BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Ruang

Dosen Pengampu: Drs. Suhito, M.Pd.

Disusun oleh:

1. Muhamad Odi Nurdianto 4101412135

2. Yossy Syaekhul Mukhlisin 4101412166

3. Maitsaa Kaamiliaa 4101414011

4. Yupita Sara Harnantya 4101414060

5. Putri Ambar Nastiti 4101414073

6. Yuli Istikomah 4101415001

7. Puji Lestari 4101415105

8. Ratna Riandhina 4101415133

9. Sheila Rosita Elmagustilla 4101415136

No Item Keterangan1 Nama Bangun Silinder Tegak (Tabung)

Gambar

Definisi Bangun ruang yang terbentuk jika melukis sebuah bidang putar sejajar dengansumbunya dan ditutup dengan dua buah bidang yang sejajar satu dengan yanglain. (A cylinder is one of the most basic curvilinear geometric shapes, thesurface formed by the points at a fixed distance from a given line segment, theaxis of the cylinder. The solid enclosed by this surface and by two planesperpendicular to the axis is also called a cylinder. The surface area and thevolume of a cylinder have been known since deep antiquity).

Luas Permukaan Lsilinder = 2 .L alas + L selimut

Lsilinder = 2π R + 2π R t= 2π R

Bukti Untuk mencari luas permukaan tabung dapat menggunakan jaring-jaringtabung. Jaring-jaring tersebut terdiri dari :

Selimut tabung yang berupa persegi panjang dengan panjang = kelilingalas tabung = 2πr dan lebar = tinggi tabung = t, Luas = 2πrt.

Dua buah lingkaran (alas dan tutup) berjari-jari r. Luas =2πr²

Dengan demikian, luas selimut tabung dapat ditentukan dengan cara berikut :Luas selimut tabung = keliling alas (p) x tinggi tabung (l) = 2πr x t

= 2πrtLuas alas dan tutup tabung = πr² + πr² = 2πr²

Luas permukaan =Luas alas + tutup + luas selimut tabungLuas permukaan tabung = 2πr²+2πrt = 2πr(r+t)

Volume = Lalas . tinggi=Bukti Misal kita punya suatu fungsi ( ) = untuk 0 < < , maka akan

membentuk kurva seperti dibawah ini.

Jika kurva diatas diputar terhadap sumbu-x, maka akan membentuk tabung[lihat gambar dibawah ini].

Untuk mencari volume benda putar ini yaitu tabung, langsung dimanfaatkanintegral volume benda putar terhadap sumbu-x dengan batas bawah = 0 danbatas atas = , yaitu

Volume = == 0= − 0=2 Nama Bangun Silinder Condong

Gambar

Definisi Definition: An oblique cylinder is one that 'leans over' - where the sides are notperpendicular to the bases. Opposite of a 'right cylinder'.Sebuah silinder miring adalah salah satu yang 'mencondongkan' - di mana sisitidak tegak lurus ke dasar. Kebalikan dari 'silinder yang tepat'.

Luas Permukaan Lselimut = 2π R hLsilinder = 2 .L alas + L selimut

Lsilinder = 2π R + 2π R t= 2π R

Bukti Untuk mencari luas permukaan silinder condong sama dengan luas permukaansilinder tegak (tabung) yaitu dengan menggunakan jaring-jaring tabung. Jaring-jaring tersebut terdiri dari :

Selimut tabung yang berupa persegi panjang dengan panjang = kelilingalas tabung = 2πr dan lebar = tinggi tabung = t, Luas = 2πrt.

Dua buah lingkaran (alas dan tutup) berjari-jari r. Luas =2πr²

Dengan demikian, luas selimut tabung dapat ditentukan dengan cara berikut :Luas selimut tabung = keliling alas (p) x tinggi tabung (l)

= 2πr x t= 2πrt

Luas alas dan tutup tabung = πr² + πr² = 2πr²Luas permukaan tabung =Luas alas + tutup + luas selimut tabungLuas permukaan tabung = 2πr²+2πrt = 2πr(r+t)

Volume Lalas . tinggi

=Bukti Rumus volume silinder condong sama dengan rumus volume silinder tegak

(tabung) yaitu sama dengan luas alas dikalikan tinggi. Karena tabung memilikialas berupa lingkaran maka volume tabung sama dengan luas alas lingkarandikalikan tinggi. Sehingga rumus volume tabung adalah sebagai berikut :Volume Tabung = πr²t

3 Nama Bangun Silinder LingkaranDefinisi Silinder adalah sebuah bidang putar sejajar dengan sumbunya yang di tutup

dengan dua buah bidang yang sejajar satu dengan yang lain. Jika dua buahbidang yang sejajar itu tegak lurus pada sumbu dan semua garis pelukisnyamaka disebut silinder tegak / silinder beraturan.

Luas Permukaan L= 2π R ( + )Bukti Luas selimut sebuah silinder condong sama dengan hasil kali dari rusuk alas

dan apotema.Lselimut = 2π R tLsilinder = 2 .L alas + L selimut

Lsilinder = 2π R + 2π R t= 2π R ( + )

Volume = ᴁBukti Isi silinder lingkaran sama dengan silinder tegak. Isi silinder sama dengan

hasil kali bidang alas dan tinggi. = Lalas . tinggi= ᴁ4 Nama Bangun Kerucut

Gambar

Definisi Kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralaskan lingkaran.Luas Permukaan L=π R ( s + R )Volume =Bukti Rumus volume ini kita buktikan melalui integral volume benda putar, dengan

memandang garis linier dengan gradien 0, kemudian dengan memutarpersamaan garis tersebut terhadap sumbu-x maka akan terbentuk kerucutdengan jari-jari r dan tinggi t. Bagaimana persamaan garis yang digunakan?Perhatikan gambar dibawah ini,

garis tersebut melalui titik ( , ) dengan gradient , maka dari persamaan garis

umum ( – 1) = ( – 1) diperoleh ( – ) = ( – ) atau = .

Karena dibuthkan batas atas dan batas bawah, maka dari gambar terlihat jelasbahwa batas bawahnya adalah 0 dan batas atasnya adalah .Sehingga diperoleh:

Volume =

=

=

= 0= −=

5 Nama Bangun Kerucut Sama SisiDefinisi Kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralaskan lingkaran

dengan tinggi dua kkali panjang jari-jari lingkaran.

Volume =Bukti Rumus volume ini kita buktikan melalui integral volume benda putar, dengan

memandang garis linier dengan gradien 0, kemudian dengan memutarpersamaan garis tersebut terhadap sumbu-x maka akan terbentuk kerucutdengan jari-jari r dan tinggi 2 ( = 2 ). Bagaimana persamaan garis yangdigunakan? Perhatikan gambar dibawah ini,

garis tersebut melalui titik (2 , ) dengan gradient , maka dari persamaan

garis umum ( – 1) = ( – 1) diperoleh ( – ) = ( – 2 ) atau =. Karena dibuthkan batas atas dan batas bawah, maka dari gambar terlihat

jelas bahwa batas bawahnya adalah 0 dan batas atasnya adalah .Sehinggadiperoleh:

Volume =

=

== 20= ( ) −= 2=

6 Nama Bangun Kerucut TerpancungGambar

Definisi Kerucut terpancung (ember) secara matematis di dapat dari kerucut lingkarantegak yang dipancung (dipotong) bagian atasnya oleh sebuah bidang yangsejajar dengan bidang alas kerucut.

Luas Permukaan = +Bukti Luas kerucut terpancung = Luas selimut Kerucut Besar – Luas selimut Kerucut

Kecil= −= −= −= −=== +Volume = ( + + )Bukti Dapat dilihat bahwa Δ TMC sebangun dengan Δ TNB. Akibatnya=

+ == += +− =( − ) == −== = = = = =Dari uraian diatas didapatkan:== ℎ= ×ℎ= t ×ℎ= t ×

ℎ= ×ℎ= t ×ℎ= t ( + + )= =( + + )7 Nama Bangun Bola

Gambar

Definisi Bola adalah tempat kedudukan titik titik dalam ruang yang sama jauhnya darisuatu titik M . Dimana M adalah pusat bola . Bola adalah bidang yang jika garismelukis sebuah bidang putar adalah setengah keliling lingkaran , yang ujung –ujungnya terletak pada sumbunya.A sphere (from Greek σφαῖρα—sphaira, "globe, ball") is a perfectly roundgeometrical object in three-dimensional space, such as the shape of a roundball. Like a circle in two dimensions, a perfect sphere is completely symmetricalaround its center, with all points on the surface lying the same distance r fromthe center point

Luas Permukaan L=4πVolume =Bukti Diketahui persamaan lingkaran dengan jari-jari dengan titik pusat berada di

titik asal pada kordinat kartesius adalah

+ =solusi untuk :

= ± −Sekarang perhatikan setengah lingkaran bagian atas

= −

fungsi √ kontinyu pada interval , . Jika setengah lingkaran

tersebut diputar, kita akan mendapatkan bola. Gunakan metode cakram untuk

memperoleh volumenya.

V=

V= √v=

v=

28 Nama Bangun Tembereng Bola

Gambar

Definisi A spherical segment is the solid defined by cutting a sphere with a pair of

parallel planes. It can be thought of as a spherical cap with the top truncated,

and so it corresponds to a spherical frustum. The surface of the spherical

segment (excluding the bases) is called a zone.

Bagian yang terjadi jika sebuah bola dipotong oleh sebuah bidang sedemikian

sehingga terbagi dalam dua bagian yang merupakan tembereng bola.

Luas Permukaan L 2πRtBukti Luas tembereng bola sama dengan hasil kali keliling lingkaran besar dan anak

panah tembereng (AP), sehingga Luasnya adalah :L 2πRtVolume

V =

atau

Bukti V

a

b

d

R

V

9 Nama Bangun Keratan Bola

Gambar

Definisi Keratan bola adalah bagian dari bola yang dibatasi oleh dua bidang sejajar.Bidang-bidang sejajar tadi disebut bidang alas dan bidang atas, sedang jarakantara kedua bidang itu disebut tinggi dari keratan bola.

Luas Permukaan Luas keratan bola = Luas tembereng bola 1 - luas tembereng bola 22 . . 2 . .10 Nama Bangun Juring Bola

Gambar

Definisi Jika juring lingkaran yang terdapat di dalam bola diputarkan mengelilingi satudari garis – garis pembatasan yang lurus sehingga didapatkan sebuah bendaputar yang disebut juring bola.Jumlah bola adalah jumlah dari sebuah kerucut dan tembereng bola

Luas Permukaan L = 2Rt + RrVolume . 2

2Bukti Isi juring bola sama dengan sepertiga dari hasil kali dari jari-jari bola dan

bidang Juring yang berbentuk bola sehingga didapat:. 2

2Dimana h adalah jarak vertical antara jari-jari dan bagian atas dan bawah yangmemotong bola dan R adalah jari-jari bola.

11 Nama Bangun Kulit BolaDefinisi Sebuah kulit bola adalah selisih dari sebuah kerataan bola dan sebuah kerucut

terpancungLuas PermukaanVolume

12 Nama Bangun Torus

M

A

M

A B

Gambar

Definisi In geometry, a torus (plural tori) is a surface of revolution generated by

revolving a circle in three-dimensional space about an axis coplanar with the

circle

Torus (Tori dalam bentuk jamak) dalam ilmu geometri adalah suatu

permukaan yang tercipta akibat gerakan rotasi atau revolusi dari suatu

lingkaran yang berputar dalam ruang tiga dimensi (dengan sumbu putar yang

berada secara koplanar/se-bidang dengan lingkaran itu sendiri).

https://en.wikipedia.org

https://id.wikipedia.orgLuas Permukaan . 2 2 2 2Bukti

Menggunakan hibrida sistem bola dan koordinat silinder.

Misalkan jari-jari mahkota adalah r, R adalah jari-jari tabung, r variabel radius

silinder sistem koordinat, dan lintang sistem bola.

Let radius at crown be r, R tube radius, r variable radius of cyl coordinate

system, and the latitude of spherical system.

= . 2 = 2 − = 2 (2 )Volume = 2Bukti Menggunakan koordinat tabung

Dalam koordinat silinder, titik terletak pada triple (r, θ, z) dimana z adalah

umumnya persegi panjang koordinat z dan (r, θ) adalah koordinat polar dalam

bidang xy, θ diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif. Untuk

sewenang-wenang θ digambar pada sumbu r dalam bidang xy pada berlawanan

arah jarum jam sudut θ dari sumbu x positif. Penampang dari torus di bidang rz

adalah sebagai berikut.

Penampang ini adalah sama untuk semua nilai θ. Properti ini mengisyaratkan

bahwa solusi dengan koordinat silinder cenderung efisien. Kebetulan, itu juga

berarti gambar di atas terlihat identik dengan penampang di bidang xz.ketika

menggambar penampang, hanya mempertimbangkan nilai-nilai positif dari

r.membiarkan θ untuk berlari dari 0 ke 2π menghasilkan seluruh torus, sehingga

tidak ada perlu mempertimbangkan nilai-nilai negatif r.

Lingkaran yang ditunjukkan di atas adalah − + = .Bagian atas

setengah lingkaran dapat dinyatakan dengan memungkinkan dari − ke+ dan memungkinkan z dari 0 ke − − . Dengan demikian,

R+aR-a Rr

z

penggunaan integral lipat tiga dalam koordinat tabung untuk volume torus

adalah

2disebutkan bahwa penampang adalah independen dari θ. Sebagai hasil dari ini

dalam dua integral yang konstan terhadap θ, dan sehingga mereka dapat

mengambil di luar dari integral luar sebagai faktor umum, memberikan

22 2

Jadi, diperoleh 213 Nama Bangun Ellipsoida

Gambar

Definisi Ellipsoida adalah dimensi analog dari sebuah elips. Persamaan badan standartelipsoida sumbu-blok dalam xyz-sistem koordinat kartesius adalah1Dimana a dan b adalah jari jari ekuator (sepanjang sumbu x dan y ) dan c adalahjari jari kutub (sepanjang sumbu ). Yang semuanya merupakan bilangan realpositif yang meentukan bentuk ellipsoida.

Luas Permukaan 2 √ , √ ,Dimana : cos

, ,

Volume = 43Bukti PEMBUKTIAN SECARA TIDAK LANGSUNG.

Tanpa mengurangi keumuman.Misalkan elipsoida berpusat di titik 0(0,0,0). Maka persamaan elipsoida adalah

Karena elipsoida berpusat di titik 0(0,0,0) maka elipsoida terbagi menjadi 8bagian yang sama di setiap oktan.Sehingga dapat ditulis :

Dimana

Sekarang akan ditentukan volume elipsoida pada oktan 1.Batas – batas integral z pada oktan 1Batas bawah daerah integral z pada oktan 1 adalah bidang XOY(z = 0) nilai.Untuk batas atas daerah integral z diperoleh sebagai berikut:

Diambil nilai z positif karena di oktan 1.

Batas – batas integral y pada oktan 1Pada bidang X0Y(z=0), maka persamaan (1) dapat ditulis

Dan batas bawah z adalah sumbu-x(y=0,z=0)

Batas – batas integral x pada oktan 1Pada sumbu-x (y=0,z=0), maka persamaan (1) dapat ditulis

Dan batas bawah x adalah sumbu-y(x=0,z=0).

Selanjutnya akan ditentukan volume elipsoida pada oktan satu (V1).

Dengan metode integral subsitusi trigonometri :

PEMBUKTIAN SECARA LANGSUNG.Tanpa mengurangi keumuman.Misalkan elipsoida berpusat di titik 0(0,0,0). Maka persamaan elipsoida adalah

Dengan a, b, dan c adalah masing – masing jarak antara titik pusat dan puncakpada sumbu-x, sumbu-y, sumbu-z.

Batas – batas integral z pada oktan 1Untuk batas atas daerah integral z diperoleh sebagai berikut.

Batas – batas integral y pada oktan 1

Batas – batas integral x pada oktan 1

Dengan metode integral subsitusi trigonometri:

14 Nama Bangun Paraboloida

Gambar

Definisi Diberikan suatu titik tertentu f dan garis tertentu D dalam bidang, suatuparabola adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga jarak antaraf dan (x, y) sama dengan jarak antara D dan (x, y). Titik f disebut sebagai fokusparabola dan garis D disebut sebagai direktriks.

Luas Permukaan

Untuk grafik diatas, luasnya :

Untuk grafik diatas, luasnya :

Volume

Untuk grafik diatas, volumenya :

Untuk grafik diatas, volumenya : 2 2Bukti Persamaan umum dari suatu parabola dapat diperoleh dengan

mengkombinasikan definisi di atas dan rumus jarak. Dengan tidak mengurangikeumuman, kita dapat menganggap parabola yang ditunjukkan pada gambar diatas memiliki titik puncak di (0, 0) dan memiliki titik fokus di (0, p). Sepertiyang ditunjukkan oleh gambar di bawah, parabola yang dimaksud memilikidirektriks dengan persamaan y = –p , sehingga semua titik pada D dapatdituliskan sebagai (x, –p).

Dengan menggunakan rumus jarak dan menerapkan definisi bahwa d1= d2, kita mendapatkan,0 =(definisi)↔ 0 = (keduaruas dikuadratkan)↔ 2 = 0 2 (sederhanakan)↔ 2 = 2 (kurangidengan p2 dan y2)↔ = 4 (pisahkan x2)

Persamaan terakhir di atas disebut persamaan bentuk fokus-direktriks darisuatu parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Jika parabola di atasdiputar sehingga terbuka ke kanan, maka kita akan mendapatkan suatu parabolahorizontal dengan titik puncak di (0, 0), dan persamaannya adalah y² = 4px.Persamaan Parabola dalam Bentuk Fokus-DirektriksSuatu parabola vertikal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: x²= 4py, yang memiliki fokus di (0, p) dan dengan direktriks: y = –p. Jika p > 0,

parabola tersebut akan terbuka ke atas. Jika p < 0, parabola tersebut akanterbuka ke bawah.Suatu parabola horizontal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks:y² = 4px, yang memiliki fokus di (p, 0) dan dengan direktriks: x = –p. Jika p >0, parabola tersebut akan terbuka ke kanan. Jika p < 0, parabola tersebut akanterbuka ke kiri.

15 Nama Bangun HiperboloidaGambar

Definisi Hyperboloid adalah permukaan kuadrat yang mungkin satu-atau dua-lembaran. Hyperboloid satu lembaran adalah permukaanrevolusi diperoleh dengan memutar hiperbola tentang garis-berat ke garisantara fokus, sedangkan dua lembaran hyperboloid adalahpermukaan revolusi yang diperoleh dengan memutar hiperbola tentang garisyang menghubungkan fokus (Hilbert dan Cohn-Vossen1991, hal 11).Hyperboloid adalah quadric - sebuah jenis permukaan dalam tiga dimensi -dijelaskan oleh persamaan xa + yb − zc = 1Atau − xa − yb + zc = 1

Luas Permukaan = +Volume = +