bisection

Fisika Komputasi UIN Sunan Gunung Djati Bandung

Menentukan Akar-akar Persamaan Potensial Kapasitor dengan menggunakanMetode Bisection dan Newton-Raphson

Nikita Fatah Enting (1211703024) ∗, Ahmad Rivai, Delia noor Wahidah, Evi Marlina, SaptoWijanarko, Wahid Abdurahman

Fisika, Sains dan Tehknologi, Universitas Islam Negri Bandung, Indonesia(email:[email protected])

Abstract: Bisection method is one method in numerical methods. Bisection method is used to find the rootsof non-linear equations through the process iterasi.Dalam midpoint method specified interval and the intervalwill be divided into two sub-intervals, one of which must contain the root. in this lab will be compared tohow to find the roots of non-linear equations in potential capacitor using the bisection method and the methodof Newton - Raphson. The Newton-Raphson root search method is a function f (x) approaches a point, wherethe function f (x) has a derivative.

Key words: Bisection method, Newton-Raphson method, non-linear, interval.

Abstrak: Metode bisection ialah salah satu metode dalam metode numerik. Metode Bisection digunakanuntuk mencari akar persamaan non linear melalui proses iterasi.Dalam metode ini ditentukan titik tengahinterval dan interval akan dibagi menjadi dua sub interval yang salah satunya pasti mengandung akar. padapraktikum ini akan dibanding cara mencari akar-akar persamaan non linear pada potensial kapasitor denganmenggunakan metode bisection dan metode newton - raphson. Metode Newton-Raphson adalah metodepencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan.

Kata kunci: Metode bisection, Metode Newton-raphson, non-linear, interval.

1 PendahuluanDalam eksperimen ini kami akan membahas tentang Metode - metode mencari akar-akar persamaan non-linear denganmenggunakan potensial kapasitor sebagai kasus yang harus diketahui penyelesaianya. Dalam hal ini kami memband-ingkan dua metode yaitu metode Bisection dengan metode Newton Raphson. Manakala kita mengatakan bahwa f(x)adalah fungsi non-linear dalam x ini berarti bahwa f(x) tidak dinyatakan dalam bentuk ax+b dimana a dan b merupakankonstanta dan jika mengatakan bahwa f(x) adalah fungsi aljabar ini berarti bahwa fungsi tersebut tidak melibatkan bentukdifferensial biasa. Masalah tersebut akan mudah diselesaikan dengan menggunakan metode metode pencarian akar-akarpesamaan non - linear pada software MATLAB. Maka dari itu kami ingin mengetahui perbandingan dua metode pencarianakar-akar persamaan non-linear dengan menggunakan software matlab. Dalam praktikum ini kami membandingkan duametode yaitu metode Bisection dan Metode Newton Raphson dalam percarian akar-akar persamaan non-linear potensialkapasitor.

2 Landasan teoriMetode biseksi ialah salah satu metode dalam metode numerik. Metode Bisection digunakan untuk mencari akar per-samaan non linear melalui proses iterasi. Metode Biseksi merupakan metode yang digunakan untuk mencari akar darisuatu fungsi f(X) yang mendekati nol. Metode ini dilakukan dengan membagi dua interval ( mencari titik tengah) antarabatas atas dan batas bawah yang telah diberikan pada suatu fungsi yang menjadi acuan untuk memperakuratkan akar darisuatu fungsi f(x) untuk mendekati nol. Catatan: X = batas atas, X = batas bawah, X = titik tengah, formula untuk mencarititik tengah(X); X = (X + X)/2. Berikut kemungkinan kemungkinan yang akan terjadi dalam menerapkan Metode Biseksimencari akar dari suatu fungsi : 1. Jika f(X) *f(X) ¡= 0 maka akar berada pada interval ( X , X) dan nilai X diganti dengan

∗Penulis. nikita fatah enting: [email protected]

Copyright c©Fisika Komputasi UIN Sunan Gunung Djati Bandung IndonesiaLaporan Praktikum Komputasi

2 Laporan Praktikum Komputasi Fisika Komputasi UIN Sunan Gunung Djati Bandung. 1-6

nilai X. 2. Jika f(X) *f(X) = 0 maka X adalah akar dari suatu fungsi f(X). 3. Jika f(X) *f(X) ¿ 0 maka akar berada padainterval (X , X ) dan nilai X diganti dengan nilai X.

Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsif(x) mempunyai turunan. Dalam analisis numerik, metode Newton (juga dikenal sebagai metode Newton-Raphson), yangmendapat nama dari Isaac Newton dan Joseph Raphson, merupakan metode yang paling dikenal untuk mencari hampiranterhadap akar fungsi riil. Metode Newton sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai ”cukup dekat”dengan akar yang diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari akar yang dicari, metode ini dapat meleset tanpaperingatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan mengatasi kegagalan konvergensi.

Prosedur Metode Newton :menentukan x0 sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus (misal garisl) yang menyinggung titik f(x0). Hal

ini berakibat garis l memotong sumbu x di titik x1. Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang x1dianggapsebagai titik awalnya. Dari mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan x2, x3, xn dengan xn yangdiperoleh adalah bilangan riil yang merupakan akar atau mendekati akar yang sebenarnya.

3 Metode Penelitian

3.1 Alat dan BahanSoftware matlab

Software Latex

3.2 Prosedur Penelitian1. Diaktifkan software matlab untuk menghitung akar-akar persamaan non-linear dengan menggunakan metode bisectiondan metode newton-raphson. 2. Pada masing - masing metode dibuat dua file editor. satu file untuk file fungsi dan yangsatunya untuk memasukan data yang akan di ’run’ pada command window.

3. eksekusi data yang telah dimasukan kedalam file editor dan setelah muncul pada command window masukan datanilai yang akan dihitung akar-akar persamaan non-linearnya.

4. setelah data dimasukan maka akan keluar nilai-nilai hasil perhitungan akar-akart persamaan non linear.

Editor Laporan Praktikum Komputasi II: [email protected]

nikita fatah enting,et all : Logika Fuzzy 3

4 HASIL DAN ANALISIS

4.1 Eksperimen MatlabDengan menggunakan matlab dapat dihitung akar-akar persamaan non-linear dengan menggunakan metode-metode seab-gai berikut :

4.1.1 Metode Bisection

Pada metode bisection dimasukan kode-kode dan fungsi pada matlab sebagai berikut : pertama : dibuat file ’potensialkapasitor’ dengan masukan : function y=potensialkapasitor(t)e = 2; c = 4; r = 7; y = e ∗ (1− exp(−t/(r. ∗ c)));

kedua : dibuat file ’potensial kapasitor 2’ dengan memasukan kode : Program Menghitung Akar Metoda BisectionCara II

By kelompok 3disp(’ ’)disp(’ ’)disp(’XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX’)disp(’++++++++++++++MENGHITUNG AKAR PERSAMAAN+++++++++++++++++’)disp(’==================METODA BISECTION======================’)disp(’XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX’)disp(’ ’)disp(’ ’)r=input(’masukan besar hambatan r=’);c=input(’masukan besar kapasitor c=’);e=input(’masukan besar e=’);t1=input(’masukan akar awal pertama=’);tebakan akar pertamat2=input(’masukan akar awal kedua=’);disp(’———————’)disp(’ z fm ’) xm adalah rata-rata x1 dan x2disp(’——————–’)for k=1:10;f1=potensialkapasitor(e, r, c, t1); f2 = potensialkapasitor(e, r, c, t2);z=(t1+t2)/2;fm=potensialkapasitor(e, r, c, z);fprintf(’9.6f 13.6f’,z,fm’) untuk memunculkan xm dan fm dalam satu barisif(f1*fm¡0)t2=z;elset1=z;endendketiga : eksekusi file ’kapasitor 2’ dengan meng-klik tombol run maka akan keluar pada command window dan

memasukan nilai-nilai setiap hambatan.

4.1.2 Metode Newton-Raphson

Pada metode newton-raphson dimasukan kode-kode dan fungsi pada matlab sebagai berikut : pertama : dibuat file ’poten-sial kapasitor’ dengan masukan : function y=potensialkapasitor(e, r, c, t)y = e ∗ (1− exp(−t/(r. ∗ c)));

kedua : dibuat file ’potensial kapasitor 2’ dengan memasukan kode : Program Menghitung Akar Metode Newton-Raphson

By Kelompok 3disp(’ ’)disp(’ ’)disp(’ XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX’)disp(’ +++++++++MENGHITUNG AKAR PERSAMAAN+++++++++++’)

nikita homepage: http://www.niktafatahenting.blogspot.com/


Figure 1: hasil dari perhitungan akar-akar persamaan non-linear potensial kapasitor metode bisection

disp(’ ===========METODE NEWTON-RAPHSON=============’)disp(’ XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX’)disp(’ ’)disp(’ ’)r=input(’Masukan besar hambatan =’);c=input(’Masukan besar capasitac kapasitor =’);e=input(’Masukan besar medan listrik =’);t=input(’masukan akar awal pertama=’);tebakan akar pertamaNilai fungsi persamaan tebakan akarf=(c-r)*t2 + 2 ∗ r ∗ e ∗ t− r ∗ e2;Turunan persamaan f yaitu f’ditulis sebagai berikutdf=2*(c-r)*t+2*r*e;input jumlah iterasiM=input(’Masukan jumlah iterasi=’);tempat menyimpan data x1X=zeros(M,1);FX=X; dFX=X;X(1)=t;FX(1)=f; dFX(1)=df;for m=2:MX(m)=X(m-1)-(FX(m-1)/dFX(m-1));FX(m)=(c-r)*X(m)2 + 2 ∗ r ∗ e ∗X(m)− r ∗ e2;dFX(m)=2*(c-r)*X(m)+2*r*e;endIt=1:M;disp(’ ’)disp(’AKAR AKAR PERSAMAAN METODE NEWTON-RAPHSON’) TABEL OUTPUTdisp(’+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++’)disp(’Iterasi ke- Xm F(X) F(X+1)’)disp(’+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++’)format shortdisp([It’ X FX dFX]) mengisi tabel


nikita fatah enting,et all : Logika Fuzzy 5

Figure 2: hasil perhitungan akar-akar persamaan non-linear potensial kapasitor metode newton raphson

4.2 Perbandingan4.2.1 Metode Bisection

Dalam metode bisection jika akar persamaan lebih dari satu, maka nilai tersebut hanya bisa ditemukan satu persatu/tidakbisa sekaligus. Metode bisection tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner).Proses iterasi di metode bisection tergo-long lambat.

4.2.2 Metode Newton-Raphson

Metode Newton Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan mem-perhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. Metode ini bisa digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaannon linear dan sering digunakan karena kesederhanaannya. Dalam praktikum ini kami menggunakan metode Newton-Raphson untuk menentukan akar-akar persamaan non-linear potensial kapasitor. Metode ini hanya membutuhkan tebakan1 buah harga awal yang seharusnya terletak di sekitar DOMAIN JAWAB (secara intuitif) nilai akar , sedemikian rupa se-hingga formula tersebut konvergen (menuju ke titik jawab). Newton Raphson ini menggunakan fungsi derivatif (turunan)sebagai fungsi garis singgung. Hal lain yang harus diperhatikan adalah bahwa Metode Newton- Raphson ini memberikanbeban tambahan kepada penggunanya, karena adanya keharusan menghitung fungsi turunan f (x)n di setiap iterasi (titikxn ). Hal ini merupakan salah satu kekurangan dari metode ini, mengingat tidak semua fungsi dapat diturunkan atau mem-punyai turunan pada suatu interval yang kontinyu. Kekurangan lainnya adalah penetapan harga awal sulit dan tidak selalumenemukan akar (divergen). Sedangkan keunggulan metode ini adalah memiliki laju konvergensi kuadratik, sehinggametode ini lebih cepat untuk konvergen menuju akar pendekatan daripada metode lain yang memiliki laju konvergensilinear.

5 KESIMPULANMetode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsif(x) mempunyai turunan. Metode ini dianggap lebih mudah dari Metode Bagi-Dua (Bisection Method) karena metode inimenggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya,maka semakin cepat konvergen ke akarnya.

nikita homepage: http://www.niktafatahenting.blogspot.com/


References[1] Steven C. Chapra dan R.P Canale .1991.Metode Numerik untuk Teknik dengan Penerapan pada Komputer Pribadi[2] Richard M.Felder dan Ronald W. Rousseau,Elementary Principal of Chemical Process 2nd Ed, 1986.book[3] Ari Kurniawan.,Metode Numerik dengan Fortran77 dan Quick Basic 4.5.2005. book


bisection

Documents