracin mecnica, por ejemplo una cuerda de guitarra vibra produciendo el tono correspondiente al nmero de ciclos por segundo de vibracin .Para que un cuerpo o sistema pueda vibrar debe poseer caractersticas potenciales y cinticas. Ntese que se habla de cuerpo y sistema si un cuerpo no tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema que vibre ;por ejemplo, una masa y resorte donde la masa posee caractersticas energticas cinticas, y el resorte, caractersticas energticas potenciales .Otro ejemplo de un sistema vibratorio es una masa y una cuerda empotrada de un extremo donde la masa nuevamente forma la parte cintica y el cambio de posicin la parte potencial.

Vibracin mecnica:

Es el movimiento de vaivn de las molculas de un cuerpo o sistema debido a que posee caractersticas energticas cinticas y potenciales .Una vibracin mecnica es el movimiento de una partcula o cuerpo que oscila alrededor de una posicin de equilibrio. La mayora de las vibraciones en mquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a las prdidas de energa que las acompaan. Por lo tanto, es necesario eliminar las o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseo apropiado. En cualquiera que sea el caso, la excitacin es el suministro de energa. Como ejemplos de excitacin instantnea tenemos el golpeteo de una placa, el rasgue de las cuerdas de una guitarra el impulso y deformacin inicial de un sistema masa resorte, etc. Como ejemplo de una excitacin constante tenemos el intenso caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor des balanceado cuyo efecto es vibracin por desbalance, el motor de un automvil, un tramo de retenedores es una excitacin constante para el sistema vibratorio de un automvil, etc. Vamos a ver varias formas de clasificar el estudio de las vibraciones mecnicas.

Vibracin libre:

Es cuando un sistema vibra debido a una excitacin instantnea.

Vibracin forzada:

Es cuando un sistema vibra debida a una excitacin constante .Esta importante clasificacin nos dice que un sistema vibra libre mente solo y solo si existen condiciones iniciales , ya sea que suministremos la energa por medio de un pulso (energa cintica) o debido a que posee energa potencial, por ejemplo deformacin inicial de un resorte .Esta energa es disipada por el fenmeno llamado amortiguacin, en ocasiones es despreciable .Aun cuando la energa es disipada durante la vibracin, en el caso de la vibracin forzada esta descompensada por la excitacin constante.

Vibracin amortiguada:

Es cuando la vibracin de un sistema es disipada.

Vibracin no amortiguada:

Es cuando la disipacin de energa se puede disipar para su estudio .El amortiguamiento es un sinnimo de la perdida de energa de sistemas vibratorios. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material, de rozamiento, o bien, un elemento fsico llamado amortiguador.

Vibracin lineal:

Si los componentes bsicos de un sistema tienen un comportamiento lineal la vibracin resultante es lineal.

Vibracin no lineal:

Se produce si alguno de sus componentes se comporta como no lineal .El comportamiento lineal de un elemento facilita su estudio, en la realidad todo elemento de comporta como no lineal pero los resultados de su estudio no difieren, en su mayora, a los realizados si se consideran como elementos lineales .Cuando, aplicando una fuerza adicional, se desplaza un punto material o un cuerpo rgido que estaba en equilibrio estable, aparece una vibracin mecnica:

1. Oscilacin horizontal de un cuerpounido a un resorte (fig. a) cuando sea parta de su posicin de equilibrio y luego se suelta.

2. Oscilacin vertical de un trampoln o de una varilla (fig. b) cuando se desplaza de su posicin de equilibrio y luego se suelta.

3. Oscilacin circular de la lenteja de un pndulo suspendida por un hilo inextensible de peso despreciable (fig. c) cuando se desplaza por suposicin de equilibrio y luego se suelta.