cat kuliah gelombang

86
Catatan Kuliah Gelombang Sri Soejati, M.Eng.Sc, Dede Djuhana, M.Si dan Iwan Sugihartono, M.Si Departemen Fisika-QUE Project Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia Depok 2004 Copyright© 2004 Que Project Departemen Fisika

Upload: orr271091

Post on 31-Jul-2015

330 views

Category:

Documents


44 download

TRANSCRIPT

Page 1: Cat Kuliah Gelombang

Catatan Kuliah Gelombang

Sri Soejati, M.Eng.Sc, Dede Djuhana, M.Si dan Iwan Sugihartono, M.Si

Departemen Fisika-QUE ProjectFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas IndonesiaDepok 2004

Copyright© 2004 Que Project Departemen Fisika

Page 2: Cat Kuliah Gelombang

Kata pengantar

Rasa syukur yang mendalam kami panjatkan kepada Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya

sehingga kami dapat menyelesaikan Buku catatan kuliah gelombang. Buku ini merupakan

catatan kuliah yang diajarkan dalam kuliah gelombang di Departemen Fisika pada semester

tiga. Pembuatan buku ini didanai dari kegiatan Teaching Grant–QUE Project Departemen

Fisika Agustus 2003 sampai Maret 2004. Materi buku ini hampir sebagian besar diambil dari

buku The physics of vibrations and Waves karangan H.J. Pain.

Buku catatan ini seluruhnya dikerjakan dengan menggunakan LATEX 2ε yaitu program pen-

golah kata(typesetting program) yang banyak digunakan dalam penulisan ilmiah. Dan pada

kesempatan ini kami ingin mengucapkan terima kasih kepada saudara Dede Djuhana dan

Iwan Sugihartono yang membantu dalam penyelesaian buku ini.

Tidak ada gading yang tak retak demikianlah ungkapan untuk buku ini yang jauh dari sem-

purna. Akhir kata kami berharap semoga buku ini dapat memberikan manfaat bagi mahasiswa

dalam mengikuti kuliah gelombang.

Depok, Agustus 2004

Sri Soejati, M.Eng.Sc

i

Page 3: Cat Kuliah Gelombang

Daftar Isi

Kata Pengantar i

Daftar Isi ii

Daftar Tabel v

Daftar Gambar vi

1 Gerak Harmonik Sederhana & Teredam 1

1.1 Persamaan gerak harmonik sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Energi dari GHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Superposisi 2 GHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Satu dimensi,frekuensi sama dan amplitudo dan fase berbeda . . . . . . 4

1.3.2 Satu dimensi, beda frekuensi, amplitudo dan fase sama . . . . . . . . . . 4

1.4 Superposisi dari 2 GHS yang saling tegak lurus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1 Frekuensi sama, amplitudo dan fase berbeda . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.2 Amplitudo dan fase berbeda dan periode perbandingan 1:2 . . . . . . . . 6

1.5 Superposisi sejumlah n GHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.1 Superposisi sejumlah n GHS yang sama amplitudo dan berbeda fase tetap 7

1.5.2 Superposisi n GHS denga amplitudo sama dan fase sembarang . . . . . 8

1.6 Gerak Harmonik Teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6.1 Energi dissipasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation) 13

2.1 Osilator Listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Osilator Mekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Daya dari gaya memaksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

ii

Page 4: Cat Kuliah Gelombang

iii DAFTAR ISI

3 Osilasi Terkopel 21

3.1 Osilator terkopel dengan kopling pegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan derajat kebebasan . . . 23

3.3 Metode umum penentuan frekuensi modus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Kopling massa atau induktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 Osilator terkopel pada dawai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Gelombang Transversal 32

4.1 Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Persamaan Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.1 Persamaan gelombang dalam tali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Impedansi karakteristik suatu dawai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4 Refleksi dan Transmisi gelombang pada dawai diperbatasan . . . . . . . . . . . 36

4.5 Refleksi dan Transmisi Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.6 Gelombang berdiri pada dawai dengan panjang tetap . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.7 Energi dawai bervibrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.8 Grup gelombang dan kecepatan grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.9 Gelombang grup dan teorema lebar band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.10 Gelombang transversal dalam struktur periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.11 Rangkaian linier dari 2 macam atom dalam kristal ionik . . . . . . . . . . . . . . 47

4.12 Absorpsi radiasi IR oleh kristal ionik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.13 Efek Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 Gelombang Longitudinal 50

5.1 Gelombang bunyi dalam gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2 Energi distribusi pada gelombang bunyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3 Intensitas gelombang bunyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4 Impedansi akustik spesifik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.5 Gelombang longitudinal dalam pegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.6 Gelombang longitudinal kawat elastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.7 Gelombang longitudinal dalam zat padat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.8 Aplikasi gelombang longitudinal pada gempa bumi . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.9 Gelombang longitudinal dalam struktur periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.10 Refleksi dan transmisi gelombang pada bidang batas . . . . . . . . . . . . . . . 57

6 Gelombang dimensi lebih dari satu 59

6.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2 Persamaan gelombang dua dimensi(2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3 Refleksi gelombang 2D pada batas tegar(waveguide)) . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.4 Modus normal pada membran segiempat 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.5 Gelombang tiga dimensi(3D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Teaching Grant QUE–Project

Page 5: Cat Kuliah Gelombang

DAFTAR ISI iv

6.6 Modus Normal dalam 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.7 Distribusi frekuensi dari radiasi energi benda panas . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.8 Teori Debye kalor spesifik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7 Gelombang pada jalur transmisi 69

7.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.2 Jalur transmisi tanpa hambatan(ideal lossless) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.3 Karakteristik Impedansi Jalur Transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.4 Refleksi dari ujung jalur transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.5 Efek Hambatan dalam Jalur Transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Daftar Pustaka 74

Daftar Indek 75

Teaching Grant QUE–Project

Page 6: Cat Kuliah Gelombang

Daftar Tabel

1.1 Sistem persamaan gerak harmonik sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

v

Page 7: Cat Kuliah Gelombang

Daftar Gambar

1.1 (a)Bandul matematik, (b)Piringan datar yang tergantung pada tali/kawat tegar,

(c)Sistem pegas, (d)Dawai dengan tegangan tali T tetap, (e)Pipa U berisi cairan

tidak viskos dan (f) Resonator akustik Helmholtz dimana gas berosilasi pada

leher botol dan mengalami proses adiabatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Grafik x vs t dengan titik awal pada siklus dalam sudut fase φ = 0. . . . . . . . . 3

1.3 Grafik energi potensial dan energi kinetik gerak harmonik sederhana terhadap

jarak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Penjumlahan vektor dari gerak harmonik sederhana sepanjang sumbu x pada

kecepatan sudut ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Superposisi dua gerak harmonik sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Lintasan yang dibentuk dari sistem bergerak simultan yang saling tegak lurus . . 5

1.7 Vektor superposisi dari n gerak harmonik sederhana dengan amplitudo masing-

masing a dan beda fase δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.8 Gerak harmonik teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.9 Teredam berat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.10 Teredam kritis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.11 Perbandingan logaritma dari dua amplitudo satu periode disebut penurunan log-

aritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1 (a) Osilator listrik dan (b)Osilator mekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Penjumlah vektor dari hambatan dan reaktansi menghasilkan impedansi listrik~Ze = R + i(ωL − 1/ωC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Grafik variasi φ versus ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Grafik variasi fase total antara pergeseran x dan ω . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Kecepatan gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Grafik variasi pergeseran gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa . . . . . . . . 17

vi

Page 8: Cat Kuliah Gelombang

vii DAFTAR GAMBAR

2.7 Keadaan steady state, OB=panjang vektor tunak tetap=BAo,BAi=vektor tran-

sien yang panjangnya berubah-ubah berupa vektor yang memutar berlawanan

arah jarum jam dan OAi=Amplitudo total pada waktu tertentu. . . . . . . . . . . . 18

2.8 Grafik Prerata terhadap ω sebagai kurva disipasi. Lebar pita ω2 − ω1 adalah

interval frekuensi pada saat Prerata = 12Prerata msk. . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.9 Kurva(a) menyatakan kurva disipatif anomali dan kurva (b) menyatakan kurva

absorpsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Dua pendulum sama yang tergantung, panjang l dan massa m terkopel oleh

sebuah kawat tak bermassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 (a)Gerakan sefase (b) Gerakan tidak sefase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Pergeseran dari saru bandul sejarak 2a merupakan kombinasi dari 2 koordinat

normal X dan Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Gerakan sistem merupakan kombinasi X − Y yaitu gerakan sefase X dan tidak

sefase Y dan X dan Y berbeda fase π radian (tanda minus). . . . . . . . . . . . . 25

3.5 Simpangan banduk kanan x dan simpangan bandul kiri y secara terpisah. Ter-

lihat pada gambar pada gerakan x menurun dari 2a ke nol, y gerakan naik dari

nol ke 2a dan terjadi pergantian energi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6 Modus normal vibrasi triatomik molekul CO2 dan H2O. . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.7 Rangkaian LC yang terkopel induktif dan induktansi mutual M . . . . . . . . . . . 27

3.8 Grafik amplitudo arus terhadap ω pada kondisi(a) Kopling kuat (b) Kopling sedang

dan (c) kopling lemah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.9 (a),(b) Massa ke-r bergerak keatas dibawah pengaruh gaya tegang T . . . . . . 29

4.1 Elemen kecil dari permukaan bola dimana tiap gradien ditentukan dengan se-

buah variabel tetap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Elemen pergeseran dari kawat dengan tegangan T . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Osilasi pergeseran dalam medium kontinu pada arah x-positif . . . . . . . . . . . 34

4.4 Besar dan arah dari kecepatan partikel pada arah x . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.5 Kawat sebagai sebuah osilator gaya vertikal F0eiωt . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.6 Gelombang refleksi dan transmisi dengan impedansi ρ1c1 pada batas x=0 di-

mana kawat mengalami perubahan impedansi ρ2c2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.7 Impedansi dari Z1 dan Z3 dari dua kawat yang disesuaikan oleh panjang kawat

dengan impedansi Z2. Gelombang datang dan refleksi ditunjukkan pada bidang

batas x=0 dan x=l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.8 Empat harmonik dari gelombang berdiri pada kawat yang ujungnya dijepit tetap . 40

4.9 Superposisi dari dua buah gelombang yang mempunyai beda frekuensi ω1 dan

ω2 yang kecil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.10 Kurva dispersif;(a)garis lurus menyatakan medium non-dispersi(b)hubungan dis-

persi normal (c) anomali dari hubungan dispersi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Teaching Grant QUE–Project

Page 9: Cat Kuliah Gelombang

DAFTAR GAMBAR viii

4.11 Anomali dispersi dari sifat indek refraksi n =√

ε terhadap ω dan λ, dimana ωo

frekuensi atom, absorpsi dinyatakan dengan garis putus-putus . . . . . . . . . . 44

4.12 Gelombang kotak dengan lebar pita ∆ω dengan n frekuensi, a amplitudo dan

beda frekuensi umum δω (b) Menyatakan pita frekuensi terhadap waktu sebagai

kurva kosinus pada frekuensi rata-rata ω amplitude modulasi sinα/α. . . . . . . 45

4.13 Hubungan dispersi ω(k) terhadap k untuk gelombang menjalar garis lurus yang

menggambarkan struktur periodik dalam atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.14 Hubungan dispersi untuk dua mode osilasi transversal dalam struktur kristal . . . 48

4.15 Pergeseran dari perbedaan jenis atom dalam dua mode dari osilasi transversal

dalam kristal (a) Mode optik (b) Mode akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1 Gelombang longitudinal dalam gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2 Persamaan gelombang dalam gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3 Daerah yang diarsir menunjukkan energi potensial pmvm/2 dikuatkan oleh gas

dalam kompresi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.4 Energi distribusi dalam ruang gelombang bunyi dalam gas. Baik energi potensial

dan kinetik adalah maksimum saat kecepatan partikel η adalah maksimum dan

nol pada η = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.5 Gelombang longitudinal dalam kristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.6 Refleksi dan transmisi gelombang bunyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.1 Gelombang bidang menjalar searah ~k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2 Membran dengan ukuran δx × δy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3 Perambatan gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan impedansi tak

terhingga saat y = 0 dan y = b memberikan nilai k2 tiap refleksi . . . . . . . . . . 62

6.4 Variasi amplitudo gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan n = 1, 2, 3 . 63

6.5 Mode normal membran persegi dalam arah ~k sesuai kondisi batas dari perge-

seran nol pada ujungnya a = n1λ/2 cos α dan b = n2λ/2 cos β . . . . . . . . . . . 64

6.6 Beberapa mode normal pada sebuah membran persegi dimana yang diarsir

menyatakan gerakan sinusiodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.7 Kisi persegi dalam ruang frekuensi. Panjang vektor pada titik pusat adalah nilai

frekuensi yang dibolehkan dan arah vektor menyatakan arah perambatan . . . . 66

6.8 Grafik radiasi benda hitam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.9 grafik Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.1 Suatu elemen dari jalur transmisi ideal dengan induktansi Lo(H/m) dan kapa-

sitansi Co(F/m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.2 Refleksi di ujung jalur transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.3 Efek hambatan dalam jalur transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.4 Tegangan dan arus pada ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Teaching Grant QUE–Project

Page 10: Cat Kuliah Gelombang

BAB 1

Gerak Harmonik Sederhana & Teredam

Gerak harmonik sederhana adalah gerakan di sekitar titik kesetimbangan bergerak bolak balik

dengan simpangan berbentuk garis lurus. Beberapa contoh gerak harmonik sederhana ditun-

jukkan pada Gambar.1.1 dan sistem persamaan geraknya dirumuskan seperti pada Tabel.1.1

Tabel 1.1: Sistem persamaan gerak harmonik sederhana

Sistem Persamaan gerak

Bandul matematik mx + mg xl = 0;ω2 = g

l

Piringan datar Iθ + Cθ = 0;ω2 = CI

Pegas mx + sx = 0;ω2 = sm

Dawai my + 2T yl = 0;ω2 = 2T

ml

Pipa-U x + 2gl x = 0;ω2 = 2g

l

Resonator Helmholtz x + γPAlρV x = 0

Hidrometer x + Aρgm x = 0

1.1 Persamaan gerak harmonik sederhana

Persamaan gerak harmonik tanpa peredaman

x + ωx = 0 (Mekanik) (1.1)

q + ωq = 0 (Listrik) (1.2)

1

Page 11: Cat Kuliah Gelombang

Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam 2

l

x

mg

θ

(a)

θ

(b)

x

s

m

(c)

m

TT

y

θ

(d)

x

x

2x

(e)

V ρl

x

(f)

Gambar 1.1: (a)Bandul matematik, (b)Piringan datar yang tergantung pada tali/kawat tegar, (c)Sistem

pegas, (d)Dawai dengan tegangan tali T tetap, (e)Pipa U berisi cairan tidak viskos dan (f) Resonator

akustik Helmholtz dimana gas berosilasi pada leher botol dan mengalami proses adiabatik

Penyelesaian persaaan gerak

x = A cos ωt + B sinωt (1.3)

= a sin(ωt + φ) (1.4)

1.2 Energi dari GHS

(a) Energi kinetik GHS dari bandul dengan massa m adalah

EK =1

2mx2 =

1

2ma2ω2 cos2(ωt + φ) (1.5)

(b) Energi potensial dari bandul adalah

EP =1

2sx2 =

1

2sa2 sin2(ωt + φ) ;ω =

s

m(1.6)

Teaching Grant QUE–Project

Page 12: Cat Kuliah Gelombang

3 Energi dari GHS

Gambar 1.2: Grafik x vs t dengan titik awal pada siklus dalam sudut fase φ = 0.

(c) Energi total dari bandul

E = EK + EP =1

2ma2ω2 =

1

2sa2 (1.7)

Gambar 1.3: Grafik energi potensial dan energi kinetik gerak harmonik sederhana terhadap jarak

Analog untuk GHS dari muatan pada rangkaian listrik LC yaitu

E =1

2Lq2 +

1

2

q2

C; q = qo sin(ωt + φ) = muatan (1.8)

=ω2L

2q2o cos2(ωt + φ) +

1

2Cq2o sin2(ωt + φ) (1.9)

Teaching Grant QUE–Project

Page 13: Cat Kuliah Gelombang

Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam 4

1.3 Superposisi 2 GHS

1.3.1 Satu dimensi,frekuensi sama dan amplitudo dan fase berbeda

Pandang suatu GHS berikut: x1 = a1 cos(ωt + φ1) dan x2 = a2 cos(ωt + φ2) dengan beda fase

φ2 − φ1 = δ. Resultan dari GHS adalah

x1 + x2 = R cos(ωt + θ) (1.10)

R2 = (a1 + a2 cos δ)2 + (a2 sin δ)2 = a21 + a2

2 + 2a1a2 cos δ

θ = arctan

(a1 sinφ1 + a2 sinφ2

a1 cos φ1 + a2 cos φ2

)

Gambar 1.4: Penjumlahan vektor dari gerak harmonik sederhana sepanjang sumbu x pada kecepatan

sudut ω

1.3.2 Satu dimensi, beda frekuensi, amplitudo dan fase sama

Pandang suatu GHS berikut: x1 = a sin(ω1t) dan x2 = a sin(ω2t) dengan ω2 > ω1 dan ω2−ω1 >

0 merupakan frekuensi pelayangan. Resultan dari GHS

x = x1 + x2 = a(sinω1t + sinω2t) = 2a sinω1 + ω2

2cos

ω2 − ω1

2t (1.11)

1.4 Superposisi dari 2 GHS yang saling tegak lurus

1.4.1 Frekuensi sama, amplitudo dan fase berbeda

Perbedaan fase (φ2 − φ1 = δ), kedua GHS itu adalah

x = a1 sin(ωt) + φ1) (1.12)

y = a2 sin(ωt + φ2) (1.13)

Teaching Grant QUE–Project

Page 14: Cat Kuliah Gelombang

5 Superposisi dari 2 GHS yang saling tegak lurus

Gambar 1.5: Superposisi dua gerak harmonik sederhana

Vibrasi partikel akibat menerima kedua getaran dalam bentuk x , y , φ2 , φ1 adalah dengan cara:

x

a1= sinωt cos φ1 + cos ωt sinφ1 (1.14)

y

a2= sinωt cos φ2 + cos ωt sinφ2

dan[

xa1

sinφ2 − ya2

sinφ1

]2+[

ya2

cos φ1 − xaa

cos φ1

]2=

x2

a21

sin2 φ2 + y2

a22

sin2 φ1 − 2 xya1a2

sinφ1 sinφ2 + x2

a21

cos2 φ2 + y2

a22

cos2 φ1−2 xy

a1a2cos φ1 cos φ2 = x2

a21

+ y2

a22

− 2xya1a2

cos(φ2 − φ1) = sin2(φ2 − φ1)

Persamaan (1.15) merupakan persamaan elips yang merupakan lintasan gerakan partikel.

Gambar 1.6: Lintasan yang dibentuk dari sistem bergerak simultan yang saling tegak lurus

Teaching Grant QUE–Project

Page 15: Cat Kuliah Gelombang

Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam 6

1.4.2 Amplitudo dan fase berbeda dan periode perbandingan 1:2

Kedua GHs dinyatakn sebagai: xa1

= sin(2ωt + φ1) dan yx2

= sin(ωt + φ2)

x

a1= sin(2ωt + φ1) = sin 2ωt cos φ1 + sinφ1 cos 2ωt (1.15)

= 2 sinωt cos ωt cosφ1 + (1 − 2 sin2 ωt) sinφ1

y

a2= sin(ωt + φ2) = sinωt cos φ2 + sinφ2 cos ωt (1.16)

Untuk memudahkan penjabaran diadaikan φ = φ1 − φ2 = φ1 karena φ2 = 0 sehingga :

x

a1= 2 sinωt cos φ1(1 − sin2 ωt)1/2 + (1 − 2 sin2 ωt) sinφ1 dan

y

a2= sinωt (1.17)

Eliminasi nilai t menjadi:

x

a1= 2

y

a2cos φ

(

1 − y2

a22

)1/2

+

(

1 − 2y2

a22

)

sinφ (1.18)

dan(

xa1

−(

(1 − 2y2

a22

)

sinφ)2

= 4y2

a22

(

1 − y2

a22

)

cos2 φ[(

xa1

− sinφ)

+ 2y2

a22

sinφ]2

= 4y2

a22

cos2 φ − 4y4

a42

cos2 φ(

xa1

− sinφ)2

+ 4y4

a42

sin2 φ + 4y2

a22

sinφ(

xa1

− sinφ)

=(

xa1

− sinφ)2

+4y4

a42

sin2 φ

︸ ︷︷ ︸

+4y2xa22a1

sinφ − 4y2

a22

sin2 φ

︸ ︷︷ ︸

=4y2

a22

cos2 φ

︸ ︷︷ ︸

− 4y4

a42

cos2 φ

︸ ︷︷ ︸(

xa1

− sinφ)2

+ 4y2xa22a1

sinφ = − 4y4

a42

+ 4y2

a22(

xa1

− sinφ)2

+ 4y2

a22

(y2

a22

+ xa1

sinφ − 1)

= 0

(1.19)

Kemudian bila bentuk φ dituliskan kembali dalam φ1 − φ2 maka persamaan (1.19) dapat dit-

uliskan: (x

a1− sin(φ1 − φ2)

)2

+4y2

a22

(y2

a22

+x

a1sin(φ1 − φ2) − 1

)

= 0 (1.20)

Persamaan(1.20) adalah persamaa dengan dua loop yang berbeda fase φ1−φ2 dan amplitudo

a1 dan a2

(a) Jika φ1 − φ2 = 0 dan φ1 − φ2 = π maka(

xa1

)2+ 4y2

a22

(y2

a22

− 1)

= 0

(b) Jika φ1 − φ2 = π4 maka

(xa1 − 1

2

√2)2

+ 4y2

a22

(y2

a22

+ xa1

(12

√2)− 1)

= 0

(c) Jika φ1 − φ2 = π2 maka

(xa1

− 1)2

+ 4y2

a22

(y2

a22

+ xa1

− 1)

= 0(

xa1

− 1)2

+ 4y2

a22

(xa1

− 1)

+(

2y2

a22

)2= 0

[(xa1

− 1)

+ 2y2

a22

]2= 0 →

[(xa1

− 1)

+ 2y2

a22

]

= 0

2y2

a22

= −(

xa1

− 1)

→ y2 = −a22

2

(xa1

− 1)

= − a22

2a1(x − a1)

(1.21)

Suatu persamaan parabola cekung(concave) ke arah x

Teaching Grant QUE–Project

Page 16: Cat Kuliah Gelombang

7 Superposisi sejumlah n GHS

1.5 Superposisi sejumlah n GHS

1.5.1 Superposisi sejumlah n GHS yang sama amplitudo dan berbeda fase tetap

Gambar 1.7: Vektor superposisi dari n gerak harmonik sederhana dengan amplitudo masing-masing a

dan beda fase δ

Gambar.1.7 menyatakan α adalah sudut fase resultan R=∠CAB ∠ABO = 180o−δ2 = 90o −

δ2 = ∠OAB; ∠OAC = 180o−nδ

2 = 90o − nδ2 sehingga α = ∠OAB − ∠OAC = (n − 1)δ/2. R

menyatakan alas4AOC dengan sudut puncak nδ → R = 2rsin nδ2 . Ditinjau pada Gambar.1.5,

R menyatakan amplitudo, fungsi getaran resultan diandaikan berbentuk R cos(ωt + α) dapat

juga berbentuk R sin(ωt + α).

R cos(ωt + α) = a cos ωt + a cos(ωt + δ) + a cos(ωt + 2δ) + a cos(ωt + 3δ) + · · · (1.22)

dan

R = 2r sinnδ

2dengan a = 2r sin

δ

2atau r =

a

2 sin δ/2(1.23)

= asinnδ/2

sin δ/2= disebut juga besar resultan

∴ R cos(ωt + α) = asinnδ/2

sin δ/2cos(ωt + (n − 1)δ/2)) = fungsi getaran

R =a sinα

sin δ/2; bila n → ∞ → α = (n − 1)

δ

2≈ nδ

2→ α

2=

δ

2; sin

δ

2≈ δ

2=

α

2(1.24)

R = asinα

α/n= na

sinα

α= na sinc(α)

Analog diatas fungsi getaran

R sin(ωt + α) = a sinωt + a sin(ωt + δ) + a sin(ωt + 2δ) + a sin(ωt + 3δ) + · · · (1.25)

R sin(ωt + α) = asinnδ/2

sin δ/2sin(ωt + (n − 1)

δ

2)

Teaching Grant QUE–Project

Page 17: Cat Kuliah Gelombang

Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam 8

Secara matematis superposisi n GHS dalam bentuk komplek

R ei(ωt+α) = a eiωt + a ei(ωt+δ) + a ei(ωt+2δ) + a ei(ω+3δ) + · · ·= aeiωt(1 + eiδ + ei2δ + ei3α + · · · )

= a eiωt 1 − einδ

1 − eiδ

= a eiωt einδ/2(e−inδ/2 − einδ/2)

eiδ/2(e−iδ/2 − eiδ/2)

= aei(ωt+(n−1) δ2)−2i sin nδ

2

−2i sin δ2

= asin nδ

2

sin δ2

[

cos(ωt + (n − 1)δ/2) + i sin(ωt + (n − 1)δ/2)

]

= R[

cos(ωt + α) + i sin(ωt + (n − 1)δ/2)]

(1.26)

atau dapat dituliskan

R cos(ωt + α) = asin nδ

2

sin δ2

cos(ωt + (n − 1)δ/2) (1.27)

R sin(ωt + α) = asin nδ

2

sin δ2

sin(ωt + (n − 1)δ/2)

1.5.2 Superposisi n GHS denga amplitudo sama dan fase sembarang

Jika R adalah resultan dengan komponen pada sumbu x (Rx) dan sumbu y (Ry) maka dapat

dituliskan :R = (R2

x + R2y)

1/2

Rx = a cos φ1 + a cos φ2 + a cos φ3 + · · · = a

n∑

i=1

cos φi

Ry = a sinφ1 + a sinφ2 + a sinφ3 + · · · = an∑

i=1

sinφi

R2x = a2

( n∑

i=1

cos2 φi

)

= a2[∑

cos2 φi +∑

cosφi

cos φj︸ ︷︷ ︸

]

〈R2x〉 = 1

2na2 ; 〈R2y〉 = 1

2na2 → R2 = na2 → R =√

na

(1.28)

Dikatakan ada n acak fasenya, amplitudo resultan adalah R =√

na dan intensitas getaran na2,

sedangkan getaran/vibrasi hasil n GHS sefase mempunyai intensitas n2a2.

1.6 Gerak Harmonik Teredam

Dalam keadaan sehari-hari adanya redaman, karena sistem resistif, viscous, friksi dll. Gaya

redaman tergantung pada kecepatan atau rx, dengan r=konstanta redaman=konstanta pro-

porsional. Sehingga persamaan gerak harmonik teredam menjadi

Teaching Grant QUE–Project

Page 18: Cat Kuliah Gelombang

9 Gerak Harmonik Teredam

Gambar 1.8: Gerak harmonik teredam

mx = −sx − rx (1.29)

= gaya pulih+gaya redaman

Dengan redaman, amplitudo gerakan tidak tetap, menurun menurut fungsi waktu, selain itu

energi ada yang hilang. Secara terinci akan dilihat pergeseran (x) merupakan fungsi waktu (t).

mx = −sx − rx

mx + sx + rx = 0 (1.30)

Andaikan penyelesaian

x = Ceαt → x = Cαeαt → x = Cα2eαt

mCα2eαt + rCαeαt + sCeαt = 0 (1.31)

mα2 + rα + s = 0

α = − r

2m±√

r2

4m2− s

m

∴ x = Ce(r/2m)t︸ ︷︷ ︸

Amplitudo

exp( r2

4m2− s

m

) 1

2t

(1.32)

Macam-macam gerak harmonik teredam yaitu:

(a) Bila r2

4m2 − sm > 0 atau r2

4m2 > sm yaitu keadaan teredam berat sehingga dapat dituliskan

x = e(r/2m)t(F cosh qt + G sinh qt) q =

r2

4m2− s

m

1/2

(1.33)

x = Ge(r/2m)t sinh qt t = 0, x = 0 → F = 0

(b) Bila r2

4m2 − sm = 0 atau r2

4m2 = sm yaitu keadaan teredam kritis

x = e(r/2m)t(A + Bt) (1.34)

Teaching Grant QUE–Project

Page 19: Cat Kuliah Gelombang

Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam 10

Gambar 1.9: Teredam berat

Contoh GHS terdeam kritis pada galvanometer balistik. Pada galvanometer dengan kondisi

pada t = 0 → x = 0 dan x = V → x = e(r/2m)t(A + Bt) dan berarti

x = − r

2m(A + Bt)e−(r/2m)t + Be−(r/2m)t V = − r

2mA + B (1.35)

x = 0 = A → A = 0 → V = B

x = V t e−(r/2m)t → t =2m

r→ x = V

(2m

r

)

e−1

Nilai t = 2mr disebut waktu minimum osilasi dicapai sebelum pergeseran menurun menjadi

nol.

Gambar 1.10: Teredam kritis

Teaching Grant QUE–Project

Page 20: Cat Kuliah Gelombang

11 Gerak Harmonik Teredam

(c) Bila r2

4m2− sm < 0 atau r2

4m2 < sm → ±

(r2

4m2 − sm

)1/2= ±i

(sm − r2

4m2

)1/2= ±iω′(teredam ringan)

x = Ce−(r/2m)te±ω′t = e−(r/2m)t[

C1eiω′t + C2e

−iω′t]

diandaikan C1 =A

2ieiφ C2 = −A

2ieiφ

= Ae−(r/2m)t A

2i

[

ei(ω′t+φ) − e−i(ω′t+φ)]

= Ae−(r/2m)t sin(ω′t + φ)

Beberapa besaran yang menyatakan adanya redaman pada osilator

(a) Logaritmic decrement (δ)

δ = lnAn

An+1

An= amplitudo pada t = nτ ′,τ ′ = 2πω =periode, An+1=amplitudo pada t = (n + 1)τ ′

δ = lnAn

An+1= ln

Ae−(r/2m)nτ ′

sin(ω′t1 + φ)

Ae−(r/2m)(n+1)τ ′ sin(ω′t2 + φ

= ln e(r/2m)τ ′

dengan ω′t1 = 2nπ; ω′t2 = (n + 1)2π → φ =π

2

Kalau r → δ artinya nisbah/ratio amplitudo mendekati satu atau penurunan amplitudo

kecil.

(b) Waktu relaksasi modulus=tr ialah saat amplitudo menjadi Aoe−1 (Ao=amplitudo pada saat

t=0)

Atr = Aoe−1 = Aoe

−(r/2m)tr → tr =2m

r

Waktu relaksasi perlu ditentukan karena pada osilasi ini sampai t → ∞(secara teori)

(c) Q = Faktor kualitas =energi tersimpan dalam sistemenergi yang hilang per siklus

Jika amplitudo A = Aoe−rt/2m → E = A2

oe(−rt/2m)2 = Eoe

−rt/m maka

dE = −Eor

me−rt/mdt =

−r

mEdt

−dE =r

mEτ ′ =

r

mE

1

ν ′(energi yang hilang dalam satu siklus)

Q

2π=

E

−dE=

E

r/mEτ ′=

m

rτ ′=

mν ′

r=

mω′/2π

r→ Q =

mω′

r

Jika r kecil → ω′ =(

sm

)1/2= ωo → Q = mωo

r dan r → Q . Alat dengan r mempunyai Q , seperti atom yang meradiasi elektron sama dengan osilator teredam

mempunyai Q ≈ 108

Teaching Grant QUE–Project

Page 21: Cat Kuliah Gelombang

Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam 12

Gambar 1.11: Perbandingan logaritma dari dua amplitudo satu periode disebut penurunan logaritma

1.6.1 Energi dissipasi

Energi dissipasi ialah energi yang hilang pada redaman/hamburan dan dinyatakan besarnya

dE dengan E = 12mx2 + 1

2sx2

dE =d

dt

(1

2mx2 +

1

2sx2

)

= mxx + sxx

= x(−rx) → mx + rx + sx = 0 Energi yang hilang/dissipasi

dEdt = −rx2 menyatakan energi yang hilang persatuan waktu atau laju kerja melawan gaya

friksi/gaya hambat.

Teaching Grant QUE–Project

Page 22: Cat Kuliah Gelombang

BAB 2

Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation)

Pada bagian ini kita akan membahas mengenai osilator dengan gaya yang memaksa F =

Fo cos ωt dan potensial V = Vo cos ωt pada masing-masig osilator mekanik dan listrik. Menurut

hukum Kirchoff beda potensial pada rangkaian Gambar.2.1(a) adalah

LdI

dt+ IR +

q

C= V (2.1)

Ld2q

d2t+ R

dq

dt+

q

C= Vo cos ωt

Dalam bentuk osilator mekanik menjadi

mx + rx + sx = Fo cos ωt (2.2)

(a) (b)

Gambar 2.1: (a) Osilator listrik dan (b)Osilator mekanik

13

Page 23: Cat Kuliah Gelombang

Bab2. Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation) 14

2.1 Osilator Listrik

Osilator listrik dalam bentuk komplek dapat dituliskan

Ld2q

d2t+ R

dq

dt+

q

C= Voe

iωt (2.3)

Bentuk penyelesaiannya adalah

q = qoeiωt (2.4a)

˙q = qo(iω)eiωt (2.4b)

¨q = qo(−ω2)eiωt(−qoω2L + iωqoR +

qo

C)eiωt = Voe

iωt (2.4c)

qo =Vo

iωR + ( 1C − ω2L)

= − iVo

ωZe(2.4d)

Ze = (R + i(ωL − 1ωC ))=Impedansi. |Ze| = Ze=harga mutlak Ze. Ze = Zee

iφ = (R2 + (ωL −1

ωC )2)1/2. Maka solusi untuk q adalah

q =−iVo

ωZe=

−iVoeiωt

ωZee(iφ)=

−iVo

ωZeei(ωt−φ)

q =−iVo

ωZe

[

cos(ωt − φ) + i sin(ωt − φ)]

(2.5)

Gambar 2.2: Penjumlah vektor dari hambatan dan reaktansi menghasilkan impedansi listrik ~Ze = R +

i(ωL − 1/ωC)

2.2 Osilator Mekanik

Osilator mekanik(Gambar.2.1(b)) dalam bentuk komplek dituliskan

m¨x + r ˙x + sx = Foeiωt (2.6)

Penyelesaian untuk osilator mekanik

x = Aeiωt (2.7a)

˙x = iAωeiωt (2.7b)

¨x = −ω2Ae(iωt) (2.7c)

A =Fo

iωr + (s − ω2m)=

−iFo

ωZm(2.7d)

Teaching Grant QUE–Project

Page 24: Cat Kuliah Gelombang

15 Osilator Mekanik

Zm = (r + i(mω − sω ))=Impedansi. |Zm| = Zm=harga mutlak Zm. Zm = Zmeiφ = (r2 + (ωm−

sω )2)1/2eiφ. Maka solusi untuk x adalah

x =−iFo

ωZmei(ωt−φ)

x =−iFo

ωZm

[

cos(ωt − φ) + i sin(ωt − φ)]

x =Fo

ωZm

[

sin(ωt − φ) − i cos(ωt − φ)]

(2.8)

Dari osilator listrik dan mekanik bila dinyatakan F = Fo(cos ωt) dan V = Vo(cos ωt) maka jika

gaya dan potensial yang diberikan pada sistem berbentuk Fo cos ωt dan Vo cos ωt nilai x dan q

adalah

x =Fo

ωZmsin(ωt − φ) dan q =

Vo

ωZesin(ωt − φ) (2.9)

Dan jika gaya yang diberikan sistem berbentuk Fo sinωt dan Vo sinωt nilai x dan q adalah

x =−Fo

ωZmcos(ωt − φ) dan q =

−Vo

ωZecos(ωt − φ) (2.10)

Secara umum kecepatan beban m pada osilator mekanik adalah

Gambar 2.3: Grafik variasi φ versus ω

x = v =Fo

Zmei(ωt−φ) (2.11)

atau

F = Fo cosωt → v =Fo

Zmcos(ωt − φ) dan x =

Fo

ωZmsin(ωt − φ) (2.12)

Dari grafik pada Gambar 2.4 terlihat v selalu ketinggalan φ terhadap gaya yang memaksa

dan x ketinggalan (90o + φ) terhadap gaya Fo cos ωt. Kecepatan v = FoZm

cos(ωt − φ) dan

amplitudo v = FoZm

= Fo

(r2+(ωm−sω

)2)1/2 menunjukkan :

Teaching Grant QUE–Project

Page 25: Cat Kuliah Gelombang

Bab2. Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation) 16

Gambar 2.4: Grafik variasi fase total antara pergeseran x dan ω

(a) Pada ω → 0 maka v ∼= 0

(b) Pada ω = ωo maka amplitudo kecepatan maksimum Ar = For dan terjadi resonansi ke-

cepatan.

(c) Pada ω maka vA = Foωm ≈ 0.

Gambar 2.5: Kecepatan gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa

Pergeseran x dan amplitudo Ax = Fo

ω(r2+(ωm−sω

)2)1/2 menunjukkan :

(a) Pada ω → 0 maka x = Fos

(b) Pada ω = ωo → Ax = Foωor .

(c) Pada ω → Ax = Foω2m

≈ 0.

Ditinjau secara lengkap pergeseran x berbentuk

1. Pergeseran Transient

(a) Transient yaitu fungsi pergeseran dari persamaan mx + rx + sx = 0

x = Ce(−rt/2m)e(i( sm−

r2

4m2 ))

Teaching Grant QUE–Project

Page 26: Cat Kuliah Gelombang

17 Daya dari gaya memaksa

Gambar 2.6: Grafik variasi pergeseran gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa

(b) Steady state yaitu berbentuk pergeseran berjalan terus walaupun bentuk/keadaan

transient sudah mati.Bila digambarkan x terhadap waktu t, keadaan steady (tu-

nak) yang dimodulasi oleh transien yang meluruh eksponesial e(−rt/2m) terhadap

waktu(Gambar.2.7).

2. Steady state dengan yang khusus, mempunyai pergeseran

x =Fo

ωZmsin(ωt − φ)

=Fo

ωZm(sinωt cos φ − cos ωt sinφ)

=Fo

ωZm

[

sinωt

(r

Zm

)

︸ ︷︷ ︸

bagian resistif

− cos ωt

(Xm

Zm

)

︸ ︷︷ ︸

bagian reaktif

]

2.3 Daya dari gaya memaksa

Suatu keadaan tunak tercapai bila energi yang hilang sebesar usaha yang dilakukan oleh gaya

yang memaksa. Sehingga daya P sesaat sebesar hasil kali gaya yang memaksa sesaat den-

gan kecepatan sesaat, atau

P = Fv = Fo cos ωt

(Fo

Zmcos(ωt − φ)

)

=F 2

o

Zmcos ωt(cos ωt cos φ + sinωt sinφ)

Prerata = 〈P 〉 =

∫ T

0

F 2o

Zmcos ωt(cos ωt cos φ + sinωt sinφ)dt

=F 2

o

2Zmcos φ (T=periode) (2.13)

Teaching Grant QUE–Project

Page 27: Cat Kuliah Gelombang

Bab2. Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation) 18

Gambar 2.7: Keadaan steady state, OB=panjang vektor tunak tetap=BAo,BAi=vektor transien yang

panjangnya berubah-ubah berupa vektor yang memutar berlawanan arah jarum jam dan OAi=Amplitudo

total pada waktu tertentu.

Sedangkan kerja oleh gaya friksi sesaat adalah rx2 = r F 2o

Z2m

cos2(ωt − φ) dan rerata kerja oleh

gaya friksi adalah

〈W 〉 =1

2

rF 2o

Z2m

=1

2

rF 2o

Zmcos φ → r

Zm= cos φ (2.14)

Hubungan faktor kualitas Q dengan lebar pita didefinisikan Q = ωoω2−ω1

. Makin sempit lebar

pita maka nilai Q makin besar.

1. Kurva (a)

FoXm

ωZ2m

= −Fo

ω

[ ωm − s/ω

r2 + (ωm − s/ω)2

]

= −Fom(ω − s/ωm)(1/ω)

r2 + (m2)(ω − s/m))2

=Fom(1/ω)(ω2

o − ω2)(1/ω)m2

ω2 (ω2o − ω2)2 + r2

=Fom(ω2

o − ω2)

m2(ω2o − ω2)2 + ω2r2

Fraksi reaktif impedansi XmZ2

mmerupakan komponen energi yang tersimpan dalam medium,

merupakan faktor yang mengatur kecepatan dalam medium dan selanjutya menentukan

indeks bias.

Teaching Grant QUE–Project

Page 28: Cat Kuliah Gelombang

19 Daya dari gaya memaksa

Gambar 2.8: Grafik Prerata terhadap ω sebagai kurva disipasi. Lebar pita ω2 − ω1 adalah interval

frekuensi pada saat Prerata = 1

2Prerata msk.

Gambar 2.9: Kurva(a) menyatakan kurva disipatif anomali dan kurva (b) menyatakan kurva absorpsi.

2. Kurva (b)

For

ωZ2m

=For

ω(r2 + (ωm − s/ω)2)=

For

ω(r2 + m2(ω − s/mω)2)

=For

ωm2(

ω2−ω2o

ω

)2+ ωr2

=Foωr

m2(ω2o − ω2) + ωr2

Fraksi resistif impedansi rZ2

madalah fraksi yang terdisipasi atau terabsorpsi dan energi

yang hilang (loss) sebanding −rx2. Dengan x menyatakan kecepatan pada arah bagian

ini yaitu arah xnya ketinggalan 90o terhadap gaya dan kecepatan searah dengan gaya.

Energi yang hilang sebanding dengan r.

Teaching Grant QUE–Project

Page 29: Cat Kuliah Gelombang

Bab2. Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation) 20

Menjadi pertanyaan berapakah lebar pita? diketahui ω2 − ω1 adalah lebar frekuensi pada saat

Prerata sebesar 12Prerata mak

Prerata =rF 2

o

2Z2m

=1

2

F 2o

2r→ Z2

m = 2r2

r2 + X2m = 2r2 Xm = ωm − s/ω = ±r

Dengan ω2 > ω1 sehingga ω2m − s/ω = +r dan ω1m − s/ω = −r

mω2

ω1− s

ω2ω1=

r

ω1mω2

ω1− s

ω2ω1= − r

ω2dan

mω1

ω2− s

ω1ω2= − r

ω2

m

(ω2

ω1− ω1

ω2

)

= r(1/ω1 + 1/ω2) = rω1 + ω2

ω1ω2= m

ω22 − ω2

1

ω1ω2

ω2 − ω1 =r

m

Faktor kualitas Q = ωomr = ωo

ω2−ω1dan ω1 = ωo − r/2m serta ω2 = ωo + r/2m. ω1 dan ω2

merupakan 2 frekuensi yang penting, merupakan 2 puncak kurva reaktif dan mempunyai daya

serap yang sama.

Teaching Grant QUE–Project

Page 30: Cat Kuliah Gelombang

BAB 3

Osilasi Terkopel

Pada bagian ini yang akan dibicarakan adalah menyangkut dua atau lebih osilator terkopel,

dengan komponen yang mengkopel, kapasitor atau pegas, induktor atau massa atau resistor.

Energi terkirim melewati kopling, tetapi bila melalui resistor, energi hilang (loss) atau berupa en-

ergi terdisipasi dan osilasi/vibrasi menjadi berhenti. Osilator terkopel menjadi dasar terjadinya

gelombang dan akan dibahas adalah osilator kopling pegas atau kapasitor dan osilator terkopel

massa atau induktor.

3.1 Osilator terkopel dengan kopling pegas

Dua osilator yaitu bandul identik dengan massa m tergantung pada kawat ringan panjangnya

l. Kedua massa dihubungkan atau dikopling dengan pegas (kekakuan,s). Panjang pegas

sedemikian terentang diantara kedua massa yang berasa dalam kesetimbangan dan perge-

seran nol. Osilasi kecil terjadi pada bidang kertas dan kedua massa bergerak dengan per-

samaan gerak.

mx = −mgx

l− s(x − y) (3.1)

my = −mgy

l− s(y − x) (3.2)

Dari persamaan (3.1) dan (3.2) bentuk GHS dengan bentuk gaya yang mengkopel dari pegas

s(x − y) pada bandul 1 dan (s(y − x) pada bandul 2. Bila ω2o = g

l , persamaan (3.1) dan (3.2

dapat dituliskan

x + ω2ox = − s

m(x − y) (3.3)

y + ω2oy = − s

m− s(y − x) (3.4)

Bagaimana penyelesaian persamaan (3.3) dan (3.4 ?

21

Page 31: Cat Kuliah Gelombang

Bab3. Osilasi Terkopel 22

Gambar 3.1: Dua pendulum sama yang tergantung, panjang l dan massa m terkopel oleh sebuah kawat

tak bermassa

Jika persamaan (3.3) ditambah dengan (3.4) menjadi

x + y + ω2o(x + y) = − s

m(x − y) − s

m(y − x)

x + y + ω2o(x + y) = 0 (3.5)

Jika persamaan (3.3) dikurang dengan (3.4) menjadi

(x − y) + ω2o(x − y) = − s

m(x − y) +

s

m(y − x) = −2s

m(x − y)

(x − y) +

(

ω2o +

2s

m

)

(x + y) = 0 (3.6)

Diandaikan kemudian x + y = X dan x − y = Y maka persamaan (3.5) dan persamaan (3.6)

menjadi

X + ω2oX = 0 (3.7)

Y +

(

ω2o +

2s

m

)

Y = 0 (3.8)

Dari kedua persamaan(3.7) dan persamaan(3.8) diperoleh penyelesaian dan pergeseran

x dan y dapat diperoleh yang merupakan fungsi waktu. Kedua persamaan itu adalah GHS

dengan kordinat X dan Y yang menggambarkan osilator terkopel. Jika Y = 0 = x− y → x = y

pada setiap saat maka gerakan ditunjukkan oleh gerakan dengan X + ω2oX = 0. Frekuensi

ωo = ω1. Kedua pendulum sama, gerakan keduanya sefase, pegas tidak berfungsi sebagai

kopling, panjang tetap natural(alamiah) yang ditunjukkan pada Gambar 3.1.

1. Jika X = 0 = x + y → x = −y terjadi setiap saat dan gerakan sistem digambarkan

oleh gerakan dengan persamaan (3.8). Kedua bandul bergerak tidak sefase (Gam-

bar 3.2) dengan kopling terentang, terkompresi, kopling bekerja efektif dengan frekuensi(ω2

o + 2sm

)1/2= ω2.

2. Gerakan tidak sefase (out of phase) dengan frekuensi ω2 ω1.

Teaching Grant QUE–Project

Page 32: Cat Kuliah Gelombang

23 Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan derajat kebebasan

Gambar 3.2: (a)Gerakan sefase (b) Gerakan tidak sefase

3.2 Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan dera-

jat kebebasan

Pada pembahasan gerakan sistem diatas telah dipilih koordinat X dan Y , yaitu suatu perameter

yang menggambarkan gerakan sistem dan disebut koordinat normal. Beberapa parameter

koordinat normal :

(a) Koordinat normal, X dan Y yaitu koordinat yang menggambarkan gerkana sistem. Masing-

masing berupa perubah persamaan gerak GHS yang persamaan tersebut berupa persaa-

maan gerak orde-2.

(b) ω1 dan ω2 disebut frekuensi normal atau modus normal.

(c) Masing-masing GHS disebut modus atau mode.

(d) energi untuk tiap modus dapat dinyatakan sebagai

Ex = aX2 + bX2

Ey = cY 2 + dY 2

a, b, c, d suatu tetapan.Ex dan Ey tidak dapat saling tukar, hanya saja bila modus satu

bergerak/bervibrasi, modus dua diam.

(e) Pada dua osilator terkopel, berarati ada dua energi total (energi kinetik dan energi poten-

sial) dari dua GHS dengan 2 × 2 derajat kebebasan. Derajat kebebasan adalah bilan-

gan/jumlah cara menyatakan energinya. Sistem osilator ini mempunyai 4 derajat kebe-

basan.

Selanjutnya bagaimana pergeseran masing-masing bandul atau x dan y. Ditinjau kembali

koordinat-koordinat

X = Xo cos(ω1t + φ1) = x + y

Y = Yo cos(ω1t + φ1) = x − y

Teaching Grant QUE–Project

Page 33: Cat Kuliah Gelombang

Bab3. Osilasi Terkopel 24

Xo, Yo=amplitudo modus normal.Kemudian untuk menyederhanakan, diandaikan Xo = Yo = 2a

dan φ1 = φ2 = 0

x =1

2(X + Y ) = a cos ω1t + a cos ω2t (3.9)

y =1

2(X − Y ) = a cos ω1t − a cos ω2t (3.10)

Kecepatan

x = −aω1 sinω1t − aω2 sinω2t (3.11)

y = −aω1 sinω1t − aω2 sinω2 (3.12)

Andaikan pada t = 0 → x = 0; y = 0; x = y = 0,x = 2a dan y = 0. Benda 1 ditarik sepan-

jang 2a, kemudian dilepas maka sistem bervibrasi yang merupakan superposisi dari modus X

dan Y . Gambar 3.3 menunjukkan pergeseran awal pada t=0,x=2a dan y=0 berupa kombinasi

Gambar 3.3: Pergeseran dari saru bandul sejarak 2a merupakan kombinasi dari 2 koordinat normal X

dan Y

modus sefase (x = y = a,Xo = (x + y)o = 2a) dan modus tidak sefase (x = −y = a, Yo = 2a).

Bandul kanan ditarik sepanjang x = 2a, kemudian dilepas, gerakan yang terjadi dengan sim-

pangan

x = a cos ω1t + a cos ω2t = 2a cos(ω2 − ω1)t

2cos

(ω1 + ω2)t

2(3.13)

dan bandul kiri dengan simpangan

y = a cos ω1t − a cos ω2t = −2a sin(ω1 − ω2)t

2sin

(ω2 + ω1)t

2

= 2a sin(ω2 − ω1)t

2sin

(ω2 + ω1)t

2(3.14)

Simpangan x berupa fungsi cosinus dengan frekuensi rerata, amplitudo bervariasi berupa

fungsi cosinus dengan frekuensi ω2−ω1

2 dan amplitudo fungsi y bervariasi dengan fungsi si-

nus dan frekuensi ω2−ω1

2 . Pergantian energi antara kedua bandul terjadi secara komplit hanya

mungkin bila nisbah ω2+ω1

ω2−ω1=bilangan bulat. Pada variasi perubahan amplitudo sangat lambat

yaitu terjadi pada ω1 ≈ ω2 atau yang disebut ω2 − ω1=pelayangan (“beat”).

Teaching Grant QUE–Project

Page 34: Cat Kuliah Gelombang

25 Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan derajat kebebasan

Gambar 3.4: Gerakan sistem merupakan kombinasi X − Y yaitu gerakan sefase X dan tidak sefase Y

dan X dan Y berbeda fase π radian (tanda minus).

Gambar 3.5: Simpangan banduk kanan x dan simpangan bandul kiri y secara terpisah. Terlihat pada

gambar pada gerakan x menurun dari 2a ke nol, y gerakan naik dari nol ke 2a dan terjadi pergantian

energi.

Pada kasus lain yaitu pada awalnya (t=0) bandul kiri diberi simpangan 2a dan x=0, kemudian

bandul dilepas, maka yang terjadi gerakan merupakan kombinasi X−Y , agar y = 2a dan x = 0.

Ditegaskan lagi disini pada bandul terjadi pergantian energi (exchange energy) tetapi tidak

terjadi pada modus normal. Contohnya adalah atom-atom dalam molekul seperti CO2 (molekul

non-polar) dan H2O (molekul polar) merupakan osilator terkopel dalam molekul. Berturut-turut

molekul mempunyai 3,3,3 frekuensi modus( Gambar 3.6). Molekul non-polar susunan atom

linier dan molekul polar susunan atom tidak linier, momen dipole tidak nol seperti H2O, momen

dipole H2O=1.85 Debye,PCO2= 0 artinya bila P 6= 0 titik berat muatan positif tidak berhimpit

Teaching Grant QUE–Project

Page 35: Cat Kuliah Gelombang

Bab3. Osilasi Terkopel 26

Gambar 3.6: Modus normal vibrasi triatomik molekul CO2 dan H2O.

dengan titik berat muatan negatif.

3.3 Metode umum penentuan frekuensi modus

Masalah dua osilator terkopel dengan pegas ditunjukkan pada Gambar 3.1. Kedua bandul

mempunyai persamaan gerak

mx + mg

(x

g

)

+ s(x − y) = 0 (3.15)

my + mg

(y

g

)

+ s(y − x) = 0 (3.16)

Diandaikan penyelesaian persamaan diatas adalah

x = A cos ωt (3.17)

y = B cos ωt (3.18)

dengan A dan B adalah amplitudo. Pergeseran x dan y pada frekuensi ω, kedua bandul dari

keadaan diam. Untuk memperoleh ω,x dan y dimasukan kembali pada persamaan gerak,

sehingga menjadi[

−mω2A +(mg

l

)

A + s(A − B)]

cos ωt = 0 (3.19)[

−mω2B +(mg

l

)

B + s(B − A)]

cos ωt = 0 (3.20)

Kedua persamaan gerak ini dijumlahkan diperoleh

(A + B)(

−mω2 +mg

l

)

= 0 → ω2 =g

l= ω2

1 (3.21)

Teaching Grant QUE–Project

Page 36: Cat Kuliah Gelombang

27 Kopling massa atau induktor

dengan ω1 adalah frekuensi normal modus pertama. Jika kedua persamaan dikurangkan diper-

oleh

(A + B)(

−mω2 +mg

l+ 2s

)

= 0 → ω2 =g

l+

2s

m= ω2

2 (3.22)

dengan ω2 adalah frekuensi normal modus kedua. Dapat dikatakan

1. ω2 = gl dimasukan ke persamaan awal → A = B berarti bandul bergerak sefase

2. ω2 = gl + 2s

m → A = −B artinya kedua bandul bergerak berlawanan fase.

Kedua frekuensi normal akan diperoleh dengan cara sama bila x = A cos(ωt + α) dan y =

B cos(ωt + α), yang artinya bila pada awal bandul mempunyai kecepatan awal.

3.4 Kopling massa atau induktor

Kalau pada kopling pegas, faktor yang mengkopling kekakuan pegasnya, maka kalau kopling

induktor, faktor koplingnya dari induktansi mutualnya. Berikut ini ditunjukkan dua osilator dari

rangkaian LC terkopel (Gambar 3.7). Jika np banyaknya lilitan primer dan ns banyaknya lilitan

Gambar 3.7: Rangkaian LC yang terkopel induktif dan induktansi mutual M .

sekunder, kedua lilitan berarus satu satuan arus, maka total fluks oleh semua lilitan np ialahnp×(npφ). Induktansi diri dari koil pertama Lp = n2

pφ, jika pada kondisi yang sama pada koil

kedua, induktansi diri sekunder Ls = n2sφ, φ adalah fluks yang diinduktasikan oleh koil satu

dan diterima oleh koil kedua maka induktansi mutualnya M = ns(npφ) =(√

Lsφ

)(√Lp

φ

)

φ =√

LsLp. Pada kenyataan praktis

M <√

LpLs →M

√LpLs

= k; (k=koefisien kopling) (3.23)

Bila M √

LpLs → k dan kopling lemah, sebaliknya jika M ∼=√

LpLs → k dissebut

kopling kuat.

Teaching Grant QUE–Project

Page 37: Cat Kuliah Gelombang

Bab3. Osilasi Terkopel 28

Kemudian bagaimana penentuan frekuensi modus osilasi ini? Pada koil pertama berarus

Ip = Io exp(iωt), voltase induksi pada Lp ialah

−LpdIp

dt= −Lp(iω)Ioe

iωt

dan voltase (tgl) induksi pada koil dua adalah

−MdIp

dt= −iωMIp

Voltase(tgl) induksi oleh koil dua pada koil satu

−MdIs

dt= −iωMIs

Kemudian notasi s diganti 2 dan p dengan 1, hukum Kirchoff pada koil satu dan koil dua diper-

oleh

−iωL1I1 −q

C1− iωMI2 = 0

−iωL1I1 −∫

Io exp(iωt)dt

C1− iωMI2 = 0

−iωL1I1 −I1

iωC1− iωMI2 = 0 (3.24)

atau

iωL1I1 −iI1

ωC1+ iωMI2 = 0 (3.25)

iωL2I2 −iI2

ωC2+ iωMI1 = 0 (3.26)

Persamaan (3.25) dikalikan dengan ωiL1

dan persamaan (3.26) dikalikan dengan ωiL2

, ω21 =

1L1C1

ω22 = 1

L2C2, ω1 dan ω2 menyatakan frekuensi natural, kedua persamaan diatas berubah

menjadi

(ω21 − ω2)I1 =

M

L1ω2I2 (3.27)

(ω22 − ω2)I2 =

M

L2ω2I1 (3.28)

Persamaan (3.27) dikalikan dengan (3.28) didapatkan

(ω21 − ω2)(ω2

2 − ω2) =M2

L1L2ω2 = k2ω4 (3.29)

Jika kedua koil mempunyai frekuensi natural sama ω1 = ω2 = ωo maka persamaan (3.29)

menjadi

(ω2o − ω2)2 = k2ω4

(ω2o − ω2) = ±kω2 → ω2 =

ω2o

1± → ω = ± ωo

(1 ± k)1/2

∴ ω′ =ωo

(1 + k)1/2ω′′ =

ωo

(1 − k)1/2(3.30)

Pada sistem dengan M kecil dan k lemah terjadi ω ′ = ω′′ = ωo. Jika kopling kuat ω′′ − ω′ ,

amplitudo arus dengan puncak terpisah lebar

Teaching Grant QUE–Project

Page 38: Cat Kuliah Gelombang

29 Osilator terkopel pada dawai

Gambar 3.8: Grafik amplitudo arus terhadap ω pada kondisi(a) Kopling kuat (b) Kopling sedang dan (c)

kopling lemah

3.5 Osilator terkopel pada dawai

Pada osilator ini diperlihatkan massa manik-manik ke-r dan 2 di tetangganya(Gambar 3.9).

Pergeseran manik-manik ke-r − 1, r, r +1 berturut-turut yr−1, yr dan yr+1. Jika sudut θ1 dan θ2,

Gambar 3.9: (a),(b) Massa ke-r bergerak keatas dibawah pengaruh gaya tegang T

sudut dibuat oleh dawai dengan horisontal maka

sin θ1 =yr − yr−1

asin θ2 =

yr − yr+1

a(3.31)

Persamaan gerak osilator ke-r adalah

md2yr

dt2= Jumlah gaya bekerja pada mr

=∑

Gaya dari tegangan kiriT sin θ1dari kananT sin θ2

Teaching Grant QUE–Project

Page 39: Cat Kuliah Gelombang

Bab3. Osilasi Terkopel 30

atau

md2yr

dt2= −T sin θ1 − T sin θ2

= −T

(yr − yr−1

a+

yr − yr+1

a

)

=T

ma(yr−1 − 2yr + yr+1)

Jika gerakan dipandang berupa kombinasi dari modus normal dengan frekuensi ω maka y

merupakan fungsi waktu dari getaran harmonik sederhana berosilasi terhadap sumbu kesetim-

bangannya. Dapat dituliskan pergeseran :

yr = Ar exp(iωt)

yr+1 = Ar+1 exp(iωt) (3.32)

yr−1 = Ar−1 exp(iωt)

Dengan memakai persamaan (3.32) pada persamaan gerak, diperoleh

−ω2Ar exp(iωt) =T

ma(Ar−1 − 2Ar + Ar+1) exp(iωt) (3.33)

Persamaan(3.33) ini merupakan persamaan fundamental untuk menentukan ω. Dari per-

samaan fundamental, jika ada satu manik-manik, maksudnya satu osilator, hanya ada satu

ω1. Ada dua osilator berarti ada dua ω frekuensi modus dan bila ada n osilator berarti ada

n frekuensi modus dengan n persamaan. Secara formal penyelesaian n persamaan, dengan

teori matrik dapat menyelesaikan yaitu determinan besarnya nol dari matrik. Ke-n persamaan

tersebut (dengan syarat yo = Ao = 0 dan yn+1 = An+1 = 0) adalah

r = 1 → 0 +

(

2 − maω2

T

)

A1 − A2 = 0 (3.34)

r = 2 → −A1 +

(

2 − maω2

T

)

A2 − A3 = 0

r = 3 → −A2 +

(

2 − maω2

T

)

A3 − A4 = 0

...

r = n → −An−1 +

(

2 − maω2

T

)

An − An+1 = 0 (An+1 = 0)

n persamaan disebut juga persamaan non trivial , yaitu persamaan mempunyai penyelesaian

tidak nol semuanya dengan syarat determinannya nol (∆ = determinan = 0),di mana 2 −maω2

T = C∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

C −1 0 · · · 0

−1 C −1 · · · 0

· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·0 0 · · · −1 C

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0 (3.35)

Teaching Grant QUE–Project

Page 40: Cat Kuliah Gelombang

31 Osilator terkopel pada dawai

Contoh 2 osilator terkopel, maka bentuk determinan matriknya∣∣∣∣∣

C −1

−1 C

∣∣∣∣∣= 0 7→ C2 − 1 →

(

2 − maω2

T

)2

− 1 = 0 → 2 − maω2

T= ±1 (3.36)

Penyelesaian persamaan(3.36) adalah

maω2

T= 1 → ω2

1 =T

ma(3.37)

maω2

T= 3 → ω2

2 =3T

ma

Teaching Grant QUE–Project

Page 41: Cat Kuliah Gelombang

BAB 4

Gelombang Transversal

Pada bab yang lalu telah dibahas gerakan suatu benda seperti bandul pada getaran harmonik

sederhana, teredam, ada gaya yang memaksa dengan simpangan (pergeseran) merupakan

fungsi waktu saja. Lain halnya kalau bandul atau massa tadi bergerak merupakan bagian dari

medium maka gerakan massa menyebabkan gerakan bagian medium lainnya. Misalnya tali

(string) ujung satu dipegang dan ujung lain dilepas, kemudian ujung yang dipegang dinaikkan

sesaat terjadi gerakan tali, maka asumsikan titik massa m bergerak menyimpang y , benda

m1 menyimpang y1 dan benda m2 menyimpang y2, jadi y merupakan fungsi x digerakkan

pada t = t → y = t(x; t), y adalah simpangan merupakan fungsi x dan t(tempat dan waktu).

Perubahan dari x atau t menyebabkan perubahan y, secara matematik dinyatakan

dy =

(∂y

∂x

)

t

dx +

(∂y

∂t

)

x

dt = diferensial total (4.1)

Kalau diuaraikan dalam ruang y → z, x → y, t → y, yang dimaksud diferensial parsial yaitu

dz = dz1 + dz2 =

(∂z

∂x

)

y

dx +

(∂z

∂y

)

x

dy (4.2)

Secara fisis dikatakan bahwa besaran z ditentukan oleh x dan y.

4.1 Gelombang

Gerakan massa-massa tali (medium) berupa gelombang (waves). Gerakan air dari tengah laut

ke pantai karena pada tengah laut tadi air mendapat gaya berupa ombak tidak lain adalah

gelombang air. Juga getaran dari tali sehingga terdengar bunyi ( yang didengar orang lain),

juga pada udara terkirim gelombang bunyi. Gelombang yang berjalan pada medium panjang

32

Page 42: Cat Kuliah Gelombang

33 Gelombang

Gambar 4.1: Elemen kecil dari permukaan bola dimana tiap gradien ditentukan dengan sebuah variabel

tetap

disebut progressive waves. Jadi gejala gerak medium disebut gelombang, jika medium ter-

batas, seperti pada tali gitar ujung tali terikat), getaran/vibrasi tali bergerak maju mundur dan

terpantul sehingga berupa gelombang berdiri.

Gelombang pada tali berupa gelombang transversal dengan pergeseran atau osilasi medium

transversal terhadap propagasi gelombang. Jika osilasi paralel, arah propagasi gelombang

disebut gelombang longitudinal. Pada medium gas hanya mungkin terjadi gelombang longi-

tudinal. Pada medium padat dapat meneruskan gelombang longitudinal maupun gelombang

transversal. Dalam medium cair seperti halnya pada padatan dapat meneruskan gelombang

transversal dan longitudinal. Macam lain gelombang bidang datar dan gelombang bola. Ada

tiga macam kecepatan dalam gerak gelombang yaitu

1. Kecepatan partikel, tidak lain kecepatan gerakan partikel harmonik sederhana pada po-

sisi kesetimbangan.

2. Kecepatan fase merupakan kecepatan bidang sefase, puncak dan lembah menjalar men-

embus medium, sama dengan kecepatan gelombang.

3. Kecepatan grup yaitu sejumlah gelombang berbeda frekuensi, panjang gelombang dan

kecepatan kemungkinan bersuperosisi membentuk grup seperti cahaya putih terdiri dari

sejumlah cahaya dengan berbeda frekuensi dan panjang gelombang. Cahaya putih

mungkin dapat berdispersi menjadi komponen-komponennya. Kecepatan grup adalah

merupakan juga kecepatan energi yang ditransmisikan.

Teaching Grant QUE–Project

Page 43: Cat Kuliah Gelombang

Bab4. Gelombang Transversal 34

4.2 Persamaan Gelombang

4.2.1 Persamaan gelombang dalam tali

Segmen tali sepanjang dx ditarik keatas sehingga panjang tersebut ds = dx dengan gaya

tegang T pada ujung-ujungnya. T bekerja di x pada sudut θ dan di x + dx pada sudut θ + dθ.

Gerakan sepotong tali ini vertikal dengan harmonik sederhana. Gaya pada elemen tali

Gambar 4.2: Elemen pergeseran dari kawat dengan tegangan T

T sin θ → T

(∂y

∂x

)

x+d

−(

∂y

∂x

)

x

(4.3)

T∂2y

∂x2dx = ρdx

∂2y

∂t2(4.4)

∂2y

∂x2=

ρ

T

∂2y

∂t2→ 1

c2=

ρ

T

Jika ξ adalah simpangan, pada nilai t tertentu maka ξ = f(x). Pada jarak a = ct maka

ξ = f(x − a) ke kanan (4.5)

ξ = f(x + a) ke kiri

Penyelesaian umum persamaan gelombang adalah

Gambar 4.3: Osilasi pergeseran dalam medium kontinu pada arah x-positif

Teaching Grant QUE–Project

Page 44: Cat Kuliah Gelombang

35 Persamaan Gelombang

ξ = f(x ± ct) (4.6)

= f1(ct − x) + f2(ct + x)

∂2ξ

∂x2=

1

c2

∂2ξ

∂t2(4.7)

Bentuk penyelesaian dari persamaan yang sering dipakai dalam bidang

ξ(x, t) = a sin2π

λ(ct − x) → ξ = ξ(x, t) (4.8)

Tempat kedudukan pergeseran osilator dalam medium kontinu sebagai lintasan gelombang

menjalar sepanjang sumbu x dengan λ adalah jarak terpisah antara 2 osilator yang berbeda

fase 2π radian

y = a sin 2π(

vt − x

λ

)

(4.9)

= a sin(ωt − kx); → k =2π

λ=

ωt

c= a exp i(ωt − kx)

Gerak gelombang tidak lain ialah perubahan pergeseran osilaotor-osilator dinyatakan dalam

pergeseran ∂x∂t adalah kecepatan fase, ∂y

∂x adalah kecepatan partikel=ωa cos(ωt− kx) dan ∂y∂x =

−k cos(ωt − kx) adalah gradien dari profile gelombang. Maka nilai ∂y∂t = −ω

k∂y∂x = −c ∂y

∂x =

−∂y∂x

∂x∂t . Arah panah menunjukkan arah gerakan partikel/osilator dan besarnya pada tiap x.Arah

gerakan partikel searah gaya transversal pada gelombang yaitu T ∂y∂x dimana T=tension.

Gambar 4.4: Besar dan arah dari kecepatan partikel pada arah x

Teaching Grant QUE–Project

Page 45: Cat Kuliah Gelombang

Bab4. Gelombang Transversal 36

4.3 Impedansi karakteristik suatu dawai

Dawai sebagai medium tempat gelombang menjalar mempunyai atau ditandai berapa besar

impedansinya. Medium hanya berisi parameter inersia dan elastisitas(energi storing) atau tidak

ada resistivitas atau tidak ada dissipasi. Jika ada energi terdissipasi berbentuk komplek, dawai

mendapat gaya transversal F , impedansi karakteristik dinyatakan

Z =tranverse force

transverse velocity=

F

v(4.10)

Pada ujung dawai gaya Fo exp(iωt) bekerja vertikal ke atas. Dawai dan gaya terletak pada

bidang kertas, T=gaya atau tension pada dawai. Pada ujung dawai tercapai keseimbangan

Fo exp(iωt) = −T sin θ ≈ −T tan θ = −T

(∂y

∂x

)

; θ ≈ 0 (4.11)

Pergeseran gelombang y = Aei(ωt−kx) pada x = 0 terpenuhi

Fo exp iωt = −T

(∂y

∂c

)

x=0

= ikTA exp i(ωt − kx) → A =Fo

ikT=

Fo

( c

T

)

(4.12)

y =Fo

( c

T

)

exp i(ωt − kx) (4.13)

v = y′ =Fo

( c

T

)

exp i(ωt − kx); v =Fo

Z; Z =

T

c= ρc (4.14)

dengan Z=impedansi, nilai c besarnya ditentukan oleh inersia (Z, s) dan elastik (L,m) juga

nilai Z.

Gambar 4.5: Kawat sebagai sebuah osilator gaya vertikal F0eiωt

4.4 Refleksi dan Transmisi gelombang pada dawai diperbatasan

Gelombang menjalar pada dawai yang dihubungkan secara halus pada x = 0 dan disini terjadi

ρ1c1 = Z1 dawai kiri dan ρ2C2 = Z2 pada dawai disebelah kanan.

yi = A1 exp i(ωt − k1x) = gelombang datang (4.15)

yr = B1 exp i(ωt + k1x) = gelombang refleksi (4.16)

yt = A2 exp i(ωt − k2x) = gelombang transmisi (4.17)

Teaching Grant QUE–Project

Page 46: Cat Kuliah Gelombang

37 Refleksi dan Transmisi gelombang pada dawai diperbatasan

Gambar 4.6: Gelombang refleksi dan transmisi dengan impedansi ρ1c1 pada batas x=0 dimana kawat

mengalami perubahan impedansi ρ2c2

Syarat batas :

1. Pada batas di x = 0 pergeseran tidak mengalami diskontinuitas, kondisi geometri yi+yr =

yt

2. Kondisi dinamis yaitu terjadi kontinuitas gaya transversal T(

∂y∂x

)

x=0sedemikian T ∂

∂x(yi +

yr) = T ∂∂x(yt)

Dari syarat batas(1) diperoleh

yi + yr = yt (4.18)

A1 exp i(ωt − k1x) + B1 exp i(ωt + k1x) = A2 exp i(ωt − k2x)

A1 + B1 = A2; (x = 0)

syarat batas(2) diperoleh

T∂

∂x(yi + yr) = T

∂x(yt) (4.19)

T (−ik1A1 + ik1B1) = iTA2k2

− ω

c1TA1 +

ω

c1TB1 = − ω

c2TA2

Z1(−A1 + B1) = −Z2A2

substitusi persamaan(4.18) dan (4.19) dihasilkan

B1

A1=

Z1 − Z2

Z1 + Z2= koefisien refleksi (4.20)

A2

A1=

2Z1

Z1 + Z2= koefisien transmisi (4.21)

Kedua koefisien tersebut tidak tergantung pada ω dan f dan merupakan bilangan riil, jika berni-

lai negatif berarti berbeda fase π. Jika Z1 = ∞ artinya ujung tetap dan tidak ada transmisi yaituB1

A1= −1 artinya refleksi total dan berbeda fase π antara gelombang datang dan refleksi. Pada

Z = 0 adalah ujung bebas yaitu B1

A1= 1 dan A2

A1= 2.

Teaching Grant QUE–Project

Page 47: Cat Kuliah Gelombang

Bab4. Gelombang Transversal 38

4.5 Refleksi dan Transmisi Energi

Berapa energi yang ditransmisikan dan direfleksi bila gelombang melewati bidang batas? En-

ergi total E = 12ρ2A2cω2 dengan k atau c kecepatan gelombang maka energi yang terbawa

sepanjang dawai adalah energi x kecepatan= 12ρ

2A2cω2. energi yang sampai pada batas x = 0

dan energi yang meninggalkan batas, yaitu :

1

2ρ21c1ω

2A21 dan

1

2ρ21c1ω

2B21 +

1

2ρ2c2ω

2A22 (4.22)

1

2Z1ω

2A21 dan

1

2Z1ω

2B21 +

1

2Z2ω

2A22 (4.23)

A21 × Energi

A21

=

(12Z1ω

2B21 + 1

2Z2ω2A2

2

A21

)

A21 (4.24)

=

(

1

2ω2Z1

(Z1 − Z2

Z1 + Z2

)2

+1

2ω2Z2

(2Z1

Z1 + Z2

)2)

A21

=1

2ω2A2

1

((Z1 + Z2)

(Z1 + Z2)

)2

Z1 =1

2Z1ω

2A21

jumlah energi refleksi + energi transmisi=energi datang. Maka koefisien refleksi dan transmisi

adalah

R =Z1B

21

Z1A21

=

(B1

A1

)2

=

(Z1 − Z2

Z1 + Z − 2

)2

(4.25)

T =Z2A

22

Z1A21

=4Z1Z2

(Z1 + Z2)2(4.26)

kondisi Z1 = Z2 disebut impedansi match

4.6 Gelombang berdiri pada dawai dengan panjang tetap

Suatu dawai dengan panjang l akan direfleksikan total di Z = ∞ dengan beda fase π, sedan-

gkan dawai dengan panjang tertentu, kedua ujungnya diklem akan terjadi gelombang berdiri.

Diasumsikan adanya gelombang monokromatik dengan frekuensi ω dan amplitudo a menjalar

sepanjang x positif dan amplitudo b pada arah negatif sehingga pergeseran dawai pada sem-

barang titik dapat dinyatakan

y = aei(ωt−kx) + bei(ωt+kx) (4.27)

syarat batas di y = 0; x = 0 dan x = l sepanjang waktu. Pada kondisi x = 0

0 = aei(ωt−kx) + bei(ωt+kx) = eiωt(a + b) → a = −b (4.28)

arti fisisnya gelombang pada suatu arah tertentu dengan ujung impedansi tak hingga, secara

lengkap akan direfleksikan dengan beda fase π (amplitudonya negatif). Dalam bentuk umum

untuk gelombang dan frekuensinya menjadi

y = aeiωt(e−ikx − eikx) = (−2i)aeiωt sin kx (4.29)

Teaching Grant QUE–Project

Page 48: Cat Kuliah Gelombang

39 Gelombang berdiri pada dawai dengan panjang tetap

Gambar 4.7: Impedansi dari Z1 dan Z3 dari dua kawat yang disesuaikan oleh panjang kawat dengan

impedansi Z2. Gelombang datang dan refleksi ditunjukkan pada bidang batas x=0 dan x=l

Pernyataan ini adalah suatu gelombang berdiri yang terjadi kapan saja (tidak tergantung waktu)

dan memenuhi persamaan

∂2y

∂x2+ k2y = 0 (4.30)

Harga ∂2y∂t2

= −2i(i2ω2)eiωta sin kx = −ω2y dan 1c2

∂2y∂x2 = −ω2

c2y = −k2y = 1

c2∂2y∂x2 merupakan

persamaan gelombang. Jika kondisi y = 0; x = l

0 = −2ieiωta sin kl; k =2π

λ(4.31)

kl = ωc l → sin kl = 0 → sin ω

c l = 0. Bila ωlc = nπ n = 0, 1, 2, 3, · · · . ωn = nπc

l → 2πνn =nπc

l → νn = nc2l . νn=frekuensi dan l = nc

2νn= nλ

2 . Maka sin kx = sin ωnxc = sin nπ

l x. ωn=normal

frekuensi (mode vibration atau eigen frequency).

n = 1 → ν = 1 = Frekuensi harmonik 1

n = 2 → ν = 2 = Frekuensi harmonik 2

n = 3 → ν = 3 = Frekuensi harmonik 3

↓n = N → ν = N = Frekuensi harmonik N

Pada suatu gerakan dawai semua mode normal ini ada dan pregeseran ialah superposisi

dari pergeseran pada tiap frekuensi. Sehingga pernyataan pergeseran yang mencakup n har-

monik adalah

yn = 2a(−i)(cos ωnt + i sinωnt) sinωnx

c

=(An cos ωnt + Bn sinωnt

)sin

ωnx

c(4.32)

Teaching Grant QUE–Project

Page 49: Cat Kuliah Gelombang

Bab4. Gelombang Transversal 40

Gambar 4.8: Empat harmonik dari gelombang berdiri pada kawat yang ujungnya dijepit tetap

Amplitudo modus yang ke–n=(A2n + B2

n)1/2 = 2a

Dalam gelombang berdiri, titik-titik simpul(node) adalah titik-titik diam pada dawai, yaitu titik

pada

lx = rπ (r = 0, 1, 2, 3, · · · , n) (4.33)

r = 0 → x = 0 dan r = n → x = l, maksudnya bila n = 1; r = 0, 1 → nπl = rπ → x = rl,

pada x = 0 dan x = l terjadi simpul. Bila n = 2 → r = 0, 1, 2 → x = rln = 0, l, l/2 dan

seterusnya. Terjadi titik-titik simpul bila amplitudo gelombang datang dan direfleksikan sama,

tetapi bila tidak sama akan menghasilkan B1

A1< 1. Amplitudo total maksimum A1 + B1 dan

minimum A1 − B1, maka dapat didefinisikan

SWR(Standing Wave Ratio) =A1 + B1

A1 − B1=

1 + R

1 − R;R =

B1

A1(4.34)

bila R = 1 → SWR = ∞ artinya terjadi simpul dan R=koefisien refleksi amplitudo.

4.7 Energi dawai bervibrasi

Energi kinetik dari elemen dawai dx dengan rapat massa ρ ialah sebesar 12ρy2dx. Energi kinetik

total adalah 12

∫ l0 ρy2dx. Energi potensial adalah kerja yang dilakukan oleh gaya tegang T dalam

elemen dx menjadi ds ialah

Ep =

T (ds − dx) =

T(dx2 − dy2)1/2 − dx

=

T(1 +

dy

dx

)1/2 − 1

dx (4.35)

' 1

2T

∫ t

0

(dy

dx

)2dx (4.36)

Teaching Grant QUE–Project

Page 50: Cat Kuliah Gelombang

41 Grup gelombang dan kecepatan grup

artinya untuk elemen dx, panjangnya berubah menjadi 12

(dydx

)2dx. Selanjutnya untuk dawai

bervibrasi dipandang dari gerak harmoniknya

En(kinetik) =1

2

∫ l

0ρy2dx (4.37)

En(potensial) =1

2T

∫ (dy

dx

)2

dx (4.38)

Untuk gelombang berdiri dengan parameter

yn =(An cos ωnt + Bn sinωnt

)sin

ωnx

c(4.39)

yn =(− Anωn sinωnt + Bnωn cos ωnt

)sin

ωnx

c(4.40)

dyn

dx=

ωn

c

(An cos ωnt + Bn sinωt

)cos

ωnx

c(4.41)

Maka persamaan (4.37) dan (4.38) menjadi

En(kinetik) =1

2ρω2

n(−An sinωnt + Bn cos ωnt)2∫ l

0sin2 ωnx

cdx (4.42)

En(potensial) =1

2

Tω2n

c(An cos ωnt + Bn sinωnt)

∫ l

0cos2 ωnx

cdx (4.43)

=1

2ρω2

n(An cos ωnt + Bn sinωnt)

∫ l

0cos2 ωnx

cdx

dengan T = ρc2 dan∫ l0 sin2 ωnx

c dx =∫ l0 cos2 ωnx

c dx = 12 l. Maka jumlah energi kinetik dengan

energi potensial adalah

En(kinetik+potensial) =1

4ρω2

nl(A2n + B2

n) =1

4mω2

n(A2n + B2

n); m = ρl (4.44)

dengan A2n + B2

nadalah jumlah kuadrat amplitudo. Energi total pada dawai ialah

En(total) = E1 + E2 + E3, · · · , En (4.45)

4.8 Grup gelombang dan kecepatan grup

Pada umumnya di alam, gelombang terjadi dari campuran banyak gelombang dengan kom-

ponen frekuensi masing-masing. Seperti cahaya putih merupakan komposisi cahaya, dengan

panjang gelombang 3000

A − 7000

A yaitu dari warna biru sampai warna merah. Gelombang

menjalar dengan kecepatan grup. Pada bagian ini akan dibahas mengenai kecepatan grup

hasil superposisi dua buah gelombang yang berbeda sedikit frekuensi dan bilangan gelom-

bang k−nya dengan amplitudo sama yaitu

y1 = a cos(ω1t − k1x) dan y2 = a cos(ω2t − k2x) (4.46)

Teaching Grant QUE–Project

Page 51: Cat Kuliah Gelombang

Bab4. Gelombang Transversal 42

hasil superposisi y = y1 + y2 adalah

y = y1 + y2 = 2a cos(ω1 − ω2

2t − k1 − k2

2x)

cos(ω1 + ω2

2t − k1 + k2

2x)

(4.47)

gelombang superposisi ini berupa gelombang dengan amplitudo 2a frekuensi ω1+ω2

2 ≈ ω1 ≈ω2 dan termodulasi dalam ruang dan waktu dengan “envelope” yang amat lambat dengan

frekuensi k1−k2

2 . Sistem ini seperti osilator terkopel dengan kecepatan c = ω1

k1= ω2

k2atau

ω1−ω2

k1−k2= c.

Gambar 4.9: Superposisi dari dua buah gelombang yang mempunyai beda frekuensi ω1 dan ω2 yang

kecil

Kecepatan grup, komponen-komponen frekuensi menjalar dengan kecepatan sama dengan

c dan profile dari kedua kombinasi tetap konstan selama penjalarannya. Amplitudo maksimum

2a terjadi dua kali setiap perioda, frekuensi yang termodulasi (ν1 − ν2) intensitas maksimum

bila maplitudo 2a. “Beat” atau pelayangan dengan frekuensi (ν1 − ν2) menyatakan berapa kali

fluktuasi intensitas maksimum terjadi. Kalau gelombang grup adalah gelombang bunyi, maka

pada amplitudo kecil (amplitudo bervariasi 0 → 2a), suara lemah dan bila gelombang yang

termodulasi amplitudo, gelombang y = A cos(ωt − kt), A=amplitudo termodulasi berbentuk

A = a + b cos ω′t yaitu

y = a cos(ωt − kx) +b

2

[

cos((ω + ω′)t − kx) + cos((ω − ω′)t − kx)]

(4.48)

frekuensi ω ± ω′ adalah frekuensi sideband atau tones. Amplitudo modulasi terjadi pada trans-

misi radio dengan sideband terdengar pada dua frekuensi yang berdekatan yaitu ω ± ω ′.

Kemudian bila kedua gelombang yang bersuperposisi berbeda kecepatan fasenya ω1

k16= ω2

k2,

kecepatan grup yaitu kecepatan gelombang atau kecepatan pada puncak maksimum bergerak

vg = ω1−ω2

k1−k2= ∆ω

∆k dan vg berbeda dengan kecepatan masing-masing yaitu ω1

k1dan ω2

k2, profilenya

berubah-ubah terhadap waktu. Medium yang kecepatan fasenya tergantung frekuensi (atau

Teaching Grant QUE–Project

Page 52: Cat Kuliah Gelombang

43 Gelombang grup dan teorema lebar band

nilai ωk tidak tetap) disebut medium dispersif. Hubungan antara ω dan k disebut hubungan

dispersif. Bila grup berbentuk banyak komponen dengan frekuensi berdekatan ∆ω∆k = dω

dk dan

kecepatan grup

vg =dω

dk=

d(kv)

dk= v + k

dv

dk= v − λ

dv

dλ; k =

λ(4.49)

Sekali lagi disebutkan kecepatan grup merupakan kecepatan energi terkirim dalam medium,

merupakan juga kecepatan amplitudo masksimum dari grup gelombang menjalar. Dari hubun-

gan diatas vg = v − λ dvdk , bila dv

dk = 0 → vg = v disebut medium non-dispersif. Bila dvdk < 0 →

vg > v disebut dispersif anomali dan bila dvdk > 0 → vg < v disebut medium dispersif nor-

mal. Bahan konduktor bersifat anomali terhadap gelombang elektromagnet. Bahan dielektrik

bersifat normal terhadap gelombang elektromagnet pada frekuensi lebih kecil dari frekuensi

normal(ωo).

Gambar 4.10: Kurva dispersif;(a)garis lurus menyatakan medium non-dispersi(b)hubungan dispersi

normal (c) anomali dari hubungan dispersi

4.9 Gelombang grup dan teorema lebar band

Suatu grup gelombang terdiri banyak frekuensi yang terletak pada daerah (range) frekuensi

yang sempit ∆ω dan tiap komponen dengan amplitudo sama dengan a. Telah dibahas pada

sbelumnya yaitu tentang superposisi n-SHM yang amplitudonya sama a dan mempunyai beda

fase(δ) tetap diperoleh amplitudo resultan.

R =a sinnδ/2

sin δ/2(4.50)

dan getaran resultan

R cos(ωt + α) = aa sinnδ/2

sin δ/2cos(ωt + (n − 1)

δ

2; α = (n − 1)

δ

2(4.51)

Teaching Grant QUE–Project

Page 53: Cat Kuliah Gelombang

Bab4. Gelombang Transversal 44

Gambar 4.11: Anomali dispersi dari sifat indek refraksi n =√

ε terhadap ω dan λ, dimana ωo frekuensi

atom, absorpsi dinyatakan dengan garis putus-putus

Analog diatas, bila tiap gelombang mempunyai amplitudo a dan δ adalah beda fase antar tiap

komponen, maka

R = a cos ω1t + a cos(ω1 + δω)t + a cos(ω1 + 2δω)t + · · · (4.52)

+ a cos(ω1 + (n − 1)δω)t

Batasan-batasannya

R cos(ωt + α) = asinn(δω)t/2

sin(δωt/2)cos(ω1 + (n − 1)

δω

2)t, (4.53)

= asinn(δω)t/2

sin(δωt/2)cos ωt

dengan ω = ω1 + 12(n − 1)δω dan nδω = ∆ω. Resultan

R = asin∆ωt/2

sin∆ωt/2ncos ωt (4.54)

= nasin∆ωt/2

sin∆ω/2cos ωt

n → R(t) = Asinα

αcos ωt;A = na, α =

∆ω

2(4.55)

Pada R(t) = A = na yaitu di t = 0 karena sin αα = 1. Seusudah ∆t menjadi α = ∆ω∆t

2 = π →∆t = 2π

∆ω dan R(t) = A sinππ cos ω∆t = 0. Nilai 2∆t ini adalah ukuran lebar pulsa sentral.

Bentuk ∆t∆ω = 2π → ∆t(2π)∆ν = 2π → ∆t∆ν = 1 adalah Teorema Bandwidth, artinya

lebih besar ∆ω akan lebih cepat ∆t sehingga bila ∆ω = 0 → ∆t = ∞Dari nilai ∆ω → ∆k, ∆t → ∆x maka ∆k∆x = 2π → ∆x∆(1/λ) = 1, juga berarti ∆k = 0

(gelombang monokromatik)→ ∆x → ∞ (infinitely long wavetrain). Dalam persoalan gelom-

bang grup disederhanakan dengan berbagai frekuensi tetapi amplitudo sama dengan a. Bila

a(ω), persoalan menjadi sulit dan metode Fast Fourier dan teorema Bandwidth menjadi asas

ketidakpastian Heisenberg

Teaching Grant QUE–Project

Page 54: Cat Kuliah Gelombang

45 Gelombang transversal dalam struktur periodik

Gambar 4.12: Gelombang kotak dengan lebar pita ∆ω dengan n frekuensi, a amplitudo dan beda

frekuensi umum δω (b) Menyatakan pita frekuensi terhadap waktu sebagai kurva kosinus pada frekuensi

rata-rata ω amplitude modulasi sin α/α.

4.10 Gelombang transversal dalam struktur periodik

Suatu dawai ringan merupakan suatu struktur periodik dari n massa sama sebesar m. Per-

samaan gerak partukel ke-r adalah

myr =T

a

(

yr+1 + yr−1 − 2yr

)

(4.56)

dengan frekuensi normal

ωs =2T

ma=(

1 − cossπ

n + 1

)

s = 1, 2, , 3, · · · , n (4.57)

Bila a → dx maka

=1

a

(

yr+1 + yr−1 − 2yr

)

→ 1

dx

(

yr+1 − yr

)

−(

yr − yr−1

)

(4.58)

=(∂y

∂x

)

r+1/2−(∂y

∂x

)

r−1/2=(∂2y

∂x2

)

rdx

∴ m∂2yr

∂t2= T

∂2yr

∂x2dx → ∂2yr

∂t2=

T

ρ

∂2yr

∂x2

ρ =m

dx→ y = exp i(ωt − kx)

y merupakan propagasi gelombang transversal sepanjang array linear atom-atom dengan massa

m, gaya elastik Tx dan T/a sebagai stiffnes, dimana a=jarak antar atom(a ≈ 10−11m).

Teaching Grant QUE–Project

Page 55: Cat Kuliah Gelombang

Bab4. Gelombang Transversal 46

Gambar 4.13: Hubungan dispersi ω(k) terhadap k untuk gelombang menjalar garis lurus yang

menggambarkan struktur periodik dalam atom

Bila yang diklem diganti ujung berupa kristal, persamaan gelombang

yr = Ar exp i(ωt − kx) = Ar exp i(ωt − kra) (4.59)

Persamaan gerak menjadi

−ω2m =T

a(exp(ika) + exp(−ika) − 2) (4.60)

=T

a

(

exp(ika/2) − exp(−ika/2))2

= −4T

asin2 ka

2

ω2 = 4T

masin2 ka

2

ω2s =

2T

ma

(

1 − cossπ

n + 1

)

= 4T

masin2 sπ

2(n + 1)(4.61)

ka

2=

2(n + 1)

a

a→ (n + 1)a = l =

2(4.62)

=sπa

2l=

sπa

2pλ/2=

sπa

Bila λ = 2a → ka2 = s

pπ2 → ω2 = 4T

ma sin2 π2 = 4T

ma yang berarti atom tetangga mempunyai beda

fase π atau

yr

yr+1∼ exp(ika) = exp(iπ) = −1 (4.63)

Frekuensi besar menandakan kopling maksimum untuk λ → k = 2πλ dan sin ka

2 → ka2 dari

ω2 =4T

ma

(ka

2

)2(4.64)

k

)2= c2 =

4T

ma× a2

4=

T

ma =

T

ρ→ c = kecepatan gelombang (4.65)

Dan secara umum pada sistem dengan partikel terstruktur diperoleh

v =ω

k= c

sin ka/2

ka/2(4.66)

Teaching Grant QUE–Project

Page 56: Cat Kuliah Gelombang

47 Rangkaian linier dari 2 macam atom dalam kristal ionik

Persamaan diatas merupakan relasi dispersi antara ω vs k.a berpengaruh pada λ pendek dan

km = 2πλ = 2π

ra = πa ≈ 1010m−1. Gaya elastik T/a kristal ≈ 15 N/m, m = 60 × 10−27 kg,ω2 =

1027(rad/s)2 → ν = 5×1012 Hz atau daerah infra merah. Eo ialah amplitudo maksimum medan

listrik E = Eoe1ωt. Atom–atom ion dengan frekuensi osilasi ω akan menyerap energi maksimum

pada frekuensi resonansi.

4.11 Rangkaian linier dari 2 macam atom dalam kristal ionik

Kristal berbentuk rantai satu dimensi terdiri dari dua atom berbeda dengan massa M dan m

yang dinyatakan sebagai berikut:

my2r =T

a(y2r+1 + y2r−1 − 2y2r) (4.67)

My2r+1 =T

a(y2r+2 + y2r − 2y2r+1) (4.68)

y2r = Amei(ωt−2kra) (4.69)

y2r+1 = AMei(ωt−ka(2r+1))

substitusi persamaan(4.69) pada persamaan(4.67) dan (4.68)

−mω2Am =T

aAM (e−ika + eika) − 2TAm

a(4.70)

−Mω2AM =T

aAm(e−ika + eika) − 2TAM

a(4.71)

Dari persamaan(4.70) dan (4.71) diperoleh

ω2 =T

a

(1

m+

1

M

)

±[(

1

m+

1

M

)2

− 4 sin2 ka

mM

]1/2

(4.72)

(a) Keadaan m > M diambil yang positif ⊕ dari persamaan(4.72) maka diperoleh

k = 0 → ω2 = Ta

(1m + 1

M

)

k = km = π2a → ω2 = 2T

aM

→ Optical branch (4.73)

(b) Keadaan m > M diambil negatif dari persamaan(4.72) maka diperoleh

k = 0 → ω2 = 2Tk2a2

a(M+m)

k = km = π2a → ω2 = 2T

am

→ Acoustical branch (4.74)

Teaching Grant QUE–Project

Page 57: Cat Kuliah Gelombang

Bab4. Gelombang Transversal 48

Gambar 4.14: Hubungan dispersi untuk dua mode osilasi transversal dalam struktur kristal

Gambar 4.15: Pergeseran dari perbedaan jenis atom dalam dua mode dari osilasi transversal dalam

kristal (a) Mode optik (b) Mode akustik

4.12 Absorpsi radiasi IR oleh kristal ionik

Suatu kristal dengan km = 1010 m−1, radiasi IR dengan frekuensi 3 × 1012Hz, λ = 100µm

dan k = 2πλ = 6 × 104 m−1 sehingga kIR km maka kIR dapat diabaikan.Suatu sepasang

ion dengan muatan ±e dipengaruhi medan listrik gelombang radiasi EM, medan listrik total

E = Eoeiωt maka di[eroleh persamaan

−ω2mAm =2T

a(AM − Am) − eEo; m bermuatan − e (4.75)

−ω2MAM = −2T

a(AM − Am) + eEo; M bermuatan + e (4.76)

Persamaan (4.75) ditambah dengan persamaan (4.76)

−ω2(Amm + AMM) = 0 → Am

AM= −M

m(4.77)

Teaching Grant QUE–Project

Page 58: Cat Kuliah Gelombang

49 Efek Doppler

maka persaman (4.75)

−ω2mAm =2T

a

(

− m

MAm − Am

)

− eEo

Am

(

−ω2m +2T

a

(m + M

M

))

= −eEo

Am = − e

m

( Eo

−ω2 + 2Ta

(m+MmM

)

)

= − e

m

( Eo

ω2o − ω2

)

(4.78)

ω2o =

2T

a

( 1

M+

1

m

)

, AM = −m

MAm = − m

M

(

− e

m

Eo

ω2o − ω2

)

=e

M

Eo

ω2 − ω2

Misalkan hitung λ dari NaCl bila MNa+ = 23 amu dan mCl− = 35 amu dengan ω2 = ω2o =

2Ta

(1M + 1

m

)

. Hasil perhitungan λ = 61 µm;KCl = 71µm, T = 15N/m; a = π1010 dan T

a =

15×1010

π .

4.13 Efek Doppler

Efek Doppler ialah efek terjadinya perubahan frekuensi yang terdengar pengamat terhadap

frekuensi gelombang sumber, akibat sumber bergerak pengamat bergerak atau medium berg-

erak (angin misalnya).

ν ′ = νc

c − u

ν ′′ = νc − v

c(4.79)

Sumber bergerak dengan kecepatan u mendekati pengamat, c kecepatan gelombang maka

frekuensi yang terdengar pengamat lebih besar ν ′ > ν. Kemudian sumber tetap, pengamat

menjauhi sumber dengan kecepatan v maka frekuensi yang terdengar pengamat lebih kecil

ν ′′ < ν.

Teaching Grant QUE–Project

Page 59: Cat Kuliah Gelombang

BAB 5

Gelombang Longitudinal

Gelombang longitudinal ialah gelombang yang menjalar dalam medium searah dengan arah

gerakan partikel-partikelnya atau osilator-osilatornya. Gelombang menjalar dalam plasma,

gas, zat cair maupun zat padat.Dalam gas dan zat padat dilakukan pembatasan-pembatasan,

dalam zat padat penjalarannya tergantung pada dimensi medium. Zat cair dan gas dapat

meneruskan gelombang longitudinal.

5.1 Gelombang bunyi dalam gas

Asumsikan gas dengan massa tetap m, menempati ruangan Vo dengan tekanan Po dan kerap-

atan ρo. Harga-harga tersebut menunjukkan keadaan kesetimbangan. Bila gas diganggu atau

mengalami deformasi karena kompresi dan peregangan besaran–besaran akan mengalami

perubahan yaitu:

Po → P = Po + p

Vo → V = Vo + v (5.1)

ρo → ρ = ρo + ρd

Tekanan p (excess pressure) ialah amplitudo tekanan maksimum dari gelombang bunyi dan

merupakan komponen yang berubah-ubah superimposed disekitar atau menambah tekanan

gas dalam kesetimbangan Po, sedangkan fraksi perubahan volume adalah vVo

= δ dan fraksi

perubahan kerapatan ρdρ = s keduanya berurutan disebut sebagai dilatasi dan kondensasi.

Harga δ ≈ s = 10−3, p = 2 × 10−5N/m2 dan ν = 1000Hz. Untuk gas dengan massa tetap

ρoVo = ρV = ρoVo(1 + δ)(1 + s) → (1 + δ)(1 + s) = 1 → s = −δ (5.2)

50

Page 60: Cat Kuliah Gelombang

51 Gelombang bunyi dalam gas

Harga δ dan s menunjukkan sifat keelastisitan gas sedang ukuran kompresibilitas didefinisikan

sebagai:

B = − dP

dV/V= −V

dP

dV(5.3)

B berharga positif, ∆V > 0 dan dP < 0 serta B tergantung pada gerakan gelombang. Apa

sebab adiabatik atau isotermik?. Adanya gelombang bunyi (sound wave) pada gas akan terjadi

perubahan tekanan yaitu ∆p, kalau ∆p besar akan ada ∆T dan adanya faktor konduktivitas

akan memindahkan energi dari sistem gas. Dengan asumsi P = Po + p dan Badb tetap, p

besar menunjukkan gelombang yang mengganggu yaitu gelombang kejut(shock waves). Bila

gas tersebut mengalami proses adiabatik maka akan terpenuhi

PV γ = tetap → V γdP + PγV γ−1dV = 0

VdP

dV= γP = Ba dan dP = p

P = Po + p → Ba = − p

v/Vo→ p = −Baδ = Bas (5.4)

Dalam gelombang bunyi ini pergeseran partikel sepanjang sumbu x dan dipilih kordinat η seba-

gai pergeseran. Bagaimana persamaan geraknya?. Pandang lapisan gas x dipindah sejauh η

dan lapisan gas setebal x+dx bergeser sejauh η+dη dan perubahan tebal gas dx dari elemen

persatuan luas adalah dη. Medium di deformasi karena tekanan sepanjang sumbu x sehingga

Gambar 5.1: Gelombang longitudinal dalam gas

sisi elemen tidak seimbang. Gaya netto yang bekerja pada elemen ialah

Px − Px+dx = Px −(

Px +∂Px

∂xdx

)

(5.5)

= −∂Px

∂xdx = − ∂

∂x(Po + p)dx = −∂p

∂xdx

Teaching Grant QUE–Project

Page 61: Cat Kuliah Gelombang

Bab5. Gelombang Longitudinal 52

Massa elemen sebelum ρodx, sehingga berdasarkan hukum Newton

ρodx∂2η

∂t2= −∂p

∂xdx (5.6)

dη =∂η

∂xdx; δ =

v

Vo=

dx=

∂η∂xdx

dx=

∂η

∂x= −s (5.7)

p = −Baδ = −Ba∂η

∂x(5.8)

−∂p

∂x= Ba

∂2η

∂x2= ρo

∂2η

∂x2(5.9)

∂2η

∂x2=

ρo

Ba

∂2η

∂t2→ 1

c2=

ρo

Ba(5.10)

Persamaan(5.10) adalah persamaan diferensial dan penyelesaian dalam arah x positif ialah

η = ηm exp i(ωt − kx); η = iωη; δ =∂η

∂x= −ikη = −s (5.11)

p = Bas = iBakη

Penyelesaian dalam arah x negatif

η = ηm exp i(ωt + kx); η = iωη; δ =∂η

∂x= ikη = −s (5.12)

p = Bas = −iBakη

Dari Gambar.5.2 dapat disimpulkan yaitu

Gambar 5.2: Persamaan gelombang dalam gas

(a) Untuk gelombang pada arah x(+) di η = 0 maka η maksimum pada arah x(+), p posi-

tif(kompresi), s maksimum dan v minimum.

(b) Untuk gelombang pada arah x(−) di η = 0 maka η maksimum pada arah x(+), p maksimu

negatif, s minimum dan v maksimum.

Teaching Grant QUE–Project

Page 62: Cat Kuliah Gelombang

53 Energi distribusi pada gelombang bunyi

5.2 Energi distribusi pada gelombang bunyi

Energi kinetik dalam gelombang bunyi diperoleh pada elemen gas setebal dx

Ekin =1

2ρodxη2 (5.13)

dengan

η = ηmak cos2π

λ(ct − x) (5.14)

η = −ηmak

(2π

λ

)

sin2π

λ(ct − x)

= ηmak sin2π

λ(ct − x) (5.15)

〈∆Ekin〉 = Ekinrerata =1

2ρodx〈η2〉

〈η2〉 = rerata kecepatan pada nλ (5.16)

=η2

m

∫ nλ0 sin2 2π

λ (ct − x)dx

nλ=

1

2η2

m

〈Ek〉 = rapat energi kinetik rerata (5.17)

=1

4ρoη

2m =

1

4ρoω

2η2m

Kemudian rapat energi potensial adalah ∆Ep sebesar kerja p dV yang dilakukan pada massa

gas bervolume Vo selama perubahan adiabatik karena gelombang bunyi sebesar

Ep = −∫

pdV (5.18)

Tanda minus karena p positif, dV negatif yaitu pada kompresi dan pada penarikan ( rarefaction)

p negatif dan dV positif. Dalam grafik PV (Gambar.5.3) kerja yang dilakukan dalam kompresi

(1) dan pada penarikan (2) besarnya sama yaitu 12pv, pada kompresi tekanan membesar dan

pada penarikan tekanan mengecil.

Gambar 5.3: Daerah yang diarsir menunjukkan energi potensial pmvm/2 dikuatkan oleh gas dalam

kompresi.

Teaching Grant QUE–Project

Page 63: Cat Kuliah Gelombang

Bab5. Gelombang Longitudinal 54

Selanjutnya bila s=kondensasi=∫

dVVo

= − vVo

dan secara incremental dV = −Vods dan p =

Bas

∴ Ep = −∫

Bas(−Vods)

=

BasVods =1

2BaVos

2 =1

2BaVos

2dx

=1

2Baδ

2dx (5.19)

Jika η = ηm exp i(ωt ± kx) dan δ = ∂η∂x = ±ikη = ±iω

c η = ±1c

∂η∂x = ±1

c η maka

∆Ep =1

2Ba

η2

c2dx =

1

2ρoη

2dx (5.20)

〈∆Ep〉 =1

4ρoη

2m

Energi total

〈∆E〉 = 〈∆Ek〉 = 〈∆Ep〉 =1

2ρoη

2m (5.21)

〈∆E〉 maksimum bila η2m maksimum dan minimum bila η2

m = 0 Rapat energi kinetik dan energi

Gambar 5.4: Energi distribusi dalam ruang gelombang bunyi dalam gas. Baik energi potensial dan

kinetik adalah maksimum saat kecepatan partikel η adalah maksimum dan nol pada η = 0

potensial sama yaitu 12ρoη

2m dan rapat energinya rerata adalah 1

4ρoη2m berarti energi kinetik dan

energi potensial berharga maksimum dan minimum pada waktu yang sama dengan kata lain η

menyatakan besar energinya.

5.3 Intensitas gelombang bunyi

Intensitas ialah ukuran fluks energi diukur dalam J/s.m2 = watt/m2=rapat energi. Intensitas

dituliskan

I =1

2ρoη

2mc =

1

2ρoω

2η2mc = ρocη

2rms (5.22)

=p2

rms

ρoc=

prms

yrms

Teaching Grant QUE–Project

Page 64: Cat Kuliah Gelombang

55 Impedansi akustik spesifik

Intensitas bunyi standar Io = 1 × 10−2watt/m2. Gelombang bunyi normal dengan intensitas

antara 10−12 → 1watt/m2. Tingkat Intensitas

TI = logI

Io(5.23)

= log10−1

10−2= 1 bel 1bel = 10dB

5.4 Impedansi akustik spesifik

Impedansi akustik spesifik dapat didefinisikan sebagai:

Impedansi akustik =tekanan excess

kecepatan partikel=

p

η

Bila gelombang bergerak ke kanan x+ maka

x+ → p

η=

Bak

ω;

iBakη

iωη=

Ba

c= ρoc (5.24)

x− → p

η= −ρoc (terjadi perubahan fase)

5.5 Gelombang longitudinal dalam pegas

Suatu pegas panjang L ditarik perlahan-lahan, hingga panjangnya bertambah l, maka gaya F

akan sama ditiap-tiap titik pada pegas dalam keadaan setimbang (F=gaya yang bekerja). Gaya

yang bekerja F ini sebesar K lL , K disebut modulus elastisitas. Menurut hukum Hooke F = kl,

maka hubungan antara k dan K ialah k = KL , k disini konstanta pegas atau stiffnes. Kemudian

akan ditinjau bila pertambahan panjang pegas karena ada gangguan, akibatnya pegas tegang

dan terjadi perubahan panjang η. Maka gaya pada bagian segmen dx sebesar F = K ∂η∂x . Jika

massa persatuan panjang adalah µ, maka menurut Newton, gaya yang bekerja pada sepotong

segmen dx sebesar

µdx∂2η

∂t2=

∂F

∂xdx = K

∂2η

∂x2(5.25)

∂2η

∂t2=

K

µ

∂2η

∂x2

Sehingga kecepatan rambat gelombang longitudinal dalam pegas

v =

K

µ=

kL

µ=

KL

m=

kL2

m(5.26)

5.6 Gelombang longitudinal kawat elastik

Kawat setebal dx dalam keadaan diam terletak antara x dan x + dx. Karena gangguan posisi

berubah dan kawat pada kedudukan antara x + η dan x + η + δx + δη atau dikatakan terjadi

regangan δx + δη

Teaching Grant QUE–Project

Page 65: Cat Kuliah Gelombang

Bab5. Gelombang Longitudinal 56

Gaya per luas di x sebesar Y ∂η∂x , dengan ∂η

∂x=regangan, sedang gaya per luas di x + dx

sebesar Y(

∂η∂x + ∂2η

∂x2

)

, sehingga gaya total sebesar Y A ∂2η∂x2δx

.

Menurut hukum Newton II :

Y A∂2η

∂x2δx = Y Aρδx

∂2η

∂t2(5.27)

∂2η

∂x2=

ρ

Y

∂2η

∂t2

∂2η

∂x2=

1

c2

∂2η

∂t2→ c =

Y

ρ

c=kecepatan gelombang longitudinal pada kawat.

5.7 Gelombang longitudinal dalam zat padat

Kecepatan gelombang longitudinal dalam zat padat sangat tergantung pada spesimen dimana

gelombang menjalar. Dalat zat padat, kecepatan rambat adalah

c =

Ba

ρ(5.28)

Pada bulk selain ada regangan ∂η∂x ada regangan ∂ρ

∂y (arah ⊥ x), β ialah pergeseran pada arah

y, merupakan fungsi x dan y adalah

−∂ρ∂y

∂η∂x

= σ = Poisson’s ratio (5.29)

σ adalah hubungan dengan konstanta elastik Lame λ dan µ ialah

σ =λ

2(λ + µ); λ =

σY

(1 + σ)(1 − 2σ); Y = (λ + 2µ − 2λσ) (5.30)

µ disebut koefisien rigiditas transversal=mobil stress transversal terhadap regangan transver-

sal. σ umumnya < 12 dan biasa σ = 1

3 , dalam bulk solid → µ adalah menunjukkan keelastisan,

dan pada zat padat tipis adalah Y(modulus Young) menunjukkan keelastisan.

Geser(shear) dalam zat padat bulk akan menghasilkan gelombang transversal, ∂β∂x=regangan

geser transversal dan µ ∂β∂x=stress geser transversal=Tx.

Persamaan gerak transversal pada elemen tipis dx ialah

Tx+dx − Tx = ρdxy (5.31)∂

∂x

(

µ∂β

∂x

)

dx = ρdxy

µ∂2β

∂x2= ρ

∂2β

∂t2

∂2β

∂x2=

ρ

µ

∂2β

∂t2

c2 =µ

ρ→ c =

õ

ρ

Teaching Grant QUE–Project

Page 66: Cat Kuliah Gelombang

57 Aplikasi gelombang longitudinal pada gempa bumi

Dari hubungan berikut

Y

ρ=

λ + 2µ

ρ− 2λσ

ρ(5.32)

Y

ρ=

λ + 2µ

ρbila

2λσ

ρ≈ 0 (5.33)

Gelombang longitudinal mempunyai kecepatan lebih besar pada bulk solid. Pada medium bulk

solid isotrop

B = λ +2

3µ = Y (3(1 − 2σ))−1 (5.34)

dan kecepatan longitudinal pada bulk solid adalah cL =(

B+ 4

ρ

)1/2

dan cT =(

µρ

)1/2

5.8 Aplikasi gelombang longitudinal pada gempa bumi

Gempa bumi ialah gelombang seismik dan diperhatikan gelombang pada permukaan. Didekat

permukaan bumi ada gelombang longitudinal dengan c = 8 km/s dan gelombang transversal

c = 4, 45 km/s. Nilai c sampai pada kedalaman 1800 mil, selanjutnya pada bidang diskon-

tinyu cl ≈ 0 . Pada permukaan ada gelombang Rayleigh yaitu crayleigh = f(σ)(

µρ

)1/2bila

σ = 0, 25 → f(σ) = 0, 9194 dan σ = 0, 5 → f(σ) = 0, 9553.

5.9 Gelombang longitudinal dalam struktur periodik

Jarak antar atom dalam kristal a(Gambar 5.5), pergeseran atom dari kedudukan kesetimban-

gan η dan jarak antar atom a menjadi a + η, regangan ε = ηa dan normal stress per a2 adalah

sηa2 = ε s

a . Kemudian modulus Young Y = sεsa = s

a → s = Y a dan ν = ω2π = 1

√sm = 1

2πa

√Yρ =

co2πa . co=kecepatan bunyi dalam zat padat=5 × 103 m/s, a = 2 × 10−10 m, ν = 3 × 1012 Hz.

Kemudian analog dengan gelombang transversal, persamaan gerak partikel ke-r adalah

mηr = s(ηr+1 + ηr−1 − 2ηr)

ηr = ηmaks exp i(ωt − kra) (5.35)

KarenaY > B

Y > µ

→ cL > cT (5.36)

5.10 Refleksi dan transmisi gelombang pada bidang batas

Bila gelombang bunyi menjalar, kemudian mengenai batas yang memisahkan dua media(Gambar 5.6)

yang berbeda impedansinya yaitu ρ1c1 dan ρ2c2, maka berapakan gelombang yang direflek-

sikan dan ditransmisikan ? Bila kecepatan partikel η dan tekanan akustik p, bidang batas

tersebut dengan kondisi luas tak terbatas dan kondisi pada kontak adalah

Teaching Grant QUE–Project

Page 67: Cat Kuliah Gelombang

Bab5. Gelombang Longitudinal 58

Gambar 5.5: Gelombang longitudinal dalam

kristal

Gambar 5.6: Refleksi dan transmisi gelombang

bunyi

ηi + ηr = ηt (5.37)

pi + pr = pt dan p = ρcη (5.38)

ρ1c1ηi − ρ1c1ηr = ρ2c2ηt (5.39)

Z1ηi − Z1ηr = Z2ηt (5.40)

Dari persamaan(5.37) dan (5.40) diperoleh

Z1ηi − Z1ηr = Z2(ηi + ηr)

ηi(Z1 − Z2) = ηr(Z1 + Z2)

ηr

ηi=

Z1 − Z2

Z1 + Z2=

ωηr

ωηi=

ηr

ηi(5.41)

Z1ηi − Z1ηi

(Z1 − Z2

Z1 + Z2

)

= Z2ηt

Z1(Z1 + Z2) − Z1(Z1 − Z2)

(Z1 + Z2)Z2=

ηt

ηi=

2Z1Z2

Z2(Z1 + Z2)=

2Z1

Z1 + Z2(5.42)

Sedangkan

pr

pi= −Z1ηr

Z1ηi=

Z2 − Z1

Z1 + Z2= − ηr

ηi(5.43)

pt

pi=

Z2ηt

Z1ηi=

Z2

Z1

2Z1

Z1 + Z2=

2Z2

Z1 + Z2(5.44)

bila Z2 > Z1 kecepatan partikel yang direfleksikan sefase dengan ηi, tekanan akustik yang

direfleksikan berbeda fase π dengan pi, ηt selalu sefase dengan ηi, pt selalu sefase dengan pi,

dan Z2 = ∞ → ηt = 0 = ηi + ηr.

Refleksi dan transmisi intensitas bunyi adalah

Ir

Ii=

Z1(η2r )maks

Z1(η2i )maks

=

(Z1 − Z2

Z1 + Z2

)2

(5.45)

It

Ii=

Z2(η2t )maks

Z1(η2i )maks

=Z2

Z1

(2Z1

Z1 + Z2

)2

=4Z1Z2

(Z1 + Z2)2;

Ir

Ii+

It

Ii= 1 (5.46)

Teaching Grant QUE–Project

Page 68: Cat Kuliah Gelombang

BAB 6

Gelombang dimensi lebih dari satu

6.1 Pendahuluan

Kecepatan fase c dari gelombang menyatakan kecepatan garis yang berfase sama(2 dimensi)

atau bidang yang berfase sama(3 dimensi) bergerak dan ditunjukkan arahnya ⊥ garis atau

bidang dengan vektor ~k(~k menyatakan vektor bilangan gelombang juga, ~k = 2πλ ) Dalam bidang

(2 dimensi) gelombang menjalar searah k

cos α =k1

k= l → cosinus arah (6.1)

cos β =k2

k= m → cosinus arah (6.2)

k2 = k21 + k2

2

p = ct = lx + m = jarak dari 0 ke garis dengan fase sama,lembah dan puncak (trough and

crest) menjalar searah ~k Bila gelombang searah menempuh jarak p, pergeseran/lintasannya

Gambar 6.1: Gelombang bidang menjalar searah ~k.

59

Page 69: Cat Kuliah Gelombang

Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu 60

pada kedudukan r maka beda fase gelombang ketika berada di 0 dan pada garis fase sebesar

φ, maka φ = 2πλ p = ~k.~r

= (k1 i + k2j) · (xi + yj) = k1x + k2y = kp (6.3)

Dan fungsi gelombang yang sering dinyatakan

y = yo exp i(ωt − kx) atau η = ηo exp i(ωt − kx) (6.4)

dalam dimensi 2 menjadi (secara umum)

φ = φo exp i(ωt − kr) (6.5)

Dalam ruang(3 dimensi), fungsi gelombang

φ = φo exp i(ωt − ~k · ~r) (6.6)

~k = k1 i + k2j + k3k

~r = xi + yj + zk

dengan cos α = l = k1

k ; cos β = m = k2

k ; cos γ = n = k3

k

p = jarak O ke bidang dengan fase sama(wave front)

= ct = lx + my + nz

kp = ~k · ~r = k1x + k2y + k3z

6.2 Persamaan gelombang dua dimensi(2D)

Perhatikan suatu membran dengan ukuran δxδy bergerak/bervibrasi sepanjang z, rapat massa(ρ)

dan teregang oleh gaya/tegang T yang uniform. Gaya Tδy bekerja pada elemen δx meng-

Gambar 6.2: Membran dengan ukuran δx × δy

hasilkan gaya

Tδyδx∂2z

∂x2(6.7)

Teaching Grant QUE–Project

Page 70: Cat Kuliah Gelombang

61 Persamaan gelombang dua dimensi(2D)

(analog pada dawai T ∂2y∂x2 dx= gaya tegak lurus x) dan gaya Tδx bekerja pada elemen δy meng-

hasilkan gaya

Tδyδx∂2z

∂y2(6.8)

Gaya pada persamaan(6.7) dan (6.8) bekerja pada membran sebesar gaya Newton sepanjang

z

Tδyδy∂2z

∂x2+ Tδxδy

∂2z

∂y2= ρδxδy

∂2z

∂t2(6.9)

∂2z

∂x2+

∂2z

∂y2=

ρ

T

∂2z

∂t2=

1

c2

∂2z

∂t2→ c2 =

ρ

T

dan penyelesaiannya

z = A exp i(ωt − ~k · ~r) = A exp i(ωt − (k1x + k2y)) (6.10)

Penyelesaian bentuk lain dari gelombang 2 dimensi, bentuk umum

δ2φ

δx2+

δ2φ

δy2=

1

c2

δ2φ

δt2(6.11)

dengan φ = X(n)Y (y)T (t)

∂2φ

∂x2= XxxY (y)T (t);

∂2φ

∂y2= XTYyy;

∂2φ

∂t2= XY Ttt

Xxx =∂2X

∂x2; Yyy =

∂2Y

∂y2; Ttt =

∂2T

∂t2

maka persamaan (6.11) menjadiXxx

X+

Yyy

Y=

1

c2

Ttt

T(6.12)

Kemudian diandaikan

Xxx

X= −k2

1;Xxx

X= −k2

2 ;1

c2

Ttt

T= −(k2

1 + k22) = −k2 (6.13)

maka

Xxx + k21X = 0 → X = A cos(k1x) + B sin(k1z) (6.14)

Yyy + k21Y = 0 → Y = A1 cos(k2y) + B1 sin(k2y) (6.15)

Ttt + k2c2T = 0 → T = A2 cos(kct) + B2 sin(kct) (6.16)

φ = XY T (6.17)

= csin

cos

k1xsin

cos

k2ysin

cos

kct

= ce±ik1xe±ik2ye±ikct (6.18)

Kapan φ merupakan fungsi sin atau cos tergantung syarat awal.

Teaching Grant QUE–Project

Page 71: Cat Kuliah Gelombang

Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu 62

6.3 Refleksi gelombang 2D pada batas tegar(waveguide))

Gelombang 2D menjalar dengan arah ~k dalam bidang xy sepanjang membran dengan lebar

b di bawah pengaruh gaya tegang T antara 2 batang tegar mempunyai impedansi tak hingga.

Gelombang menjalar sepanjang sumbu x, maka tiap kali setelah dipantulkan k2 berbalik arah,

sehingga membran bergerak sepanjang sumbu z yang merupakan superposisi gelombang

datang dan yang dipantulkan.

Gambar 6.3: Perambatan gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan impedansi tak terhingga

saat y = 0 dan y = b memberikan nilai k2 tiap refleksi

z = A1sin(ωt − (k1x + k2y)) + A2sin(ωt − (k1x − k2y)) (6.19)

Syarat batas pada y = 0 dan y = b → z = 0 sehingga

y = 0 → z = 0 = A1 sin(ωt − k1x) + A2 sin(ωt − k1x) → A1 = A2 (6.20)

y = b → z = 0 = A1 sin(ωt − (k1x + k2b)) + A2 sin(ωt − (k1x − k2b))

Pada t = 0, x = 0, dan z = 0

0 = A1 sin(−k2b) + A2 sin(k2b) (6.21)

A1 sin(−k2b) = −A2 sin(k2b) = A1 sin(k2b)

pada persamaan (6.21) ruas kiri sama dengan ruas kanan, hanya mungkin bila nilai sin(k2b) =

0 → k2b = nπ → k2 = nπb ; n = 0, 1, 2, · · · . Dengan hasil di atas

z = A1 sin(ωt − (k1x + k2y)) − A1 sin(ωt − (k1x − k2y) (6.22)

= 2A1 cos2ωt

2+[(−k1x − k2y − k1x + k2y

2

)

sin(−k1x − k2y + k1x − k2y

2

)]

= 2A1 cos(ωt − k1x) sin(−k2y)

= −2A1 sin k2y cos(ωt − k1x)

Teaching Grant QUE–Project

Page 72: Cat Kuliah Gelombang

63 Modus normal pada membran segiempat 2D

Gelombang menjalar sepanjang sumbu x dengan kecepatan fase

vp =ω

k1=

kv

k1(6.23)

v kecepatan membran < vp, dan k21 = k2 − k2

2 = k2 − n2π2

b2= ω2

v2 − n2π2

b2dan bila ω2

v2 = k21 + n2π2

b2

maka 2ωdω = v22k1dk1 atau dωdk1

= v2k1

ω , sehingga

k1 = (k2 − n2π2

b2)

1

2 (6.24)

dan vg pada arah x adalah dωdk1

= 1ωk1v

2 = k1

k v, dipenuhi

vpvg =kv

k1

k1v

k= v2 (6.25)

Dan kembali ke k21 = k2 − n2π2

b2dimana k1 merupakan suatu bilangan ≥ 0, maka

k2 ≥ n2π2

b2→ ω2

ν2≥ n2π2

b2(6.26)

ω2 ≥ n2π2v2

b2→ 2πν ≥ nπv

b→ ν ≥ nv

2b

dengan ν = nv2b =frekuensi cutt off; n = 1, 2, 3, · · · frekuensi yang lebih besar atau sama yang

diijinkan lewat, bukan sembarang gelombang. Bila cahaya v = c → vgvp = c2 dan vg < c.

Gambar 6.4: Variasi amplitudo gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan n = 1, 2, 3

6.4 Modus normal pada membran segiempat 2D

Suatu membran ukuran a× b gelombang bergerak pada membran dengan arah ~k(~k arah sem-

barang). Pada batas membran gelombang direfleksi sehingga pada membran terjadi gelom-

bang berdiri (standing wave). Dan dipenuhi bila a = n1AA′ dan b = n2BB′, dimana n1, n2

adalah bilangan bulat,dengan

AA′ =λ

2cosα=

λk

2k1=

λ2π

2λk1=

π

k1(6.27)

BB′ =λ

2cosβ=

λk

2k2=

λ2π

2λk2=

π

k2(6.28)

a =n1π

k1dan b =

n2π

k2(6.29)

Teaching Grant QUE–Project

Page 73: Cat Kuliah Gelombang

Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu 64

Gambar 6.5: Mode normal membran persegi dalam arah ~k sesuai kondisi batas dari pergeseran nol

pada ujungnya a = n1λ/2 cosα dan b = n2λ/2 cosβ

maka

k2 = k21 + k2

2 = (n1π

a)2 + (

n2π

b)2 = (

λ)2 (6.30)

2

λ=

(n21

a2+

n22

b2

)1/2→ 2

c/ν=(n2

1

a2+

n22

b2

)1/2→ ν =

c

2

(n21

a2+

n22

b2

)1/2(6.31)

Pada n1 = n2 = 1 adalah frekuensi fundamental

ν =c

2

(n21

a2+

n22

b2

)1/2; c =

T

ρ(6.32)

ν =

[T

( 1

a2+

2

b2

)]1/2

→ z = Asin

cos

k1xsin

cos

k2ysin

cos

kct

Garis lembah terjadi pada

x = 0 → a

n1,2a

n1,3a

n1, · · · , a (6.33)

y = 0 → b

n1,2b

n1,3b

n1, · · · , b

dengan z = A sin(

n1πxa

)

sin(

n2πyb

)

sin(kct) dimana z = 0 di x = y = 0,x = a dan y = b.

Modus ditentukan oleh n1 dan n2. Modus yang sama dikatakan tergenerasi pada membran,

sedangkan modus(4, 7) dengan (7, 4) sama frekuensinya juga (8, 1) dan (1, 8). Pada membran

a=3b, modus (3, 3) = (9, 1).

6.5 Gelombang tiga dimensi(3D)

Persamaan umum gelombang tiga dimensi adalah

∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2+

∂2φ

∂z2= ∇2φ =

1

c2

∂2φ

∂t2(6.34)

Teaching Grant QUE–Project

Page 74: Cat Kuliah Gelombang

65 Modus Normal dalam 3D

Gambar 6.6: Beberapa mode normal pada sebuah membran persegi dimana yang diarsir menyatakan

gerakan sinusiodal

Gelombang bidang

φ = Asin

cos

k1xsin

cos

k2ysin

cos

k3zsin

cos

kct (6.35)

= A exp i(ωt − ~k · ~r); ~k · ~r = k1x + k2y + k3z

Gelombang sferis

∇2φ =1

r2

( ∂

∂r

(

r2 ∂φ

∂r

))

+1

r2

∂θ

(

sin θ∂φ

∂θ

)

+1

r2 sin θ

∂2φ

∂ϕ2(6.36)

=A

rexp i(ωt − ~k · ~r)

Gelombang silindris

∇2φ =1

r2

( ∂

∂r

(

r2 ∂φ

∂r

))

+1

r2

∂2φ

∂θ2+

∂2φ

∂z2(6.37)

=A√r

exp i(ωt − ~k · ~r)

6.6 Modus Normal dalam 3D

Dalam tiga dimensi gelombang mempunyai frekuensi

ν =c

2(n2

1

l1+

n22

l2+

n23

l3)

1

2 (6.38)

Teaching Grant QUE–Project

Page 75: Cat Kuliah Gelombang

Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu 66

dimana l1, l2, l3 merupakan panjang sisi-sisi rectangular enclosure. Sel mempunyai sisi c2l1

, c2l2

, c2l3

.

Garis dari titik 0 ke titik (n1c2l1

, n2c2l2

, n3c2l3

) menunjukkan frekuensi. Volume cell

c3

8l1l2l3(6.39)

Berapa banyak cell dalam range frekuensi ν dan ν + dν? jawaban untuk pertanyaan ini adalah

semua bilangan bulat positif n1, n2,dan n3.

ν2 <c2

4(n2

1

l1+

n22

l2+

n23

l3) = (ν + dν)2 (6.40)

dan banyaknya cell atau titik (=banyaknya modus normal), yaitu

=volume sel bola8 volume bola

(6.41)

=1

8× 4πν2dν

18c3/l1l2l3

= 4πl1l2l3ν2dν

c3→(1

8Oktan

)

jadi jumlah modus normal yang mungkin dalam range ν dan ν + dν per satuan volume dari

permukaan tertutup adalah 4π ν2dνc3

Gambar 6.7: Kisi persegi dalam ruang frekuensi. Panjang vektor pada titik pusat adalah nilai frekuensi

yang dibolehkan dan arah vektor menyatakan arah perambatan

6.7 Distribusi frekuensi dari radiasi energi benda panas

Suatu benda panas pada suhu T memancarkan energi panas dalam interval frekuensi ν dan

ν + dν dapat dituliskan Eνdν. Menurut Rayleigh-Jeans :

Eνdν =4πν2dν

c3(2kT ) =

8πν2kTdν

c3(6.42)

(2 derajat kebebasan, 2 bidang polarisasi transversal) × 12 = 2kT . Ternyata Rayleigh-Jeans

ini tidak cocok untuk ν ultraviolet catastrophy diganti oleh Planck, energi bukan kT tetapi

Teaching Grant QUE–Project

Page 76: Cat Kuliah Gelombang

67 Teori Debye kalor spesifik

hνexp(hν/kT )−1 maka energi yang dipancarkan dengan frekuensi antara ν dan ν + dν adalah

Eνdν =8πν2

c3

exp(hν/kT ) − 1dν (6.43)

Gambar 6.8: Grafik radiasi benda hitam

6.8 Teori Debye kalor spesifik

Menurut Debye banyaknya modus per volume (dn) adalah

dn = 4πν2dν( 2

c3T

+1

c3L

)

(6.44)

T=transversal dan L=longitudinal. Tiap modus mempunyai energi rerata E = hνexp(hν/kT )−1

(Planck), maka pada volume VA, interval frekuensi ν → ν + dν untuk rerata energi adalah

VAEdn = 4πVA

( 2

c3T

+1

c3L

) hν3

exp(hν/kT ) − 1dν (6.45)

Energi total per gram atom EA adalah

EA =

VAEdn = 4πVA

( 2

c3T

+1

c3L

)∫ νm

0

hν3

exp(hν/kT ) − 1dν (6.46)

(∫ e3dx

ex − 1≈ π4

15

)

dan bila N=bilangan Avogadro maka∫

dn = 3N = 4πVA

( 2

c3T

+1

c3L

) ∫ νm

0ν2dν (6.47)

=4πVA

3

( 2

c3T

+1

c3L

)

ν3m

Teaching Grant QUE–Project

Page 77: Cat Kuliah Gelombang

Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu 68

EA=Energi total per gram atom meliputi seluruh frekuensi yang ada yaitu

4πVA

3

( 2

c3T

+1

c3L

)

=3N

ν3m

(6.48)

∴ EA =4πVA

3

( 2

c3T

+1

c3L

)∫ νm

0ν2dν

=9N

ν3m

∫ νm

0ν2dν = 9RT

( T

Θo

)3∫ Θo

0

x3

ex − 1dx +

9

8RΘo

Cv =dEA

dT= 9R

( T

Θo

)3∫ Θo/T

0

e4x4

ex − 1dx (6.49)

x =hν

kT; Θo =

hνm

kT= suhu Debye; k =

R

N

Kondisi dari temperatur Debye yaitu

Gambar 6.9: grafik Debye

1. T Θo

Cv = 9R( T

Θo

)3∫ Θo/T

0x2dx = 9R

( T

Θo

)3× 1

3

(Θo

T

)3= 3R (6.50)

2. T Θo

EA = 9R( T

Θo

)3∫

0

x3

ex − 1dx

︸ ︷︷ ︸

π4/15

+RΘo

= 9RT( T

Θo

)3 π4

15+ RΘo

Cv =dEA

dT=

9Rπ4

15× 4T 3

Θ3o

=12

5π4R

( T

Θo

)3(6.51)

= Kalor jenis

Teaching Grant QUE–Project

Page 78: Cat Kuliah Gelombang

BAB 7

Gelombang pada jalur transmisi

7.1 Pendahuluan

Medium dapat mengirim gelombang. Medium yang sengaja dibuat dari kabel/kawat/kawat

koaksial, awat/kabel sejajar dapat mengirim gelombang, gelombang arus listrik dan gelombang

potensial dari generator AC ke terminal.

Pada kabel mengalir muatan yang berarti ada arus. Suatu generator AC, arus yang dikirim

maksimum dan minimum berganti-ganti menurut waktu dan ruang. Berhubungan dengan arus

ada gelombang tegangan, dalam generator arus dan tegangan sefase dan daya terkirim dalam

jalur. Arus yang mengalir pada kabel akan membentuk medan magnet dan medan listrik se-

hingga pada antara kedua kabel terbentuk induktor dengan indukstansi diri Lo(H/m) dan kapa-

sitor dengan kapasitansi Co(F/m) . Bila pada kawat tidak ada R maka kawat disebut loss less

7.2 Jalur transmisi tanpa hambatan(ideal lossless)

Gambar 7.1 adalah elemen panjang dx(dx <<< λ yaitu panjang gelombang tegangan dan

gelombang arus). Pada waktu tertentu laju perubahan tegangan persatuan panjang sebesar

tegangan turun dalam induktor,

∂V

∂xdx = −Lodx

∂I

∂t→ ∂V

∂x= −Lo

∂I

∂t(7.1)

69

Page 79: Cat Kuliah Gelombang

Bab7. Gelombang pada jalur transmisi 70

Gambar 7.1: Suatu elemen dari jalur transmisi ideal dengan induktansi Lo(H/m) dan kapasitansi

Co(F/m)

Juga laju perubahan arus pada waktu tertentu sepanjang kawat sebesar jumlah muatan pada

kapasitor

dI =∂q

∂t=

∂t(Codx)V dan −∂I

∂xdx =

∂t(Codx)V

−∂I

∂x= Co

∂V

∂t(7.2)

persamaan(7.1) dan (7.2) diturunkan lagi terhadap t dan x didapatkan

∂2V

∂x2= LoCo

∂2V

∂t2(7.3)

mboxdan∂2I

∂x2= LoCo

∂2I

∂t2(7.4)

Dari persamaan(7.4) diperoleh v2 = 1LoCo

, dimana v adalah kecepatan gelombang arus dan

gelombang tegangan yang menjalar sepanjang kabel dengan

v ≈ (mgnetic inertia) × ( kapasitas menyimpan energi potensial)

v ≈ Lo × Co

Untuk kabel koaksial dengan jejari dalam r1 dan luar r2 yang berisi bahan polythene dengan

permeabilitas magnetik µ dan permitivitas listrik ε akan mempunyai induktansi per satuan pan-

jang,

Indukstansi/m Lo =µ

2πln

r2

r1

Kapasintasi/m Co =2πε

ln r2

r1

Catatan : µo = 4π × 10−7 henry/m dan εo =(36π × 109

)−1 farad/m

7.3 Karakteristik Impedansi Jalur Transmisi

Dari persamaan(7.1) dan (7.2) didapatkan

V+ = Vo+ sin2π

λ(vt − x) dan V− = Vo− sin

λ(vt + x) (7.5)

I+ = Io+ sin2π

λ(vt − x) dan I+ = Io+ sin

λ(vt + x) (7.6)

Teaching Grant QUE–Project

Page 80: Cat Kuliah Gelombang

71 Refleksi dari ujung jalur transmisi

dengan tanda (+) gelombang menjalar ke kanan atau x+ dan tanda (−) gelombang menjalar

ke kiri atau x−. Mengacu pada persamaan(7.1) maka untuk tanda (+)

−2π

λVo+ cos

λ(vt − x) = −LoIo+

λv cos

λ(vt − x)

Vo+ = Io+Lo1√

LoCo= Io+

Lo

Co(7.7)

atau

Vo+ = vLoIo+ → V+ = vLoI+ (7.8)

Didefinisikan Zo = V+

I+= vLo =

√LoCo

Ω dan −Zo = V−

I−=√

LoCo

. Jadi tegangan total dan arus

total pada jalur transmisi adalah :

V = V+ + V− dan I = I+ + I− (7.9)

Bila arus dan tegangan menjalar pada satu arah, arus dan tegangan sefase. Secara terus

menerus energi dikirim oleh generator pada jalur. Tetapi bila dua arah dan arah yang satu

sebagai refleksi yang lain maka tidak berlaku pernyataan di atas.

7.4 Refleksi dari ujung jalur transmisi

Anggaplah bahwa impedansi karakteristik Zo dari jalur transmisi memiliki panjang berhingga

dan pada ujung lain impedansi muatan ZL terpusat pada generator dengan arah penjalaran

berlawanan, seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Pada ujung “diload” berlaku

Gambar 7.2: Refleksi di ujung jalur transmisi

V+ + V− = VL dan I+ + I− = IL (7.10)VL

IL= ZL dan

V+

I+= −V−

I−= Zo (7.11)

Dari persamaan(7.10) dan (7.11) diperoleh Koefisien refleksi amplitudo tegangan,

V−

V+=

ZL − Zo

ZL + Zo(7.12)

Teaching Grant QUE–Project

Page 81: Cat Kuliah Gelombang

Bab7. Gelombang pada jalur transmisi 72

Koefisien refleksi amplitudo arus,I−I+

=Zo − ZL

ZL + Zo(7.13)

Koefisien transmisi amplitudo tegangan

VL

V+=

2ZL

ZL + Zo(7.14)

Koefisien transmisi amplitudo arusIL

I+=

2Zo

ZL + Zo(7.15)

dimana ZL = Zo → gelombang “dimatch” atau refleksi tidak ada dan ZL = 0 terhubung pendek

→ VL = V+ + V− = 0 → V+ = −V− yaitu total refleksi dan berubah fase π. Hubungan pendek

dengan ZL = 0 terbentuk gelombang berdiri diujung dengan arus maksimum dan tegangan nol.

Kemudian karena ada beda fase pada posisi x dimanapun di garis transmisi, dapat dinyatakan

tegangan dari dua buah gelombang

Vx = V+ + V− = ZoI+ − ZoI− (7.16)

= Vo+ei(ωt−kx) + Vo−ei(ωt+kx)

Vo+ = Vo− = Vo+ eiωt(

e−ikx − eikx)

= −(i)2Vo+ sinkxeiωt (7.17)

dan

Ix = I+ + I− =Vo+

Zo

(

e−ikx + eikx)

eiωt (7.18)

=2Vo+

Zocos kx eiωt

Kalau dilihat dalam ruang, arus terdahulu 90 dari tegangan dan dalam waktu arus terdahulu

90 terhadap tegangan juga (−j) artinya arus tertinggal 90 terhadap tegangan. Sedangkan

energi yang tersimpan dalam kapasitor adalah 12CoV

2 dan dalam induktor 12LoI

2, berganti se-

tiap 14 siklus.

7.5 Efek Hambatan dalam Jalur Transmisi

Efek hambatan dalam jalur transmisi diakibatkan adannya hambatan pada kabel. Pandang su-

atu rangkaian RLC dimana pada C diparalelkan dengan G(konduktansi) sepanjang jalur berlaku

V = Voeiωt → Co

∂V

∂t= iωCoV dan

∂V

∂x= −Lo

∂I

∂x− RoI = −(Ro + iωLo)I (7.19)

I = Ioeiωt → Lo

∂I

∂t= iωLoI dan

∂I

∂x= −Co

∂V

∂t− GoV = −(Go + iωt)V (7.20)

Jika persamaan(7.19) dan (7.20) diturunkan lagi terhadap x maka diperoleh

∂2V

∂x2= −(Ro + iωLo)

∂I

∂t= +(Ro + iωLo)(Go + iωCo)V = γ2V (7.21)

∂2I

∂x2= (Go + iωCo)

∂V

∂t= +(Go + iωCo)(Ro + iωLo)I = γ2I (7.22)

Teaching Grant QUE–Project

Page 82: Cat Kuliah Gelombang

73 Efek Hambatan dalam Jalur Transmisi

Gambar 7.3: Efek hambatan dalam jalur transmisi

dengan nilai γ2 = +(Go + iωCo)(Ro + iωLo)I = Ro Go − ω2LoCo︸ ︷︷ ︸

α2−k2

+i ω(LoGo + RoCo)︸ ︷︷ ︸

2αk

.

γ = α + ik → γ2 = α2 − k2 + 2iαk (Konstanta propagasi), α =attenuasi=koefisien absorpsi dan

k = bilangan gelombang.

Sedangkan penyelesaian secara umum merupakan fungsi x dan t yaitu

∂2V

∂x2− γ2V = 0 → V =

(

Ae−γx + Be+γx)

ejωt (7.23)

= Ae−αxei(ωt−kx)︸ ︷︷ ︸

1

+B eαxei(ωt+kx)︸ ︷︷ ︸

2

∂2I

∂x2− γ2I = 0 → I =

(

A′e−γx + B′e+γx)

eiωt (7.24)

= A′ e−αxei(ωt−kx)︸ ︷︷ ︸

1′

+B′ eαxei(ωt+kx)︸ ︷︷ ︸

2′

Gambar 7.4: Tegangan dan arus pada ...

Kesimpulan :

(a) 1 dan 1’ adalah gelombang menjalar ke kanan dengan amplitudo bervariasi e−αx (meru-

pakan gelombang datang).

Teaching Grant QUE–Project

Page 83: Cat Kuliah Gelombang

Bab7. Gelombang pada jalur transmisi 74

(b) 2 dan 2’ adalah gelombang menjalar ke kiri dengan amplitudo bervariasi e−αx (merupakan

gelombang pantul).

(c) Bila jalur transmisi berisi hambatan berarti ada energi yang hilang yang sebanding dengan(

e−αx)2

= e−2αx (jalur bersifat resistif, viskos, friksi atau difusif)

(d) Bila jalur transmisi berisi murni induktor(inersia) dan kapasitor(elastisitas) maka bentuk

gelombang sinus atau cosinus

(e) Bila jalur transmisi ada hambatan R maka gelombang berbentuk eksponensial.

Teaching Grant QUE–Project

Page 84: Cat Kuliah Gelombang

Daftar Pustaka

[1] Pain, H.J.,(1999), The Physics of Vibarations and Waves, 5th Edition, John Wiley & Sons.

[2] Puri, S.P.,(1989), Fundamental of Vibration and Waves, Tata McGraw Hill Publishing Com-

pany Limited.

[3] Alonso, M and Finn, E.J.,(1971), Fundamental Physics II, Fields and Waves, Addison–

Wesley.

[4] Crawford Jr, F.S.,(1968), Berkeley Physics Course ”Waves”, Volume 3, McGraw-Hill Book

Co.

75

Page 85: Cat Kuliah Gelombang

Daftar Indek

Beat, 24

Bulk, 56

Bulk solid, 57

Debye, 68

Derajat kebebasan, 23

dilatasi, 50

Diskontinyu, 57

Efek

hambatan, 73

Energi

dissipasi, 12

kinetik, 2

potensial, 2

total, 3

Faktor kualitas, 11

Fluks energi, 54

Gelombang

aruslistrik, 70

berdiri, 33

bidang, 33

bola, 33

kejut, 51

longitudinal, 33, 50

potensial, 70

transmisi, 70

transversal, 32

Gempa bumi, 57

Gerak

harmonik sederhana, 1

harmonik teredam, 8

Impedansi

jalur transmisi, 71

Impedansi

match, 38

Impedansi akustik, 55

induktansi

diri, 27

mutual, 27

Kabel kosksial, 71

kondensasi, 50

Konstanta Lame, 56

konstanta redaman, 8

Kopling

kuat, 27

lemah, 27

pegas, 21

Logaritmic decrement, 11

Lossless, 70

Max Planck, 68

Mode, 23

Modus, 23

normal, 64

Non trivial, 30

76

Page 86: Cat Kuliah Gelombang

77 DAFTAR INDEK

Osilasi terkopel, 21

Pelayangan, 24

Polythene, 71

Rayleight-Jeans, 67

Steady state, 16

Stiffnes, 55

Struktur periodik, 57

Superposisi, 24

Temperatur

Debye, 69

Teredam

berat, 9

kritis, 9

Tingkat intensitas, 55

Transient, 16

Waktu relaksasi, 11

Waveguide, 63

Teaching Grant QUE–Project