bookpdp by mawardi

Download BookPDP by Mawardi

Post on 05-Dec-2014

48 views

Category:

Documents

1 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Modul PDP

TRANSCRIPT

Diktat Persamaan DierensialParsialMateri-Materi Setelah Ujian Tengah SemesterDr. Eng. Mawardi Bahri, M.Si.April 2010iKata PengantarSyukur Alhamdulillah, penyusun panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas izin-Nya diktat mata kuliah ini dapat diselesaikan pada waktunya.Diktat ini kami maksud sebagai salah satu buku pendamping mahasiswa dalammemahami mata kuliah Persamaan Dierensial Parsial yang diajarkan setiaptahun pada Jurusan Matematika FMIPA UNHAS, disusun berdasarkan kebutuhanterhadap pengembangan riset matematika terapan yang harus dimiliki oleh ma-hasiswa dalam menyiapkan dirinya menjadi peneliti yang andal pada masa men-datang.Kebanyakan isi dari diktat ini diambil dari [1, 2] dan berdasarkan pada pen-galaman penulis dalam mengajar mata kuliah ini dalam berapa tahun sebelumnya.Diktat mata kuliah ini akan senantiasa direvisi setiap tahun dan disempurnakansesuai dengan perkembangan ilmu dan kebutuhan riset ke depan yang selalu berkem-bang.Sasaran yang ingin dicapai setelah mahasiswa mempelajarai diktat ini den-gan baik adalah memperoleh pengetahuan terbaru dalam matematika terapan dankemudian mengembangkan pengetahuan yang ada untuk mendapat hal baru jugasehingga hasilnya bisa dipublikasikan pada jurnal nasional ataupun jurnal interna-sional.Akhirnya, penulis ingin mengucapkan terima kasih khususnya kepada Dr. Jef-fry Kusuma sebagai penanggung jawab mata kuliah ini dan yang telah menga-jarkan dasar-dasar persamaan dierensial ketika penulis menempuh program S1 diJurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin (1992-1997) serta kepada se-mua pihak yang telah membantu dalam penyusunan diktat mata kuliah ini baiksecara langsung maupun tidak langsung. Semoga kehadiran diktat ini dapat mem-bantu semua pihak yang tertarik memahami teori-teori dasar persamaan dieren-iisial parsial dan aplikasinya serta juga memberi kontribusi bagi pengembangan ilmupengetahuan dan teknologi.Bukan gading namanya kalau diantara himpunan gading itu ada yang tidakretak, demikian pula pada himpunan huruf, angka, simbol yang digunakan dalamdiktat ini serta tampilannya yang diyakini masih memiliki kekurangan. Oleh karenaitu kami mohon maaf akan hal tersebut, namun kami juga mengharapkan masukandan kritikan yang sifatnya membangun demi sempurnanya diktat mata kuliah ini dimasa mendatang.Makassar, April 2010PenulisDaftar IsiKata Pengantar i1 Persamaan Gelombang Dua Dimensi 11.1 Solusi Persamaan Gelombang Dua Dimensi . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Solusi dari Persamaan-Persamaan Pemisahan . . . . . . . . . 31.1.2 Solusi Double Deret Fourier dari Seluruh Masalah . . . . . . . 41.2 Persamaan Laplace Dua Dimensi dalam Koordinat Kartesius . . . . . 62 Persamaan Laplace 132.1 Persamaan Laplace di dalam Koordinat Polar . . . . . . . . . . . . . 132.1.1 Persamaan Laplace di dalam Koordinat Silinder . . . . . . . . 152.1.2 Persamaan Laplace di dalam Koordinat Bola . . . . . . . . . . 162.1.3 Persamaan Laplace di dalam Domain Sirkuler . . . . . . . . . 182.1.4 Persamaan Laplace di dalam Annulus . . . . . . . . . . . . . 203 Solusi Numerik 233.1 Solusi Numerik (Numerical Solutions) . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Daftar Pustaka 26iiiivBab 1Persamaan Gelombang DuaDimensi1.1 Solusi Persamaan Gelombang Dua DimensiMisalkan sebuah membran tipis elastis di rentangkan atas frame empat persegi pan-jang dengan dimensi a dan b dan sisinya di buat xed. Membran tersebut di getarkandengan menggerakkan secara vertikal dan kemudian dilepaskan. Getaran dari mem-bran tersebut dibagun oleh persamaan gelombang dua dimensi (2D)2ut2 = c2_2ux2 + 2uy2_, 0 < x < a, 0 < y < b, t > 0, (1.1)dimana u = u(x, y, t) menyatakan pembelokan (deection) di titik (x, y) dan padawaktu t. Kita punya syarat-syarat batas sebagai berikut:u(0, y, t) = 0 dan u(a, y, t) = 0, 0 y b dan t 0, (1.2)danu(x, 0, t) = 0 dan u(x, b, t) = 0, 0 x a dan t 0. (1.3)12 BAB 1. PERSAMAAN GELOMBANG DUA DIMENSISyarat-syarat awalu(x, y, 0) = f(x, y) dan ut(x, y, 0) = g(x, y). (1.4)Untuk menentukan getaran dari gelombang kita harus mendapat fungsi u yangmemenuhi (1.1)-(1.4). Kita pecahkan persoalan nilai batas diatas menggunakanmetode pemisahan variabel (separation of Variables).Kita cari perkalian solusi dari bentuku(x, y, t) = X(x)Y (y)T(t). (1.5)Diferensiasikan (1.5) dan substitusikan ke persamaan (1.1) kita memperolehXY T

= c2(X

Y T + XY T). (1.6)Bagi kedua sisi dari persamaan diatas dengan c2XY T kita punyaT

c2T = X

X + Y Y . (1.7)Karena sisi kiri adalah fungsi terhadap t dan sisi kanan adalah fungsi terhadap xdan y, persamaan itu mesti konstan. Asumsikan kostanta pemisahan adalah negativ.MakaT

c2T = k2dan X

X + Y Y = k2. (1.8)Suku pertama dari persamaan (1.8) menghasilkanT

+ k2c2T = 0. (1.9)Suku kedua dari persamaan (1.8) menghasilkanX

X..2= Y Y k2. .2. (1.10)Dari persamaan (1.10) kita simpulkanX

X = 2dan Y Y k2= 2, > 0. (1.11)1.1. Solusi Persamaan Gelombang Dua Dimensi 3AtauX

+ 2X = 0 dan Y + 2Y = 0, (1.12)dimana 2= k22. Sekarang kita tiba pada persamaan-persamaan berikut:X

+ 2X = 0, X(0) = 0, X(a) = 0,Y + 2Y = 0, Y (0) = 0, Y (b) = 0,T

+ k2c2T = 0, k2= 2+ 2. (1.13)1.1.1 Solusi dari Persamaan-Persamaan PemisahanSolusi umum dari persamaan (1.13) diberikan olehX(x) = c1 cos x + c2 sin x,Y (y) = d1 cos y + d2 sin y,T(t) = e1 cos ckt + e2 sin ckt, (k2= 2+ 2). (1.14)Dari syarat-syarat batas untuk X dan Y kita memperoleh c1 = 0 dan c2 sin a = 0dan d1 = 0 dan d2 sin b = 0. Makasin a = sin m = n = ma , (1.15)dansin b = sin n = n = nb , m, n = 1, 2, , (1.16)sehinggaXm(x) = sin ma x dan Yn(x) = sin nb y. (1.17)Kita juga mempunyaik = km =_2m + 2n =_m22a2 + n22b2 . (1.18)4 BAB 1. PERSAMAAN GELOMBANG DUA DIMENSIJadi,T(t) = Tmn(t) = Bmn cos ckmt + Bmn sin ckmt= Bmn cos c_m2a2 + n22b2 t + Bmn sin c_m2a2 + n2b2 t= Bmn cos mnt + Bmn sin mnt, (1.19)dimanamn = c_m2a2 + n2b2 . (1.20)Disini mn disebut frequensi karakteristik dari membran. Kita kemudian memper-oleh perkalian solusi yg memenuhi persamaan-persamaan (1.1), (1.2) dan (1.3)umn(x, y, t) = sin ma x sin nb y (Bmn cos mnt + Bmn sin mnt). (1.21)1.1.2 Solusi Double Deret Fourier dari Seluruh MasalahDengan mennggunakan prinsip superposisi, kita jumlahkan semua perkalian solusidan mendapatu(x, y, t) =

n=1

m=1(Bmn cos mnt + Bmn sin mnt) sin ma x sin nb y. (1.22)Dari syarat awal pertama u(x, y, 0) = f(x, y), kita memperolehf(x, y) =

n=1

m=1Bmn sin ma x sin nb y. (1.23)Perhatikan bahwa fungsi-fungsi sin ma x sin nb y adalah orthogonal atas 0 x a, 0 y b. Yaitu,_ b0_ a0sin ma x sin nb y sin m

a x sin n

b y dxdy = 0, (m, n) = (m

, n

). (1.24)Jika (m, n) = (m, n), maka kita memperoleh_ b0_ a0sin ma x sin nb y dxdy = ab4 . (1.25)1.1. Solusi Persamaan Gelombang Dua Dimensi 5Kalikan (1.23) dengan sin m

a x sin n

b y kemudian integrasikan atas empat persegipanjang a b dan gunakan sifat ortogonal, kita mendapatBm,n = 4ab_ b0_ a0f(x, y) sin ma x sin nb y dxdy. (1.26)Deret didalam (1.23) dengan koesien diberikan oleh (1.26) disebut deret doubleFourier sinus dari f. Dengan cara yang sama, dari syarat awal kedua u(x, y, 0) =f(x, y) kita memperolehg(x, y) =

n=1

m=1Bmn sin ma x sin nb y. (1.27)Dengan argument yang sama, kita memperolehBm,n = 4abmn_ b0_ a0g(x, y) sin ma x sin nb y dxdy. (1.28)Contoh 1.1.1 Sebuah membran bujur sangkar dengan a = b = 1 dan c = 1/ditempatkan pada bidang xy. Sisi-sisi dari membran dibuat xed dan membrantersebut direntangkan kedalam bentuk yang dimodelkan oleh fungsi f(x, y) = x(x 1)y(y 1), 0 < x < 1, 0 < y < 1. Anggap membran tersebut mulai bergetar daridiam. Tentukan posisi setiap titik pada membran untuk t > 0.Solusi. Kita punya g(x, y) = 0, dan sehingga Bm,n = 0. Untuk m, n = 1, 2, 3, ,kita punyaBm,n = 4_ 10_ 10x(x 1)y(y 1) sin mx sin ny dxdy= 4_ 10y(y 1) sin ny dy_ 10x(x 1) sin mx dx. (1.29)Integral parsial memberikan4_ 10x(x 1) sin mx dx = 2((1)m1)3m3 . (1.30)Formula similar berlaku untuk integral dengan variabel y. Jadi,Bm,n = 4 2((1)n1)3n32((1)m1)3m3 , m, n = 1, 2, . (1.31)6 BAB 1. PERSAMAAN GELOMBANG DUA DIMENSIJika salah satunya m or n genap, Bmn adalah zero. Jika keduanya m dan n adalahganjil, maka Bm,n = 646m3n3. Jadi, solusinya adalahu(x, y, t) =

nodd

modd646m3n3 sin mx sin ny cosm2+ n2t=

l=0

k=0_ 646(2k + 1)3(2l + 1)3 sin(2k + 1)x sin(2l + 1)y cos_(2k + 1)2+ (2l + 1)2t_. (1.32)Latihan 1.1.1 Seperti pada Contoh 1.2.1 pecahkan persoalan nilai batas dengana = b = 1, c = 1/ dan fungsi f dan g diberikan di bawah ini.(i). f(x, y) = 0, g(x, y) = 1.(ii). f(x, y) = sin x sin y, g(x, y) = 0.(iii).