bidang lengkung dan garis lengkung di dalam ruang

Download bidang lengkung dan garis lengkung di dalam ruang

Post on 30-Jul-2015

826 views

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

1. BIDANG LENGKUNG DAN GARIS LENGKUNG DI DALAM RUANG 2.1. PERSAMAAN GARIS DAN BIDANG LENGKUNGPada sistim koordinat Cartesian XYZ suatu bidang (surface) dinyatakan sebagai sebuah persamaan yang terdiri dari 3 variabel x, y,z.Bidang nyata misalnya mempunyai persa- maan derajat pertama F(x, y,z) =Ax + By + Cz + D =O. Suatu titik (xo, yo, zo) terletak pada suatu surface F (x,y, z) =0 apabila terpenuhi F(x0,y0,z0) =0. Suatu garis lurus/ lengkung di dalam ruang biasanya dinyatakan sebagai perpotongan 2 buah bidang,yang berarti dinyatakan dengan 2 persamaan f(x, y,z) =O dan G(x, y,z) =0. 2.1.1. Persamaan : (x-1)2 + (y-2)2 + (z-3)2 =14 3 adalah xl + y + 23 =1persamaan garis lengkung yang berbentuk lingkaran (sebagai hasil perpotongan 2 buah bola). 30 2. 2.2. PROYEKSI GARIS LENGKUNG PADA BIDANG KOOR- DINATPandang bidang dengan persamaan F(x, y) =O.Di sini persamaan bebas dari variabel z.Persamaan tersebut menyatakan suatu bidang silinder yang garis lukisnya / / sumbu z.garis F(x, ))=0 p:= 0Sebagai garis lengkung arah dari bidang silinder itu,adalah perpotongan bidang silinder dengan bidang koordinat OXY persamaannya F(x, y) =0 sedangkan bidang2 z =0 berbentuk F(x, z) =0 dan F(y, z) =0 berturut-turut menyatakan bidang silinder yang / / sumbu y dan / / sumbu x. 2.2.1. Persamaan x + y =9 menyatakan sebuah silinder dengan garis lengkung arah sebuah lingkaran berpusat dititik 0(0,0,0) berjari-jari 3 dan garis lukisnya / / sumbu z. 3. Pandang garis lengkung { F(x, y,z) =0 (*) dan misalkan q) (x, y) =0 G(x, y,z) =O diperoleh dengan mengeliminir z dari (*).Maka q (x, y) =0 menyatakan bidang silinder yang / / sumbu z dan melalui garis lengkung (*).Jadi jelas perpotongan q) (x, y) =0 dengan bidang XOY,yaitu z =1 - y . .....(3).Masukkan (3) pada salah satu dari (l) atau (2) didapat x2+2y2-2y =O.Maka proyeksi lingkaran pada bidang XOY adalah. 0 O3 Yang mana dapat dijabarkan kebentuk standardxz (y- 1/2)2 .I I 1/ + -T/ _ =1 suatu elhps dengan setengah sumbu / g/Z dan Iz. 2 4x2+2y2-2y z2.3. BOLA* Persamaan standard bola adalah S :x + y* + zz =rz ,pusat 0(0,0,0) jari-jari r.** Apabila pusat adalah titik M(a, b,c) dan berjari-jari r,persamaannya adalah (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 =rz.Persamaan umum bola dapat ditulis :xl + y?+ 22 + Ax + By + Cz + D =0-l -l -l 1 l l dimana:titik pusat M (-- A ,- B,- C) jari-jari =- A + - B* + - Cz - D.2 2 2 4 4 42.4. (i) Persamaan bola dengan pusat 0(O,0, 0) dan jari-jari 7 adalah xz + y2 + 22 =49(ii) Bola dengan pusat M(-2, 3, l) dan jari-jari 2 mempunyai persamaan (x+2)2 + (y-3)2 + (z-l)2 =4 atau xz + y* + 22 + 4x - 6y -2x + 10 =0.(iii) xz + yl + z?- 4x + 2y + 7 =O mempunyai pusat-l -l -l (-A, - B, -C)= (2,-l, O)danjari-jari=1/4+l+0-7='j-2. 22 232 4. Di sini bola adalah bola imaginer karena r2 =-2 < 0Dalam hal r2 `> O dan r2 =0 berturut-turut disebut bola sejati dan bola titik. CATATAN (l) : Pada hakekatnya bola adalah perluasan dari lingkaran (di R2) makabanyak sifat-sifat dan dalil-dalil dari lingkaran dapat diperluas untuk bola,antara lain: *Persamaan bidang singgung dititik singgung P (xl,yl,22) pada bola adalah (ingat kaidah membagi adil) ; (1) xlx + y2y + 222 =r2 ,atau (2) (Ig-a) (x-a)+(y, -b)(y~b)+(z. -c) (z-c) =r2 (3) xx2+yy2+zz2+'/2A (x+x2) + '/2B (y+y2) + 1/2 C (23:22) + D =0.Persamaan garis kutub dari lingkaran diperluas sebagai persamaan bidang kutub dari bola dengan titik kutub. P(X, sYpZ, );(l) xlx + yly + zlz =r2(2) (Jg-a) (X-a) + (Yrb) (Yrb) + (Z, -C) (Z-C) =I(3) x2x+y2y+zz2+'/2A (x+x2) + 1/2 B (y+y2) + 1/2 C (z + 22) + D =0Kuasa sebuah titik P(x2,y2,z2) terhadap bola ;melalui titik P dibuat garis yang memotong bola berturut-turut dititik A dan B maka PA. PB temyata konstan dan harga yang konstan ini disebut kuasa titik P terhadap bola S E 0Kalau jari-jari bola r :PA. PB =(PM-r) (PM+r) =PM2 - r2 =PO* Sedang PM2 =(xl - a)2 + (yl- b)2 + (22- c)2. Jadi kuasa adalah :(xl- a)2 + (yl- b)2 + (22- c)2 - r2 =S (x2,y2,22).033 5. 2.5. Kuasa titik (4,l,0) terhadap bola B x2+ y2 + 22 + 2x - y + 2 =7 adalah :x22+ y22 +z22+2x2-y2+22-7=42+l2+0+2,4-1+O-7= 17. * Kalau kuasa titik P yaitu :K > O maka P di luar bola K =0 maka P pada bola.K < 0 maka P di dalam bola. 2,6. Periksa letak titik P(2,l,3) terhadap bola B =x2 + y2 + x2 - 2x + y - z + 2 =0. Maka kuasa titik P pada bola.K =(2)2+(l)2+(3)2-2(2)+(l)-(3) + 2 =10 > O,Jadi titik P terletak di luar bola. CATATAN (2) :Bidang kuasa dari 2 bola B2 =0 dan B2 =O adalah tempat kedudukan titik-titik yang kuasanya terhadap B2 =0 dan B2 =0 sama.persamaan bidang kuasa :B2 =B2.CATATAN (3) :Titik-titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap ke 3 bola B2 =0 ,B2 =O dan B2 =0 terletak pada sebuah garis lurus yang disebut garis kuasa.Persamaan garis kuasa :B2 =B2 =B2.CATATAN (4) :4 buah bola B2 =0, B2 =O,B2 =0 dan B4 =0 yang tidak melalui dua titik potong yang sama akan mempunyai sebuah titik yang kuasanya terhadap ke 4 bola tersebut sama.Titik tersebut disebut titik kuasa dan koordinatnya diperoleh dari persamaan-persamaan :B2 =B2 =B2 =B4.CATATAN (5) :Berkas bola.Kumpulan bola-bola yang melalui perpotongan dua buah bola B2 =0 dan B2 =O disebut berkas bola dan mempunyai persamaan :B2 + ? t B2 =0 .O =parameter).Untuk setiap harga 7..tertentu,diperoleh sebuah bola yang melalui perpotongan B2 =0 dan B2 =0 dan disebut anggota dari berkas tersebut. 2.7. Persamaan bola yang melalui 0(0,0,0) dan melalui lingkaran perpotongan bola- bolaB2=x2+y2+z2-2x-24=0danB2=x2+y2+z2+x-6y-l2=0 adalah :B2+7tB2=O->x2+y2+22-2x-24+l(x2+y2+z2+x-6y-l2)=0, dan karena melalui 0(0,0,0) maka : -24 - 12 7 =0 -> 7 =-2. Jadi bola tersebut :x2+y2+z2+4x-l2y= O.CATATAN (6) :Jaringan bola,Pandang 3 bila B2 =0 ,B2= 02 ,B2 =0 yang tidak terletak pada satu berkas yang sama.Kumpulan bola-bola yang melalui titik potong ke 3 bola tersebut disebut jaringan bola dan mempunyai persamaan B2 + ? t B2 + p.B2 =0 O dan p.parameter-parameter). 34 6. CATATAN (7) :Persamaan berkas bola yang menyinggung suatu bidang V =0 dititik P(x2,y2,z2) mempunyai persamaan :(x-x2)2 + (y-y2)2 + (z-z2)2 + 7 V =O. 2.8. Ditanya persamaan bola yang melalui titik (0,0,0) dan yang menyinggung bidang V =x + y + z =l dititik (0,0,l)m vwBerkas bola :(x-O)2 + (y-0)2 + (z-l)2 + A (x+y+z~l) =O.Karena melalui 0(0,0,0) diperoleh 7 =l.Jadi persamaan bola tersebut :x2 + y2 + 22 + x + y - 2 =0.CATATAN (8) :Bola-bola yang menyinggung garis g :V2 =0 gV =O dititik (x2,y2,22) membentuk jaringan bola :(x-x2)2 + (y-y22)2 + (z-z2)2 + ? t V2 +11%& @ICATATAN (9) :Dua bola berpotongan tegak lurus.Bola B2 dan B2 dikatakan ber- potongan tegak lurus apabila kedua bidang ruang di sembarang titik pada lingkaran potong saling tegak lurus,selalu berlaku,r22 + r22 =(M2M2)2. Kuasa M2 terhadap B2 adalah + r22. Kuasa M2 terhadap B2 adalah + r22.CATATAN (10) :Bola B2 membagi dua sama bola B2 jika bola B2 melalui lingkaran besar bola B2. Di sini berlaku :M2M22 =r22 - r'235 7. ,nar/ /r/ /l."2"%% 2.4. TEMPAT KEDUDUKAN,BIDANG SILINDER,BIDANG KERUCUE BIDANG PUTAR DAN BIDANG ATURTEMPAT KEDUDUKAN (TK) :Adalah kumpulan titik-titik atau garis-garis yangmemenuhi suatu hubungan tertentu. Secara umum soal-soal mengenai TK dapat dibagi 3 golongan : (A).Diambilkan titik sembarang (x22,y22,222) pada TK tersebut.Dari hubungan-hubungan yang ada dapat disimpulkan suatu hubungan antara x22,y22,x22 dengan bilangan-bilangan yang diketahui,lalu dengan membuang indeks 0 (nol) tersebut diperoleh TK yang diminta. 2.9 .Cari TK titik-titik yang berjarak a dari bidang OYZ dan untuk mana jumlah dari kwadrat jarak ketitik (b,0,0) dan (-b,0,0) adalah tetap (=c2).Maka ambil sembarang titik (x22,y22,222) pada TK maka syarat (l) ,x22 =a dan syarat (2) :(XO-b)2+ y222+ 2222, (x22+ b)2+ y222+ 2222 =c2 atau 22222 + 2y222+ 22222 =c2 - 2b2. Jadi hanya tinggal hubungan antara x22,y22,x22 dengan a, b,c dan dengan membuang indeks (disebut menjalankan titik (x22,y22,222) diperoleh TK : x =a 2x2 + 2y2 + 222 =c2 - 2b2 suatu lingkaran perpotongan bidang x =a dan bola berpusat (0,0,0) jari-jariIl =-c2 -b2.2(B).Ada satu atau lebih parameter-parameter,dicari hubungan antara x, y,z dengan parameter-parameter tadi,lalu parameter-parameter dieliminir. 36 8. 2.10.(C). 2.11Cari TK garis kuasa bola-bola B2 =x2 + y2 + 22 =1, B2 yang melalui (0,0,0) berpusat di (O, p,l) Ba melalui (0,0,0) pusat (1,0,p) persamaan B2 :x2 + y2 + 22 -2py-22=0danB2:x2+y2+22-2x-2pz=0.Persamaan garis kuasa :B2 =B2 =B2 atau 1 =2py + 22 =2x + 2p2.l -2x 1 - 2x2y 22Kombinasi dari (A) dan (B),misalnya bidang silinder dan bidang kerucut. Jadi p =dan p =. Pelenyapan p menghasilkan y =zBIDANG SILINDER :Adalah TK garis lurus-lurus yang saling / / dan selalu memotong suatu garis tertentu.Untuk mencari persamaan suatu bidang silinder kita lakukan kombinasi dari (A)dan (B) di atas.Cari persamaan silinder dengan garis lengkung arah sebuah lingkaran pada bidang z =0 berpusat di (0,0,0) dan jari-jari 3, sedang garis lukisnya berarah [2,l, l].Maka lingkaran arah silinder adalah perpotongan bola x2 + y2 + 22 =9 dan bidang 2=0atau: x2+y2+z2=9z =0 3Ambil sembarang titik (x22,y22,0) pada lingkaran,berarti terpenuhi x222 + y22 =9. ... . . . (*).Persamaan garis lukis melalui (x22,y22,0) berarah 2.l,1 adalah [x, y,z] = [x22,y22,0] + 7 [ 2,l, l ] ataux=x22+2l__>x22=x-27 y =y22 + 7..4 y22 =y - 7. dan dengan mensubstitusikan ke (*) 2= ldiperoleh :(x - 22)2 + (y - z) =9 atau x2 + y2 + 522 - 4x2 - 2y2 =9 adalah persamaan bidangsilinder yang diminta. 37 9. BIDANG KERUCUT :Adalah TK garis-garis yang melalui sebuah titik tetap tertentu (disebut puncak) dan selalu memotong sebuah garis lengkung tertentu (disebut garis arah). 2.12. Misalnya hendak mencari persamaan kerucut berpusat di T (1,l,2) dan baris lengkung arahnya adalah sebuah lingkaran terletak di bidang OYZ pusat (0,0,0) jari-jari =l. Maka persamaan lingkaran x2 + y2 + 22 =lx =0 Ambil titik sembarang (0,y22,222) pada lingkaran,tersebut ,y222 + 2222 =1 . ... ... ... ... ... ... .....(*).Garis lukis melalui T(1,1,2) dan (0,y22,222) persamaannya :[ x, y,z ] =[ l, l,2 ] + 7 [ -l,