1 PERHITUNGAN PREMI ASURANSI JIWA BERJANGKAMENGGUNAKAN MODEL STOKASTIKTINGKAT SUKU BUNGA Raden Muhamad Soffan PT. Heksa Eka Life Insurance ABSTRAK Perhitungan Premi Asuransi Jiwa biasanya didasarkan pada asumsi bahwa tingkat sukubungabergeraksecaratetapsepanjangwaktu.Tentusajaasumsiinitidak sesuaidengankenyataanyangadabahwatingkatsukubungabergeraksecara fluktuatif.Untukitudiperlukanmodelstokastiktingkatsukubungayangtelah mempertimbangkan pergerakan tingkat suku bunga secarafluktuatif. Perhitungan Premi dalam tulisan ini menggunakan model Vasicek sebagai model tingkat suku bunga.Modelinimerupakanmodelyangmengikutifenomenameanreverting bahwa untuk waktu yang semakinlama tingkat suku bunga akan konvergen pada nilaitertentudantidaktergantungpadaberapanilair0yangditentukan. PerhitunganPremiasuransijiwaberjangkadilakukanuntukduakasus,yaitukasuskontinudankasusdiskrit.Untukkasuskontinu,manfaatdibayarkansaat meninggaldunia.HukummortalitaGompertzdigunakansebagaidasar perhitungan premi untuk kasus kontinu.Untuk kasus diskrit, manfaat dibayarkan di akhir tahun polis saat meninggal dunia.Kata Kunci :Perhitunganpremi,ModelVasicek,MeanReverting,Hukum Mortalita Gompertz 1.PENDAHULUAN Perhitunganpremidenganmangasumsikanbahwatingkatsukubunga bergeraksecaratetapsepanjangwaktutidaksesuaidengankenyataanyangada karenatingkatsukubungabergeraksecarafluktuatif.Dalambeberapatahun terakhirini,banyakliteraturyangmemperkenalkanperhitunganpremiyang melibatkan model stokastik tingkat suku bunga untuk mempertimbangkan kondisi pergerakantingkatsukubungayangbergeraksecarafluktuatif.ModelVasicek adalahmodel stokastik tingkat suku bungayang banyak digunakan dalambidangfinansialdanmengikutifenomenameanrevertingbahwauntukwaktuyang semakin lama tingkat suku bunga akan konvergen pada nilai tertentu. Pembahasandalamtulisaniniakandimulaidenganbagian2mengenai ModelVasicek,kemudiandilanjutkandenganbagian3yangmembahas perhitunganpremidenganmelibatkanmodelstokastiktingkatsukubunga,lalu dilengkapidenganbagian4yangmembahashasilempirisdarisimulasi perhitungan premi, dan terakhir di bagian 5 ditutup dengan kesimpulan dan saran. 2 2. MODEL VASICEK Apabilatingkatsukubungasedangnaik,makakondisiperekonomian akan menurun. Hal ini disebabkan karena menurunnya permintaan pinjaman yang berakibatpadamenurunnyapertumbuhanekonomi.Sebaliknyaketikatingkat sukubungasedangturun,makakondisiperekonomiansedangbangkitkarena permintaan pinjaman meningkat yang akan menggerakkan kegiatan perekonomian danakhirnyaakanmeningkatkanpertumbuhanekonomi.Fenomenainidalam ilmu ekonomi disebut sebagai equilibrium atau mean reverting. Jon Exley, Shyam Mehta,danAndrewSmith(2004)menuliskanbahwasebuahasetdikatakan sebagaimeanrevertingapabilaharganyaturunsetelahmengalamikenaikan,dan harganya akan naik setelah mengalami penurunan. Berangkatdarikondisiekonomidiatas,Vasicekpadatahun1977 merekomendasikansebuahmodelpersamaandiferensialstokastikuntuktingkat sukubunga.Modelinitelahmengakomodirfenomenameanreverting.Model Vasicek dituliskan dalam bentuk persamaan diferensial stokastik berikut ini : Jr( t) = o (p r( t) ) Jt +o Jw( t) ,r( 0) = r0 (1) denganr( t) adalahtingkatsukubungapadasaatke-t.o (p r( t) )disebut sebagai drift. o adalah speed of reversion, p adalah the long run equilibrium value oftheprocessataumeanreverting,odiinterpretasikansebagaivolatilityyang menggambarkanpergerakanyangfluktuatifdaritingkatsukubunga,danwt adalah Proses Wiener. Parametero, p, dan o memiliki nilai positif. Apabilar( t) > p,makadriftakanbernilainegatifdanartinyatingkat sukubungaakanmenurunmenujunilaiequilibriumnya.Begitupunapabila r( t) < p, maka drift bernilai positif dan artinya tingkat suku bunga akan bergerak naikmenujunilaiequilibriumnya.Halinisesuaidengankondisiekonomiyang telah dibahas sebelumnya.DenganmenggunakanteoremaformulaItodiperolehsolusidarimodel Vasicek di atas, yaitu : r( t) = p + ( r0 p)c-ut+ o c-u( t-u)Jw( u)t0( 2) Diperoleh ekspektasi dan variansi bersyarat bila diketahui r( 0) = r0, yaitu : E( r( t) | r( 0) = r0) =p + ( r0 p)c-ut ( 3)Ior( r( t) | r( 0) = r0) = o22o( 1 c-2ut)( 4)UntuknilaityangbesarmakaE( r( t) | r( 0) = r0) akanmenujup.Dengankata lain bahwal i mtE( Xt| X0= x0) = l i mtp + ( x0 p)c-ut=p ( 5)Halinimendukung teorimengenai meanreverting, bahwa dalamjangka panjang tingkat suku bunga akan konvergen pada suatu nilai tertentu.Untukt-1< t,fungsikepadatanpeluangdarirtiyaitu(rti; o, p, o) adalah 3 (rti; o, p, o) = ( 2n)-12_o22o(1 c-2u( ti-ti-1))_-12 cxp_(rti p (rti p) c-u( ti-ti-1))22 o22o( 1 c-2u( ti-ti-1))_ Misalkanterdapatn + 1dataobservasidarisuatuprosesr,yaitur0, r1, , rn, maka fungsi log likelihood adalah I( r; o, p, o) = n2l og _o22o_ 12l og|1 c-2u( ti-ti-1)] n=1 oo2

(rti p ( rt-1 p) c-u( ti-ti-1))21 c-2u( ti-ti-1)n=1( 6) Parametermaximumlikelihoodestimation(mle)o, p , dan memaksimumkanfungsiloglikelihood.Untukmenyelesaikanhalini,digunakan metode Quasi Newton denganlangkah BFGSsebagaisalahsatumetode numerik untukpersamaannonlineardalammencario, p , dan yangoptimal.Dalam mencariestimasiuntuksetiapparameterdigunakandataobservasiataudata berdasarkan pengalaman tingkat suku bunga dari waktu ke waktu. 3. PERHITUNGAN PREMI 3.1.Hukum Mortalita TingkatmortalitadiasumsikanmengikutiHukumMortalitaGompertz yang memiliki karakteristik berikut ini : (1)Force of Mortality : px+t= BCx+t, B > 0, C > 1, x 0(7) (2)Survival Function : s( x) = cxp_ Bl n C( Cx 1) _ ( 8) ParameterBdanCdariHukumMortalitaGompertzdapatdiestimasi denganmencocokkan lx, yaitu ekspektasijumlah tertanggungyang hidup sampai usiaxyangdiperolehdatanyadarisuatutabelmortalita,denganl`xyang memenuhi Hukum Mortalita Gompertz dengan persamaan sebagai berikut : l`x= l0 s( x) = l0 cxp _ Bl n C( Cx 1) _( 9)4 Pencocokantersebutakandilakukandenganmenggunakanmetodekuadrat terkecil dalam regresi non linear. 3.2. Kasus Kontinu Dalam kasus kontinu, manfaat asuransi dibayarkan tepat saat tertanggung meninggaldunia.MisalkanI( x) adalahvariabelacakyangmenyatakanFuture LifeTime.MisalkanZadalahvariabelacakyangmenyatakanpresentvaluedi saatpolisdisetujuidarimanfaatyangdibayarkandanbtadalahfungsimanfaat asuransiyangdibayarkansaattketikatertanggungmeninggalduniaserta:t adalahfungsi diskonto dari tahun pembayaranmanfaat asuransi dibayarkanyaitu saat t ke tahun saat polis disetujui.Apabilazt adalah nilai present value dari bt, maka dapat dinyatakan bahwa : zt= bt :t Dengan demikian variabel acak Z dapat dinyatakan sebagai berikut : Z = b1:1 Sesuai manfaat asuransi yang diberikan, asuransi jiwa berjangka dapat dinyatakan sebagai berikut : bt= ]1 t n0 t > n :t= :t t 0 Z = _:1I n0 T> n Premi Tunggal Bersih atau Actuarial Present Value yang disimbolkan oleh Ai

x: n|, dinyatakan sebagai berikut : Ai

x:n| = E( Z) = E( z1) = _ zt 1( x)( t)Jt0 = _:tpt x p( x + t)n0Jt( 10) 5 denganxadalahusiatertanggungsaatmulaiasuransi.pt x adalahpeluang tertanggungberusiaxhidupsampaittahunkemudian,p( x + t) adalahforceof mortalitydaritertanggungberusiax + tyangmengikutiHukumMortalita Gompertz, dan :t dapat dituliskan sebagai berikut : :t= cxp__r( s)t0 Js_ dengan Tingkat suku bunga r( t)diasumsikan mengikuti model stolastik Vasicek. 3.3. Kasus Diskret Dalamkasusdiskrit,manfaatasuransidibayarkandiakhirtahunketika tertanggungmeninggaldunia.MisalkanK( x) adalahvariabelacakyang menyatatakanCurtateFutureLifeTime.MisalkannotasiZadalah merepresentasikanvariabelacakyangmenyatakanpresentvaluedisaatpolis disetujuidarimanfaatyangdibayarkan,bk+1adalahmenyatakanfungsimanfaat asuransiyangdibayarkandiakhirtahunkek + 1ketikatertanggungmeninggal dunia,dan:k+1adalahfungsidiskontodaritahunpembayaranmanfaatasuransi dibayarkanyaitudiakhirtahunk + 1sampaisaatpolisdisetujui.Apabilazk+1 adalah nilai present value dari bk+1, maka dapat dinyatakan bahwa : zk+1= bk+1 :k+1

Dengan demikian variabel acak Z dapat dinyatakan sebagai berikut : Z = bK+1:K+1 Sesuai manfaat asuransi yang diberikan, asuransi jiwa berjangka dapat dinyatakan sebagai berikut : bk+1= _1 k = 0, 1, 2, , n 10 l ai nnya :k+1= :k+1 Z = _:K+1K = 0, 1, 2, , n 10 l ai nnya Premi Tunggal Bersih atau Actuarial Present Value yang disimbolkan oleh Aix: n|, dinyatakan sebagai berikut : Aix:n| = E( Z) = :k+1 K( x)n-1k=0 6 = :k+1pkx qx+kn-1k=0 = :k+1qk| xn-1k=0( 11)denganxadalahusiatertanggungsaatmulaiasuransi,pkx adalahpeluang tertanggungberusiaxhidupsampaiktahunkemudian,qx+kadalahpeluang tertanggungyangberusiax + kakanmeninggal1tahunkemudian,qk| xadalah peluangtertanggungberusiaxakanhidupktahunkemudiandanmeninggal1 tahunsetelahnya,dan:k+1adalahfaktordiskontoyangdapatdituliskansebagai berikut : :k+1= _11 + E( r( i) | r( 0) = r0)k+1=1

denganr( i) mengikutimodelVasicekyangdiubahdalambentukdiskritdengan memanfaatkan sifat dari Brownian Motion menjadi : r( t + 1) = r( t) + o(p r( t) ) ( t t-1) + o e t t-1, r( 0) = r0(12) 4. HASIL EMPIRIS DAN SIMULASI 4.1. Estimasi Parameter Model Vasicek UntukmengestimasiparameterModelVasicekdalamstudikasusini akanmenggunakandataobservasiberuparata-ratatahunantingkatsukubunga SBI 1 bulan dari tahun 1992 sampai Juli 2010 seperti dalam grafik berikut ini : Gambar 1 Rata-rata Tahunan Tingkat Suku Bunga SBI Tahun 1992 Juli 2010 7 Denganmenggunakanmetodemaximumlikelihoodyangdilakukan denganmenggunakanmetodenumericQuasiNewtonlangkahBFGSdiperoleh estimasi parameter Model Vasicek sebagai berikut : Tabel 1 Estimasi Parameter Model Vasicek Parameter Nilai Estimasi o0.7718020 p 0.1362509 o0.1170741 5.PERHITUNGAN PREMI UNTUK KASUS KONTINU Misalkanuntukstudikasusperhitunganinimenghitungpremiasuransi berjangkadenganmanfaatasuransiRp.1000,00dalammasaasuransi10tahun untuk seorang tertanggung dengan usia saat masuk asuransi 40 tahun. Perhitungan PremiTunggalBersihuntukkasuskontinuakandilakukandenganlangkah-langkah sebagai berikut: (1)Dengan mencocokkan nilai lx dari Tabel Mortalita CSO 1958 dengan l`x yang memenuhiHukumMortalitaGompertzmelaluimetodekuadratterkecil, diperolehparameterGompertzyaituBdanCsepertiterlihatdalamTabel2 berikut ini : Tabel 2 Estimasi Parameter Hukum Mortalita Gompertz BC 0,000206591.0806 Gambar2berikutinimenunjukkankecocokkanantaralxdariTabelMortalita CSO 1958 dengan l`x yang memenuhi Hukum Mortalita Gompertz. Gambar 2 Kecocokan lx dalam Tabel Mortalita CSO 1958 dengan l`x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100012345678910x 104Kecocokan lx CSO 1958 dan lx^xl(x)8 (2) TentukanNilair0.Misalkanr0dipilihdatapadatahunterakhiryaitupada tahun 2010 sebesar 6,36%. (3) Hitung E( r( t) ; r( 0) = r0)untuk suatu t dengan menggunakan persamaan (3) (4) Hitung Premi dengan menggunakan Persamaan (10). Dengan melakukan langkah-langkah di atas, untuk kasus kontinu diperoleh premi sebesarRp.27,30.Jadi,denganmanfaatasuransisebesarRp.1000,00seorang tertanggungyangberusia40tahunsaatmulaiasuransiharusmembayarpremi tunggalbersihsebesarRp.27,30untukperlindunganasuransijiwaberjangka selama 10 tahun. 6.PERHITUNGAN PREMI UNTUK KASUS DISKRET Misalkanuntukstudikasusperhitunganinimenghitungpremiasuransi berjangkadenganmanfaatasuransiRp.1000,00dalammasaasuransi10tahun untuk seorang tertanggung dengan usia saat masuk asuransi 40 tahun.Perhitungan premiasuransijiwaberjangkauntukkasusdiskritdilakukandenganlangkah-langkah sebagai berikut : (1) TentukanNilair0.Misalkanr0dipilihdatapadatahunterakhiryaitupada tahun 2010 sebesar 6,36%.(2) BangkitkanvariabelacakeyangberdistribusiNormalStandarsebanyakt yang diulang N kali. Dalam simulasi ini akan dibangkitkan dengan t=1,2 , , 100, dan diulang sebanyak 1000 kali.(3) Hitungr( t) untuksetiaptdenganmenggunakanPersamaan(12).Nilai E( r( t) | r( 0) = r0) yaiturata-ratar( t) untuksetiaptyangdiulangsebanyak 1000 kali digambarkan oleh grafik sebagai berikut : Gambar 3 Konvergensi r( t)pada parameter p 0 20 40 60 80 100 1200.060.070.080.090.10.110.120.130.140.15Konvergensi r(t)tr(t)9 Tampakbahwar( t) konvergendisekitarnilaip yaitu13,62509%.Penentuan nilair0tidakakanmerubahkonvergensir( t) menujup.Gambar4berikut menunjukkanbahwakonvergensir( t) kesekitarptidaktergantungdari pemilihan nilai r0. Gambar 4 Konvergensi r( t)untuk setiap r0 yang berbeda (4) PadaperhitunganininilaiqxdiambildariTabelMortalitaCSO1958. DenganmenggunakanPersamaan(12)diperolehPremisebesarRp.28,07. Jadi, dengan manfaat asuransi sebesar Rp. 1000,00 seorang tertanggung yang berusia40tahunsaatmulaiasuransiharusmembayarpremitunggalbersih sebesarRp.28,07untukperlindunganasuransijiwaberjangkaselama10 tahun. 7.KESIMPULAN DAN SARAN Model Vasicek adalah salahsatu modelyangmengikutifenomena mean revertingbahwauntukwaktuyangsemakinlamatingkatsukubungaakan konvergenpadanilaitertentu.Konvergensir( t) menujuptidaktergantungpada berapanilair0 yang ditentukan. Berapapun nilair0 akan tetap konvergen pada p. PerhitunganPremiNetoAsuransiJiwaBerjangkadenganmelibatkanmodel stokastiktingkatsukubunga,dalamhalinimodelVasicek,telah mempertimbangkankeadaanmeanrevertingyangsesuaidengankeadaan ekonomiyangterjadi.Untukmengembangkantulisanini,dapatdianalisalebih lanjut mengenai variansi dari tingkat suku bunga. 0,00%10,00%20,00%30,00%40,00%50,00%60,00%0 4 812162024283236404448525660646872768084889296100Konver gensir (t ) unt uk rober bedar 0 : 6.36% r 0 : 10% r 0 : 15% r 0 : 20%r 0 : 30% r 0 : 40% r 0 : 50%10 8.REFERENSI Bowers,N.L.,Gerber,H.U.,Hickman,J.C.,Jones,D.A.,danNesbitt,C.J.1997. Actuarial Mathematics, 2nd edition: The Society of Actuaries. Dervis Bayazit. 2004. Yield Curve Estimation and Prediction with Vasicek Model: The Middle East Technical University. EdwardW.Frees.1990.StochasticLifeContingencieswithSolvency Consideration: Transaction of Society of Actuaries. GaryParker.1994.DistributionofPresentValueofFutureCashFlow:Simon Fraser University. G.A.FSerber,C.JWild.2003.NonlinearRegression:AJohnWiley&SonsInc Publication. GeorgeRoussas.2003.AnIntroductiontoProbabilityandStatisticalInference: Academic Press. H.AWaters,M.A,D.PHIL,FIA.1978.TheMomentsandDistributionof Actuarial Function: JIA. IgorGriva,StephenG.Nash,ArielaSofer.2009.LinearandNonlinear Optimization: Society Industrial and Applied Mathematics. JohnA.BeekmanandClintonP.Fuelling.1991.InterestandMortality Randomness in Some Annuities : Ball State University, Muncie, USA. JonExley,ShyamMehta,AndrewSmith.2004.MeanReversion,presentedto FacultyandInvestmentofActuaries:FinanceandInvestmentConference, Brussels. JoseCarlosGarciaFranco.(tanpatahun).MaximumLikelihoodEstimationof Mean Reverting Processes, Onward Inc. Jordan, C.W Jr. 1991. Life Contingencies: Society of Actuaries, USA. L. Noviyanti, Syamsuddin. (2005). Life Insurancewith Stochastic Interest Rate: TheProceedingofThe13thEastAsianActuarialConference,Denpasar Bali.MasakiKijima.2003.StochasticProcesswithApplicationtoFinance:Chapman & Hall/Crc. Ocke Kurniandi. (tanpa tahun). Stochastic Model for premium Calculation Under Syariah Law: PT. MAA Life Assurance Indonesia. SheldonRoss.2006.AFirstCourseinProbability7thedition:PearsonPrentice Hall.StefanoM.Lacus.2008.SimulationandInferenceforStochasticDifferential Stochastic with R Examples: Springer. Syamsuddin.2009.WorkshopMatematikaKeuangan:JurusanStatistika FMIPA UNPAD Bandung. www.bi.go.id/web/id/Moneter/Operasi+Moneter/Suku+Bunga+SBI/ 11 SUATU MODEL HARGA OBLIGASI Lienda Noviyanti 1 1 Staf pengajar jurusan Statistika FMIPA - Universitas Padjadjaran, Bandung ABSTRAK Uangmerupakansebuahkomoditas,sedangkantingkatbungaadalah biayadariuang.Uangsebagaimodalmembiayaipertumbuhansuatunegara. Biasanya, modal ini harus dipinjam. Peminjaman uang ini dapat dilakukan melalui pasar obligasi (bond). Obligasi memberikan manfaat baik bagi peminjam maupun investor,sertamelibatkansejumlahuangyangsangatbesar,sehinggapenentuan hargaobligasisangatlahpenting.Suatumodelyangbaikdibutuhkanuntuk menentukanhargaobligasi.Hargaobligasibergantungdaritingkatbungayang nilainyaberubah-ubah, sehingganilai tingkat bunga padamasayang akan datang tidakdiketahuidenganpasti.Penelitianinimembentukmodeluntukmenentuan hargaobligasidengankupon,yangdidasarkanpadayieldcurve,dengantingkat bunga diasumsikan mengikuti gerak Brown. Kata Kunci :yield curve, gerak Brown, obligasi dengan dan tanpa kupon 1.PENDAHULUAN Obligasi(bond)adalahinstrumenutangyangmewajibkanpenerbit obligasi(peminjamutang)untukmembayarutangkepadainvestor(pemberi utang)sejumlahyangdipinjamditambahbungauntukperiodetertentu.Obligasi memilikirisikocukupbesarkarenamerupakansuatuinvestasijangkapanjang yangnilainyabergantungpadaperubahantingkatbunga,kondisiperusahaan penerbitobligasidanjugakondisiekonominasional.Penentuanhargaobligasi menjadisangatpentingkarenabesarnyajumlahuangyangdiinvestasikandalam obligasisehinggaperubahansedikitpunpadatingkatbungaakansangat berpengaruhpadahargaobligasi.Hargatersebutharuslahwajar(fair)baikbagi penerbitmaupunpembeliobligasi.Haliniberartibahwahargatersebuttidak terlalumahaljugatidakterlalumurah.Bilaterlalumahal,pembeliakanenggan untukmembeli,sedangkanbilaterlalumurah,tidakakanadapihakyangakan menerbitkandanmenjualnya.Untukituperludibuatsuatumodeluntuk menentukanhargaobligasitersebut.Masalahutamadalammenentukanharga obligasi adalah tidak diketahuinyafluktuasi tingkat bunga padamasamendatang. Penentuanhargainidapatdilakukandenganterlebihdahulumenentukanyield curve,yaituhubunganantarawaktujatuhtempoobligasidantingkatbunga.Dengankatalainyieldmerepresentasikantingkat tahunanyangharusdibayar hari ini untuk sebuah obligasi yang jatuh tempo dalam sejumlah tahun mendatang.Pemodelantingkatbungadapatdibentukmelaluiduapendekatan,yaitu model-modelderetwaktu(timesseriesmodels)danmodel-modeltingkatbunga 12 derivatif(interestratederivativesmodels).Padadasarnya,model-modelderet waktubersifatumum.Produksiminyakbumi,persediaansuatubarang,harga sahamatautingkatbungadapatdimodelkandenganmodel-modelderetwaktu. Perkembangananalisiskuantitatiffinansialyangtumbuhdenganpesat menggunakankonsepstokastiksepertimartingalesuntukmenangkapperilaku ekonomiantaralaintheabsenceofarbitrageopportunityatauno-arbitragedanequilibriumtheory(Brigo,2001;Lambertonetal,2000;danStampfli,2001. Konsep dasarmodel-model tersebut adalah Brownian Motion atau Gerak Brown. Pada penelitian ini tingkat bunga diasumsikan mengikutiBrownian Motion dalam menentukanhargaobligasidengankupon.DenganmenggunakanLemmaIto dapatdiperlihatkanhubunganantarahargaobligasidenganperubahantingkat bunga jangka pendek dan waktu.Strukturpenyajianhasilpenelitianiniadalahsebagaiberikut;(1) pendahuluan,(2)studipustaka,(3)modelhargaobligasi,sertadiakhiridengan (4) penentuan harga obligasi sebagai kesimpulan. 2.STUDI PUSTAKA Obligasiadalahinstrumenhutangyangmewajibkanpenerbit(peminjam uang)untukmembayarhutangkepadainvestor(pemberihutang)sejumlahyang dipinjamditambahbungauntukperiodewaktutertentu.Tanggaldimanapokok pinjamanharusdibayardisebuttanggaljatuhtempo(maturitytime).Obligasi diterbitkandenganspesifikasiyaitu(1)tanggaltetappadasaatpinjaman(pokok pinjaman)jatuh tempo dan (2) tingkat bunga,yang biasa dibayarkan setiap enam bulan.Obligasidapatditerbitkanolehpemerintahpusat,pemerintahdaerahdan perusahaan (domestik atau asing). Zero coupon bond ( discount bond ) merupakan suatu perjanjian di mana satupihakakanmembayarsejumlahuangpadasaatjatuhtempotanpa pembayarankeuntungan(coupon).Didalamperjanjianinitidakadarisiko ataupunkegagalandalampembayaran.Hargadarizerocouponbondmerupakan fungsi( ) , P t T , dengan t menyatakan waktu pada saat itu dan T adalah waktu pada saatjatuhtempo.SelangwaktunyaadalahT t t = .Denganpembayaranpada saat waktujatuh tempo (maturity time) adalah $1,makaharga obligasi padasaat waktu jatuh tempo adalah( ) , 1 P T T = . Hargadarisuatuobligasisebenarnyamerupakan(presentvalue)dari pembayaran akhir, yakni : P( t, I) =1cj( t,T) ( T-t) (1) Zerocouponrateatauyieldtomaturitydinotasikansebagaiy( t, I) merupakan tingkatbungayangdiasumsikanakanterbagi-bagipembayarannya(continuously compounded).Denganmengambillogaritmadaripersamaan(1),persamaanzero coupon rate adalah 13 y( t, I) = In ( P( t,1) )1-t. (2) Yield curve ditentukan dengan melihat hubungan-hubungan antara discount curve, forward curve, dan yield curve (Hull, 1993; Hull and White, 1993).-Hubungan antara yield curve dan discount curve Dari yield curve bisa diperoleh discount curve P( t, I) = c( t,1) ( 1-t). (3)-Hubungan antara yield curve dan forward curve Dari discount curve ini bisa diperoleh forward curve ( t, I) = P( t,1)P( t,1). (4) -Hubungan antara yield to maturity dengan forward rate dapat dinyatakan oleh y( t, I) =11-t ( u) Ju0.(5) yang menyatakan yield sebagai rata-rata dari forward rate. Persamaanterakhirmerupakantingkatbungapadawaktut>0dilihat padasaatiniyangselanjutnyaakandinotasikandenganr(t).Sesuaidenganyield curve,pasarobligasimemberikantingkatbungauntukperiode(0,t).Jadipasar menentukan forward rate melalui yield curve. Nilai dari obligasiP( t, I)bergantung dari T (waktu jatuh tempo), t, dan r(t),tingkatbungajangkapendek.LemmaItomemperlihatkanhubunganantara perubahanhargaobligasidenganperubahantingkatbungajangkapendekdan waktu.MisalP( t, I) merupakanfungsidarisukubungajangkapendekr(t)dan waktu t. Proses Ito mengikuti persamaanperubahan tingkat bunga, dengan p dan o merupakan fungsi dari r dan t, yakni; Jr = p( r, t) Jt + o( r, t) JB,(6) denganB~ N( 0, Jt)merupakan gerak Brown. SelanjutnyaakanditentukanJPdenganmenggunakanderetTaylordanasumsi bahwa P differentiable diperoleh; JP( t, I) = oPor Jr + oPot Jt +12o2Por2 Jr2+ o2PorotJr Jt +12o2Pot2 Jt2+ (7) Dengan mensubsitusikan (6) ke (7) diperoleh Lemma Ito yang berbentuk; JP( t, I) = [Pt+ pP+ 12o2 2P2 Jt + oPJB(8) 3.MODEL HARGA OBLIGASI Persamaan (8) dapat dituliskan kembali sebagai JP( t, I) = p( t, I) Jt + :( t, I) JB. (9) 14 Selanjutnyabentukportofolioyangterdiridariduaobligasidengan kupon,dengan tanggal jatuh tempo yang berbeda yaitu T1 dan T2. Misalkan harga kedua obligasi tersebut masing-masing P1 dan P2, maka portofolio tersebut adalah n = P1 P2; Jn = JP1 JP2;P1= P( t, I1) ; P2= P( t, I2) .(10) SubstitusiJP1danJP2daripersamaan(10)kepersamaan(9)makadiperoleh Jn = ( u1 u2) Jt + ( :1 :2) JB.Dengan mengambil= :1/ :2, didapat Jn = ( u1 u2) Jt (11) Olehkarenan berperilakusepertiinvestasidipasaruang,returnyang dihasilkan harus sesuai dengan tingkat bunga jangka pendek. Misalkan K1 dan K2 masing-masingmenyatakan kupon untuk obligasi dengan tanggaljatuh tempoT1 dan T2, mak Jn = ( r n K1+ K2) Jt. Substitusi Jnke persamaan (11) akan menghasilkan1:1( u1 r P1+ K1) =1:2( u2 r P2+ K2) . Oleh karena ruas kiri pada persamaan terakhirhanyamengandung suku-sukuyangbergantungpadaI1danruaskananpadapersamaanterakhirhanya mengandung suku-suku yang bergantung pada I12 maka z( t, r) = u( t, I) r( t, I) P( t, I) + K( t, r):( t, I) tidakbergantungpadaT.Notasizmenyatakanhargapasardaririsikodandapat dituliskan kembali sebagai u( t, I) = rP( t, I) + z:( t, I) K( t, r) . Selanjutnya,kembalikannilaiudanvdaripersamaan(9)sehingga diperoleh persamaan diferensial untuk harga obligasi sebagai berikut oPot+ poPor+12 o2o2Por2= rP + zooPor K atau Pt+ ( p zo) P+ 12o2 2P2 rP = Cr,(12) dengan K = Cr. Persamaan(12)merupakanpersamaandiferensialparsialtakhomogen. SolusidaripersamaantersebutadalahP=Ph+PpdenganPhmenyatakansolusi homogendanPpmenyatakansolusikhusus.SolusihomogenPhdaripersamaan (12)merupakansolusidaripersamaandiferensialparsialuntukobligasitanpa kupon(Noviyanti,2006) Pt+ oP+ 12o2 2P2 rP = 0danP( t, I) =c-_( 1-t) -c2( 1-t)2o26( 1-t)3_, yakni Ph= cxp[ A( t) r + B( t) ]15 dengan A(t) =(T-t)danB( t) = u2( I t)2 c26( I t)3. MisalkanPp=k,substitusikepersamaan(12)makak=C.Jadisolusiuntuk persamaan (12) adalah P = exp [ A r + B ] + C (13) 4.PENENTUAN HARGA OBLIGASI Setiapobligasidengankuponmempunyaiyieldsaatini,Y(t),yang dihitung dari harga pasar saat ini ( t) = l n( P)I t. Berdasarkan persamaan (13) model harga obligasi dengan kupon adalah P( t, I) = cxp]( I t) r u2( I t)2 c26( I t)3 + C, (14) sehingga ( t, I) =-In_cxp_-( 1-t) -c2( 1-t)2o26( 1-t) 3_+C]1-t(15) Persamaantersebutdapatdihampiridenganpolinomberderajattertentu, misal 3, dalam T, sehingga diperoleh ( 0, I)I = l n( 1 + C) +r01 + CI _o + r022( 1 + C) r022( 1 + C)2_I2 _16 o2+12 r0o 16 r031 + C+ r0( o + r02)6( 1 + C)2+( o oC + r02C) r03( 1 + C)3_I3 Parameter-parametera,2danCdapatdiperolehdariobservasidatapasarpada suatu tanggal tertentu. 5.DAFTAR PUSTAKA Brigo,D.andMercurio,F.,2001,InterestRateModels,TheoryandPractice, Springer-Verlag, Germany. Hull, J. C. 1993. Options, Future and Other Derivative Securities. 2nd ed. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. Hull, J. andA.White, 1993, " The Pricing of Options on Interest-Rate Caps and Floors Using the Hull-White Model, The Journalof FinancialEngineering Volume 2, Numer 3, Pages 287-296. 16 Lamberton,D.,andLapeyre,B.,2000,IntroductiontoStochasticCalculus, Applied to Finance, Chapman&Hall, UK. Noviyanti,L.,2006,TingkatBungaStokastikdalamKontrakAsuransiJiwa, Disertasi, Institut Teknologi Bandung, tidak dipublikasikan. Stampfli, J. and Goodman, V., 2001, The Mathematics of Finance: Modeling and Hedging, Brooks/Cole, Thomson Learning, USA. 17 PENENTUAN CADANGAN DISESUAIKANMELALUI METODE ILLINOIS PADA PRODUKASURANSI DWIGUNA BERPASANGAN Suhartini suhartini@gmail.com ABSTRAK ProdukAsuransiDwigunamemberikanduamanfaatbagipemegang polisyakniproteksijiwaselamajangkawaktuasuransidanpengembaliandana asuransiapabilapemegangpolishidupsetelahmasaasuransiberakhir.Manfaat produk Asuransi Dwiguna hanya diberikan pada satu individu saja yang namanya tercantumsebagaipemegangpolisasuransi.Penelitianinimengembangkan proteksijiwauntukduaindividuyangbersama-samanamanyadicantumkan sebagai tertanggung pada polis asuransi sehingga ahli waris akan menerima 100% Uang Pertanggungan apabila salahsatu dari tertanggungmeninggal selamamasa asuransidanjaminan100%UangPertanggunganjikakeduatertanggungmasih hidupsampaiakhirmasaasuransi.SelanjutnyaprodukinidinamakanAsuransi Dwiguna Berpasangan. Perhitungan besaran-besaran aktuaria dalam penelitian ini selainmelibatkanduaindividusebagaitertanggung,jugamemperhitungkan besarnyabiayakomisiagenyangdibebankanpadapemegangpolisselamam tahun pertama pembayaran premi. Dengan demikian, besarnya cadangan asuransi dihitung berdasarkan rumusan cadangan disesuaikan melalui Metode Illinois. Kata Kunci :AsuransiDwigunaberpasangan,Cadangandisesuaikan,Metode Illinois 1.PENDAHULUAN Dwigunaadalahsalahsatuprodukasuransiberjangkantahunyang memberikanduamanfaatyakni(1)proteksikematianselamamasaasuransidan (2) uang pertanggungan apabila tertanggung hidup setelah masa asuransi berakhir. Produk Dwiguna yang ditawarkan selama ini bersifat individu artinya perusahaan asuransihanyamemberikanproteksikepadasatuorangsaja.Produkini memberikanbenefitberupajaminan 100% UangPertanggunganjika tertanggung hidupsampaiakhirmasaasuransi.Selainitu,ahliwarisakanmenerima100% Uang Pertanggungan apabila tertanggung meninggal dalam masa asuransi.PenelitianinimengembangkanprodukAsuransiDwigunadengan menambahkansatuoranglagitertanggungpadapolisasuransinya.Selanjutnya produk tersebutakandinamakanprodukAsuransiDwigunaBerpasangandengan Uang Pertanggungan diberikansaat salah satu dari kedua tertanggungmeninggal dunia dalam masa asuransi dan apabila keduanya masih hidup sampai akhir masa asuransi, maka mereka akan menerima uang pertanggungan. 18 Selamakontrakasuransitelahditandatanganipemegangpolis, Perusahaanasuransiakanmenerimasejumlahpembayaransecaraberkalayang besarannya ditetapkan berdasarkan premi bersih dan biaya yang harus dibebankan padapemegangpolis.Premibersihdigunakanuntukperhitunganbenefityang harusdiberikankepadatertanggungjikaterjadiklaimdaripemegangpolisatau ahliwarisnya.Sedangkanbiayamerupakandanayangtelahdikeluarkan perusahaanselamapromosiprodukAsuransiDwigunasepertikomisiyang diberikankepadaagenmarketingyangmendapatkanpemegangpolis,biaya pemasaranproduk,danbiayaadministrasipembuatandanpengirimanpolis asuransi. Pada awal tahun polis biasanya diperlukan biaya yang besar. Sedangkan biaya pada tahun selanjutnya lebih kecil dari pada biaya tahun pertama. Bentuktanggungjawabperusahaanasuransiataspremiyangtelah diterimaadalahmenyiapkancadanganasuransiyangsewaktu-waktuharus dikeluarkan untuk membayar manfaat asuransi ketika terjadi klaim dari pemegang polis. Pada dasarnya cadangan asuransi dihitung berdasarkan asumsi premi bersih tahunan (tidak melibatkan biaya yang dikeluarkan tiap tahunnya oleh perusahaan). Biayayangdilibatkandalampenelitianinidikeluarkanuntukmembayarkomisi kepadaagenasuransiselamatigatahunpertamapembayaranpremi.Dengan demikian,perhitungancadanganasuransiuntukprodukDwigunaharus memperhitungkanbiayadalampenetapanbesaranpremitahunanyangharus dibayarkanpemegangpolis.Rumusaninidinamakancadanganasuransi disesuaikan (modified reserve).Besarnyanilaicadanganasuransidisesuaikandalampenelitianiniakan dihitungmelaluipendekatanmetodeIllinois.Metodeinimembatasifrekuansi biaya yang dibebankan pada pembayaran premi tahunan paling lama 20 tahun. Sehubungandenganpernyataandiatas,penelitianinimenawarkan inovasipadaprodukasuransidwigunadenganproteksikepadaduaorang tertanggungdanmerumuskanbesarnyacadanganasuransidisesuaikanmelalui metode Illinois 2.BESARAN-BESARAN AKTUARIA 2.1. Simbol-simbol Aktuaria NOTASI KETERANGAN XVariabel acak yang menyatakan usia individu pertama YVariabel acak yang menyatakan usia individu kedua ( ) tx Laju kematian (force of mortality) dari seseorang yang berumurxtahun 1 k xq+Peluang orang yang berumurxtahun akan hidup sampaiktahun dan meninggal1 tahun berikutnya Lanjutan Tabel 2.1. xy tp Peluang orang yang berusia x tahun dan y tahun masih akan hidup kedua-19 duanya dalam t tahun kemudian t xyqPeluang seseorang yang lebih dulu meninggal dari sepasang tertanggung yang berumur x tahun dan y tahun dalam t tahun kemudian , x k y kq + + Peluang seseorang yang lebih dulu meninggal dari sepasang tertanggung yang berusia x+k tahun dan y+ktahun dalam 1 tahun kemudian 1 kb + Besarnya benefit yang dibayarkan perusahaan asuransi pada akhir tahun terjadi risikov Nilai tunai (Present value)i rate of interest (tingkat bunga efektif yang berlaku) ZVariabel acak yang menyatakan fungsi present value benefit 1; xy nAPremi tunggal bersih asuransi jiwa berjangka n tahun bentuk diskrituntuk sepasang tertanggung yang berumur x tahun dan y tahun 1: xy nAPremi tunggal bersih asuransi jiwa n-year pure endowment untuk sepasang tertanggung yang berusia x tahun dan y tahun : xy nAPremi tunggal bersih asuransi jiwa dwiguna bentuk diskrit untuk sepasang tertanggung yang berusia x tahun dan y tahun : xy nAPremi tunggal bersih asuransi jiwa dwiguna bentuk kontinu untuk sepasang tertanggung yang berusia x tahun dan y tahun o laju perubahan suku bunga terhadap satuan waktu terkecil (force of interest) : xy naAnuitas hidup berjangka n tahun untuk sepasang tertanggung yang berusia x tahun dan y tahun tbBesarnya benefit yang dibayarkan perusahaan asuransi pada saat terjadi risiko (t) P (: xy nA ) Premi bersih tahunan asuransi jiwa berpasangan dwiguna bentuk diskrit yang dibayarkan setiap awal periode untuk seseorang yang berusia x tahun dan berusia y tahun HWaktu saat perhitungan cadangan ( ):hxy nV ACadangan premi tahunan asuransi jiwa dwiguna kontinu dengan premi dibayarkan tiap awal tahun untuk setiap satuan waktu hMPeriode pembayaran premi dengan biaya Io Premi bersih untuk tahun pertama pada metode illinois I|Premi bersih untuk tahun kedua dan seterusnya sampai ke-m pada metode illinois :( )ilhxy nV ACadangan illinoisasuransi jiwa Dwiguna berpasangan kontinu dengan premi dibayarkan tiap awal tahun setiap satuan waktu h* Fungsi present value total biaya komisi agen 1 Presentasi komisi agen untuk tahun pertama 2 Presentasi komisi agen untuk tahun kedua 3 Presentasi komisi agen untuk tahun ketiga 2.2. Asuransi Dwiguna Berpasangan 20 Besarnyapremitunggalbersihyangharusdibayarkanolehindividu pertamayangberusia x tahun danindividu keduayangberusia y tahun padasaat pertama kali ikut asuransi kepada perusahaan asuransi adalah: a.Jika Salah Satu dari Tertanggung Meninggal Dunia1100%UP 0 kb + =, untuk0,1, 2,..., 1, untuk, 1,...k nk n n= = +Jikasalahsatu tertanggungmeninggalduniamakabenefitakandibayarkansebesar100%Uang Pertanggungan (UP) sekaligus pada akhir tahun tertanggung meninggal dunia atau dapat dinyatakan sebagai berikut: fungsi present value benefitnya adalah : 11100%UP0kvZ+=, untuk0,1, 2,..., 1, untuk, 1,...k nk n n= = + karena Kmerupakan variabel acak, maka premi tunggal bersihnya adalah: | | 1111: ,0(100%UP) . .nkk xyxy n x k y kkA E Z v p q++ +== = (2.1) b.Jika Kedua Tertanggung Masih Tetap Hidup Hingga Akhir Masa Asuransi Jikakeduatertanggungmasihtetaphiduphinggaberakhirnyamasa asuransimakabenefitakandibayarkansebesar100%UangPertanggungan sekaligus pada akhir tahun ke-n atau dapat dinyatakan sebagai berikut: 0 100%UP nb = , untuk0,1, 2,..., 1, untuk, 1,...k nk n n= = + fungsi present value benefitnya adalah: 20100%UPnZv=, untuk0,1, 2,..., 1, untuk, 1,...k nk n n= = + sehingga premi tunggal bersihnya adalah: | | 12:(100%UP) .nn xyxy nA E Z v p = =...(2.2) Makabesarnyapremitunggalbersihsecarakeseluruhanuntukproduk asuransiDwigunaberpasanganmerupakanpenjumlahanantaraPersamaan(2.1) dan (2.2) sebagai berikut : 11. ,:0(100% ) . .nk nk xy x k y k n xyxy nkA UP v p q v p++ += = + ` )... (2.3) PadaprodukDwigunaberpasangan,benefitdiberikantepatpadasaat salahsatudaritertanggungmeninggaldunia.Olehkarenaitu,perlumengubah asuransiDwigunaberpasanganbentukdiskritmenjadiasuransijiwaDwiguna berpasanganbentukkontinu.DenganmenggunakanasumsiUDD(Uniform DistributionofDeath)hubunganasuransijiwadwigunaberpasanganbentuk diskrit dengan asuransi jiwa dwiguna berpasangan bentuk kontinu adalah sbb: 21 o| |=|\ .: : x y n x y niA A... (2.4) Premi tahunan Dwiguna Berpasangan dihitung dengan menggunakan rumus:

( ):::xy nxy nxy nAP Aa=... (2.5) 2.3. Perhitungan Cadangan Illinois Pada Produk Dwiguna Berpasangan PenentuancadangandisesuaikanmelaluimetodeIllinoisterdapat persyaratan yang harus terpenuhi, yaitu nilai premi tahunan yang dibayarkan oleh tertanggunglebihbesardarinilaipremitahunanasuransiseumurhidupdengan jangka pembayaran premi 20 tahun pada usiayang sama. Dalammetode Illinois, terdapat beberapa nilai premi bersih yakni Io(premi bersih untuk tahun pertama), I|(premibersih untuk k - 1 tahunberikutnya), dan :( )xy nP A(prmibersih untuk setelahktahun).Padapenentuancadangandenganmentodeiniterdapatbatasan frekuensibiayayangdigunakandalamperhitungancadanganyaknimaksimal biaya20tahun.Perumumandaripernyataandiatasdapatdiilustrasikansebagai berikut : : 1 : :( )I Ixy k xy n xy ka P A a o |+ = ... (2.6) Atau dengan kata lain Io dapat dinyatakan pada Persamaan di bawah ini : : : : 1: 1( )1xy n xy k xy kIxy kP A a aao=+ (2.7) dan I|dapat dinyatakan pada Persamaan di bawah ini : : :: 1( )1xy n xy kIxy kP A aa|+=+ (2.8) Berdasarkanperumusanpremidiatas,perhitungancadanganyang disesuaikan dengan menggunakan metode Illinois didefinisikan sebagai berikut : : : : , :( ) ( ) ( ( ))ilh h Ixy n xy n xy n x h y h k hV A V A P A a |+ + = (2.9) denganmin( , 20) k m =serta m adalah periode pembayaran premi dengan biaya.Besarnyatotalbiayayangdikeluarkanperusahaanuntukmembayar komisi agen, adalah sebagai berikut:{ }*1 2 1 3 2:( )xy xyxy nP A v p v p ( = + + (2.10) dengan 1 , 2 ,dan 3 merupakanpresentasekomisiyangharus dibayarkanolehperusahaankepadaagenyangberhasilmenjualprodukasuransi padatahunpertamasampaitahunketigadanbesarnyadiperolehberdasarkan tabelkomisi.Padapenelitianinibesarmin(3, 20) k = yaknik=3,sehingga Persamaan (2.6) dapat dituliskan kembali sebagai berikut : :2 : :3( )I Ixy xy n xya P A a o | + = ... (2.11) 22 Dengankatalain Io padaPersamaan(2.7)dapatdinyatakankembali sebagai berikut : *: :3 :2:2( )1xy n xy xyIxyP A a aao=+ (2.12) dan I|pada Persamaan (2.8) dapat dinyatakan kembali sebagai berikut : *: :3:2( )1xy n xyIxyP A aa|+=+(2.13) Berdasarkanperumusanvaluasipremidiatas,perhitungancadangan yangdisesuaikandenganmenggunakanmetodeIllinoisdidefinisikansebagai berikut : : : : , :3( ) ( ) ( ( ))ilh h Ixy n xy n xy n x h y h hV A V A P A a |+ + = (2.14) danperhitungancadangansetelahtahunke-3akanmenggunakan perumusan cadangan premi bersih tahunan sbb:

( ) ( ): , : : , :hxy n x h y h n h xy n x h y h n hV A A P A a+ + + + = (2.15) 3.HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1. Premi Tunggal Bersih Produk DwigunaBerpasangan PerhitunganpremitunggalbersihprodukDwigunaberpasanganbentuk diskrit untuk ilustrasi yang telah disebutkan sebelumnya adalah sebagai berikut : a.Jikasalahseorangtertanggungmeninggaldalammasaasuransi,makapremi tunggal bersihnya adalah Rp. 529.744,98. b.Jika kedua tertanggungmasih tetap hiduphingga berakhirnyamasa asuransi, maka premi tunggal bersihnya adalah Rp. 9.775.327,32. Dengandemikian,premitunggalbersihasuransiDwigunaberpasangan bentukdiskritadalahpenjumlahankeduapremitunggalbersihdiatasyakniRp. 10.305.071,30. PadaprodukDwigunaberpasanganbenefitdiberikantepatpadasaat salahsatudaritertanggungmeninggaldunia.Olehkarenaitu,perlumengubah asuransiDwigunaberpasanganbentukdiskritmenjadiasuransijiwaDwiguna berpasanganbentukkontinu.DenganmenggunakanasumsiUDD,makabesar premitunggalbersihuntukasuransiDwigunaberpasanganbentukkontinuRp. 10.661.469,00. Biasanya tertanggung akan berkeberatan untuk membayar premi satu kali diawaltahunsecarasekaligus,olehkarenaituperludihitungbesarnyapremi tahunansehinggatertanggungmenjadilebihringandalampembayaranpreminya tetapi tetap akan mendapatkan benefit yang sama. 3.2. Premi Tahunan 23 Besar anuitas berpasangan bentuk diskrit due adalah sebagai berikut: ( ) ( ) ( )930,2530,25:1000 1 90 30,25 1 30,25 9 30,25...1 0, 9313 0, 8673 ... 0, 52547, 4081kkka v pv p v p v p=== + + += + + + += Besarnya premi tahunan adalah sebagai berikut: ( )30,25:1030,25:1030,25:2510.661.4697,40811.439.162, 525AP Aa=== Dengandemikian,UPsebesarRp.20.000.000,00diperolehapabila pemegangpolismembayarpremitanpabiayasebesarRp.10.661.469,00yang dibayarkan sekaligus di awal kontrak asuransi atau sebesar Rp.1.439.163,00 yang pembayarannya dilakukan10 kali secara kontinu di awal tahun. 3.3. Cadangan Dalamperhitungancadanganterlebihdahuluakandihitungbesar cadanganIllinoisselamatigatahunpertamasebagaiakibatbiayayang dikeluarkanolehperusahaanuntukmembayarkomisiagen.Kemudianuntuk tahunselanjutnyaperhitungancadanganakanmenggunakancadanganpremi bersihtahunankarenasudahtidakadalagibiayayangdikeluarkanperusahaan untuk membayar komisi agen. Totalbiayayangdikeluarkanperusahaanuntukmembayarkomisiagen selama tiga tahun pertama pembayaran premi adalah: Tabel 3.1 Komisi Agen Produk Dwiguna Berpasangan TahunBesarnya KomisiAgen per tahun (Rp.) 1359.791 267.015 331.205 Total458.011 Besarpremibersihtanpabiayadanpremibersihdenganbiayaselama tigatahunpertamamasaasuransiyangdibayarkandiawaltahundapatdilihat pada tabel di bawah ini : Tabel 3.2 Premi Bersih Tahunan Produk Dwiguna BerpasanganSelama Tiga Tahun Pertama Masa Asuransi 24 Tahun ke- Premi Bersih Tahunan Tanpa Biaya (Rp.) Premi Bersih Tahunan dengan Biaya (Rp.) 0 1.439.163 1.072.260 1 1.530.272 2 Berdasarkan tabel 3.2 di atas diketahui bahwa besar premi bersih tahunan denganbiayatahunpertamaadalahRp.1.070.821.Sedangkanbesarpremibersih tahunandenganbiayatahunkeduadanketigaadalahRp.1.531.017.Besarpremi bersih tahun pertama lebih kecil dari premi bersih tahun kedua dan ketiga, hal ini dikarenakanpadatahunpertamadiperlukanbiayabesaruntukmembayarkomisi agen,sedangkanbiayayangdikeluarkanolehperusahaanasuransiuntuktahun selanjutnya adalah lebih kecil. Sedangkan premi bersih tahunan tanpa biaya lebih besar dari premi bersih tahunan dengan biaya untuk tahun pertama dan lebih kecil dari besar pemi bersih tahunan dengan biaya untuk tahun kedua dan ketiga. Berdasarkantabel3.3dapatdilihatbahwabesarcadanganIllinoisuntuk tahunke-0bernilainegatif,halinidikarenakanperusahaanasuransibelum menerima pembayaran premi tahunan dari sepasang tertanggung tetapi perusahaan asuransi tersebut harus mengeluarkan biaya untuk membayar komisi kepada agen yangtelahberhasilmenjualprodukasuransi.SedangkanbesarcadanganIllinois untukakhirtahunke-1danke-2masingmasingadalahRp.1.296.738,-dan Rp.2.962.935,-. Besarcadanganuntukh=3danseterusnyasampaidenganakhirmasa asuransiyakni10tahundapatdihitungdenganmenggunakancadanganpremi bersih tahunan. Cadangan premi bersih tahunan merupakan perhitungan cadangan tanpa melibatkan faktor biaya. Dengan demikian besar cadangan produk Dwiguna berpasanganuntukmasaasuransi10tahundenganbiayatigatahunpertama adalah sebagai berikut: Tabel 3.3 Besar Cadangan Premi Asuransi padaProduk Dwiguna Berpasangan berdasarkan premi bersih dan premi kotorTahun ke-h Cadangan premi bersih (Rp.) Cadangan premi kotor melalui metode Illinois (Rp.) 00-254.981 11.472.6971.296.738 23.054.0442.962.935 34.752.1834.752.183 46.574.0316.574.031 58.529.2468.529.246 610.628.42210.628.422 712.881.36912.881.369 815.300.81615.300.816 917.899.05317.899.053 1020.000.00020.000.000 Berdasarkantabel3.3diatasdiketahuibahwabesarcadangan disesuaikanuntukakhirtahunke-0,1,2akanlebihkecildaricadanganpremi tahunan,halinidikarenakanpadaperhitungancadanganIllinoisterdapatfaktor 25 pengurangyaitubiaya,sedangkanpadaperhitungancadanganpremibersih tahunantidakmemasukkanfaktorbiaya.Padatahunke-3sampaidenganakhir masaasuransitidakadabiayayangdikeluarkanolehperusahaan,sehinggabesar cadangan untuk tahun ke-3 sampai dengan akhir masa asuransi akan sama dengan cadanganpremitahunanpadatahunyangsama.Akhirtahunke10,besar cadanganpremitahunanyangharusdimilikiperusahaanasuransiadalahsebesar uangpertanggunganyaitusebesarRp.20.000.000.Uangtersebutkemudianakan diberikankepadasepasangtertanggungapabilakeduanyamasihtetaphidup sampai akhir masa asuransi, dalam hal ini adalah 10 tahun. 4.KESIMPULAN 1.PenentuanbesarnyacadangandisesuaikandenganmetodeIllinois,akan menghasilkanbesarancadanganyanglebihkecildibandingkandengan besarnyacadanganpremitahunan.Cadanganpremitahunanmerupakan kondisiidealyangdimilikiperusahaan.Tetapiperusahaanasuransiharus mengeluarkanbiayauntukmembayarkomisiagen.DanBiayatersebut dibebankanolehperusahaanasuransikepadatertanggung.Sehinggabesar biaya tersebut akan mengurangi besar cadangan yang dimiliki oleh perusahaan asuransi. 2.Besarpremibersihtahunantanpabiayalebihbesardaribesarpremibersih tahunandenganbiayauntuktahunpertamadanlebihkecildaribesarpremi bersihtahunandenganbiayauntuktahunkeduadanketigaataudapat dinyatakan dalam hubungan berikut ini: 30,25:10( )I IP A o | < 3,84menjadi acuan untuk membuang variable indicator (Vermunt & Magidson, 2005). MembuangvariableindicatordenganjalanmemperhatikannilaiBVR yang paling besar dan > 3,84. Selain itu juga memperhatikan nilai-nilai BVR yang besaryangberkaitan denganvariableindicator tersebut ke arahbaris dan kolom. Berdasarkanprosesyangdilakukanberulangkali,makavariableindicatoryang dibuang adalah : Ketinggian dan Tingkat Penggunaan Tanah (PTNH). 3.2. Taksiran dan Kecocokan Model LC Cluster Lahan Usaha Bahan Galian Industri Setelahduavariabelindikatordibuang,untukdatatersebutdidapathasil pengelompokanpada Tabel 3.7 berikut ini. Tabel 3.7. Model Latent Class Cluster Lahan Usaha Tambang Bahan Galian Industri (6variabel indicator masing-masing terdiri dari dua kategori) LLBIC(LL)Npar Ldf p-val ueCl ass.Er r or . M odel 11Cl ust er -258.4601543.1368671.9833570.0870 M odel 22-Cl ust er -247.5043551.81151350.0718500.470.1498 M odel 33-Cl ust er -242.9181573.22522040.8993430.560.1937 M odel 44-Cl ust er -238.9081595.79122732.8792360.620.1221 M odel 55-Cl ust er -233.9499616.46113422.963290.780.0803 M odel 66-Cl ust er -231.2495641.64634117.562220.730.0661 M odel 77-Cl ust er -229.1597668.05284813.3824150.570.1392 M odel 88-Cl ust er -226.5615693.4427558.186180.420.095 Sepertitelahdijelaskanpadabagiansebelumnyabahwadalammemilih modelyangcocokadalahdenganmemperhatikannilaistatisticL2 dannilaip-valuenya.NilaiL2 memperlihatkanjumlahasosiasidiantaravariabelyangtidak diterangkansetelahmenaksirmodel,sehingganilaiyanglebihrendah menunjukkanmodelyangmakincocokkepadadata.Berdasarkanhalinimodel yang dipilih adalah 2 cluster. Model ini masih sulit untuk diinterpretasikan dalam hallabelisasiclusteryangterbentuk.Bagaimanajikaperhatiandiarahkankepada nilaiBIC ? Padaumumnyauntukdatadenganvariableindicatorminimal10 indikator,ukuranyangdigunakanadalahAICdanBIC,tetapidalamprakteknya untukvariableindikatoryangjumlahnyakurangdari10punmempergunakan criteria iniketika ukuran statistik L2 masih diragukan untuk dipergunakan. 34 Kriteria untukmenentukanbanyaknya kluster denganmelihat kolom p-valueyangdistribusi ChiKuadrat . Biasanyamodel dimana p- valuelebihbesar dari 0,05 disebut cocok dengan data dan apabila dari beberapa model yang cocok tadimempunyaijumlahparameter(N-par)palingsedikit,makamodeltersebut dikatakansebagaimodelparsimony,danmodelsepertiiniyangakanterpilih. UntukituperhatikankembaliTabel3.7diatas.Modelyangcocokdengandata adalahmodel dengan 2 cluster. Selanjutnya perhatikan banyaknya parameter (N-par)untukmasing-masingmodel..Kriterianyaadalahpilihlahmodelyangcocok dengan data sertamempunyai N-par paling sedikit. Dengan demikianmodelyang cocok dan parsimony adalah model 2 Cluster. 3.4Deskripsi Lahan Usaha Tambang LahanusahatambangbahangalianindustrydenganIndikatortertentu kemungkinan ada dalam kelas mana, dapat dilihat pada Tabel 3.9. Tabel3.9.BesarkelasdanIndikator-IndikatoryangDiperlihatkanLahanUsaha Tambang DariTabel3.9nampakbahwaseandainyaindicatornilaibahangalian (BHNG)sebagaifactorpenentusuatulahanusahatambangmasukpadasuatu klaster, maka kemungkinanbesar (93%) suatu lahan usaha tambangbahan galian industry yang bernilai tinggi akan masuk pada klaster 1, dan suatulahan tambang bahan galian industry yang bernilai rendah kemungkinan besar (51%) akan masuk padaklaster2.Sedangkanuntukvariableindicatorlainnya,sepertiVolume, Kedalaman dan lainnya dapat dilihat secara lengkap pada Tabel 3.9 3.5 Deskripsi Kelas (Cluster) Cluster1Cluster2 1. Overall0.59220.4078 2. Indicators BHNG Rendah0.50660.4934 Tinggi0.930.07 VOLUME Rendah0.64570.3543 Tinggi0.32120.6788 KEDALAMAN Sulit Ditambang0.69170.3083 Mudah Ditambang0.50470.4953 KEMIIRINGAN Tidak Aman0.86210.1379 Aman0.27080.7292 BENC Rawan Bencana0.65260.3474 Tidak Rawan Bencana0.21980.7802 JARAK Jauh0.72340.2766 Dekat0.14890.8511 35 DalamTabel3.10diperlihatkanbesarkelasdanlahanusahatambang sepertiapadalamtiapkelasnya.Ukuranmasing-masingkelasNampakhamper berimbang,kuranglebih59%lahanusahatambangadapadacluster-1dan41% lahanusahatambangadapadacluster-2.Hampirsemualahanusahatambang dalamcluster-1memilikinilaiindicator yang rendah,nilaiBHNG rendah,nilai Volume rendah, nilai Kedalaman rendah, nilai Kemiringan rendah, BENC rendah, Jarak rendah Tabel 3.10Besar Kelas dan Indikator-Indikatornya Cl ust er 1Cl ust er 2

Cl ust erSi ze0.59220.4078 KEM IRINGANCl ust er 1Cl ust er 2 Indicat or s Ti dak Aman0.78870.8106 BHM G Aman0.21131.8106 Rendah0.68370.9627 M ean1.2113 Ti nggi0.31630.0373 BENC0.7351 M ean1.31631.0373 Raw an Bencana0.94730.2649 VOLUM E Tdk Raw an Bencana0.05271.2649 Rendah0.90990.7274 M ean1.0527 Ti nggi0.09010.2726 JARAK0.5273 M ean1.09011.2726 Jauh0.94080.4727 KEDALAM AN Dekat 0.05921.4727 Sul i tDi t ambang0.54590.3557 1.0592 M udah Di t ambang0.45410.6443 M ean1.45411.6443 3.6Klasifikasi Lahan Usaha Tambang Bahan Galian Industri Padabagianiniakandiperlihatkanbagaimanaklasifikasilahanusaha tambangbahangalianindustrymenurutkelasdilakukanberdasarkankategori-kategori indikatornya, seperti terlihat pada Tabel 3.11 Dalam Tabel 3.11 dapat ditunjukkan bahwa : suatu lahan usaha tambang bahangalianindustrydengannilaibahangalian(BHNG)rendah,volume cadangan(Volume)rendah,kedalamanefektiftanah(Kedalaman)menunjukkan mudah ditambang, tingkat kemiringanyang tidakaman untuk ditambang, tingkat bencana(BENC)yangrawan,sertajarakyangjauhdengansaranajalan,ada9 lahan yang masuk ke dalam klaster-1 dengan peluang sebesar 0,95. Secara keseluruhan klasifikasi lahan usaha tambang bahan galian industry kedalamklastermana,dapatdilihatpadaTabel3.11.Adapunekspektasi kesalahanpengklasifikasiannyaadalahsebesar0,15.InidapatdilihatpadaTabel 3.7.Artinyabahwatingkatkesalahanklasifikasilahanusahatambangbahan galianindustrydiKabupatenSukabumimenuruthasildarianalisislatentclass cluster adalah 0,15 4KESIMPULAN 36 Dari hasil analisis yang telah dilakukan, maka dapat disimpulkan bahwa : 1.Pengelompokan 80 lahan usaha tambang bahan galian industry di Kabupaten Sukabumimenghasilkanmodelterbaikyaitumodel2-clusterdengan klasifikasi lahan usaha tambang yang kurang potensial dan potensial.2.Karakteristikyangdimilikiolehmasing-masingklasteradalahsebagai berikut : a.Klaster-1merupakanlahanusahatambangbahangalianindustryyang kurang potensial, karena pada umumnya mempunyai karakteristik : Nilai bahan galian rendah, volume cadangan rendah, tingkat kedalaman efektif tanah yang sulit ditambang, rawan bencana, serta jauh dari akses jalan. b.Klaster-2merupakanlahanusahatambangbahangalianindustryyang potensial , pada umumnyamempunyai karakteristik : Nilaibahan galian tinggi,volumecadangantinggi,tingkatkedalamanefektiftanahyang rendahsehinggamudahditambang,tidakrawanbencana,sertadekat denganakses jalan. Tabel 3.11. Klasifikasi Lahan Usaha Tambang Bahan Galian Industri

BHNGVOLKDALAM NKM IRINGNBENCJARAKObsFr eqM odalCl ust er 1Cl ust er 2 RendahRendahRendahM udahRaw anJauh910.94990.0501 RendahRendahRendahM udah Tdk Raw anJauh310.74530.2547 RendahRendahRendahSul i t Raw anJauh710.54270.4573 RendahRendahRendahM udahRaw anJauh1110.8970.103 RendahTi nggiRendahM udahRaw anJauh310.83370.1663 Ti nggiRendahRendahM udahRaw anJauh710.99560.0044 Ti nggiRendahRendahM udahRaw anDekat 110.94080.0592 Ti nggiRendahTi nggiM udahRaw anJauh410.99050.0095 Ti nggiRendahTi nggiSul i t Raw anJauh210.86680.1332 Ti nggiTi nggiTi nggiM udahRaw anJauh110.96490.0351 RendahRendahRendahSul i t Raw anDekat 120.07690.9231 RendahRendahRendahSul i tTdk Raw anDekat 320.01270.9873 RendahRendahTi nggiM udahRaw anDekat 220.37930.6207 RendahRendahTi nggiM udah Tdk Raw anDekat 120.08620.9138 Ti nggiTi nggiTi nggiM udah Tdk Raw anDekat 920.35270.6473 Lanjutan Tabel 3.11 RendahRendahTi nggiSul i t Raw anDekat 520.03680.9632 RendahTi nggiRendahM udahRaw anDekat 120.26030.7397 RendahTi nggiRendahSul i t Raw anJauh120.23880.7612 RendahTi nggiRendahSul i t Raw anDekat 120.02150.9785 RendahTi nggiTi nggiSul i t Raw anJauh120.12590.8741 RendahTi nggiTi nggiSul i t Raw anDekat 120.010.99 RendahTi nggiTi nggiSul i tTdk Raw anJauh320.02170.9783 RendahTi nggiTi nggiSul i tTdk Raw anDekat 120.00160.9984 Ti nggiRendahTi nggiSul i t Raw anDekat 120.31360.6864 37 5. DAFTAR PUSTAKA Hair, J. F, Rolph E. A, Ronald L. T, and William C.B, Multivariate Data Analysis, FifthEdition,PrenticeHallInternational,Inc,UpperSaddleRiver,New Jersey. Harison, Jimmie. 2004. Analisis latent Class Klaster Untuk Variabel Kontinu. Skripsi Statistika FMIPA UNPAD. Johnson, R.A, and D.W. Wichern, 1992, Applied Multivariate Statistical Analysis, Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffis, New Jersey. Kaufman,L.,andRousseeuw.P.J.,1990.Findinggroupsindata:AnIntroduction to cluster analysis.,New York; John Wiley and Sons, Incl. Punj,Girish,andDavidW.S.,1983,ClusterAnalysisinMarketingResearch: ReviewandSuggestionsforApplication,JournalofMarketingResearch, 20 (May), 134-148 Rencher, Alvin, 2002, Method of Multivariate Analysis, John Willey & Sons. Inc., Publication, Canada Sharma,Subhash,1996,AppliedMultivariateTechniques,Univ.OfSouth California, John Wiley & Sons, Inc., New York Vermunt,JeroenK,andJayMagidson(2000),Latentclassclusteranalysis, Chapter B1 in Hagenaars and Mc Cutcheon, eds,Advancesin Latent Class Models, Cambridge University Press, Related to Latent Gold Software . _____________________________________,(2002),LatentClassModelsfor clustering:AcomparisonwithK-Means,CanadianJournalofMarketing Research, 20, 37 - 44 _____________________________________,(2005TechnicalGuideforlatent GOLD 4.0:),Basic and advance , Statistical Innovation Inc 38 BOOTSTRAPPING FOR ASTRUCTURALEQUATION MODELWITHA NEARLY NON-POSITIVEDEFINITE FITTED COVARAINCE MATRIX YUSEP SUPARMAN Yusep Suparman: Statistics Department, Padjadjaran University, Bandung, Indonesia. yusep.suparman@unpad.ac.id ABSTRACT Structuralequationmodeling(SEM)hasbeenwidelyadoptedformeasuring causalrelationship.Insteadoffittingindividualobservationsasinregression analysis, SEM works in a different way by fitting a sample covariance matrix to amodelimpliedcovariancematrixandproducingafittedcovariancematrix. Oneproblememergeswhenafittedcovariancematrixisnearlynon-positive definite.Theestimatedmaximumlikelihoodstandarderrorsinthemodel becomeimplausiblylarge whichin turn jeopardize inferences. In this paper, we showthatbootstrappingcanovercomethisproblem.Wecomparestandard errorsfromtwoequivalentSEMmodels,i.e.adiscreteandacontinuoustime hedonicpriceautoregressionpanelmodel.Wefindoutthatthebootstrap standarderrorsobtainedfromthecontinuoustimemodel,whichsuffersfrom nearly non-positive definite fitted covariance matrix problem, are comparable to themaximumlikelihoodstandarderrorsobtainedfromthediscretetimemodel which is free from the problem. Key words: autoregressive panel model, bootstrap, exact discrete time model, fittedcovariancematrix,hedonicpricemodel,structural equation modeling. 1.INTRODUCTION Structuralequationmodeling(SEM)hasbeenwidelyadoptedin behavior and life sciences for examining causal relationships. One of the reasons is that SEM accommodates a wide range of statistical models, from simple linear regressionmodeltocontinuoustimemodelwithlatentvariables.Inaddition, SEMabilityinincludingmeasurementerrorsintotheanalysisovercomes methodologicalobstaclewhichcannotbehandleinastandardstatistical analysis.Furthermore, SEM allowslatent constructs to be explicitlyincludedin the model which enhance the interpretations of analysis results. Differentfromregressionanalysiswhichworksbasedonindividual data,SEMworksbasedonacovariancematrix.SEMfitsasamplecovariance matrixtoamodelimpliedcovariancematrixwhichisafunctionofparameters inthemodelandproducesafittedcovariancematrix(Jreskog,1996).Among 39 estimationmethods,themaximumlikelihoodhasbeenthemostoftenused. Nevertheless, one problem arise when a fitted covariance matrixis non-positive definiteornearlynon-positivedefinite.Intheformercondition,wecouldnot estimatethestandarderror.Inthelaterone,weobtainimplausiblylarge standard error. The two conditions jeopardize the parameter estimates inference. Thisproblememergesduetothemaximumlikelihoodstandarderrorestimates are a function of the inverse of fitted covariance matrix (Jreskog, 1973), Inthispaper,weintendtoshowthatunderanearlynon-positive definitefittedcovariancematrix,thebootstrapprocedureproducesstandard errors which can be used in the parameter estimates inference. Toachievethisgoal,wecomparethemaximumlikelihoodstandard errorsobtainedfromadiscretetimehedonicpricemodel(Suparmanet.al., 2008)tothebootstrapstandarderrorfromanequivalentcontinuoustime hedonicpricemodelwhosefittedcovariancematrixisnearlynon-positive definite.ThespecificationsofthediscretetimemodelarefollowingSuparman etal.(2008).Thecontinuoustimemodelspecificationsareadoptedfromthe exact discrete time structural equation model (EDM-SEM) proposed by Oud & Jansen (2000). The continuous time specifications applied to the discrete timehedonic modelresultsinanearlynon-positivedefinitefittedcovariancematrix.This conditionindicatedbyaverysmallvalueofthematrixdeterminant,i.e. 510 51 . 2 .Consequently,weobtainverylargemaximumlikelihoodstandard error estimates. While the values of the parameter estimate are slightly different fromthediscretetimeparameterestimates,thestandarderrorestimatesare much larger than the discrete time ones.Accordingly,weestimatedthecontinuoustimestandarderrors following a bootstrap procedure (Efron and Tibshirani, 1993). We generated two thousandbootstrapsamplesof1315size.Fromthebootstrapprocedurewe obtainmuchlowerstandarderrorestimatesthantheonesobtainedfromthe maximumlikelihoodprocedure.Incomparisontothediscretetimestandard errorestimates,althoughthevaluesaregenerallylarger,thedifferencesare minor.Next,weorganizethepaperasthefollowing.WediscusstheSEM modelandthebootstrapprocedureinsection2and3respectively.Section4 describes a case study. Section 5 concludes. 2. STRUCTURAL EQUATION MODEL Thestructuralequationmodeling(SEM)isaprocedureforshowing whether the causalassumptionsembeddedin amodelmatch a sample of data. A SEMallowstodealingwithlatentandobservedcontinuousvariables simultaneously.For that purpose a SEM made up of a structural equationmodel, (1), and two measurement models, (2) and (3). + + + = ,(1) y + + =y y,(2) x + + =x x,(3) 40 where, ,y ,andx arevectorsoflatentendogenous,latentexogenous, variables observed endogenous, and observedexogenous respectively. , , and arevectorsoferrorterms. , y ,and x arevectorsofconstantintercept terms.ParametersinaSEMaredefinedintwostructuralparametermatrices ( ) , ,twomeasurementparametermatrices( )x y , ,fourcovariancematrices ( ) ( ) ( ) ( ) ( )o c = = = = cov , cov , cov , cov ,threevectorsofconstant intercept terms( )x y , , , and one mean vector of latent exogenous variables( ) . FurtherstandardSEMspecificationsmaybereferredtoJreskog&Srbom (1996).ThemostwidelyusedestimationmethodforSEMparametersisthe maximumlikelihoodprocedure.Underthemaximumlikelihoodprocedure,we minimize the fit function( )( ) ( ) ( ) q p F + ' + + = S z z S log tr log1 1, where( )||.|

\|+ ' ' ' '+ ' ' + '= x x y xx y y y A A A A with( )1 = B I A , ( )'=x y ,with( ) A + + =y y y and x x x+ = ,S is a sample covariance matrix, z is a sample mean vector, p is the number of observed endogenous variables, and q is the number of observed exogenous variables. Generally,weassumethat andSarepositive-definitewhichmeansthatthey are nonsingular. In addition, we assume thatyandx haveamultivariate normal distribution.Themaximumlikelihoodprocedureprovidesanasymptoticvariance-covariance matrix of the estimates as the inverse of the information matrix, i.e. the expected second derivative of themaximumlikelihood fitfunctionmultipliedby thenumberofobservationsminusone.Jreskog(1976)showsthatthesecond derivativeoftheloglikelihoodfunctionisamatrixlinearlydependingonthe inverse of the fitted covariance matrix. Since an inverse matrix is a function of the matrixdeterminant,thesecondderivativeisalsoafunctionofthedeterminant. This condition also applies to the standard errors, which are in the main diagonal of the variance-covariance matrix of the estimates.Accordingly,arelativelylargevalueoffittedcovariancematrix determinant results in a relatively small standard error estimates. And a relatively small one results in relatively large standard error estimates. A special case of this conditioncanbefoundintheregressionanalysisinwhichthelatterconditionis calledamulticollinearityproblemduetothehighlycorrelatedindependent variables.InSEM,generallytheproblemmayalsobecausedbymodel specifications as we show it in section four. Toovercometheproblemofimplausiblylargestandarderrorduetoa small value fitted covariance matrix or we may call it nearly non-positive-definite fittedcovariancematrix,weadoptabootstrapprocedureforobtainingstandard error estimates. 41

3. BOOTSTRAP PROCEDURE In overcoming the multicollinearity problem, researchers often search for highlymulticollinearindependentvariablesanddroporreplaceoneofthe variables.Alternatively,onesmaygetadditionaldataifthesamplesizeis consideredtobesmall.Basically,theyformanewdatasettobeappliedtothe model or re-specify the model. We may take this idea and apply it for the case of nearlynon-positivedefinitefittedcovariancematrixinSEM.Wecancollect additionaldata.Butifthesamplesizeisalreadylarge,theeffectwillbeminor. Wecanre-specifythemodelbutwemayresultsinatheoreticallyinconsistent model. Hence, we should find another way which will not end in these problems.EffronandTibshirani(1993)presentanalternativeprocedurefor estimatingastandarderrorandtestingahypothesisbasedonempirical distributionbyemployingthefrequentistsideaofrepeatedsampling,called bootstrap procedure. By means of the bootstrap, the SEM standard error estimates will not be a function of the determinant of fitted covariance matrix. Instead, they will be calculated as the standard deviation of their respective parameter estimates fromeachbootstrapsample.Thefollowingsarethestepsinobtainingstandard error estimates. 1.FormB independent samples, B * 2 * 1 *, , , Z Z Z , with size ofn by a random sampling with replacement from thenobservation units. 2.Evaluate the bootstrap replication corresponding to each bootstrap sample, ( ) ( ) B b s b b, , 2 , 1* * = = Z . 3.EstimatethestandarderrorsbythesamplestandarddeviationoftheBreplications ( ) ( ) | | ( )2 112* *1 )` = =B b seBbBu u , where( ) ( ) B bBb== 1* * u u . We use the procedure for estimating the standard error of the parameter estimates in the SEM with nearly non-positive definite fitted covariance matrix in section 4.

4. CASE STUDY Toillustratetheuseofthebootstrapforestimatingstandarderrorsof SEMestimatesundernearlynon-positivedefinitefittedcovariancematrix,we compare two equivalent SEM models. The first model is the discrete time hedonic price autoregressive panel model proposed by Suparman et al. (2008). The model isintendedfor estimating themarginal price ofhouse characteristics, particularly pipedwaterservice.Theautoregressiveformisformulatedforhandlingomitted variablebiasin ahedonic pricemodel. The secondmodelis the continuous time versionofthefirstmodel.Toformthesecondmodelweintegratetheexact discretetime(EDM)-SEM(Oud&Jansen,2000)specificationintothefirst model.42 Thereisonlyonedirectlyobservedvariableinthemodel,i.e.monthly houserent.Thisimpliesanidentityrelationshipbetweenthelatentandthe observed rent variable:9 7y = q . The dependent variables included in the model are thelatentvariablehouseholdcharacteristics(1q )measuredbytwoobservables, viz.householdsize(1y )andhouseholdmonthlyexpenditure(2y );thelatent variable house size (2q ) measured by the observables floor area (3y ) and number ofrooms(4y ).Theotherlatentexplanatoryvariablesareidenticaltotheir indicators.Specifically,houseconditionindex(5 3y = q ),inhousetapwater(6 4y = q ),presenceofwellwater(7 5y = q ),andfinally,theneighborhood characteristics median household monthly expenditure: (8 6y = q ). Thedatausedisathree-waveIndonesianFamilyLifeSurvey(IFLS) panel dataset which is split into a rural and an urban dataset. The first, second and third wave were done in 1993, 1997, and 2000 respectively. Here, we use only the rural dataset which consists of 1315 unit observations.Now we turn to the discrete time model specifications. For our study, we focus only on the structural model. The specifications of the measurement models canbereferredtoSuparman(2008).Thestructuralmodelofthehedonicprice autoregressive panel model proposed by Suparman (2008) is formulated as1 1 1 1771610 7 + + + = = =i i i i i i itjjt jtjjt jt t t, q q | | qfor2 , 1 = i .(4) with6 , , 2 , 1 ;1 1 7 = = jjt t jt| , (the constraint of omitted variable bias correction). Moreover, they assume an economic constraint of equal preference which is translated into the constraint of2 10611 . 1jt jt| | = .The specifications of the continuous timemodel are based on the EDM-SEM specifications.An EDMis a continuous timemodelbased on discrete time observations. One of the reasons for adopting continuous time modeling is that it is considered to bemore realistic than a discrete timemodeland can solvemany problemsindiscretetimemodeling(Bergstrom,1988;Gandolfo,1993;Oud, 2002).OudandJansen(2000)integratedtheEDMintotheSEMresultsina continuoustimemodelingwhichallowsfortheinclusionoflatentconcept variables.WeapplytheirEDM-SEMspecificationinto(4),particularlythe dynamic part of the equation. TheEDM-SEMspecificationsappliedto(4)areformulatedasthe following constrains: 117A=titteo , ( )t o | 11710 =i it t, ( ) ( ) o , 127271 1 = i it tVar , witho , t , andare continuous time parameters. They are the EDM drift, mean trajectory and error variance parameter respectively.Furthermore,toaccountforthe1997economiccrisisthathitIndonesia justafterthesecondwavedatacollectionwasfinished,Suparmanetal.(2008) specifiedtheinterceptsin(4)tobedifferentfor 1t and 2t ,withoutanyfurther 43 constraints.Hereweassumethat thecrisisoccurredrightafter 1t ,say *1t .Hence for2 = i ,wereplace 1t in(4)by *1t .Wefurthermoreassumethatthecrisis,on average,reducedthehouseholdincomebytheproportionme ofthe 1t level. Giventheconstantpreferenceassumption,theincomedecreaseduetothecrisis implies that the1jt| sare reduced by the same proportion. Hence, at *1t and at 1t , the coefficients are related as follows: 1*1jt mjt| e | = for6 , , 2 , 1 = j .(5) The other crisis effects, which cannot be explained by the variables in the model, are aggregated ina parameterae . Wemayinterpret aeas the crisisshock to the mean of monthly rent. Thus, at *1t , the intercept is a tte | | + =1*100.(6) We also apply the multiplicative effect to the error terms which gives: 1*177t mt, e , =with( ) ( )1*1727var vart mt, e , = .(7) Accommodatingthe1997economiccrisiseffectbysubstituting(5)-(7)into(4) we obtain for2 = i , *11*12 2*12 7716107tjjtjtjjt jttt, q q | | q + + + = = =(8) Wepresentthemaximumlikelihoodmarginalpriceestimatesforthe discretetimeandcontinuoustimemodelproducedbyMxprogram(Neal,etal. 2003) in table 1. The entries of the first raw for each parameter are the estimates. Generally,thedifferentbetweenthecontinuoustimeestimatesandtheir respectivediscretetimeareminorexceptforthewellwater.However,ifwe comparethemaximumlikelihoodstandarderrors,inthesecondrawofeach parameter,wewillfindthattheyarehighlydifferent.Thecontinuoustime standarderrorsarealmosttentimeshigherthanthediscretetimeones.The estimates are highlyinconsistent. After calculating the determinant of continuous timefittedcovariancematrix,obtainavalueof 510 51 . 2 whichisverysmall, we conclude that the inconsistency occurs dueto the nearly non-positive definite fitted covariance matrix. Toovercomethisproblem,weconductedbootstrapprocedurefor estimating standard errors. We generated two thousand bootstrap samples ( B ) of 1315size( n ).Foreachbootstrapsampleweestimatetheparametersinthe continuous time model by means of the maximum likelihood procedure. Next, for eachoftheparameterwecalculatethestandarddeviationofitsestimates.We presenttheestimatesinthethirdrawofeachvariable.Mostofthebootstrap standarderrorestimatesarehigherthantheirrespectivemaximumlikelihood standarderrorestimates,exceptforhouseholdcharacteristics.Nevertheless,the different are minor. The bootstrap standard error estimates in the continuous time modelareconsistenttotheirrespectivemaximumlikelihoodstandarderror estimates in the discrete time model. Table 1. Marginal Price Estimates Variable / ParameterStandard Discrete Time ApproachEDM-SEM 44 Wave 1Wave 2Wave 1Wave 2 Household characteristics (1q ) 0.05420.05110.05610.0529 (0.0136)(0.0128)(1.2980)(1.2221) [0.0106][0.0100] house size (2q ) 0.04440.04190.06750.0636 (0.0154)(0.0145(1.3398)(1.2615) [0.0236][0.0222] House conditions index (3q ) 0.14080.13270.11040.1041 (0.0264)(0.0247)(0.9579)(0.9019) [0.0354][0.0334] Presence of in house tap water (4q ) 0.15400.14510.11780.1110 (0.0898)(0.0846)(0.6249)(0.5884) [0.1069][0.1008] Presence of well water (5q ) 0.01020.00960.00470.0044 (0.0614)(0.0578)(0.6131)(0.5773) [0.0713][0.0671] Neighborhoodcharacteristics (6q ) 0.08980.08470.14010.1320 (0.0264)(0.0264)(0.9115)(0.8582) [0.0415][0.0391] 5. CONCLUDING REMARKS Inthispaperweusebootstrapprocedureforestimatingstandard errorsofSEMparameterestimateswithanearlynon-positivedefinitefitted covariancematrixindicatedbyaverysmalldeterminant.Underthis condition,themaximumlikelihoodstandarderrorestimatesbecome implausiblylarge.Thebootstrapprocedurecanovercomethisproblem.Its estimatesareconsistenttothemaximumlikelihoodstandarderrorestimates fromanequivalentmodel.Thiscomparisonlendssupporttotheuseof bootstrapprocedureforestimatingstandarderror ofSEMwithanearlynon-positive definite fitted covariance matrix. 6. REFERENCES Bergstrom,A.R.(1988).Thehistoryofcontinuous-timeeconometricmodels. Econometric theory, 4, 365-383 Efron,B.&Tibshirani,R.J.(1993).Anintroductiontothebootstrap(pp.224-227). London: Chapman and Hall. Gondolfo,G.(1993).Continuous-timeeconometricshascomeofage.InG. Gondolfo(ed.),Continuoustimeeconometrics(pp.1-11).London: Chapman Hall Jreskog,K.(1973).AGeneralMethodforEstimatingaLinearStructural EquationSystem.InA.S.Goldberger&O.D.Duncan(eds.),Structural EquationModelintheSocialSciences(pp.85-112).London:Seminar Press. Jreskog,K.andSrbom,D.(1996).LISREL8:UsersReferenceGuide. 45 Chicago: Scientific Software International. Neale,M.C.,Boker,S.M.,Xie,G.,&Maes,H.H.(2003)Mx:Statistical Modeling (6th ed.). Richmond: Department of Psychiatry. Oud,J.H.L & Jansen, R.A.R.G. (2000). Continuous Time State Space Modeling of Panel Data by Means of SEM. Psychometrika, 65, 199-215. Oud,J.H.L.(2002).ContinuousTimeModelingoftheCross-LaggedPanel Design. Kwantitatieve Methoden, 69, 1-26 Suparman,Y.,Folmer,H.,Oud,J.H.L.,&Resosudarmo,B.P.(2008).Eliciting the Willingness to Pay for Piped Water from Self-Reported Rent Appraisals in Indonesia: A SEM Autoregressive Panel Approach. A paper presented at 16th Annual Conference of the European Association of Environmental and Resource Economist. Gothenburg University, Sweden 46 Analisis Korespondensi Multipel (Multiple Correpondence Analysis (MCA)) untuk Skala Pengukuran Data yang Berbeda(Kualitatif dan Kuantitatif) Rahmat Hendrawan Staff Seksi Data dan Informasi PPPPTK Pertanian Cianjur rahmathendrawan@ymail.com ABSTRACT MultipleCorrepondenceAnalysis(MCA)isamethoddesignedtoreducethe dimension, it presents each category of variables together in a small dimensional vectorspaceoptimally.MCAisanextensionCorrespondenceAnalysis(CA) which is used to analyze the pattern of relationship of some categorical variables. Technique of multiple correspondence analysis obtained by using the standard of CorrespondenceAnalysisthefirst,MCAchangerawdataintoindicatormartix, namelythematrixwithelements0and1(HerveandDomonique,2007).Burt Matrixisasymmetricmatrixformedfrommultiplicationofindicatormatrix (YangchunandKernII,2003).Howeverdeterminationofcoordinatesin correspondenceanalysisusingGeneralizedSingularValuedecomposition (GSVD)oftheresidualmatrix.ThethesiswillapplyMultipleCorrespondence AnalysisonthedataofVocationalSchool(SMK)onAgriculture,Marineand ChemicalIndustriesProgrameinwhichtheresultsoftheanalysiswillperform plots and similarities from several categories of variables that are owned by SMK as respondents. Keywords:CorrepondenceAnalysis(CA),MultipleCorrepondenceAnalysis (MCA),GeneralizedSingularValueDecomposition(GSVD),Burt Matrix 1.PENDAHULUAN PusatPengembangandanPemberdayaanPendidikdanTenaga Kependidikan(PPPPTK)PertanianCianjursebagailembagapengembangandan pemberdayaan pendidik dan tenaga kependidikan(PTK) dalammelaksanakan tugas pokokdanfungsinyaPPPPTKPertanianharusmemberikanpelayananyangupto date dan mampu memberikan solusi terhadap permasalahan yang dihadapi pendidik dantenagakependidikandalammelaksanakanupayapeningkatanmutudan pemerataanpendidikan,khususnyaSekolahMenengahKejuruan(SMK)Pertanian, Kelautan dan Kimia Industri. Sehubungandenganhaldiatas,PPPPTKPertanianakanmerumuskandan menentukkansuatukebijakan,dimanasalahsatukebijakanyangdiambiladalah berdasarkandata(kondisirealpotensiatausumberdayaSMK)denganpendekatan suatu metode statistik,agar kebijakan yang diambil menjadi objektif. Variabel yang satudilihatkorelasinyadenganvariabelyanglain.misalnya:variabelkemudahan 47 aksesSMKdihubungkanbanyaknyaprogramstudi;jumlahpendidikdihubungkan denganbanyaknyapendidikyangmengikutipengembanganataupelatihanprofesi. DenganmelihathubungandarikategoriSMKmakaakandiambilsuatukebijakan, misalnyaapakahperluadanyaperhatiankhususpadakategoritertentudariSMK agarlebihbanyakpendidiknyayangmengikutipengembanganataupelatihan profesi. Prosesanalisisdatadenganmenghubungkanduavariabelbelumdapat memuaskankarenabesarkemungkinanakankehilanganinformasipentingyang terkandungdidalamkorelasiantarvariabelsehinggaakanmemperolehkesimpulan yangkurangtepat,untukitudatamengenaiketerkaitanataukorelasiantarvariabel tentangkondisiSMKiniingindilihatsecarabersamaanyangmelibatkansemua variabel dalam satu analisis dan upaya ini merupakan perluasan dari analisis korelasi dua variabel yang sudah dilaksanakan sebelumnya.Salahsatumetodestatistikyangdapatdipergunakanuntukmendapatkan informasiyangdibutuhkandiatasadalahpemetaanpersepsi(perceptualmapping). Metodepemetaanpersepsidapatmenghasilkanplotyangmenampilkanposisi kondisirealpotensi/sumberdayaSMKtertentu.Metodeinijugabiasanya dibutuhkanuntukmereduksidanmemberikanpenjelasantentanghubunganantara duavariabeldidalamdatayangberbentukmatriksberdimensibesar.Pemetaan presepsi biasanya dilakukan melalui beberapa analisis statistik, dan analisis tersebut kebanyakanmemilikiasumsidiantaranyaialahjenisdataharusdenganskala pengukurankuantitatif,hubunganantarvariabelharuslinier,menggunakanasumsi tentang distribusi dan model harus dihipotesiskan.Padaprakteknyaasumsi-asumsitersebutsulitterpenuhi,untukmencapai asumsi tersebut dibutuhkan biaya yang lebih besar dan menyita lebih banyak waktu. Padakenyataannyadatayangseringditemukanadalahdatayangberbentuktabel kontingensiyangvariabel-variabelnyakualitatif,denganhubunganantarvariabel non-linier, tidak ada asumsi tentang distribusi dan model tidak dihipotesiskan. SkalapengukurandatakondisiSMKberupadatamix(campuran),yaitu datakategoridanmetrik.(datakualitatifdankuantitatif).Datakategorimisalnya SMK dibedakan antarayangmudah diakses dan sulit diakses, SMKlama danbaru, SMKunggulandannonunggulan,danseterusnya.Sedangkandatakuantitatif menyatakanjumlahpotensiatausumberdayayangadadiSMKmisalnyajumlah pendidik,jumlahprogramstudi,jumlahpendidikyangmengikutipengembangan dan pelatihan profesi, dan seterusnya.Strukturdata kondisi SMK Pertanian,Kelautan danKimia Industri di atasmemerlukananalisiskorespondensiyangmelibatkanlebihdariduavariabelyang merupakanperluasandarianalisiskorespondensisederhana(Correspondence Analysis(CA))yangdirancanguntukmenganalisispolaketerkaitanduaataulebih variabel. Identifikasimasalahyangakanditelitiyaitumengenaianalisis korespondensi untuk data dengan variabel yang lebih dari dua dan skala pengukuran data yangberbedayaitukualitatif dan kuantitatif. Tujuan dari penelitianini adalah untuk mengetahuianalisis korespondensi untuk data dengan variabel yang lebih dari duayaituanalisiskorespondensimultipel(MultipleCorrespondenceAnalysis (MCA))danpenyelesaiannyauntukskalapengukurandatayangberbeda(kualitatif dan kuantitatif). 48 Manfaatyangdihasilkan,melaluianalisiskorespondensimultipeluntuk skalapengukurandatayangberbeda(kualitatifdankuantitatif)diharapkanakan memberikan informasi yang tepat tentang keterkaitan beberapa kategori dari variabel secarakeseluruhansecarabersamaandenganobjektifdantidakdilihatsecara parsial,danpadaakhirnyadiharapkanakanmemenuhikebutuhaninformasiyang digunakan untuk berbagai keperluan dan pengambilan kebijakan 2. Analisis Korespondensi Multipel (Multiple Correspondence Analysis (MCA)) AnalisisKorespondensiMultipeldanAnalisisKorespondensiBersama merupakanperluasantabulasisilangtunggaldariAnalisisKoresponedensi Sederhana untuk dua atau lebih variabel kategori (Nenadic dan Greenacre, 2007).AnalisisKorespondensiMultipelmerupakanperluasandariAnalisis KoresponedensiSederhanauntuklebihdariduavariabel(YangchundanKernII, 2003).Analisis Korespondensi Multipel (MCA) merupakan perluasan dari Analisis Korespondensi Sederhana (CA)yang digunakan untukmenganalisis polahubungan beberapa variabel kategori yang dependen (Herve dan Domonique, 2007). Analisiskorespondensimultipeladalahametodeyangmemvisualisasikan gabungandariduaataulebihvariabelkategoridengantidakmengurangianalisis korespondensiduavariabel.Teknikanalisiskorespondensimultipeldiperoleh dengan menggunakan standar analisis korespondensi dengan mengubah data mentah kedalammatiksindikator,yaknimatriksdenganelemen0dan1(Hervedan Domonique, 2007). Matriksdatadalamanalisiskorespondensimultipeldiperolehdengan membentukdanmenyajikandatamentah(rawdata)kedalammatriksindikator (Greenacre, 2005) ZI ]= [ Z1I ]1Z2I ]2 ZI ]] Analisiskorespondensimultipelpadaawalnyamenggunakantabeldata mentahataurawdatayaitutabelyangbarisnyaadalahrespondenataucasedan kolomnyaadalahvariabel.Kategori-kategoridarivariabeldituliskanlangsungpada sel-sel tabel.Tabelindikatormerupakanpengembangandaritabeldatamentahyang merubah data kategorik menjadi data numerik. Tabel indikator dapat dibentuk dalam suatu matriks yang disebut matriks indikator (Greenacre, 2005;Rencher, 2002). Matriksindikatormerupakanmatriksyangmenunjukkanpresensidari kategoritiap-tiaprespondenataucase.Elemendarimatriksindikatormerupakan elemenbineryaknibernilai0dan1,dengan0untukmenyatakanabsentdan1 menyatakan present. Matriksindikator biasanya dinotasikan dengan Z berorde I [ dengan I adalah total responden (case) dan J adalah total kategori. MatriksindikatordenganQvariabeldinyatakandalambentukpartisi matriks sebagai berikut : Z = [ Z1Z2 ZQ]masing-masing partisi matriks Zq, untuk q = 1, 2, , mempunyai orde I [q dengan [q: jumlah kategori pada masing-masing variabel. 49 Secara umum massa kolom dari matriks indikator didefinisikan sebagai: cZ=1QIZT1I 1 MatriksBurtmerupakanmatrikssimetrikyangterbentukdariperkalian matriks indikator ZtZ. (Yangchun dan Kern II, 2003) Bentuk umum dari matriks Burt adalah : B = ZTZ =Z1TZ1Z1TZ2 Z1TZQZ2TZ1Z2TZ2 Z2TZQ ZQTZ1ZQTZ2 ZQTZQ Karena matriks Burt simetrik maka hanya perlu dihitung massa kolom ( cB)dan massa kolom pada matriks indikator ( cZ)bernilai sama. didefinisikan dengan : cB=12IB1] 1 2I adalah grand total dari matriks Burt Koordinat dan Pemetaan Profil Kolom. GSVD (Generalized Singular Value Decomposition)dariMatriksresidualBurtmerupakanmatrikssimetriksehingga akanmemenuhieigenvaluesdecomposition.UntukmenentukanGSVDdari T wwT adalah dengan menentukan matriks standardized residual O O = Dw-12,( T wwT) Dw-12, SingularValueDecompositionbiasadariO = FDyFTdengaFTF = ImisalkanM= Dw12,F dan D2= Dydiidapat GSVDT wwT= MD2MT denganMTDw-1M = I Nilaieigenatauinersiautamapadaanalisiskorespondensimultipel dibedakan menjadi dua, yaitu inersia utama matriks indikator ( zZ)dan matriks Burt ( zB) . Nilai zZ merupakan nilai eigen hasil dari SVD xdengan z1Z z2Z zKZ> 0denganKadalahbanyaknyavariabelkategori.NilaizBadalahkuadratdari zZ atau zB= ( zZ)2.Nilai singular adalah akar dari inersia utama matriks indikator, yaituD6= D212,.Nilaisingulardigunakanuntukmenentukankoordinatprofil kolom.Koordinat utama profil kolom untuk K dimensi didefinisikan sebagai: H] K= Dw-1] ]M] KD212,K K

KontribusiInersia.Perhitunganinersiaanalisiskorespondensimultipel, jarak_2 tidakdigunakankarenajarak_2hanyatepat digunakanuntukperhitungan inersia tabel kontingensi dua arah yakni pada analisis korespondensi sederhana.Total inersia pada analisis korespondensi multipel hanya bisa diperoleh dari matriks indikator yang dinotasikan sebagai : 2( Z) = _[ 1] Inersiaprofil kolom disebut dengan kontribusi titik-titik koordinat terhadap inersiautamamatriksindikator( zZ) atauaxisutama.Inersiaprofilkolom 50 menentukanseberapabesarkontribusisuatutitikkoordinatdarikategorivariabel dalammempresentasikankategoritersebutpadasuatuaxisutama.Inersiarelatif digunakanuntukmenentukanseberapabesarkontribusisuatutitikkoordinatpada ruangKdimensi.Kemudiandariinersiarelatifinidapatditentukankuadratjarak antaratitikkoordinatdengantitikorigin.Kontribusirelatifadalahkontribusiaxis padatitikkoordinat,dinotasikandengancos20.Jikanilaicos20besarmakaaxis dapatmenjelaskankategoridarivariabel(titikkoordinat)denganbaik.Kontribusi relatif profil kolom dinotasikan sebagai : cos20( W)] K= (Dd2)-1] ]( H2)] K 3.AnalisisKorespondensiMultipel(MultipleCorrespondenceAnalysis(MCA)) untuk Skala Pengukuran Data yang Berbeda (Kualitatif dan Kuantitatif) Variabelpenelitiandalamanalisiskorespondensidijelaskanolehbeberapa referensimemungkinkanuntukmenggunakanvariabelselainvariabelkategori (kualitatif),referensiyangdimaksudkankutipannyaadalahvariabeldalamanalisis korespondensimemungkinkanjugamerupakanvariabelkuantitatifdiskritseperti Jumlahanggotadalamkeluargaataujumlahkecelakaanyangdibayaroleh perusahaan asuransi dalamsatu tahun, danlain lain.Jadinilaiyangmungkin dari variabel di atasdidefinisikan sebagai kategori baris atau kolom (Hardle dan Simar, 2007). AnalisisKorespondensiMultipel(MCA)jugamengakomodasivariabel kuantitatif dengan memberikan kode yang dinyatakan sebagai bins sebagai contoh skorpadainterval-5sampai+5,diberikankodemenjadivariabelkualitatif (nominal) dengan tigalevel: kurang dari 0, samadengan 0 danlebih dari 0.(Herve danDomonique,2007).Variabelkualitatifsepertijeniskelamindanwarnarambut dihubungkandenganvariabelkuantitatifsepertiusiadanpenghasilanperbulan (Rencher,2002).Jadivariabelkuantitaiftersebutakandiakomodasidengan memberikan kode menjadi beberapa level (kelompok) variabel kualitatif. Penentuan level(kelompok)iniberdasarkanbeberapareferensiyangmengacupadaketentuan yang berlaku atau pembagian secara proporsional dari banyaknya data. Dasarpemikiranpembuatanmatriksindikatoriniadalahuntuk mendapatkan tabel kontingensi dalam Analisiskorespondensi multipel didefinisikan sebagaiMatriksBurtyangmerupakanhasildaricrosstabsatauperkaliansilang transposematriks indikator dengan matriks indikator.AlgoritmaAnalisisKorespondensiMultipel(MultipleCorrespondence Analysis(MCA))untukSkalaPengukuranDatayangBerbeda(Kualitatifdan Kuantitatif)adalahdenganmengidentifikasidatayaituvariabelkuantitatifdan kualitatif.Variabelkuantitatifdiakomodasidenganmemberikankodevariabel kualitatif(nominal)denganbeberapalevel(kelompok).Selanjutnyavariabel penelitian yang menyajikan data mentah membentuk matriks data (Matriks Indikator danMatriksBurt).Analisisdilanjutkandenganmenggunakanstandaranalisis korespondensi yaitu Penentuan Profil Kolom, Koordinat dan Pemetaan Profil Kolom danterakhiradalahperhitunganKontribusiInersiayangmeliputi:TotalInersia, Inersia Profil Kolom, Inersia Relatif dan Kontribusi Relatif. 51 4.HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Eksplorasi Data SMK Pertanian, Kelautan dan Kimia Industri DataSMKPertanian,KelautandanKimiaIndustridari33provinsiini meliputidatamengenai:KemudahanaksesyangdimilikiolehSMK,Jumlah Pendidikdan JumlahProgram Studi,dimana data tersebut didapatkandari LaporanBulananSekolahyangsecaraberkaladikirimolehsekolahkePPPPTK Pertanian Cianjur dan dari situshttp://datapokok.ditpsmk.net/index.phpSedangkanJumlahTNA(TrainningNeedAssesment)danJumlahPesertaDiklatdiambildari database TNA Seksi Data dan Informasi PPPPTK Pertanian Cianjur.KemudahanaksesSMKdibagimenjadi2kategori,yakni:SMKyang mudahdiaksesditandaidenganmempunyaiteleponsekolahataucontactperson yang bisa dihubungi dan SMK yang sulit diakses ditandai dengan tidak mempunyai telepon sekolah atau contact person yang bisa dihubungi. Ukuran variabel Penelitian KemudahanaksesSMKadalahadatidaknyanomorteleponataucontactperson yang bisa dihubungi, variabel kemudahan akses SMK sebagai berikut: Gambar 1. pie chart Jumlah SMK menurut Kemudahan Akses Gambar2.Grafik Jumlah SMK menurut Jumlah Pendidik daridiagrampiechartGambar1.terlihatbahwasebagianbesaryakni71%(637 SMK) adalah SMK yang mempunyai telepon sekolah atau contact person yang bisa dihubungi,sedangkanSMKyangtidakmempunyaiteleponsekolahataucontact person sebesar 29 % (262 SMK). JumlahPendidikadalahakumulasidarijumlahpendidikyangmengajar MataDiklatNormatif,Adaptif,Produktif(MataDiklatProgramStudiKeahlian AgribisnisProduksiTanaman,AgribisnisProduksiTernak,AgribisnisProduksi Sumberdaya Perairan, Mekanisasi Pertanian, Agribisnis Hasil Pertanian, Penyuluhan Pertanian, Kehutanan, Teknik Kimia danPelayaran). Jumlah SMK menurut Jumlah Pendidikyangadadisekolah(Gambar2).BerdasarkanGambar2.didapatkan Jumlah SMKmenurut Jumlah Pendidikadalah 31 % (277 SMK)yangmempunyai kurang dari 17 Pendidik, 30 % (272 SMK) yang mempunyai 18 28 Pendidik, 30 % (272 SMK) yang mempunyai lebih dari 29 Pendidik, sedangkan 9 % (78 SMK) yang tidak ada data pendidik. Akses mudah637 SM K71%Akses sulit262 SM K29%277272 27278050100150200250300Kur ang dar i17 Pendi di k18 - 28Pendi di kLebi h dar i29 Pendi di kTi dak Ada Dat a Pendi di kJuml ah SM K52 JumlahPesertaDiklatadalahbanyaknyaPendidikdisuatuSMK berdasarkan Pemanggilan Peserta untuk mengikuti pendidikan dan pelatihan yang di selenggarakanolehPPPPTKPertanianCianjur.UkuranvariabelpenelitianJumlah PesertaDiklatadalahbanyaknyaPendidikdisuatuSMKyangpernahmengikuti diklatdansatuannyaadalahorang.JumlahSMKmenurutJumlahPesertayang pernahmengikutidiklatyangdiselenggarakanolehPPPPTKPertanianCianjur (Gambar3).BerdasarkanGambar3.didapatkanJumlahSMKmenurutJumlah PesertaDiklatadalah22%(194SMK)yangmempunyaikurangdari2peserta diklat,23%(205SMK)yangmempunyai35pesertadiklat,24%(220SMK) yangmempunyailebihdari6pesertadiklat,sedangkan31%(280SMK)yang belum ada peserta diklat. Gambar 3. Grafik Jumlah SMK menurut Jumlah Peserta Diklat Gambar 4.Grafik Jumlah SMK menurut Jumlah TNA JumlahTNA(TrainningNeedAssesment)atauPenjaringanKebutuhan DiklatadalahPermintaankebutuhandiklatyangdikirimolehsekolahkePPPPTK PertanianCianjur,UkuranvariabelpenelitianJumlahTNAadalahbanyaknya permintaankebutuhandiklatdansatuannyaadalahberkas.JumlahSMKmenurut Jumlah TNA (Training Needs Assesment/ Penjaringan Kebutuhan Diklat)Gambar4. BerdasarkanGambar4.didapatkanJumlahSMKmenurutJumlahTNAadalah27 %(239SMK)yangmempunyaikurangdari7TNA,25%(227SMK)yang mempunyai8-20TNA,25%(225SMK)yangmempunyailebihdari21TNA, sedangkan 23 % (208 SMK)yangbelumada permintaan diklatmasuk ke PPPPTK Pertanian Cianjur. JumlahProgramStudiadalahJumlahProgramStudiKeahlian(Agribisnis ProduksiTanaman,AgribisnisProduksiTernak,AgribisnisProduksiSumberdaya Perairan,MekanisasiPertanian,AgribisnisHasilPertanian,PenyuluhanPertanian, Kehutanan,TeknikKimiadanPelayaran)yangdihitungyangadadisekolah. Ukuran dan satuan variabel penelitian Jumlah Program Studi adalah Jumlah Program Studi.JumlahSMKmenurutJumlahProgramStudi(ProgramStudiPertanian, KelautandanKimiaIndustriyangdibukadiSMK)padaGambar5.Berdasarkan Gambar5.didapatkanJumlahSMKmenurutJumlahProgramStudiadalah44% (396SMK)yangmempunyai1ProgramStudiPertanian,KelautandanKimia Industri,30%(264SMK)yangmempunyai2ProgramStudiPertanian,Kelautan danKimiaIndustri,22%(200SMK)yangmempunyailebih3ProgramStudi 194205220280050100150200250300Kur ang dar i2 Peser t a3 - 5Peser t aLebi h dar i6 Peser t aBel um Ada Peser t aJuml ah SM K239227225208190195200205210215220225230235240245Kur ang dar i7 TNA8 - 20 TNA Lebi h dar i21 TNABel um Ada TNA M asukJuml ah SM K53 Pertanian,Kelautan danKimia Industri, sedangkan 4 % (39 SMK)yangbelum ada data membuka Program Studi Pertanian, Kelautan dan Kimia Industri. Gambar 5.pie chart Jumlah SMK menurut Jumlah Program Studi Gambar 6.pie chart Jumlah SMK menurut Status Sekolah Sedangkan untuk Status Sekolah (Gambar 6) dibedakan menjadi 2 kategori yakni Sekolah Negeri (sekolahyang dikelola oleh pemerintah) dan Sekolah Swasta (sekolah yang dikelola oleh Yayasan Sosial atau pihak swasta). Berdasarkan Gambar 6.diatasterlihatbahwasebagianbesaryakni74%(668SMK)adalahSekolah Negeri (sekolah yang dikelola oleh pemerintah), sedangkan 26 % (231 SMK) adalah Sekolah Swasta (sekolah yang dikelola oleh Yayasan Sosial atau pihak swasta). 4.2. AnalisisKorespondensiMultipelDataSMKPertanian,Kelautandan Kimia Industri Analisis Korespondensi Multipel Data SMK Pertanian, Kelautan dan Kimia IndustriuntukdatapenelitianvariabelJumlahSMKmenurutkemudahanAkses (aksesmudah dan akses sulit), Jumlah SMKmenurut Jumlah pendidik (kurang dari 17 Pendidik, 18 28 Pendidik, lebih dari 29 Pendidik, dan tidak ada data pendidik), JumlahSMKmenurutJumlahPesertadiklat(kurangdari2pesertadiklat,35 pesertadiklat,lebihdari6pesertadiklat,danbelumadapesertadiklat),Jumlah SMKmenurut Jumlah TNA (kurang dari 7 TNA, 8 - 20TNA,lebih dari 21 TNA, belumadapermintaandiklatyangmasuk),JumlahSMKmenurutJumlahProdi(1 ProgramStudiPertanian,KelautandanKimiaIndustri;2ProgramStudiPertanian, Kelautan danKimia Industri;lebih 3 Program Studi Pertanian,Kelautan danKimia Industri;belumadadatamembukaProgramStudiPertanian,KelautandanKimia Industri), Jumlah SMK menurut status sekolah (Negeri dan Swasta).Output Software Analisis Korespondensi Multipel sebagai berikut, Tabel 1. Koodinat ProfilKolom dan Inersia Relatif, sedangkan Tabel 2. Konribusi Relatif: KolomKoordinat menunjukkan koordinat dari kategori, dari koordinat diatas untuk plot 3 dimensi ternyata SMK dengan akses sulit mempunyai titik koordinat dimensi 1;dimensi2;dimensi3berturut-turutadalah(0.614;-0.172;0.011)sedangkan untuk SMK yang mempunyai 18 28 TNA adalah(0.352;0.637;0.646). 1 Prodi396 SM K44%2 Prodi264 SM K30% 3Prodi200SM K22%Tidak Ada Dat a Prodi39 Negeri668 SM K74%Sw ast a231 SM K26%54 Tabel 1. Koodinat Profil Kolom dan Inersia Relatif Kategori Koordinat MassaKualitas Inersia RelatifDim- 1Dim- 2Dim-3 Akses mudah-0.2530.071-0.0050.1180.1670.021 Akses sulit0.614-0.1720.0110.0490.1670.051 < 17 Pendidik0.2620.5410.4480.0510.2500.049 18 - 28 Pendidik-0.0730.1380.4010.0500.0800.050 29 Pendidik-0.699-0.378-0.6230.0500.4430.050 Tidak Ada Data Pendidik 1.760-1.083-0.8150.0140.4690.065