business mathematics grade 10 - blessingseducare.com · 2) dengan garis bilangan selesaikanlah...

BUSINESS MATHEMATICS

GRADE 10

NO

N-L

INE

AR

EQ

UA

TIO

N

Andreas Eko Soponyono, S.Pd., B.Ed. 1 | P a g e

PERSAMAAN NON-LINEAR

Business Mathematics – Grade 10

PENGERTIAN PERSAMAAN KUADRAT [Link : http://bit.ly/BMath001]

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang variabelnya mempunyai pangkat tertinggi

sama dengan 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, 𝑎 ≠ 0 dan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅

di mana: 𝑥 adalah variabel dari persamaan kuadrat,

𝑎 adalah koefisien 𝑥2,

𝑏 adalah koefisien 𝑥, dan

𝑐 adalah konstanta.

Ada beberapa bentuk khusus persamaan kuadrat yaitu:

𝑎 = 1 → 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 : persamaan kuadrat biasa

𝑏 = 0 → 𝑥2 + 𝑐 = 0 : persamaan kuadrat sempurna (murni)

𝑐 = 0 → 𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 : persamaan kuadrat tak lengkap

L A T I H A N … 1

Manakah yang bukan persamaan kuadrat?

a) 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0

b) 8 − 𝑥2 = 0

c) 3𝑥 − 7 = 0

d) 5𝑥 − 3𝑥2 + 9 = 0

e) 4𝑥3 + 𝑥 − 7 = 0

PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT DENGAN FAKTORISASI

[Link : http://bit.ly/BMath002]

Bentuk umum persamaan kuadrat : 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, 𝑎 ≠ 0 dan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅

a) Jika 𝑎 = 1, maka 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dapat diubah menjadi bentuk (𝑥 + 𝛼)(𝑥 + 𝛽) jika ditemukan

pasangan (𝛼, 𝛽) yang memenuhi 𝛼 + 𝛽 = 𝑏 dan 𝛼𝛽 = 𝑐.

b) Jika 𝑎 ≠ 1, maka 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dapat diubah menjadi 𝑎(𝑥 +𝛼

𝑎)(𝑥 +

𝛽

𝑎) jika ditemukan

pasangan (𝛼, 𝛽) yang memenuhi 𝛼 + 𝛽 = 𝑏 dan 𝛼𝛽 = 𝑎𝑐.

PERSAMAAN KUADRAT

http://bit.ly/BMath001



Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat di bawah ini dengan pemfaktoran!

a. 01582 =+− xx

b. 062 =+ xx

c. 1

603

−=+

xx

Penyelesaian:

a. 1582 +− xx = 0

)5)(3( −− xx = 0

)3( −x = 0 atau )5( −x = 0

x = 3 atau x = 5

Jadi, HP = {3, 5}

b. xx 62 + = 0

)6( +xx = 0

x = 0 atau )6( +x = 0

x = 6−

Jadi, HP = { 6− , 0}

c. 1

603

−=+

xx kalikan kedua ruas dengan )1( −x

60)3)(1( =+− xx

06322 =−+ xx

0)9)(7( =+− xx

)7( −x = 0 atau )9( +x = 0

x = 7 atau x = 9−

Jadi, HP = { 9− , 7}

CONTOH ... 1


PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT DENGAN MELENGKAPKAN BENTUK

KUADRAT SEMPURNA [Link : http://bit.ly/BMath003]

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna artinya

mengubah persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 menjadi bentuk (𝑥 + 𝑝)2 = 𝑞 dengan 𝑞 ≥ 0.

Selesaikanlah persamaan 3𝑥2 − 6𝑥 − 2 = 0 dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna!

Penyelesaian:

3𝑥2 − 6𝑥 − 𝟐 = 0

3𝑥2 − 6𝑥 = 2 (tambahkan kedua ruas dengan 2)

𝑥2 − 2𝑥 =2

3 (kalikan kedua ruas dengan

1

3)

𝑥2 − 𝟐𝑥 + (−𝟏)𝟐 =2

3+ (−𝟏)𝟐 (tambahkan kedua ruas dengan (

1

2× 𝑘𝑜𝑒𝑓 𝑥)

2

)

𝑥2 − 2𝑥 + 1 =5

3

(𝑥 − 1)2 =5

3 (faktorkan ruas kiri)

𝑥 − 1 = ±√5

3 (akarkan kedua ruas)

𝑥 − 1 = √5

3 atau 𝑥 − 1 = −√

5

3

𝑥 = 1 +1

3√15 atau 𝑥 = 1 −

1

3√15

Jadi, HP = {1 −1

3√15, 1 +

1

3√15}

CONTOH ... 2



PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT DENGAN RUMUS ABC


Rumus untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat atau sering disebut dengan rumus abc,

yaitu sebagai berikut:

a

acbbx

2

42

2,1

−−=

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan 01582 =+− xx dengan rumus abc!

Penyelesaian:

01582 =+− xx

maka:

a = 1

b = – 8

c = 15

Substitusi nilai a, b, c ke rumus abc, sehingga didapatkan:

)1(2

)15)(1(4)8()8( 2

2,1

−−−−=x

2

606482,1

−=x

2

281

+=x atau

2

282

−=x

51 =x atau 32 =x

Jadi, HP = {3, 5}

CONTOH ... 3



LATIHAN TERBIMBING =============================================

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut!

a) 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0 (pemfaktoran) [Link : http://bit.ly/BMath002]

b) 2𝑥2 + 5𝑥 + 2 = 0 (pemfaktoran) [Link : http://bit.ly/BMath002]

c) 2𝑥2 + 8𝑥 + 1 = 0 (melengkapkan kuadrat) [Link : http://bit.ly/BMath003]

d) 2𝑥2 + 9𝑥 + 5 = 0 (rumus kuadrat/abc) [Link : http://bit.ly/BMath004]

Pembahasan:

==================================================================






Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan proses pengerjaannya!

1. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut ini dengan cara faktorisasi!

a) 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0

b) 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0

c) 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0

d) 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0

e) 𝑥2 + 2𝑥 − 15 = 0

f) 𝑥2 − 2𝑥 − 15 = 0

g) 2𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0

h) 3𝑥2 − 5𝑥 − 2 = 0

i) 6𝑥2 − 29𝑥 − 5 = 0

j) 6𝑥2 − 13𝑥 − 5 = 0

2. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut ini dengan cara menyempurnakan kuadrat

sempurna!

a) 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0

b) 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0

c) 𝑥2 − 2𝑥 − 15 = 0

d) 2𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0

e) 3𝑥2 − 5𝑥 − 2 = 0

3. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut ini dengan menggunakan rumus kuadrat atau

rumus abc!

a) 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0

b) 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0

c) 𝑥2 + 2𝑥 − 15 = 0

LATIHAN PEMANTAPAN


d) 6𝑥2 − 29𝑥 − 5 = 0

e) 6𝑥2 − 13𝑥 − 5 = 0


b a

a

a

a

a

PENGERTIAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT [Link : http://bit.ly/BMath005]

Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat paling

tinggi 2. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam x dapat dinyatakan dengan salah satu

bentuk di bawah ini:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0

di mana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, dan 𝑎 ≠ 0.

========================================================= INGAT !!!

Perhatikan tabel berikut.

Simbol/Notasi Garis Bilangan

𝑥 > 𝑎

𝑥 ≥ 𝑎

𝑥 < 𝑎

𝑥 ≤ 𝑎

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

𝑥 < 𝑎

atau

𝑥 ≥ 𝑏

Simbol “>” artinya “lebih dari ”

Simbol “≥” artinya “lebih dari atau sama dengan ”

Simbol “<” artinya “kurang dari”

Simbol “≤” artinya “kurang dari atau sama dengan ”

===================================================================

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

b a



PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT [Link : http://bit.ly/BMath005]

Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut.

1. Jadikan ruas kanan nol, lalu tentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat yang berkaitan,

misalkan 𝑥1 dan 𝑥2 (akar-akar ini disebut titik kritis).

2. Tentukan posisi akar-akar pada garis bilangan, kemudian kita akan menentukan apakah

penyelesaian pertidaksamaan ada di sebelah luar akar-akar atau di antara akar-akar (uji titik

garis bilangan). Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap

(harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat

tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda

Jika terdapat dua akar real yang berlainan (diskriminan > 0), maka:

Jika terdapat dua akar yang sama (diskriminan = 0), maka:

Jika tidak ada akar (diskriminan < 0), maka:

Definit Positif Definit Negatif

3. Tuliskan himpunan penyelesaiannya.

𝒙

𝒙

−

+ +

jika 𝑎 > 0

+

− −

jika 𝑎 < 0

𝒙 + +

jika 𝑎 > 0

−

𝒙 − −

jika 𝑎 < 0

+

𝒙

jika 𝑎 > 0

𝒙

jika 𝑎 < 0

+ + +

− − −



Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dalam variabel 𝑥 dapat

ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan menggunakan:

1) Dengan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus 43)( 2 −−= xxxf grafiknya berbentuk

parabola dengan persamaan 432 −−= xxy . Sketsa grafik parabola 432 −−= xxy

diperlihatkan pada gambar berikut.

Parabola di atas sumbu 𝑥 (𝑦 > 0) dalam selang 𝑥 < −1 atau 𝑥 > 4.

Jadi 0432 −− xx dalam selang 𝑥 < −1 atau 𝑥 > 4.

Parabola tepat pada sumbu 𝑥 (𝑦 = 0) untuk nilai 𝑥 = −1 atau 𝑥 = 4.

Jadi 0432 =−− xx untuk nilai 𝑥 = −1 atau 𝑥 = 4.

Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang – 1 < x < 4.

Jadi 0432 −− xx dalam selang – 1 < 𝑥 < 4.

Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat 43)( 2 −−= xxxf atau parabola

432 −−= xxy dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian atau himpunan

penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut.

CONTOH ... 4


Pertidaksamaan kuadrat 0432 −− xx . Himpunan penyelesaiannya adalah:

},41|{ RxxxHP −=


},41|{ RxxxHP −=


},41|{ Rxxatau xxHP −=


},41|{ Rxxatau xxHP −=

2) Dengan Garis Bilangan

Selesaikanlah pertidaksamaan berikut 0432 −− xx dengan garis bilangan!

Langkah 1

Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan

0432 =−− xx

0)4)(1( =−+ xx

1−= x atau 4=x

Langkah 2

Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis bilangan


Langkah 3

Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4.

Misalnya:

2−=x maka nilai dari 64)2(3)2(43 22 =−−−−=−− xx

sehingga tanda dalam interval 𝑥 < −1 (+) atau > 0

1=x maka nilai dari 64)1(3)1(43 22 −=−−=−− xx

sehingga tanda dalam interval −1 < 𝑥 < 4 (1) atau < 0

5=x maka nilai dari 64)5(3)5(43 22 =−−=−− xx

sehingga tanda dalam interval 𝑥 > 4 (+) atau > 0

Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan 0432 −− xx adalah

𝑥 < −1 atau 𝑥 > 4.

Jadi himpunan penyelesainnya atau 1|{ −= xxHP atau 𝑥 > 4}.


LATIHAN TERBIMBING ==============================================

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut! [Link : http://bit.ly/BMath005]

a) 𝑥2 + 𝑥 − 2 > 0

b) 3𝑥2 − 14𝑥 ≤ −15

Pembahasan:

===================================================================



PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN RASIONAL/PECAHAN

[Link : http://bit.ly/BMath006 ]

Tiap pertidaksamaan yang memuat variabel 𝑥 pada bagian penyebut dari suatu pecahan.

Pertidaksamaan dengan ciri demikian disebut pertidaksamaan pecahan atau pertidaksamaan

rasional. Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan rasional dapat ditentukan

dengan menggunakan garis bilangan.

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 03

1

−

+

x

x!

Penyelesaian:

Langkah 1

Nilai nol pada bagian pembilang: 𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = −1.

Nilai nol pada bagian penyebut: 𝑥– 3 = 0 → 𝑥 = 3.

Langkah 2

Nilai nol pada bagian pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram garis bilangan.

Langkah 3

Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai 𝑥 selain -1 dan 3.

Misalkan: 𝑥 = −2 maka nilai dari 4

1

4

1

3

1=

−

−=

−

+

x

x sehingga tanda dalam interval 𝑥 < −1 (+)

atau > 0.

𝑥 = 0, maka nilai dari 3

1

3

1

3

1−=

−=

−

+

x

x sehingga tanda dalam interval −1 < 𝑥 < 3 (-) atau

< 0.

𝑥 = 4, maka nilai dari 534

14

3

1

3

1=

−

+=

−=

−

+

x

x sehingga tanda dalam interval – 𝑥 > 3 (+) atau

> 0.

CONTOH ... 5



Tanda-tanda interval itu ditulis dalam interval yang bersesuaian seperti diperlihatkan gambar

berikut.

Maka penyelesaian dari pertidaksamaan 03

1

−

+

x

x adalah −1 < 𝑥 < 3 dan himpunan

penyelesaiannya adalah }31|{ −= xxHP

2. Tentukan penyelesaian dari 02

2

+

−

x

xx !

Penyelesaian:

Harga nol pembilang Harga nol penyebut

02 =− xx 02 =+x

0)1( =−xx 2−=x

10 21 == xx

Jadi penyelesaiannya adalah −2 < 𝑥 < 0 atau 𝑥 > 1.

3. Tentukan penyelesaian dari 06

342

2

−+

+−

xx

xx!

Penyelesaian:

Harga nol pada pembilang

0342 =+− xx

0)1)(3( =−− xx

3= x atau 1=x


Harga nol penyebut

062 =−+ xx

0)2)(3( =−+ xx

3−= x atau x =2

Jadi himpunan penyelesaian dari 06

342

2

−+

+−

xx

xx adalah 3|{ −= xxHP atau 21 x atau

x >3}



Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 𝑥2−𝑥−2

𝑥2+6𝑥+9≥ 0!


Pembahasan:

===================================================================



DISKRIMINAN PERSAMAAN KUADRAT [Link : http://bit.ly/BMath007]

Penyelesaian persamaan kuadrat )0(02 =++ acbxax adalah

a

acbbx

2

42

12

−−=

Tampak bahwa akar-akarnya ditentukan oleh nilai dari 𝑏2– 4𝑎𝑐 yang disebut dengan

diskriminan atau disingkat D.

Jenis akar-akar persamaan kuadrat 02 =++ cbxax , ditentukan oleh nilai diskriminannya (D).

• Jika D > 0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real yang berbeda.

Untuk D berupa bilangan kuadrat, maka akarnya rasional

Untuk D bukan berupa bilangan kuadrat, maka akarnya irrasional (bentuk akar)

• Jika D = 0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real yang sama.

• Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tersebut akar-akarnya imajiner atau tidak real (atau

bilangan kompleks).

Tanpa menyelesaikan persamaan 032 2 =−+ xx tentukan jenis akar-akarnya !

Penyelesaian:

032 2 =−+ xx

acbD 4−=

= )3.(2.412 −−

= 25

= 25

Jadi 032 2 =−+ xx mempunyai dua akar berlainan dan rasional.

CONTOH ... 6




Tentukanlah jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut! [Link : http://bit.ly/BMath007]

a) 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0

b) 4𝑥2 + 12𝑥 + 9 = 0

c) 4𝑡2 − 3𝑡 + 4 = 0

Pembahasan:

===================================================================



RUMUS JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT


Akar-akar persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0, berhubungan erat dengan koefisien-koefisien a,

b, dan c.

Rumus akar-akar persamaan kuadrat:

a

acbbx

2

42 −−=

Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah 1x dan 2x , maka :

a

acbbx

2

42

1

−+−=

dan

a

acbbx

2

42

2

−−−=

Sehingga jumlah akar-akar:

a

Db

a

Dbxx

2221

−−+

+−=+

a

DbDb

2

−−+−=

a

b−=

a

bxx −=+ 21

dan hasil kali akar-akar:

−−

+−=

a

Db

a

Dbxx

2221 2

2

4a

Db −=

a

c

a

ac

a

acbb==

−−=

22

22

4

4

4

)4(

a

cxx =21.

Misalkan 𝒙𝟏dan 𝒙𝟐 adalah akar-akar dari 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, sehingga berlaku:

• 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −𝒃

𝒂

• 𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 =𝒄

𝒂

• 𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 =√𝑫

𝒂, 𝑫 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄



Jika 1x dan 2x akar-akar persamaan kuadrat 0652 =++ xx .

Tentukan nilai:

a. 2

2

2

1 xx +

b. 2

21 )( xx −

c. 21

11

xx+

d. 1

2

2

1

x

x

x

x+

Penyelesaian:

0652 =++ xx

a = 1

b = 5

c = 6

maka,

21 xx + = a

b− dan 21.xx =

a

c

= 1

5− =

1

6

= – 5 = 6

sehingga,

a. 2

2

2

1 xx + = 21

2

21 2)( xxxx −+

= (–5)2 6.2−

= 25 – 12

= 13

b. 2

21 )( xx − = 2

2

2

1 xx + 212 xx−

= 13 – 12

= 1

CONTOH ... 7


c. 21

11

xx+ =

21

21

. xx

xx +

= 6

5−

d. 1

2

2

1

x

x

x

x+ =

21

2

2

2

1

. xx

xx +

= 6

13



Akar-akar persamaan kuadrat 3𝑥2 − 4𝑥 + 2 = 0 adalah 𝑝 dan 𝑞. [Link : http://bit.ly/BMath008]

Tentukanlah nilai dari:

a) 𝑝 + 𝑞

b) 𝑝𝑞

c) 1

𝑝+

1

𝑞

d) 𝑝2 + 𝑞2

e) 𝑝3 + 𝑞3

Pembahasan:

===================================================================



MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT YANG DIKETAHUI AKAR-AKARNYA


Jika akar-akar sebuah persamaan kuadrat telah diketahui, persamaaan kuadrat tersebut dapat

disusun dengan dua cara, yaitu:

1. Perkalian Faktor

Apabila persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0 maka 𝑥1 dan 𝑥2

merupakan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Sebaliknya, apabila 𝑥1 dan 𝑥2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan

kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus:

0))(( 21 =−− xxxx

2. Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar

Persamaan kuadrat 02 =++ cbxax bila kedua ruas dibagi dengan 𝑎 diperoleh

02 =++a

cx

a

bx

0)(2 =+−−a

cx

a

bx

0)( 2121

2 =++− xxxxxx

Jadi persamaan 02 =++ cbxax dapat dinyatakan dalam bentuk:

0)( 2121

2 =++− xxxxxx

atau

𝑥2 − (hasil jumlah) 𝑥 + (hasil kali) = 0

HUBUNGAN KOEFISIEN PERSAMAAN KUADRAT DENGAN SIFAT AKARNYA

1. Akar-akarnya kembar jika dan hanya jika 𝑏2 = 4𝑎𝑐.

2. Akar-akarnya berlawanan jika dan hanya jika 𝑏 = 0.

3. Akar-akarnya berkebalikan jika dan hanya jika 𝑐 = 𝑎.



Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 !

Penyelesaian:

a. Perkalian Faktor

0))2()(5( =−−− xx

0)2)(5( =+− xx

01032 =−− xx

b. Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

0))2.(5())2(5(2 =−+−+− xx

01032 =−− xx

CONTOH ... 8



Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya: [Link : http://bit.ly/BMath009]

a) −2 dan 3

b) 1

3 dan

2

3

Pembahasan:

===================================================================



MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT YANG AKAR-AKARNYA MEMPUNYAI

HUBUNGAN DENGAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT LAIN


Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat

042 =−+ xx !

Penyelesaian:

Cara 1

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat 042 =−+ xx adalah 1x dan 2x

maka: 121 −=+ xx dan 4. 21 −=xx

Akar-akar persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan

kuadrat 042 =−+ xx dimisalkan α dan β, maka 12 x+= dan 22 x+= .

Jadi, didapat jumlah akar:

3)1(4)(422 2121 =−+=++=+++=+ xxxx

dan hasil kali akar:

24)1(24)(24)2)(2(. 2.12121 −=+−+=+++=++= xxxxxx

Persamaan kuadrat yang ditanyakan sesuai rumus di atas adalah :

jumlahx (2 − hasilxakar () + 0) =kali

0)2()3(2 =−+− xx

0232 =−− xx

Cara 2

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat 042 =−+ xx adalah 1x dan 2x .

Akar-akar persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan

kuadrat 042 =−+ xx dimisalkan α dan β, maka 12 x+= dan 22 x+= .

𝑥1 = 𝛼 − 2 𝑥2 = 𝛽 − 2

04)2()2( 2 =−−+− xx

042442 =−−++− xxx

0232 =−− xx

CONTOH ... 9




Akar-akar persamaan kuadrat 3𝑥2 − 4𝑥 + 5 = 0 adalah 𝑝 dan 𝑞.

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:

a) 𝑝 + 2 dan 𝑞 + 2

b) 𝑝2 dan 𝑞2

c) 3𝑝 dan 3𝑞


Pembahasan:

===================================================================



KARAKTERISTIK GRAFIK FUNGSI KUADRAT [Link : http://bit.ly/BMath011]

Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum cbxaxy ++= 2 . Dari bentuk aljabar tersebut dapat

diilustrasikan sebagi bentuk lintasan lengkung atau parabola dengan karakteristik sebagai

berikut.

1. Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas.

2. Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah.

3. Jika D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu X.

4. Jika D = 0, maka parabola menyinggung sumbu X.

5. Jika D > 0, maka parabola memotong sumbu X di dua titik.

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat

cbxaxy ++= 2 adalah sebagai berikut.

a. Menentukan titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0

b. Menentukan titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0

c. Menentukan persamaan sumbu simetri a

bx

2−=

d. Menentukan nilai ekstrim grafik a

Dy

4−=

e. Koordinat titik balik

−−

a

D

a

b

4,

2

Gambarlah grafik fungsi kuadrat xxy 42 += !

Penyelesaian:

a. Titik potong dengan sumbu X, jika y = 0

xx 42 + = 0

)4( +xx = 0

x = 0 atau (x + 4) = 0

x = – 4

Jadi memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (–4, 0)

CONTOH ... 10



b. Titik potong dengan sumbu Y, jika x = 0

maka,

y = 02 + 4.0

= 0

Jadi memotong sumbu Y di titik (0, 0)

c. Persamaan sumbu simetri

21.2

4−=

−=x

Jadi persamaan sumbu simetrinya x = –2

d. Nilai Ekstrim/nilai stasioner, untuk x = –2

y = (–2)2 + 4(–2)

= –4

e. Koordinat titik balik:

(–2, –4)

-4

-4

-2 X

Y

0

x = -2



Sketsakanlah grafik fungsi kuadrat dengan persamaan kurva 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 − 5, 𝑥 ∈ ℝ!


Pembahasan:

===================================================================



Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan proses pengerjaannya!

1. Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat di bawah ini!

a. y = (x – 2)2

b. y = x2 – 4x + 3

c. y = 8 – 2x – x2

d. y = (1 + x) ( 3 – x )

e. y = (2x – 9) (2x + 7)

2. Manakah yang benar dan manakah yang salah?

a. kurva y = x2 + 6x simetris terhadap garis 𝑥 = 3.

b. kurva y = (x – 1)(x + 5) simetris terhadap garis 𝑥 = −2.

c. kurva y = x2 – 2x + 5 tidak memotong sumbu X.

d. Titik balik minimum kurva y = x2 + 6x + 7 adalah (-3, -2)

e. Nilai maksimum kurva y = -x2 + 2x + 4 adalah 4.

3. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut!

a. (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) ≤ 0

b. (𝑥 − 2)(3 − 𝑥) ≥ 4(𝑥 − 2)

c. 𝑥2 − 8𝑥 + 15 < 0

d. −𝑥2 + 𝑥 + 6 > 0

e. 𝑥2 − 3𝑥 − 10 < 0

f. 𝑥2 + 4𝑥 − 12 ≤ 0

g. 𝑥2 − 5𝑥 − 6 > 0

h. −𝑥2 + 2𝑥 + 3 ≤ 0

i. −2𝑥2 − 5𝑥 + 3 ≤ 0

j. 2𝑥2 − 5𝑥 − 7 ≤ 0

k. 𝑥2 < 7𝑥 − 10

l. 2𝑥2 − 𝑥 − 3 > 0

m. (𝑥 + 5) ≤ 2(𝑥2 + 2)

n. 3𝑥2 + 4𝑥 > 7

o. (𝑥 + 5)𝑥 ≤ 2(𝑥2 + 2)

LATIHAN PEMANTAPAN


4. Tentukanlah jenis akar-akar persamaan berikut!

a. 𝑥2 − 11𝑥 + 30 = 0

b. 3𝑥2 − 11𝑥 − 20 = 0

c. 9𝑥2 − 14𝑥 − 4 = 0

d. 𝑥2 + 2 = 0

e. 3𝑥2 − 5𝑥 + 7 = 0

f. 9𝑥2 − 5𝑥 + 7 = 0

g. 𝑥2 − 2𝑥 + 10 = 0

h. 𝑥2 − 4𝑥 − 6 = 0

i. 4𝑥2 + 17𝑥 − 5 = 0

j. 2𝑥2 − 3𝑥 − 11 = 0

5. Diketahui persamaan kuadrat 2𝑥2 − 3𝑥 − 11 = 0. Tentukanlah:

a. 2𝑥1 + 2𝑥2

b. (2𝑥1). (2𝑥2)

c. (𝑥1 + 1) + (𝑥2 + 1)

d. (𝑥1 + 1). (𝑥2 + 1)

e. 1

𝑥1+

1

𝑥2

f. 1

𝑥1.𝑥2

g. (𝑥1)2 + (𝑥2)2

h. (𝑥1)2. (𝑥1)2

6. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya:

a. −2 dan 4

b. 1 dan 9

c. −2 dan 3

7. Tentukanlah nilai m agar persamaan 2𝑥2 − 𝑚𝑥 + 8 = 0 mempunyai dua akar real yang

sama!

8. Tentukanlah nilai p yang memenuhi jika diketahui persamaan 2𝑝𝑥2 + 𝑝𝑥 + 7 = 0

mempunyai dua akar real berbeda!

9. Tentukanlah nilai n yang memenuhi agar persamaan kuadrat 𝑥2 − 8𝑛𝑥 + 2 = 0 tidak

mempunyai akar-akar bilangan real!

10. Akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 8𝑥 + 𝑐 = 0 adalah 𝑥1 dan 𝑥2. Jika 𝑥2 = 3𝑥1,

tentukanlah nilai c!


11. Akar-akar persamaan 2𝑥2 − 6𝑥 − 𝑝 = 0 adalah 𝑥1 dan 𝑥2. Jika 𝑥1 − 𝑥2 = 5, tentukanlah

nilai p !

12. Akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 + 2𝑥 − 24 = 0 adalah 𝑥1 dan 𝑥2. Tentukanlah nilai

terbesar dari (6𝑥1 − 2𝑥2)!

13. Bila akar-akar persamaan 3𝑥2 + 8𝑥 + 4 = 0 adalah p dan q, tentukanlah persamaan

kuadrat yang mempunyai akar-akar 𝑝2 dan 𝑞2!

14. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali lebih besar dari akar-akar

persamaan 3𝑥2 − 12𝑥 + 2 = 0!


Daftar Pustaka

Textbook

Kanginan, M. (2008). Matematika, Jilid 1A: Untuk Kelas X Semester 1 SMA. Grafindo Media

Pratama.

Kurnianingsih, S., Kuntarti, & Sulistiyono. (2007). Matematika SMA dan MA untuk Kelas X

Semester 1. Jakarta: Erlangga.

Wirodikromo, S. (2007). Matematika, Jilid 1: Untuk SMA Kelas X. Jakarta: Erlangga.

Website

https://www.studiobelajar.com/persamaan-kuadrat/

http://www.blessingseducare.com/

https://www.studiobelajar.com/persamaan-kuadrat/

http://www.blessingseducare.com/

business mathematics grade 10 - blessingseducare.com · 2) dengan garis bilangan selesaikanlah...

Documents