BUKU AJAR

MATAKULIAH GEOMETRI TRANSFORMASI

TINJAUAN MATAKULIAH

A. Deskripsi Singkat Mata Kuliah

Mata kuliah ini membahas tentang geometri dari sudut pandang grup transformasi,

konsep-konsep grup sebagai unsur dari struktur aljabar diterapkan melalui operasi pada

transformasi atas bangun geometri di bidang datar.

B. Manfaat dan Relevansi Mata Kuliah

Setelah selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan dapat menguasai dan

memahami materi Geometri Transformasi sebagai salah satu bekal mengajar di SMP dan

SMA/K dan sarana untuk meningkatkan kemampuan pemecahan masalah baik pada

materi Geometri Transformasi sendiri, matakuliah lain, dan masalah-masalah lain.

Matakuliah Geometri Transformasi ini merupakan bekal bagi mahasiswa untuk

mempelajari matakuliah Struktur Aljabar, namun sebelum mahasiswa mempelajari

Geomatri Transformasi mahasiswa harus menguasai matakuliah Matematika Dasar.

C. Standar Kompetensi Mata Kuliah

Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan materi Geomatri

Transformasi.

D. Urutan dan Kaitan Antar BAB

Cakupan materi pada mata kuliah geometri transformasi adalah sebagai berikut: Fungsi

Transformasi Refleksi Isometri Hasil Kali Transformasi Transformasi

Balikan Setegah Putaran Dilatasi Translasi Rotasi Refleksi Geser

E. Saran/Petunjuk Belajar

Matakuliah Geometri Transformasi akan membehas berbagai materi yang saling terkait.

Oleh sebabitu, pelajarilah materi dalam setiap babnya secara baik dan runtut sesuai yang

dipaparkan pada buku ajar.

BAB VII

SETENGAH PUTARAN

A. PENDAHULUAN

Deskripsi Singkat Cakupan Bab

Pada bab ini akan membahas jenis transformasi yang ke 2 yaitu, setengah putaran.

Materi Setengan Putaran ini akan disajikan dengan dikaitkan pada materi

pencerminan dan dilatasi. Akan ada 9 teorema yang akan dibahas pada bab ini, guna

membentu mahasiswa mempermudah menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan

Setengan Putaran atau masalah Geometri transformasi secara umum.

Relevansi Ban

Bab Setengan Putaran didasari dari materi pencerminan dan sebagai bekal

mempelajari materi Dilatasi.

Kompetensi Dasar Bab

Mahasiswa mampu mendefinisikan setengan putaran, mampu membuktikan 9

teorema di setengan putaran, dan mampu menyelsaikan masalah yang terkait dengan

setengah putaran, pencerminan, dan dilatasi.

B. MATERI

Setengah Putaran mengelilingi sebuah titik adalah suatu involusi. Suatu setengah

putaran mencerminkan setiap titik di bidang pada sebuah titik tertentu sehingga disebut juga

pencerminan pada suatu titik.

Definisi

Sebuah setengah putaran pada suatu titik 𝐴 adalah suatu padanan 𝑆𝐴 yang didefinisikan untuk

setiap titik pada bidang sebagai berikut :

1. Apabila 𝑃 ≠ 𝐴 maka 𝑆1 𝑃 = 𝑃′ sehingga 𝐴 titik tengah ruas garis 𝑃𝑃′ .

2. 𝑆𝐴 = 𝐴

Setengah putaran adalah suatu transformasi

Bukti:

Akan dibuktikan 𝑆𝐴Bijektif.

Untuk membuktikan 𝑆𝐴 Bijektif maka harus dibuktikan terlebih dahulu 𝑆𝐴 Surjektif dan

Injektif.

(1) Akan dibuktikan 𝑆𝐴 Surjektif

Untuk menunjukkan 𝑆𝐴 Surjektif, akan ditunjukkan ∃𝑃′ ∈ 𝑉 ∋ 𝑆𝐴 𝑃 = 𝑃′

Ambil sebarang 𝑃′ ∈ 𝑉

𝑃′ ∈ 𝑉 ∋ 𝑃′ = 𝑆𝐴(𝑃)

𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑃 = 𝐴,𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆𝐴 𝐴 = 𝐴′ = 𝐴

Jadi, ∀ 𝑃′ ∈ 𝑉 ∃ 𝑃′ = 𝑃 = 𝑆𝐴(𝑃)

Jika 𝑃 ≠ 𝐴 maka A menjadi sumbu ruas garis ′, berarti 𝑆𝐴 𝑃 = 𝑃′

Jadi, 𝑆𝐴Surjektif

(2) Akan dibuktikan 𝑆𝐴 Injektif

Missal 𝐵1 ≠ 𝐵2

Kasus I

𝐵1 = 𝐵2 = 𝐴

Untuk 𝐵1 = 𝐴 maka 𝑆𝐴 𝐵1 = 𝐵1 = 𝐵1′………………..1*)

Untuk 𝐵2 = 𝐴 maka 𝑆𝐴 𝐵2 = 𝐵2 = 𝐵2′…………………2*)

Dari 1*) dan 2*) maka diperoleh 𝑆𝐴 𝐵1 ≠ 𝑆𝐴 𝐵2

Kasus II

𝐵1 ≠ 𝐵2 ≠ 𝐴

Ambil sebarang 𝐵1,𝐵2 ∈ 𝑉 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐵1 ≠ 𝐵2

𝐵1 ≠ 𝐴,𝐵2 ≠ 𝐴, 𝐵2,𝐵2,𝐴 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠

Sehingga 𝑆𝐴 𝐵1 = 𝐵1′ dan 𝑆𝐴 𝐵2 = 𝐵2′

Andaikan 𝑆𝐴 𝐵1 = 𝑆𝐴 𝐵2

Karena 𝑆𝐴 𝐵1 = 𝑆𝐴 𝐵2

Maka 𝐵1′ = 𝑆𝐴 𝐵1 = 𝑆𝐴 𝐵2 = 𝐵2′

Sehingga diperoleh 𝐵1′ = 𝐵2′ dan ᒐ1 = 𝐵2

Menurut teorama, “Melalui dua titik hanya dapat dibuat satu garis”

Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa 𝐵1 ≠ 𝐵2

Pengandaian 𝐵1 ≠ 𝐵2 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆𝐴 𝐵1 = 𝑆𝐴 𝐵2 harus dibatalkan.

Jadi, 𝑆𝐴 𝐵1 ≠ 𝑆𝐴 𝐵2

Jadi 𝑆𝐴 Injektif

Dari (1) dan (2) maka diperoleh 𝑆𝐴 Surjektif dan 𝑆𝐴 Injektif

Karena 𝑆𝐴 Surjektif dan 𝑆𝐴 Injektif, maka 𝑆𝐴Bijektif

Karena 𝑆𝐴Bijektif, maka 𝑆𝐴adalah suatu transformasi.

Jadi, terbukti bahwa suatu setengah putaran adalah transformasi.

Teorema 7.1

Andaikan 𝑨 sebuah titik,𝒈 dan 𝒉dua garis tegak lurus yang berpotongan di 𝑨.Maka

𝑺𝑨 = 𝑴𝒈𝑴𝒉.

Bukti :

Diketahui 𝐴 sebuah titik, 𝑔 dan ℎ dua garis tegak lurus yang berpotongan di 𝐴.

a) Kasus I : 𝑃 ≠ 𝐴

Karena 𝑔 ⊥ ℎ maka dapat dibentuk sebuah sistem sumbu orthogonal dengan 𝑔 sebagai

sumbu X dan ℎ sebagai sumbu Y. 𝐴 sebagai titik asal.

Ambil titik 𝑃 ∈ 𝑉

Perhatikan Gambar 7.2

Ditunjukkan bahwa untuk setiap 𝑃 berlaku 𝑆𝐴 𝑃 = 𝑀𝑔𝑀ℎ 𝑃

Andaikan 𝑃 𝑥,𝑦 ≠ 𝐴 dan 𝑆𝐴 𝑃 = 𝑃′′ 𝑥1,𝑦1

Karena 𝑆𝐴 𝑃 = 𝑃′′ maka 𝐴 titik tengah 𝑃𝑃′ sehingga

0,0 = 𝑥1 + 𝑥

2,𝑦1 + 𝑦

2

Diperoleh 𝑥1 + 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥1 = −𝑥 dan 〱1 + 𝑦 = 0 ⟺ 𝑦1 = −𝑦

Artinya 〱𝐴 𝑃 = −𝑥,−𝑦 ………………………………………………(1)

Komposisi pencerminan

𝑀𝑔𝑀ℎ 𝑃 = 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑃

= 𝑀𝑔 −𝑥,𝑦

𝐴

𝑃′ ′(−𝑥,−𝑦)

𝑃′(−𝑥,𝑦) P(x,y)

ℎ

𝑔 𝑋

= (−𝑥,−𝑦)

Artinya 𝑀𝑔𝑀ℎ 𝑃 = (−𝑥,−𝑦) ……………………………………………(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh _𝐴 𝑃 = 𝑀𝑔𝑀ℎ 𝑃 .

Jadi, 𝑆𝐴 = 𝑀𝑔𝑀ℎ

b) Kasus II : 𝑃 = 𝐴

Menurut Definisi, 𝑆𝐴(𝐴) = 𝐴 ……………………………………………(1*)

𝑀𝑔𝑀ℎ 𝐴 = 𝑀𝑔 𝐴 = 𝐴 ……………………………………………….(2*)

Dari persamaan (1*) dan (2*) diperoleh 𝑆𝐴 𝐴 = 𝑀𝑔𝑀ℎ 𝐴 .

Jadi, 𝑆𝐴 = 𝑀𝑔𝑀ℎ .

Teorema 7.2

Jika 𝒈 dan 𝒉 dua garis yang tegak lurus maka 𝑴𝒈𝑴𝒉 = 𝑴𝒉𝑴𝒈

Bukti

a) Kasus I : 𝑃 ≠ 𝐴

Karena 𝑃 ≠ 𝐴, maka 𝑀𝑔𝑀ℎ(𝑃) = 𝑆𝐴(𝑃).

𝑀ℎ𝑀𝑔 𝑃 = 𝑀ℎ 𝑀𝑔 𝑃 = 㜵ℎ 𝑥,−𝑦 = −𝐷,−𝑦 = 〰𝐴(𝑃).

diperoleh𝑀𝑔𝑀ℎ(𝑃) = 𝑆𝐴(𝑃) = 𝑀ℎ𝑀𝑔 𝑃

Jadi, 𝑀𝑔𝑀ℎ = 𝑀ℎ𝑀𝑔

b) Kasus II : 𝑃 = 𝐴

Karena 𝑃 = 𝐴, maka 𝑀𝑔𝑀ℎ 𝐴 = 𝑀𝑔 𝐴 = 𝐴

𝑀ℎ𝑀𝑔 𝐴 = 𝑀ℎ 𝐴 = 𝐴

Sehingga diperoleh 𝑀𝑔𝑀ℎ 𝐴 = 𝑀ℎ𝑀𝑔 𝐴 .

Jadi, 𝑀𝑔𝑀ℎ = 𝑀ℎ𝑀𝑔 .

Teorema 7.3

Jika 𝑺𝑨 setengah putaran, maka 𝑺−𝟏𝑨 = 𝑺𝑨.

Bukti

Andaikan 𝑔 dan ℎ dua garis yang tegak lurus maka 𝑀𝑔𝑀ℎ = 𝑆𝐴 dengan 𝐴 titik potong

antara 𝑔dan ℎ.

(𝑀𝑔𝑀ℎ)−1 = 𝑀−1ℎ𝑀

−1𝑔 = 𝑆−1

𝐴.

Karena 𝑀−1ℎ = 𝑀ℎ dan 𝑀−1

𝑔 = 𝑀𝑔maka 𝑀ℎ𝑀𝑔 = 𝑆−1𝐴.

Karena 𝑔 ⊥ ℎ, maka menurut teorema 7.2, 𝑀𝑔𝑀ℎ = 𝑀ℎ𝑀𝑔 .

Sedangkan menurut teorema 7.1, 𝑆𝐴 = て𝑔𝑀ℎ .

Sehingga diperoleh 𝑆−1𝐴 = 𝑀ℎ𝑀𝑔 = 𝑀𝑔𝑀ℎ = 𝑆𝐴.

Jadi, 𝑆−1𝐴 = 𝑆𝐴.

Teorema 7.4

Jika 𝑨 = (𝒂,𝒃) dan 𝑷 = (𝒙,𝒚)maka 𝑺𝑨 𝑷 = (𝟐𝒂 − 𝒙,𝟐𝒃 − 𝒚).

Bukti

a) Kasus I : 𝑃 ≠ 𝐴

Misalkan 𝑃" = (𝑥1,𝑦1) dan 𝑆𝐴(𝑃) = 𝑃" maka 𝐴 titik tengah 𝑃𝑃" sehingga diperoleh

𝑎, 𝑏 = 𝑥1 + 𝑥

2 ,

𝑦1 + 𝑦

2

Maka 𝑥1+𝑥

2= 𝑎 dan

𝑦1+𝑦

2= 𝑏 sehingga diperoleh

𝑥1+𝑥

2= 𝑎 ⟺ 𝑥1 + 𝑥 = 2𝑎 ⟺ 𝑥1 = 2𝑎 − 𝑥 ……………………………..(1*)

𝑦1+𝑦

2= 𝑏 ⟺ 𝑦1 + 𝑦 = 2𝑏 ⟺ 𝑦1 = 2𝑏 − 𝑦 ………………………………(2*)

Dari persamaan (1*) dan (2*) maka 𝑥1,𝑦1 = 2𝑎 − 𝑥 , (2𝑏 − 𝑦)

Karena 𝑆𝐴(𝑃) = 𝑃", maka 𝑆𝐴 𝑃 = 𝑥1,𝑦1 = 2𝑎 − 𝑥 , (2𝑏 − 𝑦)

Jadi, 𝑆𝐴 𝑃 = (2𝑎 − 𝑥, 2𝑏 − 𝑦).

b) Kasus II : 𝑃 = 𝐴

Karena 𝑃 = 𝐴, maka 𝑥,𝑦 = 𝑎, 𝑏 artinya 𝑎 = 𝑥 dan 𝑏 = 𝑦.

⍞𝐴 𝑃 = 𝑆𝐴 𝐴 = 𝐴 = (𝑎, 𝑏)

𝑎, 𝑏 = 2𝑎 − 𝑎 , 2𝑏 − 𝑏

= 2𝑎 − 𝑥 , 2𝑏 − 𝑦

Jadi, 𝑆𝐴 𝑃 = (2𝑎 − 𝑥, 2𝑏 − 𝑦).

7.2 Lanjutan Setengah Putaran

Kita ingat kembali tentang refleksi atau pencerminan.

Definisi refleksi atau pencerminan ialah

1. gAAAM g ,

2. 'PPM g , yang bersifat g adalah sumbu ruas garis 'PP

Jelas bahwa gA yang dicerminkan terhadap garis g maka A berimpit dengan petanya.

Titik yang demikian dinamakan titik tetap (invariant) refleksi.

Definisi

A dinamakan titik tetap (invariant) transformasi T apabila berlaku T(A) = A

Dari definisi tersebut, kita dapat memperoleh fakta bahwa sebuah refleksi garis g memiliki

tak hingga banyaknya titik tetap yaitu semua titik pada sumbu refleksi g itu sendiri.

Sedangkan pada sebuah setengah putaran di P (Sp), maka satu-satunya titik varian adalah P,

sebab Sp(P) = P dan Sp(X) = X’ dengan PX dan P titik tengah ruas garis 'XX .

Definisi

Sebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga garis dinamakan

kolineasi

Karena setiap isometric adalah suatu kolineasi maka refleksi dan setengah putaran adalah

suatu kolineasi. Diantara kolineasi tersebut ada yang disebut dilatasi

Definisi

Suatu kolineasi dinamakan suatu dilatasi jika untuk setiap garis g berlaku sifat∆(𝑔)/

/𝑔.

Teorema 7.5

Andaikan SA suatu setengah putaran, dan g sebuah garis. Apabila 𝑨 ∉ 𝒈,𝒎𝒂𝒌𝒂 𝑆𝐴(𝑔)/

/𝑔

Diketahui : SAsebuah garis g, gA

Buktikan bahwa 𝑆𝐴(𝑔)//𝑔

Bukti :

Misal 𝑃 ∈ 𝑔, 𝑑𝑎𝑛 𝑄 ∈ 𝑔

karenaP ∈ g maka A titik tengah PP′ dengan P′ = SA P

karena Q ∈ g maka A titik tengah QQ′ dengan Q′ = SA Q

Perhatikan ∆APQ′ dan ∆AQP′

Untuk membuktikan bahwa g′ ∕∕ g maka harus ditunjukkan ∆APQ′ dan ∆AQP′ adalah

kongruen.

m < 𝑃𝐴Q′ = m(< 𝑄𝐴P′) (sudut bertolak belakang)

PA = AP′( karena A titik tengah PP′ )

QA = AQ( karena A titik tengah QQ′ )

Menurut definisi kekongruenan (S Sd S)

sehingga∆APQ′ ≅ ∆AQP′

Karena ∆APQ′ ≅ ∆AQP′ maka PQ′ = QP′

Karena PQ′ = QP′ maka g′ ∕∕ g

Jadi, 𝑆𝐴(𝑔)//𝑔

Contoh

Diketahui dua garis g dan h tidak sejajar. A sebuah titik yang tidak terletak pada g atau h.

Tentukan semua titik X pada g dan semua titik Y pada h sehingga A titik tengah ruas garis

XY .

Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar

hAgA ,

Ditanya : tentukan semua XYgah titik ten, AhYgX

Jawab :

Ambil gP

Jika PSP A' maka gSg A' melalui P’ dan PA=AP’, g’//g

Jika g’ memotong h di Y

Tarik YA memotong g di X

Maka X dan Y pasangan titik yang dicari

Ilustrasi :

P Q

𝑆𝐴 𝑃 = 𝑃′

𝑔′ = 𝑆𝐴(𝑔)

A

𝑆𝐴 𝑄 = 𝑄′

𝑔

Dari contoh di atas, buktikan bahwa X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi

persyaratan, dan jika tidak menggunakan gSg A' tapi hSh A'' apakah akan

memperoleh pasangan lain lalu jelaskan hal tersebut

Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar

hAgA , ,

Ditanya : Adb X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan.

Bukti :

Ambil 𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 ℎ,𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑘 𝑙𝑢𝑟𝑢𝑠 ℎ,𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∉ ℎ

Karena 𝐴 ∉ ℎ,𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆𝐴 ℎ = ℎ′ ∕∕ ℎ

ℎ′akan memotong 𝑔 di titik 𝑋, sehingga 𝑋 ∈ ℎ′

karena 𝑆𝐴 ℎ = ℎ′ ∕∕ ℎ, maka 𝑆𝐴 𝑋 = 𝑌 ∈ ℎ

Karena titik potong dari dua garis atau lebih akan hanya ada satu titik potong,

Maka 𝑋 dan 𝑌 satu-satunya pasangan .

sehingga𝑋 ∈ ℎ′ ,𝑋 ∈ 𝑔,𝑋 ∈ 𝑋𝑌,𝑑𝑎𝑛 𝑌 ∈ ℎ,𝑌 ∈ 𝑔′ ,𝑌 ∈ 𝑋𝑌

jadi, 𝑋 dan 𝑌 satu-satunya pasangan.

Teorema 7.6

Hasil kali dua setengah putaran dengan pusat yang berbeda, tidak memiliki titik tetap

Bukti :

Misal BAVBA ,,

Akan dibuktikan BASS tidak memiliki titik tetap

Misal g = AB

A

g’

g P

P’ Y

X

h

ℎ ℎ′

𝑔′

𝑔 𝐴

𝑌

𝑋

h AB di A, k AB di B

Akan ditunjukkan BASS = khMM

Karena hgA MMS , kgB MMS

Maka BASS =

kghg MMMM

kh

kh

kggh

kggh

kghg

kghg

MM

MIM

MMMM

MMMM

MMMM

MMMM

Akan ditunjukkan BASS tidak memiliki titik tetap

Misal X titik varian BASS

Jadi BASS (X) = X sehingga XXMM kh

Jadi

2... )(

1 ... )(

XMXMMM

XMXMMM

hkhh

hkhh

Dari (1) dan (2) diperoleh

XMXMXIMXM khkh

Misal 1XXMk

(i) Kasus 1 (1XX )

Misal khXX 1

Karena h dan k adalah sumbu ruas garis XX1 dan ruas garis hanya memiliki satu

sumbu maka h=k

Hal ini tidak mungkin sebab BA

(ii) Kasus 2 ( 1XX )

Misal 1XX

Maka Mh(X)=X dan Mk(X)=X

Jadi XhXkX din berpotongak h, ,

Hal ini tidak mungkin sebab h//k

Jadi, tidak mungkin ada sebuah titik X sehingga XXSSXMXM BAkh atau .

Jadi, BASS tidak memiliki titik tetap.

Ilustrasi teorema 7.6

Teorema 7.7

Jika BA adalah dua titik maka hanya ada satu setengah putaran yang memetakan A

pada B

Bukti :

Dipunyai BA

Akan dibuktikan BAST dengan T titik tengah ruas garis AB

Misal ada dua setengah putaran SD dan SE sehingga BABASD ESdan

Jadi AASD ES

Maka ASASS DDD E

11 S

Karena S-1

D=SD maka ASA D ES

Jadi jika ED , maka berarti bahwa A adalah titik tetap dari EDSS

Hal ini tidak mungkin ada lebih dari satu setengah putaran yang memetakan A pada B.

Satu-satunya setengah putaran adalah ST(A) = B dengan T titik tengah ruas garis AB

Teorema 7.8

Suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik

Dipunyai titik VP

Akan dibuktikan

(1) g sebuah garis ggSP //

(2) ISS PP dengan I transformasi identitas

Bukti :

(1) Jelas SP(g) = g’ suatu garis.

Misal gBgA ,

g

h k

A B

Maka ',' gBgA dan PA = PA’, PB = PB’

Karena PA = PA’, PB = PB’, dan ''PBAmAPBm sehingga BPAPAB '

(s sd s)

Jelas BAPmPABm ''

Jadi g//SP(g) dan SP sebuah dilatasi

(2) Karena AASASS ppp ' , maka gIgSSgA PP

Jadi, ISS PP .

Hal ini berarti SP bersifat involuntorik

Dari pernyataan (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa SP sebuah dilatasi bersifat

involuntorik. Atau dengan kata lainsuatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang

bersifat involutorik.

Ilustrasi :

Teorema 7.9

Apabila T suatu transformasi. H himpunan titik-titik dan A sebuah titik, maka

HATHTA 1

Bukti :

Dipunyai T transformasi, H himpunan titik-titik, A sebuah titik

Akan dibuktikan HATHTA 1

Ambil HTA

Jadi XTAHX

maka XXIXTTXTTAT 111

Jadi, HAT 1

B

A

B’

A’

P

SP(g)=g’

g

Ambil HAT 1

Hal ini berarti HTAatau 1 HTATT

Contoh :

Dipunyai : 164, 22 yxyxE

Misal A = (4,-3) dan C = (3,1)

g adalah sumbu X

Ditanya : Selidiki apakah ESMA cg

Jawab :

Jelas gcgccg MSMSSM 111

Ambil P = (x,y)

Jelas yxPMyxP g ,,

Jelas yxyxPSc 2,61.2,3.2

Jadi yxyxSPMSPSM cgccg

2,6,1

Sehingga 1,232,463,411

cgcg SMASM

Karena EASM cg

1,21

maka berarti bahwa ESMA cg

Jadi, ESMA cg

Dengan cara serupa, kita dpat menentukan persamaan peta suatu himpunan apabila

persamaan himpunan tela diketahui.

Menurut teorema 7.9, HATHTA 1. Jika transformasi T adalah ESM cg

dengan 164, 22 yxyxE , maka EPSMESMP cgcg 1

. Berdasarkan

perhitungan yang telah dilakukan sebelumnya, jika yxP , maka

yxPSM cg

2,61

Jadi, 164,2,6 221

yxyxyxEPSM cg

Jadi haruslah 1624622 yx

Hal ini berarti bahwa 03616124, 22 yxyxyxPESMP cg

Sehingga diperoleh fakta bahwa 03616124 22 yxyx adalah persamaan peta E oleh

transformasi cgSM .

C. PENUTUP

Selesaikan soal-soal berikut disertai dengan langkah penyelesaianya.

1. Diket : titik A, B, P tak segaris dan berbeda.

Lukis :

a. 𝑆𝐴 𝑃

b. 𝑅 ∋ 𝑆𝐵 𝑅 = 𝑃

2. Diket : garis 𝑔 dan titik 𝐴, 𝐴 ∉ 𝑔

Ditanya :

a) Lukisan garis 𝑔1 = 𝑆𝐴(𝑔) dan mengapa 𝑔 sebuah garis?

b) Buktikan bahwa 𝑔′//𝑔.

3. Diketahui :𝑔 = 𝑥,𝑦 │3𝑥 + 2𝑦 = 4 dan 𝐴 = (−2,1)

Ditanya :

a. 𝑘 ∋ 𝐷 = 3,𝑘 ∈ 𝑔′ = 𝑆𝐴(𝑔)

b. Persamaan 𝑔′

c. Persamaan ℎ ∋ 𝑆𝐴 ℎ = 𝑔