besaran dan sistem satuan

BESARAN DAN SISTEM SATUAN

BAB I


1.1. Pendahuluan

Fisika berasal dari bahasa Yunani yang berarti Alam. Karena itu Fisika merupakan suatu ilmu pengetahuan dasar yang mempelajari gejala-gejala alam dan interaksinya yang terjadi di alam semesta ini. Hal-hal yang dibicarakan di dalam fisika, selalu didasarkan pada pengamatan eksperimental dan pengukuran yang bersifat kuantitatif. Dengan menggunakan hukum-hukum yang ada di dalam fisika yang jumlahnya tidak terlalu banyak, akan dapat diperoleh teori-teori yang akan memprediksi hasil eksperimen dimasa datang. Jika ada perbedaan antara teori dengan hasil eksperimen, maka teori baru dan eksperimen baru akan muncul untuk dapat diperoleh kesesuaian.

Fisika terbagi atas dua bagian yaitu : 1. Fisika klasik yang meliputi bidang : Mekanika, Listrik Magnet, Panas,

Bunyi, Optika dan Gelombang. 2. Fisika Moderen adalah perkembangan Fisika mulai abad 20 yaitu

penemuan Relativitas Einsten.

Ilmu Fisika mendukung perkembangan teknologi, enginering, kimia, biologi, kedokteran dan lain-lain.

Dalam Fisika selalu dilakukan pengukuran. Mengukur berarti membandingkan sesuatu besaran yang diukur dengan besaran standar yang telah didefinisikan sebelumnya. Misalnya panjang suatu batang besi adalah 5 meter, artinya bahwa panjang batang besi tersebut 5 kali besar standar panjang yang telah didefinisikan. Oleh karena itu, para ilmuwan menetapkan besaran-besaran standar. Dengan adanya kemajuan Ilmu pengetahuan dan teknologi, besaran-besaran standar juga berubah. Pada paragraf berikut ini akan kita bicarakan apa yang dimaksud dengan besaran standar.

1.2. Standar Untuk Besaran Panjang, Massa, dan Waktu

Hukum-hukum fisika dapat dinyatakan dalam besaran-besaran dasar. Besaran-besaran dasar mempunyai definisi yang jelas. Besaran-besaran dasar disebut juga besaran Pokok. Di dalam mekanika, ada tiga besaran pokok, yaitu Panjang (L), Massa (M), dan Waktu (T). Oleh karena itu semua besaran-besaran di dalam mekanika dapat dinyatakan dengan besaran-besaran pokok tersebut. Besaran-besaran di dalam fisika pada umumnya merupakan kombinasi dari beberapa besaran yang lebih mendasar. Misalnya, besaran kecepatan merupakan kombinasi dari besaran panjang dan besaran waktu.

FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 1


Yang dimaksud dengan besaran dasar atau besaran pokok adalah besaran yang didefinisikan dan kemudian dijadikan sebagai acuan pengukuran.

1.2.1. Standar satuan panjang

Sebelum tahun 1960, standar satuan panjang didefinisikan sebagai panjang antara dua goresan pada suatu batang terbuat dari Platina-Iridium yang disimpan pada suatu ruangan yang terkontrol kondisinya standar ini sudah ditinggalkan karena beberapa alasan, antara lain karena ketelitian dari standar ini sudah tidak lagi memenuhi tuntutan Ilmu Pengetahuan dan Teknologi yang menuntut ketelitian makin tinggi.

Setelah standar panjang di atas ditinggalkan pada tahun 1960, didefinisikan kembali standar panjang baru yaitu : Satu meter didefinisikan sebagai 1 650 763,73 kali panjang gelombang cahaya oranye merah yang dipancarkan oleh lampu Krypton-86.

Pada tahun 1983, standar panjang ini didefinisikan kembali, yaitu : Satu meter didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh cahaya di dalam vakum selama waktu 1/299.791.458 detik. Standar ini yang berlaku hingga kini. Dari definisi yang terakhir ini, maka dapat kita tetapkan bahwa kecepatan cahaya di dalam vakum adalah 299 792 458 meter per sekon.

1.2.2. Standar satuan massa

Standar untuk satuan massa sistem Internasional adalah kilogram (kg). Massa sebesar 1 kilogram didefinisikan sebagai masa sebuah benda berbentuk silinder yang terbuat dari platina-iridium. Masa standar ini berbentuk silinder dengan diameter 3,9 cm dan tinggi 3,9 cm. Kilogram standar ini disimpan di Lembaga Berat dan Ukuran Internasional, di Sevres, Prancis dan ditetapkan pada tahun 1887.

Duplikasi dari kilogram standar ini disimpan di “National Institute of Standars and Technology (NIST) di Gaithersburg, Md”. Bila kita mempunyai benda bermassa 5 kg, berarti benda tersebut mempunyai massa 5 kali massa standar di atas.

Untuk dapat memperoleh gambaran massa dari berbagai benda yang ada di alam semesta ini, lihat tabel 1.

Tabel 1. Massa dari beberapa benda dan makhluk hidup di alam semesta ini

Benda Massa (kg)Alam semesta 1 x 1052

Matahari 2 x 1030

Bumi 6 x 1024

Bulan 7 x 1022

Bakteri 1 x 10-15

Atom hidrogen 1,67 x 10-27

Elektron 9,11 x 10-31



1.2.3. Standar satuan waktu

Sebelum tahun 1960, waktu standar dinyatakan dalam hari matahari rata-rata pada tahun1900. Sehingga satu detik didefinisikan sebagai (1/60)x(1/60)x(1/24) hari matahari.

Pada tahun 1960 satu detik didefinisikan kembali, hal ini dilakukan untuk dapat memperoleh ketelitian yang tinggi, yaitu dengan menggunakan Jam atom. Standar ini didasarkan pada prinsip transisi atom (proses berpindahnya atom dari suatu tingkat energi ke tingkat energi yang lebih rendah). Dalam alat ini, frekuensi transisi atom dapat diukur dengan ketelitian sangat tinggi yaitu 10-12. Frekuensi ini tidak bergantung pada lingkungan di mana jam atom ini berada. Oleh karena itu satu detik didefinisikan sebagai waktu yang diperlukan oleh atom Cesium untuk bergetar sebanyak 9 192 631 770 kali. Dengan menggunakan jam atom ini, waktu hanya berubah 1 detik setiap 300 000 tahun.

1.3. Besaran dan Dimensi

Besaran adalah sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan angka. Dalam fisika besaran terbagi atas besaran pokok, besaran turunan dan besaran pelengkap.

1.3.1 Besaran Pokok dan Besaraan Turunan

Besaran pokok adalah besaran yang tidak tergantung pada besaran lain dan besaran turunan adalah besaran yang diturunkan dari besaranbesaran pokok.

Pada tahun 1960, suatu komite internasional telah menetapkan 7 besaran yang merupakan besaran pokok berdimensi dan 2 besaran pokok tidak berdimensi (besaran pelengkap). Sistem tersebut dikenal sebagai “System International (SI)”. Adapun besaran-besaran pokok yang ditetapkan di dalam Sistem International (SI) tersebut adalah :

Tabel 2: Besaran pokok, satuan, dan dimensinya menurut SistemInternasional (SI)

No Besaran Pokok Satuan Singkatan Dimensi1 Panjang meter m L2 massa kilogram kg M3 waktu sekon s T4 kuat arus listrik ampere A I5 suhu kelvin K 6 intensitas cahaya mol Mol N7 jumlah zat kandela (lilin) Cd J



Tabel 3 : Besaran pokok yang tidak berdimensi (besaran pelengkap)

No Besaran Pokok Satuan Singkatan Dimensi8 Sudut datar Radian rad -9 Sudut ruang Steradian Sr -

Contoh dari besaran turunan adalah: kecepatan, percepatan, gaya, usaha, daya, volume, massa jenis dan lain-lain.

1.3.2 Dimensi

Dimensi suatu besaran menunjukkan cara besaran itu tersusun dari besaran pokok.

Dimensi suatu besaran dinyatakan dengan lambang huruf dan diberi tanda kurung persegi (lihat tabel 1). Dengan mengetahui dimensi dan satuan dari besaran-besaran pokok, maka dengan menggunakan analisis dimensional dapat ditentukan dimensi dan satuan dari besaran turunan.

Tabel 4. Beberapa besaran turunan dan dimensi No Besaran Turunan Rumus Dimensi1 Luas panjang x lebar [L]2

2 Volume panjang x lebar x tinggi [L]3

3 Massa jenis massa [m][L]-3

volume

4 Kecepatan perpindahan [L][T]-1

waktu

5 Percepatan kecepatan [L][T]-2

waktu

6 Gaya massa x percepatan [M][L][T]-2

7 Usaha dan energi gaya x perpindahan [M][L]2[T]-2

8 Tekanan gaya [M][L]-1[T]-2

luas

9 Daya usaha [M][L]2[T]-3

waktu

10 Impuls dan momentum gaya x waktu [M][L][T]-1


LT 1


Kegunaan Dimensi : 1. Membuktikan dua besaran fisis setara atau tidak. 2. Menentukan persamaan yang pasti salah atau mungkin benar.. 3. Menurunkan persamaan suatu besaran fisis jika kesebandingan

besaran fisis tersebut dengan besaran-besaran fisis lainnya diketahui.

Contoh-contoh soal

1. Tentukan dimensi dan satuan dari besaran-besaran ini menurut Sistem Internasional. a. Volume (V) b. Kecepatan (v) c. Percepatan (a) d. Gaya (F) e. Momentum (p)

Jawab

Besaran-besaran di atas merupakan besaran turunan, oleh karenanya dimensi dan satuannya dapat diturunkan dari besaran pokok menurut Sistem Internasional

a. Volume = panjang x lebar x tinggi Dimensi dari volume dituliskan sebagai [ V ]

[ V ] = [ panjang ] x [ lebar ] x [ tinggi ][ V ] = L . L . L

= L3

Jadi, satuan dari volume (V) = m . m . m= m3

b. Kecepatan (v) =jarak waktu

L= = L.T-1

T

Dengan cara yang sama pada jawaban (a) di atas, maka satuan dari kecepatan v = ms-1

c. Percepatan (a) =kecepa tan

waktu

= = L.T-2

T

Satuan dari percepatan = m s-2

d. Gaya (F) = massa x percepatan= [ massa ] x [ percepatan ]= M . L T-2

Satuan F = kg m s-2



e. Momentum (p) = m x v = [ m ] [ v ] = M . L T-1

Satuan p = kg m s-1

2. Buktikan bahwa besaran energi (E = ½ mv2) mempunyai dimensi sama dengan usaha W = F s, dengan m, v, F, dan s berturut-turut massa, kecepatan, gaya, dan perpindahan.

Jawab

Energi (E) mempunyai dimensi massa dikali dengan kuadrat dimensi kecepatan. Pada contoh 1, sudah kita ketahui bahwa dimensi massa adalah M dan dimensi laju L.T-1. Oleh karena itu dimensi dari Energi [E] adalah

[ E ] = M L2 T-2

Dimensi kerja [ W ] = [ F ] [ s ]

Gaya mempunyai dimensi massa M dikali dimensi percepatan, LT-2 dan perpindahan mempunyai dimensi panjang L. Oleh karena itu, dimensi dari usaha (W) adalah:

[ W ] = [ F ] [ s ]= MLT-2 L = ML2 T-2

Karena dimensi Energi (E) sama dengan dimensi usaha (W) maka dikatakan energi dan usaha mempunyai kesamaan

3 Hubungan antara kecepatan, perpindahan serta percepatan dari suatu benda yang melakukan gerak lurus berubah beraturan adalah :

v2 = vo2 + 2 a s

dengan v dan vo adalah kecepatan, a adalah percepatan serta s perpindahan. Buktikan bahwa secara dimensional, persamaan tersebut benar.

Jawab

Dimensi ruas kiri adalah [v] 2 = (LT-1)

= L2 T-2

Ruas kanan terdiri atas dua suku yaitu vo2 dan 2 a s, masing-masingmempunyai dimensi



[vo] 2 = (LT-1)= L2 T-2

[ 2 a s ] = [a] [s]= LT2 L = L2 T-2

Kedua suku pada ruas kanan mempunyai dimensi yang sama. Oleh karena itu kedua suku secara fisik dapat dijumlahkan. Dari analisis dimensional tersebut, terbukti bahwa persamaan tersebut benar secara dimensional.

4. Bila ada sebuah bola kecil yang dijatuhkan ke dalam suatu cairan, maka bola tersebut akhirnya akan bergerak di dalam cairan tersebut dengan kecepatan yang konstan. Besar gaya gesek (F) pada bola tersebut sebanding dengan lajunya (v) dan sebanding dengan jari-jari bola (r). Secara matematis dapat dituliskan dengan : F = K.r.v, dan K merupakan konstanta pembanding. Tentukan dimensi dan satuan dari K.

Jawab

Bila rumus tersebut secara fisik benar, maka dimensi dari ruas kiri sama dengan dimensi ruas kanan. Pada rumus di atas, kita telah mengetahui dimensi, maupun satuan dari F, r, dan v dengan demikian kita dapat dengan mudah mengetahui dimensi maupun satuan untuk K.

K = F (r v) -1

= MLT-2 L-1 (LT-1) -1

= MLT-2 L-1 L-1 T = ML-1 T-1

Jadi satuan dari K = kg m-1 s-1

5. Jika cepat rambat bunyi di suatu medium v hanya bergantung pada tekanan udara p dan kerapatan massa medium . Tentukan rumus dari cepat rambat bunyi tersebut.

Jawab

Jika v hanya bergantung pada p dan maka rumus cepat rambat bunyi dapat ditulis sebagai:

v ~ p

Tanda ~ merupakan tanda sebanding. Tanda tersebut harus diganti dengan tanda =, oleh karena itu ruas kanan harus dikalikan dengan suatu konstanta K. rumus tersebut menjadi

v = K p



Untuk memudahkan, dimisalkan konstanta K tidak mempunyai dimensi dan tidak mempunyai satuan. Persamaan di atas benar secara dimensional jika ruas kiri dan kanan mempunyai dimensi yang sama. Konstanta dan dapat dicari dengan menyamakan dimensi ruas kiri dan kanan.

[v] = [K p ] = [K] [p] []

Ruas kiri: [v] = LT-1

Ruas kanan: [K] = - (tidak mempunyai dimensi)[p] = (ML-1 T-2) = M L- T-2

[] = (ML-3) = M L-3

Dimensi ruas kanan:[K] [p] [] = M+ L- + 3 T-2

Dimensi ruas kiri disamakan dengan ruas kanan dan menyamakanpangkatnya, akan kita peroleh

[v] = [K] [p] []

LT-1 = M+ L- + 3 T-2

M0LT-1= M+ L- + 3 T-2

Dan0 = + 1 = - + 3-1 = -2

Dari ketiga persamaan di atas diperoleh = ½; = -½, sehingga rumus kecepatan menjadi

v = K p1/2 -1/2

= K p



SOAL - SOAL LATIHAN

A. PILIHAN GANDA :

1. Kelompok besaran berikut yang merupakan besaran pokok adalah :A. panjang, kuat arus, kecepatanB. intensitas cahaya, berat, waktu C. jumlah zat, suhu, massa D. percepatan, kuat arus, gaya E. panjang, berat, intensitas cahaya

2. Besaran-besaran berikut ini yang bukan merupakan besaran turunanadalah :A. momentum D. suhuB. kecepatan E. volumC. gaya

3. Yang merupakan satuan pokok dalam SI adalah :A. joule D. voltB. newton E. menitC. ampere

4. Kecepatan sebuah zarah dinyatakan dengan v = A + Bt + Ct2. Dalampersamaan ini, v menunjukkan kecepatan dalam cm/s, t adalah waktudalam s, sedangkan A, B, C masing-masing merupakan konstanta.Satuan C adalah :A. cm D. cm/s2

B. cm s E. cm/s3

C. cm/s

5. Energi kinetik suatu benda yang dalam sistem SI dinyatakan dalamjoule, tidak lain adalah :A. kg m2 s-2 D. kg m-2 sB. kg m s-2 E. kg-1 m2 s-2

C. kg m-1 s2

6. Usaha adalah hasil kali gaya dengan perpindahan. Dimensi dari usahaadalah :A. [M] [L]2 [T]-2 D. [M] [L]-1 [T]-1

B. [M] [T]-2 E. [M] [L]1 [T]-2

C. [M] [L] [T]-2

7. Berat jenis memiliki dimensi :A. [M] [L]2 [T]-2 D. [M] [L] [T]2

B. [M] [L]-2 [T]2 E. [M] [L]-3

C. [M] [L]-2 [T]-2



8. Daya adalah usaha persatuan waktu. Dimensi dari daya adalah:A. [M] [L] [T]-3 D. [M] [L]2 [T]-3

B. [M] [L] [T]-2 E. [M] [L]-2 [T]-2

C. [M] [L] [T]-1

9. Dalam sistem Satuan Internatsional satuan kalor adalah :A. Kalori D. derajat KelvinB. Joule E. derajad CelciusC. Watt

10. Dalam sistem Satuan internasional dimensi tekanan adalah :A. [M] [L]-1 [T]-1 D. [M] [L]-1 [T]-2

B. [M] [L]-1 [T]-3 E. [M] [L]-2 [T]-2

C. [M] [L]-2 [T]-1

11. Tetapan gas umum mempunyai dimensi :A. [M]2 [L] [T][Θ] [ mol]-2 D. [M] [L]2 [T]-2[Θ]-1 [ mol]B. [M] [L] [T][Θ]-2 [ mol]2 E. [M] [L] [T]-2[Θ] [ mol]-1

C. [M] [L]2 [T]-2[Θ]-1 [ mol]-1

12. Satuan energi potensial, dalam system SI adalah :A. kg.m3.det-1 D. kg.m.det-1

B. kg.m2.det-2 E. kg.m2.det-1

C. kg.m2.det-3

13. Massa jenis atau rapat massa, mempunyai dimensi :A. [M][L]-2 D. [M][L]-3

B. [M][L]2 E. [M][L]C. [M][L]2[M][L]-3

14. Tetapan gravitasi G, mempunyai satuan :A. m3.kg-1.det-1 D. kg.m.det2

B. kg.m.det-1 E. salah semuaC. N.m2.det2

15. Kwh adalah satuan dari :A. daya D. kuat arusB. energi E. salah semuaC. tegangan listrik

16. Momentum adalah hasil kali massa dan kecepatan. Dimensi momentumadalah :A. [M] [L] [T]-2 D. [M] [L]-2 [T]2

B. [M] [L]-1 [T]-1 E. [M] [L]-1 [T]-1

C. [M] [L] [T]-1



B. ESSAY :

1. Tentukan dimensi dan satuan dari besaran-besaran di bawah ini a. Impuls (I), (impuls I merupakan perkalian antara gaya F dan waktu t) b. Debit air yang mengalir melalui suatu pipa Q. (Q merupakan volume

(V) persatuan waktu (t)). c. Momen gaya () (momen gaya merupakan perkalian antara gaya F

dan lengan (1))

2. Seekor nyamuk dapat berdiri di atas permukaan air dan tidak tenggelam. Hal ini akibat adanya tegangan permukaan () pada permukaan air. Besaran tegangan permukaan tersebut mempunyai satuan N/m. tentukan dimensi dari ()

3. Sebuah bandul sederhana dapat berayun dengan perioda T = 2 (I/g)1/2 dengan l adalah panjang bandul (m) dan T adalah perioda (detik). Tentukan satuan dan dimensi dari g.

4. Gaya tarik menarik antara dua muatan yang tidak sejenis dapatdirumuskan sebagai

F = K q . Q/r2

Dimana F gaya (newton), q dan Q muatan (coulomb) dan r jarak antara kedua muatan (m). Tentukan satuan dan dimensi dari K

5. Sebuah benda beratnya diudara sebesar 600 Newton. Jika dimasukkan ke dalam air, benda tersebut mengalami gaya tekan ke atas sebesar 200 Newton. Berapakah berat benda, jika berada di dalam air dan kemana arah vektor berat tersebut?

6. Tentukan dimensi dan satuan dari besaran-besaran di bawah ini:a. Luasb. Kecepatan sudut (besar sudut yang ditempuh persatuan waktu) c. Energi potensial (merupakan perkalian antara massa, tinggi, dan

percepatan gravitasi) d. Usaha W (merupakan perkalian antara gaya dan perpindahan) e. Momentum (merupakan perkalian antara massa dan kecepatan)

7. Misalkan perpindahan suatu benda dapat dinyatakan dengan x = k t3, dengan x adalah perpindahan, t waktu yang ditempuh serta k konstanta pembanding. Tentukan dimensi dan satuan k.

8. Bulan yang bermassa m dan bumi bermassa M akan tarik menarik dengan gaya sebesar F. Besar gaya tersebut berbanding terbalik dengan kuadrat jaraknya 1/r dan dapat dirumuskan dengan :

M mF = G

r2 G konstanta,

Tentukan dimensi G.



9. Sebuah bandul yang bermassa m dan diayunkan, akan mempunyai periode osilasi T. Dengan menganggap periode tersebut hanya bergantung pada massa bandul (m), panjang tali (l) dan percepatan gravitasi, maka persamaannya menjadi

T = K m l g

K merupakan konstanta yang tidak mempunyai dimensi. Dengan analisa dimensional, tentukan rumus tersebut.


VEKTOR

BAB II

V E K T O R

2.1. Besaran Vektor Dan Skalar

Ada beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. Ada juga besaran fisis yang tidak cukup hanya dinyatakan dengan besarnya saja, tetapi harus juga diberikan penjelasan tentang arahnya.

Besaran vektor : Besaran yang dicirikan oleh besar dan arah Contoh besaran vektor didalam fisika adalah: kecepatan, percepatan, gaya, perpindahan, momentum dan lain-lain.

Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.

Besaran skalar : Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besarnya dinyatakan oleh bilangan dan satuan)

Contoh besaran skalar : waktu, suhu, volume, laju, energi, usaha dll.

Tidak diperlukan sistem koordinat dalam besaran skalar

2.2. Penggambaran, penulisan (Notasi) vektor

Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah anak panah yang terdiri dari pangkal (titik tangkap), ujung dan panjang anak panah. Panjang anak panah menyatakan nilai dari vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor.

Pada gambar (2.1) digambar vektor dengan titik pangkalnya P, titik ujungnya Q serta sesuai arah panah dan nilai vektornya sebesar panjang.

P Q

Gambar 2.1 : Gambar sebuah vektor PQ

Titik P : Titik Pangkal (titik tangkap)Titik Q : UjungPanjang PQ : Nilai (besarnya) vektor tersebut = PQ


VEKTOR

Notasi (simbol) sebuah vektor dapat juga berupa huruf besar atau huruf kecil, biasanya berupa huruf tebal, atau berupa huruf yang diberi tanda panah di atasnya atau huruf miring.

Contoh : Vektor A (Berhuruf tebal)

Vektor A (Huruf dengan tanda panah di atasnya)

Vektor A (Huruf miring)

Untuk penulisan harga (nilai) dari vektor dituliskan dengan huruf biasa atau dengan memberi tanda mutlak dari vektor tersebut.

Contoh : Vektor A. Nilai vektor A ditulis dengan A atau A

Ada beberapa hal yang perlu diingat mengenai besaran vektor. 1. Dua buah vektor dikatakan sama jika mempunyai bila besar dan arah

sama. 2. Dua buah vektor dikatakan tidak sama jika :

a. Kedua vektor mempunyai nilai yang sama tetapi berlainan arah b. Kedua vektor mempunyai nilai yang berbeda tetapi arah sama c. Kedua vektor mempunyai nilai yang berbeda dan arah yang berbeda

Untuk lebih jelasnya lihat gambar di bawah ini:

A DC

E

B

Gambar 2.2 : Gambar beberapa buah vektor

Besar (nilai) vektor A, B, C, dan D sama besarnya. Nilai vektor C lebih kecil dari vektor D. Dari gambar di atas dapat disimpulkan bahwa:

A = C artinya: nilai dan arah kedua vektor sama A = - B artinya: nilainya sama tetapi arahnya berlawanan

Vektor A tidak sama dengan vektor D (Nilainya sama tetapi arahnya berbeda) Vektor D tidak sama dengan vektor E (Nilai dan arahnya berbeda)


VEKTOR

2.3. Penjumlahan dan pengurangan vektor Mencari resultan dari beberapa buah vektor, berarti mencari sebuah

vektor baru yang dapat menggantikan vektor-vektor yang dijumlahkan (dikurangkan)

Untuk penjumlahan atau pengurangan vektor, ada beberapa metode, yaitu: 1. Metode jajaran genjang 2. Metode segitiga 3. Metode poligon (segi banyak) 4. Metode uraian

2.3.1 Metode Jajaran Genjang

Cara menggambarkan vektor resultan dengan metode jajaran genjang adalah sebagai berikut.

A AR=A+B

B B

Gambar 2.3 : Resultan vektor A + B, dengan metode jajaran genjang

Langkah-langkah : a. Lukis vektor pertama dan vektor kedua dengan titik pangkal berimpit b. Lukis sebuah jajaran genjang dengan kedua vektor tersebut sebagai

sisi-sisinya c. Resultannya adalah sebuah vektor, yang merupakan diagonal dari

jajaran genjang tersebut dengan titik pangkal sama dengan titik pangkal kedua vektor tersebut

Besarnya vektor :

R = R = 2 2

R A B 2AB cos 2.1

adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B

Catatan : 1. Jika vektor A dan B searah, berarti = 0 : R = A + B 2. Jika vektor A dan B berlawanan arah, berarti = 180 : R = A - B 3. Jika vektor A dan B saling tegak lurus, berarti = 90 : R = 0

Untuk pengurangan (selisih) vektor R = A - B, maka caranya sama saja, hanya vektor B digambarkan berlawanan arah dengan yang diketahui.


VEKTOR

2.3.2 Metode Segitiga

Bila ada dua buah vektor A dan B akan dijumlahkan dengan cara segitiga maka tahap-tahap yang harus dilakukan adalah

A

R=A+BB

Gambar 2.4 : Resultan vektor A + B, dengan metode segitiga

Langkah-langkah : 1. Gambarkan vektor A 2. Gambarkan vektor B dengan cara meletakkan pangkal vektor B pada

ujung vektor A 3. Tariklah garis dari pangkal vektor A ke ujung vektor B 4. Vektor resultan merupakan vektor yang mempunyai pangkal di vektor

A dan mempunyai ujung di vektor B

Jika ditanyakan R = A - B, maka caranya sama saja, hanya vektor B digambarkan berlawanan arah dengan yang diketahui

2.3.3 Metode poligon

Pada metode ini, tahapannya sama dengan metode segitiga, hanya saja metode ini untuk menjumlahkan lebih dari dua vektor.

Contoh : Jumlahkan ketiga buah vektor A, B, dan C dengan metoda Poligon

A B C

Jawab:Resultan ketiga vektor R adalah R = A + B + C

CR

BA

Gambar 2.5. Penjumlahan vektor dengan metode poligon


VEKTOR

2.3.4 Metode Uraian

Setiap vektor yang akan dijumlahkan (dikurangkan diuraikan terhadap komponen-komponennya (sumbu x dan sumbu y )

Y

Ax A

Ay X

Gambar 2.5. Komponen - komponen sebuah vektor

Komponen vektor A terhadap sumbu X : Ax = A cos Komponen vektor A terhadap sumbu Y : Ay = A sin

Vektor Komponen X Komponen YA AX AY

B BX BY

C CX CY

R = A + B + C RX = AX + BX + CX RY = AY + BY + CY

Besar vektor R :

R R 2

X2

R 2.2Y

Arah vektor R terhadadap sunbu X positif :

tg RY 2.3

RX

Catatan : Jika vektor A dinyatakan dengan vektor-vektor satuan i dan j maka, secara matematis vektor A dapat ditulis dengan

A = i Ax + j Ay

Yang merupakan penjumlahan kedua komponen-komponennya

Atau A = Ax + Ay

Nilai vektor A :

A = A 2 2

A 2.4 X Y


VEKTOR

Contoh :

1. Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut :

X C

B

A

D Y

E

Besar dan arah vektor pada gambar diatas :

Vektor Besar (m) Arah(0)A 19 0B 15 45C 16 135D 11 207E 22 270

Hitung : Besar dan arah vektor resultan.Jawab :

Vektor Besar (m) Arah(0) Komponen X(m) Komponen Y (m)A 19 0 19 0B 15 45 10.6 10.6C 16 135 -11.3 11.3D 11 207 -9.8 -5E 22 270 0 -22

RX =8.5 RY =-5.1

Besar vektor R :2

R = R 2 2 2

R = 8.5 (5.1) = 94.01 = 9.67 m X Y

Arah vektor R terhadap sumbu x positif :

tg = 5.1= - 0,6

8.5 = 329.030 (terhadap x berlawanan arah jarum jam )


VEKTOR

2.4 Perkalian Vektor

Untuk operasi perkalian dua buah vektor, ada dua macam operasi yaitu : 1. Perkalian skalar dengan vektor 2. Perkalian vektor dengan vektor.

a. Perkalian titik (dot product) b. Perkalian silang (cross product)

2.4.1 Perkalian skalar dengan vektor

Sebuah besaran skalar dengan nilai sebesar k, dapat dikalikan dengan sebuah vektor A yang hasilnya sebuah vektor baru C yang nilainya sama dengan nilai k dikali nilai A. Jika nilai k positif, maka arah C searah dengan A dan jika nilai k bertanda negatif, maka arah C berlawanan dengan arah A. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:

C = k A 2.5

2.4.2 Perkalian vektor dengan vektor

Ada dua jenis perkalian antara vektor dengan vektor. Pertama disebut perkalian titik (dot product) yang menghsilkan besaran skalar dan kedua disebut perkalian silang (cross product) yang menghasilkan besaran vektor.

2.4.2.1 Perkalian titik (dot Product)

Perkalian titik (dot product) antara dua buah vektor A dan B menghasilkan C, didefinisikan secara matematis sebagai berikut:

A B = C A

A dan B vektor θC besaran skalarBesar C didefinisikan sebagai : B

C = A . B cos 2.6

A = A = besar vektor A

B = B = besar vektor B

= sudut antara vektor A dan B


VEKTOR

Sifat-sifat perkalian titik : 1. bersifat komutatif : A B = B A2. bersifat distributif : A (B+C) = A B + A C3. jika A dan B saling tegak lurus maka : A B = 04. jika A dan B searah : A B = A.B5. jika A dan B berlawanan arah maka : A B = - A.B

Contoh:

Usaha (W) yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan benda sejauh s didefinisikan sebagai W = F s. Jika besar gaya F = 5 N, perpindahan s = 40 m dan gaya F membentuk sudut 60, maka hitung besar usaha W.

Jawab:

W = F s W = Fs cos W = 2 N . 40 m cos 60 = 5 N . 40 m. 0,5 W = 100 N m = 100 Joule

2.4.2.2. Perkalian silang (cross product)

Perkalian silang (cross product) antara dua buah vektor A dan B akan menghasilkan C, didefinisikan sebagai berikut:

A x B = C 2.7

Gambar 2.6. Perkalian vektor

A, B, dan C vektorNilai C didefinisikan sebagai

C = A . B sin 2.8


VEKTOR

A = A = besar vektor A

B = B = besar vektor B

= sudut antara vektor A dan B

Arah vektor C dapat diperoleh dengan cara membuat putaran dari vektor A ke B melalui sudut dan arah C sama dengan gerak arah sekrup atau aturan tangan kanan..

Sifat-sifat perkalian silang (cross Product). 1. bersifat anti komutatif : A x B = - B x A2. jika A dan B saling tegak lurus maka : A x B = A.B3. jika A dan B searah atau berlawanan arah : A x B = 0

2.5 Vektor Satuan

Vektor satuan adalah sebuah vektor yang didefinisikan sebagai satu satuan vektor. Jika digunakan sistem koordinat Cartesian (koordinat tegak) tiga dimensi, yaitu sumbu x dan sumbu y dan sumbu Z, vektor satuan pada sumbu x adalah i, vektor satuan pada sumbu y adalah j dan pada sumbu z adalah k. Nilai dari satuan vektor-vektor tersebut besarnya adalah satu satuan

Z

k

j Yi

X

Gambar 2.7 : vektor satuan

Sifat-sifat perkalian titik vektor satuan

i . i = j . j = k . k = 1i . j = j . k = i . k = 0


VEKTOR

Sifat-sifat perkalian silang vektor satuan

i x I = j x j = k x k = 0

i x j = k j x i = - kk x I = j i x k = - jj x k = i k x j = - i

Penulisan suatu vektor A dalam koordinat katesian bedasarkan komponenkomponennya adalah :

A = Ax i + Ay j + Az k 2.9

Dimana Ax , Ay dan Az adalah komponen A arah sumbu X, Y dan Z

Contoh perkalian titik dan perkalian silang dua buah vektor A dan B .

1. Pekalian titik.

A . B = (Ax i + Ay j + Az k) . ( Ax i + Ay j + Az k )= AxBx i.i + AxBy i.j + AxBz i.k + AyBx j.i + AyBy j.j + AyBz j.k +

AzBx k.i + AzBy k.j + AzBz k.k

A . B = AxBx + AyBy + AzBz 2.30

2. Perkalian silang.

A x B = (Ax i + Ay j + Az k) x ( Ax i + Ay j + Az k )= AxBx ixi + AxBy ixj + AxBz ixk + AyBx jxi + AyBy jxj + AyBzjxk +

AzBx kxi + AzBy kxj + AzBz kxk= AxBy k - AxBz j - AyBx k + AyBz i + AzBx j - AzBy I

A x B = (AyBz - AzBy) i - (AxBz - AzBx )j + (AxBy - AyBx)k 2.31

Salah satu cara untuk menyelesaikan perkalian silang adalah dengan metodedeterminan :

i j k

AxB Ax Ay Az 2.32

Bx By Bz


VEKTOR

untuk mencari determinan matriksnya dengan mengunakan metode Sarrus : - - -

i j k i j

A X B = Ax Ay Az Ax Ay

Bx By Bz Bx By

+ + += iAyBz + j AzBx + kAxBy - kAyBx - iAzBy - j AxBz

= (AyBz - AzBy) i - (AxBz - AzBx )j + (AxBy - AyBx)k 2.33

Cara lain yang mirip dengan metode diatas adalah dengan cara mereduksideterminan matriks 3x3 menjadi determinan matriks mudah menghitungnya :

i j k

AxBAx Ay Az

Bx By Bz

Ay Az Ax Az Ax Ay

2x2 sehingga lebih

= iBy Bz

- j +kBx Bz Bx By

= (AyBz - AzBy) i - (AxBz - AzBx )j + (AxBy - AyBx)k 2.34

Contoh

1. Diketahui koordinat titik A adalah (2,-3,4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa besar vektornya ?

Jawab :

Vektor A = 2i - 3j + 4k2 2 2

A = A 2 (3) 4 = 29 satuan

2. Tiga buah vektor dalam koordinat kartesius :

A = 3i + j, B = - 2i, C = i + 2jTentukan jumlah ketiga vector dan kemana arahnya?

Jawab :R = A + B + C

= (3i+j)+(-2i)+(i+2j)= 2i + 3j


VEKTOR

Besar vektornya : 2 2

R = 2 3= 13 satuan

Arahnya : 3

tg =2

= 1,5 = 56,30

3. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vectorberikut ini :

A = 2i - 2j + 4k B = i - 3j + 2k

Jawab :

Perkalian titik : A. B = 2.1 +(-2)(-3) + 4.2

= 16Perkalian silang :

i j k

A x B = 2 2 4

1 3 2

= {(-2).2 - 4.(-3)}i - { 2.2 - 4.1}j + {2.(-3) - (-2).1}k = (-4+12)i - (4-4)j + (-6+4)k = 8i - 0 j - 2 k = 8i - 2k


VEKTOR

SOAL - SOAL LATIHAN

A. PILIHAN GANDA :

1.

2.

Yang ketiganya termasuk besaran vektor adalah........A. perpindahan, kuat medan listrik, usahaB. perpindahan, daya, impulsC. jarak, momentum, percepatanD. gaya, momentum, momenE. gaya, tekanan, impuls

Empat buah vektor A, B, C, dan D memiliki arah dan besar seperti padagambar berikut. Pernyataan yang benar adalah :A. A + B + C = D B. A + B + D = C AC. A + C + D = B B

D. B + C + D = A DE. A + B + C + D = 0

C

3. Dua gaya masing-masing 10 N bekerja pada suatu benda. Sudut diantara kedua gaya itu adalah 120. Besar resultannya adalah : .A. 10 N D. 20 NB. 14 N E. 25 NC. 17 N

4. Jika besar vektor A, B, dan C masing-masing 12, 5, dan 13 satuan, danA + B = C, maka sudut antara A dan B adalah :A. 0 D. 60B. 30 E. 90C. 45

5. Perhatikan gambar di bawah. Dua buah vektor masing-masing besarnya 10 N dan F newton menghasilkan vektor resultan dengan besar 20 N dan dalam arah OA. Jika adalah sudut antara F dengan arah OA, maka nilai sin adalah :

F

O A

10 N


VEKTOR

A.

B.

C.

1 1D.

5 21 1

E. 23 51

55

6. Dua vektor A dan B besarnya 40 dan 20 satuan. Jika sudut antarakedua vektor itu adalah 60 , maka besar dari A - B adalah :

A. 20 D. 40 3

B. 20 3 E.60C. 30

7. Jika dua vektor P dan Q sama panjang dan tegak lurus satu sama lain(P Q), maka sudut apit antara P + Q dan P - Q adalah :A. 30 D. 90B. 45 E. 120C. 60

8. Dua buah vektor memiliki besar yang sama. Jika hasil bagi selisih dan 1

resultan antara kedua vektor tersebut

antara kedua vektor tersebut adalah :1 1

2 , maka cosinus sudut apit2

A.

B.

C.

D. 33 21

E. 121

22

9. Manakah dari kumpulan gaya-gaya berikut yang tidak dapatmemberikan jumlah vektor sama dengan nol :A. 10, 10, dan 10 N D. 10, 20, dan 40 NB. 10, 20, dan 20 N E. 20, 20, dan 40 NC. 10, 10, dan 20 N

10. Dua buah vektor masing-masing adalah F1 = 10 satuan dan F2 = 16satuan. Resultan kedua vektor pada sumbu-X dan sumbu-Y adalah:


VEKTOR

Y

F

60X

F1

A. 2 satuan dan 8 satuan

B. 2 satuan dan 8 3 satuan

C. 2 3 satuan dan 8 satuanD. 18 satuan dan 8 satuan

E. 18 satuan dan 8 3 satuan

11. Komponen-komponen X dan Y dari vektor A masing-masing adalah 4 mdan 6 m. Komponen-komponen X dan Y dari vektor (A + B) masing-masing adalah 0 dan 9 m. Panjang vektor B adalah :A. 4 m D. 9 mB. 5 m E. 10 mC. 6 m

12. Diberikan dua vektor A = 6 meter ke utara dan B = 8 meter ke timur.Besar dari vektor 2A - B adalah :

A. 4 m D. 2 52 m

B. 4 5 m E. 20 mC. 10 m

13. Perhatikan gambar gaya-gaya berikut ini! Resultan ketiga gaya tersebutadalah :A. 0 N YB. 2 N

C. 2 3 N 3D. 3 N

E. 3 3 N 60X

3 60

6


VEKTOR

14. Besaran yang diperoleh dari perkalian titik antara dua buah vektor adalah: 1. usaha 2. fluks listrik 3. fluks magnetik 4. fluks jajar genjang

Pernyataan yang benar adalah : A. 1, 2, 3 D. hanya 4B. 1, 3 E. 1, 2, 3, 4C. 2, 4

15. Besaran yang diperoleh dari perkalian silang antara dua vektor adalah : A. gaya dan momentum sudut B. kopel dan gaya C. momen dan momentum sudut D. momen dan usaha E. usaha dan kopel


VEKTOR

B. ESSAY :

1. Besar-besaran di bawah ini, mana yang merupakan besaran skalar dan mana yang merupakan besaran vektor?

a. Waktu (detik) b. Perpindahan (m) c. Kecepatan (m/s) d. Laju (m/s) e. Percepatan (m/s2) f. Usaha (Joule atau Kg m2/s2) g. Temperatur (C) h. Momentum (p) (Kg m/s)

2. Besaran-besaran pada soal no 1, tentukan besaran mana yang merupakan besaran pokok dan besaran mana yang merupakan besaran turunan?

3. Kita definisikan bahwa untuk vektor satuan gaya digambarkan 0,25 cm, artinya tiap satu newton, digambarkan dengan suatu vektor yang panjangnya 0,25 cm. Bila ada suatu vektor gaya besarnya 60 newton, maka berapakah panjang vektor yang harus digambarkan untuk menunjukkan gaya tersebut?

4. Tentukan besar (nilai) dan gambarkan pada sistem koordinat kartesian untuk dua dimensi, dari vektor-vektor di bawah ini:

a. A = 7 i b. D = 3 i + 4 j c. C = 5 j

5. Tentukan besar dan arah dari vektor-vektor di bawah ini, jika komponen masing-masing di dalam koordinat Kartesian telah diketahui a. Ax = 6 cm, Ay = 8 cm b. Fx=3N, Fy=4N

6. Sebuah perahu bergerak dari suatu tepi sungai, tegak lurus aliran sungai dengan kecepatan 12 m/detik dan kecepatan aliran sungai adalah 5 m/detik. Jika lebar sungai 120 m, berapa jauhkah dan dimana perahu tersebut berada pada tepi lain dari sungai tersebut

7. Dua buah vektor terletak pada bidang xy. Besar kedua vektor masing-masing 3 clan 4 satuan: Kedua vektor masing-masing membentuk sudut 550 dan 2800 terhadap sumbu x. Hitunglah besar dari perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor ini !


VEKTOR

8. Dua buah vektor saling tegak lurus. Resultannya 20 satuan, sedangkan salah satu vektor membuat sudut 300 dengan resultan. Berapa besar dar vektor-vektor ini!

9. Ada 3 buah vektor a, b, dan c yang sebidang. Besar vektor itu berturut-turut 10, 15 dan 20 satuan. Jika resultan dari dua vektor yang mana saja adalah sama besar dan berlawanan arah dengan vektor yang lain, tentukan sudut antara vektor a dan c!

10. Dua buah vektor a dan b masing-masing sebesar 10 dan 5 satuan mengapit sudut 300. Hitung besar selisih kedua vektor itu !

11. Dua buah vektor sebidang saling mengapit sudut . Jika besar jumlah dari kedua vektor itu sama dengan 4 kali besar selisih kedua vektor, hitung (besar kedua vektor sama)!

12. Diketahui jumlah 2 vektor empat kali besar vektor yang lebih kecii dan sudut yang dibentuk oleh vektor resultan itu dan dengan vektor yang lebih kecil adalah 300 bagaimanakah perbandingan kedua vektor ini? Hitung juga sudut apitnya !

13. Dua vektor yang besarnya sama membentuk sudut . Resultan dari kedua vektor itu adalah 3 dari besar masing-masing vektor. Hitung !

14. Sebuah vektor besarnya 6 satuan hendak diurai menjadi 2 buah vektor yang saling menyiku. Salah satu komponen vektor itu membuat sudut 600

dengan vektor tersebut. Hitung besar dari komponen-komponen vektor ini! 15. Jumlah dua buah vektor besarnya dua kali besar vektor yang lebih kecii.

Jika kedua vektor membentuk sudut (tan = 4/3), berapakahperbandingan kedua vektor itu?

16. Dua buah vektor yang besarnya 6 dan 5 satuan mengapit sudut 300. Hitung sudut antara resultan vektor dengan vektor yang pertama !

17. Besar dari resultan vektor a dan b sama dengan besar selisih dari kedua vektor itu. Buktikan bahwa kedua vektor itu saling tegak lurus. (petunjuk : gunakan (a + b) . (a + b) = (a - b) . (a - b), untuk membuktikan bahwa : a . b = 0.) !

18. Jika : a + b = c dan a2 + b2 = c2, buktikan bahwa a dan b saling tegak lurus!


GERAK LURUS

BAB III

GERAK LURUS

3.1 PENDAHULUAN

Kinematika partikel mempelajari gerak suatu partikel tanpa meninjau penyebab partikel itu dapat bergerak. Gerakan ini mengamati bentuk lintasan yang ditulis dalam persamaan matematika, kecepatan gerakan, dan percepatan gerakan partikel tersebut. Satuannya menggunakan satuan sistem Internasional (SI).

Gerakan suatu materi atau partikel memerlukan kerangka acuan. Kerangka acuan yang sering digunakan adalah kerangka atau koordinat sumbu Cartesian. Dalam gerak lurus sumbu korninat yang digunakan hanya satu. Gerak lurus disebut juga dengan gerak satu dimensi.

3.2 VEKTOR POSISI, KECEPATAN DAN PERCEPATAN.

Untuk menjelaskan tentang konsep gerak lurus, pertama akan dijelaskan beberapa besaran fisis yang nantinya akan digunakan. Besaranbesaran fisis tersebut diantaranya , posisi, kecepatan dan percepatan.

3.2.1 POSISI

Andaikan sebutir partikel bergerak searah sumbu-x. Posisi partikel setiap waktu dinyatakan oleh jaraknya dari titik awal (acuan) O.

O A B

x1 x2

t1 t2

v1 v2

Gambar 3.1 : Posisi partikel dinyatakan dari titik acuan O pada sumbu-x.

Posisi partikel dinyatakan sebagai pergeseran sumbu-x sebagai fungsi waktu dengan hubungan x = f(t). Pergeseran x bertanda positif (+) bila bergeser ke arah kanan dan bertanda negatif (-) bila bergeser ke arah kiri.

Andaikan pada waktu t1 partikel berada di titik A, dengan OA = x1. Pada waktu t2 partikel itu sudah berada di titik B, dengan OB = x2. Partikel bergerak dari titik A ke titik B dengan pergeseran OB - OA = x = x2 - x1 dalam selang waktu t = t2 - t1.

Contoh : -4 -3 -2 -1 0 1 2B O A


GERAK LURUS

Dari gambar dapat dilihat : Jarak OA = 2 satuan

OB = 4 satuanOBA = jarak OB + jarak BA

= 4 + 6= 10 satuan

jarak selalu berharga positifPerpindahan OA = posisi A - posisi O

= 2 - 0= 2 satuan

OB = posisi B - posisi O= -4 - 0= -4 satuan

tanda negatif menunjukkan perpindahan kearah kiriOBA = perpindahan OB + perpindahan BO + perpindahan OA

Karena perpindahan OB = - BO, maka perpindahanOBA = perpindahan OA

= posisi A - posisi O = 2 - 0 = 2 satuan

3.2.2 Kecepatan Rata-rata.

Perbandingan antara pergeseran dengan selang waktu yang digunakan

disebut kecepatan rata-rata v .

v x2 x1

t tx

3.1 t

2 1

m

x 20

Lintasanx2

x 10Vrata-rata = kemiringan garis yang menghubungkan X1 dan X2

x1

2 4

t 1 t t2 t dt

Gambar 3.2 : Kecepatan rata-rata suatu partikel sebagai slope x fungsi t.


GERAK LURUS

Jadi, kecepatan rata-rata selama selang waktu tertentu sama dengan pergeseran rata-rata per satuan waktu selama selang waktu tersebut. Definisi kecepatan rata-rata ini identik dengan definisi kemiringan garis dari x sebagai fungsi t pada matematika. Untuk jelasnya perhatikanlah Gambar 3.2 Pada gambar terlihat bahwa x = 10 m dan t = 2 detik, sehingga slope adalah x/t = 10/2 = 5 m/s, dan merupakan kecepatan rata-rata pada selang waktu detik ke-2 dengan detik ke-4.

Contoh

Sebuah benda titik bergerak sepanjang sumbu x mula-mula pada t = 1 s berada pada x = 12 m dan pada t = 3 s berada pada x = 4 m. tentukan pergeseran, kecepatan rata-rata dan laju rata-rata antara selang waktu tersebut.

Penyelesaian :

Diketahuai : Perpindahan ∆x = xt - xo

= x3 - x1

= 4m - 12m = -8m

t = 3s - 1s= 2s

Jadi kecepatan rata-ratax

v =

=

=

t412 31 82

= - 4 m.s-1

Tanda negatif berarti arah kecepatan rata-rata ke arah negatif

Laju rata-rata =8

2= 4 ms-1

3.2.3 Kecepatan Sesaat

Untuk menentukan kecepatan sesaat di titik A ataupun di titik B pada Gambar 3.1 di atas, harus ditentukan selang waktu t sesingkat mungkin, sehingga tidak terjadi perubahan kondisi gerakan yang terjadi pada selang


GERAK LURUS

waktu yang sangat pendek tersebut. Dalam bahasa matematika disebutharga limit perbandingan x dengan t apabila t menuju ke nol.

v lim v limt0 t0

x t

3 .2

Merupakan turunan dari pergeseran (perpindahan) x terhadap waktu atau derivatif x terhadap t.

vdx dt

3.3

Kecepatan suatu benda dapat ditentukan dengan menggukur selang waktu t pada dua titik yang sangat berdekatan di lintasan yang dilalui benda tersebut. Jika kecepatan merupakan fungsi waktu, v = f(t), posisi x suatu partikel dapat ditentukan dengan mengintegralkan Persamaan (3.3) setelah ditulis menjadi dx = v dt.

x 2 t2

∫dx ∫vdt 3.4x 1 t1

Dengan x1 adalah harga x ketika waktunya t1 dan x2 adalah harga x ketikawaktunya t2. Jadi :

t 2

x2 x vdt atau x2 xt2

vdt 3.51

Contoh :

∫t 1

1 ∫t1

1. Posisi sebuah partikel yang bergerak sepanjang garis lurus dinyatakan dalam x = 2.t2, Hitunglah kecepatan benda pada saat t = 2 s

Jawab:

persamaan posisi : x = 2.t2

t = 2 sdx

v =

=

dtd (2 .t 2 )

dt = 4.t

Pada t = 2 sv = 4x2

= 8 m.s-1


GERAK LURUS

2. Misalkan perpindahan sebuah benda titik ditentukan oleh: x = -4t + 2t2 (x dalam m dan t dalam s).

Tentukan: a. Perpindahan antara t = 0 dan t = 1s, t = 1s dan t = 3s b. Kecepatan rata-rata pada selang waktu dipertanyaan (a). c. Kecepatan sesaat pada t = 3s

Jawab:

a. perpindahan : x0 = 0x1 = -4 + 2

= -2m x3 = -4.3 +2.32

= -12 + 18 = 6m

x0-1 = x1 - x0

= -2 - 0 = -2 m

x1-3 = x3 - x1

= 6 - (-2) = 6 + 2 = 8 m

b. kecepatan rata-rata

v0-1 =

=

x 01

t2 1

= -2 m s-1

x v1-3 = 13

t= 8

2 = 4 m s-1

c. kecepatan sesaat :

v =

=

dx dtd(4t 2t

dt

2)

= -4 + 4t


GERAK LURUS

Pada t = 3 s v3 = -4 + 4 . 3

= -4 +12 = 8 m s-1

3. Sebuah benda bergerak lurus dari titik A ke B yang berjarak 20 m. Kemudian benda kembali ke A melalui lintasan yang sama. Total waktu yang diperlukan 20 detik. Hitung berapa kecepatan dan kelajuan dari benda tersebut

Penyelesaian :

20 m

A BPerpindahan AB

Perpindahan BA

Perpindahan ABA = 20 - 20= 0 m

Jarak AB = Jarak BA

A B

Jarak ABA = 20 + 20= 40 m

perpindahan Kecepatan

=

=

waktu020

= 0

Kelajuan =

=

jarak waktu

40

20 = 2 m.s-1


GERAK LURUS

3.2.4 Gerakan Dengan Kecepatan Tetap

Istilah kecepatan tetap menggambarkan turunan terhadap waktu. Dinyatakan dengan persamaan v = v0 = konstanta. Untuk mendapatkan sifat posisi adalah dengan cara mengintegralkan kecepatan :

x ∫vdt ∫v0dt v0tkonsanta 3.6

Dalam keadaan ini, konstanta merupakan posisi awal saat mulai bergerak, x0. Jadi, persamaan posisi untuk kecepatan tetap :

x x0 v0t 3.7

Gerakan partikel dengan kecepatan yang selalu tetap disebut gerakanuniform. Berikut dilukiskan grafik gerakan partikel dengan kecepatankonstan.

V x

x = x0 + v(t-t0)

v = tetap x0

t t0 t

kecepatan vs waktu pergeseran vs waktuGambar 3-3 : Grafik percepatan dan pergeseran dalam gerakan uniform.

3.2.5 Percepatan

Perhatikan Gambar 3-1 di atas. Apabila kecepatan partikel A disebut v1

dan kecepatan di B adalah v2, maka selisih kecepatan itu dibanding dengan selang waktunya disebut percepatan rata-rata antara posisi A dengan posisi B.

a v2 v1

t2 t 1

v t

3.8

Jadi, percepatan rata-rata selama selang waktu tertentu adalah perubahan dalam kecepatan per satuan waktu selama selang waktu tersebut. Apabila selang waktu atau interval t sangat kecil sehingga mendekati nol, maka limit kecepatan rata-rata disebut percepatan sesaat atau percepatan.


GERAK LURUS

a

Atau

a

lim a limt0 t0

dv dt

v t

3.9

3.10

Jadi, percepatan merupakan turunan atau derivatif kecepatan terhadapwaktu. Jika percepatan diketahui, kecepatan dapat diperoleh dengan caramengintegralkan Persamaan diintegralkan, diperoleh :

v 2 t 2

dv adt

(3.10). Dari persamaan (3.10), dv = a dt

3.11 ∫ ∫v 1 t 1

Dengan v1 adalah kecepatan pada t1 dan v2 adalah kecepatan pada t2.Selanjutnya, apabila :

v

∫v

maka

v

2

dv v2 v1

1

t2

2 v1 ∫ adt 3.12t1

Karena kecepatan v merupakan turunan dari pergeseran x terhadap waktu,maka percepatan a merupakan turunan kedua dari pergeseran x terhadapwaktu t.

a

Contoh :

d 2

dt

x2

3.13

Gerak suatu benda ditentukan oleh v = (40 - 5t2) ms-1

Tentukan: a. Percepatan rata-rata pada selang waktu t = 0 dan t = 2s b. Percepatan pada t = 2s

Jawab:

a. percepatan rata - rata : v = 40 - 5t2

vo = 40 ms-1

v2 = 40 - 5.22

= 40 - 20= 20 ms-1


GERAK LURUS

Jadi

a o-2 =

=

v2 v0

t 2 t0

2040 20

= -10 ms-1

b. percepatan pada t = 2 s

a2 = d (40 5tdt

= -10.t

2

)

pada t = 2 s a = -10.2

= - 20 m.s-2

jadi mengalami perlambatan sebesar 20 m.s-2, karena a bernilai negatif

3.2.6 Gerakan Dengan Percepatan Tetap

Suatu objek dengan percepatan tetap disebut gerakan dengan percepatan uniform. Misalnya, suatu benda yang jatuh bebas mempunyai percepatan yang selalu tetap. Dari Persamaan (3.10) terlihat bahwa dv = a dt. Apabila diintegralkan, diperoleh :

v

∫v

Atau

2 t2

dv adt 3.14∫

1 t1

v2 v1 at2 t1 3.15

Sehingga

v2 v1 at2 t1 3.16

Hubungan pergeseran x dengan waktu t, diperoleh dari Persamaan (3.5) danPersamaan (3.16) :

t1

x2 x1 ∫ v1

t 2

= x v (t

a(t2 t1)dt

1 2t ) a(t t ) 3.17

1 1 2 1 2 2 1

Apabila t1 = 0, t2 = t, v1 menjadi v0, v2 menjadi v, x1 menjadi x0 dan x2 menjadix, maka Persamaan (3.16) dan Persamaan (3.17) menjadi :


GERAK LURUS

vv0 at

Dan xx v t

3.18

1 2at 3.19

0 0 2

Dalam hal ini x0 dan v0 adalah kondisi awal dari gerak partikel searah sumbu-x. Persamaan (3.18) dan Persamaan (3.19) sering disebut persamaan gerak lurus berubah beraturan. Perlu diketahui bahwa x, v dan a dapat bertanda positif atau negatif. Mereka adalah vektor. Gambar 3-5 melukiskan grafik kecepatan dan pergeseran gerakan dengan percepatan konstan.

V x

v = v0 + atxx

0v0

t

1 2v t at

0 2

t kecepatan vs waktu pergeseran vs waktu

Gambar 3-5 : Grafik kecepatan dan pergeseran pada percepatan konstan

Contoh :

1. Sebuah mobil bergerak dengan dengan kecepatan tetap pada jalan tol. Pada jarak 10 km dari gerbang tol mobil bergerak dengan kecepatan tetap 90 km/jam selama 15 menit. Hitung posisi setelah 15 menit tersebut. Hitung juga jarak yang ditempuh selama 15 menit tersebut.

Penyelaesaian :

Diketahui :x0 = 10 km

= 10.000 m v0 = 90 km/ jam = 90 000 m / 36 000 s

= 25 m/st = 15 menit . 60 s

= 900 sDitanya : x ? Jarak ?


GERAK LURUS

Jawab :

Posisi mobil setelah : 15 menit x = x0 + v.t

= 10.000 + 25 x 900 = 32.500 m

posisi mobil tersebut 32 500 m setelah 15 menit

Jarak yang ditempuh setelah 15 menit

Jarak = v.t= 25 x 900 = 22 500 m

2. Sebuah sepeda motor bergerak lurus beraturan dengan kecepatan tetap, dalam waktu 2 detik menempuh jarak 100 m. Tentukanlah : a. kecepatan sepeda motor b. waktu yang dibutuhkan untuk menempuh jarak 25 m

Penyelesaian :

Diketahui : x = 100 mt = 2 s

Ditanya : v? dan t? pada x = 25 m

Jawab :

a. x = v.tx

v==

t100

2 = 50 m.s-1

b. untuk x = 25 m, maka waktu yang dibutuhkan adalah : x = v.t

x t

==

v2550

= 0.5 s


GERAK LURUS

Integral untuk memperoleh Persamaan (3.17) yang dilanjutkan dengan Persamaan (3.19) dapat dievaluasi dengan prosedur grafis seperti dilukiskan pada Gambar 3-6.

a v x

½at2

atv0 v0t

x0

t t t

Gambar 3-6 : Kinematika percepatan tetap dalam integrasi grafis.

Grafik pertama menunjukkan bahwa luas antara t = 0 dan waktu t lainnya adalah sebesar at. Konstanta integrasi dapat dinyatakan oleh kecepatan awal v0. Grafik kedua menunjukkan hasil grafik kecepatan terhadap waktu. Luas di bawah kurva ini, tergantung pada waktu t, jumlah dari luasan persegi panjang yang di bawah, diberikan oleh v0t dan luasan segitiga di atasnya. Segitiga yang alasnya t dan tinggi at, mempunyai luas ½ at2. Konstanta integrasi pada integral di atas dilambangkan dengan x0, sehingga diperoleh :

xx v t 1 2at 3.20

0 0 2

Penyelesaian akhir ditunjukkan oleh grafik ketiga Gambar 3-6, Pada gambar itu dapat dilihat sokongan tiap suku dari ketiga suku tersebut.

Contoh :

1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 27 km/jam, kemudian mobil dipercepat dengan percepatan 2 m/s2. Hitunglah kecepatan dan jarak yang ditempuh selama 5 detik, setelah percepatan tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui : v0 = 27 km/jam = 27 000 m / 3 600 = 7,5 m.s-1

x0 = 0a = 2 m.s-2

t = 5 s

Ditanya : v? X?


GERAK LURUS

Jawab :v = vo a.t

= 7,5 + 2.5 = 7,5 + 10 = 17,5 m.s-1

x = x0 + v0. t +1

2a.t2

1= 0 + 7,5 . 5 +

= 37,5 + 25 = 62,5 m

2 .2. 52

kecepatan mobil : 17,5 m.s-1 dan jarak yang ditempuh : 62,5 m

2. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 54 km/jam. Tiba-taba mobil direm dan berhenti setelah 2 detik. Hitunglah jarak yang ditempuh selama pengereman. Penyelesaian :

Diketahui :

Setelah 2 s mobil berhenti berati v = 0 m.s-1

v0 = 54 km/jam= 15 m.s-1

t = 2 s

Ditanya : x?

Jawab :

v = vo a.tv v0

a=

=

t015

2 = - 7,5 m.s-2 ( terjadi perlambatan)

x = x0 + v0. t + 1

21

a.t2

=0 + 15.2 +

= 30 -15 = 15 m

2 (-7,5) .22

jadi jarak yang ditempuh selama pengereman : 15 m


GERAK LURUS

3. Sebuah benda bergerak dengan kecepatan 25 m/s. Setelah menempuh jarak 500 m kecepatan benda menjadi 10 m/s. Hitunglah perlambatan benda tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui : v0 = 25 m.s-1 x0 = 0vt = 10 m.s-1 xt = 500 m

Ditanya : a?

Jawab :

Karena waktu tidak diketahui dan ditanya adalah a maka kita pakai rumus:

v2 = v 20 2.a.x

2

a =

=

v2 v 0

2.x2 2

10 252.(5000)

= - 0,525 m.s-2

4. Sebuah truk bergerak dengan kecepatan tetap 90 km/jam. Tiba-tiba truk direm mendadak dengan perlambatan dengan perlambatan 8 m/s2. Berapa waktu yang dibutuhkan truk untuk menepuh jarak 21 m dari saat bus tersebut direm .

Penyelesaian :

Diketahui : v0 = 90 km/jam = 25 m.s-1 x0 = 0a = -8 m.s-2

xt = 21 m

Ditanya : t ?

Jawab :

1x = x0 + v0. t + 2

1

a.t2

= 0 + 25.t + 21 = 25.t - 4.t2

2 (-8).t2


GERAK LURUS

merupakan persaan kuadrat :

-4.t2 + 25.t - 21= 0

deselesaikan dengan penyelesaian persamaan kuadrat

(4.t - 21 ) (t - 1) = 0

4.t = 2121

t1

= 4 t - 1 = 0 = 5,25 s t2 = 1 s

disini kita dapat dua harga t, dapat dijelaskan sbb: perhatikan gambar :

21 m

O 1 s A

pertama kali kereta melewati titik A dalam waktu 1 detik, namun kerana kereta terus diperlambat maka kecepatan kereta akhirnya negatif, karena bergerak mundur dan akan kembali ke titik A dalam waktu 5,25 detik

3.3 Jatuh Bebas

Jika suatu objek sedang jatuh hanya oleh pengaruh gaya grafitasi bumi, objek itu disebut dalam keadaan jatuh bebas. Umumnya hambatan udara menghindarkan jatuh bebas yang sebenarnya, namun hambatan itu bisa diabaikan untuk jarak jatuh yang dekat. Galileo Galilei (1564-1642) dikenal sebagai penyelidik benda jatuh bebas yang dijatuhkannya dari menara sebuah gereja. Ia menemukan besar percepatan jatuh bebas sebuah benda, dilambangkan dengan g, dengan

g = 9.8 m/s2 atau g = 32,2 ft/ s2 3.21

Sering kali harga ini dibulatkan menjadi 10 m/s2 dan 32 ft/ s2 dengan koreksisekitar 2 % dan 2/3 %. Pembulatan ini biasanya digunakan padaperhitungan-perhitungan. Harga g bervariasi di titik-titik yang berbeda padapermukaan bumi.Apabila arak ke atas adalah y positif, maka persamaan (3.19) untuk bendajatuh bebas dengan kecepatan awal nol dapat ditulis :


GERAK LURUS

y y 1 2gt 3.22

0 2

Dengan y0 adalah tingga mula-mula dari objek dan kecepatan mula-mula 0. tanda negatif (-) pada suku kedua menyatakan fakta bahwa percepatan arahnya ke bawah, sehingga harga y mengecil terhadap waktu. Kecepatan v dalam arah negatif (ke bawah) dapat dilihat dengan menuliskan Persamaan (3.18) dengan v0 = 0 dan percepatan dalam arah y negatif :

v = (-g)t = -gt 3.23

Catatan : g dinyatakan hanya besarnya dan merupakan bilangan positif.

Contoh :

1. Sebuah benda di jatuhkan pada ketinggain 125 m tanpa kecepatan awal.Jika percepatan awal 10 m.s-2, benda sampai di tanah

Jawab :

Diket :y0 = 125 mg = 10 m.s-2

y = 0

v0y = 0

Ditanya : t ?

Jawab :1

hitunglah waktu yang dibutuhkan untuk

y = y0 + v0y. t - 21

.g.t2

0 = 125 + 0 -

0 = 125 - 5 t2

5t2 = 125125

2 .10.t2

t2 = 5 = 25

t = 25= 5 s

2. Sebuah bola dilempar keatas dengan kecepatan 20 m.s-1, jika percepatan jatuh bebas 10 m.s-2.

a. Berapa lama bola tersebut mancapai tititk tertinggi?


GERAK LURUS

b. Berapa ketinggain maksimum yang dicapai bola ?

Jawab :

Diketahui :v0y = 20 m.s-1 vy

g = 10 m.s-2 y0

Ditanya : y ? t?

` Jawab :vy = v0y - g.t0 = 20 - 10.t10.t = 20

20

= 0 = 0

t = 10 = 2 s

y = y0 + v0y -1

2.g.t2

1= 0 + 20.2 -

= 40 - 5.4 = 40 - 20 = 20 m

2 . 10.22

benda menacapai ketinggain 20 m dalam waktu 2 s

3. Sebuah bola dilempar vertikal keatas dengan kecepatan awal 20 m/s dari atas tanah. Bola yang lain dilepas dari ketinggian 80 m dengan kecepatan awal 20 m/s. Dititik mana kedua bola akan bertemu.

Jawab : misalkan kedua bola bertemu pada ketinggaian h.

Diketahui :v0A

y0A

v0B

y0B

gyB

= 20 m/s = 0= -20 m/s = 80 m= 10 m/s2

= yA = h


GERAK LURUS

B

vB=20 m/s

80 m

vA=20 m/s

A

Jawab : h?

y0A + v0yA . t -

1

1

2

yA = yB

1.g.t2 = y0B + v0yB . t - .g.t2

21

0 + 20.t -2 .10. t2 = 80 - 20.t - .10. t2

240.t = 80t = 2 s

h = yA

1= y0A + v0yA . t -

12 .g.t2

= 0 + 20.t -

12 .g.t2

= 20.(2) -

= 40 - 5.4 = 40 - 20 = 20 m

2 .10.(2)2

kedua bola bertemu pada ketinggian 20 m dari permukaan tanah

besaran dan sistem satuan

Documents