c - dwipurnomoikipbu's blog | just another … · web viewintegral fungsi trigonometri...
TRANSCRIPT
BAB II
METODE INTEGRASI
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat
memahami metode-metode dalam integrasi dan sifat-sifat dari masing-masing
metode integrasi tersebut.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan fungsi dengan menggunakan
metode substitusi.
2. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan fungsi-fungsi trigonometri.
3. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan
metode substitusi fungsi trigonometri.
4. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan
metode integral parsial.
5. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan
metode integral fungsi rasional.
6. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan
metode integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri.
Bab II dalam buku ini membahas enam hal pokok tentang metode integrasi
fungsi, antara lain: (1) metode substitusi, (2) integral fungsi trigonometri, (3)
metode substitusi fungsi trigonometri, (4) integral parsial (5) integral fungsi
rasional (6) integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri.
Antiturunan suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa metode.
Metode-metode yang digunakan tersebut bertujuan untuk memudahkan dalam
menentukan antiturunan fungsi yang diketahui yang dalam hal ini adalah integran
dari bentuk integral yang diberikan. Selanjutnya dalam bab ini disajikan 6 metode
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 30
yang digunakan untuk menentukan integral fungsi dan masing metode
mempunyati ciri-ciri tertentu. Metode dalam integrasi dimaksud adalah:
1) Metode substitusi,
2) Integral fungsi trigonometri,
3) Metode subtitusi fungsi trigonometri,
4) Integral parsial
5) Integral fungsi rasional, dan
6) Integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri
2.1 Metode Substitusi
Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Metode ini pada
umumnya digunakan untuk memudahkan menentukan antiturunan fungsi
sehingga bentuk selesaiannya diubah dalam bentuk rumus dasar integral tak tentu
dan rumus dasar yabg diperumum yaitu;
a. asalkan n -1
b. asalkan n -1
Secara lebih khusus dapat dijelaskan bahwa metode substitusi digunakan
jika integrannya berbentuk fungsi berpangkat yaitu atau bentuk
lain yaitu variabel yang tidak sejenis dengan tanda diferensialnya atau tanda
integrasinya. Misalnya , variabelnya 2x sedangkan tanda
integrasinya dx. variabelnya (2x-1) sedangkan tanda
diferensialnya dx dan jenis yang lainnya.
Jika integrannya berbentuk n bilangan bulat maka yang
disubstitusi adalah selanjutnya gunakan diferensial pada masing-masing
bagian dan lakukan substitusi pada persoalan yang diberikan. Jika integrannya
n bilangan rasional maka yang disubstitusi adalah Selanjutnya
ubah pangkat menjadi bulat dan gunakan diferensial sebagaimana dijelaskan
di atas. Setelah substitusi dilakukan selanjutnya masing-masing bagian
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 31
didiferensialkan dan akhirnya dapat digunakan rumus umum seperti yang telah
disebutkan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh di bawah
ini.
Tentukan integran berikut ini:
1.
Jawab
Substitusikan
Substitusi bentuk terakhir ke , diperoleh
Dengan rumus integral dasar di dapat
Karena
Sehingga
2.
Jawab
Substitusi
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 32
Karena
Sehingga
4.
Jawab
Substitusikan
Sehingga
Karena
Sehingga
5.
Jawab
Substitusikan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 34
Sehingga
Karena
Sehingga
6.
Jawab
Substitusi Misal
Sehingga
Karena
Sehingga
7.
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 35
Substitusi
Sehingga
Karena
Sehingga
Akhirnya diperoleh
8.
Jawab
Substitusikan
Sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 36
Sehinggga
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 37
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
2.2 Integral Fungsi Trigonometri
Sebelum membahas metode integrasi pada fungsi trigonometri secara lebih
mendetail, berikut ini diberikan beberapa integral dasar fungsi trigonometri yang
menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan yang akan ditentukan
antiturunannya. Bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri adalah:
1)
2)
3)
4)
5)
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 38
6)
Berdasarkan bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri di atas,
selanjutnya diberikan beberapa metode integrasi fungsi trigonometri yang masing-
masing berbeda cara menyelesaikan. Bentuk integral fungsi trigonometri yang di
bahas adalah:
1. Bentuk
Integral fungsi trigonometri berbentuk dibedakan
dalam dua kasus, yaitu:
Kasus 1: m adalah bilangan ganjil
Jika m bilangan bulat positip ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1,
atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan
kesamaan identitas dan diferensial atau
. Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara
integran dengan tanda integrasinya, sehingga pengintegralan mudah diselesaikan.
Contoh:
Tentukan integral berikut:
1.
Jawab
Sehingga
2.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 39
Jawab
Sehingga
3.
Jawab:
Karena tanda integrasinya belum sama dengan vaiabel integral maka
gunakan substitusi terlebih dahulu.
Substitusikan dan atau
sehingga
Sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 40
Kasus 2: m adalah bilangan genap
Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan
menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut
sehingga atau
Contoh:
Tentukan pengintegralan berikut ini.
1.
Jawab
Sehingga
2.
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 41
Sehingga
3.
Jawab
Substitusikan Misal
diperoleh atau , sehingga
Sehingga
Soal-soal
Tentukan pengintegralan berikut ini.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 42
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
b. Bentuk
Integral fungsi trigonometri berbentuk dibedakan dalam
dua kasus, yaitu:
Kasus 1 : m atau n ganjil
Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, pilih yang ganjil m atau n. Jika
dipilih m, ubah m menjadi (m-1)+1 demikian pula jika yang dipilih n, ubah n
menjadi (n-1)+1. Pemilihan tidak boleh sekaligus. Selanjutnya gunakan kesamaan
identitas dan sifat diferensial dan
dan akhirnya pengintegralan dapat dilakukan dengan cara
sebelumnya.
Contoh
Tentukan integral berikut ini.
1.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 43
Jawab
Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah
menjadi (3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh
Sehingga
2.
Jawab
Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah
menjadi (3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh
Sehingga
3.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 44
Jawab
Karena kedua pangkatnya 3 (ganjil), pilih salah satu pangkat dan diubah
menjadi (3-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan identitas diperoleh
Atau
Sehingga
Kasus 2 : m dan n genap sekaligus.
Jika m dan n genap sekaligus, digunakan kesamaan setengah sudut
dan . Selanjutnya substitusikan kesamaan
pada integran dan akhirnya diperoleh hasil pengintegralannya.
Contoh
Tentukan integral berikut ini:
1.
Jawab
Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 45
Sehingga
2.
Jawab
Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya
gunakan kesamaan setengah sudut dan
.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 46
Sehingga
c.
Integral fungsi trigonometri berbentuk
dibedakan dalam dua kasus.
Kasus 1: n bilangan ganjil
Jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan
atau dan sifat diferensial
atau
Contoh
Tentukan integral berikut ini
1.
Jawab
Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya
gunakan kesamaan identitas dan
Sehingga diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 47
Sehingga
2.
Jawab
Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya
gunakan kesamaan identitas dan
diperoleh
Sehingga
Kasus 2: n bilangan genap
Jika n bilangan genap, maka digunakan kesamaan identitas dan
. Selanjutnya dengan menggunakan sifat diferensial
atau
Contoh
Tentukan integral berikut ini
1.
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 48
Sehingga
2.
Jawab
Sehingga
d. , dan
Integral fungsi trigonometri berbentuk dan
dibedakan menjadi dua kasus.
Kasus 1: m atau n genap
Jika m atau n genap, pilih salah satu yang genap dan selanjutnya
digunakan kesamaan atau dan sifat diferensial
atau
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 49
Contoh
Tentukan integral berikut ini
1.
Jawab
Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan
kesamaan identitas 1+tan , sehingga diperoleh
Sehingga
2.
Jawab
Karena keduanya genap, pilih salah satu pangkat bilangan genap dan
digunakan kesamaan atau dan sifat
diferensial atau , sehingga diperoleh
Sehingga
Kasus 2: m atau n ganjil
Dalam kasus ini pilih yang ganjil dan gunakan atau
dan digunakan kesamaan atau
.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 50
Contoh:
Tentukan integral berikut ini.
1.
Jawab
Sehingga
2.
Jawab
Sehingga
e. ,
Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya
digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 51
Contoh
Tentukan integral berikut ini.
1.
Jawab
Sehingga
2.
Jawab
Sehingga
3.
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 52
Sehingga
Soal-soal
Tentukan hasil integral berikut ini.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 53
17.
18.
19.
20.
2.3 Metode Substitusi Fungsi Trigonometri
Metode substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan
integral fungsi jika integrannya memuat bentuk-bentuk:
1.
2.
3.
atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya
1.
2.
3.
4. yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Untuk memudahkan memahami, dalam bab ini dibahas tiap-tiap kasus yang ada.
1. Integrannya memuat atau bentuk lain yang dapat diubah
menjadi sejenisnya.
Selesaiannya menggunakan substitusi
dengan .
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 54
Karena
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Karena maka
Selanjutnya bentuk dan substitusikan ke dalam
integral semula, sehingga dapat ditentukan antiturunannya.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
Jawab
substitusi
Sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 55
Sehingga
3.
Jawab
Substitusikan
dan
4.
Jawab
Substitusi
s
, sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 57
Soal-soal
Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 58
7.
8.
9.
2. Integrannya memuat atau bentuk lain yang dapat
diubah menjadi sejenisnya.
Selesaiannya menggunakan substitusi atau sehingga
didapatkan dan , dengan
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Karena maka
Selanjutnya bentuk dan substitusikan ke dalam
integral semula dan akhirnya dapat ditentukan selesaian integral yang diketahui.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.
1.
Jawab
Substitusikan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 59
Kerjakan soal berikut sebagai latihan
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
3. Integrannya memuat atau bentuk lain yang dapat diubah
menjadi sejenisnya.
Selesaiannya menggunakan substitusi sehingga ,
dengan .
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Karena maka
Selanjutnya bentuk dan disubtitsusikan ke
dalam integral semula sehingga dapat ditentukan antiturunannya.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 61
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
Jawab
Substitusikan
sehingga
2.
Jawab
Substitusikan
Sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 62
Sehingga
Soal-soal
Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
2.4 Integral Parsial
Integral parsial secara umum digunakan untuk menentukan selesaian
integral fungsi yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi dan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 63
Karena , maka menurut definisi diferensial dan turunan fungsi
diperoleh
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan
dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi
udv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih
sulit dibandingkan dengan tersebut.
Contoh
Tentukan integral persial berikut ini
1.
Jawab
Bentuk diubah menjadi
misal dan sehingga
dan
Akibatnya
Dengan rumus integral parsial
, diperoleh
Sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 64
2.
Jawab
Bentuk diubah menjadi
misal dan sehingga
dan
Sehingga dx =
Berdasarkan rumus integral parsial
, diperoleh
Sehingga
3.
Jawab
Pilih maka
, , sehingga:
Diperoleh bentuk yang juga diselesaikan dengan metode
parsial
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 65
Pilih maka
, , sehingga:
Akhirnya diperoleh
4.
Jawab
Pilih maka
, , sehingga:
Selanjutnya diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 66
5.
Jawab
Pilih maka
, , sehingga:
Selanjutnya diperoleh
Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.
1.
2.
3.
4.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 67
5.
6.
7. dx
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
2.5 Integral Fungsi Rasional.
Fungsi rasional adalah fungsi yang bentuk umumnya dinyatakan dalam
bentuk , dimana adalah fungsi pangkat banyak
(polinomial) dan .
Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang secara umum dinyatakan dalam
bentuk:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 68
dengan sehingga fungsi
rasional adalah fungsi berbentuk yang pembilang dan penyebutnya
polinomial.
Contoh
.......... fungsi rasional sejati
.......... fungsi rasional tidak sejati
.......... fungsi rasional tidak sejati
Berdasarkan contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena
derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut, (2) dinamakan fungsi rasional
tidak sejati karena derajat pembikang dan penyebu sama, dan (3) disebut fungsi
rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut.
Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati,
maka fungsi tersebut diubah menjadi fungsi rasional sejati. Melalui proses
pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:
Dalam menentukan integral fungsi rasional , langkah yang
ditempuh adalah:
1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.
2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional sampai
tidak dapat difaktorkan lagi.
3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 69
1. fungsi linear berbeda,
2. fungsi linear berulang,
3. fungsi liner dan kuadrat,
4. fungsi kuadrat berbeda,
5. fungsi kuadrat berulang, dan seterusnya.
4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga
integran dapat ditentukan antiturunannya,
Misal :
(penyebut kombinasi liner berbeda)
(kombinasi lenear berulang)
(kombinasi kuadrat berbeda)
(kombinasi linear dan kuadrat)
Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang
merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan
konstanta dan Berdasarkan kombinasi faktor
dari penyebut pada integran, maka hasil integralnya dapat ditentukan dengan
menggunakan metode sebelumnya setelah diperoleh masing-masing konstanta.
Untuk lebih jelasnya integral fungsi rasional dibedakan dalam beberapa kasus.
Kasus 1: Penyebut dapat difaktorkan menjadi fungsi linear berbeda.
Contoh:
Tentukan integral di bawah ini
1.
Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan
integran:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 70
Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:
Sehingga
2.
Jawab
Karena integran fungsi rasional tidak sejati, maka disederhanakan
terlebih dahulu sehingga diperoleh:
Sehingga
3.
0 Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 71
Diperoleh
A + B + C = 0
A + 3B – 2C = 1
-6A = 1
Atau
Sehingga
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut:
1.
2.
3.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 72
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Kasus 2: Penyebut dapat difaktorkan menjadi fungsi linear berulang.
Contoh
Tentukan integral fungsi rasional berikut ini.
1.
Jawab
Sehingga diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 73
A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga
2.
Jawab
Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, untuk menentukan
selesaiannya ubah integran menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:
Selanjuntnya
Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 74
3.
Jawab
Diperoleh
A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga
4.
Jawab
Integran bukan fungsi rasional sejati, untuk menentukan faktor dari
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 75
pembilang integran dibuat menjadi fungsi rasional sejati
Selanjutnya dicari
Sehingga didapat
atau
Hasil akhir pengintegralan
Soal-soal
Tentukan
1.
2.
3.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 76
4.
Kasus 3: Penyebut dapat difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat.
Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan
kuadrat atau kuadrat dengan kuadrat.
Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial
, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B,
dan C.
Contoh
Tentukan integral berikut ini.
1.
Jawab
Karena integran fungsi rasional sejati maka
Diperoleh
A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1
sehingga:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 77
2.
Jawab
Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga
Diperoleh
A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0
sehingga:
3.
Jawab
Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda dan
dengan kuadrat sehingga:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 78
Maka diperoleh
A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1
atau
A = 2, B = -1, C = 0, D = -1
Jadi
4.
Jawab
Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 79
Didapat
5.
Didapat
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
2.
3.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 80
4.
5.
6.
2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri
Fungsi mememuat fungsi trigonometri
dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut
sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan dan tidak
mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis
ini menggunakan metode substitusi.
Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan
penyebutnya memuat atau
1.
2.
3.
4.
5.
Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan
penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:
1.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 81
2.
3.
4.
5.
Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi
sehingga .
Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z.
Karena maka diperoleh
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain
, sehingga didapat
Dengan rumus jumlah cosinus didapat:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 82
Dengan rumus jumlah sinus didapat:
Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat
diselesaikan dengan menggunakan substitusi
, ,
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Contoh
Tentukan integral berikut ini.
1.
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 83
3.
Jawab
Didapat
Soal-soal
Selidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!
1.
2.
3.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 85